چشم انداز - نمایندگی گروه های جمع و جور [ ویرایش ]

نظریه بازنمایی گروه های جمع و جور ممکن است تا حدی به گروه های محلی جمع و جور گسترش یابد . نظریه بازنمایی در این زمینه اهمیت زیادی برای تجزیه و تحلیل هارمونیک و مطالعه فرم های خود شکل می دهد. برای اثبات ، اطلاعات بیشتر و اطلاعات دقیق تر که از حوصله این فصل خارج است ، لطفاً با [4] و [5] مشورت کنید .

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

گروه توپولوژیک با هم گروه با یک است توپولوژی با توجه به که در آن ترکیب گروه و وارونگی هستند مداوم . به چنین گروهی ، در صورت وجود پوشش ، جمع و جور گفته می شودG ،که در توپولوژی باز است ، دارای مخفی محدود است. زیر گروه های بسته یک گروه جمع و جور دوباره جمع و جور هستند.

اجازه دهید G یک گروه جمع و جور باشید و اجازه دهید V متناهی باشد \ mathbb {C} فضای بردار نمایش خطی ازG به Vیک همگونی گروهی مداوم است {\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V) ،} یعنی {\ displaystyle \ rho (s) v} یک تابع مداوم در دو متغیر است آواز خواندن و{\ displaystyle v \ in V.}

نمایش خطی از Gبه یک فضای باناخ وارد شوید V تعریف شده است به عنوان یک همگونی گروه مداوم از Gبه مجموعه همه عملگرهای خطی محدود بیوکتیک درVبا یک وارونه مداوم. از آنجا که{\ displaystyle \ pi (g) ^ {- 1} = \ pi (g ^ {- 1}) ،}ما می توانیم بدون آخرین نیاز انجام دهیم. در ادامه ، ما نمایندگی های گروه های جمع و جور را به طور خاص در فضاهای هیلبرت در نظر خواهیم گرفت .

درست مانند گروههای متناسب ، می توان جبر گروه و جبر کانولوشن را تعریف کرد . با این حال ، جبر گروهی در مورد گروههای بی نهایت هیچ اطلاعات مفیدی را ارائه نمی دهد ، زیرا شرایط تداوم در طول ساخت از بین می رود. در عوض جبر کانولوشن{\ displaystyle L ^ {1} (G)} جای خود را می گیرد.

بیشتر خصوصیات نمایندگی گروههای محدود را می توان با تغییرات مناسب به گروههای جمع و جور منتقل کرد. برای این منظور ما به یک همتای جمع بندی روی یک گروه محدود نیاز داریم:

وجود و منحصر به فرد بودن معیار هار [ ویرایش ]

در یک گروه جمع و جور Gدقیقاً یک معیار وجود دارد{\ displaystyle dt،} به طوری که:

  • این یک اقدام ترجمه-ثابت-ثابت است

{\ displaystyle \ forall s \ in G: \ quad \ int _ {G} f (t) dt = \ int _ {G} f (st) dt.}

  • کل گروه واحد اندازه گیری دارد:

{\ displaystyle \ int _ {G} dt = 1،}

چنین چپ ترجمه ثابت، اندازه گیری عادی هنجار نامیده می شود اندازه گیری هار از گروهج

از آنجا که G جمع و جور است ، می توان نشان داد که این معیار نیز از نظر ترجمه درست نیست ، یعنی همچنین اعمال می شود

{\ displaystyle \ forall s \ in G: \ quad \ int _ {G} f (t) dt = \ int _ {G} f (ts) dt.}

با مقیاس گذاری بالاتر ، اندازه گیری Haar در یک گروه محدود توسط داده می شود{\ displaystyle dt (s) = {\ tfrac {1} {| G |}}} برای همه 

{\ displaystyle s \ in G.}

تمام تعاریف مربوط به بازنمایی گروههای متناهی که در بخش "خصوصیات" ذکر شده اند ، برای نمایش گروههای فشرده نیز اعمال می شوند. اما اصلاحاتی لازم است:

برای تعریف نمایندگی فرعی اکنون به یک فضای خالی بسته نیاز داریم. این امر برای فضاهای نمایشی متناهی ضروری نبود ، زیرا در این حالت هر زیر فضایی از قبل بسته شده است. علاوه بر این ، دو نمایندگی

{\ displaystyle \ rho ، \ pi} از یک گروه جمع و جورG اگر عملگر خطی ، پیوسته و خطی وجود داشته باشد ، معادل نامیده می شوند تی بین فضاهای بازنمایی که عکس آنها نیز مداوم است و آنها را راضی می کند {\ displaystyle T \ circ \ rho (s) = \ pi (s) \ circ T} برای همه {\ displaystyle s \ in G.}

اگر تیواحد است ، به دو نمایندگی معادل واحد گفته می شود .

برای به دست آوردنGمحصول داخلی غیر متغیر از یک نیستGغیر متغیر ، ما اکنون باید از انتگرال استفاده کنیم Gبه جای جمع. اگر(\ cdot | \ cdot)محصولی درونی در فضای هیلبرت است V ، که نسبت به نمایندگی ثابت نیست\ rho  از G ، سپس

{\ displaystyle (v | u) _ {\ rho} = \ int _ {G} (\ rho (t) v | \ rho (t) u) dt}

هست یکGمحصول داخلی غیر متغیر روشن است V به دلیل خواص اندازه گیری Haar .{\ displaystyle dt.} بنابراین ، می توانیم هر نمایش را در یک فضای هیلبرت واحد بدانیم.

اجازه دهید G یک گروه جمع و جور باشید و اجازه دهید {\ displaystyle s \ in G.} اجازه دهید{\ displaystyle L ^ {2} (G)} فضای هیلبرت توابع مجتمع مربع باشد ج ما اپراتور را تعریف می کنیم L_s در این فضا توسط {\ displaystyle L_ {s} \ Phi (t) = \ Phi (s ^ {- 1} t) ،} جایی که {\ displaystyle \ Phi \ در L ^ {2} (G) ، t \ در G.}

نقشه {\ displaystyle s \ mapsto L_ {s}} نمایندگی واحدی از جنمایندگی چپ منظم نامیده می شود . نمایندگی راست به طور منظم به طور مشابه تعریف شده است. همانطور که معیار هار استG عملگر نیز درست ترجمه-ثابت است R_s بر {\ displaystyle L ^ {2} (G)} از رابطه زیر بدست می آید {\ displaystyle R_ {s} \ Phi (t) = \ Phi (ts).} نمایندگی به طور منظم به طور منظم نمایندگی واحدی است که توسط آن ارائه می شود {\ displaystyle s \ mapsto R_ {s}.} دو نمایندگی{\ displaystyle s \ mapsto L_ {s}} و {\ displaystyle s \ mapsto R_ {s}} نسبت به هم دوتایی هستند.

اگر Gنامحدود است ، این نمایش ها درجه محدودی ندارند. نمایش چپ و راست منظم همانطور که در ابتدا تعریف شد ، در صورت نمایش گروه ، نمایشی منظم چپ و راست منظم نیست ،Gمتناهی است این به دلیل این واقعیت است که در این مورد{\ displaystyle L ^ {2} (G) \ Cong L ^ {1} (G) \ Cong \ mathbb {C} [G].}

ساختارها و تجزیه ها [ ویرایش ]

روش های مختلف ساخت نمایش های جدید از موارد ارائه شده می تواند برای گروه های جمع و جور نیز استفاده شود ، به جز نمایش دوگانه که بعداً با آن کار خواهیم کرد. حاصل جمع مستقیم و محصول تنسور با تعداد محدودی از جمع / فاکتورها دقیقاً به همان روشی که برای گروههای محدود تعریف شده است ، تعریف شده اند. این مورد در مورد مربع متقارن و متناوب نیز وجود دارد. با این حال ، برای گسترش قضیه که نمایندگی های غیرقابل تقلیل حاصل از محصول دو گروه هستند (تا ایزومورفیسم) دقیقاً محصول تنسور نمایش های غیرقابل کاهش گروه های فاکتور ، به معیار Haar در مورد محصول مستقیم گروه های فشرده نیاز داریم . اول ، ما توجه داشته باشیم که محصول مستقیم {\ displaystyle G_ {1} \ times G_ {2}}از دو گروه جمع و جور هنگامی که توپولوژی محصول ارائه می شود ، یک گروه جمع و جور است. سپس معیار هار بر روی محصول مستقیم توسط محصول معیارهای هار در گروههای فاکتور داده می شود.

برای نمایش دوگانه در گروه های جمع و جور ، ما به دوگانه توپولوژیک نیاز داریم V ' فضای بردار پنجم این فضای بردار تمام عملکردهای خطی پیوسته از فضای بردار است Vوارد میدان پایه شوید. اجازه دهید\ پی  نمایندگی یک گروه جمع و جور باشد G که در پنجم

نمایندگی دوگانه {\ displaystyle \ pi ': G \ to {\ text {GL}} (V')} توسط ملک تعریف می شود

{\ displaystyle \ forall v \ in V ، \ forall v '\ in V' ، \ forall s \ in G: \ qquad \ left \ langle \ pi '(s) v'، \ pi (s) v \ right \ rangle = \ langle v '، v \ rangle: = v' (v).}

بنابراین ، می توان نتیجه گرفت که نمایش دوگانه توسط {\ displaystyle \ pi '(s) v' = v '\ circ \ pi (s ^ {- 1})} برای همه {\ displaystyle v '\ in V'، s \ in G.} نقشه \ pi ' دوباره یک همگونی گروهی مداوم و در نتیجه بازنمایی است.

در فضاهای هیلبرت: \ پی  اگر و فقط اگر غیرقابل کاهش باشد \ pi ' غیرقابل کاهش است

با انتقال نتایج تجزیه های بخش به گروه های فشرده ، قضیه های زیر را بدست می آوریم:

قضیه هر نمایندگی غیرقابل کاهش{\ displaystyle (\ tau، V _ {\ tau})}یک گروه جمع و جور به یک فضای هیلبرت محدود بعدی است و وجود دارد یک وجود دارد محصول داخلی در{\ displaystyle V _ {\ tau}} به طوری که \ تاو واحد است از آنجا که اندازه گیری هار نرمال است ، این محصول داخلی منحصر به فرد است.

هر نمایش از یک گروه جمع و جور نسبت به یک مجموع هیلبرت از نمایش های غیرقابل تقلیل مستقیم است .

اجازه دهید{\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho})} نمایشی واحد از گروه جمع و جور باشدج درست همانطور که برای گروههای محدود برای نمایش غیرقابل تقلیل تعریف می کنیم {\ displaystyle (\ tau، V _ {\ tau})} ایزوتایپ یا جز component ایزوتایپی در\ rho  فضای فرعی بودن

{\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau) = \ sum _ {V _ {\ tau} \ Cong U \ زیرمجموعه V _ {\ rho}} U.}

این مجموع تمام زیر فضاهای بسته ثابت است {\ displaystyle U ،} که هستند G–مصرف شکل به {\ displaystyle V _ {\ tau}.}

توجه داشته باشید که ایزوتایپهای نمایشهای غیر قابل کاهش غیر مساوی بصورت دو ضلعی هستند.

قضیه

{\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau)} یک فضای غیر ثابت بسته از است {\ displaystyle V _ {\ rho}.}

(دوم) {\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau)} است G–معرفی به مجموع مستقیم نسخه های {\ displaystyle V _ {\ tau}.}

(III) تجزیه متعارف: {\ displaystyle V _ {\ rho}} مجموع مستقیم هیلبرت از ایزوتایپ ها است {\ displaystyle V _ {\ rho} (\ tau) ،} که در آن \ تاو  از تمام طبقات هم شکل گیری نمایش های غیرقابل تقلیل عبور می کند.

پیش بینی مربوط به تجزیه متعارف{\ displaystyle p _ {\ tau}: V \ به V (\ tau) ،} که در آن {\ displaystyle V (\ tau)} ایزوتایپ از است V ، برای گروههای جمع و جور داده شده توسط است

{\ displaystyle p _ {\ tau} (v) = n _ {\ tau} \ int _ {G} {\ overline {\ chi _ {\ tau} (t)}} \ rho (t) (v) dt،}

جایی که {\ displaystyle n _ {\ tau} = \ dim (V (\ tau))}} و {\ displaystyle \ chi _ {\ tau}} شخصیت مربوط به نمایش غیرقابل کاهش است \ تاو

فرمول پروجکشن [ ویرایش ]

برای هر نمایندگی {\ displaystyle (\ rho ، V)} از یک گروه جمع و جورG ما تعریف می کنیم

{\ displaystyle V ^ {G} = \ {v \ in V: \ rho (s) v = v \، \، \، \ forall s \ in G \}.}

به طور کلی {\ displaystyle \ rho (s): V \ به V} نیست G–خطی اجازه دهید

{\ displaystyle Pv: = \ int _ {G} \ rho (s) vds.}

نقشه پبه عنوان endomorphism on تعریف می شودV با داشتن ملک

{\ displaystyle \ left. \ left (\ int _ {G} \ rho (s) vds \ right | w \ right) = \ int _ {G} (\ rho (s) v | w) ds،}

که برای محصول داخلی فضای هیلبرت معتبر است پنجم

سپسپ است Gخطی ، به دلیل

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ چپ. \ چپ (\ int _ {G} \ rho (s) (\ rho (t) v) ds \ راست | w \ راست) & = \ int _ {G} \ چپ. \ چپ (\ rho \ چپ (tst ^ {- 1} \ راست) (\ rho (t) v) \ راست | w \ راست) ds \\ & = \ int _ {G} (\ rho ( ts) v | w) ds \\ & = \ int (\ rho (t) \ rho (s) v | w) ds \\ & = \ چپ. \ چپ (\ rho (t) \ int _ {G} \ rho (s) vds \ right | w \ right) ، \ end {تراز شده}}}

جایی که ما از عدم تغییر معیار هار استفاده کردیم.

قضیه. نقشهپ فرافکنی از V به {\ displaystyle V ^ {G}.}

اگر نمایش متناهی باشد ، می توان مجموع مستقیم بازنمایی بی اهمیت را دقیقاً مانند گروه های محدود تعیین کرد.

شخصیت ها ، لماهای Schur و محصول داخلی [ ویرایش ]

به طور کلی ، نمایندگی از گروه های جمع و جور در فضاهای هیلبرت و باناخ بررسی می شود . در بیشتر موارد ، آنها متناهی نیستند. بنابراین ، هنگام صحبت در مورد نمایش گروه های جمع و جور ، مراجعه به شخصیت ها مفید نیست . با این وجود ، در اکثر موارد می توان مطالعه را محدود به ابعاد محدود کرد:

از آنجا که نمایش های غیرقابل کاهش از گروه های جمع و جور ، متناهی و بعدی هستند (به نتایج زیر بخش اول مراجعه کنید ) ، می توانیم شخصیت های غیرقابل تقلیل را به همان روشی که برای گروه های محدود انجام شد ، تعریف کنیم.

تا زمانی که نمایش های ساخته شده متناسب باقی بمانند ، می توان شخصیت های نمایش های تازه ساخته شده را به همان روشی که برای گروه های متناهی است بدست آورد.

لما Schur برای گروه های جمع و جور نیز معتبر است:

اجازه دهید {\ displaystyle (\ pi ، V)} یک نماینده واحد غیرقابل کاهش از یک گروه جمع و جور باشدجسپس هر اپراتور محدود {\ displaystyle T: V \ به V} رضایت{\ displaystyle T \ circ \ pi (s) = \ pi (s) \ circ T} برای همه {\ displaystyle s \ in G ،} مضرب مقیاس هویت است ، یعنی وجود دارد {\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}} به طوری که {\ displaystyle T = \ lambda {\ text {Id}}.}

تعریف. فرمول

{\ displaystyle (\ Phi | \ Psi) = \ int _ {G} \ Phi (t) {\ overline {\ Psi (t)}} dt.}

یک محصول داخلی را روی مجموعه ای از توابع مربع مجزا تعریف می کند {\ displaystyle L ^ {2} (G)} از یک گروه جمع و جور ج به همین ترتیب

{\ displaystyle \ langle \ Phi ، \ Psi \ rangle = \ int _ {G} \ Phi (t) \ Psi (t ^ {- 1}) dt.}

فرم دو خطی را در تعریف می کند {\ displaystyle L ^ {2} (G)} از یک گروه جمع و جور ج

فرم دوخطی در فضاهای نمایش دقیقاً همانطور که برای گروههای محدود تعریف شده و مانند گروههای متناهی تعریف شده است ، نتایج زیر معتبر است:

قضیه اجازه دهید\ چی  و \ چی ' شخصیت های دو نمایش غیرقابل انحراف غیر قابل تجزیه باشند V و{\ displaystyle V '،}به ترتیب. سپس موارد زیر معتبر است

  • {\ displaystyle (\ chi | \ chi ') = 0.}
  • {\ displaystyle (\ chi | \ chi) = 1 ،} یعنی \ چی  دارای "هنجار" است 1

قضیه اجازه دهیدV نمایندگی باشد G با شخصیت {\ displaystyle \ chi _ {V}.} فرض کنید دبلیو نمایشی غیرقابل کاهش است از G با شخصیت {\ displaystyle \ chi _ {W}.} تعداد نمایش های فرعی از V معادل با دبلیو مستقل از هر تجزیه مشخص برای است V و برابر با محصول داخلی است {\ displaystyle (\ chi _ {V} | \ chi _ {W}).}

معیار عدم کاهش اجازه دهید\ چی  شخصیت نمایندگی باشد V ، سپس {\ displaystyle (\ chi | \ chi)}یک عدد صحیح مثبت است علاوه بر این{\ displaystyle (\ chi | \ chi) = 1} اگر و تنها اگر V غیرقابل کاهش است

بنابراین ، با استفاده از قضیه اول ، شخصیت های نمایش های غیرقابل تقلیل ازGیک مجموعه عادی را در تشکیل دهید{\ displaystyle L ^ {2} (G)} با توجه به این محصول داخلی

نتیجه گیری هر نمایندگی غیرقابل کاهشV از G موجود است{\ displaystyle \ dim (V)}بار در نمایندگی چپ به طور منظم.

لما اجازه دهیدGیک گروه جمع و جور باشید. پس جملات زیرمعادل هستند:

  • G هابلی است
  • تمام نمایش های غیرقابل کاهش از G مدرک داشتن 1

ملاک عادی. اجازه دهیدGیک گروه باشید نمایش های غیر قابل تجزیه غیر قابل تجزیه ازGیک اساس طبیعی در{\ displaystyle L ^ {2} (G)} با توجه به این محصول داخلی

همانطور که قبلاً می دانیم نمایش های غیر قابل تجزیه غیر همسان غیر متعارف هستند ، ما فقط باید تأیید کنیم که آنها تولید می شوند {\ displaystyle L ^ {2} (G).} این ممکن است با اثبات اینکه هیچ تابع مجتمع غیر صفر مربعی در آن وجود ندارد ، انجام شودG متعامد همه شخصیتهای غیرقابل کاهش

دقیقاً همانطور که در مورد گروههای محدود ، تعداد نمایش های غیرقابل تقلیل تا یکسان سازی یک گروهG برابر است با تعداد کلاسهای همسریابی از ج با این حال ، از آنجا که یک گروه جمع و جور به طور کلی دارای کلاسهای نامحدود زیادی است ، این اطلاعات مفیدی را ارائه نمی دهد.

نمایندگی القا شده [ ویرایش ]

اگر حیک زیر گروه بسته از شاخص محدود در یک گروه جمع و جور استG ،ممکن است تعریف نمایش القایی برای گروههای محدود به تصویب برسد.

با این حال ، نمایندگی القا شده می تواند به طور کلی تعریف شود ، به طوری که تعریف مستقل از شاخص زیر گروه معتبر است ح

برای این منظور اجازه دهید {\ displaystyle (\ eta ، V _ {\ eta})} نمایندگی واحد از زیر گروه بسته باشد ح نمایش القایی مداوم {\ displaystyle {\ text {Ind}} _ {H} ^ {G} (\ eta) = (I، V_ {I})} به شرح زیر تعریف شده است:

اجازه دهید V_ {I} فضای هیلبرت از همه توابع قابل جمع شدن مربع را نشان می دهد{\ displaystyle \ Phi: G \ to V _ {\ eta}} با دارایی {\ displaystyle \ Phi (ls) = \ eta (l) \ Phi (s)} برای همه {\ displaystyle l \ in H ، s \ in G.} هنجار توسط داده شده است

{\ displaystyle \ | \ Phi \ | _ {G} = {\ text {sup}} _ {s \ in G} \ | \ Phi (s) \ |}

و نمایندگیمن به عنوان ترجمه درست آورده شده است: {\ displaystyle I (s) \ Phi (k) = \ Phi (ks).}

بازنمایی ناشی از آن دوباره بازنمایی واحدی است.

از آنجا که G جمع و جور است ، نمایش القایی را می توان به مجموع مستقیم نمایش های غیرقابل تقلیل تجزیه کرد ج توجه داشته باشید که تمام نمایش های غیرقابل تقلیل متعلق به همان ایزوتایپ با ضرب برابر برابر ظاهر می شوند {\ displaystyle \ dim ({\ text {Hom}} _ {G} (V _ {\ eta}، V_ {I})) = \ langle V _ {\ eta}، V_ {I} \ rangle _ {G}. }

اجازه دهید {\ displaystyle (\ rho ، V _ {\ rho})} نمایندگی باشد G ، پس یک ناهنجاری متعارف وجود دارد

{\ displaystyle T: {\ text {Hom}} _ {G} (V _ {\ rho} ، I_ {H} ^ {G} (\ eta)) \ به {\ text {Hom}} _ {H} ( V _ {\ rho} | _ {H} ، V _ {\ eta}).}

Frobenius به روابط متقابل انتقال، همراه با تعاریف اصلاح شده از محصول داخلی و فرم دارای دو خط مستقیم، به گروه جمع و جور. این قضیه اکنون برای توابع قابل جمع شدن مربع در فعال استG به جای توابع کلاس ، اما زیر گروه ح باید بسته شود

قضیه پیتر-ویل [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: قضیه پیتر-ویل

یکی دیگر از نتایج مهم در نظریه بازنمایی گروههای فشرده ، قضیه پیتر-ویل است. معمولاً در تحلیل هارمونیک ارائه و اثبات می شود ، زیرا بیانگر یکی از گزاره های اصلی و اساسی آن است.

قضیه پیتر-ویل. اجازه دهیدGیک گروه جمع و جور باشید. برای هر نمایندگی غیرقابل کاهش

{\ displaystyle (\ tau، V _ {\ tau})} از G اجازه دهید {\ displaystyle \ {e_ {1} ، \ ldots ، e _ {\ dim (\ tau)} \}}یک اساس orthonormal از{\ displaystyle V _ {\ tau}.}ضرایب ماتریس را تعریف می کنیم {\ displaystyle \ tau _ {k، l} (s) = \ langle \ tau (s) e_ {k}، e_ {l} \ rangle} برای {\ displaystyle k، l \ in \ {1، \ ldots، \ dim (\ tau) \}، s \ in G.}سپس ما در بر داشت زیر اساس orthonormal از{\ displaystyle L ^ {2} (G)}:

{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ dim (\ tau)}} \ tau _ {k، l} \ right) _ {k، l}}

ما می توانیم این قضیه را برای بدست آوردن یک تعمیم از سری فوریه برای توابع در گروههای جمع و جور تنظیم کنیم:

قضیه پیتر-ویل (نسخه دوم). [7] یک امر طبیعی وجود داردG \ بار G- ناهنجاری

{\ displaystyle L ^ {2} (G) \ Cong _ {G \ times G} {\ widehat {\ bigoplus}} _ {\ tau \ in {\ widehat {G}}} {\ text {End}} ( V _ {\ tau}) \ Cong _ {G \ times G} {\ widehat {\ bigoplus}} _ {\ tau \ in {\ widehat {G}}} \ tau \ otimes \ tau ^ {*}}

که در آن\ widehat {G} مجموعه ای از نمایشهای غیرقابل کاهش از است G تا یکسان سازی و{\ displaystyle V _ {\ tau}} فضای نمایش مربوط به است \ تاو به طور دقیق تر:

{\ displaystyle {\ start {cases} \ Phi \ mapsto \ sum _ {\ tau \ in {\ widehat {G}}} \ tau (\ Phi) \\ [5pt] \ tau (\ Phi) = \ int _ {G} \ Phi (t) \ tau (t) dt \ in {\ text {End}} (V _ {\ tau}) \ end {موارد}}}

تاریخچه [ ویرایش ]

ویژگی های کلی از تئوری نمایندگی از یک گروه متناهی G ، بیش از اعداد مختلط ، توسط کشف شد فردیناند گئورگ Frobenius در سال قبل از سال 1900. بعدها تئوری نمایندگی های مدولار از ریچارد Brauer توسعه داده شد.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups