ریاضیات

نرمال سازی تابع موج برای یک پتانسیل مثلثی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 23:29

برای فرض یک چاه انرژی مثلثی، تابع موج تقریباً به صورت داده شده است (به بخش 3.6.1 مراجعه کنید ).

$\displaystyle \Psi(x) = A \ensuremath{\mathrm{Ai}}(u(x)) \ ,$

(ج. 1 )

با

$\displaystyle u(x) = - \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{1/3} \left( \frac{x_1 - x_0}{W_1 - W_0} \راست) ^{2/3} \left({\mathcal{E}}- W(x) \right) \ .$

(ج. 2 )

مربع تابع موج یک احتمال است، بنابراین نرمال سازی را می توان به صورت [ 156 ] نوشت.

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^\infty \vert\Psi(u(x)... ...h {\mathrm{d}}x &=& \displaystyle \ frac{1}{A^2} \ , \end{array}\end{displaymath}$

(ج 3 )

که در آن یک مانع بی نهایت برای . با ، و میدان الکتریکی

$\displaystyle E = \frac{W_1}{\ensuremath {\mathrm{q}}x_1} \ ,$

(ج. 4 )

انتگرال می شود

$\displaystyle \int_0^\infty \ensuremath{\mathrm{Ai}}^2 \left( \left( \frac{2m\e... ...h {\mathrm{q}}E}\right) \right) \,\ensuremath {\mathrm{d}}x = \frac{1}{A^2} \ .$

(ج 5 )

جایگزین کردن

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \lambda(x) &=& \displaystyle\left( \frac{2... ...}{\hbar^2} \right)^{1/ 3}\,\ensuremath {\mathrm{d}}x \end{array}\end{displaymath}$

(ج 6 )

بازده - ضرب

$\displaystyle \left( \frac{\hbar^2}{2m\ensuremath {\mathrm{q}}E} \right)^{1/3} ... ...hrm{Ai}}^2( \lambda(x)) \,\ensuremath {\mathrm{d}}\lambda(x) = \frac{1}{A^2} \ .$

(ج 7 )

با استفاده از عبارت [ 157 ]

$\displaystyle \int_z^\infty \ensuremath{\mathrm{Ai}}^2(x) \,\ensuremath {\mathrm{d}}x = -z \ensuremath{\mathrm{Ai}}^2(z ) + \ensuremath{\mathrm{Ai'}}^2(z)$

(ج 8 )

و ثابت نرمال سازی می شود $\lambda(0) = \lambda_0$

$\displaystyle A = \left( \frac{\left(\displaystyle \frac{2m\ensuremath {\mathrm... ...(\lambda_0) - \lambda_0 \ensuremath{\mathrm{Ai}}^2( \lambda_0)}\right)^{1/2} \ .$

(ج 9 )

https://www.iue.tuwien.ac.at/phd/gehring/node116.html

در ثابت نرمال سازی A:ذره ای به جرم m را در یک چاه پتانسیل با عمق محدود V 0 در نظر بگیرید

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 20:23

V(x) = V 0 , |x| > الف = 0; |x| < یک در ثابت نرمال سازی A بر حسب α، β

از ترکیب (1) و (2) به دست می آید

برای معادله کلاین - گوردون عباراتی برای چگالی احتمال و جریان بدست می آید. اهمیت نتیجه را توضیح دهید.

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 20:15

در واحدهای طبیعی (ℏ = c = 1) معادله کلاین – گوردون است

منبع

https://www.sarthaks.com/444923/for-klein-gordon-equation-obtain-expressions-for-probability-density-and-current

مثال شار تابع موج

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 20:5

شار ذرات نشان داده شده با تابع موج ψ(x) = A e^ikx + Be^−ikx را بیابید. -

استاندارد سازی تابع موج ψ(x) = N/(x^2 + a^2) (نرمال سازی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 19:30

بهترین جواب شرایط استاندارد سازی است

If ψ(x) = N/(x^2 + a^2), calculate the normalization constant N. - Sarthaks eConnect | Largest Online Education Community

1-مثال استاندارد سازی تابع موج

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 19:24

What is the meaning of normalization in quantum mechanics? - Quora

تقاطع تونل ابررسانا

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه دهم تیر ۱۴۰۲ | 0:5

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

اتصال تونل ابررسانا ( STJ ) - همچنین به عنوان اتصال تونل ابررسانا-عایق- ابررسانا ( SIS ) شناخته می شود - یک دستگاه الکترونیکی متشکل از دو ابر رسانا است که توسط یک لایه بسیار نازک از مواد عایق از هم جدا شده اند. جریان از طریق فرآیند تونل زنی کوانتومی از محل اتصال عبور می کند . STJ نوعی از اتصال جوزفسون است ، اگرچه تمام ویژگی های STJ توسط اثر جوزفسون توصیف نمی شود.

این دستگاه ها دارای طیف گسترده ای از کاربردها هستند، از جمله آشکارسازهای با حساسیت تابش الکترومغناطیسی ، مغناطیس سنج ها ، عناصر مدار دیجیتال با سرعت بالا و مدارهای محاسباتی کوانتومی .

تونل کوانتومی [ ویرایش ]

تصویری از پیوند تونلی ابررسانا با لایه نازک (STJ). ماده ابررسانا آبی روشن، مانع تونل عایق سیاه و زیرلایه سبز است.

نمودار انرژی یک اتصال تونل ابررسانا. محور عمودی انرژی است و محور افقی چگالی حالت ها را نشان می دهد . جفت های کوپر در انرژی فرمی وجود دارند که با خطوط چین نشان داده می شوند. یک ولتاژ بایاس V در سراسر محل اتصال اعمال می شود و انرژی فرمی دو ابررسانا را نسبت به یکدیگر با انرژی eV تغییر می دهد، جایی که e بار الکترون است . حالت های شبه ذره ای برای انرژی های بیشتر از Δ از انرژی فرمی وجود دارد که Δ شکاف انرژی ابررسانا است. سبز و آبی به ترتیب حالت های شبه ذرات خالی و پر را در دمای صفر نشان می دهند.

طرحی از منحنی جریان-ولتاژ (IV) یک اتصال تونل ابررسانا. جریان تونل زنی جفت کوپر در V = 0 مشاهده می شود، در حالی که جریان تونل سازی شبه ذره برای V> 2Δ/e و V <-2Δ/e دیده می شود.

تمام جریان هایی که از STJ می گذرند از طریق فرآیند تونل زنی کوانتومی از لایه عایق عبور می کنند . دو جزء برای جریان تونل وجود دارد. اولین مورد از تونل زنی جفت کوپر است . این ابرجریان توسط روابط جوزفسون ac و dc توصیف می‌شود که اولین بار توسط برایان دیوید جوزفسون در سال 1962 پیش‌بینی شد . [1] برای این پیش‌بینی، جوزفسون جایزه نوبل فیزیک را در سال 1973 دریافت کرد. دمای صفر، وقتی انرژی ناشی از ولتاژ بایاس ایجاد می شوده� $eV$ بیش از دو برابر مقدار شکاف انرژی ابررسانا Δ است. در دمای محدود، یک جریان تونلی شبه ذره کوچک - به نام جریان زیر شکاف - حتی برای ولتاژهای کمتر از دو برابر شکاف انرژی به دلیل ارتقای حرارتی شبه ذرات بالای شکاف وجود دارد.

اگر STJ با فوتون های فرکانس تابش شود� $f$ منحنی جریان-ولتاژ dc هم مراحل و هم مراحل شاپیرو را به دلیل تونل زنی به کمک فوتون نشان می دهد. گام های شاپیرو از پاسخ ابرجریان به وجود می آیند و در ولتاژهای برابر با�ساعت�/(2ه) $nhf/(2e)$ ، جایی کهساعت $ساعت$ ثابت پلانک است ،ه $ه$ بار الکترون است و� $n$ یک عدد صحیح است . [2] تونل زنی به کمک فوتون از پاسخ شبه ذرات ناشی می شود و باعث ایجاد پله هایی می شود که در ولتاژ جابجا شده اند.�ساعت�/ه $nhf/e$ نسبت به ولتاژ شکاف [3]

ساخت دستگاه [ ویرایش ]

این دستگاه معمولاً با قرار دادن یک لایه نازک از یک فلز ابررسانا مانند آلومینیوم بر روی یک بستر عایق مانند سیلیکون ساخته می شود . رسوب گذاری در داخل یک محفظه خلاء انجام می شود . سپس گاز اکسیژن وارد محفظه می شود و در نتیجه یک لایه عایق از اکسید آلومینیوم (Al) تشکیل می شود.2 $_{2}$ O3 $_{3}$ ) با ضخامت معمولی چند نانومتر . پس از بازیابی خلاء، یک لایه همپوشانی از فلز ابررسانا رسوب می‌کند و STJ را تکمیل می‌کند. برای ایجاد یک منطقه همپوشانی کاملاً تعریف شده، معمولاً از روشی به نام تکنیک نیمایر-دولان استفاده می شود. این تکنیک از یک پل معلق مقاومت با رسوب دو زاویه ای برای تعیین محل اتصال استفاده می کند.

آلومینیوم به طور گسترده برای ایجاد اتصالات تونل های ابررسانا استفاده می شود، زیرا توانایی منحصر به فرد آن در تشکیل یک لایه اکسید عایق بسیار نازک (2 تا 3 نانومتر) بدون هیچ نقصی که لایه عایق را اتصال کوتاه می کند ، می باشد. دمای بحرانی ابررسانا آلومینیوم تقریباً 1.2 کلوین (K) است. برای بسیاری از کاربردها، داشتن دستگاهی که در دمای بالاتر، به ویژه در دمای بالاتر از نقطه جوش هلیوم مایع ، که در فشار اتمسفر 4.2 کلوین است، ابررسانا باشد، راحت است. یک رویکرد برای دستیابی به این هدف استفاده از نیوبیوم استکه دارای دمای بحرانی ابررسانا به شکل توده ای 9.3 کلوین است. نیوبیم، اکسیدی را تشکیل نمی دهد که برای ایجاد اتصالات تونلی مناسب باشد. برای تشکیل یک اکسید عایق، اولین لایه نیوبیوم را می توان با یک لایه بسیار نازک (تقریباً 5 نانومتر) آلومینیوم پوشاند، که سپس اکسیده می شود تا مانع تونل اکسید آلومینیوم با کیفیت بالا قبل از رسوب لایه نهایی نیوبیم شود. لایه نازک آلومینیوم توسط نیوبیوم ضخیم تر نزدیک شده است، و دستگاه حاصل دارای دمای بحرانی ابررسانا بالای 4.2 K است . [5] سرب دارای دمای بحرانی ابررسانا 7.2 کلوین به صورت توده است، اما اکسید سرب تمایل به ایجاد عیوب دارد (گاهی اوقات نقص سوراخ سوزنی نامیده می شود) که وقتی دستگاه به صورت حرارتی بین دماهای برودتی و دمای اتاق قرار می گیرد، مانع تونل را اتصال کوتاه می کند، بنابراین سرب دیگر وجود ندارد . به طور گسترده برای ساخت STJ استفاده می شود.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نجوم رادیویی [ ویرایش ]

STJ ها حساس ترین گیرنده های هتروداین در محدوده فرکانس 100 گیگاهرتز تا 1000 گیگاهرتز هستند و از این رو برای نجوم رادیویی در این فرکانس ها استفاده می شوند. [6] در این برنامه، STJ در ولتاژی درست زیر ولتاژ شکاف بایاس dc است (|�|=2Δ/ه $|V|=2\Delta /e$ ). یک سیگنال فرکانس بالا از یک شی نجومی مورد علاقه به همراه یک منبع نوسانگر محلی بر روی STJ متمرکز می شود . فوتون های جذب شده توسط STJ به شبه ذرات اجازه می دهند تا از طریق فرآیند تونل زنی به کمک فوتون تونل بزنند. این تونل زنی به کمک فوتون، منحنی جریان-ولتاژ را تغییر می دهد و یک غیرخطی ایجاد می کند که خروجی را در فرکانس اختلاف سیگنال نجومی و نوسانگر محلی ایجاد می کند. این خروجی یک نسخه تبدیل فرکانس پایین سیگنال نجومی است. [7] این گیرنده ها آنقدر حساس هستند که توصیف دقیق عملکرد دستگاه باید اثرات نویز کوانتومی را در نظر بگیرد . [8]

تشخیص تک فوتون [ ویرایش ]

علاوه بر تشخیص هترودین ، STJها می توانند به عنوان آشکارسازهای مستقیم نیز استفاده شوند. در این کاربرد، STJ با ولتاژ dc کمتر از ولتاژ شکاف بایاس می شود. فوتون جذب شده در ابررسانا جفت های کوپر را می شکند و شبه ذرات ایجاد می کند . تونل شبه ذرات در سراسر اتصال در جهت ولتاژ اعمال شده، و جریان تونل زنی حاصل با انرژی فوتون متناسب است. دستگاه های STJ به عنوان آشکارسازهای تک فوتونی برای فرکانس های فوتون از اشعه ایکس تا مادون قرمز استفاده شده اند . [9]

ماهی مرکب [ ویرایش ]

دستگاه تداخل کوانتومی ابررسانا یا SQUID بر اساس یک حلقه ابررسانا حاوی اتصالات جوزفسون است. SQUID ها حساس ترین مغناطیس سنج های جهان هستند که قادر به اندازه گیری یک کوانتوم شار مغناطیسی هستند .

محاسبات کوانتومی [ ویرایش ]

محاسبات کوانتومی ابررسانا از مدارهای مبتنی بر STJ از جمله کیوبیت های شارژ ، کیوبیت های شار و کیوبیت های فاز استفاده می کند .

RSFQ [ ویرایش ]

STJ عنصر فعال اولیه در مدارهای منطقی سریع کوانتومی تک شار سریع یا RSFQ است. [10]

استاندارد ولتاژ جوزفسون [ ویرایش ]

هنگامی که یک جریان فرکانس بالا به یک اتصال جوزفسون اعمال می شود، جریان AC جوزفسون با فرکانس اعمال شده هماهنگ می شود و باعث ایجاد مناطقی با ولتاژ ثابت در منحنی IV دستگاه می شود (مراحل شاپیرو). به منظور استانداردهای ولتاژ، این مراحل در ولتاژها اتفاق می افتد��/کجی $nf/K_{{J}}$ جایی که� $n$ یک عدد صحیح است،� $f$ فرکانس اعمال شده و ثابت جوزفسون است کجی=483597.9گیگاهرتز/V $K_{J}=483597.9\,{\textrm {GHz}}/{\textrm {V}}$ یک ثابت تعریف شده بین المللی است که اساساً برابر است2ه/ساعت $2e/h$ . این مراحل یک تبدیل دقیق از فرکانس به ولتاژ را فراهم می کند. از آنجایی که فرکانس را می توان با دقت بسیار بالایی اندازه گیری کرد، این اثر به عنوان مبنای استاندارد ولتاژ جوزفسون استفاده می شود که تعریف بین المللی ولت " متعارف " را اجرا می کند. [11] [12]

دیود جوزفسون [ ویرایش ]

در صورتی که STJ تونل زنی نامتقارن جوزفسون را نشان دهد، محل اتصال می تواند به دیود جوزفسون تبدیل شود . [13]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Superconducting_tunnel_junction

3-تونل زنی کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 22:16

بحث ریاضی [ ویرایش ]

تونل زنی کوانتومی از طریق یک مانع انرژی ذره تونل شده یکسان است اما دامنه احتمال کاهش می یابد.

معادله شرودینگر [ ویرایش ]

معادله شرودینگر مستقل از زمان برای یک ذره در یک بعد می تواند به صورت نوشته شود

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi ( x)=E\Psi (x)$

یا

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)- E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)،$

جایی که

$\hbar$ ثابت پلانک کاهش یافته است ،
m جرم ذره است،
x نشان دهنده فاصله اندازه گیری شده در جهت حرکت ذره است،
Ψ تابع موج شرودینگر است،
V انرژی پتانسیل ذره است (نسبت به هر سطح مرجع مناسب اندازه گیری می شود)
E انرژی ذره ای است که با حرکت در محور x مرتبط است (نسبت به V اندازه گیری می شود ).
M ( x ) کمیتی است که با V ( x ) - E تعریف شده است که در فیزیک نام پذیرفته شده ای ندارد.

جواب های معادله شرودینگر برای مقادیر مختلف x ، بسته به مثبت یا منفی بودن M ( x ) اشکال متفاوتی دارند. هنگامی که M ( x ) ثابت و منفی است، می توان معادله شرودینگر را به شکل نوشت

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x )=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.$

جواب های این معادله نشان دهنده امواج متحرک با فاز ثابت + k یا - k هستند . از طرف دیگر، اگر M ( x ) ثابت و مثبت باشد، معادله شرودینگر را می توان به شکل نوشتاری

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x )={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad {\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}} }M.$

راه حل های این معادله افزایش و کاهش نمایی به صورت امواج فزاینده است . وقتی M ( x ) با موقعیت تغییر می کند، بسته به منفی یا مثبت بودن M(x) همان تفاوت در رفتار رخ می دهد. نتیجه این است که علامت M ( x ) ماهیت محیط را تعیین می کند، با M(x) منفی مربوط به محیط A و M ( x ) مثبت مربوط به محیط B است. بنابراین نتیجه می شود که جفت شدن موج فزاینده می تواند اتفاق بیفتد اگر یک ناحیه وجود داشته باشد. M ( x ) مثبت بین دو ناحیه M منفی قرار می گیرد و از این رو یک مانع بالقوه ایجاد می کند.

ریاضیات برخورد با موقعیتی که در آن M ( x ) با x تغییر می کند دشوار است، مگر در موارد خاص که معمولاً با واقعیت فیزیکی مطابقت ندارد. یک درمان کامل ریاضی در تک نگاری فرومن و فرومن در سال 1965 آمده است. ایده های آنها در کتاب های درسی فیزیک گنجانده نشده است، اما تصحیحات آنها تأثیر کمی دارد.

تقریب WKB [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تقریب WKB

تابع موج به صورت نمایی یک تابع بیان می شود:

$\Psi (x)=e^{\Phi (x)}،$

جایی که

$\Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).$

$\Phi'(x)$ سپس به دو بخش حقیقی و خیالی تقسیم می شود:

$\Phi '(x)=A(x)+iB(x),$

که در آن A ( x ) و B ( x ) توابع با ارزش واقعی هستند.

جایگزینی معادله دوم به معادله اول و استفاده از این واقعیت که قسمت واقعی باید 0 باشد، نتیجه می شود:

$A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)- E\راست).$

0:11

تونل زنی کوانتومی در فرمول فضای فازی مکانیک کوانتومی. عملکرد ویگنر برای تونل زدن از طریق مانع بالقوه $U(x)=8e^{-0.25x^{2}}$ در واحدهای اتمی (au). خطوط یکپارچه نشان دهنده مجموعه سطح همیلتونی است $H(x,p) = p^2 / 2 + U(x)$ .

برای حل این معادله با استفاده از تقریب نیمه کلاسیک، هر تابع باید به عنوان یک سری توانی در $\hbar$ . از معادلات، سری توان باید حداقل با یک مرتبه شروع شود $\hbar^{-1}$ برای ارضای بخش واقعی معادله؛ برای یک حد کلاسیک خوب که با بالاترین توان ثابت پلانک شروع می شود ترجیح داده می شود که منجر به

$A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)$

$B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x)،$

با محدودیت های زیر در پایین ترین شرایط،

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0.$

در این مرحله دو حالت شدید را می توان در نظر گرفت.

مورد 1

اگر دامنه در مقایسه با فاز به کندی تغییر کند $A_0(x) = 0$ و

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}$

که با حرکت کلاسیک مطابقت دارد. حل کردن ترتیب بعدی بازدهی توسعه

$\Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right )}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(EV(x)\right)}}}$

مورد 2

اگر فاز در مقایسه با دامنه به کندی تغییر کند، $B_0 (x) = 0$ و

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}$

که مربوط به تونل زنی است. حل کردن ترتیب بعدی بازدهی توسعه

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x )-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ راست)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}$

در هر دو مورد، از مخرج آشکار است که هر دو این راه حل تقریبی در نزدیکی نقاط عطف کلاسیک بد هستند. $E = V(x)$ . دور از تپه بالقوه، ذره شبیه به یک موج آزاد و نوسانی عمل می کند. در زیر تپه بالقوه، ذره دستخوش تغییرات نمایی در دامنه می شود. با در نظر گرفتن رفتار در این محدوده ها و نقاط عطف کلاسیک می توان یک راه حل جهانی ایجاد کرد.

برای شروع، یک نقطه عطف کلاسیک،ایکس1 $x_{1}$ انتخاب شده است و $\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)$ در یک سری قدرت در مورد گسترش یافته است $x_{1}$ :

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x -x_{1})^{2}+\cdots$

حفظ فقط عبارت مرتبه اول خطی بودن را تضمین می کند:

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).$

با استفاده از این تقریب، معادله نزدیک است $x_{1}$ تبدیل به یک معادله دیفرانسیل می شود :

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).$

این را می توان با استفاده از توابع Airy به عنوان راه حل حل کرد.

$\Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\ چپ({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\راست)$

با در نظر گرفتن این راه حل ها برای تمام نقاط عطف کلاسیک، یک راه حل جهانی می تواند تشکیل شود که راه حل های محدود کننده را به هم پیوند می دهد. با توجه به دو ضریب در یک طرف یک نقطه عطف کلاسیک، دو ضریب در طرف دیگر یک نقطه عطف کلاسیک را می توان با استفاده از این راه حل محلی برای اتصال آنها تعیین کرد.

از این رو، راه حل های تابع Airy به توابع سینوس، کسینوس و نمایی در حدود مناسب مجانبی خواهند بود. روابط بینسی، $سی، تتا$ و $C_{+}،C_{-}$ هستند

$C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$

تونل زنی کوانتومی از طریق یک مانع در مبدا ( x = 0)، یک مانع بالقوه بسیار بالا، اما باریک وجود دارد. اثر تونل زنی قابل توجهی را می توان مشاهده کرد.

$C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}$

با ضرایب یافت شده می توان راه حل کلی را پیدا کرد. بنابراین، ضریب انتقال برای یک تونل ذرات از طریق یک مانع پتانسیل منفرد است

$T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\ چپ[V(x)-E\right]}}}،$

جایی کهایکس1،ایکس2 $x_1، x_2$ دو نقطه عطف کلاسیک برای مانع بالقوه هستند.

برای یک مانع مستطیلی، این عبارت ساده می شود:

$T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{ 1})}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_tunnelling

2-تونل زنی کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 22:5

پدیده های مرتبط [ ویرایش ]

چندین پدیده رفتاری مشابه تونل زنی کوانتومی دارند و می توان آنها را با تونل زنی به دقت توصیف کرد. مثال‌ها عبارتند از: تونل‌سازی یک ارتباط کلاسیک موج-ذره، [24] جفت شدن موج فزاینده (کاربرد معادله موج ماکسول برای نور ) و استفاده از معادله موج غیر پراکنده از آکوستیک اعمال شده به "امواج روی رشته‌ها" . تا همین اواخر، کوپلینگ موج فزاینده تنها در مکانیک کوانتومی "تونل زنی" نامیده می شد. اکنون در زمینه های دیگر استفاده می شود.

این اثرات به طور مشابه با مانع پتانسیل مستطیلی مدل سازی شده اند . در این موارد، یک رسانه انتقال که از طریق آن موج از طریق آن منتشر می شود که در سراسر آن یکسان یا تقریباً یکسان است، و رسانه دوم که موج از طریق آن به طور متفاوتی حرکت می کند. این را می توان به عنوان یک منطقه نازک از محیط B بین دو ناحیه از محیط A توصیف کرد. تجزیه و تحلیل یک مانع مستطیلی با استفاده از معادله شرودینگر را می توان با این اثرات دیگر تطبیق داد، مشروط بر اینکه معادله موج دارای راه حل های موج سیار در محیط A باشد اما راه حل های نمایی واقعی در محیط B.

در اپتیک ، محیط A خلاء است در حالی که محیط B شیشه است. در آکوستیک، محیط A ممکن است مایع یا گاز و محیط B جامد باشد. برای هر دو مورد، محیط A ناحیه ای از فضا است که انرژی کل ذره بیشتر از انرژی پتانسیل آن است و محیط B مانع پتانسیل است. اینها یک موج ورودی و امواج حاصل در هر دو جهت دارند. ممکن است رسانه ها و موانع بیشتری وجود داشته باشد و نیازی نیست که موانع مجزا باشند. تقریب ها در این مورد مفید هستند.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

تونل زنی علت برخی از پدیده های فیزیکی مهم ماکروسکوپی است. تونل زنی کوانتومی پیامدهای مهمی بر عملکرد نانوتکنولوژی دارد . [25]

الکترونیک [ ویرایش ]

تونل‌سازی منبع نشت جریان در الکترونیک یکپارچه‌سازی در مقیاس بسیار بزرگ (VLSI) است و منجر به تخلیه قابل‌توجه نیرو و اثرات گرمایشی می‌شود که چنین دستگاه‌هایی را آزار می‌دهد. این حد پایین تر در مورد چگونگی ساخت عناصر دستگاه میکروالکترونیک در نظر گرفته می شود. [26] تونل زنی یک تکنیک اساسی است که برای برنامه ریزی دروازه های شناور حافظه فلش استفاده می شود .

انتشار سرد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دستگاه های نیمه هادی

نشر سرد الکترون‌ها به نیمه‌رساناها و فیزیک ابررساناها مرتبط است . این شبیه به گسیل ترمیونی است، که در آن الکترون ها به طور تصادفی از سطح یک فلز می پرند تا بایاس ولتاژ را دنبال کنند، زیرا از نظر آماری از طریق برخورد تصادفی با ذرات دیگر انرژی بیشتری نسبت به سد دارند. هنگامی که میدان الکتریکی بسیار بزرگ است، سد به اندازه‌ای نازک می‌شود که الکترون‌ها از حالت اتمی تونل خارج شوند، و منجر به جریانی می‌شود که تقریباً به طور تصاعدی با میدان الکتریکی تغییر می‌کند. [27] این مواد برای حافظه فلش ، لوله های خلاء و همچنین برخی از میکروسکوپ های الکترونی مهم هستند.

تقاطع تونل [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تقاطع تونل

با جدا کردن دو هادی با یک عایق بسیار نازک می توان یک مانع ساده ایجاد کرد . اینها اتصالات تونلی هستند که مطالعه آنها مستلزم درک تونل کوانتومی است. [28] اتصالات جوزفسون از تونل زنی کوانتومی و ابررسانایی برای ایجاد اثر جوزفسون استفاده می کنند . این در اندازه گیری دقیق ولتاژها و میدان های مغناطیسی [27] و همچنین سلول خورشیدی چند پیوندی کاربرد دارد .

اتوماتای سلولی نقطه کوانتومی [ ویرایش ]

QCA یک فناوری سنتز منطق باینری مولکولی است که توسط سیستم تونل زنی الکترونی بین جزیره ای عمل می کند. این دستگاه بسیار کم مصرف و سریع است که می تواند در فرکانس حداکثر 15 PHz کار کند . [29]

دیود تونل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دیود تونل

مکانیزم کار دستگاه دیود تونل زنی رزونانس ، بر اساس پدیده تونل زنی کوانتومی از طریق موانع بالقوه

دیودها دستگاه های نیمه هادی الکتریکی هستند که جریان الکتریکی را در یک جهت بیشتر از جهت دیگر جریان می دهند. این دستگاه به یک لایه تخلیه بین نیمه هادی های نوع N و نوع P وابسته است تا هدف خود را برآورده کند. هنگامی که اینها به شدت دوپ شده باشند، لایه تخلیه می تواند به اندازه کافی نازک باشد تا تونل زنی شود. هنگامی که یک بایاس کوچک رو به جلو اعمال می شود، جریان ناشی از تونل سازی قابل توجه است. در نقطه ای که بایاس ولتاژ به حدی است که سطح انرژی باندهای رسانایی p و n یکسان است، این مقدار حداکثر است. با افزایش بایاس ولتاژ، دو باند رسانایی دیگر روی هم قرار نمی گیرند و دیود به طور معمول عمل می کند. [30]

از آنجایی که جریان تونل زنی به سرعت کاهش می یابد، می توان دیودهای تونلی ایجاد کرد که دارای محدوده ولتاژهایی هستند که با افزایش ولتاژ، جریان کاهش می یابد. این ویژگی عجیب و غریب در برخی از کاربردها استفاده می شود، مانند دستگاه های با سرعت بالا که در آن احتمال تونل زنی مشخصه به سرعت ولتاژ بایاس تغییر می کند. [30]

دیود تونل زنی رزونانس از تونل زنی کوانتومی به روشی بسیار متفاوت برای دستیابی به نتیجه مشابه استفاده می کند. این دیود دارای یک ولتاژ تشدید است که جریان به نفع یک ولتاژ خاص است که با قرار دادن دو لایه نازک با نوار رسانایی انرژی بالا در نزدیکی یکدیگر به دست می آید. این یک چاه پتانسیل کوانتومی ایجاد می کند که دارای پایین ترین سطح انرژی گسسته است . هنگامی که این سطح انرژی بالاتر از سطح انرژی الکترون ها باشد، هیچ تونلی رخ نمی دهد و دیود در بایاس معکوس قرار می گیرد. هنگامی که دو انرژی ولتاژ در یک راستا قرار می گیرند، الکترون ها مانند یک سیم باز جریان می یابند. با افزایش بیشتر ولتاژ، تونل زدن غیرممکن می شود و دیود دوباره مانند یک دیود معمولی عمل می کند قبل از اینکه سطح انرژی دوم قابل توجه شود. [31]

ترانزیستورهای اثر میدان تونلی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ترانزیستور اثر میدان تونلی

یک پروژه تحقیقاتی اروپایی ترانزیستورهای اثر میدانی را نشان داد که در آنها گیت (کانال) از طریق تونل کوانتومی به جای تزریق حرارتی کنترل می شود، ولتاژ گیت را از 1 ولت به 0.2 ولت کاهش می دهد و مصرف برق را تا 100× کاهش می دهد. اگر بتوان این ترانزیستورها را به تراشه های VLSI تبدیل کرد ، عملکرد را در هر توان مدارهای مجتمع بهبود می بخشد . [32] [33]

همجوشی هسته ای [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همجوشی هسته ای

تونل زنی کوانتومی یک پدیده ضروری برای همجوشی هسته ای است. دما در هسته های ستاره ای به طور کلی کافی نیست تا هسته های اتمی بر سد کولن غلبه کنند و به همجوشی گرما هسته ای دست یابند . تونل کوانتومی احتمال نفوذ به این مانع را افزایش می دهد. اگرچه این احتمال هنوز کم است، اما تعداد بسیار زیاد هسته ها در هسته یک ستاره برای حفظ یک واکنش همجوشی ثابت کافی است. [34]

واپاشی رادیواکتیو [ ویرایش ]

مقاله اصلی: واپاشی رادیواکتیو

واپاشی رادیواکتیو فرآیند انتشار ذرات و انرژی از هسته ناپایدار یک اتم برای تشکیل یک محصول پایدار است. این کار از طریق تونل زنی یک ذره از هسته انجام می شود (یک تونل الکترونی به درون هسته، جذب الکترون است ). این اولین کاربرد تونل زنی کوانتومی بود. واپاشی رادیواکتیو یک موضوع مرتبط برای زیست‌شناسی نجومی است زیرا این پیامد تونل‌زنی کوانتومی یک منبع انرژی ثابت در یک بازه زمانی بزرگ برای محیط‌های خارج از منطقه قابل سکونت دور ستاره‌ای ایجاد می‌کند که در آن تابش نور ( اقیانوس‌های زیرسطحی ) یا مؤثر نیست . [34]

تونل زنی کوانتومی ممکن است یکی از مکانیسم های واپاشی فرضی پروتون باشد . [35] [36] [25]

اخترشیمی در ابرهای بین ستاره ای [ ویرایش ]

با گنجاندن تونل کوانتومی، سنتزهای نجومی مولکول های مختلف در ابرهای بین ستاره ای را می توان توضیح داد، مانند سنتز هیدروژن مولکولی ، آب ( یخ ) و فرمالدئید مهم پری بیوتیکی . [34] تونل زنی هیدروژن مولکولی در آزمایشگاه مشاهده شده است. [37]

زیست شناسی کوانتومی [ ویرایش ]

تونل زنی کوانتومی یکی از اصلی ترین اثرات کوانتومی غیر پیش پا افتاده در زیست شناسی کوانتومی است . در اینجا هم به عنوان تونل زنی الکترونی و هم به عنوان تونل زنی پروتون اهمیت دارد . تونل زنی الکترونی یک عامل کلیدی در بسیاری از واکنش های ردوکس بیوشیمیایی ( فتوسنتز ، تنفس سلولی ) و همچنین کاتالیز آنزیمی است. تونل زنی پروتون یک عامل کلیدی در جهش خود به خودی DNA است . [34]

جهش خود به خودی زمانی اتفاق می افتد که تکثیر طبیعی DNA پس از تونل زدن یک پروتون مهم اتفاق می افتد. [38] پیوند هیدروژنی به جفت بازهای DNA می پیوندد. یک پتانسیل چاه مضاعف در امتداد یک پیوند هیدروژنی مانع انرژی پتانسیل را جدا می کند. اعتقاد بر این است که پتانسیل چاه مضاعف نامتقارن است، با یکی از چاه ها عمیق تر از دیگری به طوری که پروتون به طور معمول در چاه عمیق تر قرار می گیرد. برای اینکه یک جهش رخ دهد، پروتون باید به چاه کم عمق تر تونل زده باشد. حرکت پروتون از موقعیت منظم خود را انتقال تومریک می نامند . اگر تکثیر DNA در این حالت انجام شود، قانون جفت شدن باز برای DNA ممکن است به خطر بیفتد و باعث جهش شود. [39] پر اولوف لودیناولین کسی بود که این نظریه جهش خودبخودی را در مارپیچ دوگانه ایجاد کرد . سایر موارد جهش ناشی از تونل کوانتومی در زیست شناسی اعتقاد بر این است که عامل پیری و سرطان هستند. [40]

رسانایی کوانتومی [ ویرایش ]

در حالی که مدل هدایت الکتریکی درود-لورنتز پیش‌بینی‌های بسیار خوبی در مورد ماهیت الکترون‌های رسانا در فلزات انجام می‌دهد، می‌توان با استفاده از تونل‌سازی کوانتومی برای توضیح ماهیت برخورد الکترون‌ها، آن را بیشتر کرد. [27] هنگامی که یک بسته موج الکترون آزاد با یک آرایه طولانی از موانع با فاصله یکنواخت مواجه می‌شود، بخش بازتاب‌شده بسته موج به طور یکنواخت با قسمت ارسالی بین همه موانع تداخل می‌کند، به طوری که انتقال 100٪ ممکن می‌شود. این تئوری پیش‌بینی می‌کند که اگر هسته‌های با بار مثبت یک آرایه کاملاً مستطیلی تشکیل دهند، الکترون‌ها به‌عنوان الکترون‌های آزاد از درون فلز عبور می‌کنند که منجر به رسانایی بسیار بالا می‌شود و ناخالصی‌های موجود در فلز باعث اختلال در آن می‌شود.[27]

میکروسکوپ تونل زنی روبشی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: میکروسکوپ تونل زنی روبشی

میکروسکوپ تونل زنی روبشی (STM) که توسط گرد بینینگ و هاینریش رورر اختراع شد ، ممکن است امکان تصویربرداری از اتم های منفرد را بر روی سطح یک ماده فراهم کند. [27] با بهره گیری از رابطه بین تونل زنی کوانتومی با فاصله عمل می کند. هنگامی که نوک سوزن STM به سطح رسانایی که دارای بایاس ولتاژ است نزدیک می شود، اندازه گیری جریان الکترون هایی که بین سوزن و سطح تونل می زنند، فاصله بین سوزن و سطح را نشان می دهد. با استفاده از میله های پیزوالکتریککه با اعمال ولتاژ اندازه تغییر می کند، ارتفاع نوک را می توان برای ثابت نگه داشتن جریان تونل تنظیم کرد. ولتاژهای متغیر زمانی که به این میله ها اعمال می شود را می توان ثبت کرد و برای تصویربرداری از سطح هادی استفاده کرد. [27] STM ها تا 0.001 نانومتر یا حدود 1% قطر اتمی دقت دارند. [31]

اثر ایزوتوپ جنبشی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اثر ایزوتوپ جنبشی

در سینتیک شیمیایی ، جایگزینی ایزوتوپ سبک یک عنصر با ایزوتوپ سنگین‌تر، معمولاً منجر به سرعت واکنش کندتر می‌شود. این به طور کلی به تفاوت در انرژی‌های ارتعاشی نقطه صفر برای پیوندهای شیمیایی حاوی ایزوتوپ‌های سبک‌تر و سنگین‌تر نسبت داده می‌شود و به طور کلی با استفاده از نظریه حالت گذار مدل‌سازی می‌شود . با این حال، در موارد خاص، اثرات ایزوتوپی بزرگ مشاهده می‌شود که نمی‌توان آن را با یک درمان نیمه کلاسیک به حساب آورد و تونل‌سازی کوانتومی مورد نیاز است. RP Bell درمان اصلاح شده ای از سینتیک آرنیوس ایجاد کرد که معمولاً برای مدل سازی این پدیده استفاده می شود. [41]

سریعتر از نور [ ویرایش ]

همچنین ببینید: سریعتر از نور

برخی از فیزیکدانان ادعا کرده اند که ممکن است ذرات اسپین صفر در هنگام تونل زدن سریعتر از سرعت نور حرکت کنند . [6] به نظر می‌رسد که این امر اصل علیت را نقض می‌کند ، زیرا چارچوب مرجعی وجود دارد که در آن ذره قبل از خروج می‌رسد. در سال 1998، فرانسیس ای لو به طور خلاصه پدیده تونل زنی در زمان صفر را بررسی کرد. [42] اخیراً، داده های آزمایشی زمان تونل زنی فونون ها ، فوتون ها و الکترون ها توسط گونتر نیمتز منتشر شده است . [43]

فیزیکدانان دیگر، مانند هربرت وینفول ، [44] این ادعاها را رد کردند. وینفول استدلال کرد که بسته موج یک ذره تونل زنی به صورت محلی منتشر می شود، بنابراین یک ذره نمی تواند به صورت غیر محلی از مانع عبور کند. وینفول همچنین استدلال کرد که آزمایش‌هایی که ظاهراً انتشار غیرمحلی را نشان می‌دهند اشتباه تفسیر شده‌اند. به طور خاص، سرعت گروهی یک بسته موج، سرعت آن را اندازه گیری نمی کند، بلکه به مدت زمانی که بسته موج در مانع ذخیره می شود، مرتبط است. اما مشکل این است که تابع موج همچنان در تمام نقاط به طور همزمان در داخل مانع افزایش می یابد. به عبارت دیگر، در هر منطقه ای که قابل اندازه گیری نباشد، انتشار غیرمحلی هنوز از نظر ریاضی قطعی است.

آزمایشی در سال 2020 که توسط Aephraim Steinberg نظارت شد، نشان داد که ذرات باید بتوانند با سرعت‌های ظاهری سریع‌تر از نور تونل بزنند. [45] [46]

1-تونل زنی کوانتومی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 22:3

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک کوانتومی
بخشی از مجموعه مقالات در مورد
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}\|\psi (t)\rangle$ معادله شرودینگر
معرفی واژه نامه تاریخ
نشان می دهد زمینه
نشان می دهد مبانی
نشان می دهد آزمایش
نشان می دهد فرمولاسیون
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد تفاسیر
نشان می دهد موضوعات پیشرفته
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

در فیزیک، تونل زنی کوانتومی ، نفوذ مانع ، یا به سادگی تونل زنی یک پدیده مکانیکی کوانتومی است که در آن جسمی مانند الکترون یا اتم از یک سد انرژی پتانسیل عبور می کند که طبق مکانیک کلاسیک ، جسم انرژی کافی برای ورود یا ورود به آن را ندارد. غلبه کردن

تونل زنی نتیجه ماهیت موجی ماده است ، جایی که تابع موج کوانتومی وضعیت یک ذره یا سیستم فیزیکی دیگر را توصیف می کند و معادلات موجی مانند معادله شرودینگر رفتار آنها را توصیف می کند. احتمال انتقال یک بسته موج از طریق یک مانع به طور تصاعدی با ارتفاع مانع، عرض مانع و جرم ذره تونل زنی کاهش می یابد، بنابراین تونل زنی به طور برجسته در ذرات کم جرم مانند الکترون ها یا پروتون ها دیده می شود.تونل زدن از طریق موانع میکروسکوپی باریک. تونل زنی به راحتی با موانعی با ضخامت حدود 1 تا 3 نانومتر یا کمتر برای الکترون ها و حدود 0.1 نانومتر یا کمتر برای ذرات سنگین تر مانند پروتون ها یا اتم های هیدروژن قابل تشخیص است. [1] برخی منابع تنها نفوذ یک تابع موج به مانع، بدون انتقال از طرف دیگر، را به عنوان یک اثر تونل زنی توصیف می کنند.

تونل سازی نقش اساسی در پدیده های فیزیکی مانند همجوشی هسته ای [2] و واپاشی آلفا رادیواکتیو هسته های اتم ایفا می کند. کاربردهای تونل زنی شامل دیود تونل ، [3] محاسبات کوانتومی ، حافظه فلش و میکروسکوپ تونل زنی روبشی است . تونل‌سازی حداقل اندازه دستگاه‌های مورد استفاده در میکروالکترونیک را محدود می‌کند ، زیرا الکترون‌ها به راحتی از لایه‌های عایق و ترانزیستورهای نازک‌تر از حدود 1 نانومتر عبور می‌کنند. [4] [5]

این اثر در اوایل قرن بیستم پیش‌بینی شده بود. پذیرش آن به عنوان یک پدیده فیزیکی عمومی در اواسط قرن رخ داد. [6]

تاریخچه [ ویرایش ]

تونل زنی کوانتومی از مطالعه رادیواکتیویته [6] ایجاد شد که در سال 1896 توسط هانری بکرل کشف شد . [ 7] رادیواکتیویته توسط ماری کوری و پیر کوری بیشتر مورد بررسی قرار گرفت و به همین دلیل آنها جایزه نوبل فیزیک را در سال 1903 دریافت کردند . ایده نیمه عمر و امکان پیش بینی پوسیدگی از کار آنها ایجاد شد. [6]

در سال 1901، رابرت فرانسیس ارهارت در حین بررسی رسانش گازها بین الکترودهای نزدیک به هم با استفاده از تداخل سنج مایکلسون، یک رژیم هدایت غیرمنتظره را کشف کرد . جی جی تامسون اظهار داشت که این یافته مستلزم تحقیقات بیشتر است. در سال 1911 و سپس 1914، دانشجوی فارغ التحصیل آن زمان، فرانتس روتر، مستقیماً جریان های انتشار میدان ثابت را اندازه گیری کرد. او از روش ارهارت برای کنترل و اندازه گیری جداسازی الکترود استفاده کرد، اما با یک گالوانومتر پلت فرم حساس . در سال 1926، راتر جریان های انتشار میدان را در خلاء "سخت" بین الکترودهای نزدیک اندازه گیری کرد . [8]

تونل کوانتومی اولین بار در سال 1927 توسط فردریش هوند در حالی که او در حال محاسبه وضعیت پایه پتانسیل چاه دوگانه بود، مورد توجه قرار گرفت . [9] لئونید ماندلشتام و میخائیل لئونتویچ به طور مستقل آن را در همان سال کشف کردند. آنها در حال تجزیه و تحلیل مفاهیم معادله موج شرودینگر جدید بودند . [10]

اولین کاربرد آن یک توضیح ریاضی برای واپاشی آلفا بود که در سال 1928 توسط جورج گامو (که از یافته های ماندلشتام و لئونتویچ [11] آگاه بود ) و به طور مستقل توسط رونالد گارنی و ادوارد کاندون توسعه یافت . [12] [13] [14] [15] محققین اخیر به طور همزمان معادله شرودینگر را برای یک مدل پتانسیل هسته ای حل کردند و رابطه ای بین نیمه عمر ذره و انرژی انتشار بدست آوردند که مستقیماً به احتمال ریاضی بستگی دارد. تونل زنی

مکس بورن پس از شرکت در سمینار گاموف، کلیت تونل زنی را تشخیص داد. او متوجه شد که این به فیزیک هسته ای محدود نمی شود ، بلکه یک نتیجه کلی از مکانیک کوانتومی است که در بسیاری از سیستم های مختلف اعمال می شود. [6] اندکی پس از آن، هر دو گروه مورد تونل زدن ذرات به هسته را بررسی کردند. مطالعه نیمه هادی ها و توسعه ترانزیستورها و دیودها منجر به پذیرش تونل زنی الکترونی در جامدات در سال 1957 شد . ، که به خاطر آن در سال 1973 جایزه نوبل فیزیک را دریافت کردند . [6] در سال 2016، تونل کوانتومی آب کشف شد. [16]

مقدمه ای بر مفهوم [ ویرایش ]

1:31CC

انیمیشنی که جلوه تونل و کاربرد آن در STM را نشان می دهد

تونل زنی کوانتومی در حوزه مکانیک کوانتومی قرار می گیرد : مطالعه آنچه در مقیاس کوانتومی اتفاق می افتد . تونل زنی را نمی توان به طور مستقیم درک کرد. بیشتر درک آن توسط دنیای میکروسکوپی شکل می گیرد که مکانیک کلاسیک نمی تواند آن را توضیح دهد. برای درک این پدیده ، ذراتی که تلاش می‌کنند از یک مانع بالقوه عبور کنند، می‌توان با توپی که تلاش می‌کند از روی تپه غلت بزند مقایسه کرد.

مکانیک کوانتومی و مکانیک کلاسیک در برخورد با این سناریو متفاوت هستند. مکانیک کلاسیک پیش‌بینی می‌کند که ذراتی که انرژی کافی برای غلبه بر یک مانع را ندارند، نمی‌توانند به طرف دیگر برسند. بنابراین، توپی که انرژی کافی برای غلبه بر تپه نداشته باشد، به سمت پایین می غلتد. توپی که انرژی لازم برای نفوذ به دیوار را ندارد به عقب برمی گردد. از طرف دیگر، توپ ممکن است به بخشی از دیوار تبدیل شود (جذب).

در مکانیک کوانتومی، این ذرات می توانند با احتمال کمی به سمت دیگر تونل بزنند و از این طریق از سد عبور کنند. این تونل زنی مانع را بدون تأثیر می گذارد (مثلاً هیچ سوراخی در مانع ایجاد نمی شود). توپ، به یک معنا، انرژی را از محیط اطراف خود وام می گیرد تا از دیوار عبور کند. سپس انرژی را با پرانرژی‌تر کردن الکترون‌های منعکس‌شده [ نیاز به شفاف‌سازی ] از آنچه در غیر این صورت می‌بود، بازپرداخت می‌کند. [17]

دلیل این تفاوت ناشی از تلقی ماده به عنوان دارای خواص امواج و ذرات است . یکی از تفسیرهای این دوگانگی شامل اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است که محدودیتی را در مورد اینکه موقعیت و تکانه یک ذره به طور همزمان می تواند دقیقاً شناخته شود را تعیین می کند. [7]این نشان می دهد که هیچ راه حلی احتمال دقیقاً صفر (یا یک) ندارد، اگرچه ممکن است به بی نهایت نزدیک شود. برای مثال، اگر محاسبه موقعیت آن به عنوان احتمال 1 در نظر گرفته شود، سرعت آن باید بی نهایت باشد (یک غیرممکن). از این رو، احتمال وجود یک ذره معین در طرف مقابل یک مانع مداخله‌گر غیرصفر است و چنین ذراتی متناسب با این احتمال در سمت «دیگر» (یک کلمه از نظر معنایی دشوار در این مثال) ظاهر می‌شوند.

مشکل تونل زنی [ ویرایش ]

شبیه سازی یک بسته موج بر روی یک مانع بالقوه. در واحدهای نسبی، انرژی مانع 20 است، بیشتر از انرژی بسته موج متوسط 14. بخشی از بسته موج از مانع عبور می کند.

یک بسته موج الکترونی که به سمت یک مانع پتانسیل هدایت می شود. وصله کم نور در سمت راست بخشی از تابع موج است که از مانع عبور کرده است.

تابع موج یک سیستم فیزیکی از ذرات، هر چیزی را که می توان در مورد سیستم دانست، مشخص می کند. [18] بنابراین، مسائل در مکانیک کوانتومی تابع موج سیستم را تجزیه و تحلیل می کند. با استفاده از فرمول های ریاضی مانند معادله شرودینگر ، می توان تکامل زمانی یک تابع موج شناخته شده را استنباط کرد. مجذور قدر مطلق این تابع موج به طور مستقیم با توزیع احتمال موقعیت های ذرات مرتبط است، که احتمال قرار گرفتن ذرات در هر مکان معین را توصیف می کند.

در هر دو تصویر، هنگامی که یک بسته موج تک ذره ای به مانع برخورد می کند، بیشتر آن منعکس شده و مقداری از آن از طریق مانع منتقل می شود. بسته موج غیرمکانی‌تر می‌شود: اکنون در هر دو طرف مانع است و در حداکثر دامنه کمتر است، اما در قدر مربع یکپارچه برابر است، به این معنی که احتمال اینکه ذره در جایی باشد، وحدت باقی می‌ماند. هرچه سد عریض تر و انرژی مانع بیشتر باشد، احتمال تونل زنی کمتر می شود.

برخی از مدل‌های یک مانع تونل‌زنی، مانند موانع مستطیلی نشان‌داده‌شده، می‌توانند به صورت جبری تحلیل و حل شوند. اکثر مسائل حل جبری ندارند، بنابراین از راه حل های عددی استفاده می شود. " روش های نیمه کلاسیک " راه حل های تقریبی را ارائه می دهند که محاسبه آنها آسان تر است، مانند تقریب WKB .

تونل زنی دینامیکی [ ویرایش ]

نوسانات احتمالی تونل زنی کوانتومی در یک چاه مضاعف پتانسیل یکپارچه، دیده شده در فضای فاز

مفهوم تونل زنی کوانتومی را می توان به موقعیت هایی تعمیم داد که در آن یک انتقال کوانتومی بین مناطقی وجود دارد که به طور کلاسیک به هم متصل نیستند، حتی اگر هیچ مانع پتانسیل مرتبطی وجود نداشته باشد. این پدیده به تونل زنی دینامیکی معروف است. [19] [20]

تونل سازی در فضای فاز [ ویرایش ]

مفهوم تونل زنی دینامیکی به ویژه برای پرداختن به مشکل تونل زنی کوانتومی در ابعاد بالا مناسب است (d>1). در مورد یک سیستم یکپارچه ، که در آن مسیرهای کلاسیک محدود به توری در فضای فاز محدود می شوند، تونل زنی را می توان به عنوان انتقال کوانتومی بین حالت های نیمه کلاسیک ساخته شده بر روی دو توری متمایز اما متقارن درک کرد. [21]

تونل سازی به کمک آشوب [ ویرایش ]

نوسانات تونل زنی به کمک هرج و مرج بین دو توری منظم که در یک دریای پر هرج و مرج جاسازی شده اند، در فضای فاز دیده می شوند.

در زندگی واقعی، بیشتر سیستم ها یکپارچه نیستند و درجات مختلفی از هرج و مرج را نشان می دهند. سپس گفته می شود که دینامیک کلاسیک مخلوط است و فضای فاز سیستم معمولاً از جزایر مدارهای منظم تشکیل شده است که توسط دریای بزرگی از مدارهای پر هرج و مرج احاطه شده اند. وجود دریای پر هرج و مرج، جایی که حمل و نقل به طور کلاسیک مجاز است، بین دو توری متقارن، به تونل کوانتومی بین آنها کمک می کند. این پدیده به عنوان تونل زنی به کمک آشوب شناخته می شود. [22] و با رزونانس های شدید نرخ تونل زنی در هنگام تغییر هر پارامتر سیستم مشخص می شود.

تونل زنی به کمک تشدید [ ویرایش ]

چه زمانیℏ $\hbar$ در مقابل اندازه جزایر منظم کوچک است، ساختار ظریف فضای فاز کلاسیک نقش کلیدی در تونل‌زنی دارد. به طور خاص، دو توری متقارن "از طریق یک توالی از گذارهای کلاسیک ممنوع در سراسر تشدیدهای غیرخطی" در اطراف دو جزیره جفت می شوند. [23]

چاه پتانسیل محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 21:59

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

چاه پتانسیل محدود (همچنین به عنوان چاه مربع محدود شناخته می شود ) مفهومی از مکانیک کوانتومی است . این امتداد چاه پتانسیل نامتناهی است که در آن یک ذره به یک "جعبه" محدود می شود، اما یکی که دارای "دیوارهای" با پتانسیل محدود است. برخلاف چاه پتانسیل نامتناهی، احتمال پیدا شدن ذره در خارج از جعبه وجود دارد. تفسیر مکانیک کوانتومی بر خلاف تفسیر کلاسیک است که در آن انرژی کلاین ذره از سد انرژی پتانسیل دیوارها کمتر است و خارج از جعبه یافت نمی شود. در تفسیر کوانتومی، احتمال غیر صفر بودن ذره در خارج از جعبه وجود دارد، حتی زمانی که انرژی ذره کمتر از سد انرژی پتانسیل دیوارها باشد (ق. تونل کوانتومی ) .

ذره در یک جعبه 1 بعدی [ ویرایش ]

برای حالت 1 بعدی در محور x ، معادله شرودینگر مستقل از زمان را می توان به صورت زیر نوشت:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi$

( 1 )

جایی که

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ ثابت پلانک کاهش یافته است،
ساعت $ساعت$ ثابت پلانک است ،
متر $متر$ جرم ذره است ،
$\psi$ تابع موجی (با ارزش پیچیده) است که می خواهیم پیدا کنیم،
$V(x)$ تابعی است که انرژی پتانسیل را در هر نقطه x و
$E$ انرژی است ، یک عدد واقعی، که گاهی اوقات انرژی ویژه نامیده می شود.

برای مورد ذره در یک جعبه 1 بعدی به طول L ، پتانسیل برابر است $V_{0}$ خارج از جعبه، و صفر برای x بین $-L/2$ و $L/2$ . تابع موج در نظر گرفته می شود که از تابع موج های مختلف در محدوده های مختلف x تشکیل شده است ، بسته به اینکه x داخل یا خارج جعبه باشد. بنابراین تابع موج به این صورت تعریف می شود:

$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (منطقه خارج از کادر)}}\\\psi _{2}،&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (منطقه داخل کادر)}}\\\psi _{3}،&{\text{ if }}x>L/2{\text{ (منطقه خارج از کادر)}}\end{cases}}$

داخل کادر [ ویرایش ]

برای ناحیه داخل کادر، V ( x ) = 0 و معادله 1 به کاهش می یابد

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2 }.$

اجازه دادن

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},$ معادله می شود

د2�2دایکس2=-ک2�2.

${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.$

این یک معادله دیفرانسیل و مسئله ارزش ویژه با یک راه حل کلی است که به خوبی مطالعه شده است

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.$ از این رو،

$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.$

در اینجا، A و B می توانند هر عدد مختلطی باشند ، و k می تواند هر عدد واقعی باشد.

خارج از جعبه [ ویرایش ]

برای منطقه خارج از جعبه، از آنجایی که پتانسیل ثابت است، $V(x)=V_{0}$ و معادله 1 می شود:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0 })\psi _{1}$

بسته به اینکه E کمتر از یا نه ، دو خانواده راه حل ممکن وجود دارد $V_{0}$ (ذره در پتانسیل محدود است) یا E بزرگتر از $V_{0}$ (ذره آزاد است).

برای یک ذره آزاد، $E>V_{0}$ ، و اجازه دادن

$k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}$

تولید می کند

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}$

با همان فرم محلول به عنوان مورد داخل چاه:

$\psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)$

این تجزیه و تحلیل بر روی حالت محدود تمرکز خواهد کرد، جایی که $E<V_{0}$ . اجازه دادن

$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}$

تولید می کند

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}$ که در آن راه حل کلی نمایی است:

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}$

به طور مشابه، برای منطقه دیگر خارج از جعبه:

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}$

حال برای یافتن راه‌حل خاص برای مسئله مورد نظر، باید شرایط مرزی مناسب را مشخص کرده و مقادیر A ، B ، F ، G ، H و I را پیدا کنیم که آن شرایط را برآورده می‌کنند.

یافتن تابع موج برای حالت محدود [ ویرایش ]

راه حل های معادله شرودینگر باید پیوسته و پیوسته قابل تفکیک باشند. [1] این الزامات شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل است که قبلاً به دست آمده است، یعنی شرایط تطبیق بین راه حل های داخل و خارج چاه.

در این حالت، چاه پتانسیل محدود متقارن است، بنابراین می توان از تقارن برای کاهش محاسبات لازم استفاده کرد.

جمع بندی قسمت های قبل:

$\psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (منطقه خارج از کادر)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (منطقه داخل کادر)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (منطقه خارج از کادر)}}\end{cases}}$

جایی که ما پیدا کردیم $\psi _{1}$ ، $\psi _{2}$ ، و $\psi _{3}$ بودن:

${\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+ B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{تراز شده}}$

ما آن را به عنوان $ایکس$ مربوط می شه به $-\infty$ ، $اف$ مدت به بی نهایت می رود به همین ترتیب، همانطور که $ایکس$ مربوط می شه به $+\infty$ ، $من$ مدت به بی نهایت می رود برای اینکه تابع موج مربعی یکپارچه شود، باید تنظیم کنیم $F=I=0$ ، و ما داریم:

$\psi _{1}=Ge^{\alpha x}$ و

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}$

بعد، ما می دانیم که به طور کلی $\psi$ تابع باید پیوسته و قابل تمایز باشد. به عبارت دیگر، مقادیر توابع و مشتقات آنها باید در نقاط تقسیم مطابقت داشته باشند:

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)$		$\psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)$
$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right\|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}} {dx}}\right\|_{x=-L/2}$		$\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right\|_{x=L/2}=\left.{\frac {d\psi _{3}}{ dx}}\right\|_{x=L/2}$

این معادلات دارای دو نوع راه حل متقارن هستند که برای آنها حل می شود $A=0$ و $G=H$ ، و ضد متقارن، که برای آن $B = 0$ و $G=-H$ . برای حالت متقارن بدست می آوریم

$He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)$

$-\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)$ بنابراین گرفتن نسبت می دهد

$\alpha =k\tan(kL/2).$ به طور مشابه برای مورد ضد متقارن دریافت می کنیم

$\alpha =-k\cot(kL/2).$

به یاد بیاورید که هر دو $\ آلفا$ وک $ک$ به انرژی بستگی دارد آنچه ما دریافتیم این است که شرایط تداوم را نمی توان برای مقدار دلخواه انرژی برآورده کرد. زیرا این نتیجه چاه بالقوه نامتناهی است. بنابراین، فقط مقادیر انرژی معینی که راه حل های یکی یا یکی از این دو معادله هستند، مجاز هستند. از این رو متوجه می شویم که سطوح انرژی سیستم زیر $V_{0}$ گسسته هستند توابع ویژه مربوطه حالت های مقید هستند . (در مقابل، برای سطوح انرژی بالا $V_{0}$ پیوسته هستند. [2] )

معادلات انرژی را نمی توان به صورت تحلیلی حل کرد. با این وجود، خواهیم دید که در حالت متقارن، همیشه حداقل یک حالت محدود وجود دارد، حتی اگر چاه بسیار کم عمق باشد. [3] حل های گرافیکی یا عددی معادلات انرژی با بازنویسی کمی آنها کمک می کند. اگر متغیرهای بدون بعد را معرفی کنیم $u=\alpha L/2$ و $v=kL/2$ و توجه داشته باشید از تعاریف $\ آلفا$ وک $ک$ که $u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}$ ، جایی که $u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}$ ، معادلات اصلی خوانده می شود

${\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\text{(حوزه متقارن)}}\\-v \cot v,&{\text{(حوزه ضد متقارن) }}\end{cases}}$

در طرح سمت راست، برای $u_{0}^{2}=20$ ، راه حل هایی وجود دارند که در آن نیم دایره آبی منحنی های بنفش یا خاکستری را قطع می کند ( $v\tan v$ و-⁡ $-v\cot v$ ). هر منحنی بنفش یا خاکستری نشان دهنده یک راه حل ممکن است، $v_{i}$ در محدوده ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$ . تعداد کل راه حل ها،ن $ن$ ، (یعنی تعداد منحنی های بنفش/خاکستری که با دایره آبی قطع می شوند) بنابراین با تقسیم شعاع دایره آبی تعیین می شود. $u_{0}$ با محدوده هر راه حل $\pi /2$ و با استفاده از توابع کف یا سقف: [4]

$N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right \rceil$

$N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$ .

$v_{1}=1.28، v_{2}=2.54$ و�3=3.73 $v_{3}=3.73$ ، با انرژی های مربوطه

$E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.$ اگر بخواهیم می توانیم به عقب برگردیم و مقادیر ثابت ها را پیدا کنیمآ،ب،جی،اچ $A، B، G، H$ اکنون در معادلات (ما همچنین باید شرایط عادی سازی را اعمال کنیم). در سمت راست سطوح انرژی و توابع موج را در این مورد نشان می‌دهیم (جایی که ${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$ ):

توجه می کنیم که هر چند کوچک باشدتو0 $u_{0}$ است (هرچقدر چاه کم عمق یا باریک باشد)، همیشه حداقل یک حالت محدود وجود دارد.

دو مورد خاص قابل توجه است. با بزرگ شدن ارتفاع پتانسیل، $V_{0}\to \infty$ ، شعاع نیم دایره بزرگتر می شود و ریشه ها به مقادیر نزدیک و نزدیکتر می شوند. $v_{n}=n\pi /2$ ، و مورد مربع بی نهایت را به خوبی بازیابی می کنیم .

مورد دیگر چاه بسیار باریک و عمیق است - به طور خاص�0→∞ $V_{0}\to \infty$ و�→0 $L به 0$ با�0� $V_{0}L$ درست شد. مانندتو0∝�0� $u_{0}\propto {\sqrt {V_{0}}}L$ به سمت صفر میل خواهد کرد و بنابراین فقط یک حالت محدود وجود خواهد داشت. راه حل تقریبی پس از آن است�2=تو02-تو04 $v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}$ ، و انرژی تمایل دارد�=-متر�2�02/2ℏ2 $E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}$ . اما این فقط انرژی حالت محدود یک تابع دلتا پتانسیل قدرت است�0� $V_{0}L$ ، همانطور که باید باشد.

یک راه حل گرافیکی ساده تر برای سطوح انرژی را می توان با نرمال کردن پتانسیل و انرژی از طریق ضرب در بدست آورد8متر�2/ساعت2 ${8m}{L^{2}}/h^{2}$ . مقادیر نرمال شده هستند

${\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{ \frac {8m}{h^{2}}}L^{2}$ ارتباط مستقیم بین زوجین مجاز را بیان می کند $(V_{0},E)$ همانطور که [5]

${\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E} }}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\ ,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\راست|$ به ترتیب برای توابع موج برابری زوج و فرد. در معادلات قبلی فقط قسمت های مشتق مثبت توابع باید در نظر گرفته شوند. نمودار به طور مستقیم زوج های مجاز را نشان می دهد $(V_{0},E)$ در شکل گزارش شده است.

حالات بدون محدودیت [ ویرایش ]

اگر معادله شرودینگر مستقل از زمان را برای یک انرژی حل کنیم�>�0 $E>V_{0}$ ، محلول ها هم در داخل و هم در خارج از چاه نوسانی خواهند بود. بنابراین، راه حل هرگز قابل ادغام مربع نیست. یعنی همیشه حالتی غیرقابل عادی سازی است. با این حال، این بدان معنا نیست که غیرممکن است که یک ذره کوانتومی انرژی بیشتر از آن داشته باشد�0 $V_{0}$ ، صرفاً به این معنی است که سیستم دارای طیف پیوسته در بالا است�0 $V_{0}$ . حالت‌های ویژه غیرعادی‌پذیر به اندازه‌ای نزدیک به مربع انتگرال‌پذیر بودن هستند که همچنان به طیف همیلتونی به عنوان یک عملگر نامحدود کمک می‌کنند. [6]

چاه نامتقارن [ ویرایش ]

یک پتانسیل نامتقارن یک بعدی را در نظر بگیرید که توسط پتانسیل ارائه شده است [7]

$V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (منطقه خارج از کادر)}}\\0 ,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (منطقه داخل کادر)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text { (منطقه خارج از کادر)}}\end{موارد}}$

$V_{2}>V_{1}$ . راه حل مربوطه برای تابع موج با $E<V_{1}$ پیدا شده است

$\psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{ 1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta)،&{\text{برای }}0<x< a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x}،&{\text{برای }} x>a،{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{موارد}}$

$\sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.$

سطوح انرژی $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ یک بار تعیین می شوند $ک$ به صورت ریشه معادله ماورایی زیر حل می شود

$ka=n\pi -\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\ چپ ({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}}}}\راست)$

جایی که�=1،2،3،… $n=1،2،3،\dots$ وجود معادله ریشه به بالا همیشه تضمین شده نیست، به عنوان مثال، همیشه می توان مقداری از آن را پیدا کردآ $آ$ آنقدر کوچک است که برای مقادیر داده شده از $V_{1}$ و $V_{2}$ ، هیچ سطح انرژی گسسته ای وجود ندارد. نتایج چاه متقارن از معادله بالا با تنظیم به دست می آید $V_{1}=V_{2}=V_{o}$ .

حفره کروی [ ویرایش ]

از نتایج بالا می توان برای نشان دادن اینکه در مورد یک بعدی، دو حالت محدود در یک حفره کروی وجود دارد استفاده کرد، زیرا مختصات کروی شعاع را در هر جهت معادل می کند.

حالت پایه (n = 1) یک پتانسیل کروی متقارن همیشه دارای تکانه زاویه ای مداری صفر (ℓ = n-1) و تابع موج کاهش یافته است.

${\displaystyle U(r)\equiv r\psi (r)}$

معادله را برآورده می کند

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}+V(r)U(r) =EU(r)}$

جایی که $\psi (r)$ قسمت شعاعی تابع موج است. توجه کنید که برای (n = 1) قسمت زاویه ای ثابت است (ℓ = 0).

این با معادله یک بعدی به جز شرایط مرزی یکسان است. مثل قبل،

${\displaystyle U(r)={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(V_{1}-E)}}\\c\sin(kr+\delta)،&{\text{برای }}a< r<b،{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}r}،&{\text{برای }}r>b،{\text{where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(V_{2}-E)}}\end{موارد}}}$

سطوح انرژی برای $a<r<b$

${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$

یک بار تعیین می شوند

${\displaystyle k}$

به صورت ریشه معادله ماورایی زیر حل می شود

${\displaystyle k(ba)=n\pi }$

جایی که

${\displaystyle n=1،2،3،\dots }$

وجود معادله ریشه به بالا همیشه تضمین شده است.

نتایج همیشه با تقارن کروی هستند.

این شرایط را برآورده می کند که موج هیچ پتانسیلی در داخل کره پیدا نکند: ${\displaystyle U(a)=U(0)=0}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_potential_well

مانع پتانسیل مستطیلی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 18:26

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(از مانع پتانسیل محدود تغییر مسیر داده شده است )

در مکانیک کوانتومی ، سد پتانسیل مستطیلی (یا گاهی اوقات مربع ) یک مسئله استاندارد تک بعدی است که پدیده های تونل زنی مکانیکی موج (که «تونل زنی کوانتومی» نیز نامیده می شود) و بازتاب مکانیکی موج را نشان می دهد. مسئله شامل حل معادله شرودینگر مستقل از زمان یک بعدی برای ذره ای است که با یک سد انرژی پتانسیل مستطیلی شکل مواجه می شود. معمولاً در اینجا فرض می شود که یک ذره آزاد از سمت چپ به سد برخورد می کند.

اگرچه به طور کلاسیک ذره ای که به صورت جرم نقطه ای رفتار می کند ، اگر انرژی آن کمتر از آن باشد، منعکس می شود $V_{0}$ ، ذره ای که در واقع به صورت موج ماده رفتار می کند، احتمال غیرصفری دارد که به مانع نفوذ کند و به صورت موجی در طرف دیگر به حرکت خود ادامه دهد. در فیزیک موج کلاسیک، این اثر به عنوان جفت موج ناپایدار شناخته می شود . احتمال عبور ذره از مانع توسط ضریب انتقال داده می شود ، در حالی که احتمال انعکاس آن توسط ضریب بازتاب داده می شود . معادله موج شرودینگر امکان محاسبه این ضرایب را فراهم می کند.

محاسبه [ ویرایش ]

پراکندگی در یک مانع بالقوه محدود ارتفاع $V_{0}$ . دامنه و جهت امواج متحرک چپ و راست نشان داده شده است. در قرمز، آن امواجی که برای استخراج دامنه بازتاب و انتقال استفاده می‌شوند. $E>V_{0}$ برای این تصویر

معادله شرودینگر مستقل از زمان برای تابع موج $\psi (x)$ می خواند

${\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)$ جایی که $\ کلاه اچ$ همیلتونی است ، $\hbar$ ثابت پلانک (کاهش شده) است ، $متر$ جرم است ، $E$ انرژی ذره و

$V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]$ پتانسیل مانع با ارتفاع است $V_{0}>0$ و عرض $آ$ . $\Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0$ تابع گام Heaviside است ، به عنوان مثال،

$V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text {اگر }}a<x\end{موارد}}$

مانع بین قرار گرفته استا $x=0$ و $x=a$ . مانع را می توان به هر کدام منتقل کردایکس $ایکس$ موقعیت بدون تغییر نتایج اولین ترم در همیلتونی ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ انرژی جنبشی است.

مانع فضا را به سه قسمت تقسیم می کند ( $x<0,0<x<a,x>a$ ). در هر یک از این بخش ها، پتانسیل ثابت است، به این معنی که ذره شبه آزاد است و حل معادله شرودینگر را می توان به صورت برهم نهی از امواج متحرک چپ و راست نوشت (به ذره آزاد مراجعه کنید ). اگر $E>V_{0}$

${\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0 \\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _ {R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{موارد}}$

که در آن اعداد موج با انرژی از طریق ارتباط دارند

${\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1 }={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{موارد}}$

شاخص $r/l$ روی ضرایبآ $آ$ وب $ب$ جهت بردار سرعت را نشان می دهد. توجه داشته باشید که اگر انرژی ذره کمتر از ارتفاع سد باشد، $k_{1}$ خیالی می شود و تابع موج به صورت تصاعدی در داخل مانع در حال فروپاشی است. با این وجود، ما علامت گذاری را حفظ می کنیم $r/l$ حتی اگر امواج در این مورد دیگر منتشر نمی شوند. در اینجا ما فرض کردیم $E\neq V_{0}$ . مورد $E=V_{0}$ در زیر درمان می شود.

ضرایبآ،ب،سی $A,B,C$ باید از شرایط مرزی تابع موج در یافت شود $x=0$ و $x=a$ . تابع موج و مشتق آن باید در همه جا پیوسته باشند ، بنابراین

${\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}} \right|_{x=0}&=\ چپ.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a) &=\psi _{R}(a)\\\چپ.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\چپ.{\frac { d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{تراز شده}}$

با درج توابع موج، شرایط مرزی محدودیت های زیر را در ضرایب ایجاد می کند

$A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}$

$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})$

$B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{ -iak_{0}}$

$ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r }e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$

E = V 0 [ ویرایش ]

اگر انرژی برابر با ارتفاع سد باشد، دیفرانسیل دوم تابع موج در داخل ناحیه مانع 0 است و از این رو جواب های معادله شرودینگر دیگر نمایی نیستند بلکه توابع خطی مختصات فضا هستند.

$\psi _{C}(x)=B_{1}+B_{2}x\quad 0<x<a.$

جواب کامل معادله شرودینگر به همان روش بالا با تطبیق توابع موج و مشتقات آنها در $x=0$ و $x=a$ . که منجر به محدودیت های زیر در ضرایب می شود:

$A_{r}+A_{l}=B_{1}$

$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=B_{2}$

$B_{1}+B_{2}a=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}$

$B_{2}=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$

انتقال و بازتاب [ ویرایش ]

در این مرحله، مقایسه وضعیت با حالت کلاسیک آموزنده است. در هر دو مورد، ذره به عنوان یک ذره آزاد خارج از منطقه مانع رفتار می کند. یک ذره کلاسیک با انرژی $E$ بزرگتر از ارتفاع مانع $V_{0}$ همیشه از سد عبور می کند و یک ذره کلاسیک با0 $E<V_{0}$ حادثه روی مانع همیشه منعکس می شود.

برای مطالعه حالت کوانتومی، وضعیت زیر را در نظر بگیرید: یک ذره از سمت چپ روی مانع ( $A_{r}$ ). ممکن است منعکس شود ( $A_{l}$ ) یا منتقل شده ( $C_{r}$ ).

برای یافتن دامنه های انعکاس و انتقال برای بروز از سمت چپ، معادلات فوق را قرار می دهیم. $A_{r}=1$ (ذره ورودی)، $A_{l}=r$ (انعکاس) $C_{l}=0$ (بدون ذره ورودی از سمت راست)، و $C_{r}=t$ (انتقال). سپس ضرایب را حذف می کنیم $B_{l}،B_{r}$ از معادله و حل کنید $r$ و $تی$ .

نتیجه این است:

$t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2 }-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}$

$r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_ {1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.$

با توجه به تقارن آینه ای مدل، دامنه های فرود از سمت راست با دامنه های سمت چپ یکسان است. توجه داشته باشید که این عبارات برای هر انرژی صادق هستند $E>0$ ، $E\neq V_{0}$ . اگر $E=V_{0}$ ، $k_{1}=0$ ، بنابراین در هر دوی این عبارات یک تکینگی وجود دارد.

تجزیه و تحلیل عبارات به دست آمده [ ویرایش ]

E < V 0 [ ویرایش ]

احتمال انتقال از طریق یک مانع پتانسیل محدود برای/ℏ ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$ = 7. خط چین: نتیجه کلاسیک. خط جامد: نتیجه مکانیک کوانتومی

نتیجه شگفت انگیز این است که برای انرژی های کمتر از ارتفاع سد، $E<V_{0}$ احتمال غیر صفر وجود دارد

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E (V_{0}-E)}}}$

برای انتقال ذره از طریق مانع، با ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$ . این اثر که با حالت کلاسیک متفاوت است، تونل زنی کوانتومی نامیده می شود . انتقال به صورت نمایی با عرض مانع سرکوب می شود، که می توان از شکل عملکردی تابع موج فهمید: خارج از مانع با بردار موج نوسان می کند. $k_{0}$ ، در حالی که در داخل مانع به طور تصاعدی در طول یک فاصله میرا می شود $1/k_{1}$ . اگر مانع بسیار گسترده‌تر از این طول پوسیدگی باشد، قسمت چپ و راست عملاً مستقل هستند و در نتیجه تونل‌زنی سرکوب می‌شود.

E > V 0 [ ویرایش ]

در این مورد

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E (E-V_{0})}}}،$

جایی که ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$ .

به همان اندازه شگفت آور این است که برای انرژی های بزرگتر از ارتفاع مانع $E>V_{0}$ ، ممکن است ذره با احتمال غیر صفر از مانع منعکس شود

$R=|r|^{2}=1-T.$

احتمالات انتقال و انعکاس در واقع در نوسان هستندک1آ $k_{1}a$ . نتیجه کلاسیک انتقال کامل بدون هیچ بازتابی ( $T = 1$ ، $R = 0$ ) نه تنها در حد انرژی بالا بازتولید می شود $E\gg V_{0}$ اما همچنین زمانی که انرژی و عرض مانع برآورده می شود $k_{1}a=n\pi$ ، جایی که،… $n=1،2،\dots$ (به قله های نزدیک مراجعه کنید $E/V_{0}=1.2$ و 1.8 در شکل بالا). توجه داشته باشید که احتمالات و دامنه های نوشته شده برای هر انرژی (بالا/زیر) ارتفاع مانع است.

E = V 0 [ ویرایش ]

احتمال انتقال در $E=V_{0}$ است

$T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.$

اظهارات و کاربردها [ ویرایش ]

محاسبه ارائه شده در بالا ممکن است در ابتدا غیر واقعی و به سختی مفید به نظر برسد. با این حال ثابت شده است که یک مدل مناسب برای انواع سیستم های واقعی است. یکی از این نمونه ها رابط بین دو ماده رسانا است. در بخش عمده ای از مواد، حرکت الکترون ها شبه آزاد است و می توان آن را با اصطلاح جنبشی در همیلتونی فوق با جرم موثر توصیف کرد. $متر$ . اغلب سطوح چنین موادی با لایه های اکسیدی پوشانده می شوند یا به دلایل دیگر ایده آل نیستند. این لایه نازک و غیر رسانا ممکن است سپس توسط یک پتانسیل مانع مانند بالا مدل شود. سپس الکترون ها ممکن است از یک ماده به ماده دیگر تونل بزنند و جریانی ایجاد کنند.

عملکرد یک میکروسکوپ تونل زنی روبشی (STM) بر این اثر تونل زنی متکی است. در این حالت، مانع به دلیل شکاف بین نوک STM و جسم زیرین است. از آنجایی که جریان تونل به طور تصاعدی به عرض مانع بستگی دارد، این دستگاه به تغییرات ارتفاع در نمونه مورد بررسی بسیار حساس است.

مدل فوق یک بعدی است در حالی که فضا سه بعدی است. باید معادله شرودینگر را به صورت سه بعدی حل کرد. از سوی دیگر، بسیاری از سیستم‌ها فقط در امتداد یک جهت مختصات تغییر می‌کنند و از نظر ترجمه در امتداد سایرین تغییر ناپذیرند. آنها قابل تفکیک هستند . معادله شرودینگر ممکن است به حالتی که در اینجا توسط ansatz برای تابع موج از نوع در نظر گرفته شده است کاهش یابد: $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)$ .

برای مدل مرتبط دیگری از یک مانع، به مانع پتانسیل دلتا (QM) مراجعه کنید ، که می تواند به عنوان یک مورد خاص از مانع پتانسیل محدود در نظر گرفته شود. تمام نتایج حاصل از این مقاله با در نظر گرفتن محدودیت‌ها، فوراً روی مانع پتانسیل دلتا اعمال می‌شود $V_{0}\to \infty ,\;a\to 0$ در حین نگهداری $V_{0}a=\lambda$ ثابت.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_potential_barrier

حل معادله شرودینگر برای پتانسیل پله ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 18:18

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک کوانتومی
بخشی از مجموعه مقالات در مورد
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}\|\psi (t)\rangle$ معادله شرودینگر
معرفی واژه نامه تاریخ
نشان می دهد زمینه
نشان می دهد مبانی
نشان می دهد آزمایش
نشان می دهد فرمولاسیون
نشان می دهد معادلات
نشان می دهد تفاسیر
نشان می دهد موضوعات پیشرفته
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

در مکانیک کوانتومی و تئوری پراکندگی ، پتانسیل گامی یک بعدی یک سیستم ایده آل است که برای مدل‌سازی امواج ماده برخوردی، بازتابی و ارسالی استفاده می‌شود . مسئله شامل حل معادله شرودینگر مستقل از زمان برای ذره ای با پتانسیل گام مانند در یک بعد است. به طور معمول، پتانسیل به عنوان تابع گام Heaviside مدل‌سازی می‌شود .

محاسبه [ ویرایش ]

معادله شرودینگر و تابع پتانسیل [ ویرایش ]

پراکندگی در یک پله پتانسیل محدود با ارتفاع V 0 که به رنگ سبز نشان داده شده است. دامنه و جهت امواج متحرک چپ و راست نشان داده شده است. زرد موج فرود است، آبی منعکس شده و منتقل می شود، قرمز رخ نمی دهد. E > V 0 برای این رقم.

معادله شرودینگر مستقل از زمان برای تابع موج $\psi (x)$ است

${\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)،$

که در آن Ĥ همیلتون است ، ħ ثابت پلانک کاهش یافته است ، m جرم ، E انرژی ذره است . پتانسیل گام به‌ک سادگی حاصل ضرب V 0 ، ارتفاع مانع و تابع گام Heaviside است :

$V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}$

مانع در x = 0 قرار می گیرد، اگرچه هر موقعیت x 0 ممکن است بدون تغییر نتایج انتخاب شود، به سادگی با جابجایی موقعیت گام به اندازه - x 0 .

اولین ترم در همیلتونی، ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ انرژی جنبشی ذره است .

راه حل [ ویرایش ]

گام فضا را به دو قسمت تقسیم می کند: x < 0 و x > 0. در هر یک از این قسمت ها پتانسیل ثابت است، به این معنی که ذره شبه آزاد است، و حل معادله شرودینگر را می توان به صورت برهم نهی سمت چپ و امواج متحرک سمت راست ( به ذره آزاد مراجعه کنید )

$\psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\lefttarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\ چهار x<0،$

$\psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\lefttarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\ چهار x>0$

در جایی که زیرنویس‌های 1 و 2 به ترتیب مناطق x < 0 و x > 0 را نشان می‌دهند، زیرنویس‌های (→) و (←) در دامنه‌های A و B جهت بردار سرعت ذره را نشان می‌دهند: به ترتیب راست و چپ.

بردارهای موج در مناطق مربوطه هستند

$k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},$

$k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}$

که هر دو شکل یکسانی با رابطه دو بروگلی دارند (در یک بعد)

$p=\hbar k$ .

شرایط مرزی [ ویرایش ]

ضرایب A ، B باید از شرایط مرزی تابع موج در x = 0 پیدا شود. تابع موج و مشتق آن باید در همه جا پیوسته باشند ، بنابراین:

$\psi _{1}(0)=\psi _{2}(0)$

$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx} }\right|_{x=0}.$

با درج توابع موج، شرایط مرزی محدودیت های زیر را در ضرایب ایجاد می کند

$(A_\راست+A_\tarrow)=(B_\راست+B_\فلش چپ)$

$k_1(A_\right-arrow-A_\ left-tarrow)=k_2(B_\right-arrow-B_\sight-tarrow)$

انتقال و بازتاب [ ویرایش ]

مقایسه وضعیت با حالت کلاسیک مفید است . در هر دو مورد، ذره به عنوان یک ذره آزاد خارج از منطقه مانع رفتار می کند. یک ذره کلاسیک با انرژی E بزرگتر از ارتفاع سد V 0 کند می شود اما هرگز توسط مانع منعکس نمی شود، در حالی که یک ذره کلاسیک با E < V 0 که روی مانع از سمت چپ برخورد می کند همیشه منعکس می شود. هنگامی که نتیجه مکانیکی کوانتومی را پیدا کردیم، به این سوال باز خواهیم گشت که چگونه حد کلاسیک را بازیابی کنیم.

برای مطالعه مورد کوانتومی، وضعیت زیر را در نظر بگیرید: یک ذره از سمت چپ روی مانع A → . ممکن است منعکس شود ( A ← ) یا منتقل شود ( B → ). در اینجا و موارد زیر E > V 0 را فرض کنید .

برای یافتن دامنه های انعکاس و انتقال برای تابش از سمت چپ، معادلات فوق را A → = 1 (ذره ورودی)،

A ← = √ R (بازتاب)، B ← = 0 (بدون ذره ورودی از سمت راست) قرار می دهیم. و

B → = √ Tk 1 / k 2 (انتقال [1] ).

سپس T و R را حل می کنیم .

نتیجه این است:

${\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}$

$\sqrt{R}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}.$

مدل با توجه به تبدیل برابری متقارن است و در عین حال k 1 و k 2 را مبادله می کند . بنابراین، برای وقوع از سمت راست، دامنه های انتقال و بازتاب را داریم

$\sqrt{T'}=\sqrt{T}=\frac{2\sqrt{k_1k_2}}{k_1+k_2}$

$\sqrt{R'}=-\sqrt{R}=\frac{k_2-k_1}{k_1+k_2}.$

تجزیه و تحلیل عبارات [ ویرایش ]

انعکاس و احتمال انتقال در یک پتانسیل گامی هوی ساید. خط چین: نتیجه کلاسیک. خطوط جامد: مکانیک کوانتومی برای E < V 0 مسئله کلاسیک و کوانتومی نتیجه یکسانی دارند.

انرژی کمتر از ارتفاع پله ( E < V 0 ) [ ویرایش ]

برای انرژی های E < V 0 ، تابع موج در سمت راست پله به طور تصاعدی در یک فاصله در حال فروپاشی است. $1/(k_2)$ .

انرژی بیشتر از ارتفاع پله ( E > V 0 ) [ ویرایش ]

در این محدوده انرژی، ضریب انتقال و بازتاب با حالت کلاسیک متفاوت است. آنها برای بروز از چپ و راست یکسان هستند:

$T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}$

$R=|R'|=1-T=\frac{(k_1-k_2)^2}{(k_1+k_2)^2}$

در حد انرژی های بزرگ E ≫ V 0 ، k 1 ≈ k 2 داریم و نتیجه کلاسیک T = 1، R = 0 بازیابی می شود.

بنابراین احتمال محدودی برای انعکاس ذره ای با انرژی بزرگتر از ارتفاع پله وجود دارد.

مراحل منفی [ ویرایش ]

در مورد E مثبت بزرگ و یک گام مثبت کوچک، T تقریباً 1 است.
اما، در مورد یک E مثبت کوچک و یک V منفی بزرگ ، آنگاه R تقریباً 1 است.

به عبارت دیگر، یک ذره کوانتومی یک افت پتانسیل بزرگ را منعکس می کند (همانطور که از یک پله پتانسیل بزرگ منعکس می شود). این از نظر عدم تطابق امپدانس منطقی است، اما به طور کلاسیک غیر شهودی به نظر می رسد ...

محدودیت کلاسیک [ ویرایش ]

نتیجه به دست آمده برای R فقط به نسبت E / V 0 بستگی دارد . به نظر می رسد این به طور سطحی اصل مطابقت را نقض می کند ، زیرا ما بدون توجه به مقدار ثابت پلانک یا جرم ذره، یک احتمال محدود بازتاب را به دست می آوریم. به عنوان مثال، به نظر می‌رسد پیش‌بینی می‌کنیم که وقتی یک سنگ مرمر به لبه میز می‌غلتد، احتمال زیادی وجود دارد که به جای افتادن به عقب منعکس شود. سازگاری با مکانیک کلاسیک با حذف این فرض غیرفیزیکی که پتانسیل گام ناپیوسته است بازیابی می شود. هنگامی که تابع پله با یک سطح شیبدار جایگزین می شود که فاصله محدودی را در بر می گیرد ، احتمال انعکاس در حد به صفر نزدیک می شود. $wk\to \infty$ ، که k عدد موج ذره است. [2]

محاسبه نسبیتی [ ویرایش ]

محاسبه نسبیتی یک ذره آزاد که با یک پتانسیل پله برخورد می کند را می توان با استفاده از مکانیک کوانتومی نسبیتی بدست آورد . در مورد فرمیون‌های 1/2، مانند الکترون‌ها و نوترینوها ، راه‌حل‌های معادله دیراک برای موانع انرژی بالا، ضرایب انتقال و انعکاس را تولید می‌کنند که محدود نیستند. این پدیده به پارادوکس کلاین معروف است . پارادوکس ظاهری در زمینه نظریه میدان کوانتومی ناپدید می شود .

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

پتانسیل گام Heaviside عمدتاً به عنوان تمرینی در مکانیک کوانتومی مقدماتی عمل می کند، زیرا راه حل نیاز به درک انواع مفاهیم مکانیک کوانتومی دارد: عادی سازی تابع موج، پیوستگی، دامنه های حادثه/بازتاب/انتقال و احتمالات.

مشکلی مشابه با آنچه در نظر گرفته شد در فیزیک رابط های ابررساناهای معمولی فلزی ظاهر می شود . شبه ذرات در پتانسیل جفتی پراکنده می شوند که در ساده ترین مدل ممکن است شکل پله مانندی در نظر گرفته شود. حل معادله Bogoliubov-de Gennes شبیه حل مورد بحث پتانسیل مرحله Heaviside است. در مورد ابررساناهای فلزی معمولی، این امر باعث انعکاس آندریف می شود .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Solution_of_Schr%C3%B6dinger_equation_for_a_step_potential

7-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:35

مشکل نیروی مرکزی دو بدنه [ ویرایش ]

مقاله‌های اصلی: مسئله دو بدنه و نیروی مرکزی

دو جسم به جرم m 1 و m 2 با بردارهای موقعیت r 1 و r 2 به دلیل پتانسیل مرکزی جذاب V در مدار یکدیگر هستند . ما ممکن است لاگرانژ را بر حسب مختصات موقعیت همانطور که هستند بنویسیم، اما یک روش ثابت برای تبدیل مسئله دو بدنه به یک مسئله یک بدنه به شرح زیر است. مختصات ژاکوبی را معرفی کنید . جدایی اجسام r = r 2 - r 1 و محل مرکز جرم R = ( m 1 r1 + m 2 r 2 ) / ( m 1 + m 2 ) . آنگاه لاگرانژ [35] [36] [nb 4] است.

$L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace { {\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}$

که در آن M = m 1 + m 2 جرم کل است، μ = m 1 m 2 / ( m 1 + m 2 ) جرم کاهش یافته است ، و V پتانسیل نیروی شعاعی است که فقط به بزرگی جدایی بستگی دارد. | r | = | r 2 − r 1 | . لاگرانژ به یک ترم مرکز جرم L cm و یک حرکت نسبی تقسیم می شوداصطلاح L rel .

معادله اویلر-لاگرانژ برای R به سادگی است

$M{\ddot {\mathbf {R} }}=0\,,$

که بیان می کند مرکز جرم در یک خط مستقیم با سرعت ثابت حرکت می کند.

از آنجایی که حرکت نسبی فقط به بزرگی جدایی بستگی دارد، ایده آل است که از مختصات قطبی ( r , θ ) استفاده کنیم و r = | r | ،

$L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }} ^{2})-V(r)\,,$

بنابراین θ یک مختصات چرخه ای با تکانه حفظ شده (زاویه ای) مربوطه است

$p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\ تتا }}=\ell \,.$

مختصات شعاعی r و سرعت زاویه ای d θ /d t می توانند با زمان تغییر کنند، اما فقط به گونه ای که ℓ ثابت باشد. معادله لاگرانژ برای r است

$\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}\,.$

این معادله مشابه معادله شعاعی است که با استفاده از قوانین نیوتن در یک قاب مرجع هم چرخان به دست آمده است، یعنی قابی که با جرم کاهش یافته می چرخد تا ثابت به نظر برسد. حذف سرعت زاویه ای d θ / d t از این معادله شعاعی، [37]

$\mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r ^{3}}}\,.$

که معادله حرکت برای یک مسئله یک بعدی است که در آن ذره ای با جرم μ تحت نیروی مرکزی به سمت داخل - d V / d r و نیروی دوم بیرونی قرار می گیرد که در این زمینه نیروی گریز از مرکز نامیده می شود.

$F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.$

البته، اگر فرد به طور کامل در فرمول یک بعدی باقی بماند، ℓ فقط به عنوان برخی از پارامترهای تحمیلی نیروی بیرونی وارد می شود، و تفسیر آن به عنوان تکانه زاویه ای بستگی به مسئله دو بعدی کلی تری دارد که مسئله یک بعدی از آن منشأ گرفته است. .

اگر کسی با استفاده از مکانیک نیوتنی در یک قاب هم چرخش به این معادله برسد، این تعبیر به عنوان نیروی گریز از مرکز در آن قاب به دلیل چرخش خود قاب مشهود است. اگر کسی مستقیماً با استفاده از مختصات تعمیم یافته ( r , θ ) و به سادگی از فرمول لاگرانژی بدون فکر کردن به فریم ها به این معادله برسیم، تفسیر این است که نیروی گریز از مرکز حاصل استفاده از مختصات قطبی است . همانطور که هیلدبراند می گوید: [38]

"از آنجایی که چنین مقادیری نیروهای فیزیکی واقعی نیستند، اغلب آنها را نیروهای اینرسی می نامند . وجود یا عدم وجود آنها بستگی به مشکل خاصی ندارد، بلکه به سیستم مختصات انتخاب شده بستگی دارد ." به طور خاص، اگر مختصات دکارتی انتخاب شود، نیروی گریز از مرکز ناپدید می شود، و فرمول فقط شامل خود نیروی مرکزی است، که نیروی مرکز را برای یک حرکت منحنی فراهم می کند.

این دیدگاه، که نیروهای ساختگی از انتخاب مختصات منشأ می گیرند، اغلب توسط کاربران روش لاگرانژی بیان می شود. این دیدگاه به طور طبیعی در رویکرد لاگرانژی به وجود می آید، زیرا چارچوب مرجع (احتمالاً ناخودآگاه) با انتخاب مختصات انتخاب می شود. برای مثال، برای مقایسه لاگرانژیان در چارچوب مرجع اینرسی و غیراینرسی، [39] را ببینید. همچنین به بحث در مورد فرمول‌های لاگرانژی «کل» و «به‌روزشده» نگاه کنید . در دیدگاه نیوتنی، نیروی اینرسی از شتاب چارچوب مشاهده سرچشمه می گیرد (این واقعیت که یک چارچوب مرجع اینرسی نیست.) نه در انتخاب سیستم مختصات. برای روشن نگه داشتن مسائل، بی خطرترین کار است که به نیروهای اینرسی لاگرانژی به عنوان نیروهای اینرسی تعمیم یافته اشاره کنیم تا آنها را از نیروهای اینرسی بردار نیوتنی متمایز کنیم. یعنی باید از پیروی هیلدبراند پرهیز کرد که می‌گوید (ص 155) "ما همیشه با نیروهای تعمیم‌یافته ، شتاب‌های سرعت و لحظه‌ای سروکار داریم. برای اختصار، صفت "تعمیم‌شده" اغلب حذف می‌شود.

مشخص است که لاگرانژی یک سیستم منحصر به فرد نیست. در فرمالیسم لاگرانژی، نیروهای ساختگی نیوتنی را می‌توان با وجود لاگرانژی‌های جایگزین شناسایی کرد که در آن‌ها نیروهای ساختگی ناپدید می‌شوند، که گاهی با بهره‌برداری از تقارن سیستم پیدا می‌شوند. [41]

الکترومغناطیس [ ویرایش ]

ذره آزمایشی ذره ای است که جرم و بار آن به قدری کوچک فرض می شود که تأثیر آن بر سیستم خارجی ناچیز است. اغلب یک ذره نقطه ای ساده شده فرضی است که هیچ خاصیت دیگری جز جرم و بار ندارد. ذرات واقعی مانند الکترون ها و کوارک های بالا پیچیده تر هستند و اصطلاحات اضافی در لاگرانژی خود دارند.

لاگرانژی برای یک ذره باردار با بار الکتریکی q ، که با میدان الکترومغناطیسی برهمکنش دارد ، نمونه اولیه یک پتانسیل وابسته به سرعت است. پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ = ϕ ( r , t ) و پتانسیل بردار مغناطیسی A = A ( r , t ) از میدان الکتریکی E = E ( r , t ) و میدان مغناطیسی B = تعریف می شوند .B ( r , t ) به شرح زیر است:

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} = {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \,.$

لاگرانژی یک ذره آزمایشی باردار عظیم در میدان الکترومغناطیسی

$L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi \,,$

حداقل کوپلینگ نامیده می شود . این مثال خوبی برای زمانی است که قاعده کلی که لاگرانژ انرژی جنبشی منهای انرژی پتانسیل است نادرست است. ترکیب با معادله اویلر-لاگرانژ ، قانون نیروی لورنتس را تولید می کند

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r}}}\times \mathbf {B}$

تبدیل تحت گیج :

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f\,,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}}\,,$

در جایی که f ( r ,t) هر تابع اسکالر فضا و زمان است، لاگرانژی فوق الذکر به صورت زیر تبدیل می شود:

$L\right arrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right) f=L+q{\frac {df}{dt}}\,,$

که همچنان همان قانون نیروی لورنتس را تولید می کند.

توجه داشته باشید که تکانه متعارف (مزوج به موقعیت r ) تکانه جنبشی به اضافه سهمی از میدان A است (معروف به تکانه پتانسیل):

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} \،.$

این رابطه همچنین در تجویز جفت حداقل در مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی استفاده می شود . از این عبارت، می‌توان دریافت که تکانه متعارف p ثابت سنج نیست، و بنابراین یک کمیت فیزیکی قابل اندازه‌گیری نیست. با این حال، اگر r چرخه‌ای باشد (یعنی لاگرانژ مستقل از موقعیت r باشد )، که اگر میدان‌های φ و A یکنواخت باشند، این تکانه متعارف p که در اینجا داده می‌شود، تکانه حفظ شده است، در حالی که تکانه جنبشی فیزیکی قابل اندازه‌گیری mv نیست .

الحاقات شامل نیروهای غیر محافظه کار [ ویرایش ]

اتلاف (یعنی سیستم‌های غیر محافظه‌کار) را می‌توان با یک لاگرانژی مؤثر که با دوبرابر شدن معینی درجات آزادی فرموله شده است، درمان کرد. [42] [43] [44] [45]

در یک فرمول کلی تر، نیروها می توانند هم محافظه کارانه و هم چسبناک باشند . اگر بتوان یک تبدیل مناسب از F i پیدا کرد ، ریلی استفاده از تابع اتلاف ، D ، به شکل زیر را پیشنهاد می‌کند: [46]

$D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}} _{j}{\dot {q}}_{k}\,$

که در آن C jk ثابت هایی هستند که به ضرایب میرایی در سیستم فیزیکی مربوط می شوند، البته نه لزوماً با آنها. اگر D به این صورت تعریف شود، [46]

$Q_j = - \frac {\partial V}{\partial q_j} - \frac {\partial D}{\partial \dot{q}_j}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\ راست)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$

سایر زمینه ها و فرمول ها [ ویرایش ]

ایده‌های مکانیک لاگرانژی کاربردهای متعددی در سایر حوزه‌های فیزیک دارند و می‌توانند نتایج کلی را از حساب تغییرات اتخاذ کنند.

8-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:35

فرمول بندی های جایگزین مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

یک فرمول نزدیک به مکانیک کلاسیک، مکانیک همیلتونی است . همیلتونی توسط

$H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i} }}-L\,$

و می توان با انجام تبدیل لژاندر روی لاگرانژ به دست آورد، که متغیرهای جدیدی را به صورت متعارف به متغیرهای اصلی معرفی می کند. برای مثال، با توجه به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته، متغیرهایی که بطور متعارف مزدوج می‌شوند ، لحظه‌های تعمیم‌یافته هستند. این تعداد متغیرها را دو برابر می کند، اما معادلات دیفرانسیل را مرتبه اول می کند. همیلتونی کمیتی به ویژه در مکانیک کوانتومی است که در همه جا حاضر است (به همیلتون (مکانیک کوانتومی) مراجعه کنید ).

مکانیک روتی یک فرمول ترکیبی از مکانیک لاگرانژی و همیلتونی است که اغلب در عمل استفاده نمی شود، اما یک فرمول کارآمد برای مختصات چرخه ای است.

فرمول بندی فضای تکانه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فضای موقعیت و تکانه § مکانیک لاگرانژی

معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان بر حسب لحظه‌های تعمیم‌یافته و نه مختصات تعمیم‌یافته، فرمول‌بندی کرد. انجام تبدیل لژاندر بر روی مختصات تعمیم یافته لاگرانژی L ( q , d q /d t , t ) گشتاور تعمیم یافته لاگرانژی L '( p , d p /d t , t را به دست می آورد.) بر حسب لاگرانژ اصلی، و همچنین معادلات EL بر حسب لحظه ای تعمیم یافته. هر دو لاگرانژی حاوی اطلاعات یکسانی هستند و می توان از هر یک برای حل حرکت سیستم استفاده کرد. در عمل مختصات تعمیم یافته برای استفاده و تفسیر راحت تر از لحظه ای تعمیم یافته است.

مشتقات بالاتر مختصات تعمیم یافته [ ویرایش ]

هیچ دلیل ریاضی برای محدود کردن مشتقات مختصات تعمیم یافته فقط به مرتبه اول وجود ندارد. می توان معادلات EL اصلاح شده را برای یک لاگرانژی حاوی مشتقات مرتبه بالاتر استخراج کرد، برای جزئیات به معادله اویلر-لاگرانژ مراجعه کنید. با این حال، از دیدگاه فیزیکی، مانعی برای گنجاندن مشتقات زمانی بالاتر از مرتبه اول وجود دارد، که با ساختن فرمالیسم متعارف استروگرادسکی برای لاگرانژی‌های مشتق بالاتر غیرمنحط، به Ostrogradsky_instability دلالت دارد .

اپتیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپتیک همیلتونی

مکانیک لاگرانژی را می توان با اعمال اصول تغییر بر پرتوهای نور در یک محیط، در اپتیک هندسی به کار برد، و حل معادلات EL معادلات مسیرهایی را که پرتوهای نور دنبال می کنند به دست می دهد.

فرمول نسبیتی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مکانیک لاگرانژی نسبیتی

مکانیک لاگرانژی را می توان در نسبیت خاص و نسبیت عام فرموله کرد . برخی از ویژگی‌های مکانیک لاگرانژی در نظریه‌های نسبیتی حفظ شده‌اند، اما مشکلات به سرعت در جنبه‌های دیگر ظاهر می‌شوند. به طور خاص، معادلات EL همان شکل را دارند، و ارتباط بین مختصات چرخه‌ای و لحظه‌ای حفظ‌شده همچنان اعمال می‌شود، اما لاگرانژ باید اصلاح شود و صرفاً جنبشی منهای انرژی پتانسیل یک ذره نیست. همچنین، رسیدگی به سیستم‌های چندذره‌ای به صورت آشکارا کوواریانت ساده نیست ، اگر یک چارچوب مرجع خاص مشخص شود ممکن است.

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی ، عمل و فاز مکانیکی کوانتومی از طریق ثابت پلانک به هم مرتبط هستند و اصل عمل ساکن را می‌توان بر حسب تداخل سازنده توابع موج درک کرد .

در سال 1948، فاینمن فرمول انتگرال مسیر را کشف کرد که اصل کمترین عمل را به مکانیک کوانتومی برای الکترون‌ها و فوتون‌ها گسترش می‌داد . در این فرمول، ذرات هر مسیر ممکن را بین حالت اولیه و نهایی طی می کنند. احتمال یک حالت نهایی خاص با جمع کردن تمام مسیرهای ممکن منتهی به آن به دست می آید. در رژیم کلاسیک، فرمول انتگرال مسیر به وضوح اصل همیلتون و اصل فرما را در اپتیک بازتولید می کند .

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، مختصات تعمیم یافته مجموعه گسسته ای از متغیرها را تشکیل می دهند که پیکربندی یک سیستم را تعریف می کنند. در نظریه میدان کلاسیک ، سیستم فیزیکی مجموعه‌ای از ذرات مجزا نیست، بلکه یک میدان پیوسته ϕ ( r , t ) است که بر روی یک منطقه از فضای سه‌بعدی تعریف شده است. مرتبط با میدان چگالی لاگرانژی است

${\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r} ,t)$

بر حسب میدان و مشتقات مکانی و زمانی آن در یک مکان r و زمان t تعریف شده است . مشابه با مورد ذره، برای کاربردهای غیر نسبیتی، چگالی لاگرانژی چگالی انرژی جنبشی میدان است، منهای چگالی انرژی پتانسیل آن (این به طور کلی درست نیست، و چگالی لاگرانژی باید "مهندسی معکوس" شود). سپس لاگرانژ انتگرال حجمی چگالی لاگرانژی در فضای سه بعدی است

$L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

که در آن d 3 r یک عنصر حجم دیفرانسیل سه بعدی است . لاگرانژ تابعی از زمان است زیرا چگالی لاگرانژی وابستگی ضمنی فضایی از طریق میدان‌ها دارد، و ممکن است وابستگی فضایی صریح داشته باشد، اما اینها در انتگرال حذف می‌شوند و تنها زمان به عنوان متغیر لاگرانژ باقی می‌ماند.

قضیه نوتر [ ویرایش ]

اصل کنش، و فرمالیسم لاگرانژی، با قضیه نوتر ، که کمیت‌های فیزیکی حفظ‌شده را به تقارن‌های پیوسته یک سیستم فیزیکی متصل می‌کند، گره خورده است.

اگر لاگرانژ تحت یک تقارن ثابت باشد، معادلات حرکتی حاصل نیز تحت آن تقارن تغییرناپذیر هستند. این مشخصه برای نشان دادن سازگاری نظریه ها با نسبیت خاص یا نسبیت عام بسیار مفید است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال نجوم

مختصات متعارف
لم اساسی حساب تغییرات
مشتق تابعی
مختصات تعمیم یافته
مکانیک هامیلتونی
اپتیک هامیلتونی
مسئله معکوس برای مکانیک لاگرانژی ، موضوع کلی یافتن لاگرانژی برای یک سیستم با توجه به معادلات حرکت.
مشخصات لاگرانژی و اولری میدان جریان
نقطه لاگرانژی
سیستم لاگرانژی
مکانیک غیرخودکار
مشکل فلات
مشکل سه تنه محدود

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

6-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:34

مختصات چرخه ای و لحظه ای حفظ شده [ ویرایش ]

یکی از ویژگی های مهم لاگرانژ این است که مقادیر حفظ شده را می توان به راحتی از آن خواند. تکانه تعمیم یافته "به طور متعارف مزدوج به" مختصات q i با تعریف می شود

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

اگر L لاگرانژی به مختصاتی q i وابسته نباشد ، بلافاصله از معادلات اویلر-لاگرانژ نتیجه می‌شود که

${\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q }}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\,$

و یکپارچه سازی نشان می دهد که تکانه تعمیم یافته متناظر برابر با یک مقدار ثابت و یک کمیت حفظ شده است. این یک مورد خاص از قضیه نوتر است . چنین مختصاتی را "حلقه ای" یا "غیر قابل توجه" می نامند.

برای مثال، یک سیستم ممکن است لاگرانژی داشته باشد

$L(r،\theta،{\dot {s}}،{\dot {z}}،{\dot {r}}،{\dot {\theta }}،{\dot {\phi }}،t )\،،$

جایی که r و z طول هایی در امتداد خطوط مستقیم هستند، s طول قوس در امتداد برخی از منحنی ها، و θ و φ زاویه هستند. توجه کنید z ، s و φ همگی در لاگرانژ وجود ندارند، حتی اگر سرعت آنها نباشد. سپس لحظه لحظه

$p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}\,,\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot { s}}}}\,,\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,$

همه کمیت های حفظ شده هستند. واحدها و ماهیت هر تکانه تعمیم یافته به مختصات مربوطه بستگی دارد. در این مورد p z یک تکانه انتقالی در جهت z است، ps نیز یک تکانه انتقالی در امتداد منحنی s اندازه گیری می شود، و p φ یک تکانه زاویه ای در صفحه است که زاویه φ در آن اندازه گیری می شود. هر چند حرکت پیچیده باشد سیستم این است که همه مختصات و سرعت ها به گونه ای تغییر می کنند که این لحظه ها حفظ شوند.

انرژی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

با توجه به لاگرانژی، $L،$ انرژی سیستم مکانیکی مربوطه، طبق تعریف ،

$E={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i}}}{\biggr )}-L.$

تغییر ناپذیری تحت تبدیل مختصات [ ویرایش ]

در هر لحظه $تی،$ انرژی تحت تغییرات مختصات فضای پیکربندی ثابت است $\mathbf {q} \to \mathbf {Q}$ ، یعنی

$E(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q},{\dot {\mathbf {Q} }},t).$

علاوه بر این نتیجه، اثبات زیر نشان می‌دهد که تحت چنین تغییر مختصات، مشتقات $\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ به عنوان ضرایب یک فرم خطی تغییر می کند.

نشان می دهداثبات

حفاظت [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، سیستم بسته است اگر و فقط اگر لاگرانژی باشد $L$ به صراحت به زمان بستگی ندارد. قانون بقای انرژی بیان می کند که انرژی $E$ یک سیستم بسته یک انتگرال حرکت است .

به طور دقیق تر، اجازه دهید $\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$ افراطی بودن . (به عبارت دیگر، $\mathbf {q}$ معادلات اویلر-لاگرانژ را برآورده می کند). در نظر گرفتن کل مشتق زمانی از $L$ در امتداد این اکسترمال و استفاده از معادلات EL منجر به

$-{\frac {\partial L}{\partial t}}{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d } t}}\left[E{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}\راست].$

اگر لاگرانژی $L$ پس صراحتاً به زمان بستگی ندارد، $\جزئی L/\جزئی t=0،$ بنابراین $E$ در واقع یک انتگرال حرکت است، به این معنی که

$E(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{const}}.$

از این رو، انرژی حفظ می شود.

انرژی های جنبشی و بالقوه [ ویرایش ]

همچنین نتیجه می شود که انرژی جنبشی تابع همگن درجه 2 در سرعت های تعمیم یافته است. علاوه بر این، اگر پتانسیل V فقط تابع مختصات و مستقل از سرعت باشد، با محاسبه مستقیم یا استفاده از قضیه اویلر برای توابع همگن ، نتیجه می‌شود که

$\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=2T\,.$

تحت همه این شرایط، [33] ثابت

$E=T+V$

انرژی کل سیستم است. انرژی های جنبشی و پتانسیل همچنان با تکامل سیستم تغییر می کنند، اما حرکت سیستم به گونه ای خواهد بود که مجموع آنها، انرژی کل، ثابت باشد. این یک ساده سازی ارزشمند است، زیرا انرژی E یک ثابت ادغام است که به عنوان یک ثابت دلخواه برای مسئله به حساب می آید، و ممکن است بتوان سرعت های این رابطه انرژی را برای حل مختصات ادغام کرد. در صورتی که سرعت یا انرژی جنبشی یا هر دو به زمان بستگی داشته باشد، انرژی حفظ نمی شود .

شباهت مکانیکی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: شباهت مکانیکی

اگر انرژی پتانسیل تابعی همگن از مختصات و مستقل از زمان باشد، [34] و همه بردارهای موقعیت با همان ثابت غیرصفر α ، r k ′ = α r k مقیاس بندی می شوند ، به طوری که

$V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V( \mathbf {r} _{1}،\mathbf {r} _{2}،\ldots،\mathbf {r} _{N})$

و زمان با ضریب β , t = βt , سپس سرعتهای v k با ضریب α / β و انرژی جنبشی T با ( α / β ) 2 مقیاس می شوند . کل لاگرانژی با همان فاکتور اگر مقیاس شده است

${\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N {2}}}\,.$

از آنجایی که طول ها و زمان ها مقیاس بندی شده اند، مسیر ذرات در سیستم مسیرهای هندسی مشابهی را دنبال می کنند که در اندازه متفاوت هستند. طول l پیموده شده در زمان t در مسیر اصلی مطابق با طول جدید l' پیموده شده در زمان t' در مسیر جدید است که توسط نسبت ها داده می شود.

${\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}\,.$

ذرات متقابل [ ویرایش ]

برای یک سیستم معین، اگر دو زیرسیستم A و B غیر متقابل باشند، L لاگرانژی سیستم کلی مجموع لاگرانژی L A و L B برای زیرسیستم‌ها است: [29]

$L=L_{A}+L_{B}\،.$

اگر آنها تعامل داشته باشند این امکان پذیر نیست. در برخی موقعیت‌ها، ممکن است بتوان لاگرانژی سیستم L را به مجموع لاگرانژی‌های غیر متقابل، به اضافه L AB لاگرانژی دیگری که حاوی اطلاعاتی درباره برهمکنش است، جدا کرد.

$L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}\،.$

این ممکن است از نظر فیزیکی با در نظر گرفتن لاگرانژهای غیر متقابل به عنوان انرژی جنبشی ایجاد شود، در حالی که لاگرانژین برهمکنش کل انرژی پتانسیل سیستم است. همچنین، در حالت محدود کننده تعامل ناچیز، L AB به سمت صفر کاهش می‌یابد تا حالت غیر متقابل بالا کاهش یابد.

گسترش بیش از دو زیرسیستم غیر متقابل ساده است - لاگرانژی کلی مجموع لاگرانژهای جداگانه برای هر زیرسیستم است. اگر فعل و انفعالاتی وجود داشته باشد، لاگرانژی های تعاملی ممکن است اضافه شوند.

مثالها [ ویرایش ]

مثال‌های زیر معادلات لاگرانژ از نوع دوم را برای مسائل مکانیکی اعمال می‌کنند.

نیروی محافظه کار [ ویرایش ]

ذره ای به جرم m تحت تأثیر نیروی محافظه کارانه ناشی از گرادیان ∇ پتانسیل اسکالر حرکت می کند .

$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r})\,.$

اگر تعداد ذرات بیشتر باشد، مطابق با نتایج فوق، انرژی جنبشی کل مجموع تمام انرژی‌های جنبشی ذرات است و پتانسیل تابعی از همه مختصات است.

مختصات دکارتی [ ویرایش ]

لاگرانژی ذره را می توان نوشت

$L(x,y,z,{\dot {x}},{\ dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x }}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z)\,.$

معادلات حرکت برای ذره با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ ، برای مختصات x پیدا می شود.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={ \frac {\partial L}{\partial x}}\,,$

با مشتقات

${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial { \dot {x}}}}=m{\dot {x}}\,,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}\,,$

از این رو

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,$

و به طور مشابه برای مختصات y و z . با جمع آوری معادلات به صورت برداری پیدا می کنیم

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V$

که قانون دوم حرکت نیوتن برای ذره ای است که تحت یک نیروی محافظه کار است.

مختصات قطبی در دو بعدی و سه بعدی [ ویرایش ]

با استفاده از مختصات کروی (r، θ ، φ ) که معمولاً در فیزیک استفاده می شود (قرارداد ISO 80000-2:2019)، که در آن r فاصله شعاعی تا مبدأ است، θ زاویه قطبی است (همچنین به عنوان همپوشانی، زاویه اوج، زاویه معمولی نیز شناخته می شود. ، یا زاویه شیب)، و φ زاویه ازیموتال است، لاگرانژ برای پتانسیل مرکزی است

$L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2 }\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.$

بنابراین، در مختصات کروی، معادلات اویلر-لاگرانژ هستند

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\ frac {\partial V}{\partial r}}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \ تتا \,{\dot {\varphi }}^{2}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0\ ،.$

مختصات φ چرخه ای است زیرا در لاگرانژی ظاهر نمی شود، بنابراین تکانه حفظ شده در سیستم، تکانه زاویه ای است.

$p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}\ ،،$

که در آن r ، θ و dφ/dt همگی می توانند با زمان تغییر کنند، اما فقط به گونه ای که p φ ثابت باشد.

لاگرانژ در مختصات قطبی دوبعدی با تثبیت θ به مقدار ثابت π /2 بازیابی می شود.

آونگ روی تکیه گاه متحرک [ ویرایش ]

طرحی از وضعیت با تعریف مختصات (برای بزرگنمایی کلیک کنید)

آونگی به جرم m و طول ℓ را در نظر بگیرید که به تکیه‌گاهی با جرم M متصل است که می‌تواند در امتداد یک خط حرکت کند.ایکس $ایکس$ -جهت. اجازه دهیدایکس $ایکس$ مختصات در امتداد خط تکیه گاه باشد، و اجازه دهید موقعیت آونگ را با زاویه نشان دهیم $\ تتا$ از عمودی مختصات و مولفه های سرعت آونگ باب هستند

${\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} } ={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\ نقطه {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \,.\end{آرایه}}$

مختصات تعمیم یافته را می توان در نظر گرفتایکس $ایکس$ و $\ تتا$ . انرژی جنبشی سیستم پس از آن است

$T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_ {\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)$

و انرژی پتانسیل است

$V=mgy_{\mathrm {pend} }$

دادن لاگرانژ

${\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1 {2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right ){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^ {2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta \,.\end{آرایه}}$

از آنجا کهایکس $ایکس$ در لاگرانژی وجود ندارد، یک مختصات چرخه ای است. تکانه حفظ شده است

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\ تتا }}\cos \theta \,$

و معادله لاگرانژ برای مختصات پشتیبانیایکس $ایکس$ است

$(M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \ تتا = 0\,.$

معادله لاگرانژ برای زاویه $\ تتا$ است

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( \dot x \ell \cos\theta + \ell^2 \dot\theta ) \right] + m \ell (\ نقطه x \dot \theta + g) \sin\theta = 0;$

و ساده کردن

${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.$

این معادلات ممکن است کاملاً پیچیده به نظر برسند، اما یافتن آنها با قوانین نیوتن مستلزم شناسایی دقیق همه نیروها بود که بسیار پر زحمت و مستعد خطا بودند. با در نظر گرفتن موارد محدود می توان صحت این سیستم را تأیید کرد: به عنوان مثال،ایکس¨→0 ${\ddot {x}}\to 0$ باید معادلات حرکت یک آونگ ساده را که در یک قاب اینرسی ساکن است ، ارائه دهد ، در حالی که¨→0 ${\ddot {\theta }}\to 0$ باید معادلات یک آونگ در یک سیستم دائماً شتاب‌دهنده و غیره را ارائه دهد. علاوه بر این، با توجه به شرایط شروع مناسب و یک گام زمانی انتخابی، با گام برداشتن از نتایج به صورت تکراری، به دست آوردن نتایج به صورت عددی امری بی‌اهمیت است .

5-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:32

ضرب کننده ها و محدودیت های لاگرانژ [ ویرایش ]

L لاگرانژی را می توان در مختصات r k دکارتی تغییر داد ، برای ذرات N ،

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{ k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0\,.$

اصل همیلتون همچنان معتبر است، حتی اگر مختصات L بیان شده در آن مستقل نباشند، در اینجا r k ، اما محدودیت ها همچنان هولونومی فرض می شوند. [28] مثل همیشه نقاط انتهایی برای همه k ثابت هستند δr k ( t 1 ) = δ r k ( t 2 ) = 0 . کاری که نمی توان انجام داد این است که به سادگی ضرایب δ r k را با صفر برابر کنیم زیرا δ r k مستقل نیستند. در عوض، روش ضریب لاگرانژمی توان برای گنجاندن محدودیت ها استفاده کرد. ضرب هر معادله قید f i ( r k , t ) = 0 در ضریب لاگرانژ λ i برای i = 1, 2, ..., C و افزودن نتایج به لاگرانژی اصلی، لاگرانژی جدید به دست می آید.

$L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)\,.$

ضرب کننده های لاگرانژ توابع دلخواه زمان t هستند ، اما توابعی از مختصات r k نیستند ، بنابراین ضریب ها با مختصات موقعیت برابر هستند. تغییر این لاگرانژی جدید و ادغام با توجه به زمان می دهد

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{ k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i} {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t= 0\,.$

ضرب‌کننده‌های معرفی‌شده را می‌توان به‌گونه‌ای یافت که ضرایب δ r k صفر هستند، حتی اگر r k مستقل نباشند. معادلات حرکت دنبال می شود. از تحلیل قبلی، به دست آوردن جواب این انتگرال معادل عبارت است

${\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac { \partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _ {k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k }}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\ ،،$

که معادلات لاگرانژ از نوع اول هستند . همچنین معادلات λ i اویلر-لاگرانژ برای لاگرانژ جدید معادلات محدودیت را برمی گرداند.

${\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L '}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0\,.$

در مورد یک نیروی محافظه کارانه داده شده توسط گرادیان مقداری انرژی پتانسیل V ، تنها تابعی از مختصات rk است که جایگزین لاگرانژی L = T - V می شود.

$\underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\ frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\ جزئی V}{\ جزئی \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{ \frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\,,$

و با شناسایی مشتقات انرژی جنبشی به عنوان نیروی برآیند (منفی) و مشتقات پتانسیل برابر با نیروی غیرمحدود، از نیروهای محدودیت پیروی می کند.

$\mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\،،$

بنابراین نیروهای محدودیت را به صراحت بر حسب معادلات محدودیت و ضرب کننده های لاگرانژ می دهد.

خواص لاگرانژ [ ویرایش ]

منحصر به فرد نبودن [ ویرایش ]

لاگرانژی یک سیستم معین منحصر به فرد نیست. یک L لاگرانژی را می توان در یک ثابت غیر صفر a ضرب کرد و با یک ثابت دلخواه b جابه جا کرد و L' = aL + b لاگرانژی جدید همان حرکت L را توصیف می کند . اگر مانند بالا به مسیرها محدود شود $\mathbf {q}$ در یک بازه زمانی معین $[t_{\text{st}},t_{\text{fin}}]$ و نقاط پایانی ثابت $P_{\text{st}}=\mathbf {q} (t_{\text{st}})$ و $P_{\text{fin}}=\mathbf {q} (t_{\text{fin}})$ ، سپس دو لاگرانژی که یک سیستم را توصیف می کنند می توانند با "مشتق زمان کل" یک تابع متفاوت باشند. $f(\mathbf {q} ,t)$ : [29]

$L'(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)+ {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}،$

جایی که $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}$ به معنای $\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q},t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q},t )}{\جزئی q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.$

هر دو لاگرانژی $L$ و $L'$ معادلات حرکتی یکسان [30] [31] از اعمال مربوطه را تولید می کنداس $اس$ واس" $S'$ از طریق مرتبط هستند

${\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t)،{\dot {\mathbf {q} }}(t)،t)\,dt=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{ fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{ t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\=S[\ mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end {هم راستا}}$

با دو جزء آخر $f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})$ و $f(P_{\text{st}},t_{\text{st}})$ مستقل از. $\mathbf {q}.$

تغییر ناپذیری تحت تبدیل نقطه [ ویرایش ]

با توجه به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته q ، اگر این متغیرها را به مجموعه جدیدی از مختصات تعمیم‌یافته s با توجه به تبدیل نقطه‌ای q = q ( s , t ) تغییر دهیم، L جدید لاگرانژی تابعی از مختصات جدید است.

$L(\mathbf {q} (\mathbf {s} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {s},{\dot {\mathbf {s} }},t) t)=L'(\mathbf {s} ,{\dot {\mathbf {s} }},t)\,,$

و با قانون زنجیره ای برای تمایز جزئی، معادلات لاگرانژ تحت این تبدیل ثابت هستند. [32]

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {s}}_{i}}}={\ frac {\partial L'}{\partial s_{i}}}\,.$

این ممکن است معادلات حرکت را ساده کند.

4-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:31

معادلات اویلر-لاگرانژ و اصل همیلتون [ ویرایش ]

همانطور که سیستم تکامل می یابد، q مسیری را از طریق فضای پیکربندی ردیابی می کند (فقط برخی از آنها نشان داده شده است). مسیر طی شده توسط سیستم (قرمز) دارای یک عمل ثابت است (δ S = 0) تحت تغییرات کوچک در پیکربندی سیستم (δ q ). [22]

برای یک نیروی غیر محافظه کار که به سرعت بستگی دارد، ممکن است بتوان تابع انرژی پتانسیل V را پیدا کرد که به موقعیت ها و سرعت ها بستگی دارد. اگر نیروهای تعمیم یافته Q i را بتوان از پتانسیل V به دست آورد که [23] [24]

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}} }-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,$

معادل کردن معادلات لاگرانژ و تعریف لاگرانژ به صورت L = T − V معادلات لاگرانژ نوع دوم یا معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ به دست می آید .

${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$

با این حال، معادلات اویلر-لاگرانژ تنها در صورتی می‌توانند نیروهای غیرمحافظه‌کار را محاسبه کنند که یک پتانسیل مطابق شکل پیدا شود. این ممکن است همیشه برای نیروهای غیر محافظه کار ممکن نباشد، و معادلات لاگرانژ شامل هیچ بالقوه ای نیست، فقط نیروهای تعمیم یافته را شامل می شود. بنابراین آنها از معادلات اویلر-لاگرانژ کلی تر هستند.

معادلات اویلر-لاگرانژ نیز از حساب تغییرات پیروی می کنند . تنوع لاگرانژی است

$\delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac { \جزئی L}{\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right)\,,\quad \delta {\dot {q}} _{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j}) }{\mathrm {d} t}}\,,$

که شکلی شبیه دیفرانسیل کل L دارد ، اما جابجایی های مجازی و مشتقات زمانی آنها جایگزین دیفرانسیل ها می شوند و مطابق با تعریف جابجایی های مجازی، افزایش زمانی وجود ندارد . ادغام توسط قطعات با توجه به زمان می تواند مشتق زمانی δq j را به ∂ L /∂ (d q j / d t ) منتقل کند، در فرآیند مبادله d( δq j )/d t برای δq j ، که به مستقل اجازه می دهد. جابجایی های مجازی که باید از مشتقات لاگرانژ فاکتورسازی شوند،

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _ {j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm { d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d } }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d } t\,=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j} \right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({ \frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t\,.$

حال، اگر شرط δq j ( t 1 ) = δq j ( t 2 ) = 0 برای همه j برقرار باشد ، عبارت های ادغام نشده صفر هستند. اگر علاوه بر این، کل انتگرال زمانی δL صفر باشد، پس چون δq j مستقل هستند و تنها راه برای صفر شدن یک انتگرال معین این است که انتگرال برابر با صفر باشد، هر یک از ضرایب δq j نیز باید صفر باشد. سپس معادلات حرکت را بدست می آوریم. این را می توان با اصل همیلتون خلاصه کرد :

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0\,.$

انتگرال زمانی لاگرانژ کمیت دیگری به نام عمل است که به صورت [25] تعریف می شود.

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,,$

که یک عملکردی است ؛ تابع لاگرانژی را برای تمام زمان های بین t 1 و t 2 می گیرد و یک مقدار اسکالر را برمی گرداند. ابعاد آن مانند [ تکانه زاویه ای ]، [انرژی]·[زمان] یا [طول]·[تکانه] است. با این تعریف اصل همیلتون است

$\delta S=0\,.$

بنابراین، به جای فکر کردن در مورد شتاب ذرات در پاسخ به نیروهای اعمال شده، ممکن است به این فکر کنیم که آنها مسیر را با یک عمل ثابت انتخاب می کنند، در حالی که نقاط انتهایی مسیر در فضای پیکربندی در زمان های اولیه و نهایی ثابت هستند. گاهی اوقات از اصل همیلتون به عنوان اصل کم‌ترین عمل یاد می‌شود ، با این حال تابع عمل فقط باید ثابت باشد ، نه لزوماً یک مقدار حداکثر یا حداقل. هر گونه تغییر عملکردی باعث افزایش انتگرال عملکردی عمل می شود.

از نظر تاریخی، ایده یافتن کوتاه‌ترین مسیری که یک ذره می‌تواند بر اساس نیرویی دنبال کند، اولین کاربردهای حساب تغییرات را برای مسائل مکانیکی ایجاد کرد، مانند مسئله براکیستوکرون که توسط ژان برنولی در سال 1696 حل شد ، و همچنین لایب‌نیتس ، دانیل برنولی ، L'Hôpital تقریباً در همان زمان و نیوتن در سال بعد. [26] خود نیوتن در امتداد خطوط حساب متغیر فکر می کرد، اما منتشر نکرد. [26] این ایده ها به نوبه خود منجر به اصول تغییر مکانیک، فرما ، Maupertuis می شود.اویلر ، همیلتون و دیگران.

اگر معادلات محدودیت را بتوان به شکل معینی، ترکیبی خطی از دیفرانسیل های مرتبه اول در مختصات، قرار داد ، اصل همیلتون را می توان برای محدودیت های غیرهولونومیک به کار برد. معادله محدودیت حاصل را می توان به معادله دیفرانسیل مرتبه اول بازآرایی کرد. [27] این در اینجا داده نخواهد شد.

3-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:30

اصل دالامبر [ ویرایش ]

ژان دالامبر (1717-1783)

یک درجه آزادی

دو درجه آزادی.

نیروی محدودیت C و جابجایی مجازی δ r برای ذره ای با جرم m محدود به یک منحنی. نیروی غیر محدودیتی حاصل N است .

یک نتیجه اساسی در مکانیک تحلیلی اصل دالامبر است که در سال 1708 توسط ژاک برنولی برای درک تعادل استاتیکی معرفی شد و توسط دالامبر در سال 1743 برای حل مسائل دینامیکی توسعه یافت. [13] این اصل برای N ذره بیان می کند که کار مجازی، یعنی کار در امتداد یک جابجایی مجازی، δr k ، صفر است: [5]

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k}) \cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.$

جابجایی‌های مجازی ، δrk ، طبق تعریف، تغییرات بی‌نهایت کوچکی در پیکربندی سیستم هستند که با نیروهای محدودیتی که در یک لحظه بر سیستم وارد می‌شوند ، [ 14 ] ، یعنی به گونه‌ای که نیروهای محدودیت حرکت محدود را حفظ می‌کنند. . آنها با جابجایی های واقعی در سیستم یکسان نیستند، که ناشی از محدودیت های حاصل و نیروهای غیرمحدودی است که بر روی ذره برای شتاب و حرکت آن وارد می شوند. [nb 2] کار مجازی کاری است که در امتداد یک جابجایی مجازی برای هر نیرو (محدود یا غیرمحدودیت) انجام می شود.

از آنجایی که نیروهای محدودیت عمود بر حرکت هر ذره در سیستم عمل می کنند تا محدودیت ها را حفظ کنند، کل کار مجازی توسط نیروهای محدودیت وارد بر سیستم صفر است: [15] [nb 3]

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,,$

به طوری که

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _ {k}=0\,.$

بنابراین اصل دالامبر به ما این امکان را می دهد که فقط روی نیروهای غیر محدودیتی اعمال شده تمرکز کنیم و نیروهای محدودیت را در معادلات حرکت حذف کنیم. [16] [17] شکل نشان داده شده نیز مستقل از انتخاب مختصات است. با این حال، نمی توان به راحتی از آن برای تنظیم معادلات حرکت در یک سیستم مختصات دلخواه استفاده کرد، زیرا جابجایی های δrk ممکن است توسط یک معادله محدودیت به هم متصل شوند، که ما را از تنظیم مجموع N فردی بر روی 0 باز می دارد. بنابراین ما به دنبال یک سیستم مختصات متقابل مستقلی که مجموع مجموع آنها 0 خواهد بود اگر و فقط اگر مجموع مجزاها 0 باشد. تنظیم هر یک از مجموع ها روی 0 در نهایت معادلات حرکت جدا شده ما را به ما می دهد.

معادلات حرکت از اصل دالامبر [ ویرایش ]

اگر محدودیت هایی روی ذره k وجود داشته باشد ، پس از آنجایی که مختصات موقعیت r k = ( x k , y k , z k ) با یک معادله محدودیت به هم مرتبط می شوند، جابجایی های مجازی δ r k = ( δx k ) نیز وجود دارد. , δy k , δz k ). از آنجایی که مختصات تعمیم یافته مستقل هستند، می توانیم با تبدیل به جابجایی های مجازی در مختصات تعمیم یافته از عوارض مربوط به δ r k جلوگیری کنیم. اینها به همان شکل مرتبط هستنددیفرانسیل کل ، [5]

$\delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j} }}\delta q_{j}\,.$

هیچ مشتق زمانی جزئی با توجه به زمان ضرب در یک افزایش زمانی وجود ندارد، زیرا این یک جابجایی مجازی است، یکی در امتداد محدودیت ها در یک لحظه از زمان.

اولین عبارت در اصل دالامبر در بالا، کار مجازی است که توسط نیروهای غیرمحدود N k در امتداد جابجایی‌های مجازی δrk انجام می‌شود ، و می‌توان بدون از دست دادن کلیت آن را با تعریف نیروهای تعمیم‌یافته به آنالوگ‌های تعمیم‌یافته تبدیل کرد.

$Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\,,$

به طوری که

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N} \mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}\,.$

این نیمی از تبدیل به مختصات تعمیم یافته است. باقی مانده است که عبارت شتاب را به مختصات تعمیم یافته تبدیل کنیم، که بلافاصله مشخص نیست. با یادآوری شکل لاگرانژ قانون دوم نیوتن، مشتقات جزئی انرژی جنبشی با توجه به مختصات و سرعت های تعمیم یافته را می توان یافت که نتیجه مطلوب را به دست می دهد: [ 5]

$\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_ {j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}- {\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\,.$

اکنون اصل دالامبر در مختصات تعمیم یافته در صورت لزوم است.

$\sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\ T جزئی {\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}= 0\,,$

و از آنجایی که این جابجایی‌های مجازی δq j مستقل و غیرصفر هستند، ضرایب را می‌توان برابر با صفر دانست که در نتیجه معادلات لاگرانژ [18] [19] یا معادلات تعمیم‌یافته حرکت ، [20]

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}} }-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

این معادلات معادل قوانین نیوتن برای نیروهای غیرمحدود است . نیروهای تعمیم یافته در این معادله فقط از نیروهای غیر محدودیتی مشتق شده اند - نیروهای محدودیت از اصل دالامبر مستثنی شده اند و نیازی به یافتن ندارند. نیروهای تعمیم یافته ممکن است غیر محافظه کار باشند، مشروط بر اینکه اصل دالامبر را برآورده کنند. [21]

2-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:25

لاگرانژی [ ویرایش ]

مکانیک لاگرانژی به جای نیرو، از انرژی های موجود در سیستم استفاده می کند. کمیت مرکزی مکانیک لاگرانژی لاگرانژی است ، تابعی که دینامیک کل سیستم را خلاصه می کند. به طور کلی، لاگرانژ دارای واحدهای انرژی است، اما هیچ بیان واحدی برای همه سیستم‌های فیزیکی ندارد. هر تابعی که معادلات صحیح حرکت را در توافق با قوانین فیزیکی ایجاد کند، می تواند به عنوان لاگرانژی در نظر گرفته شود. با این وجود می توان عبارات کلی برای کلاس های بزرگی از برنامه ها ساخت. لاگرانژی غیر نسبیتی برای سیستمی از ذرات در غیاب میدان مغناطیسی توسط [4] به دست می آید.

$L=TV$

جایی که

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}$ انرژی جنبشی کل سیستم، برابر با مجموع Σ انرژی جنبشی ذرات است، [5] و V انرژی پتانسیل سیستم است .

انرژی جنبشی انرژی حرکت سیستم است و v k 2 = v k · v k قدر مجذور سرعت است که معادل حاصل ضرب نقطه ای سرعت با خودش است. انرژی جنبشی تنها تابعی از سرعت v k است ، نه موقعیت r k و نه زمان t ، بنابراین T = T ( v 1 ، v 2 ، ...).

انرژی پتانسیل سیستم انرژی برهمکنش بین ذرات را منعکس می‌کند، یعنی اینکه هر ذره در اثر بقیه و سایر تأثیرات خارجی چقدر انرژی خواهد داشت. برای نیروهای محافظه کار (مثلاً گرانش نیوتنی )، تابعی از بردارهای موقعیت ذرات است، بنابراین V = V ( r 1 ، r 2 ، ...). برای آن دسته از نیروهای غیر محافظه کار که می توانند از یک پتانسیل مناسب استخراج شوند (مثلاً پتانسیل الکترومغناطیسی ) ، سرعت ها نیز ظاهر می شوند، V = V ( r1 , r2 ) ., ..., v 1 , v 2 , ...). اگر مقداری میدان خارجی یا نیروی محرکه خارجی با زمان تغییر کند، پتانسیل با زمان تغییر خواهد کرد، بنابراین به طور کلی V = V ( r 1 ، r 2 ، ...، v 1 ، v 2 ، ...، t ) .

شکل بالا از L در مکانیک لاگرانژی نسبیتی یا در حضور میدان مغناطیسی هنگام استفاده از عبارت معمولی برای انرژی پتانسیل برقرار نیست و باید با تابعی مطابق با نسبیت خاص یا عام جایگزین شود. همچنین برای نیروهای اتلاف کننده باید تابع دیگری در کنار L معرفی شود .

یک یا چند ذره ممکن است هر کدام تحت یک یا چند محدودیت هولونومی باشند . چنین محدودیتی با معادله ای به شکل f ( r , t ) = 0 توصیف می شود. اگر تعداد قیود در سیستم C باشد ، آنگاه هر محدودیت دارای یک معادله است، f 1 ( r , t ) = 0، f 2 ( r , t ) = 0, ..., f C ( r , t ) = 0 که هر کدام می تواند برای هر یک از ذرات اعمال شود. اگر ذره k تابع قید i باشد ، پسf i ( r k , t ) = 0. در هر لحظه از زمان، مختصات یک ذره محدود به هم مرتبط هستند و مستقل نیستند. معادلات محدودیت مسیرهای مجاز را تعیین می کنند که ذرات می توانند در امتداد آنها حرکت کنند، اما نه اینکه کجا هستند یا با چه سرعتی در هر لحظه حرکت می کنند. محدودیت‌های غیرهولونومیک به سرعت ذرات، شتاب‌ها یا مشتقات بالاتر موقعیت بستگی دارند. مکانیک لاگرانژی را فقط می‌توان برای سیستم‌هایی اعمال کرد که محدودیت‌های آنها، در صورت وجود، همه هولونومی هستند . سه نمونه از محدودیت‌های غیرهولونومیک عبارتند از: [6]هنگامی که معادلات محدودیت غیر قابل انتگرال هستند، زمانی که محدودیت ها دارای نابرابری هستند، یا با نیروهای غیر محافظه کار پیچیده مانند اصطکاک. محدودیت‌های غیرهولونومیک نیاز به درمان خاصی دارند و ممکن است مجبور باشیم به مکانیک نیوتنی برگردیم یا از روش‌های دیگر استفاده کنیم.

اگر T یا V یا هر دو به‌دلیل محدودیت‌های متغیر با زمان یا تأثیرات خارجی به طور صریح به زمان وابسته باشند، L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ... t ) صراحتاً وابسته به زمان است . اگر نه پتانسیل و نه انرژی جنبشی به زمان بستگی ندارد، آنگاه L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ...) به صراحت از زمان مستقل است.. در هر صورت، لاگرانژی همیشه از طریق مختصات تعمیم یافته وابستگی زمانی ضمنی خواهد داشت.

با این تعاریف، معادلات لاگرانژ از نوع اول [7] است .

معادلات لاگرانژ (نوع اول)

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\ جزئی L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{ i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0$

جایی که k = 1، 2، ...، N ذرات را برچسب گذاری می کند، یک ضریب لاگرانژ λ i برای هر معادله محدودیت f i وجود دارد ، و

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac { \partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)\,,\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial } {\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)$

هر کدام مختصر برای بردار مشتقات جزئی ∂/∂ با توجه به متغیرهای نشان داده شده هستند (نه مشتق با توجه به کل بردار). [nb 1] هر overdot مختصر یک مشتق زمانی است . این روش تعداد معادلات را در مقایسه با قوانین نیوتن از 3 N به 3 N + C افزایش می دهد، زیرا 3 N معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات و ضرب کننده های موقعیت به اضافه C وجود دارد.معادلات محدودیت با این حال، هنگامی که در کنار مختصات موقعیت ذرات حل شود، ضرب کننده ها می توانند اطلاعاتی در مورد نیروهای محدودیت به دست آورند. لازم نیست مختصات با حل معادلات قید حذف شوند.

در لاگرانژی، مختصات موقعیت و مولفه‌های سرعت همگی متغیرهای مستقل هستند و مشتقات لاگرانژی با توجه به آنها به طور جداگانه طبق قوانین تمایز معمول (مثلاً مشتق جزئی L با توجه به مولفه سرعت z ذره گرفته می‌شوند. 2، تعریف شده توسط، $v_{z,2}=dz_{2}/dt$ ، فقط است $\partial L/\partial v_{z,2}$ ; برای ارتباط دادن مولفه سرعت به مختصات مربوطه z 2 نیازی به استفاده از قوانین زنجیره نامناسب یا مشتقات کل نیست .

در هر معادله محدودیت، یک مختصات زائد است زیرا از مختصات دیگر تعیین می شود. بنابراین تعداد مختصات مستقل n = 3 N - C است . ما می‌توانیم هر بردار موقعیت را به یک مجموعه مشترک از n مختصات تعمیم‌یافته تبدیل کنیم ، که به راحتی به صورت n -tuple q = ( q 1 , q 2 , ... q n ) نوشته می‌شود، با بیان هر بردار موقعیت، و از این رو مختصات موقعیت، به عنوان توابع مختصات تعمیم یافته و زمان،

$\mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)=(x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k }(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t)\,.$

بردار q نقطه ای در فضای پیکربندی سیستم است. مشتقات زمانی مختصات تعمیم یافته را سرعت های تعمیم یافته می نامند و برای هر ذره تبدیل بردار سرعت آن، مشتق کل موقعیت آن نسبت به زمان است.

${\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\,,\quad \mathbf {v} _{ k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j }+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.$

با توجه به این v k ، انرژی جنبشی در مختصات تعمیم یافته به سرعت های تعمیم یافته، مختصات تعمیم یافته و زمان بستگی دارد اگر بردارهای موقعیت به دلیل محدودیت های متغیر زمان به طور صریح به زمان وابسته باشند، بنابراین $T=T(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)$ .

با این تعاریف، معادلات اویلر-لاگرانژ ، یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم [8] [9]

معادلات لاگرانژ (نوع دوم)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\ q_j} جزئی$

نتایج ریاضی حاصل از حساب تغییرات هستند که می توانند در مکانیک نیز استفاده شوند. جایگزینی در L لاگرانژی ( q , d q /d t , t ) معادلات حرکت سیستم را به دست می دهد. تعداد معادلات در مقایسه با مکانیک نیوتنی کاهش یافته است، از 3 N به n = 3 N - C معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات تعمیم یافته است. این معادلات به هیچ وجه شامل نیروهای محدودیت نمی شود، فقط باید نیروهای غیرمحدود را در نظر گرفت.

اگرچه معادلات حرکت مشتقات جزئی را شامل می شود ، اما نتایج مشتقات جزئی هنوز معادلات دیفرانسیل معمولی در مختصات موقعیت ذرات هستند. مشتق کل زمان که d/d t نشان داده می شود اغلب شامل تمایز ضمنی است . هر دو معادله در لاگرانژی خطی هستند، اما به طور کلی معادلات جفت شده غیرخطی در مختصات خواهند بود.

از مکانیک نیوتنی تا لاگرانژی [ ویرایش ]

قوانین نیوتن [ ویرایش ]

اسحاق نیوتن (1642-1727)

برای سادگی، قوانین نیوتن را می توان برای یک ذره بدون از دست دادن کلیت زیاد نشان داد (برای سیستمی از ذرات N ، همه این معادلات برای هر ذره در سیستم اعمال می شود). معادله حرکت برای یک ذره با جرم m قانون دوم نیوتن در سال 1687 در نماد برداری مدرن است .

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,$

که در آن a شتاب و F نیروی حاصل بر آن است. در سه بعد فضایی، این یک سیستم از سه معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده برای حل است، زیرا سه جزء در این معادله برداری وجود دارد. راه حل بردار موقعیت r ذره در زمان t است ، مشروط به شرایط اولیه r و v زمانی که t = 0 باشد.

استفاده از قوانین نیوتن در مختصات دکارتی آسان است، اما مختصات دکارتی همیشه راحت نیستند و برای سایر سیستم های مختصات، معادلات حرکت می تواند پیچیده شود. در مجموعه ای از مختصات منحنی ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )، قانون در نماد شاخص تانسور "شکل لاگرانژی" است [10] [11]

$F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^ {a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}} {\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\ جزئی {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right)\,,\quad {\dot {\xi } }^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,$

که در آن F a امین مولفه متضاد نیروی حاصل بر ذره است ، Γ a bc نمادهای کریستوفل از نوع دوم هستند .

$T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}$

انرژی جنبشی ذره است و g bc مولفه های کوواریانس تانسور متریک سیستم مختصات منحنی است . همه شاخص های a ، b ، c ، هر کدام مقادیر 1، 2، 3 را می گیرند. مختصات منحنی با مختصات تعمیم یافته یکسان نیستند.

شاید اجرای قانون نیوتن به این شکل پیچیده به نظر برسد، اما مزایایی دارد. مولفه های شتاب از نظر نمادهای کریستوفل را می توان با ارزیابی مشتقات انرژی جنبشی به جای آن اجتناب کرد. اگر نیروی حاصل بر ذره وارد نشود، F = 0 ، شتاب نمی گیرد، بلکه با سرعت ثابت در یک خط مستقیم حرکت می کند. از نظر ریاضی، راه حل های معادله دیفرانسیل، ژئودزیک هستندمنحنی‌های طولی بین دو نقطه در فضا (اینها ممکن است در نهایت حداقل باشند، بنابراین کوتاه‌ترین مسیرها هستند، اما این ضروری نیست). در فضای واقعی سه بعدی تخت، ژئودزیک ها به سادگی خطوط مستقیم هستند. بنابراین برای یک ذره آزاد، قانون دوم نیوتن با معادله ژئودزیک منطبق است و بیان می‌کند که ذرات آزاد از ژئودزیک‌ها پیروی می‌کنند، مسیرهایی که می‌تواند در امتداد آن حرکت کند. اگر ذره تحت تأثیر نیروهای F ≠ 0 باشد ، ذره به دلیل نیروهای وارد بر آن شتاب می گیرد و از ژئودزیکی که در صورت آزاد بودن به دنبال خواهد داشت، منحرف می شود. با گسترش مناسب مقادیر داده شده در اینجا در فضای سه بعدی مسطح به فضازمان منحنی 4 بعدی، شکل بالا از قانون نیوتن به نسبیت عام انیشتین نیز منتقل می شود.، در این صورت ذرات آزاد از ژئودزیک ها در فضازمان منحنی پیروی می کنند که دیگر «خطوط مستقیم» به معنای معمولی نیستند. [12]

با این حال، ما هنوز باید کل نیروی حاصله F را که بر ذره وارد می‌شود بدانیم، که به نوبه خود به نیروی غیر محدود N به اضافه نیروی محدودیت حاصل C نیاز دارد .

$\mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.$

نیروهای محدودیت می توانند پیچیده باشند، زیرا به طور کلی به زمان بستگی دارند. همچنین در صورت وجود قیود، مختصات منحنی مستقل نیستند بلکه با یک یا چند معادله قید مرتبط هستند.

نیروهای محدودیت را می‌توان از معادلات حرکت حذف کرد، بنابراین فقط نیروهای غیرمحدود باقی می‌مانند، یا با گنجاندن معادلات محدودیت در معادلات حرکت.

1-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هفتم تیر ۱۴۰۲ | 2:23

ز ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

بخشی از یک سریال در

مکانیک کلاسیک

${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$

قانون دوم حرکت

تاریخ
جدول زمانی
کتاب های درسی

نشان می دهد

شاخه ها

نشان می دهد

مبانی

پنهان شدن

فرمولاسیون

قوانین حرکت نیوتن
مکانیک تحلیلی
- مکانیک لاگرانژی
- مکانیک هامیلتونی
- مکانیک روتین
- معادله همیلتون-ژاکوبی
- معادله حرکت اپل
- مکانیک کوپمن-فون نیومن

نشان می دهد

موضوعات اصلی

نشان می دهد

چرخش

نشان می دهد

دانشمندان

پورتال فیزیک
دسته بندی

v
تی
ه

جوزف-لوئیس لاگرانژ (1736-1813)

در فیزیک ، مکانیک لاگرانژی فرمول بندی مکانیک کلاسیک است که بر اساس اصل کنش ساکن (همچنین به عنوان اصل کمترین عمل شناخته می شود) بنا شده است. این توسط ریاضیدان و ستاره شناس ایتالیایی-فرانسوی جوزف-لوئیس لاگرانژ در اثر خود در سال 1788، مکانیک تحلیلی معرفی شد . [1]

مکانیک لاگرانژی یک سیستم مکانیکی را به صورت یک جفت توصیف می کند ${\textstyle (M,L)}$ متشکل از یک فضای پیکربندی ${\textstyle M}$ و عملکرد صاف ${\textstyle L}$ درون آن فضایی که لاگرانژی نامیده می شود . برای بسیاری از سیستم ${\textstyle L=TV،}$ جایی که ${\textstyle T}$ و $V$ به ترتیب انرژی جنبشی و پتانسیل سیستم هستند . [2]

اصل عمل ثابت مستلزم آن است که عملکرد عملکرد سیستم از آن ناشی شود ${\textstyle L}$ باید در طول تکامل سیستم در یک نقطه ثابت (حداکثر، حداقل یا زین) باقی بماند. این محدودیت امکان محاسبه معادلات حرکت سیستم را با استفاده از معادلات لاگرانژ می دهد. [3]

مقدمه [ ویرایش ]

مهره برای حرکت روی سیم بدون اصطکاک محدود شده است. سیم یک نیروی واکنش C بر روی مهره وارد می کند تا آن را روی سیم نگه دارد. نیروی غیر محدودیتی N در این حالت گرانش است. توجه داشته باشید که موقعیت اولیه سیم می تواند منجر به حرکات مختلفی شود.

آونگ ساده. از آنجایی که میله صلب است، موقعیت باب مطابق با معادله f ( x , y ) = 0 محدود می شود، نیروی محدودیت C کشش در میله است. باز هم نیروی غیر محدود N در این مورد گرانش است.

فرض کنید مهره‌ای وجود دارد که روی یک سیم می‌چرخد، یا یک آونگ ساده در حال چرخش . اگر هر یک از اجسام عظیم (مهره، باب آونگ) را به عنوان یک ذره ردیابی کنیم، محاسبه حرکت ذره با استفاده از مکانیک نیوتنی نیاز به حل نیروی محدودیت متغیر با زمان لازم برای نگه داشتن ذره در حرکت محدود (نیروی واکنش) دارد. اعمال شده توسط سیم بر روی مهره، یا کشش در میله آونگ). برای همین مسئله با استفاده از مکانیک لاگرانژی، به مسیری که ذره می تواند طی کند نگاه می کند و مجموعه ای مناسب از مختصات تعمیم یافته مستقل را انتخاب می کند. که کاملاً حرکت احتمالی ذره را مشخص می کند. این انتخاب نیاز به نیروی محدودیت برای ورود به سیستم معادلات حاصل را از بین می برد. معادلات کمتری وجود دارد زیرا کسی مستقیماً تأثیر محدودیت بر ذره را در یک لحظه معین محاسبه نمی کند.

برای طیف گسترده ای از سیستم های فیزیکی، اگر اندازه و شکل یک جسم عظیم ناچیز باشد، ساده سازی آن به عنوان یک ذره نقطه ای ساده است . برای سیستمی از ذرات نقطه ای N با جرم m 1 , m 2 , ..., m N , هر ذره دارای یک بردار موقعیت است که به r 1 , r 2 , ..., r N نشان داده می شود . مختصات دکارتی اغلب کافی است، بنابراین r 1 = ( x 1 , y 1 , z 1)، r 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) و غیره. در فضای سه بعدی ، هر بردار موقعیت به سه مختصات نیاز دارد تا مکان یک نقطه را به طور یکتا تعریف کند، بنابراین 3 N مختصات برای تعریف منحصر به فرد پیکربندی سیستم وجود دارد. همه اینها نقاط خاصی در فضا برای تعیین مکان ذرات هستند. یک نقطه کلی در فضا r = ( x , y , z ) نوشته می شود. سرعت هر ذره سرعت حرکت ذره در مسیر حرکت خود است و مشتق زمانی است .از موقعیت خود، بنابراین

$\mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}}،\ldots،\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} _{N}}{dt}}$ در مکانیک نیوتنی، معادلات حرکت با قوانین نیوتن ارائه می شود . قانون دوم " نیروی خالص برابر است با جرم ضربدر شتاب ".

∑اف=مترد2دتی2

$\sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} {dt^{2}}}$ برای هر ذره اعمال می شود. برای یک سیستم ذرات N در 3 بعد، معادلات دیفرانسیل معمولی 3 N مرتبه دوم در موقعیت‌های ذرات وجود دارد که باید حل شوند.

ماشین اتوود - این یک نمونه کار شده از یک مسئله در مکانیک لاگرانژی است. سوال

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه ششم تیر ۱۴۰۲ | 4:50

مطالب جدید تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

آموزش ریاضی

نرمال سازی تابع موج برای یک پتانسیل مثلثی

در ثابت نرمال سازی A:ذره ای به جرم m را در یک چاه پتانسیل با عمق محدود V 0 در نظر بگیرید

برای معادله کلاین - گوردون عباراتی برای چگالی احتمال و جریان بدست می آید. اهمیت نتیجه را توضیح دهید.

مثال شار تابع موج

استاندارد سازی تابع موج ψ(x) = N/(x^2 + a^2) (نرمال سازی)

1-مثال استاندارد سازی تابع موج

تقاطع تونل ابررسانا

تونل کوانتومی [ ویرایش ]

ساخت دستگاه [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

نجوم رادیویی [ ویرایش ]

تشخیص تک فوتون [ ویرایش ]

ماهی مرکب [ ویرایش ]

محاسبات کوانتومی [ ویرایش ]

RSFQ [ ویرایش ]

استاندارد ولتاژ جوزفسون [ ویرایش ]

دیود جوزفسون [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

3-تونل زنی کوانتومی

بحث ریاضی [ ویرایش ]

معادله شرودینگر [ ویرایش ]

تقریب WKB [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

2-تونل زنی کوانتومی

پدیده های مرتبط [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

الکترونیک [ ویرایش ]

همجوشی هسته ای [ ویرایش ]

واپاشی رادیواکتیو [ ویرایش ]

اخترشیمی در ابرهای بین ستاره ای [ ویرایش ]

زیست شناسی کوانتومی [ ویرایش ]

رسانایی کوانتومی [ ویرایش ]

میکروسکوپ تونل زنی روبشی [ ویرایش ]

اثر ایزوتوپ جنبشی [ ویرایش ]

سریعتر از نور [ ویرایش ]

1-تونل زنی کوانتومی

تاریخچه [ ویرایش ]

مقدمه ای بر مفهوم [ ویرایش ]

مشکل تونل زنی [ ویرایش ]

تونل زنی دینامیکی [ ویرایش ]

تونل سازی در فضای فاز [ ویرایش ]

تونل سازی به کمک آشوب [ ویرایش ]

تونل زنی به کمک تشدید [ ویرایش ]

چاه پتانسیل محدود

ذره در یک جعبه 1 بعدی [ ویرایش ]

داخل کادر [ ویرایش ]

خارج از جعبه [ ویرایش ]

یافتن تابع موج برای حالت محدود [ ویرایش ]

حالات بدون محدودیت [ ویرایش ]

چاه نامتقارن [ ویرایش ]

حفره کروی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

مانع پتانسیل مستطیلی

محاسبه [ ویرایش ]

E = V 0 [ ویرایش ]

انتقال و بازتاب [ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل عبارات به دست آمده [ ویرایش ]

E < V 0 [ ویرایش ]

E > V 0 [ ویرایش ]

E = V 0 [ ویرایش ]

اظهارات و کاربردها [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

حل معادله شرودینگر برای پتانسیل پله ای

7-مکانیک لاگرانژی

مشکل نیروی مرکزی دو بدنه [ ویرایش ]

الکترومغناطیس [ ویرایش ]

الحاقات شامل نیروهای غیر محافظه کار [ ویرایش ]

سایر زمینه ها و فرمول ها [ ویرایش ]

8-مکانیک لاگرانژی

فرمول بندی های جایگزین مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

فرمول بندی فضای تکانه [ ویرایش ]

مشتقات بالاتر مختصات تعمیم یافته [ ویرایش ]

اپتیک [ ویرایش ]

فرمول نسبیتی [ ویرایش ]

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]