ضرب کننده ها و محدودیت های لاگرانژ [ ویرایش ]

L لاگرانژی را می توان در مختصات r k دکارتی تغییر داد ، برای ذرات N ،

{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{ k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0\,.}

اصل همیلتون همچنان معتبر است، حتی اگر مختصات L بیان شده در آن مستقل نباشند، در اینجا r k ، اما محدودیت ها همچنان هولونومی فرض می شوند. [28] مثل همیشه نقاط انتهایی برای همه k ثابت هستند δr k ( t 1 ) = δ r k ( t 2 ) = 0 . کاری که نمی توان انجام داد این است که به سادگی ضرایب δ r k را با صفر برابر کنیم زیرا δ r k مستقل نیستند. در عوض، روش ضریب لاگرانژمی توان برای گنجاندن محدودیت ها استفاده کرد. ضرب هر معادله قید f i ( r k , t ) = 0 در ضریب لاگرانژ λ i برای i = 1, 2, ..., C و افزودن نتایج به لاگرانژی اصلی، لاگرانژی جدید به دست می آید.

{\displaystyle L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)\,.}

ضرب کننده های لاگرانژ توابع دلخواه زمان t هستند ، اما توابعی از مختصات r k نیستند ، بنابراین ضریب ها با مختصات موقعیت برابر هستند. تغییر این لاگرانژی جدید و ادغام با توجه به زمان می دهد

{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{ k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i} {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t= 0\,.}

ضرب‌کننده‌های معرفی‌شده را می‌توان به‌گونه‌ای یافت که ضرایب δ r k صفر هستند، حتی اگر r k مستقل نباشند. معادلات حرکت دنبال می شود. از تحلیل قبلی، به دست آوردن جواب این انتگرال معادل عبارت است

{\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac { \partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _ {k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k }}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\ ،،}

که معادلات لاگرانژ از نوع اول هستند . همچنین معادلات λ i اویلر-لاگرانژ برای لاگرانژ جدید معادلات محدودیت را برمی گرداند.

{\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L '}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0\,.}

در مورد یک نیروی محافظه کارانه داده شده توسط گرادیان مقداری انرژی پتانسیل V ، تنها تابعی از مختصات rk است که جایگزین لاگرانژی L = T - V می شود.

{\displaystyle \underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\ frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\ جزئی V}{\ جزئی \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{ \frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\,,}

و با شناسایی مشتقات انرژی جنبشی به عنوان نیروی برآیند (منفی) و مشتقات پتانسیل برابر با نیروی غیرمحدود، از نیروهای محدودیت پیروی می کند.

{\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\،،}

بنابراین نیروهای محدودیت را به صراحت بر حسب معادلات محدودیت و ضرب کننده های لاگرانژ می دهد.

خواص لاگرانژ [ ویرایش ]

منحصر به فرد نبودن [ ویرایش ]

لاگرانژی یک سیستم معین منحصر به فرد نیست. یک L لاگرانژی را می توان در یک ثابت غیر صفر a ضرب کرد و با یک ثابت دلخواه b جابه جا کرد و L' = aL + b لاگرانژی جدید همان حرکت L را توصیف می کند . اگر مانند بالا به مسیرها محدود شود\mathbf {q}در یک بازه زمانی معین {\displaystyle [t_{\text{st}},t_{\text{fin}}]}و نقاط پایانی ثابت {\displaystyle P_{\text{st}}=\mathbf {q} (t_{\text{st}})}و{\displaystyle P_{\text{fin}}=\mathbf {q} (t_{\text{fin}})}، سپس دو لاگرانژی که یک سیستم را توصیف می کنند می توانند با "مشتق زمان کل" یک تابع متفاوت باشند.{\displaystyle f(\mathbf {q} ,t)}: [29]

{\displaystyle L'(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)+ {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}،}

جایی که{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}به معنای{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q},t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q},t )}{\جزئی q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}

هر دو لاگرانژیLوL'معادلات حرکتی یکسان [30] [31] از اعمال مربوطه را تولید می کنداساسواس"S'از طریق مرتبط هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t)،{\dot {\mathbf {q} }}(t)،t)\,dt=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{ fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{ t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\=S[\ mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end {هم راستا}}}

با دو جزء آخر{\displaystyle f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})}و{\displaystyle f(P_{\text{st}},t_{\text{st}})}مستقل از.{\displaystyle \mathbf {q}.}

تغییر ناپذیری تحت تبدیل نقطه [ ویرایش ]

با توجه به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته q ، اگر این متغیرها را به مجموعه جدیدی از مختصات تعمیم‌یافته s با توجه به تبدیل نقطه‌ای q = q ( s , t ) تغییر دهیم، L جدید لاگرانژی تابعی از مختصات جدید است.

L(\mathbf {q} (\mathbf {s} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {s},{\dot {\mathbf {s} }},t) t)=L'(\mathbf {s} ,{\dot {\mathbf {s} }},t)\,,

و با قانون زنجیره ای برای تمایز جزئی، معادلات لاگرانژ تحت این تبدیل ثابت هستند. [32]

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {s}}_{i}}}={\ frac {\partial L'}{\partial s_{i}}}\,.}

این ممکن است معادلات حرکت را ساده کند.