4-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:18

روابط با توابع دیگر [ ویرایش ]

چند جمله ای های لاگر [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت را می توان به عنوان یک مورد خاص از چند جمله ای های لاگر بیان کرد :

${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\راست )}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{\binom {n-{\frac {1} {2}}}{nk}}{\frac {x^{2k}}{k!}}،\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_ {n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^ {n}(-1)^{nk}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{nk}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\ پایان{تراز شده}}$

ارتباط با توابع فرا هندسی همرو [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان را می توان به عنوان یک مورد خاص از توابع استوانه سهموی بیان کرد :

$H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\ درست)$

در نیم صفحه سمت راست ، که در آن U ( a ، b ، z ) تابع ابر هندسی همرو Tricomi است . به همین ترتیب،

${\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1} {\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n }{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x ^{2}{\big )}،\end{تراز شده}}$

که در آن 1 F 1 ( a , b , z ) = M ( a , b , z ) تابع ابر هندسی همرو کومر است .

نمایش عملگر دیفرانسیل [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا هویت را ارضا می کند

${\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},$

که در آن D تمایز را با توجه به x نشان می دهد و نمایی با بسط آن به عنوان یک سری توانی تفسیر می شود . وقتی این سری روی چندجمله ای ها کار می کند، هیچ سؤال ظریفی در مورد همگرایی وجود ندارد، زیرا همه اصطلاحات به جز تعداد بسیار محدودی ناپدید می شوند.

از آنجایی که ضرایب سری توانی نمایی به خوبی شناخته شده است، و مشتقات مرتبه بالاتر تک جمله ای x n را می توان به صراحت نوشت، این نمایش عملگر دیفرانسیل یک فرمول مشخص برای ضرایب Hn ایجاد می کند که می توان از آن استفاده کرد. برای محاسبه سریع این چند جمله ای ها.

از آنجایی که عبارت رسمی تبدیل وایرشتراس W e D 2 است ، می بینیم که تبدیل وایرشتراس از ( √ 2 ) n He n (ایکس/√ 2) x n است . اساسا تبدیل Weierstrass بنابراین یک سری از چندجمله‌ای Hermite را به یک سری Maclaurin متناظر تبدیل می‌کند .

وجود چند سری توان رسمی g ( D ) با ضریب ثابت غیر صفر، به طوری که He n ( x ) = g ( D ) x n ، معادل دیگری برای این جمله است که این چند جمله ای ها یک دنباله Appell را تشکیل می دهند . از آنجایی که آنها یک دنباله Appell هستند، آنها یک دنباله شفر هستند .

اطلاعات بیشتر: تبدیل وایرشتراس § تبدیل معکوس

نمایش انتگرال کانتور [ ویرایش ]

از نمایش تابع مولد بالا، می بینیم که چندجمله ای های هرمیت بر حسب یک انتگرال کانتور نمایشی دارند ، به عنوان

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e ^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n !}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{تراز شده} }$

با کانتوری که مبدا را احاطه کرده است.

کلیات [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا که در بالا تعریف شده اند با توجه به توزیع احتمال نرمال استاندارد متعامد هستند که تابع چگالی آنها برابر است با

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}،$

که دارای مقدار مورد انتظار 0 و واریانس 1 است.

با مقیاس بندی، می توان به طور مشابه از چند جمله ای های هرمیت تعمیم یافته صحبت کرد [9]

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)$

از واریانس α ، که α هر عدد مثبت است. سپس اینها با توجه به توزیع احتمال نرمال که تابع چگالی آن است متعامد هستند

$(2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.$

آنها توسط

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\ چپ({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_ {n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left( x^{n}\راست).$

اگر الان

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]} x^{k}،$

سپس دنباله چند جمله ای که n امین آن است

$\left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)$

ترکیب چتری از دو دنباله چند جمله ای نامیده می شود . می توان آن را برای ارضای هویت ها نشان داد

$\left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)$

${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k }}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{nk}^{[\beta ]}(y).$

آخرین هویت با گفتن اینکه این خانواده پارامتری از توالی های چند جمله ای به عنوان یک دنباله متقاطع شناخته می شود بیان می شود. (بخش بالا را در مورد دنباله‌های Appell و نمایش عملگر دیفرانسیل ، که منجر به مشتق آماده از آن می‌شود، ببینید. این هویت نوع دوجمله‌ای ، برای α = β =1/2، قبلاً در بخش بالا در مورد #روابط بازگشتی با آن مواجه شده است .)

"واریانس منفی" [ ویرایش ]

از آنجایی که توالی های چند جمله ای یک گروه را تحت عمل ترکیب چتری تشکیل می دهند ، می توان با آن اشاره کرد

${\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)$

دنباله ای که معکوس آن است که به طور مشابه نشان داده شده است، اما بدون علامت منفی، و بنابراین از چند جمله ای هرمیت با واریانس منفی صحبت می کند. برای α > 0 ، ضرایب ${\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)$ فقط مقادیر مطلق ضرایب مربوطه هستند ${\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)$ .

اینها به عنوان گشتاورهای توزیع احتمال نرمال به وجود می آیند: لحظه n از توزیع نرمال با مقدار مورد انتظار μ و واریانس σ2 است .

$E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),$

که در آن X یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال مشخص شده است. یک مورد خاص از هویت متقاطع پس از آن می گوید

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit { او}}_{nk}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n }.$

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

توابع هرمیت [ ویرایش ]

می توان توابع هرمیت (که اغلب توابع هرمیت-گاوسی نامیده می شود) را از چند جمله ای های فیزیکدان تعریف کرد:

$\psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^ {-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi } }\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n} }}e^{-x^{2}}.$

بدین ترتیب،

${\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}( ایکس).$

از آنجایی که این توابع حاوی ریشه دوم تابع وزن هستند و به طور مناسب مقیاس بندی شده اند، متعامد هستند :

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},$

و آنها یک پایه متعارف از L 2 ( R ) را تشکیل می دهند . این واقعیت معادل عبارت مربوط به چندجمله‌ای هرمیت است (به بالا مراجعه کنید).

توابع Hermite ارتباط نزدیکی با تابع Whittaker دارند ( Whittaker & Watson 1996 ) Dn ( z ) :

$D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{ dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}$

و در نتیجه به دیگر توابع استوانه سهموی .

توابع هرمیت معادله دیفرانسیل را برآورده می کند

$\psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.$

این معادله معادل معادله شرودینگر برای یک نوسانگر هارمونیک در مکانیک کوانتومی است، بنابراین این توابع، توابع ویژه هستند .

عملکردهای هرمیت: 0 (آبی، توپر)، 1 (نارنجی، نقطه چین)، 2 (سبز، نقطه چین)، 3 (قرمز، نقطه چین)، 4 (بنفش، توپر) و 5 (قهوه ای، نقطه چین)

${\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2 }}x^{2}}،\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x \,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}} x^{2}}،\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{ -1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}( x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x ^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{ \sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\راست) \,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{تراز شده}}$

توابع هرمیت: 0 (آبی، توپر)، 2 (نارنجی، نقطه چین)، 4 (سبز، نقطه چین) و 50 (قرمز، توپر)

رابطه بازگشتی [ ویرایش ]

به دنبال روابط بازگشتی چند جمله‌ای هرمیت، توابع هرمیت تبعیت می‌کنند

$\psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n +1}{2}}}\psi _{n+1}(x)$

$x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n +1}{2}}}\psi _{n+1}(x).$

گسترش رابطه اول به مشتقات دلخواه m برای هر عدد صحیح مثبت m منجر به

$\psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2 ^{\frac {mk}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit { او}_{k}(x).$

این فرمول را می توان در ارتباط با روابط عود برای He n و ψ n برای محاسبه موثر هر مشتق از توابع Hermite استفاده کرد.

نابرابری کرامر [ ویرایش ]

برای x واقعی ، توابع هرمیت کران زیر را با توجه به هارالد کرامر [10] [11] و جک ایندریتز برآورده می کنند: [12]

${\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.$

هرمیت به عنوان توابع ویژه تبدیل فوریه عمل می کند [ ویرایش ]

توابع هرمیت ψ n ( x ) مجموعه ای از توابع ویژه تبدیل فوریه پیوسته F هستند . برای مشاهده این، نسخه فیزیکدان تابع مولد را بگیرید و در e- ضرب کنید1/2x 2 . این می دهد

$e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{ \frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

تبدیل فوریه سمت چپ توسط

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\راست \}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac { 1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t ^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){ \frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{تراز شده}}$

تبدیل فوریه سمت راست توسط

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n }(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^ {-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.$

برابر کردن قدرت های t در نسخه های تبدیل شده سمت چپ و راست در نهایت نتیجه می دهد

${\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i) ^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).$

بنابراین توابع هرمیت ψ n ( x ) پایه متعامد L 2 ( R ) هستند که عملگر تبدیل فوریه را مورب می کند . [13]

توزیع ویگنر توابع هرمیت [ ویرایش ]

تابع توزیع ویگنر تابع هرمیت مرتبه n با چند جمله ای مرتبه n لاگر مرتبط است . چند جمله ای های لاگر هستند

$L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k! }}x^{k}،$

منجر به توابع اسیلاتور لاگر می شود

$l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).$

برای همه اعداد صحیح طبیعی n ، مشاهده [14] ساده است

$W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2} ){\بزرگ )}،$

که در آن توزیع ویگنر یک تابع x ∈ L 2 ( R , C ) به صورت تعریف می شود

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau}{2}}\right)\,x\left (t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .$

این یک نتیجه اساسی برای نوسانگر هارمونیک کوانتومی است که توسط هیپ گرونولد در سال 1946 در پایان نامه دکترای خود کشف شد. [15] این پارادایم استاندارد مکانیک کوانتومی در فضای فاز است .

روابط بیشتری بین دو خانواده چندجمله ای ها وجود دارد .

تفسیر ترکیبی ضرایب [ ویرایش ]

در چند جمله ای هرمیت He n ( x ) از واریانس 1، قدر مطلق ضریب x k تعداد پارتیشن های (نامرتب) یک n عنصر است که به k تک تن وn - k/2جفت (بدون ترتیب) به طور معادل، تعداد چرخش های یک مجموعه n عنصر با k نقطه ثابت دقیقاً ، یا به عبارت دیگر، تعداد تطابقات در نمودار کامل روی n راس است که k راس را بدون پوشش می گذارد (در واقع، چند جمله ای های هرمیت تطبیق هستند. چند جمله ای این نمودارها). مجموع مقادیر مطلق ضرایب، تعداد کل پارتیشن‌ها به تک‌تن‌ها و جفت‌ها را می‌دهد که اصطلاحاً به آنها شماره تلفن می‌گویند.

1، 1، 2، 4، 10، 26، 76، 232، 764، 2620، 9496،... (توالی A000085 در OEIS ) .

این تفسیر ترکیبی را می توان به چندجمله ای های بل کامل نمایی مرتبط کرد

${\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0)$

که در آن x i = 0 برای همه i > 2 .

این اعداد همچنین ممکن است به عنوان مقدار خاصی از چندجمله ای های هرمیت بیان شوند: [16]

$T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

4-چند جمله ای هرمیت

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین