3-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:17

بیان صریح [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان را می توان به صراحت به صورت نوشتاری نوشت

$H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{ {\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\ text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n -1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1} &{\text{برای فرد }}n.\end{موارد}}$

این دو معادله را می توان با استفاده از تابع کف ترکیب کرد :

$H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.$

چندجمله‌ای‌های هرمیت احتمال‌شناس او فرمول‌های مشابهی دارند که می‌توان از این فرمول‌ها با جایگزین کردن توان 2 x با توان متناظر √ 2  x و ضرب کل مجموع در 2 - به دست آمد.n/2:

$He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1) ^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.$

عبارت صریح معکوس [ ویرایش ]

معکوس عبارات صریح فوق، یعنی آنهایی که برای تک جمله‌ها بر حسب چندجمله‌ای هرمیتی احتمال گرایان هستند .

$x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{ m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).$

عبارات مربوط به چندجمله‌ای هرمیت H فیزیکدان به‌طور مستقیم با مقیاس‌بندی مناسب این فیزیک‌دان دنبال می‌شوند: [6]

$x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\راست \rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).$

تابع تولید [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت با تابع مولد نمایی به دست می آیند

${\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He }}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}،\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{ \infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{تراز شده}}$

این برابری برای همه مقادیر مختلط x و t معتبر است و می‌توان آن را با نوشتن بسط تیلور در x کل تابع z → e - z 2 (در مورد فیزیکدان) به دست آورد. همچنین می توان تابع مولد (فیزیکدان) را با استفاده از فرمول انتگرال کوشی برای نوشتن چندجمله ای های هرمیت به صورت استخراج کرد.

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{- x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e ^{-z^{2}}}{(zx)^{n+1}}}\,dz.$

با استفاده از این در مجموع

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}،$

می توان انتگرال باقیمانده را با استفاده از حساب باقیمانده ارزیابی کرد و به تابع مولد مورد نظر رسید.

مقادیر مورد انتظار [ ویرایش ]

اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال با انحراف معیار 1 و مقدار مورد انتظار μ باشد ، آنگاه

$\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.$

ممان های نرمال استاندارد (با مقدار مورد انتظار صفر) ممکن است مستقیماً از رابطه برای شاخص های زوج خوانده شوند:

$\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n- 1)!!،$

کجا (2 n − 1)!! فاکتوریل دوگانه است . توجه داشته باشید که عبارت فوق یک مورد خاص از نمایش چندجمله ای های هرمیت احتمال گرا به صورت ممان است:

${\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+ iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.$

بسط مجانبی [ ویرایش ]

بطور مجانبی، به صورت n → ∞ ، بسط [7]

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi } }}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )$

صادق است. برای موارد خاصی که در مورد طیف وسیع تری از ارزیابی هستند، لازم است عاملی برای تغییر دامنه در نظر گرفته شود:

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi } }}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n) }{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right )\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}،$

که با استفاده از تقریب استرلینگ ، می توان آن را در حد، ساده تر کرد

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\راست)^ {\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1 -{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.$

این بسط برای حل تابع موج یک نوسانگر هارمونیک کوانتومی به گونه‌ای مورد نیاز است که با تقریب کلاسیک در حد اصل مطابقت مطابقت داشته باشد .

یک تقریب بهتر، که تغییرات فرکانس را به حساب می‌آورد، توسط

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\راست)^ {\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\ frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}} }.$

یک تقریب دقیق‌تر، [8] که فاصله ناهموار صفرهای نزدیک لبه‌ها را در نظر می‌گیرد، از جایگزینی استفاده می‌کند.

$x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,$

که با آن یک تقریب یکنواخت دارد

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac { 1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{ 2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4} }\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).$

تقریب های مشابهی برای مناطق یکنواخت و گذار وجود دارد. به طور خاص، اگر

$x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,$

سپس

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac { 3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{ 2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right )}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),$

در حالی که برای

$x={\sqrt {2n+1}}+t$

با t مختلط و محدود، تقریب است

$e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\ frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{ 3}}\راست)\راست)،$

که در آن Ai تابع هوای نوع اول است .

مقادیر ویژه [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت فیزیکدانی که در آرگومان صفر H n (0) ارزیابی شده اند، اعداد هرمیت نامیده می شوند .

$H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1) !!&{\text{برای حتی }}n،\end{موارد}}$

که رابطه بازگشتی H n (0) = -2 ( n - 1) H n - 2 (0) را برآورده می کند .

از نظر چندجمله ای های احتمال گرا، این به معنی است

$He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1) !!&{\text{برای حتی }}n.\end{موارد}}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

3-چند جمله ای هرمیت

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین