مثالها [ ویرایش ]

نمایش پیش پا افتاده توسط{\ displaystyle \ rho (s) = {\ text {Id}}} برای همه {\ displaystyle s \ in G.}

نمایندگی درجه 1 از یک گروه Gیک همسان بودن در گروه ضرب است 

{\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} _ {1} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} ^ {\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \ }.} همانطور که هر عنصر از G از نظم محدود است ، مقادیر {\ displaystyle \ rho (s)}هستند ریشه های وحدت . به عنوان مثال ، اجازه دهید

{\ displaystyle \ rho: G = \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z} \ به \ mathbb {C} ^ {\ times}}یک نمایش خطی غیرانتفاعی باشد. از آنجا که\ rho  یک همگونی گروهی است ، باید ارضا کند {\ displaystyle \ rho ({0}) = 1.} زیرا 1 تولید می کند {\ displaystyle G ، \ rho} با توجه به مقدار آن تعیین می شود {\ displaystyle \ rho (1).} و به عنوان \ rho  غیر پیشگویی است ، {\ displaystyle \ rho ({1}) \ in \ {i، -1، -i \}.} بنابراین ، ما به نتیجه ای می رسیم که تصویر آن G زیر \ rho باید یک زیر گروه غیر پیشگویی از گروه باشد که از ریشه های چهارم وحدت تشکیل شده است. به عبارت دیگر،\ rho  باید یکی از سه نقشه زیر باشد:

{\ displaystyle {\ begin {موارد} \ rho _ {1} ({0}) = 1 \\\ rho _ {1} ({1}) = من \\\ rho _ {1} ({2}) = -1 \\\ rho _ {1} ({3}) = - i \ end {موارد}} \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {2} ({0}) = 1 \\\ rho _ {2} ({1}) = - 1 \\\ rho _ {2} ({2}) = 1 \\\ rho _ {2} ({3}) = - 1 \ پایان {موارد}} \ qquad {\ start {موارد} \ rho _ {3} ({0}) = 1 \\\ rho _ {3} ({1}) = - من \\\ rho _ {3} ({2}) = -1 \\\ rho _ {3} ({3}) = من \ موارد را پایان می دهم}}

اجازه دهید 

{\ displaystyle G = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}} و اجازه دهید 

{\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} _ {2} (\ mathbb {C})} همگونی گروهی باشد که توسط:

{\ displaystyle \ rho ({0} ، {0}) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho ({1} ، {0}) = {\ start { pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho ({0} ، {1}) = {\ start {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ، \ quad \ rho ({1} ، {1}) = {\ start {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

در این مورد \ rho  نمایش خطی از است G درجه {\ displaystyle 2.}

نمایندگی جایگزینی [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: گروه جایگزینی

اجازه دهید ایکس یک مجموعه محدود باشد و اجازه دهید G یک گروه عمل می کنند ایکس. نشان دادن توسط {\ displaystyle {\ text {Aut}} (X)} گروه همه جایگشت های فعال شده ایکس با ترکیب به عنوان ضرب گروهی.

گروهی که بر روی مجموعه ای محدود عمل می کنند ، گاهی اوقات برای تعریف نمایش جایگشت کافی شناخته می شوند. با این حال ، از آنجایی که ما می خواهیم نمونه هایی را برای نمایش های خطی بسازیم - جایی که گروه ها به جای مجموعه های متناهی دلخواه بر روی فضاهای برداری عمل می کنند - ما باید به روش دیگری پیش برویم. برای ساخت نمایش جایگشت ، به یک فضای بردار نیاز داریمV با {\ displaystyle \ dim (V) = | X |.} پایه ای از V می توان توسط عناصرایکس. نمایش جایگشت یکسان سازی گروهی است {\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V)} داده شده توسط {\ displaystyle \ rho (s) e_ {x} = e_ {sx}} برای همه {\ displaystyle s \ in G ، x \ in X.} تمام نقشه های خطی {\ displaystyle \ rho (s)} توسط این ویژگی منحصر به فرد تعریف می شوند.

مثال. اجازه دهیدX = \ {1،2،3 \} و {\ displaystyle G = {\ text {Sym}} (3).} سپس G عمل می کندایکس از طریق {\ displaystyle {\ text {Aut}} (X) = G.} نمایش خطی مرتبط است {\ displaystyle \ rho: G \ to {\ text {GL}} (V) \ Cong {\ text {GL}} _ {3} (\ mathbb {C})} با {\ displaystyle \ rho (\ sigma) e_ {x} = e _ {\ sigma (x)}} برای {\ displaystyle \ sigma \ در G ، x \ در X.}

منبع 

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_finite_groups