ریاضیات

نظریه اعداد جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه اعداد جبری

نظریه اعداد جبری از گروهها برای برخی کاربردهای مهم استفاده می کند. به عنوان مثال ، فرمول محصول اولر ،

این واقعیت را ضبط می کند که هر عدد صحیح به روشی منحصر به فرد به اعداد اول تجزیه می شود . شکست این گزاره برای حلقه های عمومی تر باعث ایجاد گروه های طبقاتی و اعداد اول می شود که در درمان کامر در مورد قضیه آخر فرمات وجود دارد .

تجزیه و تحلیل هماهنگ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تحلیل هارمونیک

تجزیه و تحلیل در مورد گروه های دروغ و برخی گروه های دیگر ، آنالیز هارمونیک نامیده می شود . اقدامات Haar ، یعنی انتگرال های ثابت در ترجمه در یک گروه Lie ، برای تشخیص الگو و سایر تکنیک های پردازش تصویر استفاده می شود. [12]

ترکیبی [ ویرایش ]

در ترکیبیات ، مفهوم گروه جایگشت و مفهوم عمل گروهی اغلب برای ساده کردن شمارش مجموعه ای از اشیا استفاده می شود. به ویژه لما le Burnside را ببینید .

دایره پنجم ها ممکن است دارای یک ساختار گروه چرخه ای باشند

موسیقی [ ویرایش ]

وجود دوره تناوبی 12 در دایره پنجم ، کاربردهای نظریه گروه ابتدایی را در نظریه مجموعه موسیقی ایجاد می کند . نظریه تحول ، تبدیلات موسیقی را به عنوان عناصر یک گروه ریاضی مدل می کند.

فیزیک [ ویرایش ]

در فیزیک ، گروه ها از این جهت مهم هستند که تقارنهایی را توصیف می کنند که به نظر می رسد قوانین فیزیک از آنها پیروی می کنند. طبق قضیه نوتر ، هر تقارن مداوم یک سیستم فیزیکی با قانون حفاظت از سیستم مطابقت دارد. فیزیکدانان علاقه زیادی به نمایش های گروهی دارند ، به ویژه گروه های دروغ ، زیرا این نمایش ها اغلب راه را برای نظریه های فیزیکی "ممکن" نشان می دهند. نمونه هایی از استفاده از گروه ها در فیزیک شامل مدل استاندارد ، تئوری سنج ، گروه لورنتس و گروه پوانکره است .

شیمی و علوم مواد [ ویرایش ]

در شیمی و علوم مواد ، گروه های نقطه ای برای طبقه بندی چند وجهی های منظم و تقارن مولکول ها و گروه های فضایی برای طبقه بندی ساختارهای بلوری استفاده می شود . سپس می توان از گروههای اختصاص داده شده برای تعیین خصوصیات فیزیکی (مانند قطبیت شیمیایی و دستکاری ) ، خواص طیف سنجی (خصوصاً برای طیف سنجی رامان ، طیف سنجی مادون قرمز ، طیف سنجی دایکروزیسم دایره ای ، طیف سنجی دایکروزیسم دایره ای مغناطیسی ، طیف سنجی UV / Vis و طیف سنجی فلورسانس) استفاده کرد. ، و برای ساخت اوربیتال های مولکولی .

تقارن مولکولی مسئول بسیاری از خصوصیات فیزیکی و طیف سنجی ترکیبات است و اطلاعات مربوط به نحوه واکنش های شیمیایی را در اختیار شما قرار می دهد. برای اختصاص یک گروه نقطه برای هر مولکول لازم است مجموعه ای از عملکردهای تقارن موجود در آن را پیدا کنید. عمل تقارن عملی است مانند چرخش به دور محور یا بازتاب از طریق صفحه آینه. به عبارت دیگر ، عملیاتی است که مولکول را به گونه ای حرکت می دهد که از پیکربندی اصلی قابل تشخیص نیست. در تئوری گروه ، محورهای چرخش و صفحات آینه را "عناصر تقارن" می نامند. این عناصر می توانند یک نقطه ، خط یا صفحه باشند که نسبت به آنها عملیات تقارن انجام شود. عملیات تقارن یک مولکول گروه نقطه خاصی را برای این مولکول تعیین می کند.

مولکول آب با محور تقارن

در شیمی ، پنج عمل مهم تقارن وجود دارد. آنها عملیات هویت ( E) ، عملیات چرخش یا چرخش مناسب ( C n ) ، عملیات انعکاس ( σ ) ، وارونگی ( i ) و عملیات بازتاب چرخش یا چرخش نامناسب ( S n ) هستند. عملیات هویت ( E ) شامل ترک مولکول به همان شکل است. این معادل هر تعداد چرخش کامل در اطراف هر محور است. این یک تقارن تمام مولکول ها است ، در حالی که گروه تقارن یک کایرال استمولکول فقط از عملیات هویت تشکیل شده است. عمل هویت ویژگی هر مولکول است حتی اگر تقارن نداشته باشد. چرخش به دور یک محور ( C n ) شامل چرخش مولکول به دور یک محور خاص توسط یک زاویه خاص است. این چرخش از طریق زاویه 360 ° / n است ، جایی که n یک عدد صحیح است ، در مورد یک محور چرخش است. به عنوان مثال ، اگر یک مولکول آب 180 درجه به دور محوری که از اتم اکسیژن عبور می کند و بین اتم های هیدروژن بچرخد ، در همان پیکربندی شروع قرار دارد. در این حالت n = 2، از آنجا که استفاده از آن دو بار باعث تولید هویت می شود. در مولکول هایی که بیش از یک محور چرخش دارند ، محور Cn که بیشترین مقدار n را دارد ، محور چرخش یا محور اصلی با بالاترین درجه است. به عنوان مثال Borane (BH3) ، بالاترین مرتبه چرخش محور C 3 است ، بنابراین محور اصلی چرخش محور C 3 است .

در عملیات بازتاب ( σ ) بسیاری از مولکول ها دارای صفحه آینه هستند ، اگرچه ممکن است واضح نباشند. عملیات انعکاس به چپ و راست مبادله می شود ، گویی هر نقطه به طور عمود از طریق صفحه به موقعیتی دقیقاً دورتر از صفحه نسبت به زمان شروع حرکت کرده است. وقتی صفحه عمود بر محور اصلی چرخش باشد ، آن را σ h (افقی) می نامند . صفحات دیگری که حاوی محور اصلی چرخش هستند ، دارای برچسب عمودی ( σ v ) یا دو طرفه ( σ d ) هستند.

وارونگی (i) عملیاتی پیچیده تر است. هر نقطه از طریق مرکز مولکول به موقعیتی مخالف با موقعیت اصلی و به همان اندازه که از نقطه شروع آن فاصله دارد ، حرکت می کند. بسیاری از مولکولهایی که به نظر می رسد در نگاه اول دارای مرکز وارونگی هستند ، چنین نیستند. به عنوان مثال ، متان و سایر چهار ضلعیمولکول ها فاقد تقارن وارونگی هستند. برای دیدن این ، یک مدل متان با دو اتم هیدروژن در صفحه عمودی در سمت راست و دو اتم هیدروژن در صفحه افقی در سمت چپ نگه دارید. وارونگی منجر به دو اتم هیدروژن در صفحه افقی در سمت راست و دو اتم هیدروژن در صفحه عمودی در سمت چپ می شود. وارونگی بنابراین یک عمل تقارن متان نیست ، زیرا جهت گیری مولکول پس از عملیات وارونگی با جهت گیری اصلی متفاوت است. و آخرین عمل نادرست عملیات چرخش و یا چرخش انعکاس ( S N ) نیاز به چرخش 360 درجه / N ، پس از بازتاب از طریق یک عمود بر هواپیما به محور چرخش.