3-فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و پنجم آبان ۱۴۰۲ | 15:11

زیر مجموعه ها و دنباله ها [ ویرایش ]

اجازه دهیدم $م$ یک فضای برداری توپولوژیکی متریک پذیر محلی محدب قابل جدازی باشد و اجازه دهید $سی$ تکمیل آن باشد. اگر $اس$ یک زیر مجموعه محدود از $سی$ سپس یک زیر مجموعه محدود وجود داردآر $آر$ از $ایکس$ به طوری کهاسسی⁡آر. $S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.$ [41]
هر زیر مجموعه کاملاً محدود از یک TV متریزاسیون محدب محلی $ایکس$ در بدنه متعادل محدب بسته از تعدادی دنباله در وجود دارد $ایکس$ که همگرا می شود. $0.$
در TV های شبه سنجی، هر مولدخوار محله ای از شاء است. [42]
اگرد $د$ یک متریک ثابت ترجمه در یک فضای برداری است، $ایکس،$ سپس $d(nx,0)\leq nd(x,0)$ برای همه∈ $x\در X$ و هر عدد صحیح مثبت. $n$ [43]
اگر $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ یک دنباله تهی است (یعنی به مبدأ همگرا می شود) در یک TVS قابل اندازه گیری پس یک دنباله وجود دارد $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی مثبت واگرا به $\کوچک$ به طوری که. $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.$ [43]
زیر مجموعه ای از یک فضای متریک کامل بسته می شود اگر و فقط اگر کامل باشد. اگر یک فضای $ایکس$ پس کامل نیست $ایکس$ زیر مجموعه ای بسته از $ایکس$ که کامل نیست
اگر $ایکس$ یک TVS محدب محلی قابل متریک پذیر شدن برای هر زیر مجموعه محدود اس $ب$ از، $ایکس،$ یک دیسک محدود وجود دارد $D$ که در $ایکس$ به طوری که $B\subsetq X_{D},$ و هر دو $ایکس$ و فضای هنجار کمکی $X_{D}$ همان توپولوژی زیرفضا را القا کنید $ب.$ [44]

قضیه باناخ-ساک [45] - اگر $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ دنباله ای در یک TV متریزیون محدب محلی است $(X, \tau)$ که ضعیف به برخی همگرا می شود $x\in X,$ سپس یک دنباله وجود دارد∙= $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ که در $ایکس$ به طوری که∙ $y_{\bullet }\to x$ که در $(X, \tau)$ و هر کدام $y_{i}$ ترکیبی محدب از تعداد محدودی است. $x_{n}.$

شرط شمارش پذیری مکی [14] - فرض کنید که $ایکس$ یک TV متریزاسیون محدب محلی است و این $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ دنباله ای قابل شمارش از زیر مجموعه های محدود شده است. $ایکس.$ سپس یک زیر مجموعه محدود وجود دارد $ب$ از $ایکس$ و یک دنباله $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی مثبت به طوری کهب $B_{i}\subseteq r_{i}B$ برای همه. $من.$

سریال تعمیم یته

همانطور که در بخش این مقاله در مورد سری های تعمیم یته ، برای هر توضیح داده شده است $من$ - خانواده خانواده شاخص $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ بردارها از یک TVS، $ایکس،$ می توان مجموع آنها را تعریف کرد $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ به عنوان حد خالص مجموع جزئی محدود∈زیر مجموعه های محدود⁡ $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}$ جایی که داهزیر مجموعه های محدود⁡() $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ توسط $\,\subsetq .\,$ اگر=ن $I=\mathbb {N}$ و $X=\mathbb {R}،$ به عنوان مثال، سپس سری تعمیم $\textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}$ اگر و فقط اگر همگرا می شودن $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ بدون قید و شرط به معنای معمول همگرا می شود (که برای اعداد حقیقی معادل همگرایی مطلق است ). اگر سریال تعمیم یته است $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ در یک TVS قابل اندازه گیری همگرا می شود، سپس مجموعه $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ لزوماً قابل شمارش است (یعنی متناهی یا نامتناهی قابل شمارش ). [اثبات 1] به عبارت دیگر، همه، اما حداکثر قابل شمارش $r_{i}$ صفر خواهد بود و بنابراین این سری تعمیم است $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_ {من}$ در واقع مجموع بسیاری از عبارات غیر صفر است.

نقشه های خطی [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ یک TVS قابل لی است وآ $آ$ نقشه های محدود زیر مجموعه از $ایکس$ به زیر مجموعه های محدود شده از، $Y،$ سپس $آ$ پیوسته است. [14] توابع خطی ناپیوسته در هر TV شبه سنجی بی بعدی وجود دارد. [46] بنابراین، یک TVS لی سنجیبعدی محدود است اگر و تنها در صور که فضای دوگانه پیوسته آن برابر با فضای دوگانه جبری آن باشد . [46]

اگر:→ $F:X\to Y$ یک نقشه خطی بین TVS ها و $ایکس$ قابل متریز شدن است پس موارد زیر معادل هستند:

$اف$ پیوسته است؛
$اف$ یک نقشه محدود (محلی) است (یعنی $اف$ نقشه ها (فون نیو) زیر مجموعه های محدود شده از $ایکس$ به زیر مجموعه های محدود شده از $Y$ ) [12]
$اف$ به صورت متوالی پیوسته است . [12]
تصویر زیر $اف$ از هر دنباله تهی در $ایکس$ یک مجموعه محدود [12] است که طبق تعریف، دنباله تهی دنباله ای است که به مبدأ همگرا می شود.
$اف$ توالی های پوچ را به دنباله های پوچ نگاشت می کند.

نقشه های باز و تقریباً باز

قضیه : اگر $ایکس$ یک TV کامل شبه سنجی است، $Y$ هاسدورف TVS است و $T:X\to Y$ پس یک سورجکشن خطی بسته و تقریباً باز است $تی$ یک نقشه باز است [47]

قضیه : اگر $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سطحی از یک فضای محدب محلی است $ایکس$ روی یک فضای بشکه ای $Y$ (مثلاً هر فضای لی سنجی کامل بشکه می شود) سپس $تی$ تقریبا باز است [47]

قضیه : اگر $T:X\to Y$ یک عملگر خطی سوجکو از یک TVS است $ایکس$ روی فضای بیر $Y$ سپس $تی$ تقریبا باز است [47]

قضیه : فرض کنید $T:X\to Y$ یک عملگر خطی پیوسته از یک TVS قابل لی کامل است $ایکس$ به هاسدورف TVS. $Y.$ اگر تصویر از $تی$ در غیر ناچیز است $Y$ سپس $T:X\to Y$ یک نقشه باز سوجکتیو است و $Y$ یک فضای متریزاسیون کامل است. [47]

ویژگی پسوند Hahn-Banach [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه هان-باناخ

یک زیرفضای برداریم $م$ از یک TVS $ایکس$ اگر تابع خطی پیوسته روشن باشد، دارای خاصیت گسترش است $م$ را می توان به یک تابع خطی پیوسته در گسترش داد. $ایکس.$ [22] بگویید که یک TVS $ایکس$ دارای ویژگی پسوند هان-باناخ ( HBEP ) است اگر هر زیرفضای برداری از $ایکس$ دارای ویژگی پسوند است. [22]

قضیه هان-باناخ تضمین می کند که هر فضای محدب محلی هاسدورف دارای HBEP است. برای TV‌های متریک پذیر‌پذیر کامل یک عکس وجود دارد:

قضیه (کالتون) - هر TV متریک پذیر شدنی کامل با ویژگی پسوند هان-باناخ به صورت محلی محدب است. [22]

اگر فضای برداری $ایکس$ دارای ابعاد غیرقابل شمارش است و اگر بهترین توپولوژی برداری را به آن اختصاص دهیم ، این یک TVS با HBEP است که نه به صورت محلی محدب است و نه متریک پذیر شدنی. [22]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هنجار نامتقارن - تعمیم مفهوم هنجار
فضای متریک کامل - هندسه متریک
فضای برداری توپولوژیکی کامل - TV که در آن نقاطی که به تدریج به یکدیگر نزدیکتر می شوند همیشه به یک نقطه همگرا می شوند.
معادل سازی معیارها
فضای F – فضای برداری توپولوژیکی با متریک کامل ترجمه ثابت
فضای Fréchet - یک فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی که همچنین یک فضای متریک کامل است
متریک تعمیم یته - هندسه متریک
فضای K (تحلیل عملکردی)
فضای برداری توپولوژیکی محدب محلی - فضای برداری با توپولوژی تعریف شده توسط مجموعه های باز محدب
فضای متریک - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
فضای شبه سنجی - تعمیم فضاهای متریک در ریاضیات
رابطه هنجارها و معیارها - فضای ریاضی با مفهوم فاصله
Seminorm - تابع غیرفی-حقیقی در فضای برداری حقیقی یا مختلط که نابرابری مثلث را برآورده می کند و کاملاً همگن است.
تابع زیرخطی
فضای یکنواخت - فضای توپولوژیکی با مفهوم خصوصیات یکنواخت
قضیه اورسسکو - تعمیم گر بسته، نگاشت باز و قضیه کرانه یکنواخت

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی