از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

      بخشی از مجموعه مقالات در مورد
      مکانیک کوانتومی
      {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }

      معادله شرودینگر

      نشان می دهد

      زمینه

      نشان می دهد

      مبانی

      نشان می دهد

      آزمایش

      نشان می دهد

      فرمولاسیون

      نشان می دهد

      معادلات

      نشان می دهد

      تفاسیر

      نشان می دهد

      موضوعات پیشرفته

      نشان می دهد

      دانشمندان

      در مکانیک کوانتومی و تئوری پراکندگی ، پتانسیل گامی یک بعدی یک سیستم ایده آل است که برای مدل‌سازی امواج ماده برخوردی، بازتابی و ارسالی استفاده می‌شود . مسئله شامل حل معادله شرودینگر مستقل از زمان برای ذره ای با پتانسیل گام مانند در یک بعد است. به طور معمول، پتانسیل به عنوان تابع گام Heaviside مدل‌سازی می‌شود .

      محاسبه [ ویرایش ]

      معادله شرودینگر و تابع پتانسیل [ ویرایش ]

      پراکندگی در یک پله پتانسیل محدود با ارتفاع V 0 که به رنگ سبز نشان داده شده است. دامنه و جهت امواج متحرک چپ و راست نشان داده شده است. زرد موج فرود است، آبی منعکس شده و منتقل می شود، قرمز رخ نمی دهد. E > V 0 برای این رقم.

      معادله شرودینگر مستقل از زمان برای تابع موج \psi (x)است

      {\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)،}

      که در آن Ĥ همیلتون است ، ħ ثابت پلانک کاهش یافته است ، m جرم ، E انرژی ذره است . پتانسیل گام به‌ک سادگی حاصل ضرب V 0 ، ارتفاع مانع و تابع گام Heaviside است :

      {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}

      مانع در x = 0 قرار می گیرد، اگرچه هر موقعیت x 0 ممکن است بدون تغییر نتایج انتخاب شود، به سادگی با جابجایی موقعیت گام به اندازه - x 0 .

      اولین ترم در همیلتونی،{\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }انرژی جنبشی ذره است .

      راه حل [ ویرایش ]

      گام فضا را به دو قسمت تقسیم می کند: x < 0 و x > 0. در هر یک از این قسمت ها پتانسیل ثابت است، به این معنی که ذره شبه آزاد است، و حل معادله شرودینگر را می توان به صورت برهم نهی سمت چپ و امواج متحرک سمت راست ( به ذره آزاد مراجعه کنید )

      {\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\lefttarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\ چهار x<0،}

      {\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\lefttarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\ چهار x>0}

      در جایی که زیرنویس‌های 1 و 2 به ترتیب مناطق x < 0 و x > 0 را نشان می‌دهند، زیرنویس‌های (→) و (←) در دامنه‌های A و B جهت بردار سرعت ذره را نشان می‌دهند: به ترتیب راست و چپ.

      بردارهای موج در مناطق مربوطه هستند

      {\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}

      k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}

      که هر دو شکل یکسانی با رابطه دو بروگلی دارند (در یک بعد)

      p=\hbar k.

      شرایط مرزی [ ویرایش ]

      ضرایب A ، B باید از شرایط مرزی تابع موج در x = 0 پیدا شود. تابع موج و مشتق آن باید در همه جا پیوسته باشند ، بنابراین:

      {\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0)}

      {\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx} }\right|_{x=0}.}

      با درج توابع موج، شرایط مرزی محدودیت های زیر را در ضرایب ایجاد می کند

      (A_\راست+A_\tarrow)=(B_\راست+B_\فلش چپ)

      k_1(A_\right-arrow-A_\ left-tarrow)=k_2(B_\right-arrow-B_\sight-tarrow)

      انتقال و بازتاب [ ویرایش ]

      مقایسه وضعیت با حالت کلاسیک مفید است . در هر دو مورد، ذره به عنوان یک ذره آزاد خارج از منطقه مانع رفتار می کند. یک ذره کلاسیک با انرژی E بزرگتر از ارتفاع سد V 0 کند می شود اما هرگز توسط مانع منعکس نمی شود، در حالی که یک ذره کلاسیک با E < V 0 که روی مانع از سمت چپ برخورد می کند همیشه منعکس می شود. هنگامی که نتیجه مکانیکی کوانتومی را پیدا کردیم، به این سوال باز خواهیم گشت که چگونه حد کلاسیک را بازیابی کنیم.

      برای مطالعه مورد کوانتومی، وضعیت زیر را در نظر بگیرید: یک ذره از سمت چپ روی مانع A → . ممکن است منعکس شود ( A ← ) یا منتقل شود ( B → ). در اینجا و موارد زیر E > V 0 را فرض کنید .

      برای یافتن دامنه های انعکاس و انتقال برای تابش از سمت چپ، معادلات فوق را A → = 1 (ذره ورودی)،

      A ← = √ R (بازتاب)، B ← = 0 (بدون ذره ورودی از سمت راست) قرار می دهیم. و

      B → = √ Tk 1 / k 2 (انتقال [1] ).

      سپس T و R را حل می کنیم .

      نتیجه این است:

      {\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}

      \sqrt{R}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}.

      مدل با توجه به تبدیل برابری متقارن است و در عین حال k 1 و k 2 را مبادله می کند . بنابراین، برای وقوع از سمت راست، دامنه های انتقال و بازتاب را داریم

      \sqrt{T'}=\sqrt{T}=\frac{2\sqrt{k_1k_2}}{k_1+k_2}

      \sqrt{R'}=-\sqrt{R}=\frac{k_2-k_1}{k_1+k_2}.

      تجزیه و تحلیل عبارات [ ویرایش ]

      انعکاس و احتمال انتقال در یک پتانسیل گامی هوی ساید. خط چین: نتیجه کلاسیک. خطوط جامد: مکانیک کوانتومی برای E < V 0 مسئله کلاسیک و کوانتومی نتیجه یکسانی دارند.

      انرژی کمتر از ارتفاع پله ( E < V 0 ) [ ویرایش ]

      برای انرژی های E < V 0 ، تابع موج در سمت راست پله به طور تصاعدی در یک فاصله در حال فروپاشی است.1/(k_2).

      انرژی بیشتر از ارتفاع پله ( E > V 0 ) [ ویرایش ]

      در این محدوده انرژی، ضریب انتقال و بازتاب با حالت کلاسیک متفاوت است. آنها برای بروز از چپ و راست یکسان هستند:

      {\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}

      R=|R'|=1-T=\frac{(k_1-k_2)^2}{(k_1+k_2)^2}

      در حد انرژی های بزرگ E ≫ V 0 ، k 1 ≈ k 2 داریم و نتیجه کلاسیک T = 1، R = 0 بازیابی می شود.

      بنابراین احتمال محدودی برای انعکاس ذره ای با انرژی بزرگتر از ارتفاع پله وجود دارد.

      مراحل منفی [ ویرایش ]

      • در مورد E مثبت بزرگ و یک گام مثبت کوچک، T تقریباً 1 است.
      • اما، در مورد یک E مثبت کوچک و یک V منفی بزرگ ، آنگاه R تقریباً 1 است.

      به عبارت دیگر، یک ذره کوانتومی یک افت پتانسیل بزرگ را منعکس می کند (همانطور که از یک پله پتانسیل بزرگ منعکس می شود). این از نظر عدم تطابق امپدانس منطقی است، اما به طور کلاسیک غیر شهودی به نظر می رسد ...

      محدودیت کلاسیک [ ویرایش ]

      نتیجه به دست آمده برای R فقط به نسبت E / V 0 بستگی دارد . به نظر می رسد این به طور سطحی اصل مطابقت را نقض می کند ، زیرا ما بدون توجه به مقدار ثابت پلانک یا جرم ذره، یک احتمال محدود بازتاب را به دست می آوریم. به عنوان مثال، به نظر می‌رسد پیش‌بینی می‌کنیم که وقتی یک سنگ مرمر به لبه میز می‌غلتد، احتمال زیادی وجود دارد که به جای افتادن به عقب منعکس شود. سازگاری با مکانیک کلاسیک با حذف این فرض غیرفیزیکی که پتانسیل گام ناپیوسته است بازیابی می شود. هنگامی که تابع پله با یک سطح شیبدار جایگزین می شود که فاصله محدودی را در بر می گیرد ، احتمال انعکاس در حد به صفر نزدیک می شود.{\displaystyle wk\to \infty }، که k عدد موج ذره است. [2]

      محاسبه نسبیتی [ ویرایش ]

      محاسبه نسبیتی یک ذره آزاد که با یک پتانسیل پله برخورد می کند را می توان با استفاده از مکانیک کوانتومی نسبیتی بدست آورد . در مورد فرمیون‌های 1/2، مانند الکترون‌ها و نوترینوها ، راه‌حل‌های معادله دیراک برای موانع انرژی بالا، ضرایب انتقال و انعکاس را تولید می‌کنند که محدود نیستند. این پدیده به پارادوکس کلاین معروف است . پارادوکس ظاهری در زمینه نظریه میدان کوانتومی ناپدید می شود .

      برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

      پتانسیل گام Heaviside عمدتاً به عنوان تمرینی در مکانیک کوانتومی مقدماتی عمل می کند، زیرا راه حل نیاز به درک انواع مفاهیم مکانیک کوانتومی دارد: عادی سازی تابع موج، پیوستگی، دامنه های حادثه/بازتاب/انتقال و احتمالات.

      مشکلی مشابه با آنچه در نظر گرفته شد در فیزیک رابط های ابررساناهای معمولی فلزی ظاهر می شود . شبه ذرات در پتانسیل جفتی پراکنده می شوند که در ساده ترین مدل ممکن است شکل پله مانندی در نظر گرفته شود. حل معادله Bogoliubov-de Gennes شبیه حل مورد بحث پتانسیل مرحله Heaviside است. در مورد ابررساناهای فلزی معمولی، این امر باعث انعکاس آندریف می شود .

      همچنین ببینید [ ویرایش ]

      منبع

      https://en.wikipedia.org/wiki/Solution_of_Schr%C3%B6dinger_equation_for_a_step_potential