از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مقطع کارشناسی ارشد می باشد. برای مقدمه کلی تر این موضوع به مقدمه ای بر مکانیک کوانتومی مراجعه کنید .

توجیه نظری و تجربی برای معادله شرودینگر انگیزه کشف معادله شرودینگر است ، معادله ای که دینامیک ذرات غیرنسبیتی را توصیف می کند. این انگیزه از فوتون ها استفاده می کند که ذرات نسبیتی با دینامیک توصیف شده توسط معادلات ماکسول هستند ، به عنوان آنالوگ برای همه انواع ذرات.

امواج الکترومغناطیسی کلاسیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی

طبیعت نور [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فوتون

ذره کوانتومی نور را فوتون می نامند . نور هم ماهیت موج مانند و هم ذره مانند دارد. به عبارت دیگر، نور در برخی آزمایش‌ها می‌تواند از فوتون‌ها (ذرات) ساخته شده باشد و در آزمایش‌های دیگر نور می‌تواند مانند امواج عمل کند. دینامیک امواج الکترومغناطیسی کلاسیک به طور کامل توسط معادلات ماکسول ، توصیف کلاسیک الکترودینامیک توصیف شده است . در غیاب منابع، معادلات ماکسول را می توان به صورت معادلات موجی در بردارهای میدان الکتریکی و مغناطیسی نوشت . بنابراین، معادلات ماکسول، در میان چیزهای دیگر، خواص موج مانند نور را توصیف می کند. هنگامی که نور "کلاسیک" (منسجم یا حرارتی) روی یک صفحه عکاسی یا CCD تابیده می شود، میانگین تعداد "ضربه"، "نقطه" یا "کلیک" در واحد زمان که حاصل می شود تقریباً متناسب با مربع میدان های الکترومغناطیسی است. از نور بر اساس قیاس رسمی ، تابع موج یک ذره مادی را می توان برای یافتن چگالی احتمال با مجذور قدر مطلق آن استفاده کرد. برخلاف میدان های الکترومغناطیسی، توابع موج مکانیکی کوانتومی پیچیده هستند. (اغلب در مورد فیلدهای EM از نماد پیچیده برای راحتی استفاده می شود، اما درک می شود که در واقع فیلدها حقیقی هستند. با این حال، توابع موج واقعاً پیچیده هستند.)

معادلات ماکسول در اواخر قرن نوزدهم کاملاً شناخته شده بود. بنابراین، معادلات دینامیکی نور بسیار قبل از کشف فوتون شناخته شده بودند. این در مورد ذرات دیگر مانند الکترون صادق نیست . از برهمکنش نور با اتم ها حدس زده شد که الکترون ها هم ماهیت ذره ای و هم ماهیت موجی دارند. مکانیک نیوتنی ، توصیفی از رفتار ذرات مانند اجسام ماکروسکوپی ، در توصیف اجسام بسیار کوچک مانند الکترون ها ناکام ماند. استدلال ابداکتیو برای به دست آوردن دینامیک اجسام عظیم (ذرات با جرم ) مانند الکترون ها انجام شد. معادله موج الکترومغناطیسی ، معادله ای که دینامیک نور را توصیف می کند، به عنوان نمونه اولیه برای کشف معادله شرودینگر استفاده شد، معادله ای که دینامیک موج مانند و ذره مانند ذرات عظیم غیرنسبیتی را توصیف می کند.

امواج سینوسی صفحه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: راه حل های موج صفحه سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی

معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی

معادله امواج الکترومغناطیسی انتشار امواج الکترومغناطیسی را در یک محیط یا در خلاء توصیف می کند . شکل همگن معادله که بر حسب میدان الکتریکی E یا میدان مغناطیسی B نوشته شده است ، به شکل زیر است:

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} \ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t ^{2}}\ \ &=\ \ 0\\[1ex]\nabla ^{2}\mathbf {B} \ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {B} \over \جزئی t^{2}}\ \ &=\ \ 0\end{تراز شده}}}

که در آن c سرعت نور در محیط است . در خلاء، c = 2.998 × 10 8 متر بر ثانیه، که سرعت نور در فضای آزاد است .

میدان مغناطیسی از طریق قانون فارادی به میدان الکتریکی مرتبط است ( واحدهای cgs )

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

حل موج مسطح معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

راه حل سینوسی صفحه برای یک موج الکترومغناطیسی که در جهت z حرکت می کند

( واحد cgs و واحد SI ) است.

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\left|\mathbf {E} \right|\operatorname {Re} \left\{|\zeta \rangle e^{i\left( kz-\omega t\right)}\right\}\equiv \left|\mathbf {E} \right|\operatorname {Re} \left\{|\phi \rangle \right\}}

تابش الکترومغناطیسی را می توان به عنوان یک موج نوسان عرضی خود انتشار میدان های الکتریکی و مغناطیسی تصور کرد. این نمودار یک موج پلاریزه خطی صفحه را نشان می دهد که از چپ به راست منتشر می شود.

برای میدان الکتریکی و

{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}

برای میدان مغناطیسی، که k عدد موج است ،

{\displaystyle \omega =ck}

فرکانس زاویه ای موج است وجسرعت نور است . کلاه های روی بردارها بردارهای واحد را در جهت های x، y و z نشان می دهند . در نماد پیچیده ، کمیت{\displaystyle |\mathbf {E} |}دامنه موج است .

اینجا

{\displaystyle |\zeta \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\zeta _{x}\\\zeta _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e ^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}}

بردار جونز در صفحه xy است . نماد این بردار نماد bra-ket دیراک است که معمولاً در زمینه کوانتومی استفاده می شود . نماد کوانتومی در اینجا برای پیش بینی تفسیر بردار جونز به عنوان بردار حالت کوانتومی استفاده می شود. زوایا{\displaystyle \theta,\;\alpha _{x},\;{\text{and}}\;\alpha _{y}}زاویه ای است که میدان الکتریکی با محور x و دو فاز اولیه موج ایجاد می کند.

کمیت

{\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\left(kz-\omega t\right)}|\zeta \rangle }

بردار حالت موج است. قطبش موج و عملکرد مکانی و زمانی موج را توصیف می کند . برای یک پرتو نور با حالت منسجم به قدری کم نور که میانگین تعداد فوتون آن بسیار کمتر از 1 باشد، این تقریباً معادل حالت کوانتومی یک فوتون است.

انرژی، تکانه و تکانه زاویه ای امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

چگالی انرژی امواج الکترومغناطیسی کلاسیک [ ویرایش ]

انرژی در یک موج فضا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چگالی انرژی

انرژی در واحد حجم در میدان های الکترومغناطیسی کلاسیک (واحد cgs) است.

{\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\ mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].}

برای یک موج صفحه، تبدیل به نماد پیچیده (و در نتیجه تقسیم بر ضریب 2)، این می شود

{\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {\left|\mathbf {E} \right|^{2}}{8\pi }}}

که در آن انرژی در طول موج موج به طور میانگین محاسبه شده است.

کسر انرژی در هر جزء [ ویرایش ]

کسر انرژی در مولفه x موج صفحه

(با فرض قطبش خطی) است

{\displaystyle f_{x}={\frac {\left|\mathbf {E} \right|^{2}\cos ^{2}\theta }{\left|\mathbf {E} \right|^{ 2}}}=\phi _{x}^{*}\phi _{x}}

با یک عبارت مشابه برای مولفه y.

کسر در هر دو جزء است

{\displaystyle \phi _{x}^{*}\phi _{x}+\phi _{y}^{*}\phi _{y}=\langle \phi |\phi \rangle =1.}

چگالی تکانه امواج الکترومغناطیسی کلاسیک

[ ویرایش ]

چگالی تکانه توسط بردار Poynting داده می شود

{\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r }، t).}

برای یک موج صفحه سینوسی که در جهت z حرکت می کند، تکانه در جهت z است و با چگالی انرژی مرتبط است:

{\displaystyle {\mathcal {P}}c={\mathcal {E}}_{c}.}

چگالی تکانه در طول موج به طور میانگین محاسبه شده است.