گروه های ماتریکس [ ویرایش ]

گروه مهم بعدی گروه ها توسط گروه های ماتریسی یا گروه های خطی داده می شود . در اینجا G مجموعه ای متشکل از معکوس پذیر باشد ماتریس از داده سفارش N بیش از یک زمینه K است که تحت محصولات و وارون بسته است. چنین گروهی با تبدیل خطی بر روی فضای بردار n- بعدی K n عمل می کند . این عمل گروه های ماتریسی را از نظر مفهومی شبیه گروه های جایگشت می کند و ممکن است از هندسه این عمل برای ایجاد خصوصیات گروه G سودمند استفاده شود .

گروه های تحول [ ویرایش ]

گروه های جایگزینی و گروه های ماتریسی موارد خاصی از گروه های تحول هستند : گروه هایی که در فضای خاصی X عمل می کنند و ساختار ذاتی آن را حفظ می کنند. در مورد گروههای جایگشت ، X یک مجموعه است. برای گروه های ماتریسی ، X یک فضای بردار است . مفهوم یک گروه تحول با مفهوم یک گروه تقارن ارتباط نزدیکی دارد : گروه های تحول غالباً از همه تحولاتی تشکیل می شوند که ساختار خاصی را حفظ می کنند.

تئوری گروه های تحول پلی را به وجود می آورد که تئوری گروه را با هندسه دیفرانسیل متصل می کند . یک تحقیق طولانی ، که از Lie و Klein شروع می شود ، اقدامات گروهی در مورد منیفولدها را توسط هومومورفیسم یا دیفرومورفیسم در نظر می گیرد . این گروه ها ممکن است گسسته یا مستمر باشند .

گروه های انتزاعی [ ویرایش ]

بیشتر گروههایی که در مرحله اول توسعه نظریه گروهها مورد بررسی قرار گرفتند "بتن" بودند که از طریق اعداد ، جایگشتها یا ماتریس تحقق یافته اند. فقط در اواخر قرن نوزدهم بود که ایده یک گروه انتزاعی به عنوان مجموعه ای با عملکردهایی که سیستم خاصی از بدیهیات را راضی می کردند ، شروع به کار کرد. یک روش معمول برای تعیین یک گروه انتزاعی از طریق ارائه توسط تولید کنندگان و روابط است ،

G = \ langle S | R \ rangle.

منبع قابل توجهی از گروه های انتزاعی با ساخت یک گروه عاملی ، یا یک گروه ضریب ، G / H ، از یک گروه G توسط یک زیر گروه عادی H ارائه می شود . گروه های کلاس از زمینه های اعداد جبری از جمله نمونه های اولیه گروه های عاملی بودند که بسیار به تئوری اعداد علاقه مند بودند . اگر یک گروه G یک گروه جایگزینی روی یک مجموعه X باشد ، گروه فاکتور G / H دیگر بر روی X عمل نمی کند . اما ایده یک گروه انتزاعی به فرد اجازه می دهد تا نگران این اختلاف نباشد.

تغییر چشم انداز از گروههای ملموس به گروههای انتزاعی طبیعی است که در نظر گرفتن خصوصیات گروههایی که مستقل از یک تحقق خاص هستند ، یا به زبان مدرن تحت انحراف غیر متغیر است ، و همچنین طبقات گروههایی که دارای چنین خاصیتی هستند: گروههای محدود ، گروه دوره ، گروه های ساده ، گروه قابل حل ، و غیره. به جای کاوش در خواص یک گروه منفرد ، فرد به دنبال ایجاد نتایجی است که در کل گروه از گروه ها اعمال می شود. الگوی جدید از اهمیت فوق العاده ای برای توسعه ریاضیات برخوردار بود: این ایجاد جبر انتزاعی را در آثار هیلبرت ، امیل آرتین پیشگویی می کرد، امی نوتر و ریاضیدانان مدرسه آنها. [ نیاز به منبع ]

گروههایی با ساختار اضافی [ ویرایش ]

اگر G با ساختار اضافی ، به ویژه از یک فضای توپولوژیکی ، منیفولد قابل تغییر یا تنوع جبری ، برخوردار باشد ، شرح مفصلی از یک گروه رخ می دهد . اگر گروه عملیات m (ضرب) و i (وارونگی) را انجام دهد ،

m: G \ بار G \ به G ، (g ، h) \ mapsto gh ، \ quad i: G \ to G ، g \ mapsto g ^ {- 1} ،

با این ساختار سازگار هستند ، یعنی آنها نقشه های مداوم ، صاف یا منظم (به معنای هندسه جبری) هستند ، سپس G یک گروه توپولوژیک ، یک گروه دروغ یا یک گروه جبری است . [2]

وجود ساختار اضافی این نوع گروهها را با سایر رشته های ریاضی مرتبط می کند و به معنای در دسترس بودن ابزارهای بیشتر در مطالعه آنها است. گروه های توپولوژیک یک دامنه طبیعی برای تجزیه و تحلیل هارمونیک انتزاعی تشکیل می دهند ، در حالی که گروه های دروغ (که اغلب به عنوان گروه های تحول تحقق می یابند) پایه اصلی هندسه دیفرانسیل و تئوری بازنمایی واحد هستند . س questionsالات طبقه بندی خاصی که به طور کلی قابل حل نیستند ، برای زیر گروه های خاص گروه ها قابل دسترسی و حل هستند. بنابراین ، گروه های دروغ متراکم متصل کاملاً طبقه بندی شده اند. بین گروههای انتزاعی بی نهایت و گروههای توپولوژیکی رابطه مثبتی وجود دارد: هر زمان که یک گروه Γمی توان به عنوان یک شبکه در یک گروه توپولوژیکی G تحقق پیدا کرد ، هندسه و تجزیه و تحلیل مربوط به G نتایج مهمی در مورد Γ ارائه می دهد . روند نسبتا اخیر در تئوری گروه های محدود سوء استفاده ارتباط آنها با گروه های توپولوژیکی جمع و جور ( گروه profinite ): به عنوان مثال، یک ص adic ارزیابی گروه تحلیلی G دارای یک خانواده از خارج قسمت که محدود هستند ص -groups سفارشات مختلف، و خواص از G ترجمه می شود به خصوصیات ضرایب محدود آن.

شاخه های نظریه گروه [ ویرایش ]

نظریه گروه محدود [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه محدود

در طول قرن بیستم ، ریاضیدانان برخی از جنبه های نظریه گروههای متناهی را به ویژه تئوری محلی گروههای متناهی و نظریه گروههای قابل حل و توانا را مورد بررسی قرار دادند . [ نیازمند منبع ] در نتیجه ، طبقه بندی کامل گروههای ساده متناهی بدست آمد ، بدین معنی که اکنون همه آن گروههای ساده که می توان همه گروههای محدود را از آنها ساخت ، شناخته شده اند.

در طول نیمه دوم قرن بیستم ، ریاضیدانانی مانند شوالی و اشتاینبرگ همچنین درک ما از آنالوگهای محدود از گروههای کلاسیک و سایر گروههای مرتبط را افزایش دادند. یکی از این خانواده ها از گروه ها ، خانواده گروه های عمومی خطی بیش از زمینه های محدود است . گروههای محدود اغلب هنگام در نظر گرفتن تقارن اشیا ریاضی یا فیزیکی ، هنگامی که این اشیا just فقط تعداد محدودی از تحولات حفظ کننده ساختار را بپذیرند ، رخ می دهند . تئوری گروه های دروغ ، که ممکن است به عنوان برخورد با " تقارن مداوم " در نظر گرفته شود ، به شدت تحت تأثیر گروه های مرتبط ویل است. اینها گروههای محدودی هستند که توسط بازتاب ها ایجاد می شوند و در یک فضای اقلیدسی بعد محدود عمل می کنند . از این رو خواص گروههای محدود می تواند در موضوعاتی مانند فیزیک نظری و شیمی نقش داشته باشد.

نمایندگی گروه ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه بازنمایی

گفتن اینکه یک گروه G بر روی مجموعه X عمل می کند ، به این معنی است که هر عنصر از G به صورت سازگار با ساختار گروه ، یک نقشه ذهنی را روی مجموعه X تعریف می کند . وقتی X ساختار بیشتری دارد ، محدود کردن این مفهوم بیشتر مفید است: نمایش G در یک فضای بردار V یک همگونی گروهی است :

{\ displaystyle \ rho: G \ to \ operatorname {GL} (V) ،}

که در آن GL ( V ) متشکل از وارون تحولات خطی از V . به عبارت دیگر، به هر گروه عنصر گرم تخصیص داده شده است های automorphism ρ (g ) به صورتی که ρ ( g) ∘ ρ ( h ) = ρ ( GH ) برای هر h در G .

این تعریف را می توان از دو جهت درک کرد ، که هر دو زمینه های کاملاً جدیدی از ریاضیات را بوجود می آورند. [3] از یک طرف ، ممکن است اطلاعات جدیدی در مورد گروه G بدست آورد : غالباً ، عملکرد گروه در G بصورت انتزاعی داده می شود ، اما از طریق ρ ، با ضرب ماتریس ها مطابقت دارد که بسیار صریح است. [4] از طرف دیگر ، با توجه به گروهی کاملاً شناخته شده که روی یک شی پیچیده عمل می کنند ، این امر مطالعه شی object مورد نظر را ساده می کند. برای مثال، اگر G محدود است، آن است که شناخته شده است که V بالا تجزیه میشود قطعات غیر قابل تقلیل. این قطعات به نوبه خود بسیار راحت تر از کل V قابل کنترل هستند (از طریق لما Schur ).

با توجه به گروه G ، تئوری بازنمایی سپس می پرسد كه چه بازنمایی هایی از G وجود دارد. تنظیمات مختلفی وجود دارد و روشهای به کار رفته و نتایج بدست آمده در هر مورد نسبتاً متفاوت است: نظریه بازنمایی گروههای محدود و بازنمایی گروههای دروغ دو زیر دامنه اصلی نظریه هستند. کل نمایش ها توسط شخصیت های گروه اداره می شود . به عنوان مثال ، چند جمله های فوریه را می توان به عنوان شخصیت های U (1) ، گروه اعداد مختلط با مقدار مطلق 1 ، که بر L 2 عمل می کنند ، تفسیر کرد.فضای توابع تناوبی

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_theory