اتصال گروهها و تقارن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه تقارن

با توجه به یک ساختار X از هر نوع ، تقارن نگاشت شی object بر روی خود است که ساختار را حفظ می کند. به عنوان مثال این در بسیاری از موارد رخ می دهد

  1. اگر X مجموعه ای بدون ساختار اضافی باشد ، تقارن یک نقشه ذهنی از مجموعه به خود است که باعث ایجاد گروه های جایگشت می شود .
  2. اگر شی X مجموعه ای از نقاط در هواپیما با آن است متریک ساختار یا هر نوع دیگر فضای متریک ، یک تقارن است پوشا و یکبهیک از مجموعه را به خود که حفظ فاصله بین هر جفت از نقاط (یک همسان ). گروه مربوطه است که به نام گروه همسان از X .
  3. اگر در عوض زوایا حفظ شوند ، از نقشه های مطابق صحبت می شود . به عنوان مثال ، نقشه های سازگار باعث ایجاد گروه های کلینی می شود .
  4. تقارن ها محدود به اشیا ge هندسی نیستند ، بلکه شامل اشیای جبری نیز هستند. به عنوان مثال ، معادلهx ^ {2} -3 = 0 دو راه حل دارد {\ sqrt {3}} و - {\ sqrt {3}}. در این حالت ، گروهی که دو ریشه را مبادله می کند ، گروه Galois متعلق به معادله است. هر معادله چند جمله ای در یک متغیر دارای یک گروه Galois است ، که یک گروه جایگزینی خاص در ریشه های آن است.

بدیهیات یک گروه جنبه های اساسی تقارن را رسمی می کند . تقارن ها گروهی را تشکیل می دهند: بسته هستند زیرا اگر تقارن یک جسم را بگیرید و سپس تقارن دیگری را اعمال کنید ، نتیجه همچنان تقارن خواهد بود. هویت ثابت نگه داشتن شی همیشه تقارن یک شی است. وجود معکوس با لغو تقارن تضمین می شود و تداعی از این واقعیت ناشی می شود که تقارن ها توابع یک فضا هستند و ترکیب توابع تداعی کننده است.

قضیه فروخت می گوید که هر گروه گروه تقارن برخی از نمودارها است . بنابراین هر گروه انتزاعی در واقع تقارن برخی از اشیا exp صریح است.

جمله "حفظ ساختار" یک شی object را می توان با کار در یک رده دقیق کرد . نقشه حفظ ساختار هستند سپس morphisms ، و گروه تقارن است گروه automorphism از جسم در سوال.

کاربردهای نظریه گروه [ ویرایش ]

کاربردهای نظریه گروه بسیار است. تقریباً همه ساختارها در جبر انتزاعی موارد خاصی از گروه ها هستند. به عنوان مثال ، حلقه ها را می توان به عنوان گروه های آبلیان (متناظر با جمع) همراه با یک عمل دوم (مربوط به ضرب) مشاهده کرد. بنابراین ، استدلال های نظری گروهی زمینه های عمده تئوری آن موجودات را تشکیل می دهند.

نظریه گالوا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گالوا

تئوری گالوا از گروه ها برای توصیف تقارن ریشه های چند جمله ای (یا دقیق تر شکل گیری های جبری تولید شده توسط این ریشه ها) استفاده می کند. قضیه اساسی تئوری Galois ارتباط بین فراهم می کند پسوند درست جبری و نظریه گروه. این یک معیار موثر برای حل معادلات چند جمله ای از نظر حل گروه Galois مربوطه ارائه می دهد . به عنوان مثال ، S 5 ، گروه متقارن در 5 عنصر ، قابل حل نیست که نشان می دهد معادله کوینتیک عمومیبا استفاده از رادیکالها نمی توان معادلات درجه پایین را حل کرد. این تئوری ، که یکی از ریشه های تاریخی نظریه گروه است ، هنوز هم به طور مثمر ثمر اعمال می شود تا نتایج جدیدی را در زمینه هایی مانند نظریه میدانی طبقاتی بدست آورد .

توپولوژی جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توپولوژی جبری

توپولوژی جبری دامنه دیگری که برجسته است مرتبط گروه به اشیاء نظریه علاقه مند است. وجود دارد، گروه ها برای توصیف ویژگیهای خاصی از استفاده فضاهای توپولوژیک . به آنها "تغییر ناپذیر" گفته می شود زیرا به گونه ای تعریف شده اند که در صورت تحت تأثیر قرار گرفتن فضا در تغییر شکل ، تغییر نمی کنند . به عنوان مثال ، گروه بنیادی "شمارش" می کند که چند مسیر در فضا متفاوت هستند. حدس پوانکره ، در 2002/2003 توسط ثابت گریگوری پرلمان ، یک برنامه برجسته این ایده است. اگرچه تأثیر یک طرفه نیست. به عنوان مثال ، توپولوژی جبری از فضاهای Eilenberg-MacLane استفاده می کندکه فضاهایی با گروههای تجویز شده هوموتوپی هستند . به همین ترتیب نظریه K جبری به نوعی به طبقه بندی فضاهای گروه ها متکی است . سرانجام ، نام زیر گروه پیچش یک گروه بی نهایت میراث توپولوژی را در تئوری گروه نشان می دهد.

یک توروس ساختار گروه آبلیایی آن از نقشه C → C / ( Z + τ Z ) القا می شود ، جایی که τ یک پارامتر است که در نیمه صفحه بالا زندگی می کند .

هندسه جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هندسه جبری

هندسه جبری نیز از بسیاری جهات از تئوری گروه استفاده می کند. انواع آبلیان در بالا معرفی شده است. حضور عملیات گروهی اطلاعات اضافی به دست می آورد که این گونه ها را به ویژه در دسترس قرار می دهد. آنها همچنین اغلب به عنوان آزمایشی برای حدس های جدید عمل می کنند. [9] مورد یک بعدی ، یعنی منحنی های بیضوی با جزئیات خاص مورد مطالعه قرار می گیرد. هر دو از نظر تئوری و عملی جذاب هستند. [10] در جهت دیگر ، انواع تورک انواع جبری هستند که توسط یک توروس عمل می کنند . تعبیه های توروئیدی اخیراً به پیشرفت هایی در هندسه جبری ، به ویژه منجر شده استرزولوشن تکین