فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تحلیل تابعی و حوزه‌های مرتبط ریاضیات ، فضای برداری توپولوژیکی قابل اندازه‌گیری (مثلاً شبه‌سنجی ) (TVS) TV است که توپولوژی آن توسط یک متریک (مثلاً شبه‌سنجی ) القا می‌شود. یک فضای LM یک حد القایی از دنباله ای از تلویزیون های متریزاسیون محدب محلی است .

شبه سنجی و متریک [ ویرایش ]

یک شبه سنجی روی یک مجموعهایکسیک نقشه استد:{\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }ارضای خواص زیر:

  1. {\displaystyle d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X};
  2. تقارن : برای همه ،{\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X};
  3. زیرافزودنی : برای همه .{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.}

یک شبه سنجی در صورتی متریک نامیده می شود که:

  1. هویت غیر قابل تشخیص : برای همه،،{\displaystyle x,y\in X,}اگرd(x,y)=0سپس.{\displaystyle x=y.}

اولتراپسودومتری

یک شبه سنجیدبرایکساگر موارد زیر را برآورده کند، اولتراپسودومتری یا شبه سنجی قوی نامیده می شود :

  1. نابرابری مثلث قوی .{\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.}

فضای شبه سنجی

فضای شبه سنجی یک جفت است(X,d)متشکل از یک مجموعهایکسو یک شبه سنجیدبرایکسبه طوری کهایکستوپولوژی 's با توپولوژی on یکسان استایکسالقا شده توسطد.دفضای لی را می نامیم(X,d)یک فضای متریک (مثلاً فضای فراسودومتری ) زمانی کهدیک متریک است (به عنوان مثال اولتراپسودومتری).

توپولوژی القا شده توسط شبه سنجی [ ویرایش ]

اگرددیک شبه سنجی روی یک مجموعه استایکسسپس مجموعه ای از توپ های باز :

{\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}مانندzمحدوده بیش ازایکسوr > 0محدوده بیش از اعداد حقیقی مثبت، پایه ای برای توپولوژی در تشکیل می دهدایکسکه نامیده می شودددتوپولوژی یا توپولوژی شبه سنجی درایکسالقا شده توسطد.د

کنوانسیون : اگر(X,d)یک فضای شبه سنجی است وایکسبه عنوان یک فضای توپولوژیکی در نظر گرفته می شود ، پس مگر اینکه خلاف آن نشان داده شود، باید فرض شود کهایکسدارای توپولوژی القا شده توسطد.د

فضای لی سنجی

فضای توپولوژیکی(X, \tau)در صورت وجود شبه سنجی (مثلا متریک ، اولتراپسئومتریک ) قابل لی (مثلاً متریک، فراسودومتریک) نامیده می شود .ددبرایکسبه طوری که\ tauبرابر است با توپولوژی القا شده توسطد.د[1]

شبه سنجی و مقادیر در گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

یک گروه توپولوژیکی افزایشی یک گروه افزودنی است که دارای یک توپولوژی است که توپولوژی گروهی نامیده می شود که تحت آن جمع و نفی عملگرهای پیوسته می شوند.

یک توپولوژی\ tauدر فضای برداری حقیقی یا مختلطایکستوپولوژی برداری یا توپولوژی TVS نامیده می شود اگر عملیات جمع برداری و ضرب اسکالر را پیوسته کند (یعنی اگر باعث شودایکسبه فضای برداری توپولوژیکی ).

هر فضای برداری توپولوژیکی (TVS)ایکسیک گروه توپولوژیک جابجایی افزایشی است اما نه همه توپولوژی های گروهیایکستوپولوژی های برداری هستند. این به این دلیل است که علیرغم اینکه یک توپولوژی گروهی روی یک فضای برداری پیوسته و نفی می کندایکسممکن است نتواند ضرب اسکالر را پیوسته کند. به عنوان مثال، توپولوژی گسسته در هر فضای برداری غیر بی اهمیت، جمع و نفی را پیوسته می کند، اما ضرب اسکالر را پیوسته نمی کند.

شبه سنجی غیرمتغیر ترجمه [ ویرایش ]

اگرایکسیک گروه افزایشی است پس می گوییم که یک شبه سنجیدبرایکساگر هر یک از شرایط معادل زیر را برآورده کند، ترجمه ثابت است یا فقط تغییرناپذیر است :

  1. عدم تغییر ترجمه : برای همه {\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X};
  2. برای همه ،.{\displaystyle d(x,y)=d(xy,0){\text{برای همه }}x,y\در X.}

Value/G-نرم [ ویرایش ]

اگرایکسیک گروه توپولوژیکی با مقدار a یا G-نرم استایکس( G مخفف Group) یک نقشه با ارزش حقیقی است{\displaystyle p:X\right arrow \mathbb {R} }با خواص زیر: [2]

  1. غیر منفی :.{\displaystyle p\geq 0.}
  2. افزودنی فرعی : ،{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X};
  3. .{\displaystyle p(0)=0..}
  4. متقارن .{\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in x.}

در صورتی که یک G-نرم را در صورتی که شرط اضافی را برآورده کند، G-norm می نامیم :

  1. مجموع / مثبت قطعی : اگرp(x) = 0.x=0.

خواص مقادیر [ ویرایش ]

اگرپیک مقدار در یک فضای برداری استایکسسپس:

  • | ،.{\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(xy){\text{برای همه }}x,y\در X.}[3]
  • {\displaystyle p(nx)\leq np(x)}وبرای همهx\در Xو اعداد صحیح مثبت.n[4]
  • مجموعه{\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}یک زیر گروه افزودنی است.ایکس.[3]

هم ارزی در گروه های توپولوژیکی [ ویرایش ]

قضیه [2] - فرض کنید کهایکسیک گروه جابجایی افزایشی است. اگرددیک شبه سنجی ثابت ترجمه در استایکسسپس نقشهپ():=د(،){\displaystyle p(x):=d(x,0)}یک مقدار استایکسمقدار مرتبط با نامیده می شودددو علاوه بر این،ددتوپولوژی گروهی را ایجاد می کندایکس(یعنیددتوپولوژی روشن استایکسباعث می شودایکسدر یک گروه توپولوژیکی). برعکس، اگرپپیک مقدار استایکسسپس نقشهد:=پ(-){\displaystyle d(x,y):=p(xy)}یک شبه سنجی با ترجمه ثابت استایکسو ارزش مرتبط باددفقط استپ.پ.