ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (6)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:14

آوریم ${\ displaystyle {\ text {Res}} _ {H} (\ rho).}$ این نمایش توسط تصویر تعریف می شود ${\ displaystyle \ rho (\ mu) ،}$ شکل صریح آن در بالا نشان داده شده است.

ساخت و سازها [ ویرایش ]

نمایندگی دوگانه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایندگی دوتایی

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایندگی معین باشد. نمایندگی دو یا نمایندگی ${\ displaystyle \ rho ^ {*}: G \ to {\ text {GL}} (V ^ {*})}$ بازنمایی از است $G$ در فضای بردار دوتایی از $پنجم$ توسط ملک تعریف می شود

${\ displaystyle \ forall s \ in G ، v \ in V ، \ alpha \ in V ^ {*}: \ qquad \ left (\ rho ^ {*} (s) \ alpha \ right) (v) = \ alpha \ چپ (\ rho \ چپ (s ^ {- 1} \ راست) v \ راست).}$

با توجه به جفت شدن طبیعی ${\ displaystyle \ langle \ alpha ، v \ rangle: = \ alpha (v)}$ بین $V ^ {*}$ و $V$ تعریف فوق معادله را ارائه می دهد:

${\ displaystyle \ forall s \ in G ، v \ in V ، \ alpha \ in V ^ {*}: \ qquad \ langle \ rho ^ {*} (s) (\ alpha)، \ rho (s) (v ) \ rangle = \ langle \ alpha ، v \ rangle.}$

برای مثال ، به صفحه اصلی این موضوع مراجعه کنید: نمایش دوگانه .

جمع مستقیم نمایش ها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: مجموع مستقیم sum مجموع مستقیم نمایش های گروهی

اجازه دهید ${\ displaystyle (\ rho _ {1} ، V_ {1})}$ و ${\ displaystyle (\ rho _ {2} ، V_ {2})}$ نمایندگی باشد $G_ {1}$ و ${\ displaystyle G_ {2} ،}$ به ترتیب. مجموع مستقیم این نمایش ها نمایش خطی است و به صورت تعریف شده است

${\ displaystyle \ forall s_ {1} \ in G_ {1}، s_ {2} \ in G_ {2}، v_ {1} \ in V_ {1}، v_ {2} \ in V_ {2}: \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}: G_ {1} \ دفعات G_ {2} \ به {\ text {GL}} (V_ {1} \ oplus V_ { 2}) \\ [4pt] (\ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}) (s_ {1}، s_ {2}) (v_ {1}، v_ {2}): = \ rho _ {1} (s_ {1}) v_ {1} \ oplus \ rho _ {2} (s_ {2}) v_ {2} \ end {موارد}}}$

اجازه دهید $\ rho_1 ، \ rho_2$ نمایندگی های همان گروه باشد $ج$ به منظور سادگی ، مجموع مستقیم این بازنمایی ها به عنوان نمایش از $G ،$ به عنوان مثال داده می شود ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1} \ oplus V_ {2})،}$ با مشاهده $G$ به عنوان زیر گروه مورب ${\ displaystyle G \ بار G}$

مثال. اجازه دهید (اینجا $من$ و $\ امگا$ به ترتیب واحد خیالی و ریشه مکعب بدوی هستند):

${\ displaystyle {\ start {موارد} \ rho _ {1}: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C}) \\ [4pt] \ rho _ {1} (1) = {\ start {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} \ end {موارد}} \ qquad \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {2}: \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {3} (\ mathbb {C}) \\ [6pt] \ rho _ {2} (1) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 & \ امگا \\ 0 & \ امگا و 0 \\ 0 & 0 & \ امگا ^ {2} \ پایان {pmatrix}} \ پایان {موارد}}}$

سپس

${\ displaystyle {\ begin {موارد} \ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} \ چپ (\ mathbb {C} ^ {2} \ oplus \ mathbb {C} ^ {3} \ راست) \\ [6pt] \ چپ (\ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2} \ right) (k، l) = {\ start {pmatrix} \ rho _ {1} (k) & 0 \\ 0 & \ rho _ {2} (l) \ end {pmatrix}} & k \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} ، l \ in \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ پایان {موارد}}}$

همانطور که در نظر گرفتن تصویر عنصر تولید کننده کافی است ، متوجه می شویم که

${\ displaystyle (\ rho _ {1} \ oplus \ rho _ {2}) (1،1) = {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ امگا \\ 0 & 0 & 0 & \ امگا و 0 \\ 0 و 0 و 0 و 0 و \ امگا ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

محصول تنسور نمایش ها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: تئوری بازنمایی products محصولات تانسور نمایش ها

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G_ {1} \ to {\ text {GL}} (V_ {1}) ، \ rho _ {2}: G_ {2} \ to {\ text {GL}} (V_ {2})}$ نمایش های خطی باشد. ما نمایش خطی را تعریف می کنیم

${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}: G_ {1} \ times G_ {2} \ to {\ text {GL}} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$ به محصول تانسور از $V_ {1}$ و $V_ {2}$ توسط ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (s_ {1}، s_ {2}) = \ rho _ {1} (s_ {1}) \ otimes \ rho _ {2} ( s_ {2}) ،}$ که در آن ${\ displaystyle s_ {1} \ in G_ {1}، s_ {2} \ in G_ {2}.}$ این بازنمایی به نام محصول تانسور بیرونی از نمایندگی $\ rho _ {1}$ و ${\ displaystyle \ rho _ {2}.}$ وجود و منحصر به فرد بودن نتیجه خواص محصول تنسور است .

مثال. مثال ارائه شده برای جمع مستقیم را مجدداً بررسی می کنیم :

محصول تانسور بیرونی

${\ displaystyle {\ begin {موارد} \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} (\ mathbb {C} ^ {2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {3}) \\ (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) ( k ، l) = \ rho _ {1} (k) \ otimes \ rho _ {2} (l) & k \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} ، l \ in \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ end {موارد}}}$

با استفاده از مبنای استاندارد ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {3} \ Cong \ mathbb {C} ^ {6}}$ ما برای عنصر تولید کننده موارد زیر را داریم:

${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (1،1) = \ rho _ {1} (1) \ otimes \ rho _ {2} (1) = {\ start {pmatrix} 0 و 0 و 0 و -i و 0 & -i \ امگا \\ 0 & 0 و 0 و 0 & -i \ امگا و 0 \\ 0 & 0 و 0 و 0 و 0 & -i \ امگا ^ {2} \\ من & 0 و من \ امگا و 0 و 0 و 0 \ 0 0 و من \ امگا و 0 و 0 و 0 و 0 \ 0 0 {pmatrix}}}$

تذکر توجه داشته باشید که مجموع مستقیم و محصولات تنسور درجه های مختلفی دارند و از این رو نمایش های مختلفی هستند.

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1}) ، \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {2}) }$ دو نمایش خطی از یک گروه باشد. اجازه دهید $s$ عنصری از باشد $ج$ سپس ${\ displaystyle \ rho (s) \ in {\ text {GL}} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$ توسط تعریف شده است ${\ displaystyle \ rho (s) (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = \ rho _ {1} (ها) v_ {1} \ otimes \ rho _ {2} (ها) v_ {2} ، }$ برای ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}، v_ {2} \ in V_ {2}،}$ و ما می نویسیم ${\ displaystyle \ rho (s) = \ rho _ {1} (ها) \ otimes \ rho _ {2} (ها).}$ سپس نقشه ${\ displaystyle s \ mapsto \ rho (s)}$ نمایش خطی از $G ،$ که ضرب تانسور نمایش های داده شده نیز نامیده می شود.

این دو مورد باید کاملاً از هم تفکیک شوند. حالت اول نمایش محصول گروهی در محصول تنسور فضاهای نمایش مربوطه است. مورد دوم بازنمایی گروه است $G$ به محصول تنسور دو فضای نمایشی این یک گروه وارد شوید. اما این مورد آخر را می توان با تمرکز بر زیر گروه مورب به عنوان یک مورد خاص مورد اول مشاهده کرد ${\ displaystyle G \ بار G}$ این تعریف را می توان به تعداد محدودی تکرار کرد.

اجازه دهید $V$ و $دبلیو$ نمایندگی های گروه باشد $ج$ سپس ${\ displaystyle {\ text {Hom}} (V، W)}$ بازنمایی به موجب هویت زیر است: ${\ displaystyle {\ text {Hom}} (V، W) = V ^ {*} \ otimes W}$ . اجازه دهید ${\ displaystyle B \ in {\ text {Hom}} (V، W)}$ و اجازه دهید $\ rho$ نمایندگی در ${\ displaystyle {\ text {Hom}} (V، W).}$ اجازه دهید $\ rho_V$ نمایندگی در $V$ و ${\ displaystyle \ rho _ {W}}$ نمایندگی در $دبلیو$ سپس هویت بالا به نتیجه زیر منجر می شود:

${\ displaystyle \ rho (s) (B) v = \ rho _ {W} (ها) \ circ B \ circ \ rho _ {V} (ها) v}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G ، v \ in V.}$

قضیه نمایش های غیرقابل کاهش از ${\ displaystyle G_ {1} \ times G_ {2}}$ تا یکسان سازی دقیقاً نمایش ها هستند ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}}$ که در آن $\ rho _ {1}$ و $\ rho _ {2}$ نمایندگی های غیرقابل تقلیل از $G_ {1}$ و ${\ displaystyle G_ {2} ،}$ به ترتیب.

مربع متقارن و متناوب [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ به V \ otimes V}$ نمایش خطی از $ج$ اجازه دهید ${\ displaystyle (e_ {k})}$ مبنایی بر $پنجم$ تعریف کردن ${\ displaystyle \ vartheta: V \ otimes V \ to V \ otimes V}$ با گسترش دادن ${\ displaystyle \ vartheta (e_ {k} \ otimes e_ {j}) = e_ {j} \ otimes e_ {k}}$ خطی سپس آن را نگه می دارد ${\ displaystyle \ vartheta ^ {2} = 1}$ و بنابراین $V \ otimes V$ تقسیم می شود به ${\ displaystyle V \ otimes V = {\ text {Sym}} ^ {2} (V) \ oplus {\ text {Alt}} ^ {2} (V)،}$ که در آن

${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {2} (V) = \ {z \ in V \ otimes V: \ vartheta (z) = z \}}$

${\ displaystyle {\ text {Alt}} ^ {2} (V) = \ bigwedge ^ {2} V = \ {z \ in V \ otimes V: \ vartheta (z) = - z \}.}$

این زیر فضاها هستند $G$ –غیر متغیر و بدین وسیله بازنمودهای فرعی را تعریف می کنیم که به ترتیب مربع متقارن و مربع متناوب نامیده می شوند. این نمایش های فرعی نیز در ${\ displaystyle V ^ {\ otimes m} ،}$ اگرچه در این حالت آنها را محصول گوه نشان می دهند ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {m} V}$ و محصول متقارن ${\ displaystyle {\ text {Sym}} ^ {m} (V).}$ در صورتی که ${\ displaystyle m> 2،}$ فضای بردار ${\ displaystyle V ^ {\ otimes m}}$ به طور کلی با مجموع مستقیم این دو محصول برابر نیست.

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی