مانع پتانسیل مستطیلی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم تیر ۱۴۰۲ | 18:26

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(از مانع پتانسیل محدود تغییر مسیر داده شده است )

در مکانیک کوانتومی ، سد پتانسیل مستطیلی (یا گاهی اوقات مربع ) یک مسئله استاندارد تک بعدی است که پدیده های تونل زنی مکانیکی موج (که «تونل زنی کوانتومی» نیز نامیده می شود) و بازتاب مکانیکی موج را نشان می دهد. مسئله شامل حل معادله شرودینگر مستقل از زمان یک بعدی برای ذره ای است که با یک سد انرژی پتانسیل مستطیلی شکل مواجه می شود. معمولاً در اینجا فرض می شود که یک ذره آزاد از سمت چپ به سد برخورد می کند.

اگرچه به طور کلاسیک ذره ای که به صورت جرم نقطه ای رفتار می کند ، اگر انرژی آن کمتر از آن باشد، منعکس می شود $V_{0}$ ، ذره ای که در واقع به صورت موج ماده رفتار می کند، احتمال غیرصفری دارد که به مانع نفوذ کند و به صورت موجی در طرف دیگر به حرکت خود ادامه دهد. در فیزیک موج کلاسیک، این اثر به عنوان جفت موج ناپایدار شناخته می شود . احتمال عبور ذره از مانع توسط ضریب انتقال داده می شود ، در حالی که احتمال انعکاس آن توسط ضریب بازتاب داده می شود . معادله موج شرودینگر امکان محاسبه این ضرایب را فراهم می کند.

محاسبه [ ویرایش ]

پراکندگی در یک مانع بالقوه محدود ارتفاع $V_{0}$ . دامنه و جهت امواج متحرک چپ و راست نشان داده شده است. در قرمز، آن امواجی که برای استخراج دامنه بازتاب و انتقال استفاده می‌شوند. $E>V_{0}$ برای این تصویر

معادله شرودینگر مستقل از زمان برای تابع موج $\psi (x)$ می خواند

${\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2 }}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)$ جایی که $\ کلاه اچ$ همیلتونی است ، $\hbar$ ثابت پلانک (کاهش شده) است ، $متر$ جرم است ، $E$ انرژی ذره و

$V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]$ پتانسیل مانع با ارتفاع است $V_{0}>0$ و عرض $آ$ . $\Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0$ تابع گام Heaviside است ، به عنوان مثال،

$V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text {اگر }}a<x\end{موارد}}$

مانع بین قرار گرفته استا $x=0$ و $x=a$ . مانع را می توان به هر کدام منتقل کردایکس $ایکس$ موقعیت بدون تغییر نتایج اولین ترم در همیلتونی ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$ انرژی جنبشی است.

مانع فضا را به سه قسمت تقسیم می کند ( $x<0,0<x<a,x>a$ ). در هر یک از این بخش ها، پتانسیل ثابت است، به این معنی که ذره شبه آزاد است و حل معادله شرودینگر را می توان به صورت برهم نهی از امواج متحرک چپ و راست نوشت (به ذره آزاد مراجعه کنید ). اگر $E>V_{0}$

${\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0 \\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _ {R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{موارد}}$

که در آن اعداد موج با انرژی از طریق ارتباط دارند

${\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1 }={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{موارد}}$

شاخص $r/l$ روی ضرایبآ $آ$ وب $ب$ جهت بردار سرعت را نشان می دهد. توجه داشته باشید که اگر انرژی ذره کمتر از ارتفاع سد باشد، $k_{1}$ خیالی می شود و تابع موج به صورت تصاعدی در داخل مانع در حال فروپاشی است. با این وجود، ما علامت گذاری را حفظ می کنیم $r/l$ حتی اگر امواج در این مورد دیگر منتشر نمی شوند. در اینجا ما فرض کردیم $E\neq V_{0}$ . مورد $E=V_{0}$ در زیر درمان می شود.

ضرایبآ،ب،سی $A,B,C$ باید از شرایط مرزی تابع موج در یافت شود $x=0$ و $x=a$ . تابع موج و مشتق آن باید در همه جا پیوسته باشند ، بنابراین

${\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}} \right|_{x=0}&=\ چپ.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a) &=\psi _{R}(a)\\\چپ.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\چپ.{\frac { d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{تراز شده}}$

با درج توابع موج، شرایط مرزی محدودیت های زیر را در ضرایب ایجاد می کند

$A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}$

$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})$

$B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{ -iak_{0}}$

$ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r }e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$

E = V 0 [ ویرایش ]

اگر انرژی برابر با ارتفاع سد باشد، دیفرانسیل دوم تابع موج در داخل ناحیه مانع 0 است و از این رو جواب های معادله شرودینگر دیگر نمایی نیستند بلکه توابع خطی مختصات فضا هستند.

$\psi _{C}(x)=B_{1}+B_{2}x\quad 0<x<a.$

جواب کامل معادله شرودینگر به همان روش بالا با تطبیق توابع موج و مشتقات آنها در $x=0$ و $x=a$ . که منجر به محدودیت های زیر در ضرایب می شود:

$A_{r}+A_{l}=B_{1}$

$ik_{0}(A_{r}-A_{l})=B_{2}$

$B_{1}+B_{2}a=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}$

$B_{2}=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).$

انتقال و بازتاب [ ویرایش ]

در این مرحله، مقایسه وضعیت با حالت کلاسیک آموزنده است. در هر دو مورد، ذره به عنوان یک ذره آزاد خارج از منطقه مانع رفتار می کند. یک ذره کلاسیک با انرژی $E$ بزرگتر از ارتفاع مانع $V_{0}$ همیشه از سد عبور می کند و یک ذره کلاسیک با0 $E<V_{0}$ حادثه روی مانع همیشه منعکس می شود.

برای مطالعه حالت کوانتومی، وضعیت زیر را در نظر بگیرید: یک ذره از سمت چپ روی مانع ( $A_{r}$ ). ممکن است منعکس شود ( $A_{l}$ ) یا منتقل شده ( $C_{r}$ ).

برای یافتن دامنه های انعکاس و انتقال برای بروز از سمت چپ، معادلات فوق را قرار می دهیم. $A_{r}=1$ (ذره ورودی)، $A_{l}=r$ (انعکاس) $C_{l}=0$ (بدون ذره ورودی از سمت راست)، و $C_{r}=t$ (انتقال). سپس ضرایب را حذف می کنیم $B_{l}،B_{r}$ از معادله و حل کنید $r$ و $تی$ .

نتیجه این است:

$t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2 }-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}$

$r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_ {1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.$

با توجه به تقارن آینه ای مدل، دامنه های فرود از سمت راست با دامنه های سمت چپ یکسان است. توجه داشته باشید که این عبارات برای هر انرژی صادق هستند $E>0$ ، $E\neq V_{0}$ . اگر $E=V_{0}$ ، $k_{1}=0$ ، بنابراین در هر دوی این عبارات یک تکینگی وجود دارد.

تجزیه و تحلیل عبارات به دست آمده [ ویرایش ]

E < V 0 [ ویرایش ]

احتمال انتقال از طریق یک مانع پتانسیل محدود برای/ℏ ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$ = 7. خط چین: نتیجه کلاسیک. خط جامد: نتیجه مکانیک کوانتومی

نتیجه شگفت انگیز این است که برای انرژی های کمتر از ارتفاع سد، $E<V_{0}$ احتمال غیر صفر وجود دارد

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E (V_{0}-E)}}}$

برای انتقال ذره از طریق مانع، با ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$ . این اثر که با حالت کلاسیک متفاوت است، تونل زنی کوانتومی نامیده می شود . انتقال به صورت نمایی با عرض مانع سرکوب می شود، که می توان از شکل عملکردی تابع موج فهمید: خارج از مانع با بردار موج نوسان می کند. $k_{0}$ ، در حالی که در داخل مانع به طور تصاعدی در طول یک فاصله میرا می شود $1/k_{1}$ . اگر مانع بسیار گسترده‌تر از این طول پوسیدگی باشد، قسمت چپ و راست عملاً مستقل هستند و در نتیجه تونل‌زنی سرکوب می‌شود.

E > V 0 [ ویرایش ]

در این مورد

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E (E-V_{0})}}}،$

جایی که ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$ .

به همان اندازه شگفت آور این است که برای انرژی های بزرگتر از ارتفاع مانع $E>V_{0}$ ، ممکن است ذره با احتمال غیر صفر از مانع منعکس شود

$R=|r|^{2}=1-T.$

احتمالات انتقال و انعکاس در واقع در نوسان هستندک1آ $k_{1}a$ . نتیجه کلاسیک انتقال کامل بدون هیچ بازتابی ( $T = 1$ ، $R = 0$ ) نه تنها در حد انرژی بالا بازتولید می شود $E\gg V_{0}$ اما همچنین زمانی که انرژی و عرض مانع برآورده می شود $k_{1}a=n\pi$ ، جایی که،… $n=1،2،\dots$ (به قله های نزدیک مراجعه کنید $E/V_{0}=1.2$ و 1.8 در شکل بالا). توجه داشته باشید که احتمالات و دامنه های نوشته شده برای هر انرژی (بالا/زیر) ارتفاع مانع است.

E = V 0 [ ویرایش ]

احتمال انتقال در $E=V_{0}$ است

$T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.$

اظهارات و کاربردها [ ویرایش ]

محاسبه ارائه شده در بالا ممکن است در ابتدا غیر واقعی و به سختی مفید به نظر برسد. با این حال ثابت شده است که یک مدل مناسب برای انواع سیستم های واقعی است. یکی از این نمونه ها رابط بین دو ماده رسانا است. در بخش عمده ای از مواد، حرکت الکترون ها شبه آزاد است و می توان آن را با اصطلاح جنبشی در همیلتونی فوق با جرم موثر توصیف کرد. $متر$ . اغلب سطوح چنین موادی با لایه های اکسیدی پوشانده می شوند یا به دلایل دیگر ایده آل نیستند. این لایه نازک و غیر رسانا ممکن است سپس توسط یک پتانسیل مانع مانند بالا مدل شود. سپس الکترون ها ممکن است از یک ماده به ماده دیگر تونل بزنند و جریانی ایجاد کنند.

عملکرد یک میکروسکوپ تونل زنی روبشی (STM) بر این اثر تونل زنی متکی است. در این حالت، مانع به دلیل شکاف بین نوک STM و جسم زیرین است. از آنجایی که جریان تونل به طور تصاعدی به عرض مانع بستگی دارد، این دستگاه به تغییرات ارتفاع در نمونه مورد بررسی بسیار حساس است.

مدل فوق یک بعدی است در حالی که فضا سه بعدی است. باید معادله شرودینگر را به صورت سه بعدی حل کرد. از سوی دیگر، بسیاری از سیستم‌ها فقط در امتداد یک جهت مختصات تغییر می‌کنند و از نظر ترجمه در امتداد سایرین تغییر ناپذیرند. آنها قابل تفکیک هستند . معادله شرودینگر ممکن است به حالتی که در اینجا توسط ansatz برای تابع موج از نوع در نظر گرفته شده است کاهش یابد: $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)$ .

برای مدل مرتبط دیگری از یک مانع، به مانع پتانسیل دلتا (QM) مراجعه کنید ، که می تواند به عنوان یک مورد خاص از مانع پتانسیل محدود در نظر گرفته شود. تمام نتایج حاصل از این مقاله با در نظر گرفتن محدودیت‌ها، فوراً روی مانع پتانسیل دلتا اعمال می‌شود $V_{0}\to \infty ,\;a\to 0$ در حین نگهداری $V_{0}a=\lambda$ ثابت.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rectangular_potential_barrier

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی