2-توجیه نظری و تجربی معادله شرودینگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 18:33

چگالی تکانه زاویه ای امواج الکترومغناطیسی کلاسیک [ ویرایش ]

چگالی تکانه زاویه ای است

${\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r},t)\راست].$

برای یک موج صفحه سینوسی، تکانه زاویه ای در جهت z است و با ( رفتن به نماد مختلط) داده می شود.

${\mathcal {L}}={{\mid \mathbf {E} \mid ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\mid \langle R|\phi \rangle \mid ^{2}-\mid \langle L|\phi \rangle \mid ^{2}\right)={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\mid \phi _{R}\mid ^{2}-\mid \phi _{L}\mid ^{2}\راست)$

جایی که دوباره چگالی در طول موج به طور میانگین محاسبه می شود. در اینجا بردارهای واحد قطبی دایره ای راست و چپ به صورت تعریف می شوند

$|R\rangle \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$ و

$|L\rangle \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}.$

اپراتورهای واحد و صرفه جویی در انرژی [ ویرایش ]

برای مثال، موج می تواند با عبور از یک کریستال دوشکست یا از شکاف هایی در یک توری پراش تبدیل شود . ما می توانیم تبدیل حالت را از حالت در زمان t به حالت در زمان تعریف کنیم $(t+\tau )$ مانند

$|\phi (t+\tau )\rangle ={\hat {U}}(\tau )|\phi (t)\rangle .$

برای حفظ انرژی در موجی که نیاز داریم

$\langle \phi (t+\tau )|\phi (t+\tau )\rangle =\langle \phi (t)|{\hat {U}}^{\dagger }(\tau ){\hat {U}}(\tau )|\phi (t)\rangle =\langle \phi (t)|\phi (t)\rangle =1$ جایی که، انتقال مزدوج مختلط ماتریس است .

این بدان معناست که یک تبدیل که انرژی را حفظ می کند باید از آن پیروی کند

${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I$ که در آن I عملگر همانی است و U عملگر واحد نامیده می شود . خاصیت واحد برای اطمینان از حفظ انرژی در تحولات حالت ضروری است.

اپراتورهای هرمیتین و حفظ انرژی [ ویرایش ]

اگر $\ tau$ یک کمیت واقعی بی نهایت کوچک است $dt$ ، سپس تبدیل واحد بسیار نزدیک به ماتریس همانی است (وضعیت نهایی بسیار نزدیک به حالت اولیه است) و می توان نوشت.

${\hat {U}}\approx Ii{\hat {H}}\tau$ و الحاق توسط

${\hat {U}}^{\dagger }\approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau .$

فاکتور i برای سهولت معرفی شده است. با این قرارداد نشان داده خواهد شد که بقای انرژی مستلزم این است که H یک عملگر هرمیتی باشد و H به انرژی یک ذره مرتبط است.

صرفه جویی در انرژی نیاز دارد

$I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau \right)\ چپ(Ii{\hat {H}}\tau \right)\ approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau -i{\hat {H}}\tau +{\hat { H}}^{\dagger }{\hat {H}}\tau ^{2}.$ از آنجا که $\ tau$ بی نهایت کوچک است، به این معنی که $\tau ^{2}$ ممکن است با توجه به $\ tau$ ، آخرین عبارت را می توان حذف کرد. علاوه بر این، اگر H برابر با مضاف آن باشد:

=†،

${\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger },$ نتیجه می شود که (برای ترجمه های بی نهایت کوچک در زمان $\tau =dt\,$ )

${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,$ به طوری که در واقع انرژی حفظ می شود.

عملگرهایی که مساوی با الحاقات آنها هستند هرمیتین یا خود الحاقی نامیده می شوند.

ترجمه بی نهایت کوچک از حالت قطبی شدن است

$|\phi (t+dt)\rangle -|\phi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\phi (t)\rangle .$

بنابراین، بقای انرژی مستلزم آن است که دگرگونی های بینهایت کوچک یک حالت قطبی از طریق عمل یک عملگر هرمیتی رخ دهد. در حالی که این اشتقاق کلاسیک است، مفهوم یک عملگر هرمیتی که تبدیل‌های بی‌نهایت کوچک صرفه‌جویی در انرژی را ایجاد می‌کند، مبنای مهمی برای مکانیک کوانتومی است. اشتقاق معادله شرودینگر مستقیماً از این مفهوم ناشی می شود.

قیاس کوانتومی الکترودینامیک کلاسیک [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فوتون

درمان تا این مرحله کلاسیک بوده است . با این حال، پردازش مکانیکی کوانتومی ذرات در امتداد خطوطی است که به طور رسمی مشابه معادلات ماکسول برای الکترودینامیک است. آنالوگ "بردارهای حالت" کلاسیک

$\vert \phi \rangle$ در توصیف کلاسیک بردارهای حالت کوانتومی در توصیف فوتون ها وجود دارد.

انرژی، تکانه و تکانه زاویه ای فوتون ها [ ویرایش ]

انرژی [ ویرایش ]

تفسیر اولیه بر اساس آزمایش‌های ماکس پلانک و تفسیر آن آزمایش‌ها توسط آلبرت انیشتین است که تابش الکترومغناطیسی از بسته‌های انرژی کاهش‌ناپذیری تشکیل شده است که به عنوان فوتون شناخته می‌شوند . انرژی هر بسته به فرکانس زاویه ای موج توسط رابطه مربوط می شود

$\epsilon =\hbar \omega$ جایی که $\hbar$ یک کمیت آزمایشی تعیین شده است که به عنوان ثابت پلانک کاهش یافته شناخته می شود . اگر وجود داردن $ن$ فوتون ها در یک جعبه حجم $V$ ، انرژی (غفلت از انرژی نقطه صفر ) در میدان الکترومغناطیسی است

$N\hbar \omega$ و چگالی انرژی است

${\frac {N\hbar \omega }{V}}.$

انرژی یک فوتون را می توان از طریق اصل مطابقت به میدان های کلاسیک مرتبط کرد که بیان می کند برای تعداد زیادی فوتون، عملیات کوانتومی و کلاسیک باید مطابقت داشته باشند. بنابراین، برای بسیار بزرگن $ن$ ، چگالی انرژی کوانتومی باید با چگالی انرژی کلاسیک یکسان باشد

${N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\left|\mathbf {E} \right|^{2}}{8\pi }}.$

میانگین تعداد فوتون های جعبه در حالت همدوس پس از آن است

$N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\left|\mathbf {E} \راست|^{2}.$

تکانه [ ویرایش ]

اصل مطابقت نیز تکانه و تکانه زاویه ای فوتون را تعیین می کند. برای حرکت

${\mathcal {P}}_{c}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k \over V}$

که به این معنی است که تکانه فوتون است

$\hbar k$ (یا معادل آن ${\textstyle h \over \lambda }$ ).

حرکت زاویه ای و چرخش [ ویرایش ]

به طور مشابه برای تکانه زاویه ای

${\mathcal {L}}={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\ چپ|\psi _{L}\راست|^{2}\right)={\hbar \over V}\left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\ psi _{L}\right|^{2}\right)$ که به این معنی است که تکانه زاویه ای فوتون است

$l_{z}=\hbar \left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right|^{2}\right).$ تفسیر کوانتومی این عبارت این است که فوتون احتمال دارد $\left|\psi _{R}\right|^{2}$ از داشتن تکانه زاویه ای $\hbar$ و احتمال $\left|\psi _{L}\right|^{2}$ از داشتن تکانه زاویه ای. بنابراین می‌توانیم به تکانه زاویه‌ای فوتون در حال کوانتیزه شدن و همچنین انرژی فکر کنیم. این در واقع به طور تجربی تأیید شده است. فوتون ها فقط دارای گشتاور زاویه ای هستند $\pm \hbar$ .

عملگر چرخش [ ویرایش ]

اسپین فوتون به عنوان ضریب تعریف می شود $\hbar$ در محاسبه تکانه زاویه ای یک فوتون دارای اسپین 1 است اگر در آن باشد $|R\rangle$ حالت و -1 اگر در حالت باشد $|L\rangle$ حالت. عملگر اسپین به عنوان محصول بیرونی تعریف می شود

${\hat {S}}\equiv |R\rangle \langle R|-|L\rangle \langle L|={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.$

بردارهای ویژه عملگر اسپین هستند $|R\rangle$ و $|L\rangle$ با مقادیر ویژه 1 و -1، به ترتیب.

مقدار مورد انتظار اندازه گیری اسپین روی یک فوتون پس از آن است

〈|اس^=|آر|2-||2.

$\langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right| ^{2}.$

یک عملگر S با یک کمیت قابل مشاهده، تکانه زاویه ای مرتبط است. مقادیر ویژه عملگر مقادیر قابل مشاهده مجاز هستند. این برای تکانه زاویه ای نشان داده شده است، اما به طور کلی برای هر کمیت قابل مشاهده صادق است.

احتمال یک فوتون واحد [ ویرایش ]

دو روش وجود دارد که از طریق آنها می توان احتمال را برای رفتار فوتون ها اعمال کرد. از احتمال می توان برای محاسبه تعداد احتمالی فوتون ها در یک حالت خاص استفاده کرد، یا از احتمال می توان برای محاسبه احتمال قرار گرفتن یک فوتون در یک حالت خاص استفاده کرد. تفسیر قبلی برای نور حرارتی یا همدوس قابل استفاده است (نگاه کنید به اپتیک کوانتومی ). تفسیر اخیر گزینه ای برای حالت Fock تک فوتونی است . دیراک این [یادداشت 1] را در زمینه آزمایش دو شکاف توضیح می دهد :

مدتی قبل از کشف مکانیک کوانتومی، مردم متوجه شدند که ارتباط بین امواج نور و فوتون‌ها باید یک ویژگی آماری باشد. با این حال، چیزی که آنها به وضوح متوجه نشدند این بود که "تابع موج" اطلاعاتی درباره احتمال وجود یک فوتون در یک مکان خاص و نه تعداد احتمالی فوتون ها در آن مکان می دهد. اهمیت تمایز را می توان به روش زیر روشن کرد. فرض کنید یک پرتو نور متشکل از تعداد زیادی فوتون داریم که به دو جزء با شدت مساوی تقسیم شده اند. با این فرض که پرتو با تعداد احتمالی فوتون های موجود در آن متصل است، باید نصف تعداد کل وارد شده به هر جزء را داشته باشیم. اگر این دو جزء اکنون برای تداخل ساخته شده‌اند، باید به یک فوتون در یک جزء نیاز داشته باشیم تا بتوانیم با یکی در دیگری تداخل داشته باشیم. گاهی این دو فوتون باید همدیگر را نابود می‌کردند و گاهی چهار فوتون تولید می‌کردند. این با حفظ انرژی در تضاد است. تئوری جدید که تابع موج را با احتمالات یک فوتون به هم مرتبط می‌کند، با وادار کردن هر فوتون به هر یک از دو جزء، مشکل را پشت سر می‌گذارد. سپس هر فوتون فقط با خودش تداخل دارد. تداخل بین دو فوتون مختلف هرگز اتفاق نمی افتد.
- پل دیراک، اصول مکانیک کوانتومی، ویرایش چهارم، فصل 1

دامنه احتمال [ ویرایش ]

احتمال اینکه یک فوتون در یک حالت قطبی شدن خاص باشد به توزیع احتمال بر روی میدان ها بستگی دارد که توسط معادلات ماکسول کلاسیک محاسبه شده است (در نمایش P Glauber-Sudarshan از حالت Fock یک فوتون .) مقدار انتظاری عدد فوتون در حالت همدوس در ناحیه محدودی از فضا در میدان ها درجه دوم است. در مکانیک کوانتومی، بر اساس قیاس، حالت یا دامنه احتمال یک ذره منفرد حاوی اطلاعات احتمال اولیه است. به طور کلی، قوانین ترکیب دامنه های احتمال بسیار شبیه قوانین کلاسیک برای ترکیب احتمالات است:

دامنه احتمال برای دو احتمال متوالی حاصل ضرب دامنه برای هر احتمال است. ...
دامنه فرآیندی که می‌تواند به یکی از چندین روش غیرقابل تشخیص انجام شود ، مجموع دامنه‌ها برای هر یک از روش‌های جداگانه است. ...
احتمال کل برای وقوع فرآیند، قدر مطلق مجذور دامنه کل است که با 1 و 2 محاسبه می شود.
- بایم، فصل 1

امواج د بروگلی [ ویرایش ]

لویی دو بروگلی. دو بروگلی در سال 1929 جایزه نوبل فیزیک را برای شناسایی امواج با ذرات دریافت کرد.

در سال 1923 لویی دو بروگلی به این سوال پرداخت که آیا همه ذرات می توانند هم موجی و هم ماهیت ذره ای مشابه فوتون داشته باشند. تفاوت فوتون ها با بسیاری از ذرات دیگر این است که بدون جرم هستند و با سرعت نور حرکت می کنند. به طور خاص، دو بروگلی این سوال را مطرح کرد که آیا ذره‌ای که هم موج دارد و هم ذره مرتبط با آن، با دو مشارکت بزرگ انیشتین در سال 1905، یعنی نظریه نسبیت خاص و کوانتیزه شدن انرژی و تکانه مطابقت دارد؟ جواب مثبت معلوم شد. ماهیت موجی و ذره ای الکترون ها به طور تجربی در سال 1927، دو سال پس از کشف معادله شرودینگر، مشاهده شد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی