ریاضیات

ادامه نظریه گروه(6)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:51

مکانیک آماری [ ویرایش ]

از تئوری گروه می توان برای حل ناقص بودن تفسیر آماری مکانیک توسعه یافته توسط ویلارد گیبس ، مربوط به جمع کردن تعداد بی نهایت احتمالات برای ارائه یک راه حل معنی دار استفاده کرد. [13]

رمزنگاری [ ویرایش ]

گروه های بسیار بزرگی از درجه اول که در رمزنگاری منحنی بیضوی ساخته شده اند ، برای رمزنگاری کلید عمومی خدمت می کنند . روش های رمزنگاری از این نوع از انعطاف پذیری اجسام هندسی بهره مند می شوند ، از این رو ساختارهای گروهی آنها ، همراه با ساختار پیچیده این گروه ها ، که محاسبه لگاریتم گسسته را بسیار سخت می کند. یکی از اولین پروتکل های رمزنگاری ، رمز سزار ، همچنین ممکن است به عنوان یک کار گروهی (بسیار آسان) تفسیر شود. بیشتر طرح های رمزنگاری به نوعی از گروه ها استفاده می کنند. به ویژه تبادل کلید دیفی هلمن از گروه های حلقوی محدود استفاده می کند. بنابراین اصطلاح رمزنگاری مبتنی بر گروه بیشتر به پروتکل های رمزنگاری اطلاق می شود که از گروه های غیرابلیایی نامحدود مانند گروه بافته استفاده می کنند.

گروه دوری Z 26 زمینه رمزنگاری سزار .

تاریخچه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تاریخ نظریه گروه

نظریه گروه دارای سه منبع اصلی تاریخی است: نظریه اعداد ، نظریه معادلات جبری و هندسه . رشته نظریه اعداد توسط لئونارد اویلر آغاز شد ، و توسط کار گاوس در مورد حسابهای مدولار و گروههای افزودنی و ضرب مربوط به زمینه های درجه دوم ساخته شد . نتایج اولیه در مورد گروههای جایگشت توسط لاگرانژ ، روفینی و هابل در جستجوی راه حلهای کلی معادلات چند جمله ای درجه بالا به دست آمد. اواريست گالويس اصطلاح "گروه" را ابداع كرد و ارتباطي برقرار كرد كه اكنون به آن معروف استنظریه Galois ، بین نظریه نوپای گروه ها و نظریه میدان . در هندسه ، گروهها ابتدا در هندسه تصویری و بعداً در هندسه غیر اقلیدسی مهم شدند . فلیکس کلاین 'ثانیه برنامه ارلانگن اعلام نظریه گروه به اصل سازماندهی از هندسه.

گالوا ، در دهه 1830 ، اولین کسی بود که گروه هایی را برای تعیین حل معادلات چند جمله ای به کار گرفت . آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی با ایجاد نظریه گروههای جایگشت این تحقیقات را بیشتر تحت فشار قرار دادند . منبع تاریخی دوم برای گروه ها ناشی از موقعیت های هندسی است. در تلاش برای مقابله با هندسه های احتمالی (مانند هندسه اقلیدسی ، هذلولی یا فرافکنی ) با استفاده از تئوری گروه ، فلیکس کلاین برنامه ارلانگن را آغاز کرد . سوفوس دروغ ، در سال 1884 ، شروع به استفاده از گروه ها کرد (اکنون به آنها می گویند)گروه های دروغ ) به مشکلات تحلیلی متصل هستند. ثالثاً ، در تئوری اعداد جبری ابتدا گروهها بطور ضمنی و بعداً صریحاً مورد استفاده قرار گرفتند .

دامنه متفاوت این منابع اولیه منجر به تصورات مختلفی از گروه ها شد. نظریه گروه ها از حدود سال 1880 یکپارچه شد. از آن زمان ، تأثیر نظریه گروه ها همیشه در حال افزایش است ، و باعث تولد جبر انتزاعی در اوایل قرن 20 ، نظریه بازنمایی و بسیاری از حوزه های تأثیرگذار دیگر می شود. طبقه بندی گروه های متناهی ساده مجموعه گسترده ای از کار از اواسط قرن 20، در طبقه بندی کلیه است محدود گروه های ساده .

ادامه نظریه گروه(5)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:50

نظریه اعداد جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه اعداد جبری

نظریه اعداد جبری از گروهها برای برخی کاربردهای مهم استفاده می کند. به عنوان مثال ، فرمول محصول اولر ،

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {s}}} & = \ تولید _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} ، \\\ پایان {تراز شده}} \!}$

این واقعیت را ضبط می کند که هر عدد صحیح به روشی منحصر به فرد به اعداد اول تجزیه می شود . شکست این گزاره برای حلقه های عمومی تر باعث ایجاد گروه های طبقاتی و اعداد اول می شود که در درمان کامر در مورد قضیه آخر فرمات وجود دارد .

تجزیه و تحلیل هماهنگ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تحلیل هارمونیک

تجزیه و تحلیل در مورد گروه های دروغ و برخی گروه های دیگر ، آنالیز هارمونیک نامیده می شود . اقدامات Haar ، یعنی انتگرال های ثابت در ترجمه در یک گروه Lie ، برای تشخیص الگو و سایر تکنیک های پردازش تصویر استفاده می شود. [12]

ترکیبی [ ویرایش ]

در ترکیبیات ، مفهوم گروه جایگشت و مفهوم عمل گروهی اغلب برای ساده کردن شمارش مجموعه ای از اشیا استفاده می شود. به ویژه لما le Burnside را ببینید .

دایره پنجم ها ممکن است دارای یک ساختار گروه چرخه ای باشند

موسیقی [ ویرایش ]

وجود دوره تناوبی 12 در دایره پنجم ، کاربردهای نظریه گروه ابتدایی را در نظریه مجموعه موسیقی ایجاد می کند . نظریه تحول ، تبدیلات موسیقی را به عنوان عناصر یک گروه ریاضی مدل می کند.

فیزیک [ ویرایش ]

در فیزیک ، گروه ها از این جهت مهم هستند که تقارنهایی را توصیف می کنند که به نظر می رسد قوانین فیزیک از آنها پیروی می کنند. طبق قضیه نوتر ، هر تقارن مداوم یک سیستم فیزیکی با قانون حفاظت از سیستم مطابقت دارد. فیزیکدانان علاقه زیادی به نمایش های گروهی دارند ، به ویژه گروه های دروغ ، زیرا این نمایش ها اغلب راه را برای نظریه های فیزیکی "ممکن" نشان می دهند. نمونه هایی از استفاده از گروه ها در فیزیک شامل مدل استاندارد ، تئوری سنج ، گروه لورنتس و گروه پوانکره است .

شیمی و علوم مواد [ ویرایش ]

در شیمی و علوم مواد ، گروه های نقطه ای برای طبقه بندی چند وجهی های منظم و تقارن مولکول ها و گروه های فضایی برای طبقه بندی ساختارهای بلوری استفاده می شود . سپس می توان از گروههای اختصاص داده شده برای تعیین خصوصیات فیزیکی (مانند قطبیت شیمیایی و دستکاری ) ، خواص طیف سنجی (خصوصاً برای طیف سنجی رامان ، طیف سنجی مادون قرمز ، طیف سنجی دایکروزیسم دایره ای ، طیف سنجی دایکروزیسم دایره ای مغناطیسی ، طیف سنجی UV / Vis و طیف سنجی فلورسانس) استفاده کرد. ، و برای ساخت اوربیتال های مولکولی .

تقارن مولکولی مسئول بسیاری از خصوصیات فیزیکی و طیف سنجی ترکیبات است و اطلاعات مربوط به نحوه واکنش های شیمیایی را در اختیار شما قرار می دهد. برای اختصاص یک گروه نقطه برای هر مولکول لازم است مجموعه ای از عملکردهای تقارن موجود در آن را پیدا کنید. عمل تقارن عملی است مانند چرخش به دور محور یا بازتاب از طریق صفحه آینه. به عبارت دیگر ، عملیاتی است که مولکول را به گونه ای حرکت می دهد که از پیکربندی اصلی قابل تشخیص نیست. در تئوری گروه ، محورهای چرخش و صفحات آینه را "عناصر تقارن" می نامند. این عناصر می توانند یک نقطه ، خط یا صفحه باشند که نسبت به آنها عملیات تقارن انجام شود. عملیات تقارن یک مولکول گروه نقطه خاصی را برای این مولکول تعیین می کند.

مولکول آب با محور تقارن

در شیمی ، پنج عمل مهم تقارن وجود دارد. آنها عملیات هویت ( E) ، عملیات چرخش یا چرخش مناسب ( C n ) ، عملیات انعکاس ( σ ) ، وارونگی ( i ) و عملیات بازتاب چرخش یا چرخش نامناسب ( S n ) هستند. عملیات هویت ( E ) شامل ترک مولکول به همان شکل است. این معادل هر تعداد چرخش کامل در اطراف هر محور است. این یک تقارن تمام مولکول ها است ، در حالی که گروه تقارن یک کایرال استمولکول فقط از عملیات هویت تشکیل شده است. عمل هویت ویژگی هر مولکول است حتی اگر تقارن نداشته باشد. چرخش به دور یک محور ( C n ) شامل چرخش مولکول به دور یک محور خاص توسط یک زاویه خاص است. این چرخش از طریق زاویه 360 ° / n است ، جایی که n یک عدد صحیح است ، در مورد یک محور چرخش است. به عنوان مثال ، اگر یک مولکول آب 180 درجه به دور محوری که از اتم اکسیژن عبور می کند و بین اتم های هیدروژن بچرخد ، در همان پیکربندی شروع قرار دارد. در این حالت n = 2، از آنجا که استفاده از آن دو بار باعث تولید هویت می شود. در مولکول هایی که بیش از یک محور چرخش دارند ، محور Cn که بیشترین مقدار n را دارد ، محور چرخش یا محور اصلی با بالاترین درجه است. به عنوان مثال Borane (BH3) ، بالاترین مرتبه چرخش محور C 3 است ، بنابراین محور اصلی چرخش محور C 3 است .

در عملیات بازتاب ( σ ) بسیاری از مولکول ها دارای صفحه آینه هستند ، اگرچه ممکن است واضح نباشند. عملیات انعکاس به چپ و راست مبادله می شود ، گویی هر نقطه به طور عمود از طریق صفحه به موقعیتی دقیقاً دورتر از صفحه نسبت به زمان شروع حرکت کرده است. وقتی صفحه عمود بر محور اصلی چرخش باشد ، آن را σ h (افقی) می نامند . صفحات دیگری که حاوی محور اصلی چرخش هستند ، دارای برچسب عمودی ( σ v ) یا دو طرفه ( σ d ) هستند.

وارونگی (i) عملیاتی پیچیده تر است. هر نقطه از طریق مرکز مولکول به موقعیتی مخالف با موقعیت اصلی و به همان اندازه که از نقطه شروع آن فاصله دارد ، حرکت می کند. بسیاری از مولکولهایی که به نظر می رسد در نگاه اول دارای مرکز وارونگی هستند ، چنین نیستند. به عنوان مثال ، متان و سایر چهار ضلعیمولکول ها فاقد تقارن وارونگی هستند. برای دیدن این ، یک مدل متان با دو اتم هیدروژن در صفحه عمودی در سمت راست و دو اتم هیدروژن در صفحه افقی در سمت چپ نگه دارید. وارونگی منجر به دو اتم هیدروژن در صفحه افقی در سمت راست و دو اتم هیدروژن در صفحه عمودی در سمت چپ می شود. وارونگی بنابراین یک عمل تقارن متان نیست ، زیرا جهت گیری مولکول پس از عملیات وارونگی با جهت گیری اصلی متفاوت است. و آخرین عمل نادرست عملیات چرخش و یا چرخش انعکاس ( S N ) نیاز به چرخش 360 درجه / N ، پس از بازتاب از طریق یک عمود بر هواپیما به محور چرخش.

ادامه نظریه گروه(4)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:49

اتصال گروهها و تقارن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه تقارن

با توجه به یک ساختار X از هر نوع ، تقارن نگاشت شی object بر روی خود است که ساختار را حفظ می کند. به عنوان مثال این در بسیاری از موارد رخ می دهد

اگر X مجموعه ای بدون ساختار اضافی باشد ، تقارن یک نقشه ذهنی از مجموعه به خود است که باعث ایجاد گروه های جایگشت می شود .
اگر شی X مجموعه ای از نقاط در هواپیما با آن است متریک ساختار یا هر نوع دیگر فضای متریک ، یک تقارن است پوشا و یکبهیک از مجموعه را به خود که حفظ فاصله بین هر جفت از نقاط (یک همسان ). گروه مربوطه است که به نام گروه همسان از X .
اگر در عوض زوایا حفظ شوند ، از نقشه های مطابق صحبت می شود . به عنوان مثال ، نقشه های سازگار باعث ایجاد گروه های کلینی می شود .
تقارن ها محدود به اشیا ge هندسی نیستند ، بلکه شامل اشیای جبری نیز هستند. به عنوان مثال ، معادله $x ^ {2} -3 = 0$ دو راه حل دارد ${\ sqrt {3}}$ و $- {\ sqrt {3}}$ . در این حالت ، گروهی که دو ریشه را مبادله می کند ، گروه Galois متعلق به معادله است. هر معادله چند جمله ای در یک متغیر دارای یک گروه Galois است ، که یک گروه جایگزینی خاص در ریشه های آن است.

بدیهیات یک گروه جنبه های اساسی تقارن را رسمی می کند . تقارن ها گروهی را تشکیل می دهند: بسته هستند زیرا اگر تقارن یک جسم را بگیرید و سپس تقارن دیگری را اعمال کنید ، نتیجه همچنان تقارن خواهد بود. هویت ثابت نگه داشتن شی همیشه تقارن یک شی است. وجود معکوس با لغو تقارن تضمین می شود و تداعی از این واقعیت ناشی می شود که تقارن ها توابع یک فضا هستند و ترکیب توابع تداعی کننده است.

قضیه فروخت می گوید که هر گروه گروه تقارن برخی از نمودارها است . بنابراین هر گروه انتزاعی در واقع تقارن برخی از اشیا exp صریح است.

جمله "حفظ ساختار" یک شی object را می توان با کار در یک رده دقیق کرد . نقشه حفظ ساختار هستند سپس morphisms ، و گروه تقارن است گروه automorphism از جسم در سوال.

کاربردهای نظریه گروه [ ویرایش ]

کاربردهای نظریه گروه بسیار است. تقریباً همه ساختارها در جبر انتزاعی موارد خاصی از گروه ها هستند. به عنوان مثال ، حلقه ها را می توان به عنوان گروه های آبلیان (متناظر با جمع) همراه با یک عمل دوم (مربوط به ضرب) مشاهده کرد. بنابراین ، استدلال های نظری گروهی زمینه های عمده تئوری آن موجودات را تشکیل می دهند.

نظریه گالوا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گالوا

تئوری گالوا از گروه ها برای توصیف تقارن ریشه های چند جمله ای (یا دقیق تر شکل گیری های جبری تولید شده توسط این ریشه ها) استفاده می کند. قضیه اساسی تئوری Galois ارتباط بین فراهم می کند پسوند درست جبری و نظریه گروه. این یک معیار موثر برای حل معادلات چند جمله ای از نظر حل گروه Galois مربوطه ارائه می دهد . به عنوان مثال ، S 5 ، گروه متقارن در 5 عنصر ، قابل حل نیست که نشان می دهد معادله کوینتیک عمومیبا استفاده از رادیکالها نمی توان معادلات درجه پایین را حل کرد. این تئوری ، که یکی از ریشه های تاریخی نظریه گروه است ، هنوز هم به طور مثمر ثمر اعمال می شود تا نتایج جدیدی را در زمینه هایی مانند نظریه میدانی طبقاتی بدست آورد .

توپولوژی جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی جبری

توپولوژی جبری دامنه دیگری که برجسته است مرتبط گروه به اشیاء نظریه علاقه مند است. وجود دارد، گروه ها برای توصیف ویژگیهای خاصی از استفاده فضاهای توپولوژیک . به آنها "تغییر ناپذیر" گفته می شود زیرا به گونه ای تعریف شده اند که در صورت تحت تأثیر قرار گرفتن فضا در تغییر شکل ، تغییر نمی کنند . به عنوان مثال ، گروه بنیادی "شمارش" می کند که چند مسیر در فضا متفاوت هستند. حدس پوانکره ، در 2002/2003 توسط ثابت گریگوری پرلمان ، یک برنامه برجسته این ایده است. اگرچه تأثیر یک طرفه نیست. به عنوان مثال ، توپولوژی جبری از فضاهای Eilenberg-MacLane استفاده می کندکه فضاهایی با گروههای تجویز شده هوموتوپی هستند . به همین ترتیب نظریه K جبری به نوعی به طبقه بندی فضاهای گروه ها متکی است . سرانجام ، نام زیر گروه پیچش یک گروه بی نهایت میراث توپولوژی را در تئوری گروه نشان می دهد.

یک توروس ساختار گروه آبلیایی آن از نقشه C → C / ( Z + τ Z ) القا می شود ، جایی که τ یک پارامتر است که در نیمه صفحه بالا زندگی می کند .

هندسه جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هندسه جبری

هندسه جبری نیز از بسیاری جهات از تئوری گروه استفاده می کند. انواع آبلیان در بالا معرفی شده است. حضور عملیات گروهی اطلاعات اضافی به دست می آورد که این گونه ها را به ویژه در دسترس قرار می دهد. آنها همچنین اغلب به عنوان آزمایشی برای حدس های جدید عمل می کنند. [9] مورد یک بعدی ، یعنی منحنی های بیضوی با جزئیات خاص مورد مطالعه قرار می گیرد. هر دو از نظر تئوری و عملی جذاب هستند. [10] در جهت دیگر ، انواع تورک انواع جبری هستند که توسط یک توروس عمل می کنند . تعبیه های توروئیدی اخیراً به پیشرفت هایی در هندسه جبری ، به ویژه منجر شده استرزولوشن تکین

ادامه نظریه گروه(3)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:48

نظریه دروغ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه لی

گروه دروغ است گروه است که همچنین یک چند تا فرق ، با ملکی که عملیات گروه سازگار با هستند ساختار صاف . گروه های دروغ به نام سوفوس دروغ نامگذاری شده اند ، که پایه های تئوری گروه های تحول مداوم را بنا نهاد . اصطلاح groupes de Lie برای اولین بار در سال 1893 در فرانسوی در پایان نامه دانشجو دروغ آرتور ترسه ، صفحه 3 ظاهر شد. [5]

گروه های دروغ ارائه تئوری بهترین توسعه یافته تقارن مداوم از اشیاء ریاضی و ساختارهای ، که آنها را به ابزار ضروری برای بسیاری از ریاضیات معاصر قطعات، و همچنین برای مدرن فیزیک نظری . آنها چارچوبی طبیعی برای تجزیه و تحلیل تقارنهای مداوم معادلات دیفرانسیل ( نظریه گالوسی دیفرانسیل ) ، تقریباً به همان روشی که گروههای جایگشت در تئوری گالوا برای تجزیه و تحلیل تقارنهای گسسته معادلات جبری استفاده می شود ، فراهم می کنند. گسترش تئوری گالوا به مورد گروه های تقارن مداوم یکی از انگیزه های اصلی دروغ بود.

نظریه گروه ترکیبی و هندسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گروه هندسی

گروهها را می توان به روشهای مختلف توصیف کرد. گروه های متناهی را می توان با نوشتن جدول گروه متشکل از تمام ضرب های ممکن g • h توصیف کرد . یک روش فشرده تر برای تعریف یک گروه از طریق مولدها و روابط است که به آن ارائه یک گروه نیز گفته می شود. با توجه به هر مجموعه F ژنراتور ${\ displaystyle \ {g_ {i} \} _ {i \ in I}}$ ، گروه آزاد ایجاد شده توسط F بر روی گروه G حدس می زند . هسته این نقشه زیر گروه روابط نامیده می شود که توسط برخی از زیر مجموعه های D ایجاد می شود . ارائه معمولاً با نشان داده می شود ${\ displaystyle \ langle F \ mid D \ rangle.}$ به عنوان مثال ، ارائه گروه ${\ displaystyle \ langle a، b \ mid aba ^ {- 1} b ^ {- 1} \ rangle}$ گروهی را توصیف می کند که غیر همسان است ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}.}$ به یک رشته متشکل از نمادهای ژنراتور و معکوس آنها یک کلمه گفته می شود .

نظریه گروه ترکیبی گروه ها را از منظر مولدها و روابط بررسی می کند. [6] به ویژه در مواردی که مفروضات ظرافت راضی باشند ، مثلاً برای گروه های کاملاً تولید شده یا گروههایی که به طور محدود ارائه می شوند ، بسیار مفید است (یعنی علاوه بر این روابط محدود هستند). این ناحیه از اتصال نمودارها از طریق گروههای بنیادی آنها استفاده می کند . به عنوان مثال ، می توان نشان داد که هر زیر گروه از یک گروه رایگان رایگان است.

چندین سوال طبیعی وجود دارد که از ارائه یک گروه با ارائه آن ناشی می شود. مشکل کلمه می پرسد که آیا دو واژه به طور موثر عنصر همان گروه. با ربط دادن مسئله به ماشین های تورینگ ، می توان نشان داد که به طور کلی هیچ الگوریتمی برای حل این وظیفه وجود ندارد. مسئله دیگر ، به طور کلی سخت تر ، غیرقابل حل از نظر الگوریتمی ، مسئله انحراف گروه است ، که می پرسد آیا دو گروه ارائه شده توسط ارائه های مختلف ، واقعاً نامتقارن هستند؟ به عنوان مثال ، گروه با ارائه ${\ displaystyle \ langle x، y \ mid xyxyx = e \ rangle،}$ برای گروه افزودنی Z از اعداد صحیح یکسان نیست ، اگرچه ممکن است این موضوع فوراً مشخص نشود. [7]

نمودار Cayley از 〈x ، y ∣〉 ، گروه آزاد رتبه 2.

نظریه گروه هندسی از طریق هندسی ، یا با مشاهده گروه ها به عنوان اشیا objects هندسی ، یا با یافتن اشیا ge هندسی مناسب که گروه بر اساس آنها عمل می کنند ، به این مشکلات حمله می کند. [8] ایده اول با استفاده از نمودار Cayley که رئوس آن با عناصر گروه و لبه ها با ضرب صحیح در گروه مطابقت دارد دقیق ساخته شده است . با توجه به دو عنصر ، یکی کلمه متریک را با طول حداقل مسیر بین عناصر ایجاد می کند. قضیه از Milnor 'ثانیه و سواریچ سپس می گوید که با توجه به گروه G که رفتار معقول در فضای متریک X ، به عنوان مثال چند برابر جمع و جور ، و سپس G استشبه ایزومتریک (یعنی به نظر می رسد مشابه از راه دور) به فضا X .

ادامه نظریه گروه (2)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:35

نظریه دروغ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه لی

نظریه گروه ترکیبی و هندسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گروه هندسی

نمودار Cayley از 〈x ، y ∣〉 ، گروه آزاد رتبه 2.

اتصال گروهها و تقارن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه تقارن

اگر X مجموعه ای بدون ساختار اضافی باشد ، تقارن یک نقشه ذهنی از مجموعه به خود است که باعث ایجاد گروه های جایگشت می شود .
اگر شی X مجموعه ای از نقاط در هواپیما با آن است متریک ساختار یا هر نوع دیگر فضای متریک ، یک تقارن است پوشا و یکبهیک از مجموعه را به خود که حفظ فاصله بین هر جفت از نقاط (یک همسان ). گروه مربوطه است که به نام گروه همسان از X .
اگر در عوض زوایا حفظ شوند ، از نقشه های مطابق صحبت می شود . به عنوان مثال ، نقشه های سازگار باعث ایجاد گروه های کلینی می شود .
تقارن ها محدود به اشیا ge هندسی نیستند ، بلکه شامل اشیای جبری نیز هستند. به عنوان مثال ، معادله $x ^ {2} -3 = 0$ دو راه حل دارد ${\ sqrt {3}}$ و $- {\ sqrt {3}}$ . در این حالت ، گروهی که دو ریشه را مبادله می کند ، گروه Galois متعلق به معادله است. هر معادله چند جمله ای در یک متغیر دارای یک گروه Galois است ، که یک گروه جایگزینی خاص در ریشه های آن است.

کاربردهای نظریه گروه [ ویرایش ]

نظریه گالوا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گالوا

توپولوژی جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی جبری

هندسه جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هندسه جبری

نظریه اعداد جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه اعداد جبری

نظریه اعداد جبری از گروهها برای برخی کاربردهای مهم استفاده می کند. به عنوان مثال ، فرمول محصول اولر ،

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {s}}} & = \ تولید _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} ، \\\ پایان {تراز شده}} \!}$

تجزیه و تحلیل هماهنگ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تحلیل هارمونیک

ترکیبی [ ویرایش ]

دایره پنجم ها ممکن است دارای یک ساختار گروه چرخه ای باشند

موسیقی [ ویرایش ]

فیزیک [ ویرایش ]

شیمی و علوم مواد [ ویرایش ]

مولکول آب با محور تقارن

مکانیک آماری [ ویرایش ]

ادامه نظریه گروه (1)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:33

گروه های ماتریکس [ ویرایش ]

گروه مهم بعدی گروه ها توسط گروه های ماتریسی یا گروه های خطی داده می شود . در اینجا G مجموعه ای متشکل از معکوس پذیر باشد ماتریس از داده سفارش N بیش از یک زمینه K است که تحت محصولات و وارون بسته است. چنین گروهی با تبدیل خطی بر روی فضای بردار n- بعدی K n عمل می کند . این عمل گروه های ماتریسی را از نظر مفهومی شبیه گروه های جایگشت می کند و ممکن است از هندسه این عمل برای ایجاد خصوصیات گروه G سودمند استفاده شود .

گروه های تحول [ ویرایش ]

گروه های جایگزینی و گروه های ماتریسی موارد خاصی از گروه های تحول هستند : گروه هایی که در فضای خاصی X عمل می کنند و ساختار ذاتی آن را حفظ می کنند. در مورد گروههای جایگشت ، X یک مجموعه است. برای گروه های ماتریسی ، X یک فضای بردار است . مفهوم یک گروه تحول با مفهوم یک گروه تقارن ارتباط نزدیکی دارد : گروه های تحول غالباً از همه تحولاتی تشکیل می شوند که ساختار خاصی را حفظ می کنند.

تئوری گروه های تحول پلی را به وجود می آورد که تئوری گروه را با هندسه دیفرانسیل متصل می کند . یک تحقیق طولانی ، که از Lie و Klein شروع می شود ، اقدامات گروهی در مورد منیفولدها را توسط هومومورفیسم یا دیفرومورفیسم در نظر می گیرد . این گروه ها ممکن است گسسته یا مستمر باشند .

گروه های انتزاعی [ ویرایش ]

بیشتر گروههایی که در مرحله اول توسعه نظریه گروهها مورد بررسی قرار گرفتند "بتن" بودند که از طریق اعداد ، جایگشتها یا ماتریس تحقق یافته اند. فقط در اواخر قرن نوزدهم بود که ایده یک گروه انتزاعی به عنوان مجموعه ای با عملکردهایی که سیستم خاصی از بدیهیات را راضی می کردند ، شروع به کار کرد. یک روش معمول برای تعیین یک گروه انتزاعی از طریق ارائه توسط تولید کنندگان و روابط است ،

$G = \ langle S | R \ rangle.$

منبع قابل توجهی از گروه های انتزاعی با ساخت یک گروه عاملی ، یا یک گروه ضریب ، G / H ، از یک گروه G توسط یک زیر گروه عادی H ارائه می شود . گروه های کلاس از زمینه های اعداد جبری از جمله نمونه های اولیه گروه های عاملی بودند که بسیار به تئوری اعداد علاقه مند بودند . اگر یک گروه G یک گروه جایگزینی روی یک مجموعه X باشد ، گروه فاکتور G / H دیگر بر روی X عمل نمی کند . اما ایده یک گروه انتزاعی به فرد اجازه می دهد تا نگران این اختلاف نباشد.

تغییر چشم انداز از گروههای ملموس به گروههای انتزاعی طبیعی است که در نظر گرفتن خصوصیات گروههایی که مستقل از یک تحقق خاص هستند ، یا به زبان مدرن تحت انحراف غیر متغیر است ، و همچنین طبقات گروههایی که دارای چنین خاصیتی هستند: گروههای محدود ، گروه دوره ، گروه های ساده ، گروه قابل حل ، و غیره. به جای کاوش در خواص یک گروه منفرد ، فرد به دنبال ایجاد نتایجی است که در کل گروه از گروه ها اعمال می شود. الگوی جدید از اهمیت فوق العاده ای برای توسعه ریاضیات برخوردار بود: این ایجاد جبر انتزاعی را در آثار هیلبرت ، امیل آرتین پیشگویی می کرد، امی نوتر و ریاضیدانان مدرسه آنها. [ نیاز به منبع ]

گروههایی با ساختار اضافی [ ویرایش ]

اگر G با ساختار اضافی ، به ویژه از یک فضای توپولوژیکی ، منیفولد قابل تغییر یا تنوع جبری ، برخوردار باشد ، شرح مفصلی از یک گروه رخ می دهد . اگر گروه عملیات m (ضرب) و i (وارونگی) را انجام دهد ،

$m: G \ بار G \ به G ، (g ، h) \ mapsto gh ، \ quad i: G \ to G ، g \ mapsto g ^ {- 1} ،$

با این ساختار سازگار هستند ، یعنی آنها نقشه های مداوم ، صاف یا منظم (به معنای هندسه جبری) هستند ، سپس G یک گروه توپولوژیک ، یک گروه دروغ یا یک گروه جبری است . [2]

وجود ساختار اضافی این نوع گروهها را با سایر رشته های ریاضی مرتبط می کند و به معنای در دسترس بودن ابزارهای بیشتر در مطالعه آنها است. گروه های توپولوژیک یک دامنه طبیعی برای تجزیه و تحلیل هارمونیک انتزاعی تشکیل می دهند ، در حالی که گروه های دروغ (که اغلب به عنوان گروه های تحول تحقق می یابند) پایه اصلی هندسه دیفرانسیل و تئوری بازنمایی واحد هستند . س questionsالات طبقه بندی خاصی که به طور کلی قابل حل نیستند ، برای زیر گروه های خاص گروه ها قابل دسترسی و حل هستند. بنابراین ، گروه های دروغ متراکم متصل کاملاً طبقه بندی شده اند. بین گروههای انتزاعی بی نهایت و گروههای توپولوژیکی رابطه مثبتی وجود دارد: هر زمان که یک گروه Γمی توان به عنوان یک شبکه در یک گروه توپولوژیکی G تحقق پیدا کرد ، هندسه و تجزیه و تحلیل مربوط به G نتایج مهمی در مورد Γ ارائه می دهد . روند نسبتا اخیر در تئوری گروه های محدود سوء استفاده ارتباط آنها با گروه های توپولوژیکی جمع و جور ( گروه profinite ): به عنوان مثال، یک ص adic ارزیابی گروه تحلیلی G دارای یک خانواده از خارج قسمت که محدود هستند ص -groups سفارشات مختلف، و خواص از G ترجمه می شود به خصوصیات ضرایب محدود آن.

شاخه های نظریه گروه [ ویرایش ]

نظریه گروه محدود [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه محدود

در طول قرن بیستم ، ریاضیدانان برخی از جنبه های نظریه گروههای متناهی را به ویژه تئوری محلی گروههای متناهی و نظریه گروههای قابل حل و توانا را مورد بررسی قرار دادند . [ نیازمند منبع ] در نتیجه ، طبقه بندی کامل گروههای ساده متناهی بدست آمد ، بدین معنی که اکنون همه آن گروههای ساده که می توان همه گروههای محدود را از آنها ساخت ، شناخته شده اند.

در طول نیمه دوم قرن بیستم ، ریاضیدانانی مانند شوالی و اشتاینبرگ همچنین درک ما از آنالوگهای محدود از گروههای کلاسیک و سایر گروههای مرتبط را افزایش دادند. یکی از این خانواده ها از گروه ها ، خانواده گروه های عمومی خطی بیش از زمینه های محدود است . گروههای محدود اغلب هنگام در نظر گرفتن تقارن اشیا ریاضی یا فیزیکی ، هنگامی که این اشیا just فقط تعداد محدودی از تحولات حفظ کننده ساختار را بپذیرند ، رخ می دهند . تئوری گروه های دروغ ، که ممکن است به عنوان برخورد با " تقارن مداوم " در نظر گرفته شود ، به شدت تحت تأثیر گروه های مرتبط ویل است. اینها گروههای محدودی هستند که توسط بازتاب ها ایجاد می شوند و در یک فضای اقلیدسی بعد محدود عمل می کنند . از این رو خواص گروههای محدود می تواند در موضوعاتی مانند فیزیک نظری و شیمی نقش داشته باشد.

نمایندگی گروه ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه بازنمایی

گفتن اینکه یک گروه G بر روی مجموعه X عمل می کند ، به این معنی است که هر عنصر از G به صورت سازگار با ساختار گروه ، یک نقشه ذهنی را روی مجموعه X تعریف می کند . وقتی X ساختار بیشتری دارد ، محدود کردن این مفهوم بیشتر مفید است: نمایش G در یک فضای بردار V یک همگونی گروهی است :

${\ displaystyle \ rho: G \ to \ operatorname {GL} (V) ،}$

که در آن GL ( V ) متشکل از وارون تحولات خطی از V . به عبارت دیگر، به هر گروه عنصر گرم تخصیص داده شده است های automorphism ρ (g ) به صورتی که ρ ( g) ∘ ρ ( h ) = ρ ( GH ) برای هر h در G .

این تعریف را می توان از دو جهت درک کرد ، که هر دو زمینه های کاملاً جدیدی از ریاضیات را بوجود می آورند. [3] از یک طرف ، ممکن است اطلاعات جدیدی در مورد گروه G بدست آورد : غالباً ، عملکرد گروه در G بصورت انتزاعی داده می شود ، اما از طریق ρ ، با ضرب ماتریس ها مطابقت دارد که بسیار صریح است. [4] از طرف دیگر ، با توجه به گروهی کاملاً شناخته شده که روی یک شی پیچیده عمل می کنند ، این امر مطالعه شی object مورد نظر را ساده می کند. برای مثال، اگر G محدود است، آن است که شناخته شده است که V بالا تجزیه میشود قطعات غیر قابل تقلیل. این قطعات به نوبه خود بسیار راحت تر از کل V قابل کنترل هستند (از طریق لما Schur ).

با توجه به گروه G ، تئوری بازنمایی سپس می پرسد كه چه بازنمایی هایی از G وجود دارد. تنظیمات مختلفی وجود دارد و روشهای به کار رفته و نتایج بدست آمده در هر مورد نسبتاً متفاوت است: نظریه بازنمایی گروههای محدود و بازنمایی گروههای دروغ دو زیر دامنه اصلی نظریه هستند. کل نمایش ها توسط شخصیت های گروه اداره می شود . به عنوان مثال ، چند جمله های فوریه را می توان به عنوان شخصیت های U (1) ، گروه اعداد مختلط با مقدار مطلق 1 ، که بر L 2 عمل می کنند ، تفسیر کرد.فضای توابع تناوبی

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory

نظریه گروه

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه نهم فروردین ۱۴۰۰ | 13:28

پازل محبوب مکعب روبیک که در سال 1974 توسط ارنی روبیک اختراع شده است به عنوان تصویر گروه های جایگشت استفاده شده است . به گروه مکعب روبیک مراجعه کنید .

ساختار جبری → نظریه گروه نظریه گروه

نشان دادن مفاهیم اساسی
نشان دادن گروههای محدود
نشان دادن گروه های گسسته مشبک
نشان دادن گروه های توپولوژیک و دروغ
نشان دادن گروه های جبری
v تی ه

در ریاضیات و جبر ، نظریه گروه مطالعات ساختارهای جبری شناخته شده به عنوان گروه . مفهوم یک گروه در جبر انتزاعی مرکزی است: سایر ساختارهای جبری معروف مانند حلقه ها ، زمینه ها و فضاهای برداری را همه می توان به عنوان گروههایی مجهز کرد که دارای عملیات و بدیهیات اضافی هستند . گروه ها در طول ریاضیات تکرار می شوند و روش های نظریه گروه بر بسیاری از جبرها تأثیر گذاشته است. گروه های جبری خطی و گروه های دروغ دو شاخه از تئوری گروه هستند که پیشرفت هایی را تجربه کرده اند و به تنهایی به موضوعات موضوعی تبدیل شده اند.

سیستم های مختلف فیزیکی ، مانند بلورها و اتم هیدروژن ، ممکن است توسط گروه های تقارن مدل شوند . بنابراین نظریه گروه و نظریه بازنمایی که از نزدیک مرتبط هستند ، کاربردهای مهمی در فیزیک ، شیمی و علوم مواد دارند . نظریه گروه همچنین در رمزنگاری کلید عمومی نقش اساسی دارد .

تاریخچه اولیه نظریه گروه از قرن نوزدهم میلادی است. یکی از مهمترین دستاوردهای ریاضی قرن بیستم [1] تلاش مشترک ، اشغال بیش از 10000 صفحه مجله بود و بیشتر بین سالهای 1960 و 1980 منتشر می شد ، که با یک طبقه بندی کامل از گروههای محدود متناهی به اوج خود رسید .

فهرست

کلاسهای اصلی گروه ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه (ریاضیات)

دامنه گروههای در نظر گرفته شده بتدریج از گروههای جایگشت متناهی و نمونههای خاص گروههای ماتریسی به گروههای انتزاعی گسترش یافته است که ممکن است از طریق ارائه توسط مولدها و روابط مشخص شوند .

گروههای جایگزینی [ ویرایش ]

اولین کلاس از گروه به انجام یک مطالعه سیستماتیک بود جایگشت گروه . با توجه به هر مجموعه X و مجموعه G از باشد bijections از X به خود (شناخته شده به عنوان جایگشت ) است که تحت ترکیب و وارون بسته، G یک گروه است اقدام در X . اگر X شامل N عناصر و G شامل تمام جایگشت، G است که گروه متقارن S N ؛ به طور کلی ، هر گروه جایگزینی G یک استزیر گروه از گروه متقارن از X . ساخت و ساز اولیه به دلیل Cayley هر گروه را به عنوان یک گروه جایگزینی به نمایش می گذارد و با استفاده از نمایندگی منظم چپ بر روی خودش ( X = G ) عمل می کند .

در بسیاری از موارد ، ساختار یک گروه جایگشت را می توان با استفاده از خصوصیات عملکرد آن در مجموعه مربوطه بررسی کرد. برای مثال، در این روش یک ثابت می کند که برای N ≥ 5 از گروه متناوب N است ساده ، یعنی هیچ مناسب اعتراف نیست زیر گروه نرمال . این واقعیت در عدم امکان حل معادله جبری عمومی درجه n- 5 در رادیکال ها نقشی اساسی دارد .

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:25

چشم انداز - نمایندگی گروه های جمع و جور [ ویرایش ]

نظریه بازنمایی گروه های جمع و جور ممکن است تا حدی به گروه های محلی جمع و جور گسترش یابد . نظریه بازنمایی در این زمینه اهمیت زیادی برای تجزیه و تحلیل هارمونیک و مطالعه فرم های خود شکل می دهد. برای اثبات ، اطلاعات بیشتر و اطلاعات دقیق تر که از حوصله این فصل خارج است ، لطفاً با [4] و [5] مشورت کنید .

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

گروه توپولوژیک با هم گروه با یک است توپولوژی با توجه به که در آن ترکیب گروه و وارونگی هستند مداوم . به چنین گروهی ، در صورت وجود پوشش ، جمع و جور گفته می شود $G ،$ که در توپولوژی باز است ، دارای مخفی محدود است. زیر گروه های بسته یک گروه جمع و جور دوباره جمع و جور هستند.

اجازه دهید $G$ یک گروه جمع و جور باشید و اجازه دهید $V$ متناهی باشد $\ mathbb {C}$ فضای بردار نمایش خطی از $G$ به $V$ یک همگونی گروهی مداوم است ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V) ،}$ یعنی ${\ displaystyle \ rho (s) v}$ یک تابع مداوم در دو متغیر است $آواز خواندن$ و ${\ displaystyle v \ in V.}$

نمایش خطی از $G$ به یک فضای باناخ وارد شوید $V$ تعریف شده است به عنوان یک همگونی گروه مداوم از $G$ به مجموعه همه عملگرهای خطی محدود بیوکتیک در $V$ با یک وارونه مداوم. از آنجا که ${\ displaystyle \ pi (g) ^ {- 1} = \ pi (g ^ {- 1}) ،}$ ما می توانیم بدون آخرین نیاز انجام دهیم. در ادامه ، ما نمایندگی های گروه های جمع و جور را به طور خاص در فضاهای هیلبرت در نظر خواهیم گرفت .

درست مانند گروههای متناسب ، می توان جبر گروه و جبر کانولوشن را تعریف کرد . با این حال ، جبر گروهی در مورد گروههای بی نهایت هیچ اطلاعات مفیدی را ارائه نمی دهد ، زیرا شرایط تداوم در طول ساخت از بین می رود. در عوض جبر کانولوشن ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ جای خود را می گیرد.

بیشتر خصوصیات نمایندگی گروههای محدود را می توان با تغییرات مناسب به گروههای جمع و جور منتقل کرد. برای این منظور ما به یک همتای جمع بندی روی یک گروه محدود نیاز داریم:

وجود و منحصر به فرد بودن معیار هار [ ویرایش ]

در یک گروه جمع و جور $G$ دقیقاً یک معیار وجود دارد ${\ displaystyle dt،}$ به طوری که:

این یک اقدام ترجمه-ثابت-ثابت است

${\ displaystyle \ forall s \ in G: \ quad \ int _ {G} f (t) dt = \ int _ {G} f (st) dt.}$

کل گروه واحد اندازه گیری دارد:

${\ displaystyle \ int _ {G} dt = 1،}$

چنین چپ ترجمه ثابت، اندازه گیری عادی هنجار نامیده می شود اندازه گیری هار از گروه $ج$

از آنجا که $G$ جمع و جور است ، می توان نشان داد که این معیار نیز از نظر ترجمه درست نیست ، یعنی همچنین اعمال می شود

${\ displaystyle \ forall s \ in G: \ quad \ int _ {G} f (t) dt = \ int _ {G} f (ts) dt.}$

با مقیاس گذاری بالاتر ، اندازه گیری Haar در یک گروه محدود توسط داده می شود ${\ displaystyle dt (s) = {\ tfrac {1} {| G |}}}$ برای همه

${\ displaystyle s \ in G.}$

تمام تعاریف مربوط به بازنمایی گروههای متناهی که در بخش "خصوصیات" ذکر شده اند ، برای نمایش گروههای فشرده نیز اعمال می شوند. اما اصلاحاتی لازم است:

برای تعریف نمایندگی فرعی اکنون به یک فضای خالی بسته نیاز داریم. این امر برای فضاهای نمایشی متناهی ضروری نبود ، زیرا در این حالت هر زیر فضایی از قبل بسته شده است. علاوه بر این ، دو نمایندگی

${\ displaystyle \ rho ، \ pi}$ از یک گروه جمع و جور $G$ اگر عملگر خطی ، پیوسته و خطی وجود داشته باشد ، معادل نامیده می شوند $تی$ بین فضاهای بازنمایی که عکس آنها نیز مداوم است و آنها را راضی می کند ${\ displaystyle T \ circ \ rho (s) = \ pi (s) \ circ T}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G.}$

اگر $تی$ واحد است ، به دو نمایندگی معادل واحد گفته می شود .

برای به دست آوردن $G$ محصول داخلی غیر متغیر از یک نیست $G$ غیر متغیر ، ما اکنون باید از انتگرال استفاده کنیم $G$ به جای جمع. اگر $(\ cdot | \ cdot)$ محصولی درونی در فضای هیلبرت است $V ،$ که نسبت به نمایندگی ثابت نیست $\ rho$ از $G ،$ سپس

${\ displaystyle (v | u) _ {\ rho} = \ int _ {G} (\ rho (t) v | \ rho (t) u) dt}$

هست یک $G$ محصول داخلی غیر متغیر روشن است $V$ به دلیل خواص اندازه گیری Haar . ${\ displaystyle dt.}$ بنابراین ، می توانیم هر نمایش را در یک فضای هیلبرت واحد بدانیم.

اجازه دهید $G$ یک گروه جمع و جور باشید و اجازه دهید ${\ displaystyle s \ in G.}$ اجازه دهید ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ فضای هیلبرت توابع مجتمع مربع باشد $ج$ ما اپراتور را تعریف می کنیم $L_s$ در این فضا توسط ${\ displaystyle L_ {s} \ Phi (t) = \ Phi (s ^ {- 1} t) ،}$ جایی که ${\ displaystyle \ Phi \ در L ^ {2} (G) ، t \ در G.}$

نقشه ${\ displaystyle s \ mapsto L_ {s}}$ نمایندگی واحدی از $ج$ نمایندگی چپ منظم نامیده می شود . نمایندگی راست به طور منظم به طور مشابه تعریف شده است. همانطور که معیار هار است $G$ عملگر نیز درست ترجمه-ثابت است $R_s$ بر ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ از رابطه زیر بدست می آید ${\ displaystyle R_ {s} \ Phi (t) = \ Phi (ts).}$ نمایندگی به طور منظم به طور منظم نمایندگی واحدی است که توسط آن ارائه می شود ${\ displaystyle s \ mapsto R_ {s}.}$ دو نمایندگی ${\ displaystyle s \ mapsto L_ {s}}$ و ${\ displaystyle s \ mapsto R_ {s}}$ نسبت به هم دوتایی هستند.

اگر $G$ نامحدود است ، این نمایش ها درجه محدودی ندارند. نمایش چپ و راست منظم همانطور که در ابتدا تعریف شد ، در صورت نمایش گروه ، نمایشی منظم چپ و راست منظم نیست ، $G$ متناهی است این به دلیل این واقعیت است که در این مورد ${\ displaystyle L ^ {2} (G) \ Cong L ^ {1} (G) \ Cong \ mathbb {C} [G].}$

ساختارها و تجزیه ها [ ویرایش ]

روش های مختلف ساخت نمایش های جدید از موارد ارائه شده می تواند برای گروه های جمع و جور نیز استفاده شود ، به جز نمایش دوگانه که بعداً با آن کار خواهیم کرد. حاصل جمع مستقیم و محصول تنسور با تعداد محدودی از جمع / فاکتورها دقیقاً به همان روشی که برای گروههای محدود تعریف شده است ، تعریف شده اند. این مورد در مورد مربع متقارن و متناوب نیز وجود دارد. با این حال ، برای گسترش قضیه که نمایندگی های غیرقابل تقلیل حاصل از محصول دو گروه هستند (تا ایزومورفیسم) دقیقاً محصول تنسور نمایش های غیرقابل کاهش گروه های فاکتور ، به معیار Haar در مورد محصول مستقیم گروه های فشرده نیاز داریم . اول ، ما توجه داشته باشیم که محصول مستقیم ${\ displaystyle G_ {1} \ times G_ {2}}$ از دو گروه جمع و جور هنگامی که توپولوژی محصول ارائه می شود ، یک گروه جمع و جور است. سپس معیار هار بر روی محصول مستقیم توسط محصول معیارهای هار در گروههای فاکتور داده می شود.

برای نمایش دوگانه در گروه های جمع و جور ، ما به دوگانه توپولوژیک نیاز داریم $V '$ فضای بردار $پنجم$ این فضای بردار تمام عملکردهای خطی پیوسته از فضای بردار است $V$ وارد میدان پایه شوید. اجازه دهید $\ پی$ نمایندگی یک گروه جمع و جور باشد $G$ که در $پنجم$

نمایندگی دوگانه ${\ displaystyle \ pi ': G \ to {\ text {GL}} (V')}$ توسط ملک تعریف می شود

${\ displaystyle \ forall v \ in V ، \ forall v '\ in V' ، \ forall s \ in G: \ qquad \ left \ langle \ pi '(s) v'، \ pi (s) v \ right \ rangle = \ langle v '، v \ rangle: = v' (v).}$

بنابراین ، می توان نتیجه گرفت که نمایش دوگانه توسط ${\ displaystyle \ pi '(s) v' = v '\ circ \ pi (s ^ {- 1})}$ برای همه ${\ displaystyle v '\ in V'، s \ in G.}$ نقشه $\ pi '$ دوباره یک همگونی گروهی مداوم و در نتیجه بازنمایی است.

در فضاهای هیلبرت: $\ پی$ اگر و فقط اگر غیرقابل کاهش باشد $\ pi '$ غیرقابل کاهش است

با انتقال نتایج تجزیه های بخش به گروه های فشرده ، قضیه های زیر را بدست می آوریم:

قضیه هر نمایندگی غیرقابل کاهش ${\ displaystyle (\ tau، V _ {\ tau})}$ یک گروه جمع و جور به یک فضای هیلبرت محدود بعدی است و وجود دارد یک وجود دارد محصول داخلی در ${\ displaystyle V _ {\ tau}}$ به طوری که $\ تاو$ واحد است از آنجا که اندازه گیری هار نرمال است ، این محصول داخلی منحصر به فرد است.

هر نمایش از یک گروه جمع و جور نسبت به یک مجموع هیلبرت از نمایش های غیرقابل تقلیل مستقیم است .

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho})}$ نمایشی واحد از گروه جمع و جور باشد $ج$ درست همانطور که برای گروههای محدود برای نمایش غیرقابل تقلیل تعریف می کنیم ${\ displaystyle (\ tau، V _ {\ tau})}$ ایزوتایپ یا جز component ایزوتایپی در $\ rho$ فضای فرعی بودن

${\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau) = \ sum _ {V _ {\ tau} \ Cong U \ زیرمجموعه V _ {\ rho}} U.}$

این مجموع تمام زیر فضاهای بسته ثابت است ${\ displaystyle U ،}$ که هستند $G$ –مصرف شکل به ${\ displaystyle V _ {\ tau}.}$

توجه داشته باشید که ایزوتایپهای نمایشهای غیر قابل کاهش غیر مساوی بصورت دو ضلعی هستند.

قضیه

${\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau)}$ یک فضای غیر ثابت بسته از است ${\ displaystyle V _ {\ rho}.}$

(دوم) ${\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau)}$ است $G$ –معرفی به مجموع مستقیم نسخه های ${\ displaystyle V _ {\ tau}.}$

(III) تجزیه متعارف: ${\ displaystyle V _ {\ rho}}$ مجموع مستقیم هیلبرت از ایزوتایپ ها است ${\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau) ،}$ که در آن $\ تاو$ از تمام طبقات هم شکل گیری نمایش های غیرقابل تقلیل عبور می کند.

پیش بینی مربوط به تجزیه متعارف ${\ displaystyle p _ {\ tau}: V \ به V (\ tau) ،}$ که در آن ${\ displaystyle V (\ tau)}$ ایزوتایپ از است $V ،$ برای گروههای جمع و جور داده شده توسط است

${\ displaystyle p _ {\ tau} (v) = n _ {\ tau} \ int _ {G} {\ overline {\ chi _ {\ tau} (t)}} \ rho (t) (v) dt،}$

جایی که ${\ displaystyle n _ {\ tau} = \ dim (V (\ tau))}}$ و ${\ displaystyle \ chi _ {\ tau}}$ شخصیت مربوط به نمایش غیرقابل کاهش است $\ تاو$

فرمول پروجکشن [ ویرایش ]

برای هر نمایندگی ${\ displaystyle (\ rho ، V)}$ از یک گروه جمع و جور $G$ ما تعریف می کنیم

${\ displaystyle V ^ {G} = \ {v \ in V: \ rho (s) v = v \، \، \، \ forall s \ in G \}.}$

به طور کلی ${\ displaystyle \ rho (s): V \ به V}$ نیست $G$ –خطی اجازه دهید

${\ displaystyle Pv: = \ int _ {G} \ rho (s) vds.}$

نقشه $پ$ به عنوان endomorphism on تعریف می شود $V$ با داشتن ملک

${\ displaystyle \ left. \ left (\ int _ {G} \ rho (s) vds \ right | w \ right) = \ int _ {G} (\ rho (s) v | w) ds،}$

که برای محصول داخلی فضای هیلبرت معتبر است $پنجم$

سپس $پ$ است $G$ خطی ، به دلیل

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ چپ. \ چپ (\ int _ {G} \ rho (s) (\ rho (t) v) ds \ راست | w \ راست) & = \ int _ {G} \ چپ. \ چپ (\ rho \ چپ (tst ^ {- 1} \ راست) (\ rho (t) v) \ راست | w \ راست) ds \\ & = \ int _ {G} (\ rho ( ts) v | w) ds \\ & = \ int (\ rho (t) \ rho (s) v | w) ds \\ & = \ چپ. \ چپ (\ rho (t) \ int _ {G} \ rho (s) vds \ right | w \ right) ، \ end {تراز شده}}}$

جایی که ما از عدم تغییر معیار هار استفاده کردیم.

قضیه. نقشه $پ$ فرافکنی از $V$ به ${\ displaystyle V ^ {G}.}$

اگر نمایش متناهی باشد ، می توان مجموع مستقیم بازنمایی بی اهمیت را دقیقاً مانند گروه های محدود تعیین کرد.

شخصیت ها ، لماهای Schur و محصول داخلی [ ویرایش ]

به طور کلی ، نمایندگی از گروه های جمع و جور در فضاهای هیلبرت و باناخ بررسی می شود . در بیشتر موارد ، آنها متناهی نیستند. بنابراین ، هنگام صحبت در مورد نمایش گروه های جمع و جور ، مراجعه به شخصیت ها مفید نیست . با این وجود ، در اکثر موارد می توان مطالعه را محدود به ابعاد محدود کرد:

از آنجا که نمایش های غیرقابل کاهش از گروه های جمع و جور ، متناهی و بعدی هستند (به نتایج زیر بخش اول مراجعه کنید ) ، می توانیم شخصیت های غیرقابل تقلیل را به همان روشی که برای گروه های محدود انجام شد ، تعریف کنیم.

تا زمانی که نمایش های ساخته شده متناسب باقی بمانند ، می توان شخصیت های نمایش های تازه ساخته شده را به همان روشی که برای گروه های متناهی است بدست آورد.

لما Schur برای گروه های جمع و جور نیز معتبر است:

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ pi ، V)}$ یک نماینده واحد غیرقابل کاهش از یک گروه جمع و جور باشد $ج$ سپس هر اپراتور محدود ${\ displaystyle T: V \ به V}$ رضایت ${\ displaystyle T \ circ \ pi (s) = \ pi (s) \ circ T}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G ،}$ مضرب مقیاس هویت است ، یعنی وجود دارد ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ به طوری که ${\ displaystyle T = \ lambda {\ text {Id}}.}$

تعریف. فرمول

${\ displaystyle (\ Phi | \ Psi) = \ int _ {G} \ Phi (t) {\ overline {\ Psi (t)}} dt.}$

یک محصول داخلی را روی مجموعه ای از توابع مربع مجزا تعریف می کند ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ از یک گروه جمع و جور $ج$ به همین ترتیب

${\ displaystyle \ langle \ Phi ، \ Psi \ rangle = \ int _ {G} \ Phi (t) \ Psi (t ^ {- 1}) dt.}$

فرم دو خطی را در تعریف می کند ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ از یک گروه جمع و جور $ج$

فرم دوخطی در فضاهای نمایش دقیقاً همانطور که برای گروههای محدود تعریف شده و مانند گروههای متناهی تعریف شده است ، نتایج زیر معتبر است:

قضیه اجازه دهید $\ چی$ و $\ چی '$ شخصیت های دو نمایش غیرقابل انحراف غیر قابل تجزیه باشند $V$ و ${\ displaystyle V '،}$ به ترتیب. سپس موارد زیر معتبر است

${\ displaystyle (\ chi | \ chi ') = 0.}$
${\ displaystyle (\ chi | \ chi) = 1 ،}$ یعنی $\ چی$ دارای "هنجار" است $1$

قضیه اجازه دهید $V$ نمایندگی باشد $G$ با شخصیت ${\ displaystyle \ chi _ {V}.}$ فرض کنید $دبلیو$ نمایشی غیرقابل کاهش است از $G$ با شخصیت ${\ displaystyle \ chi _ {W}.}$ تعداد نمایش های فرعی از $V$ معادل با $دبلیو$ مستقل از هر تجزیه مشخص برای است $V$ و برابر با محصول داخلی است ${\ displaystyle (\ chi _ {V} | \ chi _ {W}).}$

معیار عدم کاهش اجازه دهید $\ چی$ شخصیت نمایندگی باشد $V ،$ سپس ${\ displaystyle (\ chi | \ chi)}$ یک عدد صحیح مثبت است علاوه بر این ${\ displaystyle (\ chi | \ chi) = 1}$ اگر و تنها اگر $V$ غیرقابل کاهش است

بنابراین ، با استفاده از قضیه اول ، شخصیت های نمایش های غیرقابل تقلیل از $G$ یک مجموعه عادی را در تشکیل دهید ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ با توجه به این محصول داخلی

نتیجه گیری هر نمایندگی غیرقابل کاهش $V$ از $G$ موجود است ${\ displaystyle \ dim (V)}$ بار در نمایندگی چپ به طور منظم.

لما اجازه دهید $G$ یک گروه جمع و جور باشید. پس جملات زیرمعادل هستند:

$G$ هابلی است
تمام نمایش های غیرقابل کاهش از $G$ مدرک داشتن $1$

ملاک عادی. اجازه دهید $G$ یک گروه باشید نمایش های غیر قابل تجزیه غیر قابل تجزیه از $G$ یک اساس طبیعی در ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ با توجه به این محصول داخلی

همانطور که قبلاً می دانیم نمایش های غیر قابل تجزیه غیر همسان غیر متعارف هستند ، ما فقط باید تأیید کنیم که آنها تولید می شوند ${\ displaystyle L ^ {2} (G).}$ این ممکن است با اثبات اینکه هیچ تابع مجتمع غیر صفر مربعی در آن وجود ندارد ، انجام شود $G$ متعامد همه شخصیتهای غیرقابل کاهش

دقیقاً همانطور که در مورد گروههای محدود ، تعداد نمایش های غیرقابل تقلیل تا یکسان سازی یک گروه $G$ برابر است با تعداد کلاسهای همسریابی از $ج$ با این حال ، از آنجا که یک گروه جمع و جور به طور کلی دارای کلاسهای نامحدود زیادی است ، این اطلاعات مفیدی را ارائه نمی دهد.

نمایندگی القا شده [ ویرایش ]

اگر $ح$ یک زیر گروه بسته از شاخص محدود در یک گروه جمع و جور است $G ،$ ممکن است تعریف نمایش القایی برای گروههای محدود به تصویب برسد.

با این حال ، نمایندگی القا شده می تواند به طور کلی تعریف شود ، به طوری که تعریف مستقل از شاخص زیر گروه معتبر است $ح$

برای این منظور اجازه دهید ${\ displaystyle (\ eta ، V _ {\ eta})}$ نمایندگی واحد از زیر گروه بسته باشد $ح$ نمایش القایی مداوم ${\ displaystyle {\ text {Ind}} _ {H} ^ {G} (\ eta) = (I، V_ {I})}$ به شرح زیر تعریف شده است:

اجازه دهید $V_ {I}$ فضای هیلبرت از همه توابع قابل جمع شدن مربع را نشان می دهد ${\ displaystyle \ Phi: G \ to V _ {\ eta}}$ با دارایی ${\ displaystyle \ Phi (ls) = \ eta (l) \ Phi (s)}$ برای همه ${\ displaystyle l \ in H ، s \ in G.}$ هنجار توسط داده شده است

${\ displaystyle \ | \ Phi \ | _ {G} = {\ text {sup}} _ {s \ in G} \ | \ Phi (s) \ |}$

و نمایندگی $من$ به عنوان ترجمه درست آورده شده است: ${\ displaystyle I (s) \ Phi (k) = \ Phi (ks).}$

بازنمایی ناشی از آن دوباره بازنمایی واحدی است.

از آنجا که $G$ جمع و جور است ، نمایش القایی را می توان به مجموع مستقیم نمایش های غیرقابل تقلیل تجزیه کرد $ج$ توجه داشته باشید که تمام نمایش های غیرقابل تقلیل متعلق به همان ایزوتایپ با ضرب برابر برابر ظاهر می شوند ${\ displaystyle \ dim ({\ text {Hom}} _ {G} (V _ {\ eta}، V_ {I})) = \ langle V _ {\ eta}، V_ {I} \ rangle _ {G}. }$

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho})}$ نمایندگی باشد $G ،$ پس یک ناهنجاری متعارف وجود دارد

${\ displaystyle T: {\ text {Hom}} _ {G} (V _ {\ rho} ، I_ {H} ^ {G} (\ eta)) \ به {\ text {Hom}} _ {H} ( V _ {\ rho} | _ {H} ، V _ {\ eta}).}$

Frobenius به روابط متقابل انتقال، همراه با تعاریف اصلاح شده از محصول داخلی و فرم دارای دو خط مستقیم، به گروه جمع و جور. این قضیه اکنون برای توابع قابل جمع شدن مربع در فعال است $G$ به جای توابع کلاس ، اما زیر گروه $ح$ باید بسته شود

قضیه پیتر-ویل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: قضیه پیتر-ویل

یکی دیگر از نتایج مهم در نظریه بازنمایی گروههای فشرده ، قضیه پیتر-ویل است. معمولاً در تحلیل هارمونیک ارائه و اثبات می شود ، زیرا بیانگر یکی از گزاره های اصلی و اساسی آن است.

قضیه پیتر-ویل. اجازه دهید $G$ یک گروه جمع و جور باشید. برای هر نمایندگی غیرقابل کاهش

${\ displaystyle (\ tau، V _ {\ tau})}$ از $G$ اجازه دهید ${\ displaystyle \ {e_ {1} ، \ ldots ، e _ {\ dim (\ tau)} \}}$ یک اساس orthonormal از ${\ displaystyle V _ {\ tau}.}$ ضرایب ماتریس را تعریف می کنیم ${\ displaystyle \ tau _ {k، l} (s) = \ langle \ tau (s) e_ {k}، e_ {l} \ rangle}$ برای ${\ displaystyle k، l \ in \ {1، \ ldots، \ dim (\ tau) \}، s \ in G.}$ سپس ما در بر داشت زیر اساس orthonormal از ${\ displaystyle L ^ {2} (G)}$ :

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ dim (\ tau)}} \ tau _ {k، l} \ right) _ {k، l}}$

ما می توانیم این قضیه را برای بدست آوردن یک تعمیم از سری فوریه برای توابع در گروههای جمع و جور تنظیم کنیم:

قضیه پیتر-ویل (نسخه دوم). [7] یک امر طبیعی وجود دارد $G \ بار G$ - ناهنجاری

${\ displaystyle L ^ {2} (G) \ Cong _ {G \ times G} {\ widehat {\ bigoplus}} _ {\ tau \ in {\ widehat {G}}} {\ text {End}} ( V _ {\ tau}) \ Cong _ {G \ times G} {\ widehat {\ bigoplus}} _ {\ tau \ in {\ widehat {G}}} \ tau \ otimes \ tau ^ {*}}$

که در آن $\ widehat {G}$ مجموعه ای از نمایشهای غیرقابل کاهش از است $G$ تا یکسان سازی و ${\ displaystyle V _ {\ tau}}$ فضای نمایش مربوط به است $\ تاو$ به طور دقیق تر:

${\ displaystyle {\ start {cases} \ Phi \ mapsto \ sum _ {\ tau \ in {\ widehat {G}}} \ tau (\ Phi) \\ [5pt] \ tau (\ Phi) = \ int _ {G} \ Phi (t) \ tau (t) dt \ in {\ text {End}} (V _ {\ tau}) \ end {موارد}}}$

تاریخچه [ ویرایش ]

ویژگی های کلی از تئوری نمایندگی از یک گروه متناهی G ، بیش از اعداد مختلط ، توسط کشف شد فردیناند گئورگ Frobenius در سال قبل از سال 1900. بعدها تئوری نمایندگی های مدولار از ریچارد Brauer توسعه داده شد.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:22

قضیه های القایی [ ویرایش ]

القایی قضایای مربوط حلقه نمایندگی از یک گروه محدود داده شده G به حلقه نمایندگی از یک خانواده X متشکل از برخی از زیر مجموعه های H از G . دقیق تر ، برای چنین مجموعه ای از زیرگروه ها ، تراکتور القایی نقشه ای را ارائه می دهد

${\ displaystyle \ varphi: {\ text {Ind}}: \ bigoplus _ {H \ in X} {\ mathcal {R}} (H) \ به {\ mathcal {R}} (G)}$ ؛ قضیه های استقرا معیارهایی برای Surjectivity این نقشه یا آنهایی که از نزدیک مرتبط هستند را می دهد.

قضیه القای آرتین ابتدایی ترین قضیه در این گروه از نتایج است. این ادعا می کند که موارد زیر معادل هستند:

cokernel از $\ varphi$ متناهی است
$G$ اتحادیه مزدوج های زیرگروه های متعلق به است $ایکس،$ یعنی ${\ displaystyle G = \ bigcup _ {H \ in X \ atop s \ in G} sHs ^ {- 1}.}$

از آنجا که ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} (G)}$ به طور نهایی به صورت گروهی تولید می شود ، اولین نقطه را می توان به صورت زیر بیان کرد:

برای هر شخصیت $\ چی$ از $G ،$ شخصیت های مجازی وجود دارد ${\ displaystyle \ chi _ {H} \ in {\ mathcal {R}} (H) ، \، H \ in X}$ و یک عدد صحیح ${\ displaystyle d \ geq 1،}$ به طوری که ${\ displaystyle d \ cdot \ chi = \ sum _ {H \ in X} {\ text {Ind}} _ {H} ^ {G} (\ chi _ {H}).}$

Serre (1977) دو دلیل بر این قضیه ارائه می دهد. به عنوان مثال ، از آنجا که G اتحادیه زیرگروههای چرخه ای آن است ، از هر شخصیت $G$ یک ترکیب خطی با ضرایب گویا از شخصیت های ناشی از شخصیت های است زیر گروه حلقوی از $ج$ از آنجا که نمایشهای گروههای حلقوی به خوبی درک شده اند ، به ویژه نمایشهای غیرقابل کاهش یک بعدی هستند ، این امر کنترل خاصی بر نمایشهای G می دهد .

در شرایط فوق ، به طور کلی درست نیست که $\ varphi$ تصنیفی است قضیه استقرا Bra براوئر ادعا می کند که $\ varphi$ به شرطی که X خانواده تمام زیرگروههای ابتدایی باشد ، تصنیفی است . در اینجا یک گروه H است ابتدایی اگر برخی از نخست وجود دارد ص طوری که H است ضرب مستقیم از یک گروه دوری نخست به $پ$ و یک $پ$ -Group . به عبارت دیگر ، هر شخصیت از $G$ یک ترکیب خطی با ضرایب عدد صحیح کاراکترهای القا شده توسط شخصیت های زیر گروه های ابتدایی است. زیرگروههای مقدماتی H که در قضیه براوئر بوجود می آیند ، تئوری بازنمایی غنی تری نسبت به گروههای حلقوی دارند ، آنها حداقل دارای این خاصیت هستند که هر نمایش غیرقابل تقلیل برای چنین H توسط نمایشی یک بعدی از زیرگروه (لزوماً ابتدایی) القا می شود ${\ displaystyle K \ زیرمجموعه H}$ . (می توان نشان داد که این ویژگی اخیر برای هر گروه فوقالعاده ای که شامل گروه های توانمند و به ویژه گروه های ابتدایی است ، وجود دارد.) این توانایی در القای بازنمودها از نمایش های درجه 1 ، پیامدهای بیشتری در تئوری بازنمایی گروه های محدود دارد.

نمایش واقعی [ ویرایش ]

برای اثبات و اطلاعات بیشتر در مورد بازنمایی بیش از زیرشاخه های عمومی از ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ لطفاً به [2] رجوع کنید .

اگر گروهی باشد $G$ بر روی یک فضای برداری واقعی عمل می کند ${\ displaystyle V_ {0} ،}$ نمایش مربوطه در فضای برداری پیچیده ${\ displaystyle V = V_ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ واقعی نامیده می شود ( $V$ پیچیده شدن نامیده می شود $V_ {0}$ ) نمایندگی مربوطه که در بالا ذکر شد توسط ${\ displaystyle s \ cdot (v_ {0} \ otimes z) = (s \ cdot v_ {0}) \ otimes z}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G ، v_ {0} \ in V_ {0} ، z \ in \ mathbb {C}.}$

اجازه دهید $\ rho$ یک نمایش واقعی باشد. نقشه خطی ${\ displaystyle \ rho (s)}$ است $\ mathbb {R}$ -برای همه ارزش دارد ${\ displaystyle s \ in G.}$ بنابراین ، می توان نتیجه گرفت که شخصیت یک نمایش واقعی همیشه دارای ارزش واقعی است. اما هر نمایش با شخصیتی با ارزش واقعی واقعی نیست. برای روشن کردن این ، اجازه دهید $G$ یک زیر گروه محدود و غیر هابلی از گروه باشید

${\ displaystyle {\ text {SU}} (2) = \ left \ {{\ start {pmatrix} a & b \\ - {\ overline {b}} & {\ overline {a}} \ end {pmatrix}} \ : \ | a | ^ {2} + | b | ^ {2} = 1 \ راست \}.}$

سپس ${\ displaystyle G \ زیرمجموعه {\ text {SU}} (2)}$ عمل می کند ${\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {2}.}$ از آنجا که رد هر ماتریسی در ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ واقعی است ، شخصیت نمایش واقعی است. فرض کنید $\ rho$ یک نمایش واقعی است ، پس $\ rho (G)$ فقط از ماتریس های واقعی تشکیل می شود. بدین ترتیب، زیر مجموعه ${\ displaystyle G \ زیر مجموعه {\ text {SU}} (2) \ cap {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {R}) = {\ text {SO}} (2) = S ^ {1}.}$ با این حال گروه دایره ای abelian اما است $G$ به عنوان یک گروه غیر آبلیایی انتخاب شد. حال فقط باید وجود یک زیرگروه محدود و غیر آبلیایی را اثبات کنیم ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2).}$ برای یافتن چنین گروهی ، آن را مشاهده کنید ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ را می توان با واحدهای رباعی شناسایی کرد . حالا بگذار ${\ displaystyle G = \ {\ pm 1، \ pm i، \ pm j، \ pm ij \}.}$ نمایش دو بعدی زیر از $G$ ارزش واقعی ندارد ، اما دارای یک شخصیت واقعی است:

${\ displaystyle {\ start {موارد} \ rho: G \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) \\ [4pt] \ rho (\ pm 1) = {\ start { pmatrix} \ pm 1 & 0 \\ 0 & \ pm 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (\ pm i) = {\ begin {pmatrix} \ pm i & 0 \\ 0 & \ mp i \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (\ pm j) = {\ start {pmatrix} 0 & \ pm i \\\ pm i & 0 \ end {pmatrix}} \ end {موارد}}}$

سپس تصویر از $\ rho$ ارزش واقعی ندارد اما با این وجود زیرمجموعه ای از آن است ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2).}$ بنابراین ، شخصیت نمایش واقعی است.

لما نمایشی غیرقابل کاهش $V$ از $G$ واقعی است اگر و تنها اگر وجود داشته باشد وجود دارد nondegenerate فرم دارای دو خط مستقیم متقارن $ب$ بر $V$ حفظ شده توسط $ج$

نمایشی غیرقابل کاهش از $G$ در یک فضای برداری واقعی می توان هنگام گسترش فیلد به ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ به عنوان مثال ، نمایش واقعی زیر از گروه چرخه ای هنگامی که بیش از حد در نظر گرفته شود ، قابل کاهش است $\ mathbb {C}$

${\ displaystyle {\ start {موارد} \ rho: \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {R}) \\ [4pt] \ rho (k) = {\ start {pmatrix} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi ik} {m}} \ right) & \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi ik} {m} } \ راست) \\ - \ sin \ چپ ({\ frac {2 \ pi ik} {m}} \ راست) و \ cos \ چپ ({\ frac {2 \ pi ik} {m}} \ راست) \ end {pmatrix}} \ end {موارد}}}$

بنابراین ، با طبقه بندی تمام نمایش های غیرقابل کاهش که واقعی هستند ${\ displaystyle \ mathbb {C} ،}$ ما هنوز هم تمام نمایش های واقعی غیرقابل تقلیل را طبقه بندی نکرده ایم. اما ما به موارد زیر دست می یابیم:

اجازه دهید $V_ {0}$ یک فضای برداری واقعی باشید. اجازه دهید $G$ غیرقابل کاهش بر اساس $V_ {0}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle V = V_ {0} \ otimes \ mathbb {C}.}$ اگر $V$ قابل کاهش نیست ، دقیقاً دو عامل غیرقابل کاهش وجود دارد که نمایش مختلط پیچیده ای از آنهاست $ج$

تعریف. quaternionic نمایندگی نمایندگی (مختلط) است $V ،$ که دارای یک $G$ یکسان سازی غیر خطی غیر متغیر ${\ displaystyle J: V \ به V}$ رضایت بخش ${\ displaystyle J ^ {2} = - {\ text {Id}}.}$ بنابراین ، یک کج ، متقارن ، غیرتولیدی $G$ فرم دو خطی غیر متغیر یک ساختار رباعی را تعریف می کند $پنجم$

قضیه نمایشی غیرقابل کاهش $V$ یکی و تنها یکی از موارد زیر است:

(i) پیچیده: $\ چی _ {V}$ ارزش واقعی ندارد و وجود ندارد $G$ فرم دو خطی غیرتولیدی غیر متغیر در $پنجم$

(ii) واقعی: ${\ displaystyle V = V_ {0} \ otimes \ mathbb {C} ،}$ یک نمایش واقعی $V$ دارد $G$ فرم متقارن غیر متولد غیر متغیر - غیر متغیر .

(iii) رباعی: $\ چی _ {V}$ واقعی است ، اما $V$ واقعی نیست $V$ دارد $G$ فرم دو خطی متقارن کج-متقارن غیر متغیر.

نمایندگی گروههای خاص [ ویرایش ]

گروه های متقارن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تئوری بازنمایی گروه متقارن

نمایش گروههای متقارن $S_ {n}$ به شدت مورد مطالعه قرار گرفته اند. کلاسهای صلح در $S_ {n}$ (و بنابراین ، با توجه به موارد فوق ، نمایش های غیرقابل کاهش) با پارتیشن های n مطابقت دارند . مثلا، $S_ {3}$ دارای سه نمایش غیرقابل کاهش است ، مربوط به پارتیشن ها

3؛ 2 + 1 ؛ 1 + 1 + 1

از 3. برای چنین پارتیشنی ، تابلو یانگ یک دستگاه گرافیکی است که یک پارتیشن را نشان می دهد. نمایش غیرقابل کاهش مربوط به چنین پارتیشن (یا تابلوی یانگ) ماژول Specht نامیده می شود .

نمایش گروههای مختلف متقارن با هم مرتبط هستند: هر نمایش از ${\ displaystyle S_ {n} \ times S_ {m}}$ بازدهی از ${\ displaystyle S_ {n + m}}$ با القا ، و بالعکس با محدودیت. مجموع مستقیم همه این نمایش ها حلقه می زند

${\ displaystyle \ bigoplus _ {n \ geq 0} R (S_ {n})}$

ساختار یک جبر Hopf را از این سازه ها به ارث می برد که به نظر می رسد ، نزدیک به توابع متقارن است .

گروههای محدود از نوع لی[ ویرایش ]

تا حدی نمایندگی های ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ ، به عنوان n متفاوت است ، طعم مشابه با $S_ {n}$ ؛ فرآیند القای فوق الذکر با اصطلاح القای سهموی جایگزین می شود . با این حال ، بر خلاف برای $S_ {n}$ ، جایی که می توان تمام بازنمایی ها را با القای نمایش های بی اهمیت بدست آورد ، این برای درست نیست ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ . در عوض ، بلوک های جدید ساختمانی ، معروف به نمایش های کوسپیدال ، مورد نیاز است.

نمایندگی های ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ و به طور کلی ، نمایندگی از گروه های محدود از نوع دروغ به طور کامل مطالعه شده است. بنافه (2011) نمایش های ${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbf {F} _ {q})}$ . یک توصیف هندسی از نمایش های غیر قابل کاهش این گروه ها ، از جمله نمایش های فوق الذکر فوق الذکر ، توسط نظریه Deligne-Lusztig ، که چنین نمایندگی ای را در کوهومولوژی L-adic از انواع Deligne-Lusztig می سازد ، به دست می آید.

شباهت نظریه بازنمایی ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ فراتر از گروههای محدود است. فلسفه اشکال لت برجسته خویشاوندی نمایندگی جنبه نظری از این نوع از گروه با گروه های خطی عمومی زمینه های محلی مانند Q ص و حلقه ای از adeles ، و ضربت (2004) .

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:20

متقابل

فروبنیوس [ ویرایش ]

مقاله اصلی: متقابل فروبنیوس

به عنوان یک جمع بندی پیشگیرانه فروبنیوس ، درسی که می توان از متقابل فروبنیوس گرفت این است که نقشه ها را تهیه کنید ${\ displaystyle {\ text {Res}}}$ و ${\ displaystyle {\ text {Ind}}}$ به هم چسبیده اند

اجازه دهید $دبلیو$ نمایشی غیرقابل کاهش از $ح$ و اجازه دهید $V$ نمایشی غیرقابل کاهش از $G ،$ متقابل فروبنیوس به ما می گوید که $دبلیو$ موجود است در ${\ displaystyle {\ text {Res}} (V)}$ به عنوان اغلب به عنوان ${\ displaystyle {\ text {Ind}} (W)}$ موجود است در $پنجم$

متقابل فروبنیوس. اگر ${\ displaystyle \ psi \ in \ mathbb {C} _ {\ text {class}} (H)}$ و ${\ displaystyle \ varphi \ in \ mathbb {C} _ {\ text {class}} (G)}$ ما داریم ${\ displaystyle \ langle \ psi ، {\ text {Res}} (\ varphi) \ rangle _ {H} = \ langle {\ text {Ind}} (\ psi) ، \ varphi \ rangle _ {G}.}$

این عبارت برای محصول داخلی نیز معتبر است .

معیار غیرقابل کاهش بودن مکی [ ویرایش ]

جورج مکی معیاری برای تأیید غیرقابل کاهش بودن بازنمایی های القایی تعیین کرد. برای این منظور ابتدا به برخی تعاریف و برخی مشخصات با توجه به علامت گذاری نیاز خواهیم داشت.

دو نمایندگی $V_ {1}$ و $V_ {2}$ از یک گروه $G$ نامیده می شوند مجزا ، اگر آنها جزء هیچ در غیر قابل تقلیل مشترک، به عنوان مثال اگر ${\ displaystyle \ langle V_ {1} ، V_ {2} \ rangle _ {G} = 0.}$

اجازه دهید $G$ یک گروه باشید و بگذارید $ح$ یک زیر گروه باشد ما تعریف می کنیم ${\ displaystyle H_ {s} = sHs ^ {- 1} \ cap H}$ برای ${\ displaystyle s \ in G.}$ اجازه دهید ${\ displaystyle (\ rho، W)}$ نمایندگی زیرگروه باشد $ح$ این با محدودیت یک نمایش را تعریف می کند ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H_ {s}} (\ rho)}$ از ${\ displaystyle H_ {s}.}$ ما نوشتیم ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {s} (\ rho)}$ برای ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H_ {s}} (\ rho).}$ ما بازنمایی دیگری را نیز تعریف می کنیم $\ rho ^ {s}$ از $H_ {s}$ توسط ${\ displaystyle \ rho ^ {s} (t) = \ rho (s ^ {- 1} ts).}$ این دو نمایش اشتباه گرفته نشود.

معیار غیرقابل کاهش بودن مکی. نمایندگی القا شده ${\ displaystyle V = {\ text {Ind}} _ {H} ^ {G} (W)}$ اگر و فقط در صورت رعایت شرایط زیر غیرقابل کاهش است:

$دبلیو$ غیرقابل کاهش است
برای هر ${\ displaystyle s \ in G \ setminus H}$ دو نمایندگی ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {s} (\ rho)}$ از $H_ {s}$ جدا از هم هستند [6]

برای مورد $ح$ طبیعی است ، ما داریم ${\ displaystyle H_ {s} = H}$ و ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {s} (\ rho) = \ rho}$ . بنابراین موارد زیر را بدست می آوریم:

نتیجه گیری اجازه دهید $ح$ یک زیر گروه عادی باشید $ج$ سپس ${\ displaystyle {\ text {Ind}} _ {H} ^ {G} (\ rho)}$ اگر و فقط اگر غیرقابل کاهش باشد $\ rho$ غیرقابل تقلیل است و برای ترکیبات یکدست نیست $\ rho ^ {s}$ برای ${\ displaystyle s \ notin H.}$

برنامه ها برای گروه های خاص [ ویرایش ]

در این بخش ما برخی از کاربردهای تئوری ارائه شده در زیرگروههای عادی و به یک گروه خاص ، ضرب نیمه مستقیم یک زیر گروه با یک زیرگروه عادی ابلی را ارائه می دهیم.

قضیه. اجازه دهید $آ$ یک زیر گروه نرمال از گروه $G$ و اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایشی غیرقابل کاهش از $ج$ سپس یکی از عبارات زیر باید معتبر باشد:

یا یک زیر گروه مناسب وجود دارد $ح$ از $G$ حاوی $آ$ ، و نمایشی غیرقابل کاهش $\ و$ از $ح$ که القا می کند $\ rho$ ،
یا $V$ ایزوتایپیک است ${\ displaystyle \ mathbb {C} A}$ -مدول.

اثبات در نظر گرفتن $V$ به عنوان یک ${\ displaystyle \ mathbb {C} A}$ -مدول کنید و آنرا به صورت نمونه های مختلف تجزیه کنید ${\ displaystyle V = \ bigoplus _ {j} {V_ {j}}}$ . اگر این تجزیه پیش پا افتاده باشد ، در حالت دوم هستیم. در غیر این صورت ، بزرگتر است $G$ -فعال این ماژولهای ایزوتایپی را تغییر می دهد. زیرا $V$ غیرقابل کاهش است به عنوان ${\ displaystyle \ mathbb {C} G}$ -module ، عمل جایگشتی انتقالی است (در واقع بدوی ). رفع هر کدام $ج$ ؛ تثبیت کننده در $G$ از $V_ {j}$ از نظر ابتدایی برای نمایش خواص ادعا شده دیده می شود. $\ جعبه$

توجه داشته باشید که اگر $آ$ ابلی است ، سپس ماژولهای ایزوتایپی $آ$ غیرقابل تقلیل است ، از درجه یک ، و همه خانه داری.

ما همچنین موارد زیر را بدست می آوریم

نتیجه گیری اجازه دهید

$آ$ یک زیر گروه طبیعی آبلیان باشید $G$ و اجازه دهید $\ تاو$ نمایندگی غیرقابل کاهش از

$ج$ ما با نشان می دهیم

${\ displaystyle (G: A)}$ شاخص از

$آ$ که در

$ج$ سپس

${\ displaystyle \ deg (\ tau) | (G: A).}$ [1]

اگر. $آ$ یک زیر گروه آبلیان است $G$ (لزوماً طبیعی نیست) ، به طور کلی

${\ displaystyle \ deg (\ tau) | (G: A)}$ راضی نیست ، اما با این وجود

${\ displaystyle \ deg (\ tau) \ leq (G: A)}$ هنوز معتبر است.

طبقه بندی نمایندگی های یک ضرب نیمه مستقیم [ ویرایش ]

در ادامه اجازه دهید

${\ displaystyle G = A \ بارها H}$ یک ضرب نیمه مستقیم باشد به طوری که عامل نیمه مستقیم

$آ$ ، هابلی است. نمایندگی های غیرقابل کاهش چنین گروهی

$G ،$ می توان با نشان دادن اینکه تمام نمایش های غیرقابل تقلیل از

$G$ را می توان از زیر گروه های خاصی از

$ح$ . این روش اصطلاحاً "گروههای کوچک" ویگنر و مکی است.

از آنجا که

$آ$ است آبلی ، شخصیت غیر قابل تقلیل

$آ$ دارای درجه یک و تشکیل گروه

${\ displaystyle \ mathrm {X} = {\ text {Hom}} (A ، \ mathbb {C} ^ {\ times}).}$ گروه

$G$ عمل می کند در

$\ mathrm {X}$ توسط

${\ displaystyle (s \ chi) (a) = \ chi (s ^ {- 1} as))$ برای

${\ displaystyle s \ in G ، \ chi \ in \ mathrm {X} ، a \ in A.}$

اجازه دهید

${\ displaystyle (\ chi _ {j}) _ {j \ in \ mathrm {X} / H}}$ یک سیستم نماینده از مدار از

$ح$ که در

${\ displaystyle \ mathrm {X}.}$ برای هر

${\ displaystyle j \ in \ mathrm {X} / H}$ ${\ displaystyle H_ {j} = \ {t \ in H: t \ chi _ {j} = \ chi _ {j} \}.}$ این یک زیر گروه است

$ح$ اجازه دهید

${\ displaystyle G_ {j} = A \ cdot H_ {j}}$ زیر گروه مربوطه باشد

$ج$ اکنون عملکرد را گسترش می دهیم

${\ displaystyle \ chi _ {j}}$ به سوی

$G_ {j}$ توسط

${\ displaystyle \ chi _ {j} (at) = \ chi _ {j} (a)}$ برای

${\ displaystyle a \ in A ، t \ in H_ {j}.}$ بدین ترتیب،

${\ displaystyle \ chi _ {j}}$ یک تابع کلاس روشن است

${\ displaystyle G_ {j}.}$ علاوه بر این ، از آن زمان

${\ displaystyle t \ chi _ {j} = \ chi _ {j}}$ برای همه

${\ displaystyle t \ in H_ {j} ،}$ می توان نشان داد که

${\ displaystyle \ chi _ {j}}$ یک همگونی گروهی از است

$G_ {j}$ به

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}.}$ بنابراین ، ما نمایندگی از

$G_ {j}$ درجه یک برابر با شخصیت آن است.

حالا بگذار

$\ rho$ نمایشی غیرقابل کاهش از

${\ displaystyle H_ {j}.}$ سپس نمایشی غیرقابل تقلیل به دست می آوریم

$\ tilde {\ rho}$ از

${\ displaystyle G_ {j} ،}$ با ترکیب کردن

$\ rho$ با پیش بینی متعارف

${\ displaystyle G_ {j} \ به H_ {j}.}$ در نهایت، ما ساخت ضرب تانسور از

${\ displaystyle \ chi _ {j}}$ و

${\ displaystyle {\ tilde {\ rho}}.}$ بنابراین ، ما نمایشی غیرقابل کاهش داریم

${\ displaystyle \ chi _ {j} \ otimes {\ tilde {\ rho}}}$ از

${\ displaystyle G_ {j}.}$

تا سرانجام طبقه بندی نمایندگان غیرقابل کاهش را بدست آورید

$G$ ما از نمایندگی استفاده می کنیم

${\ displaystyle \ theta _ {j ، \ rho}}$ از

$G ،$ که توسط صرب تنسور القا می شود

${\ displaystyle \ chi _ {j} \ otimes {\ tilde {\ rho}}.}$ بنابراین ، ما به نتیجه زیر می رسیم:

قضیه.

${\ displaystyle \ theta _ {j ، \ rho}}$ غیرقابل کاهش است

${\ displaystyle \ theta _ {j ، \ rho}}$ و

${\ displaystyle \ theta _ {j '، \ rho'}}$ بنابراین نامتقارن هستند

${\ displaystyle j = j '}$ و علاوه بر این

$\ rho$ یکدست است به

${\ displaystyle \ rho '.}$

هر نمایشی غیرقابل کاهش از

$G$ با یکی از موارد ناهمسان است
${\ displaystyle \ theta _ {j ، \ rho}.}$

از جمله معیارهای مکی و نتیجه گیری متقابل Frobenius برای اثبات گزاره مورد نیاز است. جزئیات بیشتر را می توان در [1] یافت .

به عبارت دیگر ، ما تمام نمایش های غیرقابل تقلیل را از طبقه بندی کردیم

${\ displaystyle G = A \ بارها H.}$

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (8)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:16

نظریه شخصیت [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه شخصیت

تعاریف [ ویرایش ]

شخصیت از نمایندگی ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ به عنوان نقشه تعریف می شود

${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}: G \ to \ mathbb {C} ، \ chi _ {\ rho} (s): = {\ text {Tr}} (\ rho (s)) ،}$ که در آن ${\ displaystyle {\ text {Tr}} (\ rho (s))}$ ردیابی نقشه خطی را نشان می دهد ${\ displaystyle \ rho (ها)}$ [4]

همانطور که این شخصیت یک نقشه بین دو گروه است ، اما به طور کلی یک همگونی گروهی نیست ، همانطور که مثال زیر نشان می دهد.

اجازه دهید

${\ displaystyle \ rho: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C })}$ نمایندگی تعریف شده توسط:

${\ displaystyle \ rho (0،0) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (1،0) = {\ start {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (0،1) = {\ start {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (1،1) = {\ start {pmatrix } 0 & -1 \\ - 1 و 0 \ end {pmatrix}}.}$

شخصیت ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (0،0) = 2 ، \ quad \ chi _ {\ rho} (1،0) = - 2 ، \ quad \ chi _ {\ rho} (0،1) = \ chi _ {\ rho} (1،1) = 0.}$

شخصیت های نمایش های جایگزینی به راحتی قابل محاسبه هستند. اگر V است که G -representation مربوط به عمل چپ $G$ روی یک مجموعه محدود $ایکس$ ، سپس

${\ displaystyle \ chi _ {V} (s) = | \ {x \ in X | s \ cdot x = x \} |.}$

به عنوان مثال ، [5] شخصیت نمایش منظم $R$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle \ chi _ {R} (s) = {\ begin {موارد} 0 & s \ neq e \\ | G | & s = e \ پایان {موارد}} ،}$

جایی که $ه$ نشان دهنده عنصر خنثی از است $ج$

خصوصیات [ ویرایش ]

ویژگی مهم شخصیت ها فرمول است

${\ displaystyle \ chi (tst ^ {- 1}) = \ chi (s) ، \ ، \ ، \ forall \ ، s ، t \ in G.}$

این فرمول از این واقعیت ناشی می شود که رد یک محصول AB از دو ماتریس مربع همان ردیف BA است . کارکرد ${\ displaystyle G \ به \ mathbb {C}}$ ارضای چنین فرمولی توابع کلاس نامیده می شود . به عبارت دیگر ، توابع کلاس و به ویژه کاراکترها در هر کلاس مصداق ثابت هستند ${\ displaystyle C_ {s} = \ {tst ^ {- 1} | t \ in G \}.}$ همچنین از خصوصیات اولیه ردیابی به دست می آید که ${\ displaystyle \ chi (ها)}$ مجموع مقادیر ویژه از است ${\ displaystyle \ rho (s)}$ با کثرت اگر درجه نمایش n باشد ، جمع آن n طولانی است. اگر بازدید کنندگان است سفارش متر ، این مقادیر ویژه همه متر هفتم ریشه وحدت . از این واقعیت می توان برای نشان دادن آن استفاده کرد ${\ displaystyle \ chi (s ^ {- 1}) = {\ overline {\ chi (s)}} ، \ ، \ ، \ ، \ forall \ ، s \ in G}$ و همچنین دلالت دارد ${\ displaystyle | \ chi (ها) | \ leqslant n.}$

از آنجا که رد ماتریس هویت تعداد ردیف ها است ، ${\ displaystyle \ chi (e) = n ،}$ جایی که $ه$ عنصر خنثی است $G$ و n بعد نمایش است. به طور کلی ، ${\ displaystyle \ {s \ in G | \ chi (s) = n \}}$ یک زیر گروه طبیعی در است $ج$ جدول زیر نحوه کاراکترها را نشان می دهد ${\ displaystyle \ chi _ {1} ، \ ch _ {2}}$ از دو نمایش داده شده ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1}) ، \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {2}) }$ شخصیت هایی را از نمایش های مرتبط ایجاد کنید.

شخصیت های چندین ساختار استاندارد
نمایندگی	شخصیت
نمایندگی دوتایی {\ displaystyle V_ {1} ^ {}} ${\ displaystyle V_ {1} ^ {}}$	${\ displaystyle \ chi _ {1} ^ {*} = {\ overline {\ chi _ {1}}}.}$
جمع مستقیم ${\ displaystyle V_ {1} \ oplus V_ {2}}$	${\ displaystyle \ chi _ {1} + \ chi _ {2}.}$
محصول تنسور نمایش ها ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$	${\ displaystyle \ chi _ {1} \ chi _ {2}.}$
مربع متقارن ${\ displaystyle Sym ^ {2} (V)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ chi (s) ^ {2} + \ chi (s ^ {2}) \ right)}$
مربع متناوب ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {2} V}$	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ chi (s) ^ {2} - \ chi (s ^ {2}) \ right)}$

با ساخت ، یک تجزیه مستقیم از مقدار وجود دارد ${\ displaystyle V \ otimes V = Sym ^ {2} (V) \ oplus \ bigwedge ^ {2} V}$ . در نویسه ها ، این مربوط به این واقعیت است که مجموع دو عبارت آخر جدول است ${\ displaystyle \ chi (s) ^ {2}}$ ، شخصیت $V \ otimes V$ .

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی(7)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:15

تجزیه [ ویرایش ]

به منظور درک آسان بازنمایی ها ، تجزیه فضای نمایش به جمع مستقیم بازنمودهای ساده تر مطلوب خواهد بود. این را می توان برای گروههای محدود به دست آورد همانطور که در نتایج زیر خواهیم دید. توضیحات و اثبات دقیق تر را می توان در [1] و [2] یافت .

قضیه ( Maschke ) اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ یک نمایش خطی در کجا باشد $V$ یک فضای بردار بیش از یک زمینه مشخصه صفر است. اجازه دهید $دبلیو$ بودن $G$ -خیر فضایی متغیر از $پنجم$ سپس مکمل ${\ displaystyle W ^ {0}}$ از $دبلیو$ در وجود دارد $V$ و است $G$ -ثابت.

نمایندگی فرعی و مکمل آن نمایندگی را به طور منحصر به فرد تعیین می کند.

قضیه زیر به روش کلی تری ارائه خواهد شد ، زیرا نتیجه بسیار زیبایی را در مورد بازنمایی گروههای فشرده - و بنابراین محدود نیز فراهم می کند :

قضیه هر نمایش خطی از یک گروه فشرده بر روی زمینه ای از ویژگی صفر ، یک جمع مستقیم از نمایش های غیرقابل کاهش است.

یا به زبان $کیلوگرم]$ -مدول ها: اگر ${\ displaystyle {\ text {char}} (K) = 0 ،}$ جبر گروهی $کیلوگرم]$ نیمه ساده است ، یعنی مجموع مستقیم جبرهای ساده است.

توجه داشته باشید که این تجزیه منحصر به فرد نیست. با این حال ، تعداد دفعاتی که یک نمایش فرعی با یک نمایش غیرقابل تقلیل داده شده در این تجزیه اتفاق می افتد ، مستقل از انتخاب تجزیه است.

تجزیه شرعی

برای دستیابی به تجزیه منحصر به فرد ، باید تمام بازنمودهای فرعی غیرقابل تقلیل را که برای یکدیگر ناهمسان هستند ، ترکیب کند. این بدان معنی است که فضای نمایش به یک جمع مستقیم از ایزوتایپ های آن تجزیه می شود. این تجزیه به طور منحصر به فردی تعیین می شود. به آن تجزیه شرعی گفته می شود .

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ tau _ {j}) _ {j \ in I}}$ مجموعه تمام نمایش های غیرقابل تقلیل یک گروه باشد $G$ تا یکسان سازی اجازه دهید $V$ نمایندگی باشد $G$ و اجازه دهید ${\ displaystyle \ {V (\ tau _ {j}) | j \ in I \}}$ مجموعه ای از همه ایزوتایپ های $پنجم$ طرح ${\ displaystyle p_ {j}: V \ به V (\ tau _ {j})}$ مربوط به تجزیه متعارف است

${\ displaystyle p_ {j} = {\ frac {n_ {j}} {g}} \ sum _ {t \ in G} {\ overline {\ chi _ {\ tau _ {j}} (t)}} \ rho (t) ،}$

جایی که ${\ displaystyle n_ {j} = \ dim (\ tau _ {j}) ،}$ ${\ displaystyle g = {\ text {ord}} (G)}$ و ${\ displaystyle \ chi _ {\ tau _ {j}}}$ شخصیت متعلق به است ${\ displaystyle \ tau _ {j}.}$

در زیر ، نحوه تعیین ایزوتایپ نمایش بی اهمیت را نشان می دهیم:

تعریف (فرمول پروجکشن). برای هر نمایندگی $(\ rho ، V)$ از یک گروه $G$ ما تعریف می کنیم

${\ displaystyle V ^ {G}: = \ {v \ in V: \ rho (s) v = v \، \، \، \، \ forall \، s \ in G \}.}$

به طور کلی ، ${\ displaystyle \ rho (s): V \ به V}$ نیست $G$ -خطی ما تعریف می کنیم

${\ displaystyle P: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {s \ in G} \ rho (s) \ in {\ text {End}} (V).}$

سپس $پ$ هست یک $G$ نقشه خطی ، زیرا

${\ displaystyle \ forall t \ in G: \ qquad \ sum _ {s \ in G} \ rho (s) = \ sum _ {s \ in G} \ rho (tst ^ {- 1}).}$

قضیه. نقشه $پ$ یک طرح از $V$ به ${\ displaystyle V ^ {G}.}$

این گزاره ما را قادر می سازد تا صریحاً ایزوتایپ نمایندگی فرعی یک نمایش معین را تعیین کنیم.

نمایندگی پیش پا افتاده در چند وقت یک بار اتفاق می افتد $V$ از رابطه زیر بدست می آید ${\ displaystyle {\ text {Tr}} (P).}$ این نتیجه نتیجه این واقعیت است که مقادیر ویژه یک طرح ریزی فقط هستند ${\ displaystyle 0}$ یا $1$ و اینکه فضای ویژه مربوط به مقدار ویژه است $1$ تصویر فرافکنی است. از آنجا که رد فرافکنی حاصل جمع کل مقادیر ویژه است ، نتیجه زیر را بدست می آوریم

${\ displaystyle \ dim (V (1)) = \ dim (V ^ {G}) = Tr (P) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {s \ in G} \ chi _{در مقابل)،}$

که در آن ${\ displaystyle V (1)}$ نشانگر ایزوتایپ نمایش بی اهمیت است.

اجازه دهید ${\ displaystyle V _ {\ pi}}$ یک نمایش غیر قابل انکار غیرقابل کاهش از $ج$ سپس ایزوتایپ به نمایش بی اهمیت از $\ پی$ فضای خالی است این بدان معناست که معادله زیر برقرار است

${\ displaystyle P = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {s \ in G} \ pi (s) = 0.}$

اجازه دهید $e_ {1} ، ... ، e_ {n}$ یک اساس orthonormal از ${\ displaystyle V _ {\ pi}.}$ سپس ما باید:

${\ displaystyle \ sum _ {s \ in G} {\ text {Tr}} (\ pi (s)) = \ sum _ {s \ in G} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ langle \ pi (ها) e_ {j} ، e_ {j} \ rangle = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ چپ \ langle \ sum _ {s \ in G} \ pi (s) e_ {j } ، e_ {j} \ right \ rangle = 0.}$

بنابراین ، موارد زیر برای نمایش غیرقابل انکار غیر قابل تصور معتبر است $V$ :

${\ displaystyle \ sum _ {s \ in G} \ chi _ {V} (s) = 0.}$

مثال. اجازه دهید ${\ displaystyle G = {\ text {Per}} (3)}$ گروه های جایگزینی در سه عنصر باشند. اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: {\ text {Per}} (3) \ به {\ text {GL}} _ {5} (\ mathbb {C})}$ نمایش خطی از ${\ displaystyle {\ text {Per}} (3)}$ بر روی عناصر تولید کننده به شرح زیر تعریف شده است:

${\ displaystyle \ rho (1،2) = {\ start {pmatrix} -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (1،3) = {\ شروع {pmatrix} {\ frac {1} {2}} و {\ frac {1} {2}} و 0 و 0 و 0 \\ {\ frac {1} {2}} & - 1 و 0 و 0 و 0 \\ 0 & 0 و 0 و 0 و 1 \\ 0 و 0 و 0 و 1 و 0 \\ 0 & 0 و 1 و 0 و 0 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (2،3) = {\ start {pmatrix} 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ - {\ frac {1} {2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ پایان {pmatrix}}.}$

این نمایش را می توان با نگاه اول به نمایش چپ به طور منظم تجزیه کرد ${\ displaystyle {\ text {Per}} (3) ،}$ که با نشان داده می شود $\ پی$ در زیر ، و نمایندگی ${\ displaystyle \ eta: {\ text {Per}} (3) \ to {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ با

${\ displaystyle \ eta (1،2) = {\ start {pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ eta (1،3) = {\ start {pmatrix} {\ frac {1 } {2}} & {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {1} {2}} & - 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ eta (2،3) = {\ شروع کنید {pmatrix} 0 & -2 \\ - {\ frac {1} {2}} و 0 \ پایان {pmatrix}}.}$

با کمک معیار غیرقابل کاهش پذیری که از فصل بعدی گرفته شده است ، می توانیم به این موضوع پی ببریم $\ و$ غیرقابل کاهش است اما $\ پی$ نیست. دلیل این امر این است که (از نظر محصول درونی از "محصول داخلی و شخصیت ها" در زیر) ما داریم ${\ displaystyle (\ eta | \ eta) = 1 ، (\ pi | \ pi) = 2.}$

فضای فرعی ${\ displaystyle \ mathbb {C} (e_ {1} + e_ {2} + e_ {3})}$ از ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$ با توجه به نمایندگی چپ به طور منظم ثابت است. محدود به این زیرفضا ، نمایش بی اهمیت را بدست می آوریم.

مکمل متعامد ${\ displaystyle \ mathbb {C} (e_ {1} + e_ {2} + e_ {3})}$ است ${\ displaystyle \ mathbb {C} (e_ {1} -e_ {2}) \ oplus \ mathbb {C} (e_ {1} + e_ {2} -2e_ {3}).}$ محدود به این خرده فضا ، که همچنین است $G$ همانطور که در بالا مشاهده کردیم ، نمایندگی را بدست می آوریم $\ تاو$ داده شده توسط

${\ displaystyle \ tau (1،2) = {\ start {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ tau (1،3) = {\ start {pmatrix} {\ frac {1 } {2}} & {\ frac {3} {2}} \\ {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \ end {pmatrix}} ، \ quad \ tau (2،3) = {\ start {pmatrix} {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {3} {2}} \\ - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \ end {pmatrix}}.}$

برای اثبات این موضوع می توانیم از معیار عدم کاهش فصل بعدی استفاده کنیم $\ تاو$ غیرقابل کاهش است اکنون، $\ و$ و $\ تاو$ یکدست هستند زیرا ${\ displaystyle \ eta (s) = B \ circ \ tau (s) \ circ B ^ {- 1}}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in {\ text {Per}} (3) ،}$ که در آن ${\ displaystyle B: \ mathbb {C} ^ {2} \ به \ mathbb {C} ^ {2}}$ توسط ماتریس داده می شود

${\ displaystyle M_ {B} = {\ start {pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}}.}$

تجزیه ای از ${\ displaystyle (\ rho، \ mathbb {C} ^ {5})}$ در زیر نمایش های غیرقابل کاهش است: ${\ displaystyle \ rho = \ tau \ oplus \ eta \ oplus 1}$ جایی که $1$ نمایندگی بی اهمیت و

${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5} = \ mathbb {C} (e_ {1}، e_ {2}) \ oplus \ mathbb {C} (e_ {3} -e_ {4}، e_ {3 } + e_ {4} -2e_ {5}) \ oplus \ mathbb {C} (e_ {3} + e_ {4} + e_ {5})}$

تجزیه مربوط به فضای نمایش است.

ما تجزیه متعارف را با ترکیب همه بازنمودهای فرعی غیرقابل تقلیل غیر همسان به دست می آوریم: ${\ displaystyle \ rho _ {1}: = \ eta \ oplus \ tau}$ هست {\ displaystyle \ tau} $\ تاو$ -ایزوتایپ از $\ rho$ و در نتیجه تجزیه متعارف توسط

${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {1} \ oplus 1، \ qquad \ mathbb {C} ^ {5} = \ mathbb {C} (e_ {1}، e_ {2}، e_ {3} -e_ {4} ، e_ {3} + e_ {4} -2e_ {5}) \ oplus \ mathbb {C} (e_ {3} + e_ {4} + e_ {5}).}$

قضیه های فوق بطور کلی برای گروههای بیکران معتبر نیستند. این با مثال زیر نشان داده می شود: اجازه دهید

${\ displaystyle G = \ {A \ in {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) | \، A \، \، {\ text {یک ماتریس مثلثی فوقانی است}} \}. }$

همراه با ضرب ماتریس $G$ یک گروه بی نهایت است. $G$ عمل می کند ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ توسط ضرب ماتریس-بردار. ما نمایندگی را در نظر می گیریم ${\ displaystyle \ rho (A) = A}$ برای همه ${\ displaystyle A \ in G.}$ فضای فرعی ${\ displaystyle \ mathbb {C} e_ {1}}$ هست یک $G$ فضای فرعی غیر متغیر. با این حال ، هیچ وجود دارد $G$ -مکمل بی نظیر این فضای خرده این فرض که چنین مکملی وجود داشته باشد ، مستلزم آن است که هر ماتریسی بیش از حد مورب است ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ این اشتباه شناخته شده است و بنابراین تناقض ایجاد می کند.

اخلاق داستان این است که اگر گروههای نامحدودی را در نظر بگیریم ، ممکن است یک نمایش - حتی نمایشی که قابل کاهش نیست - نتواند به یک جمع مستقیم از بازنمودهای فرعی غیرقابل تقلیل تجزیه شود.

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (6)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:14

آوریم ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H} (\ rho).}$ این نمایش توسط تصویر تعریف می شود ${\ displaystyle \ rho (\ mu) ،}$ شکل صریح آن در بالا نشان داده شده است.

ساخت و سازها [ ویرایش ]

نمایندگی دوگانه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایندگی دوتایی

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایندگی معین باشد. نمایندگی دو یا نمایندگی ${\ displaystyle \ rho ^ {*}: G \ to {\ text {GL}} (V ^ {*})}$ بازنمایی از است $G$ در فضای بردار دوتایی از $پنجم$ توسط ملک تعریف می شود

${\ displaystyle \ forall s \ in G ، v \ in V ، \ alpha \ in V ^ {*}: \ qquad \ left (\ rho ^ {*} (s) \ alpha \ right) (v) = \ alpha \ چپ (\ rho \ چپ (s ^ {- 1} \ راست) v \ راست).}$

با توجه به جفت شدن طبیعی ${\ displaystyle \ langle \ alpha ، v \ rangle: = \ alpha (v)}$ بین $V ^ {*}$ و $V$ تعریف فوق معادله را ارائه می دهد:

${\ displaystyle \ forall s \ in G ، v \ in V ، \ alpha \ in V ^ {*}: \ qquad \ langle \ rho ^ {*} (s) (\ alpha)، \ rho (s) (v ) \ rangle = \ langle \ alpha ، v \ rangle.}$

برای مثال ، به صفحه اصلی این موضوع مراجعه کنید: نمایش دوگانه .

جمع مستقیم نمایش ها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: مجموع مستقیم sum مجموع مستقیم نمایش های گروهی

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ rho _ {1} ، V_ {1})}$ و ${\ displaystyle (\ rho _ {2} ، V_ {2})}$ نمایندگی باشد $G_ {1}$ و ${\ displaystyle G_ {2} ،}$ به ترتیب. مجموع مستقیم این نمایش ها نمایش خطی است و به صورت تعریف شده است

${\ displaystyle \ forall s_ {1} \ in G_ {1}، s_ {2} \ in G_ {2}، v_ {1} \ in V_ {1}، v_ {2} \ in V_ {2}: \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}: G_ {1} \ دفعات G_ {2} \ به {\ text {GL}} (V_ {1} \ oplus V_ { 2}) \\ [4pt] (\ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}) (s_ {1}، s_ {2}) (v_ {1}، v_ {2}): = \ rho _ {1} (s_ {1}) v_ {1} \ oplus \ rho _ {2} (s_ {2}) v_ {2} \ end {موارد}}}$

اجازه دهید $\ rho_1 ، \ rho_2$ نمایندگی های همان گروه باشد $ج$ به منظور سادگی ، مجموع مستقیم این بازنمایی ها به عنوان نمایش از $G ،$ به عنوان مثال داده می شود ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1} \ oplus V_ {2})،}$ با مشاهده $G$ به عنوان زیر گروه مورب ${\ displaystyle G \ بار G}$

مثال. اجازه دهید (اینجا $من$ و $\ امگا$ به ترتیب واحد خیالی و ریشه مکعب بدوی هستند):

${\ displaystyle {\ start {موارد} \ rho _ {1}: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) \\ [4pt] \ rho _ {1} (1) = {\ start {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} \ end {موارد}} \ qquad \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {2}: \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {3} (\ mathbb {C}) \\ [6pt] \ rho _ {2} (1) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 & \ امگا \\ 0 & \ امگا و 0 \\ 0 & 0 & \ امگا ^ {2} \ پایان {pmatrix}} \ پایان {موارد}}}$

سپس

${\ displaystyle {\ begin {موارد} \ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} \ چپ (\ mathbb {C} ^ {2} \ oplus \ mathbb {C} ^ {3} \ راست) \\ [6pt] \ چپ (\ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2} \ right) (k، l) = {\ start {pmatrix} \ rho _ {1} (k) & 0 \\ 0 & \ rho _ {2} (l) \ end {pmatrix}} & k \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} ، l \ in \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ پایان {موارد}}}$

همانطور که در نظر گرفتن تصویر عنصر تولید کننده کافی است ، متوجه می شویم که

${\ displaystyle (\ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}) (1،1) = {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ امگا \\ 0 & 0 & 0 & \ امگا و 0 \\ 0 و 0 و 0 و 0 و \ امگا ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

محصول تنسور نمایش ها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: تئوری بازنمایی products محصولات تانسور نمایش ها

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G_ {1} \ to {\ text {GL}} (V_ {1}) ، \ rho _ {2}: G_ {2} \ to {\ text {GL}} (V_ {2})}$ نمایش های خطی باشد. ما نمایش خطی را تعریف می کنیم

${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}: G_ {1} \ times G_ {2} \ to {\ text {GL}} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$ به محصول تانسور از $V_ {1}$ و $V_ {2}$ توسط ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (s_ {1}، s_ {2}) = \ rho _ {1} (s_ {1}) \ otimes \ rho _ {2} ( s_ {2}) ،}$ که در آن ${\ displaystyle s_ {1} \ in G_ {1}، s_ {2} \ in G_ {2}.}$ این بازنمایی به نام محصول تانسور بیرونی از نمایندگی $\ rho _ {1}$ و ${\ displaystyle \ rho _ {2}.}$ وجود و منحصر به فرد بودن نتیجه خواص محصول تنسور است .

مثال. مثال ارائه شده برای جمع مستقیم را مجدداً بررسی می کنیم :

محصول تانسور بیرونی

${\ displaystyle {\ begin {موارد} \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} (\ mathbb {C} ^ {2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {3}) \\ (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) ( k ، l) = \ rho _ {1} (k) \ otimes \ rho _ {2} (l) & k \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} ، l \ in \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ end {موارد}}}$

با استفاده از مبنای استاندارد ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {3} \ Cong \ mathbb {C} ^ {6}}$ ما برای عنصر تولید کننده موارد زیر را داریم:

${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (1،1) = \ rho _ {1} (1) \ otimes \ rho _ {2} (1) = {\ start {pmatrix} 0 و 0 و 0 و -i و 0 & -i \ امگا \\ 0 & 0 و 0 و 0 & -i \ امگا و 0 \\ 0 & 0 و 0 و 0 و 0 & -i \ امگا ^ {2} \\ من & 0 و من \ امگا و 0 و 0 و 0 \ 0 0 و من \ امگا و 0 و 0 و 0 و 0 \ 0 0 {pmatrix}}}$

تذکر توجه داشته باشید که مجموع مستقیم و محصولات تنسور درجه های مختلفی دارند و از این رو نمایش های مختلفی هستند.

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1}) ، \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {2}) }$ دو نمایش خطی از یک گروه باشد. اجازه دهید $s$ عنصری از باشد $ج$ سپس ${\ displaystyle \ rho (s) \ in {\ text {GL}} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$ توسط تعریف شده است ${\ displaystyle \ rho (s) (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = \ rho _ {1} (ها) v_ {1} \ otimes \ rho _ {2} (ها) v_ {2} ، }$ برای ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}، v_ {2} \ in V_ {2}،}$ و ما می نویسیم ${\ displaystyle \ rho (s) = \ rho _ {1} (ها) \ otimes \ rho _ {2} (ها).}$ سپس نقشه ${\ displaystyle s \ mapsto \ rho (s)}$ نمایش خطی از $G ،$ که ضرب تانسور نمایش های داده شده نیز نامیده می شود.

این دو مورد باید کاملاً از هم تفکیک شوند. حالت اول نمایش محصول گروهی در محصول تنسور فضاهای نمایش مربوطه است. مورد دوم بازنمایی گروه است $G$ به محصول تنسور دو فضای نمایشی این یک گروه وارد شوید. اما این مورد آخر را می توان با تمرکز بر زیر گروه مورب به عنوان یک مورد خاص مورد اول مشاهده کرد ${\ displaystyle G \ بار G}$ این تعریف را می توان به تعداد محدودی تکرار کرد.

اجازه دهید $V$ و $دبلیو$ نمایندگی های گروه باشد $ج$ سپس ${\ displaystyle {\ text {Hom}} (V، W)}$ بازنمایی به موجب هویت زیر است: ${\ displaystyle {\ text {Hom}} (V، W) = V ^ {*} \ otimes W}$ . اجازه دهید ${\ displaystyle B \ in {\ text {Hom}} (V، W)}$ و اجازه دهید $\ rho$ نمایندگی در ${\ displaystyle {\ text {Hom}} (V، W).}$ اجازه دهید $\ rho_V$ نمایندگی در $V$ و ${\ displaystyle \ rho _ {W}}$ نمایندگی در $دبلیو$ سپس هویت بالا به نتیجه زیر منجر می شود:

${\ displaystyle \ rho (s) (B) v = \ rho _ {W} (ها) \ circ B \ circ \ rho _ {V} (ها) v}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G ، v \ in V.}$

قضیه نمایش های غیرقابل کاهش از ${\ displaystyle G_ {1} \ times G_ {2}}$ تا یکسان سازی دقیقاً نمایش ها هستند ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}}$ که در آن $\ rho _ {1}$ و $\ rho _ {2}$ نمایندگی های غیرقابل تقلیل از $G_ {1}$ و ${\ displaystyle G_ {2} ،}$ به ترتیب.

مربع متقارن و متناوب [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ به V \ otimes V}$ نمایش خطی از $ج$ اجازه دهید ${\ displaystyle (e_ {k})}$ مبنایی بر $پنجم$ تعریف کردن ${\ displaystyle \ vartheta: V \ otimes V \ to V \ otimes V}$ با گسترش دادن ${\ displaystyle \ vartheta (e_ {k} \ otimes e_ {j}) = e_ {j} \ otimes e_ {k}}$ خطی سپس آن را نگه می دارد ${\ displaystyle \ vartheta ^ {2} = 1}$ و بنابراین $V \ otimes V$ تقسیم می شود به ${\ displaystyle V \ otimes V = {\ text {Sym}} ^ {2} (V) \ oplus {\ text {Alt}} ^ {2} (V)،}$ که در آن

${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {2} (V) = \ {z \ in V \ otimes V: \ vartheta (z) = z \}}$

${\ displaystyle {\ text {Alt}} ^ {2} (V) = \ bigwedge ^ {2} V = \ {z \ in V \ otimes V: \ vartheta (z) = - z \}.}$

این زیر فضاها هستند $G$ –غیر متغیر و بدین وسیله بازنمودهای فرعی را تعریف می کنیم که به ترتیب مربع متقارن و مربع متناوب نامیده می شوند. این نمایش های فرعی نیز در ${\ displaystyle V ^ {\ otimes m} ،}$ اگرچه در این حالت آنها را محصول گوه نشان می دهند ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {m} V}$ و محصول متقارن ${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {m} (V).}$ در صورتی که ${\ displaystyle m> 2،}$ فضای بردار ${\ displaystyle V ^ {\ otimes m}}$ به طور کلی با مجموع مستقیم این دو محصول برابر نیست.

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (5)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:11

خصوصیات [ ویرایش ]

دو نمایندگی ${\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho}) ، (\ pi ، V _ {\ pi})}$ اگر وجود داشته باشد معادل یا ایزومورف نامیده می شوند $G$ ایزومورفیسم فضای بردار خطی بین فضاهای نمایش. به عبارت دیگر ، اگر یک نقشه خطی ذهنی وجود داشته باشد ، آنها یکدست هستند ${\ displaystyle T: V _ {\ rho} \ به V _ {\ pi} ،}$ به طوری که ${\ displaystyle T \ circ \ rho (s) = \ pi (s) \ circ T}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G.}$ به طور خاص ، نمایش های معادل دارای همان درجه هستند.

نمایندگی ${\ displaystyle (\ pi ، V _ {\ pi})}$ وقتی وفادار خوانده می شود $\ پی$ است تزریقی . در این مورد $\ پی$ باعث ایجاد یک شکل گیری بین می شود $G$ و تصویر ${\ displaystyle \ pi (G).}$ همانطور که دومی زیر گروه است ${\ displaystyle {\ text {GL}} (V _ {\ pi}) ،}$ می توانیم مورد توجه قرار دهیم $G$ از طریق $\ پی$ به عنوان زیر گروه ${\ displaystyle {\ text {Aut}} (V _ {\ pi}).}$

ما می توانیم دامنه و همچنین دامنه را محدود کنیم:

اجازه دهید $ح$ یک زیر گروه باشد $ج$ اجازه دهید $\ rho$ نمایش خطی از $ج$ ما با نشان می دهیم ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H} (\ rho)}$ محدودیت $\ rho$ به زیر گروه $ح$

در صورت عدم خطر گیجی ، ممکن است فقط از آن استفاده کنیم ${\ displaystyle {\ text {Res}} (\ rho)}$ یا به طور خلاصه ${\ displaystyle {\ text {Res}} \ rho.}$

علامت گذاری ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H} (V)}$ یا به طور خلاصه ${\ displaystyle {\ text {Res}} (V)}$ همچنین برای نشان دادن محدودیت نمایندگی استفاده می شود $V$ از $G$ به سوی $ح$

اجازه دهید $f$ یک تابع روشن باشد $ج$ ما نوشتیم ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H} (f)}$ یا به زودی ${\ displaystyle {\ text {Res}} (f)}$ برای محدودیت به زیر گروه $ح$

می توان ثابت کرد که تعداد نمایندگی های غیرقابل کاهش یک گروه $G$ (یا به همین ترتیب تعداد ساده ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ –modules) برابر است با تعداد طبقات صلح در $ج$

نمایش اگر نیمه ساده یا کاملاً قابل تقلیل باشد ، درصورتی که بتوان آن را به صورت یک جمع مستقیم از نمایش های غیرقابل تقلیل نوشت ، نامیده می شود . این مشابه تعریف مربوط به جبر نیمه ساده است.

برای تعریف مبلغ مستقیم نمایش ها ، به بخش مبالغ مستقیم بازنمایی ها مراجعه کنید .

بازنمایی ایزوتایپیک نامیده می شود که حاصل آن مجموع مستقیم نمایشهای غیرقابل تقلیل غیر همسان مورب باشد.

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho})}$ نمایشی مشخص از یک گروه باشد $ج$ اجازه دهید $\ تاو$ نمایشی غیرقابل کاهش از $ج$ $\ تاو$ - ایزوتایپ ${\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau)}$ از $G$ به عنوان مجموع تمام بازنمودهای فرعی قابل کاهش است $V$ نامتقارن به $\ تاو$

هر فضای بردار ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ می توان با یک محصول داخلی تهیه کرد . نمایندگی $\ rho$ از یک گروه $G$ در یک فضای برداری وقف با یک محصول داخلی به نام واحد اگر ${\ displaystyle \ rho (s)}$ است واحد برای هر ${\ displaystyle s \ in G.}$ این بدان معنی است که به طور خاص هر ${\ displaystyle \ rho (s)}$ است diagonalizable . برای جزئیات بیشتر به مقاله نمایندگی های واحد مراجعه کنید .

نمایندگی با توجه به یک محصول داخلی معین واحد است اگر و فقط اگر محصول داخلی با توجه به عملکرد ناشی از آن ثابت نباشد $G ،$ یعنی اگر و فقط اگر ${\ displaystyle (v | u) = (\ rho (s) v | \ rho (s) u)}$ برای همه نگه داشته می شود ${\ displaystyle v ، u \ in V _ {\ rho} ، s \ in G.}$

یک محصول داخلی مشخص ${\ displaystyle (\ cdot | \ cdot)}$ با مبادله می توان با یک محصول داخلی ثابت تغییر داد ${\ displaystyle (v | u)}$ با

${\ displaystyle \ sum _ {t \ in G} (\ rho (t) v | \ rho (t) u).}$

بنابراین ، بدون از دست دادن عمومیت ، می توان فرض کرد که هر نمایندگی دیگری که در نظر گرفته شود ، واحد است.

مثال. اجازه دهید ${\ displaystyle G = D_ {6} = \ {{\ text {id}} ، \ mu ، \ mu ^ {2} ، \ nu ، \ mu \ nu ، \ mu ^ {2} \ nu \}}$ شود گروه دوسطحی از سفارش $6$ تولید شده توسط ${\ displaystyle \ mu ، \ nu}$ که خواص را برآورده می کنند ${\ displaystyle {\ text {ord}} (\ nu) = 2 ، {\ text {ord}} (\ mu) = 3}$ و ${\ displaystyle \ nu \ mu \ nu = \ mu ^ {2}.}$ اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: D_ {6} \ to {\ text {GL}} _ {3} (\ mathbb {C})}$ نمایش خطی از $D_ {6}$ بر روی ژنراتورها توسط:

${\ displaystyle \ rho (\ mu) = \ left ({\ start {array} {ccc} \ cos ({\ frac {2 \ pi} {3}}) و 0 & - \ sin ({\ frac {2 \ pi } {3}}) \\ 0 & 1 & 0 \\\ sin ({\ frac {2 \ pi} {3}}) و 0 & \ cos ({\ frac {2 \ pi} {3}}) \ end {array}} \ راست) ، \ ، \ ، \ ، \ ، rho (\ nu) = \ چپ ({\ start {array} {ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ سمت راست) .}$

این نمایندگی وفادارانه است. فضای فرعی ${\ displaystyle \ mathbb {C} e_ {2}}$ هست یک $D_ {6}$ فضای غیر متغیر بنابراین ، یک بازنمود غیر فرعی وجود دارد ${\ displaystyle \ rho | _ {\ mathbb {C} e_ {2}}: D_ {6} \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ با ${\ displaystyle \ nu \ mapsto -1، \ mu \ mapsto 1.}$ بنابراین ، نمایندگی قابل کاهش نیست. نمایندگی فرعی ذکر شده درجه یک و غیرقابل کاهش است. فضا مکمل از ${\ displaystyle \ mathbb {C} e_ {2}}$ است $D_ {6}$ –غیر متغیر نیز هست. بنابراین ، ما نمایندگی فرعی را بدست می آوریم ${\ displaystyle \ rho | _ {\ mathbb {C} e_ {1} \ oplus \ mathbb {C} e_ {3}}}$ با

${\ displaystyle \ nu \ mapsto {\ start {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}، \، \، \، \، \ mu \ mapsto {\ start {pmatrix} \ cos ({\ frac { 2 \ pi} {3}}) & - \ sin ({\ frac {2 \ pi} {3}}) \\\ sin ({\ frac {2 \ pi} {3}}) & \ cos ({ \ frac {2 \ pi} {3}}) \ end {pmatrix}}.}$

این نمایندگی فرعی نیز قابل کاهش نیست. این بدان معناست که نمایش اصلی کاملاً قابل کاهش است:

${\ displaystyle \ rho = \ rho | _ {\ mathbb {C} e_ {2}} \ oplus \ rho | _ {\ mathbb {C} e_ {1} \ oplus \ mathbb {C} e_ {3}}. }$

هر دو نمایندگی فرعی ایزوتایپی هستند و تنها دو ایزوتایپ غیر صفر هستند $\ rho$

نمایندگی $\ rho$ با توجه به محصول داخلی استاندارد در واحد است ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} ،}$ زیرا ${\ displaystyle \ rho (\ mu)}$ و {\ displaystyle \ rho (\ nu)} $\ rho (\ nu)$ واحد هستند

اجازه دهید ${\ displaystyle T: \ mathbb {C} ^ {3} \ به \ mathbb {C} ^ {3}}$ هرگونه یکسان سازی فضای بردار باشد. سپس ${\ displaystyle \ eta: D_ {6} \ to {\ text {GL}} _ {3} (\ mathbb {C})،}$ که با معادله تعریف می شود ${\ displaystyle \ eta (s): = T \ circ \ rho (s) \ circ T ^ {- 1}}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in D_ {6}،}$ بازنمایی یکدست است به $\ rho$

با محدود کردن دامنه نمایندگی به یک زیر گروه ، به عنوان مثال ${\ displaystyle H = \ {{\ text {id}} ، \ mu ، \ mu ^ {2} \} ،}$ ما نمایندگی را بدست می آوریم ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H} (\ rho).}$ این نمایش توسط تصویر تعریف می شود ${\ displaystyle \ rho (\ mu) ،}$ شکل صریح آن در بالا نشان داده شده است.

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (4)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:10

نقشه ها بین نمایندگی ها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: نقشه تساوی و تئوری نمایش § نقشه های برابر و ایزوفرمیسم

نقشه ای بین دو نمایش ${\ displaystyle (\ rho، V _ {\ rho}) ، \، (\ tau، V _ {\ tau})}$ از همان گروه $G$ یک نقشه خطی است ${\ displaystyle T: V _ {\ rho} \ به V _ {\ tau} ،}$ با خاصیتی که ${\ displaystyle \ tau (s) \ circ T = T \ circ \ rho (s)}$ برای همه نگه داشته می شود ${\ displaystyle s \ in G.}$ به عبارت دیگر ، نمودار زیر برای همه جابجا می شود $آواز خواندن$ :

به چنین نقشه ای نیز گفته می شود $G$ - خطی یا نقشه معادل . هسته از تصویر و cokernel از $تی$ به طور پیش فرض تعریف می شوند. ترکیب نقشه های معادل دوباره یک نقشه معادل است. است وجود دارد دسته از نمایندگی با نقشه equivariant عنوان آن morphisms . آنها دوباره هستند $G$ –مدول ها. بنابراین ، آنها نمایندگی هایی از $G$ به دلیل همبستگی توصیف شده در بخش قبلی.

نمایش های غیرقابل تقلیل و لمام Schur [ ویرایش ]

مقاله اصلی: لما Schur

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایش خطی از $ج$ اجازه دهید $دبلیو$ بودن $G$ -خیر فضایی متغیر از $V ،$ به این معنا که، ${\ displaystyle \ rho (ها) W در W}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G}$ و ${\ displaystyle w \ in W}$ . محدودیت ${\ displaystyle \ rho (s) | _ {W}}$ یک انحراف از است $دبلیو$ به خودش زیرا ${\ displaystyle \ rho (s) | _ {W} \ circ \ rho (t) | _ {W} = \ rho (st) | _ {W}}$ برای همه نگه داشته می شود ${\ displaystyle s ، t \ in G ،}$ این ساخت و ساز نمایندگی از است $G$ که در $دبلیو$ به آن بازنمایی از $پنجم$ هر نمایندگی V حداقل دارای دو نمایندگی فرعی است ، یعنی نماینده ای که فقط از 0 تشکیل شده است ، و نماینده ای که از خود V تشکیل شده است. نمایندگی را نمایندگی غیرقابل تقلیل می نامند ، در صورتی که این دو تنها بازنمودهای فرعی باشند. بعضی از نویسندگان این نمایش ها را ساده می نامند ، با توجه به اینکه آنها دقیقاً ماژول های ساده جبر گروهی هستند ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ .

لما Schur محدودیت شدیدی روی نقشه ها بین نمایش های غیرقابل تقلیل قرار می دهد. اگر ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1})}$ و ${\ displaystyle \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {2})}$ هر دو غیرقابل کاهش هستند ، و ${\ displaystyle F: V_ {1} \ به V_ {2}}$ یک نقشه خطی است به طوری که ${\ displaystyle \ rho _ {2} (ها) \ circ F = F \ circ \ rho _ {1} (ها)}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G.}$ ، دوگانگی زیر وجود دارد:

اگر ${\ displaystyle V_ {1} = V_ {2}}$ و ${\ displaystyle \ rho _ {1} = \ rho _ {2} ،}$ $F$ یک همدلی است (یعنی ${\ displaystyle F = \ lambda {\ text {Id}}}$ برای یک ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ) به طور کلی ، اگر $\ rho _ {1}$ و $\ rho _ {2}$ یکدست هستند ، فضای نقشه های G- خطی یک بعدی است.
در غیر این صورت ، اگر این دو نمایش غیر همسان نباشند ، F باید 0 باشد.

[3]

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (3)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:9

نمایندگی منظم چپ و راست [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایش منظم § گروههای متناهی

اجازه دهید $G$ یک گروه باشید و $V$ یک فضای بردار از بعد باشد $| G |$ با مبنا ${\ displaystyle (e_ {t}) _ {t \ in G}}$ نمایه شده توسط عناصر $ج$ نمایندگی چپ به طور منظم یک مورد خاص از است نمایندگی جایگشت با انتخاب ${\ displaystyle X = G.}$ این یعنی ${\ displaystyle \ rho (s) e_ {t} = e_ {st}}$ برای همه ${\ displaystyle s ، t \ in G.}$ بنابراین ، خانواده ${\ displaystyle (\ rho (s) e_ {1}) _ {s \ in G}}$ از تصاویر از $e_ {1}$ اساس هستند $پنجم$ درجه نمایندگی چپ به طور منظم برابر با ترتیب گروه است.

نمایش راست منظم در همان فضای بردار با یکسان سازی مشابه تعریف می شود: ${\ displaystyle \ rho (s) e_ {t} = e_ {ts ^ {- 1}}.}$ به همان روش قبلی ${\ displaystyle (\ rho (s) e_ {1}) _ {s \ in G}}$ اساس است $پنجم$ همانطور که در مورد نمایندگی چپ-منظم ، درجه نمایندگی راست-منظم برابر است با ترتیب $ج$

هر دو نمایش از طریق یکدست هستند ${\ displaystyle e_ {s} \ mapsto e_ {s ^ {- 1}}.}$ به همین دلیل آنها همیشه جدا نیستند و غالباً به عنوان نماینده منظم "" شناخته می شوند.

با یک نگاه دقیق نتیجه زیر حاصل می شود: نمایش خطی داده شده ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (W)}$ در صورتی که فقط یک نمایش وجود داشته باشد ، یک شکل نسبت به نمایش چپ منظم است ${\ displaystyle w \ in W،}$ به طوری که ${\ displaystyle (\ rho (s) w) _ {s \ in G}}$ اساس است $دبلیو$

مثال. اجازه دهید ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}$ و ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {5}}$ با اساس ${\ displaystyle \ {e_ {0} ، \ ldots ، e_ {4} \}.}$ سپس نمایندگی چپ به طور منظم ${\ displaystyle L _ {\ rho}: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ توسط تعریف شده است ${\ displaystyle L _ {\ rho} (k) e_ {l} = e_ {l + k}}$ برای ${\ displaystyle k، l \ in \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}.}$ نمایش به طور منظم به طور مشابه توسط ${\ displaystyle R _ {\ rho} (k) e_ {l} = e_ {lk}}$ برای ${\ displaystyle k، l \ in \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}.}$

نمایش ها ، ماژول ها و جبر کانولوشن [ ویرایش ]

اجازه دهید $G$ یک گروه محدود باشید ، بگذارید $ک$ یک حلقه عوض کننده باشید و بگذارید $کیلوگرم]$ شود جبر گروه از $G$ بر فراز $ک$ این جبر آزاد است و می توان مبنایی را با عناصر $ج$ غالباً اساس با آن مشخص می شود $G$ . هر عنصری ${\ displaystyle f \ در K [G]}$ سپس می تواند به صورت منحصر به فرد به عنوان بیان شود

${\ displaystyle f = \ sum _ {s \ in G} a_ {s} s}$ با ${\ displaystyle a_ {s} \ in K}$ .

ضرب در $کیلوگرم]$ گسترش می یابد که در $G$ توزیعی

حالا بگذار $V$ بودن $ک$ - ماژول و اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایش خطی از $G$ که در $پنجم$ ما تعریف می کنیم ${\ displaystyle sv = \ rho (s) v}$ برای همه $آواز خواندن$ و $v \ در V$ . با پسوند خطی $V$ دارای ساختار یک چپ- $کیلوگرم]$ -مدول. برعکس ما یک نمایش خطی از $G$ شروع از a $کیلوگرم]$ -مدول $V$ . علاوه بر این ، هومورفیسم های بازنمایی با مکالمات جبری گروهی مطابقت ذهنی دارند. بنابراین ، ممکن است این اصطلاحات به جای یکدیگر استفاده شوند. [1] [2] این نمونه ای از یکسان سازی دسته ها است .

فرض کنید ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}.}$ در این حالت سمت چپ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ –مدول داده شده توسط ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ خود مربوط به نمایندگی چپ به طور منظم است. به همین ترتیب ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ به عنوان یک حق ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ –ماژول مربوط به نمایش منظم منظم است.

در زیر جبر کانولوشن را تعریف خواهیم کرد : بگذارید $G$ یک مجموعه باشد ، مجموعه ${\ displaystyle L ^ {1} (G): = \ {f: G \ به \ mathbb {C} \}}$ هست یک ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ فضای بردار با اضافه شدن عملیات و ضرب اسکالر سپس این فضای بردار یکسان نیست ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {| G |}.}$ جمع شدن دو عنصر ${\ displaystyle f ، h \ in L ^ {1} (G)}$ تعریف شده توسط

${\ displaystyle f * h (s): = \ sum _ {t \ in G} f (t) h (t ^ {- 1} s)}$

باعث می شود ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ جبر . جبر ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ جبر کانولوشن نامیده می شود .

جبر کانولوشن رایگان است و دارای مبنایی است که توسط عناصر گروه نمایه می شود: ${\ displaystyle (\ delta _ {s}) _ {s \ in G}،}$ جایی که

${\ displaystyle \ delta _ {s} (t) = {\ start {موارد} 1 & t = s \\ 0 و {\ متن {در غیر این صورت.}} \ پایان {موارد}}}$

با استفاده از خواص جمع آوری به دست می آوریم: ${\ displaystyle \ delta _ {s} * \ delta _ {t} = \ delta _ {st}.}$

ما یک نقشه بین تعریف می کنیم ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ و ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G] ،}$ با تعریف کردن ${\ displaystyle \ delta _ {s} \ mapsto e_ {s}}$ بر پایه ${\ displaystyle (\ delta _ {s}) _ {s \ in G}}$ و به صورت خطی گسترش می یابد. بدیهی است که نقشه قبلی ذهنی است . یک بررسی دقیق تر از هم آمیختگی دو عنصر پایه همانطور که در معادله بالا نشان داده شده نشان می دهد که ضرب در ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ مربوط به آن در ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G].}$ بنابراین ، جبر کانولوشن و جبر گروهی به صورت جبر یکسان نیستند.

پیچ

${\ displaystyle f ^ {*} (s) = {\ overline {f (s ^ {- 1})}}}$

چرخش ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ درون یک $^ {*}$ جبر . ما داریم ${\ displaystyle \ delta _ {s} ^ {*} = \ delta _ {s ^ {- 1}}.}$

نمایندگی ${\ displaystyle (\ pi ، V _ {\ pi})}$ از یک گروه $G$ تا a گسترش می یابد $^ {*}$ –همجنس گویی جبر ${\ displaystyle \ pi: L ^ {1} (G) \ to {\ text {End}} (V _ {\ pi})}$ توسط ${\ displaystyle \ pi (\ delta _ {s}) = \ pi (s).}$ از آنجا که تعدد ویژگی مشخصه همگونی جبر است ، $\ پی$ راضی می کند ${\ displaystyle \ pi (f * h) = \ pi (f) \ pi (h).}$ اگر $\ پی$ واحد است ، ما نیز به دست می آوریم ${\ displaystyle \ pi (f) ^ {*} = \ pi (f ^ {*}).}$ برای تعریف نمایندگی واحد ، لطفاً به فصل خصوصیات مراجعه کنید . در آن فصل خواهیم دید که (بدون از دست دادن عمومیت) می توان هر نمایش خطی را واحد دانست.

با استفاده از جبر کانولوشن می توانیم تحول فوریه را بر روی یک گروه پیاده سازی کنیم $ج$ در زمینه تجزیه و تحلیل هارمونیک نشان داده شده است که تعریف زیر با تعریف تحول فوریه سازگار است ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V _ {\ rho})}$ نماینده باشید و بگذارید ${\ displaystyle f \ در L ^ {1} (G)}$ بودن $\ mathbb {C}$ عملکرد با ارزش روشن است $G$ . تبدیل فوریه ${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ rho) \ in {\ text {End}} (V _ {\ rho})}$ از $f$ به عنوان ... تعریف شده است

${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ rho) = \ sum _ {s \ in G} f (s) \ rho (s).}$

این تحول راضی می کن ${\ displaystyle {\ widehat {f * g}} (\ rho) = {\ hat {f}} (\ rho) \ cdot {\ hat {g}} (\ rho).}$

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (2)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:8

مثالها [ ویرایش ]

نمایش پیش پا افتاده توسط ${\ displaystyle \ rho (s) = {\ text {Id}}}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G.}$

نمایندگی درجه $1$ از یک گروه $G$ یک همسان بودن در گروه ضرب است

${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} _ {1} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} ^ {\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \ }.}$ همانطور که هر عنصر از $G$ از نظم محدود است ، مقادیر ${\ displaystyle \ rho (s)}$ هستند ریشه های وحدت . به عنوان مثال ، اجازه دهید

${\ displaystyle \ rho: G = \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z} \ به \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ یک نمایش خطی غیرانتفاعی باشد. از آنجا که $\ rho$ یک همگونی گروهی است ، باید ارضا کند ${\ displaystyle \ rho ({0}) = 1.}$ زیرا $1$ تولید می کند ${\ displaystyle G ، \ rho}$ با توجه به مقدار آن تعیین می شود ${\ displaystyle \ rho (1).}$ و به عنوان $\ rho$ غیر پیشگویی است ، ${\ displaystyle \ rho ({1}) \ in \ {i، -1، -i \}.}$ بنابراین ، ما به نتیجه ای می رسیم که تصویر آن $G$ زیر $\ rho$ باید یک زیر گروه غیر پیشگویی از گروه باشد که از ریشه های چهارم وحدت تشکیل شده است. به عبارت دیگر، $\ rho$ باید یکی از سه نقشه زیر باشد:

${\ displaystyle {\ begin {موارد} \ rho _ {1} ({0}) = 1 \\\ rho _ {1} ({1}) = من \\\ rho _ {1} ({2}) = -1 \\\ rho _ {1} ({3}) = - i \ end {موارد}} \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {2} ({0}) = 1 \\\ rho _ {2} ({1}) = - 1 \\\ rho _ {2} ({2}) = 1 \\\ rho _ {2} ({3}) = - 1 \ پایان {موارد}} \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {3} ({0}) = 1 \\\ rho _ {3} ({1}) = - من \\\ rho _ {3} ({2}) = -1 \\\ rho _ {3} ({3}) = من \ موارد را پایان می دهم}}$

اجازه دهید

${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ و اجازه دهید

${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ همگونی گروهی باشد که توسط:

${\ displaystyle \ rho ({0} ، {0}) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho ({1} ، {0}) = {\ start { pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho ({0} ، {1}) = {\ start {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho ({1} ، {1}) = {\ start {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

در این مورد $\ rho$ نمایش خطی از است $G$ درجه ${\ displaystyle 2.}$

نمایندگی جایگزینی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: گروه جایگزینی

اجازه دهید $ایکس$ یک مجموعه محدود باشد و اجازه دهید $G$ یک گروه عمل می کنند $ایکس.$ نشان دادن توسط ${\ displaystyle {\ text {Aut}} (X)}$ گروه همه جایگشت های فعال شده $ایکس$ با ترکیب به عنوان ضرب گروهی.

گروهی که بر روی مجموعه ای محدود عمل می کنند ، گاهی اوقات برای تعریف نمایش جایگشت کافی شناخته می شوند. با این حال ، از آنجایی که ما می خواهیم نمونه هایی را برای نمایش های خطی بسازیم - جایی که گروه ها به جای مجموعه های متناهی دلخواه بر روی فضاهای برداری عمل می کنند - ما باید به روش دیگری پیش برویم. برای ساخت نمایش جایگشت ، به یک فضای بردار نیاز داریم $V$ با ${\ displaystyle \ dim (V) = | X |.}$ پایه ای از $V$ می توان توسط عناصر $ایکس.$ نمایش جایگشت یکسان سازی گروهی است ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ داده شده توسط ${\ displaystyle \ rho (s) e_ {x} = e_ {sx}}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G ، x \ in X.}$ تمام نقشه های خطی ${\ displaystyle \ rho (s)}$ توسط این ویژگی منحصر به فرد تعریف می شوند.

مثال. اجازه دهید $X = \ {1،2،3 \}$ و ${\ displaystyle G = {\ text {Sym}} (3).}$ سپس $G$ عمل می کند $ایکس$ از طریق ${\ displaystyle {\ text {Aut}} (X) = G.}$ نمایش خطی مرتبط است ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V) \ Cong {\ text {GL}} _ {3} (\ mathbb {C})}$ با ${\ displaystyle \ rho (\ sigma) e_ {x} = e _ {\ sigma (x)}}$ برای ${\ displaystyle \ sigma \ در G ، x \ در X.}$

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

نظریه بازنمایی گروههای متناهی(1)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:7

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تئوری نمایندگی از گروه بخشی از ریاضیات است که به بررسی چگونگی گروه بر روی سازه های داده عمل است.

در اینجا تمرکز به طور خاص بر روی عملیات گروه ها بر روی فضاهای برداری است . با این وجود ، گروه هایی که در گروه های دیگر یا در مجموعه بازی می کنند نیز در نظر گرفته می شوند. برای جزئیات بیشتر ، لطفاً به بخش نمایندگی های جایگزینی مراجعه کنید .

به استثنای چند استثنا marked مشخص شده ، فقط گروههای محدود در این مقاله در نظر گرفته خواهند شد. ما همچنین خود را به فضاهای بردار بیش از زمینه های مشخصه صفر محدود خواهیم کرد . از آنجا که نظریه میدانهای جبری بسته مشخصه صفر کامل است ، یک تئوری معتبر برای یک میدان بسته خاص جبری مشخصه صفر نیز برای سایر زمینه های جبری بسته صفت مشخص صحیح است. بنابراین ، بدون از دست دادن کلیت ، می توانیم فضاهای بردار را روی ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ مطالعه کنیم

تئوری بازنمایی در بسیاری از قسمتهای ریاضیات و همچنین در شیمی کوانتوم و فیزیک استفاده می شود. از جمله در جبر برای بررسی ساختار گروهها استفاده می شود. همچنین در تحلیل هارمونیک و نظریه اعداد کاربردهایی وجود دارد . به عنوان مثال ، تئوری بازنمایی در رویکرد مدرن برای بدست آوردن نتایج جدید در مورد اشکال خود شکل استفاده می شود.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

نمایش های خطی [ ویرایش ]

اجازه دهید $V$ بودن $ک$ - فضای بردار و $G$ یک گروه محدود نمایش خطی یک گروه متناهی $G$ یک همگونی گروهی است ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V) = {\ text {Aut}} (V).}$ اینجا ${\ displaystyle {\ text {GL}} (V)}$ علامت گذاری برای یک گروه کلی خطی است ، و ${\ displaystyle {\ text {Aut}} (V)}$ برای یک گروه automorphism . این به این معنی است که نمایش خطی یک نقشه است ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ که راضی می کند ${\ displaystyle \ rho (st) = \ rho (s) \ rho (t)}$ برای همه ${\ displaystyle s ، t \ in G.}$ فضای بردار $V$ فضای بازنمایی نامیده می شود $ج$ اغلب اصطلاح نمایندگی از $G$ همچنین برای فضای نمایش استفاده می شود $پنجم$

نمایش یک گروه در یک ماژول به جای فضای بردار ، نمایش خطی نیز نامیده می شود.

ما نوشتیم ${\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho})}$ برای نمایندگی ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V _ {\ rho})}$ از {\ displaystyle G.} $ج$ گاهی اوقات ما از نت استفاده می کنیم $(\ rho ، V)$ اگر مشخص باشد که کدام فضا نمایش داده می شود $V$ متعلق است

در این مقاله ، ما به مطالعه فضاهای نمایش بعدی محدود محدود می شویم ، به جز فصل آخر. همانطور که در بیشتر موارد فقط تعداد محدودی از بردارها در $V$ مورد توجه است ، کافی است نمایشی فرعی تولید شده توسط این بردارها مطالعه شود. فضای بازنمایی این زیر نمایش پس از آن متناهی است.

درجه از نمایندگی است بعد از فضای بازنمایی آن $پنجم$ علامت گذاری ${\ displaystyle \ dim (\ rho)}$ گاهی اوقات برای نشان دادن درجه نمایش استفاده می شود $\ rho$

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

آموزش ریاضی

ادامه نظریه گروه(6)

مکانیک آماری [ ویرایش ]

رمزنگاری [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

ادامه نظریه گروه(5)

نظریه اعداد جبری [ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل هماهنگ [ ویرایش ]

ترکیبی [ ویرایش ]

موسیقی [ ویرایش ]

فیزیک [ ویرایش ]

شیمی و علوم مواد [ ویرایش ]

ادامه نظریه گروه(4)

اتصال گروهها و تقارن [ ویرایش ]

کاربردهای نظریه گروه [ ویرایش ]

نظریه گالوا [ ویرایش ]

توپولوژی جبری [ ویرایش ]

هندسه جبری [ ویرایش ]

ادامه نظریه گروه(3)

نظریه دروغ [ ویرایش ]

نظریه گروه ترکیبی و هندسی [ ویرایش ]

ادامه نظریه گروه (2)

نظریه دروغ [ ویرایش ]

نظریه گروه ترکیبی و هندسی [ ویرایش ]

اتصال گروهها و تقارن [ ویرایش ]

کاربردهای نظریه گروه [ ویرایش ]

نظریه گالوا [ ویرایش ]

توپولوژی جبری [ ویرایش ]

هندسه جبری [ ویرایش ]

نظریه اعداد جبری [ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل هماهنگ [ ویرایش ]

ترکیبی [ ویرایش ]

موسیقی [ ویرایش ]

فیزیک [ ویرایش ]

شیمی و علوم مواد [ ویرایش ]

مکانیک آماری [ ویرایش ]

ادامه نظریه گروه (1)

گروه های ماتریکس [ ویرایش ]

گروه های تحول [ ویرایش ]

گروه های انتزاعی [ ویرایش ]

گروههایی با ساختار اضافی [ ویرایش ]

شاخه های نظریه گروه [ ویرایش ]

نظریه گروه محدود [ ویرایش ]

نمایندگی گروه ها [ ویرایش ]

نظریه گروه

فهرست

کلاسهای اصلی گروه ها [ ویرایش ]

گروههای جایگزینی [ ویرایش ]

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

چشم انداز - نمایندگی گروه های جمع و جور [ ویرایش ]

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

وجود و منحصر به فرد بودن معیار هار [ ویرایش ]

ساختارها و تجزیه ها [ ویرایش ]

شخصیت ها ، لماهای Schur و محصول داخلی [ ویرایش ]

نمایندگی القا شده [ ویرایش ]

قضیه پیتر-ویل [ ویرایش ]

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

قضیه های القایی [ ویرایش ]

نمایش واقعی [ ویرایش ]

نمایندگی گروههای خاص [ ویرایش ]

گروه های متقارن [ ویرایش ]

گروههای محدود از نوع لی[ ویرایش ]

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (8)

نظریه شخصیت [ ویرایش ]

تعاریف [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی(7)

تجزیه [ ویرایش ]

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (6)

ساخت و سازها [ ویرایش ]

نمایندگی دوگانه [ ویرایش ]

جمع مستقیم نمایش ها [ ویرایش ]

محصول تنسور نمایش ها [ ویرایش ]

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (5)

خصوصیات [ ویرایش ]

ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (4)