نظریه شخصیت [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه شخصیت

تعاریف [ ویرایش ]

شخصیت از نمایندگی{\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)} به عنوان نقشه تعریف می شود

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho}: G \ to \ mathbb {C} ، \ chi _ {\ rho} (s): = {\ text {Tr}} (\ rho (s)) ،} که در آن {\ displaystyle {\ text {Tr}} (\ rho (s))}ردیابی نقشه خطی را نشان می دهد{\ displaystyle \ rho (ها)}[4]

همانطور که این شخصیت یک نقشه بین دو گروه است ، اما به طور کلی یک همگونی گروهی نیست ، همانطور که مثال زیر نشان می دهد.

اجازه دهید 

{\ displaystyle \ rho: \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ به {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C })} نمایندگی تعریف شده توسط:

{\ displaystyle \ rho (0،0) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (1،0) = {\ start {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (0،1) = {\ start {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho (1،1) = {\ start {pmatrix } 0 & -1 \\ - 1 و 0 \ end {pmatrix}}.}

شخصیت {\ displaystyle \ chi _ {\ rho}} از رابطه زیر بدست می آید

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (0،0) = 2 ، \ quad \ chi _ {\ rho} (1،0) = - 2 ، \ quad \ chi _ {\ rho} (0،1) = \ chi _ {\ rho} (1،1) = 0.}

شخصیت های نمایش های جایگزینی به راحتی قابل محاسبه هستند. اگر V است که G -representation مربوط به عمل چپG روی یک مجموعه محدود ایکس، سپس

{\ displaystyle \ chi _ {V} (s) = | \ {x \ in X | s \ cdot x = x \} |.}

به عنوان مثال ، [5] شخصیت نمایش منظم R از رابطه زیر بدست می آید

{\ displaystyle \ chi _ {R} (s) = {\ begin {موارد} 0 & s \ neq e \\ | G | & s = e \ پایان {موارد}} ،}

جایی کهه نشان دهنده عنصر خنثی از است ج

خصوصیات [ ویرایش ]

ویژگی مهم شخصیت ها فرمول است

{\ displaystyle \ chi (tst ^ {- 1}) = \ chi (s) ، \ ، \ ، \ forall \ ، s ، t \ in G.}

این فرمول از این واقعیت ناشی می شود که رد یک محصول AB از دو ماتریس مربع همان ردیف BA است . کارکرد{\ displaystyle G \ به \ mathbb {C}}ارضای چنین فرمولی توابع کلاس نامیده می شود . به عبارت دیگر ، توابع کلاس و به ویژه کاراکترها در هر کلاس مصداق ثابت هستند {\ displaystyle C_ {s} = \ {tst ^ {- 1} | t \ in G \}.} همچنین از خصوصیات اولیه ردیابی به دست می آید که {\ displaystyle \ chi (ها)}مجموع مقادیر ویژه از است{\ displaystyle \ rho (s)}با کثرت اگر درجه نمایش n باشد ، جمع آن n طولانی است. اگر بازدید کنندگان است سفارش متر ، این مقادیر ویژه همه متر هفتم ریشه وحدت . از این واقعیت می توان برای نشان دادن آن استفاده کرد{\ displaystyle \ chi (s ^ {- 1}) = {\ overline {\ chi (s)}} ، \ ، \ ، \ ، \ forall \ ، s \ in G} و همچنین دلالت دارد {\ displaystyle | \ chi (ها) | \ leqslant n.}

از آنجا که رد ماتریس هویت تعداد ردیف ها است ،{\ displaystyle \ chi (e) = n ،} جایی که ه عنصر خنثی است Gو n بعد نمایش است. به طور کلی ،{\ displaystyle \ {s \ in G | \ chi (s) = n \}}یک زیر گروه طبیعی در استج جدول زیر نحوه کاراکترها را نشان می دهد {\ displaystyle \ chi _ {1} ، \ ch _ {2}} از دو نمایش داده شده {\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1}) ، \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {2}) } شخصیت هایی را از نمایش های مرتبط ایجاد کنید.

شخصیت های چندین ساختار استاندارد
نمایندگیشخصیت
نمایندگی دوتایی {\ displaystyle V_ {1} ^ {*}}{\ displaystyle V_ {1} ^ {*}}{\ displaystyle \ chi _ {1} ^ {*} = {\ overline {\ chi _ {1}}}.}
جمع مستقیم{\ displaystyle V_ {1} \ oplus V_ {2}}{\ displaystyle \ chi _ {1} + \ chi _ {2}.}
محصول تنسور نمایش ها {\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}

{\ displaystyle \ chi _ {1} \ chi _ {2}.}

مربع متقارن {\ displaystyle Sym ^ {2} (V)}{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ chi (s) ^ {2} + \ chi (s ^ {2}) \ right)}
مربع متناوب {\ displaystyle \ bigwedge ^ {2} V}{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ chi (s) ^ {2} - \ chi (s ^ {2}) \ right)}

با ساخت ، یک تجزیه مستقیم از مقدار وجود دارد{\ displaystyle V \ otimes V = Sym ^ {2} (V) \ oplus \ bigwedge ^ {2} V}. در نویسه ها ، این مربوط به این واقعیت است که مجموع دو عبارت آخر جدول است{\ displaystyle \ chi (s) ^ {2}}، شخصیت V \ otimes V.

 

منبع 

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups