ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (3)

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم فروردین ۱۴۰۰ | 8:9

نمایندگی منظم چپ و راست [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایش منظم § گروههای متناهی

اجازه دهید $G$ یک گروه باشید و $V$ یک فضای بردار از بعد باشد $| G |$ با مبنا ${\ displaystyle (e_ {t}) _ {t \ in G}}$ نمایه شده توسط عناصر $ج$ نمایندگی چپ به طور منظم یک مورد خاص از است نمایندگی جایگشت با انتخاب ${\ displaystyle X = G.}$ این یعنی ${\ displaystyle \ rho (s) e_ {t} = e_ {st}}$ برای همه ${\ displaystyle s ، t \ in G.}$ بنابراین ، خانواده ${\ displaystyle (\ rho (s) e_ {1}) _ {s \ in G}}$ از تصاویر از $e_ {1}$ اساس هستند $پنجم$ درجه نمایندگی چپ به طور منظم برابر با ترتیب گروه است.

نمایش راست منظم در همان فضای بردار با یکسان سازی مشابه تعریف می شود: ${\ displaystyle \ rho (s) e_ {t} = e_ {ts ^ {- 1}}.}$ به همان روش قبلی ${\ displaystyle (\ rho (s) e_ {1}) _ {s \ in G}}$ اساس است $پنجم$ همانطور که در مورد نمایندگی چپ-منظم ، درجه نمایندگی راست-منظم برابر است با ترتیب $ج$

هر دو نمایش از طریق یکدست هستند ${\ displaystyle e_ {s} \ mapsto e_ {s ^ {- 1}}.}$ به همین دلیل آنها همیشه جدا نیستند و غالباً به عنوان نماینده منظم "" شناخته می شوند.

با یک نگاه دقیق نتیجه زیر حاصل می شود: نمایش خطی داده شده ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (W)}$ در صورتی که فقط یک نمایش وجود داشته باشد ، یک شکل نسبت به نمایش چپ منظم است ${\ displaystyle w \ in W،}$ به طوری که ${\ displaystyle (\ rho (s) w) _ {s \ in G}}$ اساس است $دبلیو$

مثال. اجازه دهید ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}$ و ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {5}}$ با اساس ${\ displaystyle \ {e_ {0} ، \ ldots ، e_ {4} \}.}$ سپس نمایندگی چپ به طور منظم ${\ displaystyle L _ {\ rho}: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ توسط تعریف شده است ${\ displaystyle L _ {\ rho} (k) e_ {l} = e_ {l + k}}$ برای ${\ displaystyle k، l \ in \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}.}$ نمایش به طور منظم به طور مشابه توسط ${\ displaystyle R _ {\ rho} (k) e_ {l} = e_ {lk}}$ برای ${\ displaystyle k، l \ in \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}.}$

نمایش ها ، ماژول ها و جبر کانولوشن [ ویرایش ]

اجازه دهید $G$ یک گروه محدود باشید ، بگذارید $ک$ یک حلقه عوض کننده باشید و بگذارید $کیلوگرم]$ شود جبر گروه از $G$ بر فراز $ک$ این جبر آزاد است و می توان مبنایی را با عناصر $ج$ غالباً اساس با آن مشخص می شود $G$ . هر عنصری ${\ displaystyle f \ در K [G]}$ سپس می تواند به صورت منحصر به فرد به عنوان بیان شود

${\ displaystyle f = \ sum _ {s \ in G} a_ {s} s}$ با ${\ displaystyle a_ {s} \ in K}$ .

ضرب در $کیلوگرم]$ گسترش می یابد که در $G$ توزیعی

حالا بگذار $V$ بودن $ک$ - ماژول و اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایش خطی از $G$ که در $پنجم$ ما تعریف می کنیم ${\ displaystyle sv = \ rho (s) v}$ برای همه $آواز خواندن$ و $v \ در V$ . با پسوند خطی $V$ دارای ساختار یک چپ- $کیلوگرم]$ -مدول. برعکس ما یک نمایش خطی از $G$ شروع از a $کیلوگرم]$ -مدول $V$ . علاوه بر این ، هومورفیسم های بازنمایی با مکالمات جبری گروهی مطابقت ذهنی دارند. بنابراین ، ممکن است این اصطلاحات به جای یکدیگر استفاده شوند. [1] [2] این نمونه ای از یکسان سازی دسته ها است .

فرض کنید ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}.}$ در این حالت سمت چپ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ –مدول داده شده توسط ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ خود مربوط به نمایندگی چپ به طور منظم است. به همین ترتیب ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ به عنوان یک حق ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ –ماژول مربوط به نمایش منظم منظم است.

در زیر جبر کانولوشن را تعریف خواهیم کرد : بگذارید $G$ یک مجموعه باشد ، مجموعه ${\ displaystyle L ^ {1} (G): = \ {f: G \ به \ mathbb {C} \}}$ هست یک ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ فضای بردار با اضافه شدن عملیات و ضرب اسکالر سپس این فضای بردار یکسان نیست ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {| G |}.}$ جمع شدن دو عنصر ${\ displaystyle f ، h \ in L ^ {1} (G)}$ تعریف شده توسط

${\ displaystyle f * h (s): = \ sum _ {t \ in G} f (t) h (t ^ {- 1} s)}$

باعث می شود ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ جبر . جبر ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ جبر کانولوشن نامیده می شود .

جبر کانولوشن رایگان است و دارای مبنایی است که توسط عناصر گروه نمایه می شود: ${\ displaystyle (\ delta _ {s}) _ {s \ in G}،}$ جایی که

${\ displaystyle \ delta _ {s} (t) = {\ start {موارد} 1 & t = s \\ 0 و {\ متن {در غیر این صورت.}} \ پایان {موارد}}}$

با استفاده از خواص جمع آوری به دست می آوریم: ${\ displaystyle \ delta _ {s} * \ delta _ {t} = \ delta _ {st}.}$

ما یک نقشه بین تعریف می کنیم ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ و ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G] ،}$ با تعریف کردن ${\ displaystyle \ delta _ {s} \ mapsto e_ {s}}$ بر پایه ${\ displaystyle (\ delta _ {s}) _ {s \ in G}}$ و به صورت خطی گسترش می یابد. بدیهی است که نقشه قبلی ذهنی است . یک بررسی دقیق تر از هم آمیختگی دو عنصر پایه همانطور که در معادله بالا نشان داده شده نشان می دهد که ضرب در ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ مربوط به آن در ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G].}$ بنابراین ، جبر کانولوشن و جبر گروهی به صورت جبر یکسان نیستند.

پیچ

${\ displaystyle f ^ {*} (s) = {\ overline {f (s ^ {- 1})}}}$

چرخش ${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$ درون یک $^ {*}$ جبر . ما داریم ${\ displaystyle \ delta _ {s} ^ {*} = \ delta _ {s ^ {- 1}}.}$

نمایندگی ${\ displaystyle (\ pi ، V _ {\ pi})}$ از یک گروه $G$ تا a گسترش می یابد $^ {*}$ –همجنس گویی جبر ${\ displaystyle \ pi: L ^ {1} (G) \ to {\ text {End}} (V _ {\ pi})}$ توسط ${\ displaystyle \ pi (\ delta _ {s}) = \ pi (s).}$ از آنجا که تعدد ویژگی مشخصه همگونی جبر است ، $\ پی$ راضی می کند ${\ displaystyle \ pi (f * h) = \ pi (f) \ pi (h).}$ اگر $\ پی$ واحد است ، ما نیز به دست می آوریم ${\ displaystyle \ pi (f) ^ {*} = \ pi (f ^ {*}).}$ برای تعریف نمایندگی واحد ، لطفاً به فصل خصوصیات مراجعه کنید . در آن فصل خواهیم دید که (بدون از دست دادن عمومیت) می توان هر نمایش خطی را واحد دانست.

با استفاده از جبر کانولوشن می توانیم تحول فوریه را بر روی یک گروه پیاده سازی کنیم $ج$ در زمینه تجزیه و تحلیل هارمونیک نشان داده شده است که تعریف زیر با تعریف تحول فوریه سازگار است ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V _ {\ rho})}$ نماینده باشید و بگذارید ${\ displaystyle f \ در L ^ {1} (G)}$ بودن $\ mathbb {C}$ عملکرد با ارزش روشن است $G$ . تبدیل فوریه ${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ rho) \ in {\ text {End}} (V _ {\ rho})}$ از $f$ به عنوان ... تعریف شده است

${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ rho) = \ sum _ {s \ in G} f (s) \ rho (s).}$

این تحول راضی می کن ${\ displaystyle {\ widehat {f * g}} (\ rho) = {\ hat {f}} (\ rho) \ cdot {\ hat {g}} (\ rho).}$

منبع

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی