نظریه دروغ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه لی

گروه دروغ است گروه است که همچنین یک چند تا فرق ، با ملکی که عملیات گروه سازگار با هستند ساختار صاف . گروه های دروغ به نام سوفوس دروغ نامگذاری شده اند ، که پایه های تئوری گروه های تحول مداوم را بنا نهاد . اصطلاح groupes de Lie برای اولین بار در سال 1893 در فرانسوی در پایان نامه دانشجو دروغ آرتور ترسه ، صفحه 3 ظاهر شد. [5]

گروه های دروغ ارائه تئوری بهترین توسعه یافته تقارن مداوم از اشیاء ریاضی و ساختارهای ، که آنها را به ابزار ضروری برای بسیاری از ریاضیات معاصر قطعات، و همچنین برای مدرن فیزیک نظری . آنها چارچوبی طبیعی برای تجزیه و تحلیل تقارنهای مداوم معادلات دیفرانسیل ( نظریه گالوسی دیفرانسیل ) ، تقریباً به همان روشی که گروههای جایگشت در تئوری گالوا برای تجزیه و تحلیل تقارنهای گسسته معادلات جبری استفاده می شود ، فراهم می کنند. گسترش تئوری گالوا به مورد گروه های تقارن مداوم یکی از انگیزه های اصلی دروغ بود.

نظریه گروه ترکیبی و هندسی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گروه هندسی

گروهها را می توان به روشهای مختلف توصیف کرد. گروه های متناهی را می توان با نوشتن جدول گروه متشکل از تمام ضرب های ممکن g • h توصیف کرد . یک روش فشرده تر برای تعریف یک گروه از طریق مولدها و روابط است که به آن ارائه یک گروه نیز گفته می شود. با توجه به هر مجموعه F ژنراتور{\ displaystyle \ {g_ {i} \} _ {i \ in I}}، گروه آزاد ایجاد شده توسط F بر روی گروه G حدس می زند . هسته این نقشه زیر گروه روابط نامیده می شود که توسط برخی از زیر مجموعه های D ایجاد می شود . ارائه معمولاً با نشان داده می شود{\ displaystyle \ langle F \ mid D \ rangle.} به عنوان مثال ، ارائه گروه {\ displaystyle \ langle a، b \ mid aba ^ {- 1} b ^ {- 1} \ rangle} گروهی را توصیف می کند که غیر همسان است{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}.}به یک رشته متشکل از نمادهای ژنراتور و معکوس آنها یک کلمه گفته می شود .

نظریه گروه ترکیبی گروه ها را از منظر مولدها و روابط بررسی می کند. [6] به ویژه در مواردی که مفروضات ظرافت راضی باشند ، مثلاً برای گروه های کاملاً تولید شده یا گروههایی که به طور محدود ارائه می شوند ، بسیار مفید است (یعنی علاوه بر این روابط محدود هستند). این ناحیه از اتصال نمودارها از طریق گروههای بنیادی آنها استفاده می کند . به عنوان مثال ، می توان نشان داد که هر زیر گروه از یک گروه رایگان رایگان است.

چندین سوال طبیعی وجود دارد که از ارائه یک گروه با ارائه آن ناشی می شود. مشکل کلمه می پرسد که آیا دو واژه به طور موثر عنصر همان گروه. با ربط دادن مسئله به ماشین های تورینگ ، می توان نشان داد که به طور کلی هیچ الگوریتمی برای حل این وظیفه وجود ندارد. مسئله دیگر ، به طور کلی سخت تر ، غیرقابل حل از نظر الگوریتمی ، مسئله انحراف گروه است ، که می پرسد آیا دو گروه ارائه شده توسط ارائه های مختلف ، واقعاً نامتقارن هستند؟ به عنوان مثال ، گروه با ارائه{\ displaystyle \ langle x، y \ mid xyxyx = e \ rangle،}برای گروه افزودنی Z از اعداد صحیح یکسان نیست ، اگرچه ممکن است این موضوع فوراً مشخص نشود. [7]

نمودار Cayley از 〈x ، y ∣〉 ، گروه آزاد رتبه 2.

نظریه گروه هندسی از طریق هندسی ، یا با مشاهده گروه ها به عنوان اشیا objects هندسی ، یا با یافتن اشیا ge هندسی مناسب که گروه بر اساس آنها عمل می کنند ، به این مشکلات حمله می کند. [8] ایده اول با استفاده از نمودار Cayley که رئوس آن با عناصر گروه و لبه ها با ضرب صحیح در گروه مطابقت دارد دقیق ساخته شده است . با توجه به دو عنصر ، یکی کلمه متریک را با طول حداقل مسیر بین عناصر ایجاد می کند. قضیه از Milnor 'ثانیه و سواریچ سپس می گوید که با توجه به گروه G که رفتار معقول در فضای متریک X ، به عنوان مثال چند برابر جمع و جور ، و سپس G استشبه ایزومتریک (یعنی به نظر می رسد مشابه از راه دور) به فضا X .