ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:22

قضیه های القایی [ ویرایش ]

القایی قضایای مربوط حلقه نمایندگی از یک گروه محدود داده شده G به حلقه نمایندگی از یک خانواده X متشکل از برخی از زیر مجموعه های H از G . دقیق تر ، برای چنین مجموعه ای از زیرگروه ها ، تراکتور القایی نقشه ای را ارائه می دهد

${\ displaystyle \ varphi: {\ text {Ind}}: \ bigoplus _ {H \ in X} {\ mathcal {R}} (H) \ به {\ mathcal {R}} (G)}$ ؛ قضیه های استقرا معیارهایی برای Surjectivity این نقشه یا آنهایی که از نزدیک مرتبط هستند را می دهد.

قضیه القای آرتین ابتدایی ترین قضیه در این گروه از نتایج است. این ادعا می کند که موارد زیر معادل هستند:

cokernel از $\ varphi$ متناهی است
$G$ اتحادیه مزدوج های زیرگروه های متعلق به است $ایکس،$ یعنی ${\ displaystyle G = \ bigcup _ {H \ in X \ atop s \ in G} sHs ^ {- 1}.}$

از آنجا که ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} (G)}$ به طور نهایی به صورت گروهی تولید می شود ، اولین نقطه را می توان به صورت زیر بیان کرد:

برای هر شخصیت $\ چی$ از $G ،$ شخصیت های مجازی وجود دارد ${\ displaystyle \ chi _ {H} \ in {\ mathcal {R}} (H) ، \، H \ in X}$ و یک عدد صحیح ${\ displaystyle d \ geq 1،}$ به طوری که ${\ displaystyle d \ cdot \ chi = \ sum _ {H \ in X} {\ text {Ind}} _ {H} ^ {G} (\ chi _ {H}).}$

Serre (1977) دو دلیل بر این قضیه ارائه می دهد. به عنوان مثال ، از آنجا که G اتحادیه زیرگروههای چرخه ای آن است ، از هر شخصیت $G$ یک ترکیب خطی با ضرایب گویا از شخصیت های ناشی از شخصیت های است زیر گروه حلقوی از $ج$ از آنجا که نمایشهای گروههای حلقوی به خوبی درک شده اند ، به ویژه نمایشهای غیرقابل کاهش یک بعدی هستند ، این امر کنترل خاصی بر نمایشهای G می دهد .

در شرایط فوق ، به طور کلی درست نیست که $\ varphi$ تصنیفی است قضیه استقرا Bra براوئر ادعا می کند که $\ varphi$ به شرطی که X خانواده تمام زیرگروههای ابتدایی باشد ، تصنیفی است . در اینجا یک گروه H است ابتدایی اگر برخی از نخست وجود دارد ص طوری که H است ضرب مستقیم از یک گروه دوری نخست به $پ$ و یک $پ$ -Group . به عبارت دیگر ، هر شخصیت از $G$ یک ترکیب خطی با ضرایب عدد صحیح کاراکترهای القا شده توسط شخصیت های زیر گروه های ابتدایی است. زیرگروههای مقدماتی H که در قضیه براوئر بوجود می آیند ، تئوری بازنمایی غنی تری نسبت به گروههای حلقوی دارند ، آنها حداقل دارای این خاصیت هستند که هر نمایش غیرقابل تقلیل برای چنین H توسط نمایشی یک بعدی از زیرگروه (لزوماً ابتدایی) القا می شود ${\ displaystyle K \ زیرمجموعه H}$ . (می توان نشان داد که این ویژگی اخیر برای هر گروه فوقالعاده ای که شامل گروه های توانمند و به ویژه گروه های ابتدایی است ، وجود دارد.) این توانایی در القای بازنمودها از نمایش های درجه 1 ، پیامدهای بیشتری در تئوری بازنمایی گروه های محدود دارد.

نمایش واقعی [ ویرایش ]

برای اثبات و اطلاعات بیشتر در مورد بازنمایی بیش از زیرشاخه های عمومی از ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ لطفاً به [2] رجوع کنید .

اگر گروهی باشد $G$ بر روی یک فضای برداری واقعی عمل می کند ${\ displaystyle V_ {0} ،}$ نمایش مربوطه در فضای برداری پیچیده ${\ displaystyle V = V_ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ واقعی نامیده می شود ( $V$ پیچیده شدن نامیده می شود $V_ {0}$ ) نمایندگی مربوطه که در بالا ذکر شد توسط ${\ displaystyle s \ cdot (v_ {0} \ otimes z) = (s \ cdot v_ {0}) \ otimes z}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G ، v_ {0} \ in V_ {0} ، z \ in \ mathbb {C}.}$

اجازه دهید $\ rho$ یک نمایش واقعی باشد. نقشه خطی ${\ displaystyle \ rho (s)}$ است $\ mathbb {R}$ -برای همه ارزش دارد ${\ displaystyle s \ in G.}$ بنابراین ، می توان نتیجه گرفت که شخصیت یک نمایش واقعی همیشه دارای ارزش واقعی است. اما هر نمایش با شخصیتی با ارزش واقعی واقعی نیست. برای روشن کردن این ، اجازه دهید $G$ یک زیر گروه محدود و غیر هابلی از گروه باشید

${\ displaystyle {\ text {SU}} (2) = \ left \ {{\ start {pmatrix} a & b \\ - {\ overline {b}} & {\ overline {a}} \ end {pmatrix}} \ : \ | a | ^ {2} + | b | ^ {2} = 1 \ راست \}.}$

سپس ${\ displaystyle G \ زیرمجموعه {\ text {SU}} (2)}$ عمل می کند ${\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {2}.}$ از آنجا که رد هر ماتریسی در ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ واقعی است ، شخصیت نمایش واقعی است. فرض کنید $\ rho$ یک نمایش واقعی است ، پس $\ rho (G)$ فقط از ماتریس های واقعی تشکیل می شود. بدین ترتیب، زیر مجموعه ${\ displaystyle G \ زیر مجموعه {\ text {SU}} (2) \ cap {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {R}) = {\ text {SO}} (2) = S ^ {1}.}$ با این حال گروه دایره ای abelian اما است $G$ به عنوان یک گروه غیر آبلیایی انتخاب شد. حال فقط باید وجود یک زیرگروه محدود و غیر آبلیایی را اثبات کنیم ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2).}$ برای یافتن چنین گروهی ، آن را مشاهده کنید ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2)}$ را می توان با واحدهای رباعی شناسایی کرد . حالا بگذار ${\ displaystyle G = \ {\ pm 1، \ pm i، \ pm j، \ pm ij \}.}$ نمایش دو بعدی زیر از $G$ ارزش واقعی ندارد ، اما دارای یک شخصیت واقعی است:

${\ displaystyle {\ start {موارد} \ rho: G \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) \\ [4pt] \ rho (\ pm 1) = {\ start { pmatrix} \ pm 1 & 0 \\ 0 & \ pm 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (\ pm i) = {\ begin {pmatrix} \ pm i & 0 \\ 0 & \ mp i \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (\ pm j) = {\ start {pmatrix} 0 & \ pm i \\\ pm i & 0 \ end {pmatrix}} \ end {موارد}}}$

سپس تصویر از $\ rho$ ارزش واقعی ندارد اما با این وجود زیرمجموعه ای از آن است ${\ displaystyle {\ text {SU}} (2).}$ بنابراین ، شخصیت نمایش واقعی است.

لما نمایشی غیرقابل کاهش $V$ از $G$ واقعی است اگر و تنها اگر وجود داشته باشد وجود دارد nondegenerate فرم دارای دو خط مستقیم متقارن $ب$ بر $V$ حفظ شده توسط $ج$

نمایشی غیرقابل کاهش از $G$ در یک فضای برداری واقعی می توان هنگام گسترش فیلد به ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ به عنوان مثال ، نمایش واقعی زیر از گروه چرخه ای هنگامی که بیش از حد در نظر گرفته شود ، قابل کاهش است $\ mathbb {C}$

${\ displaystyle {\ start {موارد} \ rho: \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {R}) \\ [4pt] \ rho (k) = {\ start {pmatrix} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi ik} {m}} \ right) & \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi ik} {m} } \ راست) \\ - \ sin \ چپ ({\ frac {2 \ pi ik} {m}} \ راست) و \ cos \ چپ ({\ frac {2 \ pi ik} {m}} \ راست) \ end {pmatrix}} \ end {موارد}}}$

بنابراین ، با طبقه بندی تمام نمایش های غیرقابل کاهش که واقعی هستند ${\ displaystyle \ mathbb {C} ،}$ ما هنوز هم تمام نمایش های واقعی غیرقابل تقلیل را طبقه بندی نکرده ایم. اما ما به موارد زیر دست می یابیم:

اجازه دهید $V_ {0}$ یک فضای برداری واقعی باشید. اجازه دهید $G$ غیرقابل کاهش بر اساس $V_ {0}$ و اجازه دهید ${\ displaystyle V = V_ {0} \ otimes \ mathbb {C}.}$ اگر $V$ قابل کاهش نیست ، دقیقاً دو عامل غیرقابل کاهش وجود دارد که نمایش مختلط پیچیده ای از آنهاست $ج$

تعریف. quaternionic نمایندگی نمایندگی (مختلط) است $V ،$ که دارای یک $G$ یکسان سازی غیر خطی غیر متغیر ${\ displaystyle J: V \ به V}$ رضایت بخش ${\ displaystyle J ^ {2} = - {\ text {Id}}.}$ بنابراین ، یک کج ، متقارن ، غیرتولیدی $G$ فرم دو خطی غیر متغیر یک ساختار رباعی را تعریف می کند $پنجم$

قضیه نمایشی غیرقابل کاهش $V$ یکی و تنها یکی از موارد زیر است:

(i) پیچیده: $\ چی _ {V}$ ارزش واقعی ندارد و وجود ندارد $G$ فرم دو خطی غیرتولیدی غیر متغیر در $پنجم$

(ii) واقعی: ${\ displaystyle V = V_ {0} \ otimes \ mathbb {C} ،}$ یک نمایش واقعی $V$ دارد $G$ فرم متقارن غیر متولد غیر متغیر - غیر متغیر .

(iii) رباعی: $\ چی _ {V}$ واقعی است ، اما $V$ واقعی نیست $V$ دارد $G$ فرم دو خطی متقارن کج-متقارن غیر متغیر.

نمایندگی گروههای خاص [ ویرایش ]

گروه های متقارن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تئوری بازنمایی گروه متقارن

نمایش گروههای متقارن $S_ {n}$ به شدت مورد مطالعه قرار گرفته اند. کلاسهای صلح در $S_ {n}$ (و بنابراین ، با توجه به موارد فوق ، نمایش های غیرقابل کاهش) با پارتیشن های n مطابقت دارند . مثلا، $S_ {3}$ دارای سه نمایش غیرقابل کاهش است ، مربوط به پارتیشن ها

3؛ 2 + 1 ؛ 1 + 1 + 1

از 3. برای چنین پارتیشنی ، تابلو یانگ یک دستگاه گرافیکی است که یک پارتیشن را نشان می دهد. نمایش غیرقابل کاهش مربوط به چنین پارتیشن (یا تابلوی یانگ) ماژول Specht نامیده می شود .

نمایش گروههای مختلف متقارن با هم مرتبط هستند: هر نمایش از ${\ displaystyle S_ {n} \ times S_ {m}}$ بازدهی از ${\ displaystyle S_ {n + m}}$ با القا ، و بالعکس با محدودیت. مجموع مستقیم همه این نمایش ها حلقه می زند

${\ displaystyle \ bigoplus _ {n \ geq 0} R (S_ {n})}$

ساختار یک جبر Hopf را از این سازه ها به ارث می برد که به نظر می رسد ، نزدیک به توابع متقارن است .

گروههای محدود از نوع لی[ ویرایش ]

تا حدی نمایندگی های ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ ، به عنوان n متفاوت است ، طعم مشابه با $S_ {n}$ ؛ فرآیند القای فوق الذکر با اصطلاح القای سهموی جایگزین می شود . با این حال ، بر خلاف برای $S_ {n}$ ، جایی که می توان تمام بازنمایی ها را با القای نمایش های بی اهمیت بدست آورد ، این برای درست نیست ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ . در عوض ، بلوک های جدید ساختمانی ، معروف به نمایش های کوسپیدال ، مورد نیاز است.

نمایندگی های ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ و به طور کلی ، نمایندگی از گروه های محدود از نوع دروغ به طور کامل مطالعه شده است. بنافه (2011) نمایش های ${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbf {F} _ {q})}$ . یک توصیف هندسی از نمایش های غیر قابل کاهش این گروه ها ، از جمله نمایش های فوق الذکر فوق الذکر ، توسط نظریه Deligne-Lusztig ، که چنین نمایندگی ای را در کوهومولوژی L-adic از انواع Deligne-Lusztig می سازد ، به دست می آید.

شباهت نظریه بازنمایی ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbf {F} _ {q})}$ فراتر از گروههای محدود است. فلسفه اشکال لت برجسته خویشاوندی نمایندگی جنبه نظری از این نوع از گروه با گروه های خطی عمومی زمینه های محلی مانند Q ص و حلقه ای از adeles ، و ضربت (2004) .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی