ادامه نظریه بازنمایی گروههای متناهی (4)

نقشه ها بین نمایندگی ها [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: نقشه تساوی و تئوری نمایش § نقشه های برابر و ایزوفرمیسم

نقشه ای بین دو نمایش ${\ displaystyle (\ rho، V _ {\ rho}) ، \، (\ tau، V _ {\ tau})}$ از همان گروه $G$ یک نقشه خطی است ${\ displaystyle T: V _ {\ rho} \ به V _ {\ tau} ،}$ با خاصیتی که ${\ displaystyle \ tau (s) \ circ T = T \ circ \ rho (s)}$ برای همه نگه داشته می شود ${\ displaystyle s \ in G.}$ به عبارت دیگر ، نمودار زیر برای همه جابجا می شود $آواز خواندن$ :

به چنین نقشه ای نیز گفته می شود $G$ - خطی یا نقشه معادل . هسته از تصویر و cokernel از $تی$ به طور پیش فرض تعریف می شوند. ترکیب نقشه های معادل دوباره یک نقشه معادل است. است وجود دارد دسته از نمایندگی با نقشه equivariant عنوان آن morphisms . آنها دوباره هستند $G$ –مدول ها. بنابراین ، آنها نمایندگی هایی از $G$ به دلیل همبستگی توصیف شده در بخش قبلی.

نمایش های غیرقابل تقلیل و لمام Schur [ ویرایش ]

مقاله اصلی: لما Schur

اجازه دهید ${\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)}$ نمایش خطی از $ج$ اجازه دهید $دبلیو$ بودن $G$ -خیر فضایی متغیر از $V ،$ به این معنا که، ${\ displaystyle \ rho (ها) W در W}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G}$ و ${\ displaystyle w \ in W}$ . محدودیت ${\ displaystyle \ rho (s) | _ {W}}$ یک انحراف از است $دبلیو$ به خودش زیرا ${\ displaystyle \ rho (s) | _ {W} \ circ \ rho (t) | _ {W} = \ rho (st) | _ {W}}$ برای همه نگه داشته می شود ${\ displaystyle s ، t \ in G ،}$ این ساخت و ساز نمایندگی از است $G$ که در $دبلیو$ به آن بازنمایی از $پنجم$ هر نمایندگی V حداقل دارای دو نمایندگی فرعی است ، یعنی نماینده ای که فقط از 0 تشکیل شده است ، و نماینده ای که از خود V تشکیل شده است. نمایندگی را نمایندگی غیرقابل تقلیل می نامند ، در صورتی که این دو تنها بازنمودهای فرعی باشند. بعضی از نویسندگان این نمایش ها را ساده می نامند ، با توجه به اینکه آنها دقیقاً ماژول های ساده جبر گروهی هستند ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ .

لما Schur محدودیت شدیدی روی نقشه ها بین نمایش های غیرقابل تقلیل قرار می دهد. اگر ${\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {1})}$ و ${\ displaystyle \ rho _ {2}: G \ to {\ text {GL}} (V_ {2})}$ هر دو غیرقابل کاهش هستند ، و ${\ displaystyle F: V_ {1} \ به V_ {2}}$ یک نقشه خطی است به طوری که ${\ displaystyle \ rho _ {2} (ها) \ circ F = F \ circ \ rho _ {1} (ها)}$ برای همه ${\ displaystyle s \ in G.}$ ، دوگانگی زیر وجود دارد:

اگر ${\ displaystyle V_ {1} = V_ {2}}$ و ${\ displaystyle \ rho _ {1} = \ rho _ {2} ،}$ $F$ یک همدلی است (یعنی ${\ displaystyle F = \ lambda {\ text {Id}}}$ برای یک ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ) به طور کلی ، اگر $\ rho _ {1}$ و $\ rho _ {2}$ یکدست هستند ، فضای نقشه های G- خطی یک بعدی است.
در غیر این صورت ، اگر این دو نمایش غیر همسان نباشند ، F باید 0 باشد.