ریاضیات

مسائل آنالیز حقیقی(1)

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و سوم آذر ۱۳۹۹ | 17:30

HOMEWORK 3 SOLUTIONS
MATH 5051, FALL 2018
Exercise 1 (Folland, Exercise 1.8). If (X, M, µ) is a measure space and
M, then µ (liminf Ej) ≤ liminf µ (Ej). Also, µ (limsupEj) ≥ limsupµ (Ej) provided that.
Proof. Let              , so that. Since F1 ⊂ F2 ⊂ ···,
Continuity from below implies that
.
Finally, since Fj ⊂ Ek for all k ≥ j, it follows that),
And thus), which completes the proof of the first inequality.
      Similarly, let             , so that. Since G1 ⊃
G2 ⊃ ··· and µ(G1) ∞, continuity from above implies that
.
Finally, since Gj ⊃ Ek for all k ≥ j, it follows that), and thus), which completes the proof of the second inequality.
Exercise 2 (Folland, Exercise 1.13). Every σ-finite measure is semi finite.
Proof. If µ is an σ-finite measure on (X, M), then, where Ej ∈ M and µ (Ej) ∞. Now, suppose that µ (E) = ∞. Since
∞
E = E ∩ X = [ E ∩ Ej,
j=1
It follows that, which implies that 0 (E ∩Ej) ∞ for infinitely many j. Hence, F = E ∩ Ej satisfies F ∈ M, F ⊂ E, and
0 (F) ∞, and thus µ is semi finite.
Exercise 3 (Folland, Exercise 1.14). If µ is a semi finite measure and µ (E) = ∞, for any C > 0 there exists F ⊂ E with C (F) ∞.
Proof. Suppose not, and let M be the supremum of µ (F) as F ranges over measurable subsets of E with 0 (F) ∞. First, we claim that there exists a set F attaining the maximum µ (F) = M. Since M is a supremum,
there exists a nested sequence of sets F1 ⊂ F2 ⊂ ··· satisfying µ(Fj) > M − 1j for all j ∈ N. Taking the countable unionM and applying continuity from below, we get µ(F) = limµ(Fj) = M. However, since µ (E \ F) = ∞, there must also exist some G ⊂ E \ F with 0 (G) ∞. But then the disjoint union F ∪ G ⊂ E has µ (F ∪ G) = µ (F) + µ (G) > M, which contradicts the assumption that M was an upper bound.

مسائل آنالیز حقیقی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و سوم آذر ۱۳۹۹ | 13:56

Chapter 1.

Problem 3. Let M be an infinite σ-algebra. (a) M contains an infinite sequence of disjoint sets. (b) card(M) ≥ 2ℵ0.

Proof. Let S := {collections of disjoint sets in M}. S is nonempty since ∅ ∈ S. Partially order § by inclusion. It is clear that S has a maximal element by Zorn’s Lemma. To see this, note that if {Ai}i∈I is a totally ordered subset of S, then the union of these collections consists of disjoint sets, as any hypothetical overlap between any two sets must take place in some collection which contains both of these sets. This union serves as an upper bound of {Ai}. Let S ∈ S be a maximal element of S. Them M contains 2min{|S|,ℵ0} distinct elements by the definition of σ-algebra, as we may union any countable collection in S to receive a new element of S. So if we prove that |S| is not finite, we prove both (a) and (b).

If S is finite, 2S is also finite, so there is an element of M ∈ M not contained by unioning any elements of S. Hence at least one of M \ (SE∈S E) or SE∈S E \ M is nonempty - call a nonempty one M0. Then S0 := {M0} ∪ S is a larger collection of disjoint sets in M than S, which contradicts the maximality of S in S. This completes the proof.

Problem 8. If (X,M,µ) is a measure space and , then µ(liminf Ej) ≤ liminf µ(Ej). Also, µ(limsupEj) ≥ limsupµ(Ej) provided that.

Proof. We have, so taking the limit as n → ∞ and using continuity from below, we get). The second statement is a similar proof using continuity from above, which is valid by hypothesis.

Problem 16. Let (X,M,µ) be a measure space. A set E ⊂ X is locally measurable if

E ∩ A ∈ M for all A ∈ M such that µ(A) < ∞. Let M˜ be the collection of all locally measurable sets. If M = M˜ , µ is called saturated.

If µ is σ-finite, µ is saturated. b M˜ is a σ-algebra.

c Define µ˜ on M˜ by µ˜(E) = µ(E) if E ∈ M and µ˜(E) = ∞ otherwise. Then µ˜ is a saturated measure on M˜ . d If µ is complete, so is µ˜.

Proof. We note that any element of M is in M˜ by the definition of σ-algebra. (a) If E ∈ M˜ are the sets that make µ σ-finite, then E ∩ Ai ∈ M for all i by definition. Yet by definition of σ-algebra.

We have already established that M˜ is nonempty. If , then (

, so for A ∈ M with µ(A) < ∞. If E ∈ M˜ , then since E ∩ A ∈ M for A as before, we have that Ec ∩ A = A \ E = A \ (A ∩ E) ∈ M.

The only thing to check is that countable additivity holds when at least one of thesets is in M \ M˜ . We must check then that, if there exist such that , then . Assuming that the measure of this set is finite actually yields a quick contradiction, for then for all i by definition of locally measurable. This completes the proof.

Any null sets of ˜µ belong to M since those in M\M˜ are of infinite measure. These sets are clearly locally measurable since, if E is a null set, then E ∩ A is a subset of that null set for any A satisfying the properties listed in (b) and hence is in M.

Problem 18. Let A ⊂ P(X) be an algebra. Let µ0 be a premeasure on A and µ∗ the induced outer measure. (a) For any E ⊂ X and ε > 0 there exists A ∈ Aσ with E ⊂ A and µ∗(A) ≤ µ∗(E) + ε. (b) If µ∗(E) < ∞, then E is µ∗-measurable iff there exists B ∈ Aσδ with E ⊂ B and µ∗(B \ E) = 0. (c) If µ0 is σ-finite, the restriction µ∗(E) < ∞ in (b) is superfluous.

Proof. (a) This comes directly from the definition of µ∗, the definition of premeasure, and

P1.13. Fixing such that and

µ∗(SAj) ≤ µ∗(E) + ε.

We may take , let n → ∞, and take the intersection of the sets An that (a) allows for each εn. Note then that and for all n and hence µ∗(E) = µ∗(A) where .

(⇒) comes quickly, as µ∗(A) = µ∗(A∩E)+µ∗(A\E) ⇒ µ∗(A) = µ∗(E)+µ∗(A\E) ⇒ µ∗(A \ E) = 0 by the finiteness of the outer measure on E.

(⇐) benefits from P1.13 since A is itself µ∗-measurable. Note that we may write, for arbitrary B ⊂ X, µ∗(B \E) ≤ µ∗(B \A)+µ∗(A\E) = µ∗(B \A), and this yields equality since B \ A ⊂ B \ E, whence

µ∗(B) = µ∗(A ∩ B) + µ∗(B \ A)

≥ µ∗(A ∩ B ∩ E) + µ∗(B \ E) = µ∗(E ∩ B) + µ∗(B \ E).

Since ≤ is guaranteed by definition of outer measure, this completes the proof.

(⇒) is the only part necessary to reprove. Let be the sets that allow X to be σ-finite. Then E ∩ Fi is µ∗-measurable for any i, again by Caratheodory and P1.13, so by (a) there exist sets such that the outer measure on those sets is ≤ µ∗(E ∩ Fi) + ε2−i+j. We may intersect each Bij with Fi without harming the enterprise. Hence B := Tj Ti Bij, when intersected with each Fi, consists merely of . We have then that µ∗(Bi \ (E ∩ Fi)) = 0 for each i, and since these are elements of the σ-algebra by Caratheodory on the measure that T1.14 generates, we have that µ∗(B \ E) = Pµ∗(Bi \ (E ∩ Fi)) = 0.

Problem 19. Let µ∗ be an outer measure on X induced from a finite premeasure µ0. If E ⊂ X, define the inner measure of E to be µ∗(E) = µ0(X) = µ∗(Ec). Then E is

µ∗-measurable iff µ∗(E) = µ∗(E).

Proof. (⇒) comes quickly, since µ∗(X) = µ∗(E)+µ∗(Ec) by hypothesis, leading to µ∗(E)+ µ∗(Ec) = µ∗(E) + µ∗(Ec) ⇒ µ∗(E) = µ∗(E) where the fact that µ0 and hence µ∗ is used twice. (⇐) We may construct a set B as in (a) and (b) such that E ⊂ B, µ∗(B) = µ∗(E), and B is µ∗-measurable. The same is true for Ec: we may construct a set C such that Ec ⊂ C, µ∗(C) = µ∗(Ec), and C is µ∗-measurable. Hence if µ is the measure generated from µ∗ by T1.14, we get that µ0(X) = µ∗(E)+µ∗(Ec) ⇒ µ(X) = µ(B)+µ(C) = µ(B∪C). Hence µ(B ∩ C) = 0 (Ex 9), and µ(B ∩ Ec) ⊂ µ(B ∩ C) = 0 as well. This is a measurable set since the measure is complete, so µ∗(B \ E) = 0 as well.

Problem 29. Let E ∈ L. (a) If E ⊂ N where N is the nonmeasurable set described in §1.1, then m(E) = 0. (b) If m(E) > 0, then E contains a nonmeasurable set.

Proof. (a) If we show m(E ∩ [n,n + 1)) > 0 for some n ∈ N, the proof is complete, so let n = 0. Then as in §1.1 we may define Er := {x + r : x ∈ E ∩ [0,1 − r)} ∪ {x + r − 1 : x ∈ E ∩ [1 − r,1)}. By translation-invariance of m, m(E) = m(Er) for any r ∈ [0,1), and since E ⊂ N these Er are disjoint. Finally, as in §1.1, Pr∈Q∩[0,1) m(E) = m(Sr∈Q∩[0,1) Er) = Pr∈Q∩[0,1) m(Er) ≤ m([0,1)) = 1. This implies that m(E) = 0.

(b) Define Nr as in §1.1. Noting that E = Sr∈Q∩[0,1) E ∩Nr where Nr is defined using the N from §1.1, we have that E ∩ Nr ⊂ Nr, a non-measurable set for each r ∈ Q ∩ [0,1). Assuming that E∩N is measurable by a translation-invariant measure such that m([0,1)) = 1, we can use the uniqueness part of T1.14 and the completeness part of Caratheodory to show that this set must be Lebesgue measurable if we can are able to show that these three conditions generate the premeasure where

This clearly must be true for any rational values; for instance, we must have it be the case that . Since we can approximate any irrational number r > 0 by an increasing sequence of positive rationals - say with a0 = 0 - then .

Hence the set is Lebesgue measurable, and the measure of E ∩N - and the measure of E ∩ Nr for each r ∈ Q ∩ [0,1) - is 0 by (a). (This hint comes from stackexchange user Eric Thoma.) But this contradicts the fact that m(E) > 0 by the definition of measure.

Problem 30. If E ∈ L, m(E) > 0, for any α < 1 there is an open interval I such that m(E ∩ I) > αm(I).

Proof. (Hint provided by Stein and Shakarchi.) It is clear that any interval will do the job if α ≤ 0, so assume 0 < α < 1. By T1.18 we may approximate E by an open set U such that m(U) < m(E) + ε where

Now U is a disjoint union of open intervals , so if ∃0 < α < 1 such that m(E ∩ I) ≤ αm(I) for any interval I, then ), a contradiction.

Problem 31. If E ∈ L and m(E) > 0, the set E − E = {x − y : x,y ∈ E} contains an interval centered at 0.

Proof. This is equivalent to saying that there exists an ε > 0 such that for all 0 < t < ε ∃x,y ∈ E such that x = y + t. If this is not true, then for any ε > 0 ∃0 < t < ε such that ∀x,y ∈ E y − x 6= t. Let and use Problem 30 to find an open interval such that m(E ∩ I) > αm(I). Fix and a t as delineated above. Then E and E + t must be disjoint sets. But then ) since at least

remains in I after translation by t. This value is > m(I) by construction

of I, a contradiction.

Problem 33. There exists a Borel set A ⊂ [0,1] such that 0 < m(A ∩ I) < m(I) for every subinterval I of [0,1].

Proof. Construct the set in the following way:

E1 is the fat Cantor set with Lebesgue measure of .

is the fat Cantor set in the intervals removed at the jth step of forming E1, each with Lebesgue measure of where N is the number of intervals removed at the jth step. E2 is the union of these; hence the Lebesgue measure of E2 is . The intersection of any with E1 is a disconnected point set.

In general, Enj is the fat Cantor set in the intervals removed at the jth step of forming En−1 with Lebesgue measure of (the number of intervals removed at each step is finite for any finite n), and En is the union of these sets. En does not intersection with Ej for j < n − 1, and its intersection with En−1 is a disconnected point set.

By the above, we have that is a Borel set since it is a union of closed sets. We claim this set satisfies the conditions in the problem. For x < y ∈ [0,1], it is easy to see that, since the distance between x,y is positive, (x,y) contains an open interval I0 disjoint from some Em for m ∈ N. Hence it contains a fat Cantor set from the construction of Em+1. This stems from the fact that E was constructed to be totally disconnected and that only open intervals have been removed. Hence m((x,y)∩E) ≥ m((x,y)∩I0) ≥ m((x,y)∩I0∩Em+1) > 0 by the choice of fat Cantor sets, and since m(I0 ∩ Ec) > 0 as well (open intervals have been removed in the succeeding steps), we have m((x,y) ∩ E) < m((x,y)).

Chapter 2.

Problem 8. If f : R → R is monotone, then f is Borel measurable.

Proof. We will assume that f is increasing. Let (a,b) ⊂ R and assume f−1((a,b)) is nonempty. Let xa := inf{x ∈ R : f(x) > a} and xb := sup{x ∈ R : f(x) < b} where they are defined and −∞ and ∞ respectively where they are not. Then since f is increasing we have that f(x) > b ⇒ (y > x ⇒ f(y) > b) and f(x) < a ⇒ (y < x ⇒ f(y) < a). Hence f−1((a,b)) is a single interval. Clearly (xa,xb) ⊂ f((a,b)), and xa or xb are included iff f(xa) > a or f(xb) < b respectively. By definition of xa,xb this shows that f((a,b)) is one of (xa,xb), [xa,xb), (xa,xb], [xa,xb] (if xa = xb, equate [xa,xb] = {xa}), all of which are Borel sets. Hence f is measurable. If f is decreasing, define xa := inf{x ∈ R : f(x) < a} and xb := sup{x ∈ R : f(x) > b}; the rest is similar.

Problem 9. Let f : [0,1] → [0,1] be the Cantor function and let g(x) = f(x) + x. (a) g is a bijection from [0,1] to [0,2], and h = g−1 is continuous from [0,2] to [0,1]. (b) If C is the Cantor set m(g(C)) = 1. (c) g(C) contains a Lebesgue nonmeasurable set A. Let B = g−1(A). Then B is Lebesgue measurable but not Borel. (d) There exist a Lebesgue measurable function F and a continuous function G on R such that F ◦ G is not Lebesgue measurable.

Proof. (a) f and x are both increasing, so f(x)+x is increasing and g is injective. f and x are both continuous, so g is continuous. By IVT, g takes on every value between g(0) = 0 and g(1) = 1 + 1 = 2, so g is surjective. h = g−1 is continuous since g([a,b]) = [g(a),g(b)] since g is increasing.

Observe that f is constant on Cc, so that on any open interval Ui ⊂ Cc, m(g(Ui)) = m({Ui + c | c = f(xi) for xi ∈ Ui}) = m(Ui). Since C is closed, Cc ∩ (0,1) is a disjoint union of open intervals Ui. It is clear that ) by definition of a function, so ) = 1. Hence m(g(C)) =

m([0,2]) − m(Cc) = 1. (Thanks to Sebastian Picard for assistance toward the solution.)

B ⊂ C, so B is Lebesgue measurable since Lebesgue measure is complete. If B was Borel measurable, then g(B) = A would be Borel measurable since g is continuous, a contradiction.

Let F = χB, G = g−1. F is Lebesgue measurable by (c), and G is Borel measurable since it is continuous. Yet (F ◦G)−1({1}) = G−1(B) = A, which is not Lebesgue measurable by construction.

Problem 13. Suppose {fn} ⊂ L+, fn → f pointwise, and R f = limR fn < ∞. Then RE f = limRE fn for all E ∈ M. However, this need not be true if R f = limR fn = ∞.

Proof. We have that R f = RE f + REc f ≤ liminf(RE fn + REc fn) = lim(R fn) = R f = limsup(RE fn + REc fn). This proves the following: (1) there is equality throughout in the above array; (2) liminf(RE fn) ≤ limsup(RE fn,liminf(REc fn) ≤ limsup(REc fn) implies equality in each of the above; (3) (RE f) ≤ liminf(RE fn) = lim(RE fn) (by (2)), lim(REc fn) ≤ lim(RE fn) together with (1) implies equality in each of the above. This completes the first part of the statement. For the second, consider fn(x) = nχ[0,n1 ] + χ[0,1]c.

Then limfn = χ[0,1]c, but limR[0,1] fn = 1 while R[0,1] f = 0.

Problem 14. If f ∈ L+, let λ(E) = RE f dµ for E ∈ M. Then λ is a measure on M, and for any g ∈ L+, R g dλ = R fg dµ.

Proof. If are disjoint, then f = Pn fχEn, so

). Hence λ is a measure and proves the second statement if g

is simple. If g ∈ L+, we may approximate by simple functions as in T2.10 and apply MCT to get R g dλ = limR φdλ = limR fφdµ = R fgdµ in the general case, completing the proof.

Problem 16. If f ∈ L+ and R f < ∞, for every ε > 0 there exists E ∈ M such that µ(E) < ∞ and RE f > (R f) − ε.

Proof. Consider . Then {fχEn} is an increasing sequence of functions, and fχEn → f, so by MCT R f = limfχEn. In particular, for any ε > 0 there exists an N such that R f − REN f < ε, which yields the claim.

Problem 18. Fatou’s lemma remains valid if the hypothesis that fn ∈ L= is replaced by the hypothesis that fn is measurable and fn ≥ −g where g ∈ L+ ∩L1. What is the analogue of Fatou’s lemma for nonpositive functions?

Proof. Given the new hypotheses, we have that g+fn ≥ 0 for every n ∈ N. Hence {g+fn} ⊂

L+, so Fatou’s lemma applies, and R g+R liminf fn = R (liminf g+fn) ≤ liminf R(g+fn) = R g + liminf R fn. Since g ∈ L1, we may subtract R g from both sides, giving us Fatou’s lemma. If {gn} ⊂ L−, the space of measurable functions with range in [−∞,0], then {−gn} ⊂ L+, and −R limsupgn = R liminf(−gn) ≤ liminf R −gn = −limsupR gn, and dividing through by −1 gives the desired analogue.

Problem 19. Suppose {fn} ⊂ L1(µ) and fn → f uniformly. (a) If µ(X) < ∞, then f ∈ L1(µ) and R fn → R f. (b) If µ(X) = ∞, the conclusions of (a) can fail.

Proof. (a) There exists an N ∈ N such that n ≥ N ⇒ ||f| − |fn|| ≤ |fn − f| < 1. Hence |f| < |fN|+1 ⇒ R f < R fN +µ(X) < ∞, so f ∈ L1(µ), and since {fn}∞N is bounded above by f + 1 ∈ L1(µ) DCT applies, giving the desired conclusion.

(b) Consider fn = x1χ[0,n]. Then fn → x1 = f uniformly and {fn} ⊂ L1(µ) but f /∈ L1(µ). Now let . Then fn → 0 = f uniformly, but R fn = 1 for all n while R f = 0.

Problem 20. If fn,gn,f,g ∈ L1,fn → f and gn → g a.e., |fn| ≤ gn and R gn → R g, then R fn → R f.

Proof. We have that gn − fn,gn + fn ⊂ L+ for all n, so we may apply Fatou’s lemma to both (limits of functions below are taken a.e.):

Z Z Z Z Z Z Z Z

g + f = limgn + limfn = lim(gn + fn) ≤ liminf (gn + fn) = g + liminf fn

Z Z Z Z Z Z Z Z

g − f = limgn − limfn = lim(gn − fn) ≤ liminf (gn − fn) = g − limsup fn.

Since R g < ∞ we get limsupR fn ≤ R f ≤ liminf R fn, which completes the proof.

Problem 21. Suppose fn,f ∈ L1 and fn → f a.e. Then R |fn − f| → 0 iff R |fn| → R |f|.

Proof. (⇒) We have that ||fn| − |f|| ≤ |fn − f| ⇒ R ||fn| − |f|| ≤ R |fn − f| → 0 ⇒ R |fn| − R |f| → 0.

(⇐) Since |fn − f| → 0 a.e. and |fn − f| ≤ |fn| + |f| ∈ L1 ∀n, and limR (|fn| + |f|) = limR |fn| + R |f| = 2R |f| = 2R lim|fn| < ∞, GDCT implies that R |fn − f| → 0.

Problem 25. Let if 0 < x < 1, f(x) = 0 otherwise. Let be an enumeration of the rationals, and set , and in particular g < ∞ a.e. (b) g is discontinuous at every point and unbounded on every interval, and it remains so after any modification on a Lebesgue null set. (c) g2 < ∞ a.e., but g2 is not integrable on any interval.

Proof. (a) Note that = 2, so T2.25 gives that f ∈ L1. The fact that g < ∞ a.e. follows right after by applying P2.20 to both positive and negative parts of f.

Let I be an (WLOG open) interval in R and let rn ∈ Q ∩ I be arbitrary. Let

{xi} ⊂ I be a sequence converging to rn. Then . This remains possible as long as one is able to choose and unaltered value for g arbitrarily close to rn; if this is not possible, then an open interval around rn has been altered, which is not a Lebesgue null set.

Now let x ∈ R,δ > 0. If g(x) = ∞, there is nothing to show, so assume g(x) < ∞. Pick rn ∈ Q such that and g(rn) < ∞. If this latter condition is not possible, then by the density of Q in R there is nothing to show, so assume it is possible. Let {xi} be a sequence of numbers converging to rn. Eventually {xi} satisfies |x−xi| < δ. Then observe |g(x)−g(xi)| ≥ ||g(rn)−g(xi)|−|g(x)−g(rn)|| (by reverse triangle inequality. Since g(xi) can be made as large as desired, it can be made such that |g(rn)−g(xi)| ≥ |g(x)−g(rn)|+1, proving that g is discontinuous at x.

Noting that f is measurable and positive, we may apply T2.15 as necessary below. Let I ⊂ R be open WLOG. Pick rn0 ∈ I and let ε = min{supx∈I{x − rn0},1}. Then ε > 0 since I is open. Therefore we get

Problem 26. If f ∈ L1(m) and , then F is continuous on R.

Proof. If ε > 0, x ∈ R, ∃δ > 0 such that . This is by Exercise

15: for δ > 0, we have 0 a.e. as n → ∞, and since , we get

0. A similar method works for |f(t)|χ[x−n1 ,x],

and the existence of such a δ follows. Hence |x0 − x| < δ ⇒ |Rxx0 f(t)| < ε ⇒ |F(x0) − F(x)| < ε.

Problem 33. If fn ≥ 0 and fn → f in measure, then R f ≤ liminf R fn.

Proof. (Thanks to Jonathan Conder for this proof.) Let {fnk} ⊂ {fn} be given such that R fnk → liminf R fn. Then ∃ a subsequence fnk` → f a.e., and R f ≤ liminf R fnk` = limR fnk = liminf R fn.

Problem 34. Suppose |fn| ≤ g ∈ L1 and fn → f in measure. (a) R f = limR fn. (b) fn → f in L1.

Proof. (a) Since |fn| → |f| in measure, there is a subsequence of {|fn|} converging to |f| a.e., so |f| ≤ g ∈ L1 and f ∈ L1. Furthermore, g − fn,g + fn ∈ L+ for all n, so by the previous exercise we may follow through with the proof of DCT given in the text to prove the statement. (b) Let Eε,n := {x : |fn(x) − f(x)| ≥ ε}. Then ∃N such that n > N → µ(Eε,n) < ε. By (a), for n > N, limR |fn − f| = R lim|fn − f| ≤ R min{g,ε} + REε,nc g.

As ε → 0, the first integreal goes to 0 by Exercise 15, and the second integral goes to 0 by recognizing g ∈ L1 and 0, and then applying Exercise 15.

Problem 38. Suppose fn → f in measure and gn → g in measure. (a) fn +gn → f +g in measure. (b) fngn → fg in measure if µ(X) < ∞, but not necessarily if µ(X) = ∞.

Proof. :

, and both of these latter sets limit to 0 as n → ∞ for any ε. (b) Choose 0 < ε < 1. First, ∃M such that {x : |f(x)|,|g(x)| > M} has measure . This is since fn → f,gn → g in measure implies that f,g < ∞ a.e.; hence µ(X) < ∞ gives the above. There also exists an N such that . Now outside of these two sets and for n > N we have that {x : |fn(x)gn(x)−f(x)g(x)| ≥ ε} ⊂ {x : |f(x)||gn(x)−g(x)| ≥ :

. The measure of this set can be made

smaller than ; hence outside of these three sets µ({x : |fngn(x) − f(x)g(x)| ≥ ε}) < ε.

Now consider the following functions with Lebesgue measure on , which converges in measure to 0, and the sequence gn(x) = x, which clearly converges in measure to x. Then fngn(x) = χ(n,∞) does not converge in measure.

Problem 40. In Egoroff’s theorem, the hypothesis “µ(X) < ∞” can be replaced by “|fn| ≤ g for all n, where g ∈ L1(µ).”

Proof. The only issue with the proof is that En(k) may be infinite for all n so that

. Yet given the new hypothesis, we have that {x : |fm(x)−f(x)| ≥ k−1} ⊂ {x : |fm(x)−g(x)| ≥ (2k)−1}∪{x : |f(x)−g(x)| ≥ (2k−1)} ⊂ {x : |fm(x)| ≥ (4k)−1}∪{x : |f(x)| ≥ (4k)−1}∪{x : |g(x)| ≥ (4k)−1} ⊂ {x : |g(x)| ≥ (4k)−1} since |f| ≤ |g| as well. This is true for arbitrary , which is a finite measure set since g ∈ L1. The rest of the proof proceeds as normal.

Problem 41. If µ is σ-finite and fn → f a.e., there exist measurable E1,E2,··· ⊂ X such that and fn → f uniformly on each Ej.

Proof. For each {Gj}j odd that makes X σ-finite, we may find a set Ej such that µ(Gj \ Ej) < 2−j for all j odd and such that fn → f on each Ej. Furthermore, there exists an E2 ⊂ Sj odd Ejc such that and fn → f uniformly on E2. Continuing this process gives E2m ⊂ E2m−2 such that and fn → f on E2m for any m ∈ N. We note that µ((Sj odd Ej)c) < ε, and by construction , hence yielding the statement.

Problem 45. If (Xj,Mj) is a measurable space for j ∈ [3], then

M3. Moreover, if µj is a σ-finite measure on (Xj,Mj), then µ1 ×µ2 ×µ3 = (µ1 ×µ2)×µ3.

Proof. If is a rectangle,then A1×A2×A3 = B×A3 ∈ (M1⊗M2)⊗M3 where B = A1 × A2 ∈ M1 × M2, giving ⊂. Also, if A3 ∈ M3, then (A1 × A2 × A3 = A1 ×

a rectangle, so ,

giving ⊃.

We note that the premeasures are identical since µ0(A1×A2×A3) = Q3j=1 µj(Aj) =

for any rectangle. Hence by T1.14 and the

above, the measure on (M1 ⊗M2)⊗M3 = M1 ⊗M2 ⊗M3 generated by this premeasure is unique, yielding the statement.

Problem 46. Let X = Y = [0,1], M = N = B[0,1], µ = m, ν = counting measure. If D = {(x,x) : x ∈ [0,1]} is the diagonal in X × Y , then R R χD dµ dν, R R χD dν dµ, and R χD d(µ × ν) are all unequal.

Proof. First, D is Borel measurable since . Since any x- or y-section of D is a single point, we have R χD dµ dν = R 0 dν = 0 and R R χD dν dµ = R 1 dµ = 1.

We claim that R χD d(µ×ν) = ∞. By T1.14 and construction of the product measure, rectangles, . It suffices to show, then, that in any covering of D, there is a rectangle of infinite (µ×ν)-measure. Let be a covering of D. At least one Ej - say E - has an x-section such that its intersection with Dx = [0,1] has positive Lebesgue measure; otherwise m([0,1]). But then Ey∩Dy has the same positive Lebesgue measure; since D is the diagonal, if z ∈ Ex ∩ D, then (z,z) ∈ E, so z ∈ Ey ∩ Dy as well, and vice versa. Since any positive Lebesgue measure set is an infinite counting measure set, this completes the proof.

Problem 48. Let X = Y = N, M = N = P(N), µ = ν = counting measure. Define f(m,n) = 1 if m = n, f(m,n) = −1 if m = n + 1, and f(m,n) = 0 otherwise. Then R |f|d(µ × ν) = ∞, and R R f dµ dν and R R f dν dµ exist and are unequal.

Proof. Noting that |f| = χ{(m,n):m∈{n,n+1}}, we get that

pointwise, so by MCT R |f| d(µ×ν) = limR fn d(µ×ν) = lim2n = ∞. The rest of the proof consists of the following computations: R R f dµ dν = R R{1} f dµ dν + R RN\{1} f dµ dν = R 1 dν + RN\{1} 0 dν = 1, and R R f dν dµ = R 0 dµ = 0.

{1}

Problem 50. Suppose (X,M,µ) is a σ-finite measure space and f ∈ L+(X). Let Gf = {(x,y) ∈ X ×[0,∞] : y ≤ f(x)}. Then Gf is M×BR-measurable and µ×m(Gf) = R f dµ; the same is also true if the inequality y ≤ f(x) is replaced by y < f(x).

f g

Proof. Consider the maps (x,y) 7→ (f(x),y) 7→ f(x) − y. g is measurable by P2.6, and f is M × BR-measurable in each coordinate since f is (M,BR)-measurable. Hence f−1(A,B) ∈ M×BR for A a rectangle and B ∈ BR, so by P2.1 f is measurable. Therefore

(x,y) →7 h f(x) − y where h = g ◦ f is measurable, and Gf = h−1([0,∞)) is therefore a measurable set.

Now we may use Tonelli on χGf since µ is σ-finite. Hence µ × m(Gf) = R χGf d(µ × m) = R R χGf dm dµ = R R χ[0,f(x)] dm dµ(x) = R f(x) dµ(x). There is no issue in replacing y ≤ f(x) with y < f(x) in Gf, as then Gf = h−1((0,∞)) and hence is still measurable, and we may note that R χ[0,f(x)] dm(y) = R χ[0,f(x)) dm(y) = f(x), hence leaving the second part of the proof virtually unchanged.

Chapter 3.

Problem 3. Let ν be a signed measure on (X,M). (a) L1(ν) = L1(|ν|). (b) If f ∈ L1(ν), |R f dν| ≤ R |f| d|ν|. (c) If E ∈ M, |ν|(E) = sup{|RE f dν| : |f| ≤ 1}.

Proof. (a) f ∈ L1(|ν|) ⇐⇒ f ∈ L1(ν+) ∩ L1(ν−) ⇐⇒ f ∈ L1(ν). (b) |R f dν| =

|R f+ dν+ − R f− dν+ − R f+ dν− + R f− dν−| ≤ R f+ dν+ + R f− dν+ + R f+ dν− +

R f− dν− = R |f| d|ν|. (c) If E ∈ M has infinite |ν|-measure, we have that either RE f+ dν+, −RE f− dν+,−RE f+ dν−,RE f− dν− is infinite by definition, and hence χP∩{x:f(x)≥0}, χP∩{x:f(x)≤0},χN∩{x:f(x)≥0},χN∩{x:f(x)≤0} does the job respectively to show that sup{|RE f dν| : |f| ≤ 1} is infinite. Now suppose E ∈ M has finite |ν|-measure. For (≤), note that |1| ≤ 1, so ν(E) = |RE 1 dν| ≤ sup{|RE f dν| : |f| ≤ 1}. For (≥), we have that |f| ≤ 1 implies that |RE f dν| ≤ RE |f| d|ν| ≤ RE d|ν| = |ν|(E), so taking suprema of both sides (with respect to f where |f| ≤ 1 yields (≥).

Problem 12. For j = 1,2, let µj,νJ be σ-finite measures on (Xj,Mj) such that .

Then and

Proof. If (µ1×µ2)(E) = RE d(µ1×µ2) Tonelli= R RE dµ1 dµ2 = 0, then REy dµ1 = 0 ∀y ∈ X2, so µ1(Ey) = 0 ⇒ ν1(Ey) = 0 ∀y ∈ X2. Hence REy dν1 = 0 ∀y ∈ X2, and R RE dν1 dν2 = 0. Since χE ∈ L1(ν1 × ν2), this equals RE d(ν1 × ν2) = (ν1 × ν2)(E), which is as desired.

The second part of the statement can be proved with repeated applications of Tonelli. Note that, since µj,νj are measure, are non-negative on any measurable set and hence are in L+. Therefore,

the last equality being true since product of L+ functions are in L+.

Problem 13. Let X = [0,1], M = B[0,1], and µ = counting measure on M. (a) m << µ but dm 6= f dµ for any f. (b) µ has no Lebesgue decomposition with respect to m.

Proof. (a) µ(E) = 0 ⇒ |E| < ∞ ⇒ m(E) = 0. Hence if m(E) = R f dµ, then 0 = m({x}) = R{x} f dµ = f(x)µ({x}) = f(x) for any point x ∈ X, so f = 0. Yet then

1 = m([0,1]) = R 0 dµ = 0, a contradiction.

(b) We have that 0 = m({x}) while µ({x}) = 1, so µ is not absolutely continuous with respect to m anywhere. Yet [0,1] is a positive set for m and µ, so m 6⊥ µ. Hence no Lebesgue decomposition can exist.

Problem 14. If ν is an arbitrary signed measure and µ is a σ-finite measure on (X,M) such that , there exists an extended µ-integrable function f : X → [−∞,∞] such that dν = f dµ. Hints: (a) It suffices to assume that µ is finite and ν is positive. (b) With these assumptions, there exists E ∈ M that is σ-finite for ν such that µ(E) ≥ µ(F) for all sets F that are σ-finite for ν. (c) The Radon-Nikodym theorem applies on E. If F ∩ E = ∅, then either ν(F) = µ(F) = 0 or µ(F) > 0 and |ν(F)| = ∞.

Proof. (a) If µ is σ-finite, are the sets making it so, and ν is positive, we may define µj(E) := µ(E ∩Aj) to get a finite µ and νj(E) := ν(E ∩Aj). We then may say dν = fjdµj for fj extended µ-integrable function into the extended reals. Since νj is 0 outside of Aj, we may assume fj = 0 outside of Aj. Letting , we get that dν = f dµ. If ν is a signed measure, we may apply our findings to ν+ and ν− and since one of ν(P), ν(N) is finite, subtracting the results is well-defined.

Let S := {µ(E) ∈ M | E σ-finite for ν}, let be a sequence approaching supS, and let -finite, so µ(E) = supS.

follows directly from (b) and the fact that . Let g be the function garnered from applying R-N to ν and µ on E, and define f on X to be g on E and ∞ outside of E.

Problem 15. A measure µ on (X,M) is decomposable if there is a family F ⊂ M with

the following properties: (i) µ(F) < ∞ for all F ∈ F; (ii) the members of F are disjoint and their union is X; (iii) if µ(E) < ∞ then µ(E) = PF∈F µ(E ∩ F); (iv) if E ⊂ X and E ∩ F ∈ M for all F ∈ M then E ∈ M. (a) Every σ-finite measure is decomposable. (b) If µ is decomposable and ν is any signed measure on (X,M) such that , there exists a measurable f : X → [−∞,∞] such that ν(E) = RE f dµ for any E that is σ-finite for µ, and |f| < ∞ on any F ∈ F that is σ-finite for ν.

Proof. (a) The collection of sets that make a measure σ-finite are a decomposable family. (b) It is sufficient to assume ν is positive, since we may apply this statement to ν+ and ν− and subtract the resulting functions (well-defined since one of ν+,ν− is finite). So assume ν is positive and F is a decomposable family for µ. For any set F ∈ F, µ(F) < ∞ by (i), so µF(E) := µ(E∩F) is a finite measure. By Exercise 14 there exists an extended µ-integrable

function fF : X → [−∞,∞] such that dνF = fF dµF where νF(·) = ν(· ∩ F). Assume fF is exactly our construction of this function in the previous exercise and that fF = 0 outside of F and let f = PF∈F fF. There are a few things to check:

f is well-defined. This is since the decomposable family consists of disjoint sets that union to give X by (ii).

|f| < ∞ for any F ∈ F that is σ-finite for ν. This follows straight from our construction in Exercise 14; note that the function is identical to the function given by Radon-Nikodym if the set if σ-finite for ν and that the range of such a function is contained in R.

f is measurable. If E ∈ BR¯, then f−1(E) = SF∈F(f−1(E)∩F). Since f−1(E)∩F = fF−1(E) ∈ M ∀F ∈ F, (iv) gives that f−1(E) ∈ M.

An extra: f ≥ 0 since ν and µ are positive measures, so by (3) f ∈ L+ and T2.15 will be applicable in what follows.

Let E ∈ M be σ-finite for µ. Let FE ⊂ F be the collection of sets F such that

µ(E∩F) > 0. Then we claim FE is countable. If is the collection of sets making µ σ-finite, then µ(E ∩ Ai) < ∞ for all i, and hence there are a countable number of sets F ∈ F that intersect with E ∩ Ai to yield a set of positive measure. Unioning these collections over the countable {Ai} yields a countable collection. Moreover, µ(E ∩ F) = 0 ⇒ ν(E ∩ F) = 0 for F \ FE since . Hence

ν(E) = X νF(E)

F∈FE

X = f dµF

F∈FE E

= f dµ

F∈FE F∩E

T 2.15

= f dµ.

The third equality comes from the definition of µF.

As our function f meets all of the requirements given in the problem, this completes the proof.

Problem 18. Prove Proposition 3.13c. L1(ν) = L1(|ν|), and if f ∈ L1(ν), then |R f dν| ≤ R |f| d|ν|.

Proof. f ∈ L1(ν) ⇐⇒ f ∈ L1(νr) ∩ L1(νi) ⇐⇒ R f+ dνr,R f− dνr,R f+ dνi,R f− dνi <

∞ ⇐⇒ f ∈ L1(|ν|). Also, ) by (b) and P3.9, and

Problem 20. If ν is a complex measure on (X,M) and ν(X) = |ν|(X), then ν = |ν|.

Proof. Let f be the Radon-Nikodym derivative for ν with respect to |νr| + |νi|. Then ν(X) = RE f d(|νr| + |νi|) = R |f| d(|νr| + |νi|) = |ν|(X). Hence f must be real and positive. If f is strictly non-real on E ∈ M, then |RE f d(|νr| + |νi|)| = |RE <(f) d(|νr| + |νi|)+RE Im(F) d(|νr|+|νi|)| < RE |<(f)+Im(f)| d(|νr|+|νi|) = RE |f| d(|νr|+|νi|), which leads to a contradiction with the previous statement we made, so f is real and clearly nonnegative. Hence ν(E) = RE f d(|νr|+|νi|) = RE |f| d(|νr|+|νi|) = RE d|ν| = |ν|(E) for any measurable set E.

Chapter 4.

Problem 10. A topological space X is disconnected if there exist nonempty open sets U,V such that U∩V = ∅ and U∪V = X; otherwise X is connected. When we speak of connected an disconnected subsets of X, we refer to the relative topology on them. (a) X is connected iff ∅ and X are the only subsets of X that are both open and closed. (b) If {Eα}α∈A is a collection of connected subsets of X such that Tα∈A Eα 6= ∅, then Sα∈A Eα is connected. (c) If A ⊂ X is connected, then A¯ is connected. (d) Every point x ∈ X is contained in a unique maximal connected subset of X, and this subset is closed.

Proof. (a) If X is not connected with U,V as above, then Uc = V is closed and open. If

U is a nontrivial closed and open sets, then Uc is also closed and open, U ∪ Uc = X, and U ∩Uc = ∅. (b) If Sα∈A Eα is disconnected, let U,V be as above. Then either ∃α ∈ A such that either ∅ 6= U∩Eα ( Eα or ∅ 6= V ∩Eα ( Eα or not. If the former, then U∩Eα,V ∩Eα are open and closed in the relative topology on Eα, so Eα is disconnected. If the latter, then since U ∩ V = (S(U ∩ Eα)) ∩ (S(V ∩ Eα)) = SU∩Eα=6∅ ∩SV ∩Eα6=∅ Eα = ∅, we have

Tα∈A is contained within in this intersection and hence is empty. (c) If A¯ is disconnected and U,V are as above, then both U or V intersects A◦ ⊂ A nontrivially since U,V are open. Hence U ∩ A,V ∩ A are disjoint closed and open sets unioning to give A. (d) Fix x ∈ X, and let {Uix}i∈I be the collection of all connected subsets containing x. {x} is within this collection. Ti∈I Uix ⊃ {x}, so (b) implies that Si∈I Uix is connected, contains all other connected subsets containing x and hence is maximal and unique since hte union of any maximal connected subsets is maximal and connected. It is closed since A ⊂ A¯ and A connected implies that A¯ is connected by (c).

Problem 12. Let X be a set. A Kuratowski closure operator on X is a map A 7→ A∗ within P(X) satisfying (i) ∅∗ = ∅, (ii) A ⊂ A∗ for all A, (iii) (A∗)∗ for all A, (iv) (A ∪ B)∗ = A∗ ∪ B∗ for all A,B. Clearly if X is a topological space, then A →7 A¯ is such an operator. Conversely, given a Kuratowski closure operator, let F := {A ⊂ X : A = A∗} and T := {U ⊂ X : Uc ∈ F}. Then T is a topology, and ∀A ⊂ X, A∗ is its closure with respect to T .

Proof. If , so it suffices to show that F is closed under arbitrary intersections and finite unions. First note that B = A ∪ (B \ A) ⇒ B∗ = A∗ ∪ (B \ A)∗, so if B ∈ F and A ⊂ B, then A∗ ⊂ B as well. Let {Bi}i∈I ⊂ F. Then Ti∈I Bi ⊂ Bi for all i, so Ti∈I Bi ⊂ (Ti∈I Bi)∗ ⊂ Bi for all i, yielding equality and showing closure under arbitrary intersection. If A,B ∈ F, then (A∪B)∗ = A∗ ∪B∗ = A∪B, so by induction F is closed under finite unions and T is a topology. Finally, if A ⊂ X, and B is a closed subset containing A, then A∗ ⊂ B∗ = B, proving the last statement.

Problem 13. If X is a topological space, U is open in X, and A is dense in X, then

U¯ = U ∩ A.

Proof. For any neighborhood of x intersecting U, it must intersect U ∩ A, since otherwise the interior of that neighborhood intersected with U is an open set disjoint from A. This

shows U¯ ⊂ U ∩ A, and the reverse inclusion is obvious.

Problem 16. Let X be a topological space, Y a Hausdorff space, and f,g be continuous maps from X to Y . (a) {x : f(x) = g(x)} is closed. (b) If f = g on a dense subset of X, then f = g on all of X.

Proof. (a) Let x ∈ {x : f(x) 6= g(x)} =: S and let Ux be a neighborhood of f(x) that does not contain g(x). Then f−1(U) contains x and is open since f is continuous, so since S = Sx∈S Ux Sc = {x : f(x) = g(x)} is closed. (b) The closure of {x : f(x) = g(x)} is the entire space by definition of dense and is itself by (a).

Problem 17. If X is a topological space, U is open in X, and A is dense in X, then

U¯ = U ∩ A.

Proof. If x is in a neighborhood with a nonempty intersection in U, then there exists an a ∈ A in that neighborhood as well; otherwise A is not dense in X. So this neighborhood has

nonempty intersection with A as well and hence x ∈ U ∩ A, which implies that U¯ ⊂ U ∩ A. The backwards inclusions is obvious.

Problem 38. Suppose that (X,T ) is a compact Hausdorff space and T 0 is another topology on X. If T 0 is strictly stronger than T , then (X,T 0) is Hausdorff but not compact. If T 0 is strictly weaker than T , then (X,T 0) is compact but not Hausdorff.

Proof. First assume T 0 ) T . Since T 0 contains all of the open sets from T , (X,T 0) is Hausdorff. Let E ∈ T 0 \ T . Then Ec is closed in (X,T 0) but not in (X,T ). Yet any open cover of Ec is also in T 0, so if (X,T 0) is compact it has a finite subcover in T and hence Ec is compact in (X,T ) ⇒ Ec is closed in (X,T ), a contradiction.

Now assume T 0 ( T . Any open cover in T 0 is also in T and hence has a finite subcover in T 0, so (X,T 0) is compact. Let E ∈ T \ T 0. Ec is closed in (X,T ), so it is compact in (X,T ) and hence in (X,T ). If (X,T 0) is Hausdorff, this implies Ec is closed in (X,T 0), a contradiction.

Problem 47. Prove Proposition 4.36. Let X is a noncompact LCH space, X∗ = X ∪{∞}, and T is the collection of subsets of X∗ that are open in X or that contain ∞ and have Uc as a compact subset of X. Then (X∗,T ) is a compact Hausdorff space, and the inclusion map i : X → X∗ is an embedding. Moreover, if f ∈ C(X), then f extends continuous to X∗ iff f = g + c where g ∈ C0(X) and c is a constant, in which the case the continuous extension is given by f(∞) = c. Also, show that if X is Hausdorff but not locally compact, P4.36 remains valid except that X∗ is not Hausdorff.

Proof. First, we prove that T is a topology. Any arbitrary union of elements in T consists of some collection of open sets (the union of which is clearly open) and some collection of sets containing ∞ with compact complement. Since X is Hausdorff this means that Uic is closed for all Ui in such a union, and since TUi ⊂ Ui is closed, it is also compact, and SUi ∈ T . Clearly {Ui} is closed under finite intersections since the union of finitely many compact sets is compact.

Now if {Ui} is an open cover for X, at least one of these sets contains ∞, and the complement of that set is compact and hence has a finite subcover, so X is compact. Clearly if x 6= y ∈ X, then there are disjoint neighborhoods of x and y respectively in X∗, so let y = ∞. For x ∈ X, use local compactness of X to find a compact set E that is a neighborhood of x. Then Ec, Eo are disjoint neighborhoods of y and x respectively. Hence (X∗,T ) is compact Hausdorff

This is the only place where we will use local compactness of X to prove P4.36, so let us prove the final statement, starting with for the time being assuming X is not locally compact. Then there exists an x which does not have a compact neighborhood, so any neighborhood containing ∞ must also contain x, so X∗ is not Hausdorff.

Now assume that X is a Hausdorff space. Then ( ) is compact (but not necessarily Hausdorff). We prove the inclusion map i : X → X∗ is an embedding. Any open set in X is contained in the topology of X∗ by definition. Conversely, any new open set in X∗ has an inverse map with compact complement; this compact complement is closed since X is Hausdorff, so the inverse of this set is open. Therefore i,i−1 are both continuous, and since i is clearly injective and not surjective, this proves the claim.

Now let f ∈ C(X). First assume f is real-valued. If f extends continuous to X∗ with f(∞) = c, then {x : |f(x) − c| < ε} = f−1((c − ε,c + ε)) are open sets containing ∞, so their complements {x : |f(x) − c| ≥ ε} are compact in X. Therefore f(x) − c = g(x) ∈ C0(X) ⇒ f(x) = g(x) + c. The other direction is obvious.

Problem 49. Let X be a CH space and E ⊂ X. (a) If E is open, then E is LC in the relative topology. (b) If E is dense in X and locally compact in the relative topology, then E is open. (c) E is locally compact in the relative topology iff E is relatively open in E¯.

Proof. (a) Let x ∈ E. Since E is open, there exists a compact neighborhood N of x inside of E. Then for any open cover for N in the relative topology of E, the open sets in that cover correspond to open sets in X, so there is a finite subcover for N in X and hence in E.

7-ادامه تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:16

تنیس در فیزیک [ ویرایش | ویرایش کد ]

در فیزیک ، از سنسورها به طور گسترده ای در نظریه هایی استفاده می شود که ماهیت هندسی دارند (به عنوان مثال نسبیت عام) یا هندسه کامل یا قابل توجهی را مجاز می دانند (تقریباً تمام نظریه های اساسی مدرن - الکترودینامیک ، مکانیک نسبی و غیره) - می توانند تا حد زیادی نسبت داده شوند. همانطور که در تئوری محیط ناهمسانگرد (که ممکن است در ابتدا ناهمسانگرد باشد به عنوان بلورهای تقارن کم یا به صورت مایع یا گاز در حال جریان یا به دلیل حرکت یا تنش تغییر شکل می دهد) و جامد). علاوه بر این ، سنسورها به طور گسترده ای در مکانیک کاملاً سخت بدن استفاده می شوند.

اپراتورهای خطی مکانیک کوانتوم ، البته ، می تواند در برخی از فضاهای انتزاعی (فضاهای حالت) به عنوان سنسور نیز تفسیر شود ، اما به طور سنتی چنین کاربردی از اصطلاح تنسور در عمل استفاده نمی شود ، زیرا به ندرت برای توصیف عملگرهای خطی از فضاهای بعد نامحدود استفاده می شود. بر: در فیزیک به طور کلی ، اصطلاح تنسور معمولاً در مورد تنورها در رابطه با فضای فیزیکی 3 بعدی معمولی یا فضا-زمان 4 بعدی یا در موارد شدید ، به ساده ترین و مستقیم ترین تعمیم این فضاها اعمال می شود ، گرچه در اصل می تواند کلی تر باشد. است.

نمونه هایی از تنسورهای فیزیکی.

سنسور متریک برای انواع شبه 4 بعدی ، که در توسعه مفهوم پتانسیل جاذبه نیوتنی است.
شیب رومی تنسور بیان شده توسط آن و بسته های آن ، که مربوط به همان تئوری است ، انرژی میدان گرانشی و مستقیماً بخشی از معادله اساسی تئوری هستند.
شدت میدان الکترومغناطیسی در فضای مینکوفسکی ، که شامل میدانهای الکتریکی و مغناطیسی و است ، موضوع اصلی الکترودینامیک کلاسیک در ضبط 4 بعدی است. به طور خاص ، معادلات ماکسول با کمک او در قالب یک معادله 4 بعدی نوشته شده است.
در تئوری کشش ، تنش ها و فشارها توسط بازیکنان تنیس به عنوان فضای بیش از 3 تحول توصیف می شوند. مقادیری مانند مدول الاستیک نیز همین است.
تقریباً تمام مقادیری که از ویژگی های مقیاس دار یک ماده هستند ، در مورد ایزوتوپ آن ، در مورد ماده ناهمسانگرد ، سنسور هستند. به طور خاص ، این به یک ضریب قابل توجهی اشاره دارد که مقادیر بردار یا بردارهای رو به روی محصول (به ویژه مربع ها) را به هم متصل می کند. بعنوان مثال هدایت الکتریکی خاص (همچنین مقاومت معکوس) ، رسانایی گرمایی ، حساسیت دی الکتریک ، نفوذپذیری دی الکتریک ، سرعت صدا (بسته به جهت) و غیره است.
یک تانسور اینرسی نقش مهمی در مکانیک یک بدن کاملاً جامد دارد که سرعت زاویه ای را با انرژی جنبشی حرکت حرکت می کند. این تنسور با بسیاری دیگر از نمایش های فیزیک تنسور به طور کلی ، زمینه های تنسور متفاوت است ، واقعیت این است که یک تنسور یک بدن کاملا جامد را توصیف می کند ، به طور کامل ، همراه با جرم ، اینرسی آن را تعریف می کند ،
تنسورهایی که در تجزیه های مختلف گنجانده می شوند ، خاصیت مشابهی دارند. فقط یک تنسور به طور کامل لحظه توزیع ترتیب متناظر شارژها را نشان می دهد.
اغلب یک ابزار فیزیکی Levi-Chivita نادرست است که شامل ، به عنوان مثال ، بردار ضبط مختصات و بردارهای مختلط. اجزای سازنده این تنسور همیشه تقریباً به طور مساوی (با دقت ، ضریب اسکالر وابسته به متر) نوشته می شوند و در پایه ارتونورال مناسب ، همیشه دقیقاً یکسان هستند (هر کدام برابر با 0 ، + 1 یا -1 است).
اصطلاح "4-tensor" برای هر تنسور چهار بعدی در فضا-زمان به کار می رود ، یک پیچش سیستم مرجع که شامل هر دو فضای سه بعدی و پیچ های معمولی و همچنین عبور سیستم های مرجع است که با سرعت های مختلف نسبت به یکدیگر حرکت می کنند. این یک خازن برای فضای 4 بردار است ، یک خازن که هر مقدار آن دارای چهار مقدار است: یکی "موقتی" و سه "فضایی".

به راحتی می توان دریافت که اکثر نظریه پردازان فیزیک (به استثنای مقیاس ها و بردارها) فقط دو شاخص دارند. تنورهایی که از قدرت بالایی برخوردارند معمولاً فقط در نظریه هایی یافت می شوند که کاملاً پیچیده تلقی می شوند و حتی پس از آن نیز غالباً به طور عمده در قالب اعتقادات کم ارزش خود ظاهر می شوند. بیشتر آنها متقارن یا ضد متقارن هستند.

انحراف و توپ [ ویرایش | ویرایش کد ]

هر نوع تانسور درجه دو ${\ displaystyle s_ {ij}}$ پول مجموع بخشی از توپ.

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = - p \ delta _ {ij} + s_ {ij} ، \ quad p = - {\ frac {\ sum _ {i = 1 ^ ^ {N} \ sigma _ {i {} {N}}.}$

جایی که: $display \ displaystyle \ sigma _ {i}}$ آیا مقادیر خود تنسور است. مقادیر انحراف کل ${\ displaystyle s_ {i}}$ مربوط به ویژگی های تنسور $display \ displaystyle s_ {i} = \ sigma _ {i} + p، \ i = 1، \ dots، N}$ . ایده Deviatori به طور گسترده ای در مکانیک مداوم استفاده می شود [2] .

منبع

https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8F%D5%A5%D5%B6%D5%A6%D5%B8%D6%80

5-ادامه تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:15

مثال
${\ displaystyle B _ {\ kl} ^ {i} \ = \ sum _ {j} A _ {\ \ jkl} ^ {ji} = A _ {\ \ jkl} ^ {ji}}$
- (مورد دوم در یادداشت انیشتین ، جایی که تکرار شاخص بالا به پایین به طور خودکار فرض می شود). درغیر اینصورت ، فرمول (یعنی نتیجه یک عمل شوک) با همان حرف تنسوری که بر روی آن اعمال شده نشان داده می شود ، البته البته با دو نشانگر کمتر.
- ردپای ماتریس مورد خاصی از جمع شدن تانسور است.
اضافه کردن دو یا چند تنسور (از جمله تنسورها و بردارها) ، به عنوان مثال
${\ displaystyle C_ {jk} ^ {i} \ = \ sum _ {m} B_ {m} ^ {i} A_ {jk} ^ {m} = B_ {m} ^ {i} A_ {jk} ^ { m}$ (مورد دوم در کارنامه انیشتین است).
- عملیاتی که می تواند با ضرب تانسور متوالی این سنسورها کاهش یابد (کمی به زیر مراجعه کنید) و سپس با توزیع ولتاژ حاصل (احتمالاً چندین بار). بدیهی است که این عملیات روی کلیه کانالهای ورودی خطی است. بنابراین ، گره مربوط به تانسور نمودارهای خطی یا چند لایه ای از فضای تانسور را بر روی فضای تانسور (به طور کلی در سمت دیگر) ، به ویژه بردارهای بردارها و بردارهای مقیاس رسم می کند.
- گره بردار با دو ولتاژ ولتاژ عملگر خطی تعریف شده توسط این تانسور بر روی بردار است.
${\ displaystyle u ^ {i} \ = \ sum _ {j} A_ {j} ^ {i} v ^ {j} = A_ {j} ^ {i} v ^ {j}}$ (آخرین مورد در اینشتین).
- دو قرارداد دو ده نفری ظرفیت (یک) عملگرهای خطی تعریف شده توسط این تنورها را اجرا می کنند.
${\ displaystyle C_ {j} ^ {i} \ = \ sum _ {k} B_ {k} ^ {i} A_ {j ^ ^ {k} = B_ {k} ^ {i} A_ {j} ^ ^ k}$ (آخرین مورد در اینشتین).
تناسب و ضد تقارن - طراحی همان نوع تانسور با نوع خاصی از تقارن. به عنوان مثال ، یک سنسور ${\ displaystyle T_ {ij}}$ - تقارن: تنظیم کننده متقارن ${\ displaystyle \ scriptstyle T _ {(ij)} = {1 \ بیش از 2} \ چپ (T_ {ij} + T_ {ji} \ راست)}$ و ضدتقارن تنظیم کننده ضدتقارن است ${\ displaystyle \ scriptstyle T _ {[ij]} = {1 \ بیش از 2} \ چپ (T_ {ij} -T_ {ji} \ راست)}$ . به طور کلی ، تقارن با n شاخص دارای شکل زیر است.

${\ displaystyle T _ {(i_ {1} \ ldots i_ {n})} = {1 \ over n!} \ sum _ {\ sigma} T _ {\ sigma (i_ {1) n})} ،}$

آس ضد تقارن

$display \ displaystyle T _ {[i_ {1} \ ldots i_ {n}]} = {1 \ over n!} \ sum _ {\ sigma} \ mathrm {sign} \، (\ sigma) T _ {\ sigma (i_ {1}) \ ldots \ sigma (i_ {n})}}$

اینجا: $\ سیگما:$ -ندکس انواع بازآرایی ${\ displaystyle i_ {1} ، \ ldots ، i_ {n} ،}$ و: $display \ displaystyle \ mathrm {sign} \، (\ sigma)}$ - برابری آرایش مجدد $display \ displaystyle \ sigma. {$ البته ، لازم نیست که تنش را با تمام شاخص ها ترکیب کنید ، در اینجا فقط برای ساده سازی یادداشت ها استفاده می شود.

اگر: ${\ displaystyle T_ {i_ {1} \ ldots i_ {n}}}$ متقارن است ${\ displaystyle i_ {1} \ ldots i_ {n} {$ ، سپس تقارن این شاخص ها همزمان است $T:$ با ضد متقارن یک تانسور صفر می دهد. به طور مشابه ، در مورد عدم تقارن با برخی از شاخص ها.
اگر: $نمایش \ displaystyle T_ {ij} \ در V \ otimes V ،}$ به: disp $display \ displaystyle T _ {(ij)} \ in V \ vee V،}$ V.} $display \ displaystyle T _ {[ij]} \ in V \ wedge V.}$ اینجا: $نمایش \ displaystyle \ vee}$ - متقارن $نمایش \ displaystyle \ گوه}$ - ضرب خارجی مناطق بردار است.

تقارن [ ویرایش | ویرایش کد ]

تنورهایی که دارای خصوصیات تقارن خاصی هستند اغلب در برنامه های مختلف وجود دارند.

یک اشاره گر متغیر دو بعدی (متناقض) تنظیم کننده نامیده می شود ، که نیاز زیر را برآورده می کند:

${\ displaystyle T ({\ underline {e ^ {j_ {1}}، e ^ {j_ {2}}}}، \ ldots، e ^ {j_ {n}}، e_ {i_ {1}}، e_ {i_ {2}} ، \ ldots ، e_ {i_ {m}}) = T ({\ underline {e ^ {j_ {2}}، e ^ {j_ {1}}}}، \ ldots، e ^ {j_ {n}} ، e_ {i_ {1}} ، e_ {i_ {2}} ، \ ldots ، e_ {i_ {m}})؛}$

${\ displaystyle T (e ^ {j_ {1}} ، e ^ {j_ {2}} ، \ ldots ، e ^ {j_ {n}} ، {\ underline {e_ {i_ {1}}، e_ {i_ {2}}}} ، \ ldots ، e_ {i_ {m}}) = T (e ^ ^ j_ {1}} ، e ^ ^ j_ {2}} ، \ ldots ، e ^ {j_ {n}} ، {\ underline {e_ {i_ {2}}، e_ {i_ {1}}}}، \ ldots، e_ {i_ {m}})}،$

یا در مواد تشکیل دهنده

${\ displaystyle {T _ {{\ underline {j_ {1}، j_ {2}}}، \ ldots، j_ {n}}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {m} } = {T _ {{\ underline {j_ {2}، j_ {1}}}، \ ldots، j_ {n}}} {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {m}} ، \ quad \ forall j_ {1} ، j_ {2} = 1،2 ، \ ldots ، (\ dim (V) = \ dim (V ^ {*})) ؛؛$

${\ displaystyle {T_ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {n}}} ^ {{\ underline {i_ {1}، i_ {2}}}، \ ldots، i_ {m} } = {T_ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {n}}} ^ {{\ underline {i_ {2}، i_ {1}}}، \ ldots، i_ {m}} ، \ quad \ forall i_ {1} ، i_ {2} = 1،2 ، \ ldots ، (\ dim (V) = \ dim (V ^ {*})).}$

به طور مشابه ، تقارن مورب (یا ضد تقارن) تعیین می شود.

${\ displaystyle T ({\ underline {e ^ {j_ {1}}، e ^ {j_ {2}}}}، \ ldots، e ^ {j_ {n}}، e_ {i_ {1}}، e_ {i_ {2}} ، \ ldots ، e_ {i_ {m}}) = - T ({\ underline {e ^ {j_ {2}}، e ^ {j_ {1}}}}، \ ldots، e ^ {j_ {n}} ، e_ {i_ {1}} ، e_ {i_ {2}} ، \ ldots ، e_ {i_ {m}})؛}$

${\ displaystyle T (e ^ {j_ {1}} ، e ^ {j_ {2}} ، \ ldots ، e ^ {j_ {n}} ، {\ underline {e_ {i_ {1}}، e_ {i_ {}}}}} ، \ Ldots ، e_ {i_ {m}}) = - T (e ^ {j_ {1}} ، e ^ {j_ {2}} ، \ ldots ، e ^ {j_ {n} } ، {\ underline {e_ {i_ {2}}، e_ {i_ {1}}}}، \ ldots، e_ {i_ {m}})}$

یا در مواد تشکیل دهنده

${\ displaystyle T _ {{\ underline {j_ {1}، j_ {2}}}، \ ldots، j_ {n}} {_ i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {m}} = -T _ {{\ underline {j_ {2}، j_ {1}}}، \ ldots، j_ {n}} ^ _ i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {m}}، \ quad \ forall j_ {1} ، j_ {2} = 1،2 ، \ ldots ، (\ dim (V) = \ dim (V ^ {*})))؛}$

${\ displaystyle T_ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {n}} ^ {under \ underline underline {i_ {1}، i_ {2}}}، \ ldots، i_ {m}} = -T_ {j_ {1} ، j_ {2} ، \ ldots ، j_ {n}} ^ {{\ underline {i_ {2}، i_ {1}}}، \ ldots، i_ {m}}، \ quad \ forall i_ {1} ، i_ {2} = 1،2 ، \ ldots ، (\ dim (V) = \ dim (V ^ {*})).}$

تقارن یا عدم تقارن لازم نیست که فقط شاخص های مربوطه را پوشش دهد ، این می تواند شامل هر شاخص باشد ، اما با توجه به موارد زیر. تقارن یا عدم تقارن فقط می تواند مربوط به همان نوع شاخص ها باشد. تقارن ها ، هنگامی که با مقادیر تنش متناقض co-combined ترکیب شوند ، معمولاً چندان منطقی نیستند ، زیرا حتی اگر در اجزا مشاهده شوند ، با انتقال به پایگاه مرجع دیگری ، تخریب می شوند (یعنی غیر قابل تعویض هستند).

با این حال ، در صورت وجود یک فشار متریک ، وجود شاخص افزایش یا کاهش این ناراحتی را برطرف می کند ، بنابراین در صورت محدودیت زمانی که تانسور با یک معادله مناسب نمایش داده می شود ، محدودیت برداشته می شود (به عنوان مثال ، تانسور منحنی ریمان). $نمایش \ displaystyle R_ {mjkl} = g_ {im} R_ {jk \ ell} ^ {i}}$ در اولین و آخرین دو شاخص غیر متقارن است).

این تعاریف البته به بیش از دو شاخص تعمیم یافته اند. علاوه بر این ، برای هر قرائت که ولتاژ متقارن باشد ، عملکرد آن تغییر نمی کند و در مورد قرائت های ضد متر ، علامت تنسور برای تنظیم مجدد فرد (با تعداد عجیب و غریب انتقال از طرح اولیه نشانگرهای دریافت شده) تغییر می کند.

تقارن های پیچیده تری نیز وجود دارد ، به عنوان مثال ، اولین هویت برای بیانچی شیب تنور است.

5-ادامه تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:12

تعریف مدرن [ ویرایش | ویرایش کد ]

به طور کلی ، تنسور را می توان عناصر کارکرد تنسور در مناطق بردار دلخواه ، از جمله متفاوت اما مربوط به یکدیگر نباشید. با این حال ، حسگرهای مربوط به یک منطقه برداری خاص که در زیر تعریف شده اند ، از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند.

سنسور: $نمایش \ سبک نمایش (n ، متر)}$ درجه بیشتر از: $د:$ بردار حجم فضا نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ عنصر کار تانسور $n:$ و: $متر:$ مناطق مجاور ${\ displaystyle V {{*}}$ (یعنی منطقه عملکردی خطی (فرش) V).

${\ displaystyle \ tau \ in T_ {m} ^ {n} (V) = \ underbrace {V \ otimes \ ldots \ otimes V} _ {n} \ otimes \ underbrace {V ^ {*} \ otimes \ ldots \ otimes V ^ {*}} _ {m}. imes$

${\ displaystyle n + m}$ به مجموع اعداد ظرفیت تنسور گفته می شود (که غالباً عنوان نامیده می شود). سنسور: $نمایش \ سبک نمایش (n ، متر)}$ به آن درجه می گویند $n:$ زمان کنتراست و: $متر:$ covariant ، که گاهی n- class tensor نیز نامیده می شود ، به معنای کلاس (0 ، n ) یا (n ، 0) است ، به عنوان مثال: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ یک سنسور کلاس 3 است (3 نشانگر).

تنسور به عنوان یک عملکرد چند لایه [ ویرایش | ویرایش کد ]

درست مثل ${\ displaystyle (0،1)}$ یک تانسور درجه می تواند به عنوان یک تابع خطی نشان داده شود نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در فضا ، راحت است که یکی را تصور کنید نمایش $\ tau:$ tensor (0، n) درجه به عنوان n استدلال بردار نمایش $نمایش \ displaystyle \ tau (v_ {1} ، v_ {2} ، \ ldots ، v_ {n})}$ تابعی که با هر آرگومان خطی است نمایش $نمایش \ displaystyle v_ {i} \ در V}$ (به عنوان مثال ، توابع چند لایه نامیده می شوند) ، یعنی $F:$ برای هر ثابت در میدان c (که ناحیه بردار بر روی آن مشخص می شود) آن را نگه می دارد.

${\ displaystyle \ tau (v_ {1}، \ ldots، cv_ {A}، \ ldots، v_ {n}) = c \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A}، \ ldots، v_} n}) ،}$

${\ displaystyle \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A} + v_ {A} '، \ ldots، v_ {n}) = \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A}، \ ldots، v_ {n}) + \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A} '، \ ldots، v_ {n}).}$

در همان چهره ، از درجه دلخواه نمایش $\ tau:$ تنسور $نمایش \ سبک نمایش (n ، متر)}$ ارائه شده است $متر:$ بردارها و: $n:$ با عملکرد یکسو کننده چند لایه.

${\ displaystyle \ tau (v_ {1}، v_ {2}، \ ldots، v_ {m}، \ omega {{1}، \ omega {{2}، \ ldots، \ omega {{n})،}$

${\ displaystyle \ tau \ colon V ^ {m} \ بار (V ^ {*}) ^ {n} \ به F.}$

اجزای تنسور [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمایش سنسور در اجزای پایه [ ویرایش | ویرایش کد ]

در فضا انتخاب کنید نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ پایه: ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {1} ، \ mathbf {e} _ {2} ، \ ldots ، \ mathbf {e} _ {d} \}}$ ، و به ترتیب ${\ displaystyle \ {\ mathbf {f} ^ {1} ، \ mathbf {f} ^ {2} ، \ ldots ، \ mathbf {f} ^ {d} \}}$ - پایه دوتایی در منطقه مجاور ${\ displaystyle V {{*}}$ (به این معنا که، ( ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {a} \ cdot \ mathbf {f} ^ {b}) = \ delta _ {a} ^ {b}}$ ، ${\ displaystyle \ delta _ {a} ^ {b}}$ نماد کرونکر).

سپس تنسورها

$display \ displaystyle \ mathrm {T} _ {m} ^ {n} (V) = \ چپ (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} V \ right) \ otimes \ left (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {m} V {{*} \ راست)}$ در منطقه ، به طور طبیعی ، یک بنیاد ظهور می کند

$display \ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i_ {1}} \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {2}} \، \ otimes \، \ ldots \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {n}} \ ، \ اوقات \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {1}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ _ j_ {2}} \ ، \ otimes \ ، \ ldots \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {m}} \} ، \ quad 1 \ leqslant i_ {a}، j_ {b} \ leqslant d}$ .

نمایش $نمایش \ displaystyle \ tau \ در \ mathrm {T} _ {m} ^ {n} (V)}$ تانسور دلخواه را می توان به عنوان ترکیبی خطی از ترکیبات اساسی تانسور ثبت کرد.

${\ displaystyle \ tau = \ sum _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} \ sum _ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}} {\ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}}} \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {2}} \، \ otimes \، \ ldots \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {n}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {1}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {2}} \ ، \ otimes \ ، \ ldots \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {m}}. m$

با استفاده از توافق نامه انیشتین ، این انحلال را می توان به صورت زیر نوشت:

${\ displaystyle \ tau = {\ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}}} \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {2}} \، \ otimes \، \ ldots \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {n}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {1}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {2}} \ ، \ otimes \ ، \ ldots \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {m}}.}$

${\ displaystyle \ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}}}$ اعداد نامیده می شوند: نمایش $\ tau:$ اجزای تانسور اشتراک اجزای تنسور دقیق و زیرنویس ها متناقض نامیده می شوند. به عنوان مثال ، برخی از کابوی های دو قطبی $ساعت:$ انحلال به این شکل خواهد بود.

$display \ displaystyle h = \ sum _ {j، k} h_ {jk} \ mathbf {f} ^ {j} \ otimes \ mathbf {f} ^ {k}}$

اگر تنسور را به عنوان یک تابع چند لایه تعریف کنیم ، اجزای آن با مقادیر این تابع تعیین می شوند.

$display \ displaystyle \ mathrm {T} _ {n} ^ {m} (V) = \ چپ (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} V ^ {*} \ right) \ otimes \ left (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {m} V \ راست)}$ :

${\ displaystyle {\ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {n}} {_ i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {m}} \ = \ tau (\ mathbf {f} ^ {i_ {1}} ، \ mathbf {f} ^ {i_ {2}} ، \ ldots ، \ mathbf {f} ^ {i_ {m}} ، \ mathbf {e} _ { j_ {1}} ، \ mathbf {e} _ {j_ {2}} ، \ ldots ، \ mathbf {e} _ {j_ {n}}) ، \ quad 1 \ leqslant i_ {a} ، j_ {b} \ leqslant d. q$

اقدامات تنش [ ویرایش | ویرایش کد ]

سنسورها عملیات جبری زیر را مجاز می دانند:

ضرب اسکالر - ضرب هر یک از اجزای تانسور در مقیاس. مانند بردار یا ضرب مقدار (هر دو مورد خاص خاص هستند).
افزایش مقدار همان ظرفیت و شاخص (مجموع را می توان از نظر بردار به عنوان یک جز محاسبه کرد).
- وجود ضرب اسکالر ضمیمه تنورها همان نوع فضای خطی تانسور را تشکیل می دهند.
ضرب هایتنسور - بدون محدودیت. تانسور رتبه بندی (m ، n)} $نمایش \ سبک نمایش (m ، n)}$ تانسور $نمایش \ نمایش سبک (m '، n')}$ ضرب عمومی: $نمایش \ سبک نمایش (m + m '، n + n')}$ یک تانسور درجه است ، یعنی اگر: { ${\ displaystyle \ sigma \ in T_ {n} ^ {m} {$ و: ${\ displaystyle \ tau \ in T_ {n '} ^ {m'}}$ ضربآنهاست.

$display \ displaystyle \ sigma \ otimes \ tau \ in T_ {n + n '} ^ {m + m'} = T_ {n} ^ {m} \ otimes T_ {n '} ^ {m'}.}$

به عنوان مثال ، اجزای یک ضربتنسور ، ضرب هایاجزای مربوطه از عوامل هستند ...

$display \ displaystyle P _ {\ \ kl} {{ij} \ = A ^ {ij} B_ {kl}}$

تسکین تنسور یک عمل خاص تنسوری است که ظرفیت تنسور را کاهش می دهد ، محاسبه شده با جمع کردن یک جفت شاخص (در بالا اگر پایین باشد در پایین) در حال اجرا ، برابر ماندن با یکدیگر ، تمام مقادیر آنها ، به عنوان

3-ادامه تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:9

نمونه ای از تانسور درجه n [ ویرایش | ویرایش کد ]

$n:$ -حجم حجم در فضای خطی حجمی مثالی از کشش ضدممتری کلاس (0 ، n) درجه (یا کوواریال) است.

نمایش تنسور به شکل ماتریس [ ویرایش | ویرایش کد ]

$display \ displaystyle \ mathbf {T}$ به عنوان یک تابع (عملگر) بنویسید ، به عنوان مثال ، = f ( $display \ displaystyle \ mathbf {T} = f (\ cdot)}$ ، یک ماتریس دیگر $display \ displaystyle \ mathbf {T} = {\ start {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} \ end {bmatrix}} end$ . ابتدا باید مبنای محاسبه "مختصات تانسور" را انتخاب کنید. $display \ displaystyle \ sigma _ {nm}}$ . :

با توجه به مثال ولتاژ تنسور در بالا ، بدیهی است که از نظر فیزیکی ، رفتار بافت به هیچ وجه از نظر ریاضی به سیستم انتخاب سیستم وابسته نیست. یعنی ناظر بر اینکه چه مبنایی را انتخاب کند ، به هیچ وجه نمی تواند بر نحوه واکنش بافت به بریدگی های بدن وی تأثیر بگذارد.

تصویری که یک شی complex پیچیده دارای سایه های مختلف باشد: |: مینی |: یک جسم سه بعدی پیچیده ، بسته به زاویه دید یا انتخاب اساس انحلال ، دارای دو نمایش است ، شبیه جاه طلبی که در آن یک جسم فیزیکی سه بعدی می تواند سایه های دو بعدی مختلف داشته باشد. بنابراین ، شکل یک شی پیچیده را نشان می دهد که دارای سه سایه متفاوت (بسته به ظاهر) است ، ${\ displaystyle \ color {red} {\ mathbf {A}}}$ ، ${\ displaystyle \ color {green {{\ mathbf {B}}}$ و: ${\ displaystyle \ color {blue {{\ mathbf {C}}}$ . برای ایجاد تشبیهی بین تانسور این جسم هندسی ، یک جدول را جمع می کنیم.

جدول مفهوم سازگاری با آمبیگرام و تنسور
موضوع:	روش های اندازه گیری اشیا	روش های اندازه گیری اشیا	قانون تحول متقابل نتایج اندازه گیری
جاه طلبی - یک شکل هندسی پیچیده	نور از فانوس قرمز ، سبز و آبی	${\ displaystyle \ color {red} {\ mathbf {A}}}$ ، ${\ displaystyle \ color {green {{\ mathbf {B}}}$ و: ${\ displaystyle \ color {blue {{\ mathbf {C}}}$ سایه دو بعدی به شکل حروف	خود جسم سه بعدی آلبایگرام نحوه ارتباط سایه های آن را بیان می کند
خودکار	قوانینی با طول های مختلف	طول خط کش ${\ displaystyle \ color {red} {\ start {bmatrix} a_ {11} \ end {bmatrix}}}$ سانتی متر و: ${\ displaystyle \ color {green {{\ begin {bmatrix} b_ {11} \ end {bmatrix}}}$ اینچ	فرمول تبدیل اینچ به سانتی متر برعکس است ${\ displaystyle {\ color {red {{\ begin {bmatrix} a_ {11} \ end {bmatrix}}} = 2 {،} 54 \ cdot \ color {green} {\ start {bmatrix} b_ {11} \ پایان {bmatrix}} پایان$
$display \ displaystyle \ mathbf {T}$ - تانسور	پایه "قرمز" ، "سبز" ، "آبی"	مجموعه ماتریس ${\ displaystyle \ color {red {{{start {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {bmatrix}} \ color {green {{\ start {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {bmatrix}} \ color {blue {{\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} \\ c_ {21} & c_ { 22} \ end {bmatrix}}$	${\ displaystyle {\ color {green} b_ {nm}} = M {\ color {red} a_ {nm}} ، \ {\ color {blue} c_ {nm}} = M '{\ color {red} a_ {nm}} ، \ \ نقطه}$

به عبارت دیگر، $display \ displaystyle {\ start {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} \ end {bmatrix}}}$ ماتریس را می توان به عنوان سایه ریاضی یک جسم فیزیکی نشان داد: $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ در برخی از پایگاه داده انتخاب شده است. اگر مبنای دیگری انتخاب کنید ( $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ در "دیدگاه ریاضی بصری") ، سپس ماتریس متفاوت خواهد بود (یعنی اجزای ماتریس متفاوت خواهند بود).

می توان درک کرد که تنسور فقط یک سری اعداد نیست. از آنجا که تنسور T ماتریس نیست ، جسم سه بعدی (آمبیگرام) سایه نیست. برعکس ، سایه های 2 بعدی تصاویر دو بعدی از شکل ظاهری یک شی 3D سه بعدی غیرقابل درک می دهند.

باید به یاد داشته باشیم که نه تنها تانسور ماتریس نیست ، بلکه "ماتریس تانسوری وجود ندارد". تنسور فقط بعضی اوقات با تخم مرغ ماتریس نوشته می شود ، اما گاهی اوقات تخم مرغ نامناسب است: غیرضروری. بنابراین ، ماتریس تنها یکی از روشهای ثبت سنسور است ، نه جسم ریاضی ، تنسور.

باید فهمید که $display \ displaystyle f (\ cdot) = \ mathbf {T}}$ هر عملگر خط یک تنشور نیست.

اختلاف سنسور با سایر اشیا mathemat ریاضی ، که می تواند با معادله ماتریس نیز نوشته شود ، وجود دارد ، زیرا علاوه بر ماتریس ، برای تعیین تنسور ، لازم است قانون تغییر شکل سیستماتیک بین بازهای مختلف نیز مشخص شود.

به عنوان مثال ، برای نشان دادن ماتریس ها ، "پایه سبز" را انتخاب کنید و ماتریس (سایه سبز) را دریافت کنید

$display \ displaystyle \ mathrm {T} = \ color {green {{\ start {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} \ end {bmatrix}} ،}$

سپس! $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ برای انجام یک کار کامل ، باید نحوه تبدیل را نیز تعیین کنید ${\ displaystyle \ color {green} \ sigma _ {nm}}$ اجزای ماتریس "سبز" ماتریس "قرمز" و "آبی" (همان $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ مفاهیم ماتریس ، اما در مبانی دیگر).

به عبارت دیگر ، برای تعیین تنظیم کننده ، علاوه بر ماتریس ، لازم است قانونی برای تغییر مختصات نیز ارائه شود. از اینجا می توانیم تعریف غلط زیر را با تنسور ارائه دهیم: تنسور = جرم جز مولفه + قانون تبدیل جز مولفه هنگام جایگزینی پایه.

4-ادامه تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:9

هیچ نمونه ای وجود ندارد [ ویرایش | ویرایش کد ]

همانطور که در زیر توضیح داده شده است ، اجزای تنسور باید با اجزای بردارهای ناحیه ای که در طی تغییر شکل سیستماتیک بر روی آنها تعریف شده است ، هماهنگ شوند. در نتیجه ، تمام صفحات یا مقادیر شاخص که به نظر می رسد نمایانگر تنسور هستند ، در واقع یک صافی نیستند.

چنین صفحه ای ، اگرچه به طور کلی مصنوعی است ، به عنوان مثال ، که یک تنسور را نشان نمی دهد ، ممکن است صفحه ای باشد که اجزای آن نمایانگر مجموعه ای از اعداد دلخواه است که در طول تغییرات سیستماتیک خودسرانه ، خودسرانه تغییر نمی کنند. چنین جسمی نمایانگر تانسور نیست یا در هر صورت نمایانگر تانسور در ناحیه خطی نیست که تحول مختصات در آن اتفاق افتاده است. بنابراین ، مجموعه ای از سه عدد یک بردار سه بعدی را نشان نمی دهد ، مگر اینکه وقتی این مختصات با یک تخم مرغ بسیار خاص جایگزین شوند ، این اعداد تبدیل می شوند.
همچنین ، به طور کلی ، زیرمجموعه ای از اجزای تانسور بالاتر ، تانسور کمتری نیست.
جسم تانسور نیست ، تمام اجزای آن حداقل در یک سیستم مختصات غیر تخریب (به طور کلی) صفر دارند و در دیگری حداقل یک جز component غیر صفر است. این واقعیت به دلیل خطی بودن (چند) سنجنده است.

اجسامی وجود دارند که نه تنها شبیه سنسورها هستند ، بلکه اعمال تنسوری تعریف شده (و دارای معنی معقول و صحیح) هستند (بسته شدن با سایر حسگرها ، به ویژه بردارها) ، اما سنسور نیستند.

اول از همه ، ماتریس های تبدیل مختص خود (ماتریس های ژاکوبی) ، که مورد خاصی از تغییر شکل بین این دو رقم است ، به سنسورها ، که تعریف کلاسیک تنسور را معرفی می کنند ، گسترش نمی یابد ، اگرچه از بسیاری جهات شبیه یک سنسور هستند. برای آنها ، شما همچنین می توانید اشتراک یادداشت ها ، عملیات ضرب ، جمع و جمع را وارد کنید. با این حال ، بر خلاف یک سنسور که اجزای آن فقط به مختصات یک منیفولد معین وابسته هستند ، اجزای ماتریس ژاکوبی نیز به مختصات یک تصویر مالتی پلکس بستگی دارند. این تفاوت هنگامی آشکار می شود که ماتریسهای ژاکوبی دو نوع دلخواه دیفترومورفیسم را در نظر بگیرید ، با این حال ، هنگام تهیه نقشه از ضرب ، ممکن است متوجه آن نشوید. زیرا مناطق ملموس تصویر معکوس هستند (غیر متعارف). با این وجود ، همچنان باقی است. تشابه بین ماتریسهای Jacobi و تنورها را می توان با در نظر گرفتن بسته های دلخواه بردار از چند بخش و خروجی آنها ، نه فقط بسته های گلوی بسته بندی ملموس ، ایجاد کرد.
نمادهای کریستوفر $display \ displaystyle {\ Gamma {{i}} _ {jk}}$ آنها یک تنسور را نشان نمی دهند ، فقط به این دلیل که می توانند با انتخاب مختصات نزدیک به یک نقطه دلخواه ناپدید شوند ، همانطور که مختصات (با خط) غیر صفر می شوند. با این حال ، م componentلفه اتصال با بردار بردار واقعی را بدست می آورد و تفاوت آنها در کشش واقعی (پیچش تنسور) است. نمادهای کریستوفر ، مانند هر ضریب همبستگی ، عناصر فضای پیچیده تری نسبت به فضای سنسورها ، صفحه هواپیما هستند.

تعاریف [ ویرایش | ویرایش کد ]

تنسور به عنوان یک شی هندسی تعریف می شود که به عنوان یک آرایه چند بعدی توصیف می شود ، یعنی یک سری اعداد که با چندین نشانگر شماره گذاری شده اند یا به عبارت دیگر $n:$ در داخل جدول حجم ، جایی که: $n:$ ظرفیت تانسور است (نگاه کنید به بالا).

بنابراین ، بردار (تانسور درجه یک) به عنوان جرم یک طرفه یا به صورت خط تعریف می شود

${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ start {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ dots & x_ {m} \ end {bmatrix}}}$

یا به عنوان یک ستون

$display \ displaystyle \ mathbf {x} = {\ start {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}}،}$

و اشیایی مانند اپراتور خطی و اسب چهارگوش با ماتریس دو بعدی

$display \ displaystyle \ mathbf {T} = {\ start {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {bmatrix}}.}$

اسکالر (تانسور درجه صفر) با یک عدد تعریف می شود نمایش ${\ mathbf {x}}$ که می تواند به عنوان یک نت کاهش یافته از جرم حجم صفر توسط یک عنصر در نظر گرفته شود ، یعنی ${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ start {bmatrix} x_ {1} \ end {bmatrix}}}$ . در نظر گرفتن ماتریسهایی با چنین اندازه صفر بعنوان موارد خاص تنسورها مناسب است ، زیرا همه تعاریف و قضیه های تنسور برای آنها معتبر است و بردارهای مقیاس را نمی توان به طور جداگانه تعیین کرد.

2-ادامه تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:8

درجه تنسور 0 است [ ویرایش | ویرایش کد ]

تانسور درجه صفر را تانسور (0.0) یا اسکالر می نامند.

یکی از ساده ترین نمونه های بردار اسکالر نمایش $v:$ طول بردار است نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ فضای اقلیدسی.

نکته جالب در مورد مقیاس کش ها این است که آنها با حرکت در فضای جدید تغییر نمی کنند. لازم به ذکر است که مقیاس عنصری از فضای خطی نیست ، بلکه عنصری از فیلدی است که این فضا بر روی آن داده می شود. این مخصوص فضای اقلیدسی است ${\ mathbb {R} {$ این زمینه به انواع تنسورها برگشته است ${\ displaystyle (0،0)}$ اعداد واقعی در اطراف فضای اقلیدسی هستند.

بدیهی است که طول بردار به انتخاب پایه منطقه بستگی ندارد و در نتیجه ، مقیاس است ، اما به دلیل سختگیری ، شما فقط می توانید این واقعیت را ثابت کنید.

طول بردار ، بر اساس تعریف ، با فرمول محاسبه می شود:

${\ displaystyle | v | = {\ sqrt {(v، v)}} ،}$

جایی که: نمایش $نمایش \ displaystyle (v ، v)}$ - عملکرد محصول اسکالر $display \ displaystyle (\ cdot \ ،، \ cdot): V \ بار V \ rightarrow \ mathbb {R}:$ که ارزش آنها فقط به بردارهای آرگومان بستگی دارد و با تغییر اساس تغییر نمی کند. بنابراین ، طول بردار به انتخاب پایه بستگی ندارد.

نمونه سنسورهای درجه 1 را طبقه بندی کنید [ ویرایش | ویرایش کد ]

دو نوع سنسور درجه 1 وجود دارد.

نمایش $نمایش \ displaystyle (1،0)}$ نوع تانسور - بردارها - نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ عناصر فضایی که گاهی اوقات بردارهای متناقض نامیده می شوند.
${\ displaystyle (0،1)}$ بردارهای نوع - خطی ${\ displaystyle V {{*}}$ عناصر متصل را بعضی اوقات بخاری می نامند.

نمونه ای از تانسور درجه 1 [ ویرایش | ویرایش کد ]

در این مثال ما از ناحیه برداری استفاده می کنیم ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$ (صفحه اقلیدسی) ، عناصر آن جفت اعداد واقعی هستند.

در نظر گرفتن: $display \ displaystyle v = {\ start {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ (سبز در تصویر) بردار

ما یک پایه را در یک صفحه بردار قرار می دهیم ${\ displaystyle {\ color {red} e_ {1}} = {\ start {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ و: ${\ displaystyle {\ color {red} e_ {2}} = {\ start {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ چنین پایه ای پایه استاندارد نامیده می شود و در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است). مشخص كردن: $display \ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ بردار به انتخاب پایه بستگی ندارد ، به طور مستقل تعریف شده است.

در یک سیستم مختصات مستطیل شکل ${\ displaystyle x {{1}، \؛ x {{2}}$ ، مربوط به بنیاد است ${\ displaystyle \ color {red} e_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {red} e_ {2}}$ ${\ displaystyle \ color {limegreen} v}$ دارد ${\ displaystyle v ^ {1} = 1}$ ، نمایش $نمایش \ displaystyle v ^ {2} = 2}$ مختصات ، یعنی

${\ displaystyle {\ color {limegreen} v} = v ^ {1} {\ color {red} e_ {1}} + v ^ {2} \ color {red} e_ {2}}$ .

ما اکنون مبنای جدیدی ارائه می دهیم ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ ، دریافت شده از اولین: $display \ displaystyle 45 {{\ circ}}$ چرخش در جهت مثبت. سپس: ${\ displaystyle {\ color {blue} f_ {1}} = {\ start {pmatrix {{\ frac {1 {{\ sqrt {2}} \ \\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}} } \ end {pmatrix}}}$ ، پایان ${\ displaystyle {\ color {blue} f_ {2}} = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {1 {{\ sqrt {2}} \ \\ {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} \ end {pmatrix}} پایان$ .

در تصویر ، یک بردار وجود دارد ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{1}$ ، ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{2}$ مختصات در پایگاه جدید متفاوت است ${\ displaystyle \ color {limegreen} v}$ از مختصات بردار. این بسیار مهم است زیرا ${\ displaystyle \ color {limegreen} v}$ بردار به خودی خود به عنوان عنصری از فضای خطی ، به هیچ وجه به انتخاب پایه در فضا بستگی ندارد ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{1}$ ، ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{2}$ مختصات بردار در طی انتقال به یک پایگاه جدید توسط قانون تبدیل ویژه (بردار) تغییر می کند.

به همین ترتیب ، برای سایر سنجنده های مقدار (اما متفاوت از 0) ، آنها خود تنسورها هستند ، که به هیچ وجه به پایه فضا بستگی ندارند ، اما مختصات آنها ، که اغلب با آنها با سنسورها کار می کنند ، به انتخاب پایه بستگی دارد.

مثال: $display \ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ در این مثال از بردار ، قانون تبدیل مختصات بردار هنگام عبور از یک پایه به مبنای دیگر به دست می آید. توزیع کردن: { ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ بردارها ${\ displaystyle \ color {red} e_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {red} e_ {2}}$ در پایگاه داده و بردار را مشخص کنید ${\ displaystyle c_ {i} ^ {j}}$ صفحه نمایش $j:$ از طریق مختصات ، سپس:

${\ displaystyle {\ color {blue} f_ {i}} = c_ {i} {{1 {{\ color {red} e_ {1}} + c_ {i} ^ {2} {\ color {red} e_ {2}} = c_ {i} ^ {j} {\ color {red} e_ {j}} ، \ quad i = 1،2،}$

که در آن ، مانند هر مکان دیگر ، فرض بر این است که تکرار شاخص های از بالا به پایین (مطابق با صفحه نمایش $j:$ شاخص) ماتریس: ${\ displaystyle (c_ {i} ^ {j})}$ ماتریس انتقال نامیده می شود: ${\ displaystyle \ color {red} e_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {red} e_ {2}}$ از زمین! ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ . در این مثال:

${\ displaystyle (c_ {i} ^ {j}) = {\ start {pmatrix} {\ frac {1 {{\ sqrt {2}}} & - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} و {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ end {pmatrix}}}$ . ما به اشتراک خواهیم گذاشت نمایش $v:$ بردار با دو پایه و از عبارت قبلاً به دست آمده استفاده کنید ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {i}}$ برای

${\ displaystyle {\ color {limegreen} v} = {\ tilde {v}} ^ {i} {\ color {blue} f_ {i}} = {\ tilde {v}} ^ {i} c_ {i} {{j {{\ color {red} e_ {j}} = v ^ {j {{\ color {red} e_ {j}}}$

از معادله دوم روابط بین مختصات را بر اساس جدید و قدیمی بدست می آوریم. ${\ displaystyle v ^ {j} = c_ {i} ^ {j {{\ tilde {v}} ^ {i}}$ ضرب معادله در ماتریس معکوس ${\ displaystyle ({\ bar {c}} _ {i} ^ {j})}$ - چه کسی ، ما می گیریم ${\ displaystyle {\ tilde {v}} ^ {k} = {\ bar {c}} _ {s} ^ {k} v ^ {s}}$ عبارتی که به شما امکان می دهد مختصات یک بردار را پیدا کنید نمایش $v:$ در هسته ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ .

قانون تغییر مختصات برداری را که قبلاً ذکر شد مشخص کنید.

بیایید فقط ذکر کنیم که در این مثال ، پایه ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ بردار: ${\ displaystyle {\ color {limegreen} v}}$ مختصات دارد

${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{1} = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {2}}}$ , ${\ displaystyle {\ tilde {v}} ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ، می توان آن را با استفاده از معادله بدست آورد ${\ displaystyle {\ tilde {v}} ^ {k}}$ .

بدیهی است که مختصات موجود در پایگاه داده جدید بردارها با پایگاه داده مختصات قدیمی واقعاً متفاوت است.

نمونه ای از یک تابع خطی (نوع تانسور) ${\ displaystyle (0،1)}$ ، مخفی) [ ویرایش | ویرایش کد ]

قابلیت خطی بازتابی خطی از فضای بردار است نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در مزرعه $K:$ که در آن این منطقه داده شده است (برای مناطق اقلیدسی: نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ )

مانند مثال قبلی ، ما از منطقه اقلیدسی استفاده خواهیم کرد: ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

بردار را درست می کنیم نمایش $نمایش \ displaystyle a \ در V}$ ، ما طول را تغییر می دهیم و جایگزین می کنیم نمایش $نمایش \ displaystyle \ varphi (x) = (a ، x)}$ تابع ، که یک بردار است نمایش $نمایش \ displaystyle x \ در V}$ متصل می شود نمایشگر $ایکس:$ بردار: بردار ${\ displaystyle a}$ با محصول اسکالر.

از آنجا که محصول اسکالر با دو استدلال خطی است: $display \ displaystyle \ varphi: V \ longrightarrow \ mathbb {R}، \؛ x \ longmapsto (a، x)}$ خطی است

برای نقشه برداری خطی ، می توانید با افزودن یک قانون ، عملیات ضرب را وارد کنید

${\ displaystyle (\ lambda _ {1} \ varphi _ {1} + \ lambda _ {2} \ varphi _ {2}) (x) = \ lambda _ {1} \ varphi _ {1} (x) + \ lambda _ {2} \ varphi _ {2} (x)}$ ) ، مجموعه تمام توابع خطی با عملکردهای معکوس بسیاری از همه توابع خطی یک منطقه خطی به نام ناحیه ملتحمه است و ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ .

چگونه نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در فضای ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ شما می توانید اساس ، عناصر اصلی را برای فضای ترکیبی انتخاب کنید نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ از جانب: $K:$ توابع ، سپس بیشترین استفاده را در نظر بگیرید ، ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ پایه.

نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ برخی را در فضا اصلاح کنید ${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ پایه و تعریف کنید ${\ displaystyle e ^ {1} ، \ ، e {{2} ، \ dots ، e ^ {n} \ in V ^ {\ ast} {$ نمایش دادن: ${\ displaystyle e x {i} (x): = x ^ {i}}$ ، به طور معمول ، در کجا: نمایش $نمایش {\ displaystyle x ^ {i}$ $من:$ بردار مختصات را در پایگاه داده x هماهنگ کنید

${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ ${\ displaystyle e {{1} ، \ dots ، e ^ {n}}$ توابع مختصات توابع خطی هستند و مبنایی را تشکیل می دهند (dual نامیده می شود) ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ در فضای.

از آنجا که ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ یک فضای بردار است ، عنصر آن است نمایش $\ varphi:$ ، عملکرد طرح ریزی قبلاً درج شده) را می توان به موارد زیر گسترش داد: ${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ : ${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {i} e ^ {i}}$ روی زمین.

$display \ displaystyle \ varphi _ {1} ، \ ، \ varphi _ {2} {$ اعداد را تنسور می نامند نمایش $\ varphi:$ مختصات ، آنها به پایه دوگانه بستگی دارند ${\ displaystyle e {{1} ، \ dots ، e ^ {n}}$ که از آن تعیین می شود نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در فضای ${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ با انتخاب مبنا بنابراین ، اگر شما انتخاب کنید نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ بر اساس مبنای دیگر ، مختصات تابع خطی تغییر خواهد کرد ، اگرچه خود تابع بدون تغییر است.

در مثال نوع تانسور نمایش $نمایش \ displaystyle (1،0)}$ ، به روشی مشابه قابل دستیابی است

${\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}} _ {i} = c_ {i} ^ {s} \ varphi _ {s} \ } ^ {s} t \ tilde {\ varphi}} _ {s} {$ تحول مختصات بردار. ما چنین کاری نخواهیم کرد ، اما بگذارید یک بار دیگر یادآوری کنیم که مختصات خط سنسورهای نوع (0،1) هنگام تغییر پایه بر اساس یک قانون مخفی خاص ، خود تنش (نقشه برداری نمایش $\ varphi:$ تغییر نمی کند. چنین عباراتی برای مناقصه های با ارزش بالاتر صحیح است.

نمونه ای از تانسور درجه 2 [ ویرایش | ویرایش کد ]

ساده ترین ایده برای درک اهمیت فیزیکی (و تا حدودی هندسی) تنیس درجه دوم احتمالاً فشار ناشی از تنش بافتی تحت تنش خارجی است. $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ مشاهده (نگاه کنید به شکل). کشیدن آن در جهات مختلف با دستان خود و یا کشیدن پارچه روی برخی اسب های پیچیده می تواند به عنوان یک قطعه پارچه باشد. به طور شهودی روشن است که مولکول ها ، اتم های لایه های اتمی ، جهت گیری متفاوت خواهد بود به دلیل ولتاژ بافت ها در قسمت های مختلف الیاف بافت های مختلف. این شبیه چیزی است که هر منطقه می تواند دما یا فشار هوا را در خود جای دهد. بنابراین ، هر نقطه از بافت با شی ریاضی آن مطابقت دارد: $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ تانسور ولتاژ (تانسور درجه دو). برای درک اینکه تنسور T چگونه وضعیت ولتاژ را در هر نقطه از پارچه نشان می دهد ، می توانید یک برش کوچک در آن نقطه ایجاد کنید ، و ببینید که در چه جهتی این برش ها مغرضانه است. بنابراین شکل بالا ، ما دو قسمت مختلف از نقاط را برش دادیم. یک جهت را برش دهید $display \ displaystyle \ color {red} c}$ خط قرمز نقطه چین شده را نشان می دهد ، دیگری $display \ displaystyle \ color {blue} c}$ جهت خطوط آبی رنگ است. $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ برای توصیف ریاضی جهت کاهش داده ها ، از بردار به صورت عادی (بردار عمودی در صفحه) استفاده می شود. بنابراین $display \ displaystyle \ color {red} c}$ بردار طبیعی برای بخش ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ قرمز است در صفحه قطعه عمودی ، $display \ displaystyle \ color {blue} c}$ در مورد قطعه ، وضعیت به همین ترتیب است. علاوه بر جهت رشد در بافت ، بردارهای بنفش را نشان می دهد. $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ .

برای پیش بینی محل ایجاد برش ، از یک تانسور کششی استفاده می شود. از نظر ریاضی ، این پیش بینی مشابه خواهد بود.

تعریف "عملکرد تنسور" ${\ displaystyle f (x، y) = \ mathbf {T} _ {x، y}}$ ، که استدلال های آن مختصات نقاط داخل بدن است ، و مقدار آن تنسور است ، که وضعیت کشش را در یک نقطه مشخص از بدن توصیف می کند.
به عنوان مثال یک نقطه بدن را انتخاب کنید $(x_ {0} ، y_ {0})$ و از: $نمایشگر \ نمایش سبک f (x ، y)}$ یک سنسور تهیه کنید که حالت ولتاژ را در نقطه توصیف کند ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x_ {0} ، y_ {0}}}$ .
جهت هواپیما را تعیین کنید ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ ، که در آن بدن بریده خواهد شد.
با برش جهت نقطه T را ضرب کنید $(x_ {0} ، y_ {0})$ ولتاژ تنسور در این نقطه ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x_ {0} ، y_ {0}}}$ ، آن سابقه ریاضی به نظر می رسد ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x_ {0}، y_ {0} color \ color {red {{\ vec {c}} = \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ .
بردار: $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ نشان می دهد که در آن است ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ پخش كردن $(x_ {0} ، y_ {0})$ نقطه:

باید درک کرد که برش هایی که در جهات مختلف در یک نقطه از بدن ایجاد می شوند منجر به پاسخ های مختلف بافتی می شوند. این پدیده در شکل زیر نشان داده شده است ، جایی که رشد پارگی بافت اتفاق می افتد $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ در جهات مختلف و با شدت متفاوت ${\ displaystyle \ | {\ color {RedViolet {{\ vec {t}}} \ |}$ در پاسخ به همان نکته ای که گفته شد ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ و: $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ قبل از برش در جهات مختلف.

فقط برای توصیف چنین رفتارهای پیچیده ای از تنور استفاده می شود که در این حالت به عنوان توابع برداری عمل می کنند. ${\ displaystyle f_ {x_ {0}، y_ {0}} ({\ vec {c}}) = \ mathbf {T} _ {x_ {0}، y_ {0}} ve \ vec {c}} = {\ vec {t}}}$ ، در هر نقطه تعریف شده است $(x_ {0} ، y_ {0})$ تکه های پارچه که تمام جهات ممکن را تعریف می کند ${\ displaystyle {\ vec {c}}}$ کاهش در تمام جهات ممکن ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$ تخریب بیشتر بافت

نمونه های انتزاعی تر از سنسورهای کلاس 2.

درجه تانسور نمایش یک خط دو خطی وجود دارد ، به عنوان مثال ، یک تانسور متریک در یک فضای ملموس
- پیچنده شیب رومی - تنسور ریچی ${\ displaystyle R_ {ij}}$ درجه: نمایش $نمایش \ سبک نمایش (0،2)}$ .
درجه تانسور(کوکنار لنگر نیز نامیده می شود [1] ) دارای یک عملگر خطی هستند یا:
- به طور خاص ، عملگر هویت ، که می تواند توسط یک ماتریس هویت نشان داده شود ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$ ، - درجه تانسور $display \ displaystyle (1،1)}$ .

نمونه ای از تانسور 3 درجه [ ویرایش | ویرایش کد ]

نماد NK Chivita یک سنسور کلاس 3 است ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ .

نمونه ای از تانسور 4 درجه [ ویرایش | ویرایش کد ]

منحنی رومی به شکل طبیعی آن ${\ displaystyle {R ^ {i}} _ {jkl}}$ از تانسور $display \ displaystyle (1،3)}$ مثال درجه.

1-تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه هجدهم آذر ۱۳۹۹ | 17:7

تانسور ( لات. ، Tensus «تنش" کلمه)، جبر خطی شی که خطی تبدیل یک فضای خطی با عناصر از عناصر دیگر. موارد خاص تونرها مقیاس ها ، بردارها ، اشکال دو خطی و غیره هستند.

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} {$ , $display \ displaystyle \ mathbf {e} _ {2}$ , $display \ displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$ نیروهای تأثیرگذار در جلسات هستند

سنسورها اغلب به عنوان یک آرایه چند بعدی ارائه می شوند $نمایش \ نمایش سبک d \ بار d \ بار \ cdots \ بار d}$ ، با اعداد صحیح ، اجزای تنسور (که در آن: $د:$ است اندازه فضای برداری که در آن تانسور داده می شود، քանակ تعداد عوامل همزمان با به اصطلاح ظرفیت و یا درجه شدت). چنین جرمی را در مواردی دو بعدی می نامند که: نمایش $نمایش \ displaystyle d \ بار d}$ ورودی ماتریس جرم (تانسور درجه 2):

$display \ displaystyle {\ start {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23 } \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {bmatrix}} end$

ممکن است چنین نمایشی (به استثنای سنسورهای مقدار صفر) فقط پس از انتخاب مبنا (یا سیستمی با جبر خطی) امکان پذیر باشد.

خود تنسور ، به عنوان "یک موضوع هندسی" ، به انتخاب زمین بستگی ندارد ، که از مثال برداری مشخص می شود ، که یک مورد خاص از سنسور است. اجزای یک بردار با تغییر محورهای مختصات تغییر می کنند ، اما خود بردار ، که می تواند یک بخش مستقیم باشد ، تغییر نمی کند.

مختصات تنسور معمولاً با برخی حروف ، ترکیبی از نشانگرهای بالا (روبرو) و پایین (کوواریت) نشان داده می شوند. ${\ displaystyle X_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {s}} ^ {i_ {1} i_ {2} \ dots i_ {r}}}$ . وقتی مبنا تغییر می کند ، م theلفه هایی که منتقل می شوند به همان شیوه مبنا تغییر می کنند (با استفاده از همان تحول) ، در حالی که تضادها برعکس به تغییر اساسی تغییر می کنند (تحول معکوس).

اصطلاح "تنسور" نیز غالباً با عبارت "میدان تنسور" مخفف می شود که برای مطالعه محاسبات تنسور استفاده می شود.

از چند رویکرد برای تعیین سنسور استفاده می شود.

یادداشت مبتنی بر هماهنگی
1. ضبط ماتریس - ${\ displaystyle {\ start {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {bmatrix}}}$ $display \ displaystyle {\ start {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} \ end {bmatrix}}}$ .
2. ورود شاخص $display \ displaystyle T_ {ij \ dots} {{k \ ell \ dots}}$ ${\ displaystyle X_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {s}} ^ {i_ {1} i_ {2} \ dots i_ {r}}}$ یا: $display \ displaystyle \ sigma _ {nm}}$ .
مستقیم نوشته شده (گاهی اوقات سیستماتیک ، بدون نقص نامیده می شود) د.
1. سابقه عملکردی یا عملیاتی. نمایش $نمایش \ displaystyle x ، y}$ متغیرها ، بردار $display \ displaystyle {\ vec {v}}}$ ، تابع: $display \ displaystyle f (\ cdot)}$ ، اپراتور $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ یا: $display \ displaystyle \ mathbf {T} (\ cdot)}$ ؛
ضبط گرافیک.
1. با نموداری از راجر پنروز پیشنهاد شده است.

محتوا:

نمونه هایی از سنسورها [ ویرایش | ویرایش کد ]

حسگرها به طور گسترده در زمینه های دیفرانسیل هندسه دیفرانسیل ، جبر ، مکانیک ، فیزیک نظری-ریاضی ، نظریه عمومی نسبیت ، علم استفاده می شوند. بسیاری از معادلات فیزیک و ریاضیات هنگام استفاده از نت تانسور کوتاه و راحت تر می شوند. استفاده از تنور به شما امکان می دهد نسبت های مختلفی از مقادیر فیزیکی ، معادلات و مدل ها را مشاهده کنید.

در زیر ساده ترین مثالهای تنور وجود دارد که درک آنها درک عمومی تعریف یک سنسور (درجه) ظرفیت دلخواه را بسیار تسهیل می کند.

ادامه تانسور دو فضای برداری

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه هفدهم آذر ۱۳۹۹ | 0:2

را از نظرمولفه در زیر بردارهای پایه نشان دهیم:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}} ، \ \ mathbf {w} = { \ start {bmatrix} w_ {1} \\ w_ {2} \\\ vdots \\ w_ {m} \ end {bmatrix}}.}$

جایی که هر بردار ستون مخفف اجزا در مبنای خاص است - به عنوان مثال ، ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + v_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}$ (و همینطور برای $\ mathbf {w}$ )

سپس تانسور یک نقشه ${\ displaystyle T (\ mathbf {v} ، \ mathbf {w})}$ است که مانند بالا کار می کند ، یک اسکالر را برمی گرداند و از نظر هر دو استدلال خطی است. چنین تانسوری را می توان با استفاده از ضرب ماتریس نشان داد:

${\ displaystyle T (\ mathbf {v}، \ mathbf {w}) = \ mathbf {v} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {T} \ mathbf {w}}$

که در آن جبر خطی انتقال ماتریس را نشان می دهد ، که بردار را می فرستد به بردار دوتایی آن .

با توجه به دو بردار ، ما می توانیم از آنها یک تانسور تشکیل دهیم نه به طور طبیعی با استفاده از ضرب خارجی ، که نشان داده می شود با ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$ و برابر ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ mathbf {w} ^ {\ mathsf {T}}}$ است . این تانسور به صورت ماتریس خارج می شود

${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w} = {\ start {bmatrix} v_ {1} w_ {1} & v_ {1} w_ {2} & \ cdots & v_ {1} w_ {m} \ \ v_ {2} w_ {1} & v_ {2} w_ {2} & \ cdots & v_ {2} w_ {m} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ v_ {n} w_ {1 } & v_ {n} w_ {2} & \ cdots & v_ {n} w_ {m} \ end {bmatrix}}}$

و این ماتریس با ساخت قبلی با تانسور مطابقت دارد که یادآور نحوه مطابقت آن با یک نقشه خطی است (فقط با ضرب در یک طرف) این تانسور ها خودشان با جمع کردن آنها و ضرب آنها در مقیاس به روشهای متداولی که ما برای ماتریس ها و توابع انجام می دهیم ، یک فضای بردار ایجاد می کنند و مجموعه تمام این تانسور های تشکیل شده ضرب تانسور $V \ otimes W$ از دو فضای برداراست. در حقیقت ، این فضا معادل فضای نقشه ها است که توسط هر ماتریس ممکن از اندازه فوق نشان داده می شود ، همانطور که با توجه به اینکه ضربهای ساده تانسور ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}}$ (اینجا پایه فضای بردار دیگر است ، $دبلیو$ در $(من ، ج)$ موقعیت -th و "0" در هر جای دیگر ، که به آنها اجازه می دهد در هر عددی ضرب شوند و سپس برای بدست آوردن یک ماتریس با ورودی های دلخواه جمع شوند.

هدف از بخشهای بعدی یافتن تعریفی است که معادل این تعریف باشد درصورتی که قابل اجرا باشد اما به انتخاب پایه ی خاصی نیاز ندارد و همچنین می تواند با سهولت بیشتری در تنظیمات بعدی بی نهایت که در آن مفاهیم پایه معمول استفاده می شود ( همل اساس ) ممکن است بد رفتاری داشته باشد. عدم نیاز به پایه یخاص از نظر نظری مفید است ، زیرا در حالی که هر فضای بردار دارای مبنایی است ، لزوماً همه مبانی قابل ساخت نیستند ، و علاوه بر این ، نتیجه خود به پذیرش بدیهی انتخاب بستگی دارد ، که ممکن است در برخی رد شود سیستم های ریاضیات. همچنین ، یافتن یک ساختار انتزاعی برای تجزیه و تحلیل از دیدگاه تئوری مقوله مفید است- نظریه "تصویر بزرگ ریاضیات" بسیار بزرگ شده و نحوه ارتباط همه اشیا ریاضی با یکدیگر به معنای کاملاً کلی. یک کاربرد بسیار مهم در زندگی واقعی برای داشتن چنین تعریفی را می توان در مکانیک کوانتوم یافت : ضرب تانسور در این شکل به ما امکان می دهد در مورد عملکرد موج یک سیستم از دو ذره به عنوان یک بردار فضای انتزاعی هیلبرت صحبت کنیم بدون اینکه لازم باشد یک پایه ی خاص مشاهدات .

گام کودک به سمت ضرب کششی انتزاعی: فضای برداری آزاد[ ویرایش ]

اولین مرحله ای که ما در نظر خواهیم گرفت شامل معرفی چیزی به نام " فضای بردار آزاد " در یک مجموعه داده شده است. محوریت این ایده اساساً شامل همان چیزی است که ما در آخرین نکته گفتیم: از زمان تنش $تی$ با جمع دو برابر قابل نوشتن است

${\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {m} (v_ {i} w_ {j}) (\ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j})}$

طبیعی ترین راه برای رسیدن به این مشکل به نوعی کشف این مسئله است که چگونه می توان انتخاب خاص پایه ها را "فراموش" کرد $\ mathbf {e}$ و $\ mathbf {f}$ که در اینجا استفاده می شود در ریاضیات ، روش "فراموش کردن" ما در مورد جزئیات بازنمایی چیزی ایجاد یک شناسایی است که به ما می گوید دو چیز متفاوت که باید نمایش یک چیز در نظر گرفته شوند در واقع چنین هستند ، یعنی با توجه به گفته های "بله" ، آنها "یا" نه ، آنها نیستند "، و سپس" با هم جمع می شوند "تمام نمایش ها به عنوان" چیز نمایندگی "را تشکیل می دهند بدون اشاره به هیچ یک از آنها به ویژه با بسته بندی همه آنها با هم در یک مجموعه واحد. از نظر رسمی ، ابتدا یک رابطه معادل سازی ایجاد می کنیم ، و سپس مقدار تعیین شده توسط آن رابطه را می گیریم .

اما قبل از اینكه بتوانیم این كار را انجام دهیم ، ابتدا باید آنچه را كه قرار است رابطه هم ارزی را از آن خود كنیم ، توسعه دهیم. روشی که ما برای انجام این کار انجام می دهیم این است که برعکس ، از "پایین به بالا" به این رویکرد نزدیک شویم: از آنجا که هنگام شروع از فضاهای بردار خودسر ، اساساً ساختنی برای ما تضمین نشده است ، در عوض ممکن است سعی کنیم با تضمین داشتن یکی - یعنی ابتدا با در نظر گرفتن یک "مبنا" ، به صورت جداگانه ، و سپس ساختن فضای بردار در بالا شروع خواهیم کرد. برای این منظور ، موارد زیر را انجام می دهیم: فرض کنید که $ب$ برخی از مجموعه هاست که می توانیم آنها را مجموعه ای انتزاعی بنامیم . اکنون تمام عبارات رسمی فرم را در نظر بگیرید

${\ displaystyle \ mathbf {v} = a_ {1} \ beta _ {1} + a_ {2} \ beta _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ beta _ {n}}$

از طول دلخواه ، اما محدود $n$ و برای چه $a_ {j}$ مقیاس پذیر هستند و $\ beta _ {j}$ عضو هستند $ب$ . بصری ، این یک ترکیب خطی از بردارهای پایه به معنای معمول گسترش عنصر فضای بردار است. ما این را "اصطلاح رسمی" می نامیم زیرا از نظر فنی ضرب غیر قانونی است ${\ displaystyle a_ {j} \ beta _ {j}}$ از آنجا که هیچ عمل ضرب مشخصی به طور پیش فرض در یک مجموعه دلخواه و مقیاس دلخواه وجود ندارد. درعوض ، ما "وانمود" خواهیم کرد (شبیه تعریف اعداد خیالی ) که این به چیزی اشاره دارد و سپس دستکاری آن را طبق قوانینی که برای یک فضای بردار انتظار داریم ، ادامه می دهیم ، به عنوان مثال مجموع دو رشته از این رشته با استفاده از همان توالی از اعضای $ب$ است

${\ displaystyle (a_ {1} \ beta _ {1} + a_ {2} \ beta _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ beta _ {n}) + (b_ {1} \ beta _ { 1} + b_ {2} \ beta _ {2} + \ cdots + b_ {n} \ beta _ {n}) = (a_ {1} + b_ {1}) \ beta _ {1} + (a_ { 2} + b_ {2}) \ beta _ {2} + \ cdots + (a_ {n} + b_ {n}) \ beta _ {n}}$

جایی که ما از قوانین انجمنی ، جابجایی و توزیعی برای تنظیم مجدد مبلغ اول به دوم استفاده کرده ایم. ادامه دادن این روش برای ضرایب اسکالر و همه ترکیبات مختلف بردار با طول مختلف به ما امکان می دهد جمع و برش ضربی را بر روی این مجموعه عبارات رسمی ایجاد کنیم ، و ما آن را فضای بردار آزاد بیش از $ب$ ، نوشتن ${\ displaystyle F (B)}$ . توجه داشته باشید که عناصر $ب$ ، به عنوان طول های یک عبارت رسمی با ضریب 1 به جلو در نظر گرفته می شود ، اساس هامل را برای این فضا تشکیل می دهد.

سپس بیان محصول تنسور با در نظر گرفتن اگر انتزاع می شود $\ beta _ {j}$ و $\ gamma_j$ "بردارهای اساس انتزاعی" را از دو مجموعه نشان می دهند $ب$ و $G$ ، یعنی آن ${\ displaystyle \ beta _ {j} = \ mathbf {e} _ {j}}$ "و" ${\ displaystyle \ gamma _ {j} = \ mathbf {f} _ {j}}$ "، سپس اینها را در محصول دکارتی جفت کنید ${\ displaystyle B \ بار G}$ ، یعنی ${\ displaystyle (\ beta _ {i} ، \ gamma _ {j})}$ برای محصولات تانسور ایستاده اند ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}}$ . (توجه داشته باشید که محصولات تنسور در اصطلاح به یک معنا "اتمی" هستند ، یعنی جمع ها و ضربات مقیاسی آنها را به چیز دیگری تقسیم نمی کند ، بنابراین ما می توانیم بدون تغییر ساختار ریاضی ، چیز دیگری را جایگزین آنها کنیم.) ، بنابراین می توانیم محصول تنسور دو فضای بردار آزاد را تعریف کنیم ${\ displaystyle F (B)}$ و ${\ displaystyle F (G)}$ به عنوان چیزی (که هنوز تصمیم گیری نشده است) که غیر همسان است ${\ displaystyle F (B \ بار G)}$ .

استفاده از فضای برداری رایگان برای "فراموش کردن" اساس [ ویرایش ]

تعریف فوق برای هر فضای برداری که می توانیم مبنایی را تعیین کنیم کارساز خواهد بود ، زیرا ما فقط می توانیم آن را به عنوان فضای بردار آزاد بر اساس آن بازسازی کنیم: ساختار فوق دقیقاً نمایانگر نحوه نمایش بردارها از طریق ساختار پایه همل بر اساس طراحی است. در واقع ، ما چیزی بدست نیاورده ایم ... تا زمانی که این کار را انجام ندهیم.

در حال حاضر ، ما فرض نمی کنیم که به فضاهای برداری به پایگاه دسترسی پیدا کنیم $V$ و $دبلیو$ که ما می خواهیم محصول تانسور را تشکیل دهیم $V \ otimes W$ از. در عوض، ما را همه از $V$ و $دبلیو$ به عنوان "اساس" برای ایجاد تشنج کننده ها. این بهترین کار بعدی و چیزی است که تضمین شده ایم قادر به انجام آن خواهیم بود ، صرف نظر از نگرانی در یافتن مبنای خاص. این مربوط به جمع کردن محصولات بیرونی دلخواه است ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$ بردارهای دلخواه در آخرین قسمت از بخش "انگیزه شهودی". تنها تفاوت در اینجا این است که اگر ما از ساخت فضای آزاد برداری استفاده کنیم و بدیهی را شکل دهیم ${\ displaystyle F (V) \ otimes F (W) = F (V \ times W)}$ ، نسخه های زائد بسیاری از آنچه که باید همان سنسور باشد را خواهد داشت. اگر مثالی را در نظر بگیریم که به کجا برگردیم ${\ displaystyle V = W = \ mathbb {R} ^ {2}}$ در مبنای استاندارد ، ممکن است در نظر بگیریم که تانسور تشکیل شده توسط بردارها است ${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ start {bmatrix} 0 & 3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$ و ${\ displaystyle \ mathbf {y} = {\ start {bmatrix} 5 & -3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$ ، یعنی

${\ displaystyle T: = \ mathbf {x} \ otimes \ mathbf {y} = {\ start {bmatrix} 0 & 0 \\ 15 & -9 \ end {bmatrix}} ،}$

همچنین می تواند با مبالغ دیگری مانند مبالغی که با استفاده از تانسورهای اساسی اساسی منفرد ارائه می شود

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j}}$ ، به عنوان مثال

${\ displaystyle T = 0 (\ mathbf {e} _ {1} \ otimes \ mathbf {e} _ {1}) + 0 (\ mathbf {e} _ {1} \ otimes \ mathbf {e} _ {2 }) + 15 (\ mathbf {e} _ {2} \ otimes \ mathbf {e} _ {1}) - 9 (\ mathbf {e} _ {2} \ otimes \ mathbf {e} _ {2}) .}$

اینها گرچه در حالت عینی برابر هستند ، اما با عناصر متمایز فضای بردار آزاد مطابقت دارند

$F (V \ بار W)$ ، برای مثال

${\ displaystyle T = (x ، y)}$

در حالت اول و

${\ displaystyle T = 0 (e_ {1}، e_ {1}) + 0 (e_ {1}، e_ {2}) + 15 (e_ {2}، e_ {1}) - 9 (e_ {2} ، e_ {2})}$

در حالت دوم بنابراین باید آنها را متراکم کنیم - در اینجاست که رابطه معادل سازی وارد عمل می شود. ترفند ساخت آن توجه به هر بردار است $\ mathbf {x}$ در یک فضای بردار ، همیشه می توان آن را به عنوان جمع دو بردار دیگر نشان داد $\ mathbf {a}$ و $\ mathbf {b}$ با اصل برابر نیست. اگر چیز دیگری نیست ، بگذارید $\ mathbf {a}$ هر بردار باشید و سپس بگیرید ${\ displaystyle \ mathbf {b}: = \ mathbf {x} - \ mathbf {a}}$ - که همچنین نشان می دهد که اگر یک بردار و سپس یک بردار دوم به ما داده شود ، می توانیم بردار اول را از نظر بردار دوم همراه با بردار سوم مناسب بنویسیم (در واقع از بسیاری جهات - فقط مضربهای مقیاسی بردار دوم را در تفریق همان.)

این برای ما مفید است زیرا محصول خارجی خواص خطی زیر را برآورده می کند ، که با جبر ساده در عبارات ماتریس مربوطه قابل اثبات است:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) ^ {\ mathsf {T}} & = (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u}) \\ ( \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) \ otimes \ mathbf {u} & = \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ otimes \ mathbf {u} \\\ mathbf {u} \ otimes (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) & = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {w} \\ c (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u}) & = (c \ mathbf {v}) \ otimes \ mathbf {u} = \ mathbf {v} \ otimes (c \ mathbf {u}) \ end {تراز شده} }}$

اگر می خواهیم محصول بیرونی را با هم مرتبط کنیم ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}$ گفتن، ${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}} \ otimes \ mathbf {w}}$ ، می توانیم از اولین رابطه بالا در کنار هم با یک عبارت مناسب استفاده کنیم $\ mathbf {v}$ به عنوان مجموع برخی از بردارها و برخی از مضراب های مقیاسی از

$\ mathbf {e_1}$ .

برابری بین دو سنسور بتونی بدست می آید در صورتی که با استفاده از قوانین فوق به ما اجازه می دهد با تجزیه مناسب بردارها یک مقدار از محصولات بیرونی را به ترتیب دیگر قرار دهیم - صرف نظر از اینکه مجموعه ای از بردارهای واقعی را داشته باشیم. با استفاده از این مثال ما در بالا ، ما می بینیم که البته ما داریم

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ mathbf {x} & = 0 \ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf {e} _ {2} \\\ mathbf {y} & = 5 \ mathbf { e} _ {1} -3 \ mathbf {e} _ {2} \ end {تراز شده}}}$

برای کدام جایگزینی در

${\ displaystyle T = \ mathbf {x} \ otimes \ mathbf {y}}$

به ما می دهد

${\ displaystyle T = (0 \ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf {e} _ {2}) \ otimes (5 \ mathbf {e} _ {1} -3 \ mathbf {e} _ { 2})}$

و استفاده منطقی از خصوصیات توزیع به ما اجازه می دهد تا به شکل دلخواه تنظیم مجدد کنیم. به همین ترتیب ، یک دستکاری مربوط به "آینه" از نظر عناصر فضای بردار آزاد نیز وجود دارد $(x ، y)$ و ${\ displaystyle (e_ {1} ، e_ {2})}$ و غیره ، و این در نهایت ما را به سمت تعریف رسمی محصول تنسور سوق می دهد.

تعریف محصول تانسور انتزاعی [ ویرایش ]

محصول کشش انتزاعی دو فضای بردار $V$ و $دبلیو$ بیش از یک زمینه پایه مشترک $ک$ است فضای برداری خارج قسمت

${\ displaystyle V \ otimes W: = F (V \ w W) / {\ sim}}$

جایی که $سیم کارت$ است رابطه هم ارزی از برابری رسمی تولید شده توسط این فرض که، برای هر $(v ، w)$ و ${\ displaystyle (v '، w')}$ به عنوان عبارات رسمی در فضای بردار آزاد گرفته شده است $F (V \ بار W)$ ، موارد زیر را نگه دارید:

هویت . ${\ displaystyle (v، w) \ sim (v، w).}$

تقارن . ${\ displaystyle (v، w) \ sim (v '، w')}$ دلالت دارد ${\ displaystyle (v '، w') \ sim (v، w).}$

انتقال پذیری . ${\ displaystyle (v، w) \ sim (v '، w')}$ و دلالت دارد

توزیع ${\ displaystyle (v، w) + (v '، w) \ sim (v + v'، w)}$ و ${\ displaystyle (v، w) + (v، w ') \ sim (v، w + w').}$

مضرب های اسکالر. ${\ displaystyle c (v، w) \ sim (cv، w)}$ و ${\ displaystyle c (v، w) \ sim (v، cw).}$

و سپس معادل سازی عبارات رسمی عمومی را از طریق دستکاری های مناسب بر اساس آن آزمایش می کنیم. [ نیازمند منبع ] حساب با انتخاب عناصر نماینده ، اعمال قوانین حسابی و سرانجام گرفتن کلاس معادل بر روی محصول تنسور تعریف می شود. علاوه بر این ، با توجه به هر دو بردار $v \ در V$ و $w \ در W$ ، کلاس معادل سازی ${\ displaystyle [(v، w)]}$ مشخص شده است $v \ otimes w$ .

منبع:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product

تانسور دو فضای برداری

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه شانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 23:57

برای تعمیم این مفهوم ، به ضرب تنسور مدولها و ضرب تنسور (ابهام زدایی) مراجعه کنید .

در ریاضیات ، به تانسور V ⊗ W از دو فضای برداری V و W بیش از همان زمینه ) یک فضای برداری، عطا با یک است نقشه دارای دو خط مستقیم )

از ضرب دکارتی V × W به V ⊗ W. این نقشه دو خطی جهانی است به این معنا که برای هر فضای بردار X ، نقشه های دو خطی از V × W تا X با نقشه های خطی از V ⊗ W تا X مطابقت یک به یک دارند .

${\ displaystyle (v، w) \ mapsto v \ otimes w}$ از ضرب دکارتی V × W به V ⊗ W . این نقشه دو خطی جهانی است به این معنا که برای هر فضای بردار X ، نقشه های دو خطی از V × W تا X با نقشه های خطی از V ⊗ W تا X مطابقت یک به یک دارند .

اگر ${\ displaystyle (e_ {1} ، \ ldots ، e_ {m})}$ یک پایه از V و ${\ displaystyle (f_ {1} ، \ ldots ، f_ {n})}$ یک پایه از W ، سپس MN عناصر ${\ displaystyle e_ {i} \ otimes f_ {j}}$ پایه V ⊗ W را تشکیل می دهند . اگر $v \ در V$ و ${\ displaystyle w \ in W،}$ سپس بردار مختصات از ${\ displaystyle v \ otimes w}$ بیش از این مبنا ، ضرب خارجی بردارهای مختصات v و w بر مبنای مربوطه است.

از این ویژگی می توان برای تعریف ضرب تنسور استفاده کرد ، اما این مستلزم اثبات این مسئله است که ضرب تنسور دو فضای بردار به انتخاب بازها بستگی ندارد. بنابراین ، ضرب تنسور دو فضای بردار V و W به طور کلی به عنوان فضای ضریب فضای بردار دارای V × W به عنوان پایه توسط فضای خفیف خطی که توسط حداقل شرایط لازم برای داشتن دوشیمیایی مورد نیاز است ، تعریف می شود.

به طور کلی ، ضرب تنسور را می توان به همین ترتیب برای مدولها روی یک حلقه جابجایی و گروه های آبلی (که مدولهایی بر روی اعداد صحیح هستند) تعریف کرد. برای فضاهای برداری و مدولهایی که ساختارهای اضافی دارند ، ضرب تنسور غالباً به ساختاری مشابه مجهز شده است. به عنوان مثال ، ضرب تنسور دو جبر انجمنی یک جبر انجمنی است. با این حال ، در مورد فضاهای برداری توپولوژیکی ، تعریف فوق فقط برای در نظر گرفتن نقشه های دو خطی پیوسته اصلاح می شود .

فهرست

انگیزه بصری و ضرب تانسور بتن [ ویرایش ]

انگیزه بصری برای ضرب تانسور متکی بر مفهوم تانسورها به طور کلی. به طور خاص ، تنسور جسمی است که می تواند نوع خاصی از نقشه چند خطی در نظر گرفته شود ، که تعداد مشخصی از بردارها را بگیرد ( ترتیب آن ) و یک اسکالر خارج شود. اشیاء از جمله در تعدادی از زمینه های نرم افزار، مانند مفید هستند هندسه ریمانی ، معروف برای استفاده از آن در آلبرت انیشتین را نظریه نسبیت عام در فیزیک مدرن ، که در آن تانسور متریک یک مفهوم پایه ای است. به طور خاص ، تانسور متریک دو بردار می گیرد ، تقریباً به صورت فلش های کوچک متصور شده از یک نقطه خاص در یک فضای منحنی یا منیفولد منشعب می شود و یک ضرب نقطه محلی از آنها را نسبت به آن نقطه خاص باز می گرداند - عملیاتی که برخی از اطلاعات را رمزگذاری می کند در مورد بردارها، طول و همچنین زاویه بین آنها. از آنجایی که ضرب نقطه یک اسکالر است ، بنابراین تنسور متریک شایسته نام خود است. در هر نقطه از منیفولد یک تانسور متریک وجود دارد و بنابراین تغییر در تانسور متریک چگونگی تغییر مفاهیم فاصله و زاویه را کد می کند و بنابراین قوانین هندسه تحلیلی در کل منیفولد متفاوت است.

می توان به ضرب تنسور دو فضای بردار فکر کرد ، $V$ و $دبلیو$ ، به عنوان نمایانگر مجموعه تمام حسگرهایی است که بردار را از آنها می گیرد $V$ و بردار از $دبلیو$ و یک اسکالر را در زمینه پایه مشترک خود خارج کنید (و بنابراین فقط در صورت داشتن چنین زمینه پایه مشترک قابل تعریف است). این دو فاصله ممکن است یکسان باشد - در بالا ، آنها بردارهایی در فضای مماس در یک نقطه هستند: تقریباً فضای مسطح یک قطعه کوچک از منیفولد نزدیک به یک نقطه خاص "به نظر می رسد" ، و بنابراین تانسور متریک در ضرب تانسور زندگی می کند از آن فضا با خودش اما ممکن است این دو فضا نیز متفاوت باشد.

اگر برای هر یک از فضاهای برداری مبنایی داشته باشیم و فضاهای برداری بعدی محدود باشند ، می توانیم بردارها را از نظر م مولفه در زیر بردارهای پایه نشان دهیم:

5-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:34

تجزیه ناپذیر

هر زیر مدول انژکتیویک مدول انژکتیویک جمع وند مستقیم است ، بنابراین درک مدول های انژکتیو تجزیه ناپذیر مهم است ( Lam 1999 ،.

هر مدول انژکتیو تجزیه ناپذیر دارای یک حلقه خودریختی م وضعی است . اگر هر دو زیر مدول غیر صفر اشتراک غیر صفر داشته باشند به مدول یک مدول یکنواخت گفته می شود. برای یک مدول انژکتیو M موارد زیر معادل هستند:

M غیر قابل تجزیه است
M غیر صفر است و بدنه آسیب رسان هر زیرمدول غیر صفر است
M یکنواخت است
M بدنه انژکتیویک مدول یکنواخت است
M بدنه انژکتیویک مدولهای حلقوی یکنواخت است
M دارای یک حلقه اندومورفیسم موضعی است

بیش از یک حلقه نوتری، هر مدول انژکتیومجموع مستقیم مدول های انژکتیوتجزیه ناپذیر (به طور منحصر به فرد تعیین شده) است. با استفاده از یک حلقه نوتری جابجایی ، این به خصوص درک خوبی از همه مدول های انژکتیو، توصیف شده در ( Matlis 1958 ) می دهد. مدول های انژکتیوتجزیه ناپذیر بدنه های انژکتیومدول های R / p برای p ایده آل اصلی حلقه R هستند . علاوه بر این ، پوسته انژکتیو M از R / p دارای فیلتراسیون فزاینده ای توسط مدول های M n است که توسط نابودکننده های ایده آل p n و M n +1 / داده می شود.M n بصورت فضای برداری متناهی متناسب بر روی میدان نصاب k ( p ) R / p تا Hom R / p ( p n / p n +1 ، k ( p )) یکدست است .

تغییر حلقه ها [ ویرایش ]

مهم است که بتوان مدولها را بر روی زیر رشته ها یا حلقه های ضریب در نظر گرفت ، به ویژه برای مثال حلقه های چند جمله ای . به طور کلی ، این کار دشوار است ، اما تعدادی از نتایج شناخته شده است ، ( لام 1999 ، ص 62).

بگذارید S و R حلقه باشند ، و P یک دو شاخه چپ- R ، راست- S باشد که به صورت مدول چپ- R صاف باشد. برای هر S- مدول سمت راست M ، مجموعه ای از همومرفیسم مدول (Hom S ( P ، M یک مدول مناسب است. به عنوان مثال ، اگر R زیرمجموعه ای از S باشد به گونه ای كه S یك مدول مسطح R باشد ، پس هر مدول S ,R -مدول است. به ویژه، اگر R یک دامنه جدایی ناپذیر است و S آن میدان کسرهای ، سپس هر فضای برداری بر S انژکتیواست R -مدول . به طور مشابه ، هر مدول[ R [ x انژکتیویک مدول R انژکتیواست .

برای حلقه های ضریب R /I ، تغییر حلقه ها نیز کاملاً واضح است. R -مدول دقیقاً هنگامی که توسط I نابود شود ، یک مدول R /I است. زیرمدول ان

IN ( M ) = { m در M : I= 0 برای همه I در I }

یک زیرمدول چپ در سمت چپ است R -مدول M ، و بزرگترین زیرمدول است M است که R / I -مدول . اگر M یک تزریقی باشد R را ترک می کند-مدول ، سپس (Ann I ( M یک مدول چپ / چپ R / I است . با استفاده از این مورد در R = Z ، I = n Z و M = Q / Z ، این واقعیت آشنا می شود که Z / n Z به عنوان یک مدول بیش از حد ، خود را مخدوش می کند. در حالی که از آن آسان است برای تبدیل انژکتیو R -مدول به انژکتیو R / I-مدول ، این روند کند انژکتیوتبدیل کند R -resolutions به انژکتیوR /I ، و همسانی مجموعه حاصل یکی از زمینه های اولیه و اساسی مطالعه جبر همولوژی نسبی است.

کتاب درسی ( Rotman 1979 ، p. 103) یک دلیل اشتباه دارد که محلی سازی باعث حفظ مواد مخدر می شود ، اما نمونه ای مثال زده در آن ارائه شد ( Dade 1981 ).

حلقه های خودانژکتیو

هر حلقه با وحدت یک مدول آزاد و از این رو به عنوان یک مدول بر روی خود یک طرح است ، اما به ندرت اتفاق می افتد که یک حلقه به عنوان یک مدول بر روی خود ، قابل تزریق باشد ( Lam 1999 ، §3B) اگر یک حلقه به عنوان یک مدول مناسب بیش از خود قابل تزریق باشد ، آن را یک حلقه خودانژکتیو راست می نامند . هر جبر Frobenius خودانژکتیو است ، اما هیچ حوزه صحیح که یک زمینه نباشد ، خودانژکتیو نیست. هر مناسب بهره از یک دامنه ددکیند خود انژکتیواست.

یک حلقه خودانژکتیو راست نوتریایی راست ، یک حلقه شبه فروبنیوس نامیده می شود ، و یک داروی دو طرفه آرتینی و دو طرفه است ، ( Lam 1999 ، Th. 15.1). ویژگی مهم نظری مدول حلقه های شبه فروبنیوس این است که مدول های فرافکنی دقیقاً مدول های انژکتیوهستند.

تعمیم و تخصص [ ویرایش ]

اشیا In ذهنی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جسم مضر

همچنین در مورد صحبت اشیاء خودانژکتیو در دسته به طور کلی بیش دسته مدول، برای مثال دسته عمل کننده یا دسته از قرقره از O X -مدول بیش از برخی از حلقه دار فضای ( X ، O X ). تعریف کلی زیر استفاده می شود: یک شی Q از دسته C است انژکتیواگر به هر منومرفیسمF : X → Y در C و هر مرفیسم g: X → Q یک شکل گیری h وجود دارد : Y → Q با hf = g .

گروههای قابل تقسیم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه قابل تقسیم

مفهوم جسم انژکتیودر گروه گروه های حفره ای تحت اصطلاح گروه قابل تقسیم تا حدودی مستقل از مدول های جراحی مورد مطالعه قرار گرفت . در اینجا یک Z -مدول M انژکتیواگر و تنها اگر N ⋅ M = M برای هر غیر صفر عدد صحیح N . در اینجا روابط بین مدول های مسطح ، زیر مدولهای خالص و مدول های انژکتیوواضح تر است ، زیرا به راحتی به برخی از خصوصیات قابل تقسیم عناصر مدول توسط اعداد صحیح اشاره دارد.

مدول انژکتیوخالص

مقاله اصلی: مدول خالص خودانژکتیو

در جبر همولوژی نسبی ، خاصیت پسوند هومورفیسم ها ممکن است فقط برای بعضی از زیرمولدها خاص باشد ، نه برای همه. به عنوان مثال ، یک مدول انژکتیوخالص مدولی است که در آن یک همگونی از یک زیر مدول خالص را می توان به کل مدول گسترش داد.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

4-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:32

نظریه [ ویرایش ]

قضیه ساختار برای حلقه های جابجایی نوتری [ ویرایش ]

بیش از یک حلقه نوتری تغییر پذیر $R$ ، هر مدول انژکتیو مجموع مستقیم مدول های انژکتیو تجزیه ناپذیر است و هر مدول انژکتیو تجزیه ناپذیر بدنه انژکتیو میدان مانده در یک درجه اول ${\ mathfrak {p}}$ . یعنی برای یک ${\ displaystyle I \ in {\ text {Mod}} (R)}$ ، یک انحراف وجود دارد

${\ displaystyle I \ Cong \ bigoplus _ {i} E (R / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$

جایی که ${\ displaystyle E (R / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$ بدنه های انژکتیو مدول ها هستند ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ . [4] بعلاوه ، اگر $من$ بدنه برخی از مدول ها است $م$ سپس ${\ mathfrak {p}} _ {i}$ اعداد اول مربوط به $م$ . [2]

زیرمدول ها ، خارج قسمت، ضرب ها و مجموع[ ویرایش ]

هر ضربی از (حتی بی نهایت زیاد) مدول های انژکتیوانژکتیو است. برعکس ، اگر یک ضرب مستقیم از مدول ها انژکتیو باشد ، هر مدول انژکتیو است ( Lam 1999 ، ص 61). هر جمع مستقیم از مدول های انژکتیو ،انژکتیو است. به طور کلی ، زیر مدول ها ، مدول های فاکتور یا جمع بی نهایت مستقیم مدول های انژکتیو انژکتیو نیست . هر زیر مدول از هر مدول انژکتیو است اگر و فقط اگر حلقه نیمه ساده آرتینی باشد ، انژکتیو است ( Golan & Head 1991 ، p. 152)؛ هر مدول فاکتور از هر مدول انژکتیو است اگر و فقط در صورت ارثی بودن حلقه ، انژکتیو باشد ( Lam 1999)، ث 3.22) هر مقدار بی نهایت مستقیم از مدول های انژکتیواگر و فقط در صورت وجود حلقه نوتری ، انژکتیو باشد ( Lam 1999 ، Th 3.46). [5]

معیار بئر [ ویرایش ]

در مقاله اصلی بئر ، او نتیجه خوبی را به دست آورد ، معمولاً به عنوان معیار بئر شناخته می شود ، برای بررسی اینکه یک مدول بئراست یا خیر: یک R- module چپ Q فقط در صورت وجود یکسان سازی g : I - Q تعریف شده بر روی ایده آل چپ I است. از R را می توان به تمام R گسترش داد .

با استفاده از این معیار می توان نشان داد که Q یک گروه آبلی انژکتیواست (یعنی یک مدول انژکتیوبیش از Z ). به طور كلی ، یك گروه آبلی در صورتی تزریق می شود كه فقط در صورت تقسیم پذیر باشد. به طور کلی تر: یک مدول بیش از یک دامنه اصلی ایده آل اگر و فقط در صورت قابل تقسیم قابل تأثیر باشد (مورد فضاهای برداری نمونه ای از این قضیه است ، زیرا هر فیلد یک حوزه ایده آل اصلی است و هر فضای بردار قابل تقسیم است). در مورد یک دامنه انتگرال عمومی ، ما هنوز یک پیامد داریم: هر مدول آسیب پذیر بر یک دامنه انتگرال قابل تقسیم است.

معیار بائر شده است در بسیاری جهات (تصفیه شده جولان و رئیس 1،991 ، ص 119)، از جمله یک نتیجه از ( اسمیت 1981 ) و ( Vamos در 1983 ) که برای یک حلقه نوتری تناظرهای، کافی است به در نظر گرفتن تنها ایده آل های اول I. معیار دوگانه بائر ، که آزمایشی برای فرافکنی می دهد ، به طور کلی نادرست است. به عنوان مثال ، Z -module Q دو برابر معیار بئر را برآورده می کند اما فرافکنی نیست.

تولیدکننده های ذهنی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توام تولید کننده

شاید مهمترین مدول انژکتیوگروه آبلی Q / Z باشد. این یک تولیدکننده انژکتیو در گروه گروه های آبلی است ، به این معنی که این انژکتیواست و هر مدول دیگری در یک ضرب کاملاً بزرگ از نسخه های Q / Z موجود است . بنابراین به طور خاص ، هر گروه آبلی یک زیر گروه از یک انژکتیو است. کاملاً قابل توجه است که این مورد در مورد هر حلقه ای نیز صادق است: هر مدول یک زیر مدول مدول انژکتیو است ، یا "گروه مدول های چپ R انژکتیواست." برای اثبات این موضوع ، از خصوصیات عجیب گروه آبلی Q / Z استفاده می شود برای ساختن یک همزن سازنده انژکتیودر رده مدول های چپ R.

برای یک مدول R چپ M ، به اصطلاح "مدول شخصیت" M + = Hom Z ( M ، Q / Z ) یک مدول R راست است که یک دوگان جالب را نشان می دهد ، نه بین مدول های انژکتیوو مدول های تصویری ، بلکه بین مدول های انژکتیوو مدول های تخت ( Enochs & Jenda 2001 ، ص 78-80) . برای هر حلقه R ، یک مدول R سمت چپ صاف است اگر و فقط اگر مدول شخصیت آن انژکتیو باشد. اگر R نوتری باشد ، R چپ است-مدول اگر و فقط اگر مدول شخصیت آن صاف باشد ، انژکتیو است.

بدنه های ذهنی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بدنه انژکتیو

بدنه انژکتیو از یک مدول کوچکترین مدول انژکتیوحاوی یک داده شده است و در (شرح داده شد Eckmann در و Shopf 1953 ) .

می توان از بدنه های انژکتیوبرای تعریف حداقل تفکیک پذیری استفاده کرد (به زیر مراجعه کنید). اگر هر اصطلاح تفکیک پذیری بدنه مخلوطی مغز نقشه قبلی باشد ، رزولوشن انژکتیوحداقل طول دارد.

قطعنامه های ذهنی [ ویرایش ]

هر مدول M همچنین دارای یک انژکتیووضوح : یک دنباله دقیق از فرم

0 → M → I 0 → I 1 → I 2 → ...

که در آن I j مدول های انژکتیو است. از قطعنامه های ذهنی می توان برای تعریف عامل های مشتق شده مانند اکستراکتور Ext استفاده کرد .

طول یک قطعنامه انژکتیو محدود اولین شاخص N به طوری که من نفر غیر صفر است و من من = 0 برای من بیشتر از N . اگر یک مدول M یک تفکیک پذیری محدود را بپذیرد ، کمترین طول را در بین تمام رزولوشن های اجرایی محدود M را می توان بعد جسمی آن دانست و id ( M ) را نشان می دهد. اگر M تفکیک پذیری محدود را نپذیرد ، بنا بر عرف ، بعد انژکتیو بی نهایت است. ( Lam 1999 ، §5C) به عنوان مثال ، یک مدول M مانند ID را در نظر بگیرید (M ) = 0. در این وضعیت ، دقت دنباله 0 → M → I 0 → 0 نشان می دهد که پیکان در مرکز یک شکل است ، و از این رو M خود م injثر است. [6]

به طور معادل ، بعد انژکتیو M حداقل عدد صحیح است (اگر چنین باشد ، در غیر این صورت ...) n به گونه ای که ExtN
A(- ، M ) = 0 برای همه N > n .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

3-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:28

نمونه های آرتینی [ ویرایش ]

اگر G یک گروه متناهی باشد و k یک میدان با مشخصه 0 ، در تئوری نمایش های گروه یکی نشان می دهد که هرگونه نمایش یک مورد داده شده از قبل یک دستور مستقیم از این داده است. این به زبان مدول ترجمه شده است ، این بدان معنی است که همه مدولهای گروه جبر گروهی لی هستند. اگر مشخصه k صفر نباشد ، مثال زیر می تواند کمک کند.

اگر A یک جبر انجمنی متحد بیش از میدان k با بعد متناهی بیش از k باشد ، (Hom k (- ، k یک دوگان بینA - چپ مدولهای تولید شده به طور متناهی و مدول های A درست تولید شده است . بنابراین ، مدولهای چپ A انژکتیوکاملاً تولید شده دقیقاً مدولهای فرم Hom k ( P ، k ) هستند که در آن P یک مدول راست A تصویری ای تولید شده است . برای جبرهای متقارن، دوگان به ویژه رفتار مطلوبی دارد و مدولهای فرافکنی و مدولهای انژکتیو همزمان هستند.

برای هر حلقه آرتینی ، دقیقاً مانند حلقه های جابجایی ، بین ایده آل های اصلی و مدولهای انژکتیوتجزیه ناپذیر تناظر1-1 وجود دارد. تناظر در این مورد شاید حتی ساده تر باشد: پوچی یک ایده آل اصلی یک مدول ساده منحصر به فرد است و مدول انژکتیوتجزیه ناپذیر مربوطه غلاف انژکتیوآن است . برای جبرهای بعد متناهی بر روی میدان ، این غلاف های ساخته شده از نوع جاسازی شده مدول هایی هستند که کاملاً تولید می شوند ( Lam 1999 ، §3G، §3J).

محاسبه غلاف های انژکتیو [ ویرایش ]

اگر $R$ یک حلقه نوتری است و ${\ mathfrak {p}}$ یک ایده آل اصلی است ، ${\ displaystyle E = E (R / {\ mathfrak {p}})}$ رابه عنوان غلاف مصنوعی تنظیم شده است غلاف مصنوعی $R / {\ mathfrak {p}}$ بیش از حلقه آرتینی ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$ می تواند به عنوان مدول محاسبه شود ${\ displaystyle (0: _ {E} {\ mathfrak {p}} ^ {k})}$ . این مدولی با همان طول است ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$ . [2] به ویژه برای حلقه درجه بندی استاندارد ${\ displaystyle R _ {\ bullet} = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}] _ {\ bullet}}$ و ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = (x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n})}$ ، ${\ displaystyle E = \ oplus _ {i} {\ text {Hom}} (R_ {i}، k)}$ یک مدول تزریقی است که ابزارهای محاسبه مدول های تزریقی تجزیه ناپذیر را برای حلقه های شریان فراهم می کند $ک$ .

خود انژکتیو[ ویرایش ]

یک حلقه موضعی آرتین ${\ displaystyle (R ، {\ mathfrak {m}} ، K)}$ Mخود انژکتیو باشداگر و فقط اگر ${\ displaystyle soc (R)}$ یک فضای بردار $ک$ ،1 بعدی است . این بدان معنی است که هر حلقه موضعی گورنشتاین که همچنین آرتین خود انژکتیو است ، از آنجایی که دارای ساکل ( یک گیره) 1 بعدی است. [3] یک نمونه غیر ساده حلقه است ${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x، y] / (x ^ {2}، xy، y ^ {2})}$ که ایده آل ماکزیمال $(x ، y)$ را داردو $\ mathbb {C}$ میدان باقیمانده است.ساکل این ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y}$ ، که 2 بعدی است. میدان دارای غلاف انژکتیو ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y، \ mathbb {C})}$ است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

2-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو) (مثال)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:22

مثالها [ ویرایش ]

ولین نمونه ها [ ویرایش ]

به طور پیش فرض ،مدول صفر {0}انژکتیو است.

با توجه به یک میدان k ، هر k - فضای بردار Q یک واحد k است . دلیل: اگر Q یک زیر فضای V باشد ، می توانیم مبنایی از Q پیدا کرده و آن را تا مبنای V گسترش دهیم . بردارهای مبنای جدید در یک فضای خالی K از V و V قرار دارند ، جمع مستقیم داخلی Q و K است . توجه داشته باشید که مکمل مستقیم K از Q به طور منحصر به فرد توسط Q تعیین نمی شود، و به همین ترتیب همریختی گسترش یافته h در تعریف فوق معمولاً منحصر به فرد نیست.

منطقی های Q (با افزودن) یک گروه آبلی انژکتیو (به عنوان مثال Z- Module انژکتیو ) تشکیل می دهند. گروه عام Q / Z و گروه دایره نیز انژکتیو هستند Z مدول. گروه ّZ / n Z برای n > 1 به عنوان یک Z - n Z- module انژکتیو است ، اما به عنوان یک گروه آبلی غیر قابل تزریق است.

مثالهای جابجایی [ ویرایش ]

به طور کلی ، برای هر حوزه صحیحR با زمینه کسری K مدول _R ,K یک مدول _Rانژکتیو است ، و در واقع کوچکترین مدول _R حاوی R است . برای هر گونه دامنه ددکیند ، در خارج قسمت مدول K / R است انژکتیو، و آن فساد نا پذیر جمعوند هستند از

localizations _ $R _ {{{\ mathfrak {p}}}} / R$ برای ایده آل های اصلی غیر صفر ${\ mathfrak {p}}$ . ایده آل صفر است نخست و مربوط به تزریقی K . به این ترتیب بین ایده آل های اصلی و ماژول های تزریقی تجزیه ناپذیر مکاتبات 1-1 وجود دارد.

یک نظریه به ویژه غنی برای در دسترس است جابجایی حلقه نوتری با توجه به ابن Matlis ، ( لام 1999 ، §3I). هر ماژول تزریقی به طور منحصر به فرد مجموع مستقیم ماژول های تزریقی تجزیه ناپذیر است و ماژول های تزریقی تجزیه ناپذیر به طور منحصر به فرد به عنوان بدنه های تزریقی ضریب های R / P شناخته می شوند که P در طیف اصلی حلقه متفاوت است. بدنه تزریقی از R / P به عنوان یک R-مدول است canonically R P ماژول، و است R P بدنه -injective از R /P . به عبارت دیگر ، در نظر گرفتن حلقه های محلی کافی است . حلقه از روپوست از بدنه تزریقی از R / P است تکمیل ${\ hat R} _ {P}$ از R در P . [1]

دو مثال در این بدنه تزریقی از Z -module Z / p Z (در گروه Prüfer )، و بدنه تزریقی از K [ X ] -module K (حلقه از چند جمله ای معکوس). دومی به راحتی به صورت k [ x ، x −1 ] / xk [ x ] توصیف می شود. این ماژول دارای مبنایی متشکل از "تک جمله های معکوس" است ، یعنی x - n برای n = 0 ، 1 ، 2 ،. ضرب با مقیاس مطابق انتظار است و ضرب با x رفتار عادی دارد به جز اینx · 1 = 0. حلقه اندومورفیسم صرفاً حلقه سری توانی رسمی است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

1-مدول تزریقی(انژکتیو)

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:19

در ریاضیات ، به ویژه در ناحیه جبر انتزاعی که به عنوان تئوری مدول شناخته می شود ، یک مدول انژکتیو یک مدول Q است که خصوصیات مطلوبی را با - Z مدولQ از همه اعداد منطقی به اشتراک می گذارد . به طور خاص، اگر Q است زیر مدول برخی از مدول های دیگر، سپس آن را در حال حاضر یک جمع وند مستقیم که مدول. همچنین ، با توجه به یک زیر مدول از یک مدول Y ، سپس هر یک از همریختی های مدول از این زیر مدول به Q می تواند به یک همریختی از همه Y گسترش یابدبه Q . این مفهوم نسبت به مدول های فرافکنی دوگانه است . مدولهای تصویری در ( Baer 1940 ) معرفی شدند و در کتاب با جزئیات در مورد آنها بحث شده است ( Lam 1999 ، §3).

مدول های تصویری به شدت مورد مطالعه قرار گرفته اند و انواع مختلفی از مفاهیم اضافی از نظر آنها تعریف شده است: تولیدکننده های تصویری مدول های انژکتیو هستند که صادقانه کل گروه مدول ها را نشان می دهند. قطعنامه های تصویری اندازه گیری می کنند که یک مدول از نظر بعد انژکتیو تا چه حد از تزریقی فاصله دارد و مدول ها را در گروه مشتق شده نشان می دهد . بدنه های تصویری اکستنشن های ضروری حداکثر هستند و به نظر می رسد حداقل پسوندهای انژکتیو باشند. بیش از یک حلقه نوتری ، هر مدول انژکتیو منحصر به فرد یک مقدار مستقیم از تجزیه ناپذیر است مدول ها ، و ساختار آنها به خوبی قابل درک است. یک مدول انژکتیو روی یک حلقه ممکن است بیش از حلقه دیگر نباشد ، اما روشهای کاملاً خوبی برای تغییر حلقه وجود دارد که موارد خاص را کنترل می کند. حلقه هایی که خود مدول های انژکتیو هستند دارای خصوصیات جالب توجهی هستند و شامل حلقه هایی مانند حلقه های گروهی از گروههای متناهی بر روی زمینه ها هستند . مدولهای تصویری شامل گروههای قابل تقسیم هستند و با مفهوم اشیا انژکتیو در تئوری دسته بندی تعمیم داده می شوند

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

مدول روی حلقه R چپ Q اگر یکی از شرایط معادل زیر را برآورده کند ، قابل جبران است:

اگر Q زیرمدول چپ R -مدول M است ، پس از آن وجود دارد یکی دیگر از زیرمدول K از M به طوری که M مجموع مستقیم داخلی از Q و K است ، یعنی Q + K = M و Q ∩ K = {0}
.
هر دنباله دقیق کوتاه Q → M → K → 0 از R - مدول چپ تقسیم می شود .
اگر X و Y ؛ R -مدولهای باشند ، f : X → Y یک همریختی انژکتیو است و g : X → Q یک همریختی مدول دلخواه است ، پس یک همریختی مدولh : Y → Q وجود دارد به طوری که hf = g ، یعنی نمودار زیر جابجا می شود :

دارای contravariant Hom(-، Q ) از رسته از R -مدول چپ به این رسته گروه های آبلی دقیق است .

مدول های راست R تصویری با قیاس کامل تعریف می شوند.

ادامه جبر کلین

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:12

مثالها [ ویرایش ]

مکاتبات نمره ای بین
جبری کلین و	+	·	*	0	1
عبارات با قاعده	\|	نوشته نشده	*	∅	ε

بگذارید Σ یک مجموعه محدود باشد ("الفبا") و اجازه دهید A مجموعه ای از تمام عبارات منظم بیش از Σ باشد. ما دو عبارت منظم را اگر یک زبان را توصیف کنند برابر می دانیم . سپس A جبر کلین را تشکیل می دهد. در حقیقت ، این یک جبر کلین آزاد است به این معنا که هر معادله ای در میان عبارات منظم از بدیهیات جبر کلین پیروی می کند و بنابراین در هر جبر کلین معتبر است.

باز هم بگذارید Σ یک الفبا باشد. بگذارید A مجموعه ای از همه زبانهای معمولی بیش از Σ باشد (یا مجموعه ای از همه زبانهای فاقد زمینه بیش از Σ باشد ؛ یا مجموعه ای از همه زبانهای بازگشتی بیش از Σ باشد ؛ یا مجموعه همه زبانها در بالای Σ باشد). سپس اتحاد (به صورت + نوشته شده است) و الحاق (به صورت · نوشته شده) از دو عنصر A دوباره متعلق به A است ، و همین طور عملیات ستاره Kleene که روی هر عنصر A اعمال می شود . ما یک جبر کلین A بدست می آوریم که 0 مجموعه خالی است و 1 مجموعه ای است که فقط شامل رشته خالی است.

اجازه دهید M یک مونوئید با عنصر هویت e و اجازه دهید A مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های M باشد. برای دو جمله زیر مجموعه های S و T ، اجازه دهید S + T شود صنفی S و T و تنظیم ST = { ST : ها در S و T در T }. S * به عنوان زیر مونوی M تولید شده توسط S تعریف می شود ، که می تواند به عنوان { e توصیف شود} ∪ S ∪ SS ∪ SSS ∪ ... سپس A جبری کلین تشکیل می دهد که 0 مجموعه خالی است و 1 برابر { e } است. یک ساخت مشابه می تواند برای هر دسته کوچک انجام شود .

زیرفضاهای خطی از یک unital جبر بیش از یک میدان جبر کلین تشکیل می دهد. با توجه به زیر فضاهای خطی V و W ، V + W را به عنوان جمع دو زیر فضایی تعریف کنید و 0 را به عنوان زیر فضایی پیش پا افتاده {0} تعریف کنید. تعریف V · W = طول {V · W | v ∈ V ، w ∈ W} ، دهانه خطی حاصل از بردارها از V و W به ترتیب. تعریف 1 = دهانه {I} ، دهانه واحد جبر. بسته شدن V است مجموع مستقیم تمام قدرت از V .

${\ displaystyle V ^ {*} = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {\ infty} V ^ {i}}$

فرض کنید M مجموعه ای است و مجموعه ای از تمام است رابطه دوتایی در M . با در نظر گرفتن + به عنوان اتحادیه ، به عنوان ترکیب و * به عنوان بسته شدن انتقالی انعکاسی ، یک جبر کلین بدست می آوریم.

هر جبر بولی با عملیات $\ lor$ و $\زمین$ در صورت استفاده از آن به جبر کلین تبدیل می شود $\ lor$ برای + ، $\زمین$ برای · و تنظیم * = 1 برای همه .

برای اجرای الگوریتم Floyd-Warshall می توان از جبر کلین کاملاً متفاوتی استفاده کرد ، برای محاسبه کوتاهترین طول مسیر برای هر دو رأس یک نمودار جهت دار وزنی ، توسط الگوریتم کلین ، محاسبه یک عبارت منظم برای هر دو حالت یک اتومات محدود قطعی . با استفاده از خط اعداد واقعي توسعه يافته ، a + b را حداقل a و b و ab بدست آوريد تا جمع معمولي a و b باشد (با جمع + ∞ و −∞ به صورت + defined تعريف شود). a *به عنوان عدد صفر واقعی برای a منفی و −∞ برای a منفی تعریف شده است . این یک جبر کلین با عنصر صفر + ∞ و یک عنصر عدد واقعی صفر است. یک نمودار جهت دار وزنی را می توان بعنوان یک اتومات محدود قطعی در نظر گرفت ، که هر انتقال بر اساس وزن آن برچسب گذاری شده است. برای هر دو گره نمودار (حالت های اتومات) ، عبارات منظم محاسبه شده از الگوریتم کلین ، در این جبر کلین خاص ، تا کوتاهترین طول مسیر بین گره ها ارزیابی می شوند. [4]

خصوصیات [ ویرایش ]

0 ≤: صفر کوچکترین عنصر است برای همه در .

مجموع + b است که کوچکترین کران از و ب : ما باید ≤ + ب و ب ≤ + ب و اگر X یک عنصر از است با ≤ X و b ≤ X ، پس از آن + b ≤ X . به طور مشابه، 1 + ... + N است که حداقل بالای عناصر محدود 1، ... ، a n .

ضرب و جمع یکنواخت هستند: اگر a ≤ b ، پس

a + x ≤ b + x ،
تبر ≤ bx ، و
xa ≤ xb

برای همه X در .

در مورد عملیات ستاره ، ما داریم

0 * = 1 و 1 * = 1 ،
≤ ب دلالت * ≤ ب * (یکنواختی)،
N ≤ * برای هر عدد طبیعی n را ، که در آن N به عنوان تعریف N ضرب برابر از ،
( a * ) ( a * ) = a * ،
( a * ) * = a * ،
1 + a ( a * ) = a * = 1 + ( a * ) a ،
ax = xb به معنی ( a * ) x = x ( b * ) است ،
(( ab ) * ) a = a (( ba ) * ) ،
( a + b ) * = a * ( b ( a * )) * ، و
pq = 1 = qp دلالت بر q ( a * ) p = ( qap ) * دارد . [5]

اگر A جبر کلین باشد و n یک عدد طبیعی باشد ، می توان مجموعه (M n ( A متشکل از تمام ماتریس های n -by- n را با ورودی های A در نظر گرفت . با استفاده از مفاهیم معمولی جمع و ضرب ماتریس ، می توان عملکردی * منحصر به فرد تعریف کرد تا (M n ( A به یک جبر کلین تبدیل شود.

تاریخچه [ ویرایش ]

کلین عبارات منظمی را ارائه داد و برخی از قوانین جبری آنها را بیان کرد. [6] [7] اگرچه او جبرهای کلین را تعریف نکرده است ، اما وی برای تصمیم گیری برای معادل سازی عبارات منظم درخواست کرد. [8] ردکو ثابت کرد که هیچ مجموعه محدودی از بدیهیات معادله ای نمی تواند جبر زبانهای منظم را مشخص کند. [9] Salomaa بدیهی سازی کاملی از این جبر ارائه داد ، البته به قوانین استنباط مسئله ای بستگی دارد. [10] مسئله تهیه مجموعه کاملی از بدیهیات ، که استخراج همه معادلات را در میان عبارات منظم امکان پذیر می کند ، توسط جان هورتون کانوی تحت عنوان جبرهای منظم مورد بررسی قرار گرفت . [11]با این حال ، بخش عمده ای از درمان او بی حد و حصر بود. در سال 1981 ، كوزن يك سيستم استنتاجي كاملاً معادله اي براي جبر زبان هاي معمول را ارائه داد. [12] در سال 1994 ، وی سیستم بدیهی فوق الذکر را ارائه داد ، که از برابری های بدون قید و شرط و شرط استفاده می کند [13] و از نظر معادله ای برای جبر زبانهای منظم کامل است ، یعنی دو عبارت منظم a و b فقط یک زبان را نشان می دهند اگر a = b از بدیهیات فوق پیروی می کند. [14]

تعمیم (یا ارتباط با ساختارهای دیگر) [ ویرایش ]

جبری کلین مورد خاصی از سمینارهای بسته است که سمینارهای شبه منظم یا سمینارهای لمان نیز نامیده می شود ، سمینارهایی که در آنها هر عنصر حداقل یک شبه معکوس دارد که معادله را برآورده می کند: a * = aa * + 1 = a * a + 1. این شبه معکوس لزوماً منحصر به فرد نیست. [15] [16] در جبر کلین ، a * کمترین راه حل برای معادلات ثابت است: X = aX + 1 و X = Xa + 1. [16]

سمیرم های بسته و جبرهای کلین در مشکلات مسیر جبری ظاهر می شوند ، این مسئله تعمیم کوتاه ترین مساله مسیر است. [16]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

جبر کلین

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 12:8

این مقاله در مورد جبر کلین با یک عمل بسته شدن است - تعمیم عبارات منظم. برای جبر کلین همراه با تکامل - تعمیم منطق سه گانه کلین - ، به جبر کلین (با تکامل) مراجعه کنید .

در ریاضیات ، یک کلین جبر ( / K L eɪ N من / KLAY -nee ؛ به نام بعد از استیون کول کلین ) یک idempotent (و در نتیجه پاره مرتب) است semiring عطا با یک اپراتور بسته شدن . [1] عملکردهای شناخته شده از عبارات منظم را تعمیم می دهد .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

در ادبیات تعاریف مختلفی از جبر کلین و ساختارهای مرتبط ارائه شده است. [2] در اینجا ما تعریفی را ارائه خواهیم داد که به نظر می رسد امروزه رایج ترین باشد.

کلین جبر است مجموعه ای همراه با دو عملیات دودویی +: × → و ·: × → و یک تابع * : → ، نوشته شده به عنوان + ب ، AB و * به ترتیب، به طوری که بدیهیات زیر راضی هستند

Associativity از + و ·: + ( ب + ج ) = ( + ب ) + ج و ( پیش از میلاد ) = ( AB ) ج برای همه ، ب ، ج در .
اشتراک پذیری +: a + b = b + a برای همه a ، b در A
توزیع : a ( b + c ) = ( ab ) + ( ac ) و ( b + c ) a = ( ba ) + ( ca ) برای همه a ، b ، c در A
عناصر هویت برای + و ·: یک عنصر 0 در A وجود دارد به طوری که برای همه a در A : a + 0 = 0 + a = a . یک عنصر 1 در A وجود دارد به طوری که برای همه a در A : a 1 = 1 a = a .
نابودی توسط 0: 0 = 0 = 0 برای همه در .

بدیهیات بالا تعریف semiring . ما بیشتر نیاز داریم:

+ است idempotent : + = برای همه در .

اکنون می توان یک ترتیب جزئی ≤ در A با تنظیم a ≤ b تنظیم کرد اگر و فقط اگر a + b = b (یا معادل آن: a ≤ b اگر و فقط اگر x در A وجود داشته باشد به طوری که a + x = b با هر تعریفی ، a ≤ b ≤ a به معنی a = b است . با استفاده از این سفارش ما می توانیم چهار بدیهیات گذشته در مورد عملیات تدوین و فرموله * :

1 + ( * ) ≤ * برای همه در .
1 + ( * ) ≤ * برای همه در .
اگر a و x در A باشند به طوری که ax ≤ x ، پس a * x ≤ x
اگر a و x در A باشند به طوری که xa ≤ x ، پس x ( a * ) ≤ x [3]

به طور شهودی ، باید یک + b را "اتحاد" یا "حداقل بالاترین حد" a و b و ab در نظر بگیریم که ضربی یکنواخت است ، به این معنا که a ≤ b به معنی ax ≤ bx است . ایده پشت اپراتور ستاره است * = 1 + + AA + AAA + ... از نقطه نظر تئوری زبان برنامه نویسی ، همچنین ممکن است تفسیر + به عنوان "انتخاب"، · عنوان "توالی" و * عنوان "تکرار" .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Kleene_algebra

حلقه آرتینی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 0:56

در جبر مجرد ، یک حلقه آرتینی(گاهی اوقات حلقه آرتینی) است حلقه که ارضا کند شرایط زنجیره نزولی در ایده آل ؛ یعنی هیچ دنباله نزولی بی نهایت از ایده آل ها وجود ندارد. حلقه های آرتینی به نام امیل آرتین نامگذاری شده اند ، وی اولین بار کشف کرد که شرایط زنجیره نزولی ایده آل ها به طور همزمان حلقه ها و حلقه های متناهی را تعمیم می دهد که فضاهای بردار بعدی در میدان ها هستند . تعریف حلقه های آرتینی ممکن است با جایگزینی شرایط زنجیره نزولی با یک مفهوم معادل: حداقل شرط .

یک حلقه است آرتینی چپ اگر ارضا کند شرط زنجیره نزولی بر ایده آل های چپ، آرتینی راست اگر آن را برآورده کند شرایط نزولی های زنجیره ای در ایده آل راست، و آرتینی یا آرتینی دو طرفه آن است که اگر هر دو سمت چپ و راست آرتینی. برای حلقه های جابجایی ، تعریف های چپ و راست با هم منطبق هستند ، اما به طور کلی آنها از یکدیگر متمایز هستند.

آرتین-Wedderburn به قضیه مشخصه همه ساده حلقه آرتینی به عنوان حلقه ای از ماتریس بیش از یک حلقه تقسیم . این بدان معنی است که اگر و فقط اگر آرتینی درست باشد یک حلقه ساده از آرتینی باقی مانده است.

تعریف و اصطلاحات یکسانی را می توان در مدول ها به کار برد ، و ایده آل ها با زیر مدول ها جایگزین می شوند.

اگرچه وضعیت زنجیره نزولی نسبت به وضعیت زنجیره صعودی دوگان به نظر می رسد ، اما در حلقه ها در واقع شرایط قوی تر است. به طور خاص ، یک نتیجه از قضیه Akizuki-Hopkins-Levitzki این است که یک حلقه آرتینی چپ (مربوط به راست) راست به طور خودکار یک حلقه نوتری چپ (مربوط به راست) است . این برای مدول های عمومی درست نیست. یعنی یک مدول آرتینی نیازی نیست که یک مدول نوتری باشد .

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

دامنه انتگرال آرتینی است اگر و تنها اگر یک میدان است.
یک حلقه با ایده آل های بسیار زیاد ، بگویید چپ ، آرتینی باقی مانده است. به طور خاص ، یک حلقه متناهی (به عنوان مثال ، $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ ) چپ و راست آرتینی است.
بگذارید k یک میدان باشد. سپس $k [t] / (t ^ {n})$ آرتینی برای هر عدد صحیح مثبت است n .
به طور مشابه ، ${\ displaystyle k [x، y] / (x ^ {2}، y ^ {3}، xy ^ {2}) = k \ oplus k \ cdot x \ oplus k \ cdot y \ oplus k \ cdot xy \ oplus k \ cdot y ^ {2}}$ یک حلقه آرتینی با ایده آل ماکزیمال $(x ، y)$ است
اگر I ایده آل غیر صفر دامنه ددکیند A fhan ، پس $A / I$ یک حلقه اصلی آرتینی است. [1]
برای هر $n \ geq 1$ ، حلقه ماتریس کامل $M_ {n} (R)$ بیش از یک حلقه آرتینی (مربوط به نوتریسمت چپ) R آرتینی (مربوط به نوتری سمت چپ). [2]

حلقه اعداد صحیح $\ mathbb {Z}$ یک حلقه نوتری است اما آرتینی نیست.

مدولها روی حلقه های آرتینی [ ویرایش ]

اجازه دهید M یک مدول چپ بر روی یک حلقه آرتینی سمت چپ باشد. سپس موارد زیر معادل هستند

( قضیه هاپکینز ):

(i) M کاملاً تولید می شود ،

(ii) M دارای طول متناهی است (یعنی دارای سری ترکیبات است ) ،

(iii) M نوتری است ،

(IV) M آرتینی است. [3]

حلقه های آرتینی جابجایی [ ویرایش ]

بگذارید A یک حلقه نوتری جابجایی با یکدار باشد. شرایط زیر معادل هستند.

A آرتینی است.
A یک ضرب متناهی از حلقه های موضعی آرتینی جابجایی است. [4]
A / nil ( A ) یک حلقه نیمه ساده است ، که در آن nil ( A ) مقدار رایکال پوچی از A است . [ نیاز به منبع ]
هر مدول کاملاً تولید شده بیش از A دارای طول متناهی است. (به بالا نگاه کن)
A دارای ابعاد Krull صفر است. [5] (به ویژه ، nilradical از آنجا که ایده آل های اصلی ماکزیمال هستند ، رادیکال Jacobson است.)
$\ operatorname {Spec} A$ متناهی و گسسته است.
$\ operatorname {Spec} A$ گسسته است [6]

اجازه دهید K یک میدان و متناهی مولد K جبر. سپس آرتینی است اگر و تنها اگر است متناهی به عنوان تولید k-module باشد.

یک حلقه موضعی آرتینی کامل است. ضریب و موضعی سازی حلقه آرتینی آرتینی است.

حلقه ساده آرتینی [ ویرایش ]

حلقه ساده آرتینی یک حلقه ماتریس بیش از حلقه تقسیم است. در واقع ، [7] بگذارید I ایده آل مناسب حداقل (غیر صفر) از A باشم . پس از آن $هوش مصنوعی$ یک ایده آل دو طرفه است ، $هوش مصنوعی = الف$ از آنجا که A ساده است. بنابراین ، ما می توانیم انتخاب کنیم $a_ {i} \ در A$ به طوری که $1 \ در a {1} I + \ cdots + a_ {k} I$ . فرض کنید k با توجه به ویژگی آن حداقل باشد. همریختی مدول های مناسب A را در نظر بگیرید:

${\ displaystyle {\ start {cases} I ^ {\ oplus k} \ to A، \\ (y_ {1}، \ dots، y_ {k}) \ mapsto a_ {1} y_ {1} + \ cdots + a_ {k} y_ {k} \ end {موارد}}}$

این تصنیفی است. اگر این تزریقی نیست ، بگویید ، $a_ {1} y_ {1} = a_ {2} y_ {2} + \ cdots + a_ {k} y_ {k}$ با غیر صفر $y_ {1}$ . سپس ، با کمترین میزان I ، ما باید: $y_ {1} A = I$ . آن به شرح زیر است:

$a_ {1} I = a_ {1} y_ {1} A \ زیرمجموعه a_ {2} I + \ cdots + a_ {k} I$ ،

که با حداقل k تضاد دارد . از این رو ، $I ^ {\ oplus k} \ simeq A$ و بنابراین $A \ simeq \ operatorname {End} _ {A} (A) \ simeq M_ {k} (\ operatorname {End} _ {A} (I))$ .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

حلقه نوتری

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 0:55

در ریاضیات ، به طور خاص در زمینه جبر شناخته شده به عنوان نظریه حلقه ، یک حلقه نوتری است حلقه که ارضا شرایط زنجیره صعودی در سمت چپ و راست ایده آل ؛ یعنی با توجه به توالی فزاینده ایده آل های چپ (یا راست):

${\ displaystyle I_ {1} \ subseteq \ cdots \ subseteq I_ {k-1} \ subseteq I_ {k} \ subseteq I_ {k + 1} \ subseteq \ cdots،}$

یک عدد طبیعی n وجود دارد که:

$I_ {n} = I_ {n + 1} = \ cdots.$

حلقه های نوتری به نام امی نوتر نامگذاری شده اند .

مفهوم یک حلقه نوتری است از اهمیت اساسی در هر دو خاصیت جابجایی و غیر مبادلهای نظریه حلقه، با توجه به نقش آن در ساده سازی ساختار ایده آل از یک حلقه بازی می کند. به عنوان مثال ، حلقه اعداد صحیح و حلقه چند جمله ای بیش از یک زمینه هر دو حلقه های نوتریایی هستند ، و در نتیجه ، قضیه هایی مانند قضیه لاسکر-نوتر ، قضیه تقاطع کرول و قضیه مبنای هیلبرت برای آنها صدق می کند. به علاوه، اگر یک حلقه نوتری است، سپس آن را ارضا شرایط زنجیره نزولی در ایده آل های اول. این ویژگی تئوری عمیقی از ابعاد را برای حلقه های نوتریایی پیشنهاد می کند که با مفهوم بعد کرول آغاز می شود .

ساختارهای جبری
گروه مانند[نمایش]
انگشتر مانند[نمایش]
مشبک مانند[نمایش]
ماژول مانند[نمایش]
جبر مانند[نمایش]
v تی ه

فهرست

خصوصیات [ ویرایش ]

برای حلقه های غیرتداخلی ، لازم است که بین سه مفهوم بسیار مشابه تفاوت قائل شوید:

یک حلقه است چپ نوتری اگر ارضا شرط زنجیره صعودی بر آرمان های چپ.
یک حلقه در صورت برآوردن شرایط زنجیره صعودی با ایده آل های صحیح ، نوتریایی است.
یک انگشتر نوتریایی است اگر هم نوتری چپ و هم راست باشد.

برای حلقه های تغییر دهنده ، هر سه مفهوم با هم منطبق هستند ، اما به طور کلی متفاوت هستند. حلقه هایی وجود دارد که چپ-نوترایی هستند و نه راست-نوترایی و بالعکس.

تعریف های معادل دیگری نیز برای حلقه R وجود دارد که باید از نوع نوتری باقی بماند:

هر ایده آل سمت چپ من در R کاملاً تولید می شود ، یعنی عناصری وجود دارد ${\ displaystyle a_ {1} ، \ ldots ، a_ {n}}$ در من طوری که ${\ displaystyle I = Ra_ {1} + \ cdots + Ra_ {n}}$ . [1]
هر مجموعه غیر خالی از آرمان های چپ R ، که تا حدی با درج سفارش داده می شوند ، دارای یک عنصر حداکثر هستند . [1]

نتایج مشابهی برای حلقه های سمت راست نوترایی وجود دارد.

شرط زیر نیز یک شرایط معادل برای حلقه R است که از نوع نوتری باشد و فرمول اصلی هیلبرت است: [2]

با توجه به یک توالی ${\ displaystyle f_ {1} ، f_ {2} ، \ dots}$ از عناصر در R ، یک عدد صحیح وجود دارد $n$ به گونه ای که هر کدام $f_ {i}$ یک ترکیب خطی متناهی است ${\ textstyle f_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {j} f_ {j}}$ با ضرایب $r_j$ در R .

برای اینکه یک حلقه تعویض از نوع نوترایی باشد کافی است که هر ایده آل اصلی حلقه کاملاً تولید شود. [3]

خصوصیات [ ویرایش ]

اگر R یک حلقه نوتری است ، پس حلقه چند جمله ای است $R [X]$ توسط قضیه مبنای هیلبرت نوتری است . با القا ، ${\ displaystyle R [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n}]}$ یک حلقه نوتریایی است. همچنین ،[[ R [[ X ، حلقه سری قدرت یک حلقه نوتریاست.
اگر R یک حلقه نوتریاست و I یک ایده آل دو طرفه است ، آنگاه ضریب R / I نیز نوتریاست. با بیان متفاوت ، تصویر هر گونه همگونی حلقه اضافی از یک حلقه نوتریایی نوتری است.
هر جبر تغییراتی که به طور محدود تولید شده باشد و بر روی یک حلقه نوترایی جابجایی ساخته شود ، نوترایی است. (این از دو ویژگی قبلی ناشی می شود.)
حلقه R چپ نوتری است اگر و تنها اگر هر متناهی مولدد چپ R -module است مدول نوتری .
اگر یک حلقه تغییر دهنده یک ماژول نوتریوفادار را بر روی خود بپذیرد ، حلقه یک حلقه نوتریاست. [4]
( Eakin – Nagata ) اگر یک حلقه A زیرمجموعه ای از یک حلقه نوتریجابجایی B باشد به گونه ای که B یک ماژول کاملاً ساخته شده بیش از A باشد ، A یک حلقه نوتریاست. [5]
به طور مشابه، اگر حلقه subring از یک حلقه نوتری جابجایی پذیر است B به طوری که B است صادقانه تخت بیش از (یا به طور کلی نمایشگاه به عنوان یک subring خالص )، سپس یک حلقه نوتری (از "صادقانه تخت" مقاله برای دیدن است استدلال)
هر محلی سازی از یک حلقه نوترایی جابجایی ، نوتری است.
یک نتیجه از قضیه آکیزوکی-هاپکینز-لویتسکی این است که هر حلقه آرتینین باقی مانده نوتریایی است . یک نتیجه دیگر این است که یک حلقه آرتینین سمت چپ درست است و فقط اگر Artinian راست باشد. جمله های مشابه با "راست" و "چپ" با هم عوض شده نیز درست است.
یک حلقه نوتری سمت چپ منسجم و یک Domain نوتریسمت چپ یک دامنه Ore چپ است .
(باس) یک حلقه (چپ / راست) نوتریایی است اگر و فقط اگر هر مقدار مستقیم از ماژول های تزریقی (چپ / راست) مضر باشد. هر ماژول تزریقی سمت چپ بیش از یک ماژول نوتریچپ می تواند به عنوان یک جمع مستقیم از ماژول های تزریقی تجزیه ناپذیر تجزیه شود. [6]
در یک حلقه نوتریریای کموتاتور ، فقط ایده آل های اصلی حداقل بسیار ناچیز وجود دارد . همچنین ، شرایط زنجیره نزولی آرمانهای اصلی را حفظ می کند.
در یک دامنه نوتریجایگزین R ، هر عنصر می تواند به عناصر غیرقابل تقلیل تبدیل شود . بنابراین ، اگر علاوه بر این ، عناصر غیرقابل تقلیل عناصر اصلی هستند ، R یک دامنه فاکتوراسیون منحصر به فرد است .

مثالها [ ویرایش ]

هر رشته، از جمله زمینه های اعداد گویا ، اعداد حقیقی و اعداد مختلط ، نوتری است. (یک زمینه فقط دو ایده آل دارد - خودش و (0)).
هر حلقه ایده آل اصلی ، مانند اعداد صحیح ، نوتریایی است زیرا هر ایده آل توسط یک عنصر واحد تولید می شود. این شامل دامنه های اصلی ایده آل و حوزه های اقلیدسی است .
یک دامنه Dedekind (به عنوان مثال ، حلقه های اعداد صحیح ) یک دامنه نوتریاست که در آن هر ایده آل توسط حداکثر دو عنصر ایجاد می شود.
حلقه هماهنگ از تنوع affine به یک حلقه نوتری است، به عنوان یک نتیجه از قضیه بر اساس هیلبرت.
جبر پوششی U یک جبر دروغ بعدی متناهی ${\ mathfrak {g}}$ یک حلقه نوتری چپ و راست است. این از این واقعیت ناشی می شود که حلقه درجه بندی شده مرتبط با U ضریب است $\ operatorname {Sym} ({\ mathfrak {g}})$ ، که یک حلقه چند جمله ای روی یک قسمت است. بنابراین ، نوتری. [7] به همین دلیل ، جبر ویل ، و حلقه های کلی تر از عملگرهای دیفرانسیل ، نوترایی هستند. [8]
حلقه چند جمله ای ها در بسیاری از متغیرها نسبت به اعداد صحیح یا یک قسمت نوتریاست.

حلقه هایی که نوترایی نیستند تمایل دارند (به تعبیری) بسیار بزرگ باشند. در اینجا چند نمونه از حلقه های غیر نوتریایی آورده شده است:

حلقه چند جمله ای ها در بی نهایت متغیرها ، X 1 ، X 2 ، X 3 و غیره. توالی ایده آل ها ( X 1 ) ، ( X 1 ، X 2 ) ، ( X 1 ، X 2 ، X 3 ) و غیره در حال صعود است ، و خاتمه نمی یابد.
حلقه تمام اعداد صحیح جبری نوتریایی نیست. به عنوان مثال ، این شامل زنجیره صعودی بی نهایت ایده آل های اصلی است: (2) ، (2 1/2 ) ، (2 1/4 ) ، (2 1/8 ) ، ...
حلقه از توابع پیوسته از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است نوتری: اجازه دهید من N باشد ایده آل از تمام توابع پیوسته f را به طوری که F ( X ) = 0 برای تمام X ≥ N . توالی ایده آل های I 0 ، I 1 ، I 2 و غیره یک زنجیره صعودی است که خاتمه نمی یابد.
حلقه گروههای هموتوپی پایدار کره ها نوتریری نیست. [9]

با این حال ، یک حلقه غیر نوتریایی می تواند یک زیر حلقه از یک حلقه نوتریایی باشد. از آنجا که هر دامنه انتگرال یک زیر رشته از یک فیلد است ، هر دامنه انتگرال که نوترینباشد مثالی را ارائه می دهد. برای مثال کم اهمیت تر ،

حلقه توابع منطقی تولید شده توسط x و y / x n بر روی یک میدان k یک زیر رشته از میدان (k ( x ، y فقط در دو متغیر است.

در واقع ، حلقه هایی وجود دارد که درست نوترایی هستند ، اما نوترایی نیستند ، بنابراین باید در اندازه گیری "اندازه" انگشتر از این طریق دقت کرد. به عنوان مثال ، اگر L یک زیر گروه Q 2 ناهمسان با Z است ، بگذارید R حلقه همگن سازی f از Q 2 باشد تا f ( L ) ying L راضی کند . انتخاب یک اساس، ما می توانید همان حلقه توصیف R به عنوان

$R = \ چپ \ {\ چپ. {\ start {bmatrix} a & \ beta \\ 0 & \ gamma \ end {bmatrix}} \، \ right \ vert \، a \ in \ mathbb {Z}، \ beta \ in \ mathbb {Q} ، \ gamma \ in \ mathbb {Q} \ right \}.$

این حلقه درست نوتریایی است ، اما نوتریری باقی نمانده است. زیرمجموعه I ⊂ R متشکل از عناصر با a = 0 و γ = 0 یک ایده آل چپ است که به طور قطعی به عنوان یک ماژول R چپ تولید نمی شود .

اگر R زیرمجموعه ای از یک حلقه سمت چپ نوتریS باشد ، و S کاملاً به صورت R- module سمت چپ تولید شود ، R R نوتریاست. [10] (در حالت خاص وقتی S جایگزین است ، این به عنوان قضیه Eakin شناخته می شود .) اما اگر R جایگزین نباشد این درست نیست: حلقه R پاراگراف قبلی زیر شاخه حلقه نوتری سمت چپ S = Hom است ( Q 2 ، Q 2 ) ، و S به طور کامل به عنوان یک ماژول R چپ ایجاد می شود ، اما R نوترایی باقی نمانده است.

یک دامنه فاکتوراسیون منحصر به فرد لزوماً یک حلقه نوترینیست. این شرایط ضعیف تری را برآورده می کند: شرط صعودی زنجیره ای در آرمان های اصلی . حلقه ای از چند جمله ای ها در بی نهایت متغیرها نمونه ای از یک حوزه فاکتوراسیون منحصر به فرد غیر نوتریایی است.

حلقه ارزش است نوتری نیست، مگر آن یک دامنه ایده آل اصلی است. این یک مثال از یک حلقه را نشان می دهد که به طور طبیعی در هندسه جبری بوجود می آید اما نوترایی نیست.

قضیه های کلیدی [ ویرایش ]

بسیاری از قضیه های مهم در نظریه حلقه (به ویژه تئوری حلقه های تغییر دهنده ) به فرضهای نوتریری بودن حلقه ها متکی هستند.

مورد جابجایی [ ویرایش ]

بیش از یک حلقه نوتری مبادلهای، هر ایده آل دارای تجزیه اولیه ، به این معنی که می توان آن را به عنوان یک تقاطع finitely بسیاری از آرمان های اولیه (که نوشته رادیکال همه مجزا) که در آن یک ایده آل Q است که به نام اصلی آن است که اگر مناسب و هر زمان که XY ∈ Q ، یا x ∈ Q یا y n ∈ Q برای برخی از عدد صحیح مثبت n . به عنوان مثال ، اگر یک عنصر باشد ${\ displaystyle f = p_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {n_ {r}}}$ پس محصولی از عناصر اصلی متمایز است ${\ displaystyle (f) = (p_ {1} ^ {n_ {1}}) \ cap \ cdots \ cap (p_ {r} ^ {n_ {r}})}$ و بنابراین تجزیه اولیه یک تعمیم مستقیم فاکتور بندی اصلی اعداد صحیح و چند جمله ای است. [11]
یک حلقه نوتریایی بر اساس زنجیره های صعودی ایده آل تعریف می شود. قضیه آرتین-ریس ، از سوی دیگر، می دهد برخی از اطلاعات در مورد یک زنجیره نزولی از آرمان داده شده توسط قدرت های از ایده آل ${\ displaystyle I \ supseteq I ^ {2} \ supseteq I ^ {3} \ supseteq \ cdots}$ . این یک ابزار فنی است که برای اثبات قضیه های کلیدی دیگر مانند قضیه تقاطع کرول استفاده می شود .
نظریه ابعاد از حلقه جابجایی رفتار حلقه ضعیف بیش از غیر نوتری؛ قضیه بسیار اساسی ، قضیه اصلی ایده آل کرول ، قبلاً به فرض "نوتریری" تکیه کرده است. در اینجا ، در حقیقت ، فرض "نوتری" غالباً کافی نیست و حلقه های کلیسای جهانی (نوتری) ، آنهایی که یک پیش فرض نظری-بعدی را برآورده می کنند ، اغلب به جای آن استفاده می شوند. حلقه های نوتریکه در برنامه های کاربردی ظاهر می شوند ، عموماً جهانی هستند.

مورد غیرمرتبی [ ویرایش ]

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( دسامبر 2019 )

قضیه گلدی

تأثیر در ماژول های تزریقی [ ویرایش ]

با توجه به یک حلقه ، ارتباط نزدیکی بین رفتارهای ماژول های تزریقی بر روی حلقه و اینکه آیا حلقه یک حلقه نوتریایی است یا خیر ، وجود دارد. یعنی ، با توجه به یک حلقه R ، موارد زیر معادل هستند:

R یک حلقه نوتری چپ است.
(باس) هر مقدار مستقیم از R- modules ترکیبی مستقیم ، تزریقی است. [6]
هر ماژول R-R سمت چپ یک جمع مستقیم از ماژول های تزریقی تجزیه ناپذیر است . [12]
(Faith – Walker) یک شماره اصلی وجود دارد ${\ mathfrak {c}}$ به گونه ای که هر ماژول چپ تزریقی بیش از R یک مقدار مستقیم از باشد ${\ mathfrak {c}}$ ماژول های تولید شده (یک ماژول است ${\ mathfrak {c}}$ تولید می شود اگر حداکثر یک مجموعه تولید کننده کاردینالیته داشته باشد { ${\ mathfrak {c}}$ ) [13]
یک R- Module H چپ وجود دارد به طوری که هر R- Module سمت چپ در یک نسخه مستقیم از H تعبیه می شود . [14]

حلقه اندومورفیسم یک ماژول تزریقی تجزیه ناپذیر محلی است [15] و بنابراین قضیه آزومایا می گوید ، بر روی یک حلقه نوترایی سمت چپ ، هر تجزیه تجزیه ناپذیر یک ماژول تزریقی معادل یکدیگر است (نوع قضیه کرول-اشمیت ).

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

https://en.wikipedia.org/wiki/Noetherian_ring

https://math.stackexchange.com/questions/129337/how-can-we-show-that-mathbb-q-is-not-a-free-mathbb-z

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم آذر ۱۳۹۹ | 17:5

Any two nonzero rationals are linearly dependent: if a,b∈Qa,b∈Q, a≠0≠ba≠0≠b, then there exist nonzero integers nn and mm such that na+mb=0na+mb=0.

So if QQ were free, it would be free of rank 11, and hence cyclic. But QQ is not a cyclic ZZ module (it is divisible, so it is not isomorphic to ZZ, the only infinite cyclic ZZ-module.

So QQ cannot be free.

share cite improve this answer follow

answered Apr 8 '12 at 17:11

Arturo Magidin

316k4141 gold badges685685 silver badges10121012 bronze badges

1
I don't understand this argument. ZZ is not a field, so if I'm not mistaken, having two linear dependent elements of a ZZ-module doesn't mean you can express one in terms of the other. – James Well May 17 '19 at 21:24
5
@JamesWell: You are mistaken. A free ZZ-module must have a basis. A basis is a set of elements {mi}i∈I{mi}i∈I such that (i) every element of the module is a (finite) ZZ-linear combination of the mimi; and (ii) the only (finite) ZZ-linear combinations of the mimi equal to 00 are trivial. So the first part shows that if it has a basis, it has at most one element; and the second part shows that no one element set can span. – Arturo Magidin May 17 '19 at 21:42
5
@JamesWell It’s not about being able to express one element in terms of the other; being linearly dependent in modules is not equivalent to having one element by in the span of the rest. That’s not the definition of linear dependence, that’s a consequence in the case of vector spaces. – Arturo Magidin May 17 '19 at 21:44

add a comment

Suppose a/ba/b and c/dc/d are two members of a set of free generators and both fractions are in lowest terms. Find e=lcm(b,d)e=lcm⁡(b,d) and write both fractions as (something/e(something/e). Then

ab=1e+⋯+1e and cd=1e+⋯+1e,ab=1e+⋯+1e and cd=1e+⋯+1e,

where in general the numbers of terms in the two sums will be different.

Then a/ba/b and c/dc/d are not two independent members of a set of generators, since both are in the set generated by 1/e1/e. So QQ must be generated by just one generator, so Q={0,±f,±2f,±3f,…}Q={0,±f,±2f,±3f,…}. But that fails to include the average of ff and 2f2f, which is rational.

share cite improve this answer follow

edited May 2 '13 at 5:09

answered Apr 8 '12 at 22:13

Michael Hardy

244k2727 gold badges235235 silver badges520520 bronze badges

3
Having written this, I see that it's not really so different from what Arturo Magidin wrote, except in style. So each reader can choose his or her preferred style. – Michael Hardy Apr 8 '12 at 22:15

add a comment

It follows from the definition of free modules.

Let us suppose to the contradictory that QQ is a free ZZ module, so by definition of free modules, for a given injective map α:X→Qα:X→Q and for any map f:X→Zf:X→Z, there exist a unique ZZ-homomorphism g:Q→Zg:Q→Z such that f=gαf=gα. Every ZZ module homomophism is a group homomorphism and we know that there is only trivial group homomorphism from QQ to ZZ. Since we can define a lot of distinct maps from XX to ZZ and we don't have any homomorphism from QQ to ZZ corresponding to non-zero maps f:X→Zf:X→Z, thus QQ is not a free module over ZZ.

share cite

تابع واشتراس

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم آذر ۱۳۹۹ | 14:21

نمایش تابع Weierstrass f 1 / 2،3 در فاصله [–2 ، 2] . عملکرد دارای عملکرد فراکتالی است : هر بزرگنمایی (به عنوان مثال دایره قرمز) مانند بزرگنمایی کل به نظر می رسد.

تابع وایرشتراس ، نیز نامیده می شود تابع وایرشتراس-هاردی در سال 1872 اولین نمونه منتشر شده بود 1 از عملکرد واقعی یک متغیر واقعی است که پیوسته در همه جا، اما هیچ جا مشتق . ما این را مدیون کارل وایراسترس و لئوپولد کرونکر هستیم . فرضیه های بهبود یافته توسط G. H. هاردی .

تکامل از منحنی تابع وایرشتراس در طول خطی افزایش می یابد در ارزش ب 0.1-5، برای مجموعه به 0.5 برابر است. غیرقابل تفکیک از b = 2 شروع می شود .

خلاصه

ساخت و ساز [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

در واقع این یک خانواده از توابع است که به دو پارامتر بستگی دارد ، که به عنوان مجموع یک سری مثلثاتی 2 تعریف می شود:

${\ displaystyle f_ {a، b} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}$

$f _ {{a ، b}}$ است به طور مداوم برای $0 <a <1$ ، (همگرایی یکنواخت در $\ mathbb {R}$ از مجموعه عملکردها ، براساس معیار Weierstrass ). در حالت دوم نیز به عهده گرفت ب عدد صحیح فرد تایید ${\ displaystyle ab> 1 + {\ frac {3} {2}} \ pi}$ برای اثبات غیرقابل اشتقاق بودن در هر نقطه.

سپس هاردی ثابت کرد که این فرضیه ${\ displaystyle ab \ geqslant 1}$ کافی است تا در هر مرحله قابل تغییر نباشد ، اما اثبات آن بسیار دشوارتر است 2 . ما در 3 تظاهرات در پرونده پیدا خواهیم کرد ${\ displaystyle ab> 1}$ .

متقابلا، $f _ {{a ، b}}$ کلاس است $C ^ k$ برای همه $ک$ مانند ${\ displaystyle ab ^ {k} <1}$ .

نكته فراكتال نمودار تابع [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

تابع Weierstrass یکی از اولین فراکتالهای مورد مطالعه است ، اگرچه این اصطلاح تا دیرتر مورد استفاده قرار نگرفت. به طور خاص ، این عملکرد مداوم برای نیست ${\ displaystyle ab \ geqslant 1}$ ، بیش از هر بازه زمانی یکنواخت ، هرچقدر هم کم باشد.

محاسبه هاسدورف بعد D از نمودار تابع وایرشتراس مشکل باز تا سال 2017 باقی مانده است ، هر چند مندلبرو حدس زد که ${\ displaystyle D = 2 + \ log _ {b} a = 2 + {\ frac {\ ln a} {\ ln b}}}$ 4 ، 5 ؛ این امر توسط ریاضیدانان آلمانی گرهارد کلر و چن شن ویکسیائو به طور مستقل نشان داده شده است که 30 سال بعد 6 .

با این حال ، بعد مینکوفسکی-بولیگاند (مفهومی نزدیک به هاسدورف ، که با شمارش همپوشانی های مربع های جدا از هم به جای دیسک بدست می آید) ، از دهه 1980 شناخته شده بود و اکنون می دانیم که این دو برابر هستند. 7 .

تداوم هلدرین [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

نوشتن تابع واشتراسبه روشی معادل در فرم راحت است:

${\ displaystyle W _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b ^ {- n \ alpha} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}$ با ${\ displaystyle \ alpha = - \ ln a / \ ln b}$ .

بنابراین {\ ${\ displaystyle W _ {\ alpha}}$ α- Höldérienne است ، یعنی یک ثابت وجود دارد $در مقابل$ مانند 8

${\ displaystyle \ forall x، y، \ | W _ {\ alpha} (x) -W _ {\ alpha} (y) | \ leq C | xy | ^ {\ alpha}.}$

علاوه بر این، $W_ {1}$ (بنابراین برای ${\ displaystyle ab = 1}$ ) برای تمام سفارشات <1 هلدرین است اما Lipschitzian نیست که در این صورت تقریباً در همه جا قابل استنباط بود ( قضیه رادماکر ).

منابع

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Weierstrass

تابع واشتراس

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم آذر ۱۳۹۹ | 14:10

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

با عملکرد بیضوی واشتراس اشتباه گرفته نشود ( $\ wp$ ) یا توابع واشتراس سیگما، زتا یا اتا .

نمودار عملکرد واشتراس در این بازه [2 ، 2-]. مانند سایر فراکتال ها ، این عملکرد شباهت به خودی خود را نشان می دهد : هر بزرگنمایی (دایره قرمز) شبیه نمودار جهانی است.

در ریاضیات ، تابع واشتراس نمونه ای از یک تابع با ارزش حقیقیاست که در همه جا پیوسته است اما در هیچ جا قابل تغییر نیست. این یک نمونه از منحنی فراکتال است . این نام به نام کاشف آن کرال واشتراس گرفته شده است .

تابع واشتراسدر طول تاریخ نقش یک عملکرد پاتولوژیک را ایفا می کرده است ، اولین نمونه منتشر شده (1872) است که به طور خاص برای به چالش کشیدن این مفهوم که هر عملکرد مداوم غیر از مجموعه ای از نقاط جدا شده است ، قابل تغییر است. [1] اثبات وایرشتراس مبنی بر اینکه تداوم به معنای تفاوت در همه جا نیست ، ریاضیات را از بین برد و چندین دلیل را که به شهود هندسی و تعاریف مبهم از لطافت متکی بودند ، واژگون کرد . این نوع عملکردها توسط معاصران تقبیح شده اند: هنری پوانکاره معروف آنها را "هیولا" توصیف می کند و کار واشتراسرا "خشم علیه عقل سلیم" می نامد ، در حالی که چارلز هرمیتنوشت که آنها یک "آفت افسوس" بودند. تجسم این توابع تا زمان ورود رایانه ها در قرن آینده غیرممکن بود ، بنابراین اثبات نتیجه کاملاً متکی به مراحل نظری فنی بود. نتایج تا زمانی که کاربردهای عملی مانند مدل های حرکت براونی عملکردهای بی نهایت دندانه دار (که امروزه به عنوان منحنی های فراکتال شناخته می شود) ، مورد استقبال گسترده قرار نگرفته اند . [2]

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

انیمیشن مبتنی بر افزایش مقدار b از 0.1 به 5.

در مقاله اصلی واشتراس، عملکرد به عنوان یک سری فوریه تعریف شده است :

$f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos (b ^ {n} \ pi x) ،$

جایی که $0 <a <1$ ، $ب$ یک عدد صحیح مثبت است ، و

$ab> 1 + {\ frac {3} {2}} \ pi.$

حداقل مقدار $ب$ که وجود دارد $0 <a <1$ به طوری که این محدودیت ها راضی است $b = 7$ . این ساخت و ساز ، همراه با اثبات این که عملکرد در هر بازه زمانی قابل تغییر نیست ، برای اولین بار توسط وایراسترس در مقاله ای که در 18 ژوئیه 1872 به Königliche Akademie der Wissenschaften ارائه شد ، ارائه شد . [3] [4] [5]

علیرغم اینکه هرگز قابل تغییر نیست ، عملکرد مداوم است: از آنجا که اصطلاحات سری بی نهایت که آن را تعریف می کند ، با ± a n محدود می شود و این برای 0 < a <1 جمع محدود است ، همگرایی مجموع عبارات توسط واشتراس یکنواخت است آزمون M با M n = a n . از آنجا که هر جمع جزئی پیوسته است ، با توجه به قضیه حد یکنواخت ، از این رو f پیوسته است. علاوه بر این ، از آنجا که هر جمع جزئی به طور یکنواخت مداوم است ، بنابراین f نیز به طور یکنواخت مداوم است.

انتظار می رود که یک تابع پیوسته باید مشتق داشته باشد ، یا مجموعه ای از نقاطی که قابل تفکیک نیستند باید به طور قابل شماری نامحدود یا محدود باشد. طبق وایراستراش در مقاله خود ، ریاضیدانان قبلی از جمله گاوس اغلب تصور می کردند که این درست است. این ممکن است به این دلیل باشد که ترسیم یا تجسم یک تابع مداوم که مجموعه ای از نقاط غیر قابل تفکیک چیزی غیر از مجموعه قابل شمارش از نقاط باشد ، دشوار است. نتایج مشابهی برای کلاسهای عملکردهای مداوم با رفتار بهتر وجود دارد ، به عنوان مثال توابع لیپشیس ، که مجموعه نقاط غیرتغییر آنها باید یک مجموعه پوچ لبگ باشد ( قضیه رادماچر ) وقتی می خواهیم یک تابع مداوم کلی ترسیم کنیم ، معمولاً نمودار تابعی را ترسیم می کنیم که لیپشیتس باشد یا در غیر این صورت رفتار خوبی داشته باشد.

تابع واشتراس یکی از اولین فراکتالهای مورد مطالعه بود ، اگرچه این اصطلاح تا دیرتر مورد استفاده قرار نگرفت. این عملکرد دارای جزئیات در هر سطح است ، بنابراین بزرگنمایی یک قسمت از منحنی نشان نمی دهد که به تدریج به یک خط مستقیم نزدیکتر و نزدیکتر می شود. بلکه بین هر دو نقطه ، هر چقدر هم نزدیک باشد ، عملکرد یکنواخت نخواهد بود.

محاسبه بعد هاسدورفD نمودار تابع کلاسیک واشتراستا سال 2018 یک مشکل باز بود: در حالی که به طور کلی اعتقاد بر این بود که D 2 + log b a است ، [6] [7] فقط پس از بیش از 30 سال [ توضیح مورد نیاز ] دقیقاً اثبات شد. [8]

اصطلاح تابع واشتراساغلب در تجزیه و تحلیل واقعی به کار می رود تا هر تابع با خصوصیات و ساختار مشابه نمونه اصلی واشتراسرا نشان دهد. به عنوان مثال ، تابع کسینوس را می توان در سری بی نهایت با یک تکه خطی "زیگزاگ" تکه تکه کرد . GH هاردی نشان داد که عملکرد ساخت بالا با مفروضات 0 < a <1 ، ab ≥ 1 هیچگاه قابل تفکیک نیست . [9]

تداوم هلدر [ ویرایش ]

نوشتن تابع واشتراس به صورت معادل راحت است

${\ displaystyle W _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b ^ {- n \ alpha} \ cos (b ^ {n} \ pi x)}$

برای

${\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {\ ln (a)} {\ ln (b)}}}$ . سپس (W α ( x پیوسته هلدر از α است ، به این معنی است که ثابت C وجود دارد به طوری که

$| W _ {\ alpha} (x) -W _ {\ alpha} (y) | \ leq C | xy | ^ {\ alpha}$

برای همه X و Y . [10] علاوه بر این ، W 1 از همه دستورات α <1 هولدر است اما لیپشیتس پیوسته نیست .

تراکم توابع قابل تغییر در هیچ جا [ ویرایش ]

به نظر می رسد که تابع واشتراس به دور از یک مثال جداگانه است: اگرچه "آسیب شناسانه" است ، اما "معمول" از توابع مداوم است:

در توپولوژیکی حس: مجموعه ای از توابع حقیقی ارزش هیچ جا مشتق در [0، 1] است comeager در فضای برداری C ([0، 1]؛ R ) از تمام توابع پیوسته واقعی ارزش در [0، 1] با توپولوژی همگرایی یکنواخت . [11] [12]
در اندازه گیری های نظری حس: هنگامی که فضای ([C ([0، 1؛ R ) مجهز کلاسیک اندازه گیری وینر γ ، مجموعه ای از توابع است که مشتقپذیر در حتی یک نقطه از یک [0، 1] است می γ - اندازه گیری صفر . همین امر صادق است حتی اگر کسر "برش" های متناهی C را بدست آورد ([0 ، 1]؛ R ) ، به این معنا که توابع قابل تغییر در هیچ کجا ، یک زیر مجموعه شایع از C را تشکیل می دهند ([0 ، 1]؛ R ) .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

آسیب شناسی (ریاضیات)

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم آذر ۱۳۹۹ | 13:55

این مقاله برای تأیید نیاز به استنادات اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول ها به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. منابع را بیابید: ریاضیات "آسیب شناسی" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · دانشمند · JSTOR
( مه 2013 ) (با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

تابع وایرشتراس است مستمر در همه جا اما مشتقپذیر هیچ جا.

در ریاضیات ، یک شی path آسیب شناختی چیزی است که دارای ویژگی انحرافی ، نامنظم یا ضد شهود باشد ، به گونه ای که آن را از آنچه به عنوان یک شی معمولی در همان گروه تصور می شود ، متمایز کند. نقطه مقابل پاتولوژیک رفتار خوبی دارد . [1] [2] [3]

فهرست

در تحلیل [ ویرایش ]

یک نمونه کلاسیک از یک ساختار آسیب شناختی ، عملکرد Weierstrass است که در همه جا مداوم است اما در هیچ کجا قابل تغییر نیست. [2] مجموع یک تابع قابل تغییر و تابع Weierstrass دوباره مداوم است اما هیچ جا قابل تفکیک نیست. بنابراین حداقل به همان اندازه توابع قابل تفکیک وجود دارد. در واقع ، با توجه به قضیه مقوله Baire ، می توان نشان داد كه توابع مداوم از نظر كلی در هیچ كجا قابل تفكیك نیستند . [4]

به تعبیر غیر روحانی ، اکثر کارکردها در هیچ کجایی قابل تفکیک نیستند و نسبتاً معدودی می توانند توصیف یا مطالعه شوند. به طور کلی ، بیشتر عملکردهای مفید نیز نوعی مبنای فیزیکی یا کاربرد عملی دارند ، به این معنی که نمی توانند در سطح ریاضیات سخت یا منطق آسیب شناس باشند. جدا از موارد محدود مانند توزیع دلتا ، آنها کاملاً رفتار خوبی و شهودی دارند. به نقل از هنری پوانکره :

منطق گاهی هیولا می کند. به مدت نیم قرن شاهد انبوهی از عملکردهای عجیب و غریب بوده ایم که به نظر می رسد مجبورند تا حد امکان عملکردهای صادقانه ای را دنبال کنند که هدف خاصی دارند. بیشتر از تداوم ، یا کمتر از تداوم ، مشتقات بیشتر ، و غیره. در واقع ، از نظر منطق ، این عملکردهای عجیب و غریب عمومی ترین هستند. از طرف دیگر آنهایی که یکی بدون جستجوی آنها ملاقات می کند و از قوانین ساده پیروی می کنند به عنوان یک مورد خاص ظاهر می شوند که بیش از یک گوشه کوچک نیست.
در زمان های گذشته که شخص عملکرد جدیدی را ابداع می کرد ، برای یک هدف عملی بود. امروز شخص آنها را عمداً اختراع می کند تا نقصی در استدلال پدران ما نشان دهد و فقط این را از آنها استنباط می کند.
اگر منطق تنها راهنمای معلم باشد ، لازم است که با عمومی ترین کارکردها شروع شود ، یعنی با عجیب ترین آنها شروع شود. این مبتدی است که باید با این موزه تراتولوژیک مقابله کند .
- هانری پوانکره ، 1899 [ مبهم ]

این واقعیت را برجسته می کند که اصطلاح پاتولوژیک (و به همین ترتیب ، کلمه خوش رفتار ) ذهنی ، وابسته به زمینه و قابل فرسایش است. [1] معنای آن در هر مورد خاص در جامعه ریاضیدانان نهفته است ، و نه لزوماً در خود ریاضیات. همچنین ، این نقل قول نشان می دهد که چگونه ریاضیات اغلب از طریق مثالهای متقابل به آنچه تصور می شود شهودی یا مورد انتظار است ، پیشرفت می کند. به عنوان مثال ، "عدم مشتقات" ذکر شده از نزدیک با مطالعه فعلی حوادث اتصال مجدد مغناطیسی در پلاسمای خورشیدی مرتبط است . [ نیاز به منبع ]

در توپولوژی [ ویرایش ]

یکی از مهمترین و آسیب های بدنام در توپولوژی است که الکساندر شاخدار حوزه ، یک مثال نقض نشان می دهد که توپولوژیکی تعبیه حوزه S 2 در R 3 ممکن است قادر به جدا کردن فضای پاک. به عنوان یک نمونه ضد ، انگیزه شرایط اضافی رقت است ، که نوع رفتار وحشی کره شاخ را سرکوب می کند . [5]

مانند بسیاری از آسیب شناسی های دیگر ، کره شاخدار به یک معنا با یک ساختار بی نهایت ظریف و بازگشتی تولید می شود ، که در حد مجاز شهود معمولی را نقض می کند. در این حالت ، توپولوژی یک زنجیره همیشه نزولی حلقه های بهم پیوسته قطعه های مداوم کره در حد کاملاً منعکس کننده کره مشترک است ، و انتظار می رود که خارج از آن ، پس از تعبیه ، به همان شکل کار کند. هنوز اینطور نیست: به راحتی متصل نمی شود .

برای نظریه اساسی ، به قضیه اردن- شنفلیس مراجعه کنید .

خوش رفتار [ ویرایش ]

این مقاله نمی استناد هر منابع . لطفاً با افزودن نقل قول ها به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . مواد بدون منبع ممکن است به چالش کشیده و حذف شود . منابع را بیابید: ریاضیات "آسیب شناسی" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · دانشمند · JSTOR
( دسامبر 2009 ) (با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

ریاضیدانان (و کسانی که در علوم مرتبط هستند) غالباً در مورد اینکه آیا یک شی mathemat ریاضی - یک تابع ، یک مجموعه ، فضای یک نوع یا نوع دیگر - رفتار خوبی دارد صحبت می کنند . در حالی که این اصطلاح تعریف رسمی مشخصی ندارد ، اما به طور کلی به کیفیت ارضای لیستی از شرایط غالب اشاره دارد [6] ، که ممکن است به زمینه ، علایق ریاضی ، مد و سلیقه وابسته باشد. ریاضیدانان برای اطمینان از "خوب بودن" یک شی object بدیهیات دیگری را برای محدود کردن دامنه مطالعه معرفی می کنند. این مزیت این است که تجزیه و تحلیل را آسان تر می کند ، اما نتیجه گیری کلی از دست می دهد. مثلا،هندسه های غیر اقلیدسی زمانی بد رفتاری قلمداد می شدند ، اما از آن زمان به بعد از قرن نوزدهم و به بعد به موارد معمول مطالعه تبدیل شده اند. [7]

هم در ریاضیات خالص و هم در ریاضیات کاربردی (به عنوان مثال ، بهینه سازی ، تلفیق عددی ، فیزیک ریاضی ) ، رفتار خوب نیز به معنای نقض نکردن مفروضات مورد نیاز برای به کارگیری موفقیت آمیز هر تحلیل است. [6]

حالت مخالف آن معمولاً "پاتولوژیک" است. وجود شرایطی که در اکثر موارد (از نظر کاردینالیته یا اندازه گیری ) بیمارگونه است غیر معمول نیست ، اما موارد پاتولوژیک در عمل بوجود نمی آیند - مگر اینکه عمداً ساخته شوند.

اصطلاح "خوش رفتاری" به طور کلی به معنای مطلق به کار می رود - یا چیزی رفتار خوبی دارد یا ندارد. مثلا:

در استنتاج الگوریتمی ، یک آماره خوش رفتار یکنواخت ، کاملاً مشخص و کافی است .
در قضیه Bézout ، دو چند جمله ای رفتار مطلوبی دارند و بنابراین فرمول ارائه شده توسط قضیه برای تعداد تقاطع های آنها معتبر است ، اگر بزرگترین تقسیم مشترک چند جمله ای آنها ثابت باشد.
یک تابع مرکب شناختی نسبت دو عملکرد خوب است ، به معنای هولوومرفی بودن آن دو تابع .
شرایط Karush-کوهن-تاکر می مرتبه اول شرایط لازم برای یک راه حل در به خوبی رفتار برنامه ریزی غیر خطی مشکل به مطلوب، در صورت برآورده شدن برخی از شرایط نظم ، به مشکلی گفته می شود که رفتار خوبی داشته باشد.
به احتمال زیاد ، وقایع موجود در جبر سیگما مربوط به فضای احتمال ، همانند عملکردهای قابل اندازه گیری ، رفتار خوبی دارند .

به طور غیرمعمول ، این اصطلاح می تواند به معنای مقایسه ای نیز به کار رود:

در حساب :
- عملکردهای تحلیلی از عملکردهای نرم همگانی رفتار بهتری دارند .
- عملکردهای روان از عملکردهای متمایز کلی رفتار بهتری دارند.
- عملکردهای متمایز پیوسته از عملکردهای مداوم عمومی رفتار بهتری دارند. هرچه تعداد تفاوتی که در عملکرد وجود دارد بیشتر باشد ، رفتار مطلوبی نیز دارد.
- عملکردهای پیوسته رفتارهای بهتر از توابع قابل تلفیق ریمان در مجموعه های جمع و جور هستند.
- عملکردهای قابل تلفیق ریمان رفتارهای بهتری نسبت به توابع قابل تلفیق با Lebesgue دارند.
- عملکردهای قابل تلفیق با Lebesgue رفتار بهتری نسبت به توابع عمومی دارند.
در توپولوژی ، عملکردهای مداوم از عملکردهای ناپیوسته رفتار بهتری دارند.
- فضای اقلیدسی رفتار بهتری نسبت به هندسه غیر اقلیدسی دارد .
- نقاط ثابت جذاب رفتار بهتری نسبت به نقاط ثابت دافعه دارند.
- رفتارهای توپولوژی هاوسدرف نسبت به توپولوژی های عمومی خودسرانه رفتار بهتری دارند .
- مجموعه بورل بهتر رفتار از خودسرانه مجموعه از اعداد حقیقی .
- فضاهای با بعد عدد نسبت به فضاهای با بعد فراکتال رفتار بهتری دارند .
در جبر انتزاعی :
- رفتار گروهها از ماگما و نیمه گروهها بهتر است .
- گروه های آبلیان رفتار بهتری نسبت به گروه های غیر آبلیایی دارند.
- گروه های Abelian که به طور کامل تولید می شوند رفتار بهتری نسبت به گروه های Abelian دارند که به طور کامل تولید نمی شوند.
- محدود - بعدی فضاهای برداری بهتر رفتار از بی نهایت آنهایی که بعدی.
- زمینه ها رفتار بهتری نسبت به زمینه های کج یا حلقه های عمومی دارند .
- از هم جدا پسوند زمینه بهتر رفتار نسبت به آنهایی که غیر از هم جدا.
- جبرهای تقسیم نرمال از جبرهای ترکیب عمومی رفتار بهتری دارند.

نمونه های آسیب شناسی [ ویرایش ]

این مقاله احتمالاً شامل تحقیقات اصلی است . لطفاً با تأیید ادعاهای مطرح شده و افزودن استنادات داخلی آن را بهبود ببخشید . اظهاراتی که فقط شامل تحقیقات اصلی هستند باید حذف شوند. ( آگوست 2019 ) (با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

مثالهای آسیب شناختی غالباً دارای برخی خصوصیات نامطلوب یا غیرمعمول هستند که مهار یا توضیح آنها در یک تئوری را دشوار می کند. چنین رفتارهای آسیب شناختی اغلب تحقیقات و تحقیقات جدید را در پی دارد ، که منجر به نظریه جدید و نتایج کلی تر می شود. برخی از نمونه های مهم تاریخی این موارد عبارتند از:

کشف اعداد غیر منطقی توسط مکتب فیثاغورس در یونان باستان. به عنوان مثال ، طول مورب یک مربع واحد ، یعنی ${\ sqrt {2}}$ .
کشف اعداد مختلط در قرن شانزدهم به منظور یافتن ریشه توابع چند جمله ای مکعبی و کوارتکی .
کاردینالیتی از اعداد گویا به کاردینالیتی برابر است اعداد صحیح .
بعضی از فیلدهای عددی دارای حلقه هایی از اعداد صحیح هستند که یک دامنه فاکتوراسیون منحصر به فرد را تشکیل نمی دهند ، به عنوان مثال این فیلد $\ mathbb {Q} (\ sqrt {-5})$ .
کشف فراکتال ها و دیگر اشیا ometric هندسی "خشن" (به بعد هاوسدورف مراجعه کنید ).
تابع وایرشتراس ، یک واقعی تابع -valued در خط واقعی ، این است که به طور مداوم در همه جا اما مشتقپذیر هیچ جا. [2]
توابع آزمون در تئوری تجزیه و تحلیل واقعی و توزیع ، که بی نهایت توابع قابل تفکیک در خط واقعی هستند که خارج از یک بازه محدود مشخص 0 هستند . مثالی از چنین تابعی ، عملکرد آزمایشی است ،

${\ displaystyle \ varphi (t) = {\ start {موارد} e ^ {- 1 / (1-t ^ {2})} ، و - 1 <t <1 ، \\ 0 و {\ text {در غیر این صورت }}. \ end {موارد}}}$

مجموعه کانتور یک زیر مجموعه از بازه [0، 1] است که است اندازه گیری صفر است اما غیر قابل شمارش .
منحنی فضای پرکان Peano یک تابع پیوسته است که فاصله واحد [0 ، 1] را بر روی [0 ، 1] s [0 ، 1] ترسیم می کند.
تابع دیریکله است که عملکرد شاخص برای گویا، یک تابع محدود است که نمی باشد ریمان انتگرال .
تابع کانتور است یکنواخت تابع پوشا مداوم است که نقشه ها [0،1] بر روی [0،1]، اما صفر مشتق تقریبا در همه جا .
کلاسهای رضایتمندی که حاوی عبارات حسابگرانه "شهودی نادرست" هستند می توانند برای مدلهای قابل شمارش ، بازگشتی اشباع شده از حساب Peano ساخته شوند . [ نیاز به منبع ]

در زمان کشف ، هر یک از اینها بسیار آسیب شناسانه تلقی می شد. امروز ، هر یک از آنها به نظریه ریاضی مدرن تبدیل شده است. این نمونه ها ناظران آنها را وادار به اصلاح عقاید یا شهود خود می کند و در برخی موارد ارزیابی مجدد تعاریف و مفاهیم بنیادی را ضروری می کند. در طول تاریخ ، آنها به ریاضیات صحیح تر ، دقیق تر و قدرتمندتر منجر شده اند. به عنوان مثال ، تابع Dirichlet با Lebesgue قابل تلفیق است ، و از تجمع با توابع آزمون برای تقریب هر تابع محلی قابل ادغام توسط توابع صاف استفاده می شود. [یادداشت 1]

اینکه آیا رفتاری آسیب شناختی است یا خیر ، با توجه به شهود شخصی است. آسیب شناسی ها به زمینه ، آموزش و تجربه بستگی دارد و آنچه برای یک محقق آسیب شناس است به خوبی رفتار استاندارد دیگر است.

مثالهای آسیب شناختی می توانند اهمیت مفروضات را در یک قضیه نشان دهند. به عنوان مثال ، در آمار ، توزیع کوشی قضیه حد مرکزی را برآورده نمی کند ، حتی اگر شکل زنگ متقارن آن مشابه بسیاری از توزیع ها باشد. این نیاز به داشتن انحراف متوسط و معیاری را که وجود دارد و محدود است ، برطرف نمی کند.

برخی از معروف ترین پارادوکس ها ، مانند پارادوکس Banach – Tarski و پارادوکس Hausdorff ، مبتنی بر وجود مجموعه های غیر قابل اندازه گیری هستند . ریاضیدانان ، مگر اینکه موضع اقلیت را در انکار اصل انتخاب انتخاب کنند ، به طور کلی از زندگی با چنین مجموعه هایی استعفا می دهند. [ نیاز به منبع ]

علوم کامپیوتر [ ویرایش ]

در علوم کامپیوتر ، پاتولوژیک با توجه به مطالعه الگوریتم ها کمی متفاوت است . در اینجا ، گفته می شود که یک ورودی (یا مجموعه ای از ورودی ها) اگر باعث ایجاد یک رفتار غیرمعمول از الگوریتم شود ، مانند نقض پیچیدگی متوسط پرونده یا حتی درستی آن ، آسیب شناسانه باشد . به عنوان مثال ، جداول هش به طور کلی ورودی های آسیب شناختی دارند: مجموعه کلیدهایی که روی مقادیر هش با هم برخورد می کنند . Quicksort به طور معمول دارای پیچیدگی زمان O (ورود به سیستم) است ، اما وقتی ورودی داده می شود که رفتار غیربهینه را تحریک می کند ، به درجه O (n 2 ) بدتر می شود.

این اصطلاح غالباً به صورت ظریف استفاده می شود ، به عنوان روشی برای کنار گذاشتن ورودی هایی که به طور خاص برای شکستن روال معمولی طراحی شده اند (در مقایسه با بیزانس ). از طرف دیگر ، آگاهی از ورودی های آسیب شناختی مهم است ، زیرا می توان از آنها برای ایجاد حمله انکار سرویس به سیستم رایانه ای بهره برد. همچنین ، اصطلاح به این معنا مانند سایر حواس آن یک امر قضاوتی ذهنی است. با توجه به زمان اجرا به اندازه کافی، یک جامعه به اندازه کافی بزرگ و متنوع کاربر (یا عوامل دیگر)، یک ورودی که ممکن است به عنوان پاتولوژیک را رد کرد می تواند در واقع رخ می دهد (همانطور که در دیده اولین پرواز آزمایشی از موشک Ariane 5 ).

موارد استثنا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: شی object استثنایی

یک پدیده مشابه اما مشخص ، پدیده اشیا exceptional استثنایی (و ایزومورفیسم استثنایی ) است که وقتی تعداد "کمی" استثنا در یک الگوی کلی وجود دارد (مانند مجموعه محدودی از استثناها در یک قاعده غیر نامحدود). در مقابل ، در موارد آسیب شناسی ، اغلب اغلب یا تقریباً همه موارد یک پدیده آسیب شناختی هستند (به عنوان مثال ، تقریباً همه اعداد واقعی غیر منطقی هستند).

از نظر ذهنی ، اشیا exceptional استثنایی (مانند ایکوزاهدرون یا گروه های پراکنده ساده ) به طور کلی "زیبا" در نظر گرفته می شوند ، نمونه های غیر منتظره یک تئوری ، در حالی که پدیده های آسیب شناختی اغلب "زشت" در نظر گرفته می شوند ، همانطور که از نام آن پیداست. بر این اساس ، نظریه ها معمولاً گسترش می یابند و شامل اشیای استثنایی نیز می شوند. به عنوان مثال ، جبرهای استثنایی دروغ در نظریه جبرهای دروغ نیمه ساده گنجانده شده اند : بدیهیات خوب ، اشیا exceptional استثنایی غیر منتظره اما معتبر دیده می شوند.

در مقابل ، در عوض مثالهای آسیب شناسی برای اشاره به نقص در بدیهیات گرفته شده و برای رد آنها بدیهیات قویتر لازم است. به عنوان مثال ، نیاز به ریزه کاری تعبیه شده یک کره در مسئله شنفلیس . به طور کلی ، می توان نظریه عمومی تری را مطالعه کرد ، از جمله آسیب شناسی ها ، که ممکن است ساده سازی های خود را ارائه دهد (اعداد واقعی دارای ویژگی های بسیار متفاوت از منطق هستند ، و همچنین نقشه های مداوم دارای ویژگی های بسیار متفاوت از صاف هستند) ، اما همچنین نظریه ، که از آن مثالهای اصلی استخراج شده است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Pathological_(mathematics)

حلقه مجموعه

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم آذر ۱۳۹۹ | 8:54

با Ring (ریاضیات) اشتباه گرفته نشود .

در ریاضیات ، دو مفهوم متفاوت از یک حلقه مجموعه وجود دارد که هر دو به خانواده های خاصی از مجموعه ها اشاره دارند .

در نظریه نظم ، یک خانواده مجموعه ای غیر خالی ${\ mathcal {R}}$ اگر در زیر اتحاد و تقاطع بسته شود ، یک حلقه (مجموعه ها) نامیده می شود . [1] یعنی دو جمله زیر برای همه مجموعه ها درست است $آ$ و $ب$ ،

$A ، B \ in \ mathcal {R}$ دلالت دارد $A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}$ و
$A ، B \ in \ mathcal {R}$ دلالت دارد ${\ displaystyle A \ cap B \ in {\ mathcal {R}}.}$

در تئوری اندازه گیری ، یک خانواده از مجموعه های غیر خالی ${\ mathcal {R}}$ اگر تحت اتحادیه و مکمل نسبی بسته شود (تفاوت نظری مجموعه) یک حلقه (مجموعه ها) نامیده می شود . [2] یعنی دو جمله زیر برای همه مجموعه ها درست است $آ$ و $ب$ ،

$A ، B \ in {\ mathcal {R}}$ دلالت دارد $A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}$ و
$A ، B \ in {\ mathcal {R}}$ دلالت دارد ${\ displaystyle A \ setminus B \ in {\ mathcal {R}}.}$

این بدان معناست که یک حلقه به معنای نظری اندازه گیری همیشه حاوی مجموعه خالی است . علاوه بر این ، برای همه مجموعه های A و B ،

${\ displaystyle A \ cap B = A \ setminus (A \ setminus B) ،}$

که نشان می دهد خانواده مجموعه ای که تحت مکمل نسبی بسته می شوند نیز در زیر تقاطع بسته می شوند ، بنابراین یک حلقه به مفهوم نظری اندازه گیری نیز یک حلقه به معنای نظری نظم است.

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

اگر X هر مجموعه، پس از آن است مجموعه توانی از X (خانواده همه زیر مجموعه های X ) یک حلقه از مجموعه در هر دو حس را تشکیل میدهد.

اگر ( X ، ≤) یک مجموعه نیمه مرتب شده باشد ، مجموعه های بالایی آن (زیر مجموعه های X با ویژگی اضافی که اگر x متعلق به یک مجموعه فوقانی U و x ≤ y باشد ، y نیز باید متعلق به U باشد ) در زیر بسته می شوند هم تقاطع ها و هم اتحادیه ها. با این حال ، به طور کلی تحت اختلاف مجموعه ها بسته نخواهد شد.

مجموعه باز و مجموعه بسته از هر فضای توپولوژیک در هر دو اتحادیه ها و تقاطع ها بسته شده است. [1]

در خط واقعی ℝ ، خانواده از مجموعه متشکل از مجموعه تهی و تمام اتحادیه های متناهی از فواصل نیمه باز از فرم ( ، ب ]، با ، ب ∈ ℝ یک حلقه در مفهوم اندازه گیری تئوری است.

اگر T هر تحولی است که در یک فضا تعریف شده باشد ، مجموعه هایی که توسط T به خود نقشه برداری می شوند تحت هر دو اتحادیه و تقاطع بسته می شوند. [1]

اگر هر دو حلقه از مجموعه ها بر روی عناصر یکسانی تعریف شده باشند ، آنگاه مجموعه هایی که به هر دو حلقه تعلق دارند خود یک حلقه از مجموعه ها را تشکیل می دهند. [1]

ساختارهای مرتبط [ ویرایش ]

حلقه ای از مجموعه ها به معنای نظری نظم ، شبکه توزیعی را تشکیل می دهد که در آن عملیات تقاطع و اتحادیه به ترتیب مطابق با دیدار شبکه هستند و به عملیات متصل می شوند. برعکس ، هر شبکه توزیعی با حلقه ای از مجموعه ها یک شکل نیست. در مورد شبکه های توزیعی محدود ، این قضیه بازنمایی نمای بیرخوف است و مجموعه ها را می توان به عنوان مجموعه های پایین مجموعه ای مرتباً در نظر گرفت. [1]

یک خانواده از مجموعه های بسته شده تحت اتحادیه و مکمل نسبی نیز تحت اختلاف متقارن و تقاطع بسته شده است. برعکس ، هر خانواده از مجموعه های بسته شده تحت هر دو اختلاف متقارن و تقاطع نیز تحت اتحادیه و مکمل نسبی بسته شده است. این به هویت ها برمی گردد

$A \ جام B = (A \ ، \ مثلث \ ، B) \ ، \ مثلث \ ، (A \ کلاه B)$ و
$A \ setminus B = A \ ، \ مثلث \ ، (A \ cap B).$

اختلاف متقارن و تقاطع با هم حلقه ای را به معنای تئوری - اندازه گیری یک حلقه بولی می دهد .

از نظر نظریه اندازه گیری ، یک σ-حلقه یک حلقه است که تحت اتحادیه های قابل شمارش بسته می شود و یک σ-حلقه یک حلقه است که در زیر تقاطع های قابل شمارش بسته می شود. به طور واضح ، یک σ-حلقه بیش از X یک مجموعه است ${\ mathcal {F}}$ به گونه ای که برای هر سکانس

${\ displaystyle \ {A_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$ ، ما داریم ${\ displaystyle \ cup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ in {\ mathcal {F}}}$ .

با توجه به یک مجموعه X ، یک قسمت از مجموعه ها - که جبر بیش از X نیز نامیده می شود - حلقه ای است که حاوی X است . این تعریف مستلزم بسته شدن جبر در زیر مکمل مطلق است ${\ displaystyle A ^ {c} = X \ setminus A}$ . σ- جبر جبر است که همچنین تحت اتحادیه شمارا، یا معادل σ حلقه که شامل بسته است X . در حقیقت ، طبق قوانین دمورگان ، یک حلقه δ که حاوی X باشد ، لزوماً یک σ- جبرنیز است. زمینه های مجموعه ها ، و به ویژهσ- جبرهای ، در تئوری جدید احتمال و تعریف اقدامات مهم هستند .

نیمه حلقه (از مجموعه) یک خانواده از مجموعه است ${\ mathcal {S}}$ با خواص

$\ emptyset \ in \ mathcal {S} ،$
$A ، B \ in \ mathcal {S}$ دلالت دارد $A \ cap B \ in \ mathcal {S} ،$ و
$A ، B \ in \ mathcal {S}$ دلالت دارد $A \ setminus B = \ bigcup_ {i = 1} ^ nC_i$ برای مجموعه های جدا از هم $C_1 ، \ dots ، C_n \ in \ mathcal {S}.$

واضح است که ، هر حلقه (از نظر تئوری اندازه گیری) یک نیمه حلقه است.

یک نیمه میدان از زیرمجموعه های X یک نیمه حلقه است که حاوی X است .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_sets

زیر گروه commutator یا زیر گروه مشتق از یک گروه

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه سیزدهم آذر ۱۳۹۹ | 10:37

در ریاضیات ، به طور خاص در جبر انتزاعی ، زیر گروه commutator یا زیر گروه مشتق از یک گروه ، زیر گروهی است که توسط همه مهاجران گروه ایجاد می شود. [1] [2]

زیر گروه commutator بسیار مهم است زیرا کوچکترین زیر گروه عادی است به گونه ای که گروه تعیین کننده گروه اصلی توسط این زیر گروه abelian است . به عبارت دیگر ، G / N در صورت عدم وجود N شامل زیر گروه commutator G است . بنابراین به نوعی معیار سنجش میزان فاصله گرفتن از این گروه از بی آبی بودن را ارائه می دهد؛ هرچه گروه بزرگتر كمتر باشد ، گروه "كمترين مزاج" است.

فهرست

مهاجران [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کمیته مسافر

برای عناصر گرم و ساعت یک گروه G از کموتاتور از گرم و ساعت است $\ displaystyle [g، h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} Gh}$ . رفت و آمد ${\ نمایشگر [g، h]$ برابر است با عنصر هویت e اگر و فقط اگر $\ displaystyle gh = hg$ ، این است که، اگر و تنها اگر گرم و ساعت رفت و آمد. به طور کلی ، $\ displaystyle gh = hg [g، h]$ .

با این حال ، نوتیفیکیشن تا حدی دلخواه است و یک تعریف غیر معادل برای مسافری که وارونگی های آن را در سمت راست معادله دارد وجود دارد: $\ displaystyle [g، h] = Ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}$ که در این صورت $\ displaystyle gh \ neq hg [g، h]$ اما به جای آن $\ displaystyle gh = [g، h] hg$ .

عنصر G از فرم ${\ نمایشگر [g، h]$ برای برخی از گرم و ساعت به عنوان تبادل کننده خوانده می شود. عنصر هویت e = [ e ، e ] همیشه یک مهاجران است و تنها اگر جابجایی داشته باشد G و تنها اگر کسی جابجایی داشته باشد.

در اینجا برخی از هویتهای ساده اما کارآمد مفید وجود دارد که برای همه عناصر S ، g و ساعت یک گروه G صادق است :

$\ displaystyle [g، h] ^ {- 1} = [h، g]،}$
${\ displaystyle [g، h] ^ {s} = [g ^ {s}، h ^ {s}]،}$ جایی که $g ^ {s} = s ^ {{- 1}} gs$ (یا به ترتیب ، $\ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}$ ) است مزدوج از $گرم$ توسط ، $،$
برای هرگونه همسایگی ${\ displaystyle f: G \ to H$ ، $\ displaystyle f ([g، h]) = [f (g)، f (h)].$

هویت اول و دوم دلالت بر این دارد که مجموعه ای از رفت و آمدها در G تحت وارونگی و مزدوج بسته می شوند. اگر در هویت سوم ما را H = G ، ما که مجموعه ای از سوئیچ پایدار تحت هر است روپوست از G . این در حقیقت تعمیم هویت دوم است ، از آنجا که می توانیم f را به عنوان یک اتومبیل سازی مزدوج در G در نظر بگیریم ، $x \ mapsto x ^ {s$ ، برای به دست آوردن هویت دوم

با این حال ، محصول دو یا چند مهاجر دیگر نیازی به مهاجرت نیست. یک نمونه کلی [ a ، b ] [ c ، d ] در گروه آزاد در a ، b ، c ، d است . شناخته شده است که حداقل سفارش یک گروه محدود که برای آنها دو مهاجر وجود دارد که محصول آنها کالاهایی نیست 96 است؛ در حقیقت ، دو گروه غیر غیرمستقیم سفارش 96 با این خاصیت وجود دارد. [3]

تعریف [ ویرایش ]

این باعث می شود تعریف زیر گروه commutator ایجاد شود ${\ نمایشگر [G، G]$ (همچنین زیر گروه مشتق شده نامیده می شود و مشخص شده است ' $G '$ یا $G ^ {(1)$ ) از G : این زیر گروهی است که توسط همه مهاجران ایجاد می شود.

از خصوصیات مهاجران نتیجه می گیرد که هر عنصر از ${\ نمایشگر [G، G]$ از فرم است

$[g_ {1} ، h_ {1}] \ cdots [g_ {n ، h_ {n}]$

برای تعداد طبیعی $ن$ ، جایی که g i و h i عناصر G هستند . علاوه بر این ، از آنجا که برای هر S در G وجود دارد ${\ displaystyle ([g_ {1} ، h_ {1}] \ cdots [g_ {n}، h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}، h_ {1} ^ { s}] \ cdots [g_ {n} ^ {s} ، h_ {n} ^ {s}]$ ، زیر گروه commutator در G عادی است . برای هر نوع همسایگی f : G → H ،

${\ displaystyle f ([g_ {1} ، h_ {1}] \ cdots [g_ {n، h_ {n}]) = [f (g_ {1}) ، f (h_ {1})] \ cdots [f (g_ {n}) ، f (h_ {n})]}$ ،

به طوری که $f ([G ، G]) \ leq [ح ، ح]$ .

این نشان می دهد که زیر گروه کموتاتور می تواند به عنوان مشاهده عمل کننده بر روی دسته از گروه ، برخی از مفاهیم از آنها در زیر پرداخته شده است. علاوه بر این ، با در نظر گرفتن G = H نشان می دهد که زیر گروه رفت و آمد زیر هر اندومورفیسم G پایدار است : یعنی ، [ G ، G ] یک زیر گروه کاملاً مشخص از G است ، یک ویژگی به طور قابل توجهی قوی تر از نرمال بودن.

زیر گروه commutator همچنین می تواند به عنوان مجموعه عناصر g از گروه تعریف شود که دارای عباراتی به عنوان محصول g = g 1 g 2 ... g k هستند که می تواند برای دادن هویت دوباره تنظیم شود.

سری مشتق شده [ ویرایش ]

این ساخت و ساز قابل تکرار است:

$G ^ {{(0)}: = G$

$G ^ {{(n)}: = [G ^ {{(n-1)}} ، G ^ {{(n-1)}}] \ quad n \ in \ mathbf {N}$

گروه ها $G ^ {{(2)} ، G ^ {{(3)}} ، \ ldots$ زیر گروه مشتق دوم ، زیر گروه مشتق سوم ، و غیره ، و سری عادی نزولی نامیده می شوند

$\ cdots \ triangleleft G ^ {{(2)} \ triangleleft G ^ {{(1)} \ triangleleft G ^ {{(0)}} = G$

سری مشتق شده نامیده می شود . این را نباید با سریال مرکزی پایین که شرایط آن است اشتباه گرفته شود $G_ {n}: = [G _ {{n-1}} ، G]$ .

برای یک گروه محدود ، سری مشتق شده در یک گروه کامل خاتمه می یابد ، که ممکن است بی اهمیت باشد. برای یک گروه نامتناهی ، سری های مشتق شده نیازی به خاتمه در یک مرحله محدود ندارند و فرد می تواند آن را به شماره های نامحدود ترتیب از طریق بازگشت به صورت ترانسفرین ادامه دهد و بدین ترتیب سری مشتق از ترانسفر را بدست آورد ، که در نهایت در هسته کامل گروه خاتمه می یابد .

نادیده گرفتن [ ویرایش ]

با توجه به یک گروه $ج$ ، یک گروه سودمند $G / N$ بیلیون است اگر و فقط اگر ${\ نمایشگر [G، G] \ leq N$ .

سود ${\ نمایشگر G / [G ، G]$ یک گروه آبلی نام abelianization از $ج$ یا $ج$ ساخته شده آبلی . [4] معمولاً توسط آن مشخص می شود $G ^ {{\ operatorname {ab}}$ یا $\ displaystyle G _ {\ operatorname {ab}}}$ .

یک تفسیر طبقه بندی مفید از نقشه وجود دارد $\ varphi: G \ rightarrow G ^ {{\ operatorname {ab}}}$ . برای مثال $\ واریفی$ جهانی برای هومورفیزم ها از $ج$ به یک گروه abelian $ح$ : برای هر گروه abelian $ح$ و همجنسگرایی گروه ها $f: G \ به ح$ یک همجنسگرایی منحصر به فرد وجود دارد $\ displaystyle F: G ^ {\ operatorname {ab}} \ to H$ به طوری که $f = F \ circ \ varphi$ . طبق معمول برای اشیاء تعریف شده توسط ویژگی های نقشه برداری جهانی ، این منحصر به فرد بودن abelianization G ab تا ایزومورفیسم متعارف را نشان می دهد ، در حالی که ساختاری صریح ${\ نمایشگر G \ به G / [G ، G]$ وجود را نشان می دهد.

تفریحی abelianization ، زیر مجموعه سمت چپ تفریحگاه ورود به گروه از گروه های abelian به دسته گروه ها است. وجود تفرجگاه تبعیض آمیز Grp → Ab باعث می شود که گروه Ab یک زیر مجموعه بازتابنده از گروه ها باشد ، به عنوان یک زیر مجموعه کامل تعریف می شود که تفریحی گنجانیده شده وی دارای یک ضمیمه سمت چپ است.

تفسیر مهم دیگر از $G ^ {{\ operatorname {ab}}$ هست مثل $display \ displaystyle H_ {1} (G ، \ mathbb {Z})$ ، اولین گروه همسانی از $ج$ با ضرایب انتگرال

کلاس گروه ها [ ویرایش ]

گروه G یک گروه abelian است اگر و فقط اگر گروه مشتق بی اهمیت هستند: [ G ، G ] = { e . به طور برابر ، اگر و فقط اگر گروه برابر استقلال آن باشد. در بالا برای تعریف توانایی گروهی مراجعه کنید.

یک گروه G است گروه کامل اگر و تنها اگر گروه مشتق شده برابر است با گروه خود را: [ G ، G ] = G . به طور برابر ، اگر و فقط در صورت عدم توانایی گروه بسیار مهم است. این مخالف با هابلیان است.

یک گروه با $G ^ {{(n)}} = \ {e \$ برای برخی از n در N یک گروه قابل حل نامیده می شود . این ضعیف تر از abelian است ، که این مورد n = 1 است.

یک گروه با $G ^ {{(n)} \ neq \ {e \$ برای همه n در N یک گروه غیر قابل حل نامیده می شود .

یک گروه با } $G ^ {{(\ alpha)}} = \ {e \$ برای برخی از تعداد ترتیب ، احتمالاً نامتناهی ، یک گروه hypoabelian نامیده می شود . این ضعیف تر از قابل حل است ، که این مورد α محدود است (یک عدد طبیعی).

مثالها [ ویرایش ]

زیر گروه کموتاتور هر گروه آبلی است بی اهمیت .
زیر گروه commutator از گروه خطی عمومی ${\ نمایشگر GL_ {n} (k)$ بیش از یک زمینه یا یک حلقه تقسیم k برابر با گروه خطی ویژه است $SL_ {n} (k)$ به شرطی که $\ displaystyle n \ neq 2$ یا K است که نمی زمینه با دو عنصر . [5]
زیر گروه commutator گروه متناوب A 4 ، کلاین چهار گروه است .
زیر گروه کموتاتور از گروه متقارن S N است متناوب گروه N .
زیر گروه کموتاتور از گروه چهارگانه Q = {1، -1، من ، - من ، J ، - J ، K ، - K } است [ Q ، Q ] = {1، -1}.
زیر گروه کموتاتور از گروه اساسی پی 1 ( X ) از یک مسیر متصل فضای توپولوژیک X است هسته از همریخت طبیعی بر روی اولین منحصر به فرد گروه همسانی H 1 ( X ).

نقشه از خارج [ ویرایش ]

از آنجا که زیرگروه مشتق شده مشخصه است ، هرگونه اتورفیسم G باعث ایجاد اتومبیلی از ناهمخوانی می شود. از آنجایی که ناهماهنگی بی آبی است ، اتومبیل های داخلی درواقع عمل می کنند ، از این رو این نقشه به دست می آید

${\ mbox {Out} (G) \ to {\ mbox {Aut}} (G ^ {{{\ mbox {ab}}}})$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Commutator_subgroup

ادامه دنباله دقیق

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم آذر ۱۳۹۹ | 20:9

گراد ، حلقه و تقسیم در هندسه دیفرانسیل [ ویرایش ]

این بخش ممکن است برای مطابقت با استانداردهای کیفیت ویکی پدیا نیاز به پاکسازی داشته باشد . مشکل خاص این است: استفاده زیاد از "ما" ، "یادداشت". همچنین ، این بخش برای اکثر خوانندگان این مقاله بیش از حد فنی است: باید آن را به تعاریفی که برای درک گزاره (دقت یک توالی) لازم است ، تقلیل داد. اثبات و جزئیات فنی متعلق به این مقاله نیستند ، اما باید در مقاله هندسه دیفرانسیل موجود باشد. اگر می توانید لطفاً در بهبود این بخش کمک کنید. ( دسامبر 2019 ) (با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

مثال دیگر را می توان از هندسه دیفرانسیل ، به ویژه مربوط به کار در معادلات ماکسول ، استخراج کرد .

فضای هیلبرت را در نظر بگیرید $L ^ {2}$ توابع مجذور مربع با ارزش مقیاسی در سه بعد - سایپرز ، باشگاه دانش ${\ displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \ right \ rbrace}$ . گرفتن شیب یک تابع ${\ displaystyle f \ in \ mathbb {H} _ {1}}$ ما را به زیرمجموعه ای از ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$ ، فضای توابع ارزش پذیر ، هنوز هم مجتمع با مربع در یک دامنه ${\ displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3} \ right \ rbrace}$ - به طور خاص ، مجموعه ای از این توابع که نشان دهنده زمینه های بردار محافظه کار هستند. ( قضیه کلی استوکس یکپارچگی را حفظ کرده است.)

اول ، توجه داشته باشید که حلقه این قسمتها صفر است - از آن زمان

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) و \ Equ \ nabla \ بار (\ nabla f) = 0 \ پایان {تراز شده}}}$

برای همه چنین f . با این حال ، این فقط اثبات می کند که تصویر شیب زیر مجموعه هسته حلقه است. برای اثبات اینکه آنها در واقع همان مجموعه هستند ، عکس این را ثابت کنید: اگر حلقه یک قسمت برداری باشد ${\ vec {F}}$ است ، پس ${\ vec {F}}$ شیب برخی از عملکردهای اسکالر است. این تقریباً بلافاصله از قضیه استوکس دنبال می شود (به اثبات نیروی محافظه کار مراجعه کنید .) تصویر گرادیان دقیقاً هسته حلقه است و بنابراین می توانیم حلقه را شکل بعدی خود قرار دهیم ، و ما را دوباره به یک (متفاوت) زیر مجموعه ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$ .

به طور مشابه ، ما توجه داریم که

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) و \ Equ \ nabla \ cdot \ nabla \ times {\ vec {v}} = 0 ، \ پایان {تراز شده}}}$

بنابراین تصویر حلقه فرعی است از هسته واگرایی . گفتگو تا حدودی درگیر است:

نشان دادناثبات آن ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {F}}}$ = 0 دلالت دارد ${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}}}$ برای بعضی ها ${\ vec {A}}$

پس از اثبات اینکه تصویر حلقه دقیقاً هسته واگرایی است ، این شکل گیری به نوبه خود ما را به فضایی که از آن شروع کرده ایم برمی گرداند. $L ^ {2}$ . از آنجا که به طور تعریف شده ما در فضایی از توابع قابل ادغام قرار گرفته ایم ، هر نوع عملکردی می تواند (حداقل به طور رسمی) به منظور تولید یک قسمت برداری که واگرایی همان عملکرد است - یکپارچه شود ، بنابراین تصویر واگرایی تمامیت $L ^ {2}$ ، و می توانیم توالی خود را تکمیل کنیم:

${\ displaystyle 0 \ به L ^ {2} \؛ \؛ {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \؛ \؛ \ mathbb {H} _ {3} \؛ \؛ {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}} \؛ \؛ \ mathbb {H} _ {3} \؛ \؛ {\ xrightarrow {\ operatorname {div}}} \؛ \؛ L ^ {2} \ به 0}$

معادل آن ، ما می توانستیم برعکس استدلال کنیم: در یک فضای متصل به سادگی ، یک قسمت برداری بدون پیچ و خم (یک قسمت در هسته حلقه) همیشه می تواند به عنوان یک شیب از یک تابع مقیاسی نوشته شود (و بنابراین در تصویر شیب) به همین ترتیب ، یک قسمت واگرایی را می توان به صورت حلقه ای از فیلد دیگر نوشت. [1] (بنابراین استدلال در این جهت از این واقعیت استفاده می کند که فضای 3 بعدی از نظر توپولوژیکی پیش پا افتاده است).

این دنباله دقیق کوتاه همچنین می تواند اثبات بسیار کوتاه تری از اعتبار تجزیه هلمولتز را که به حساب بردار نیروی بی رحم متکی نیست ، فراهم کند. دنباله را در نظر بگیرید

${\ displaystyle 0 \ به L ^ {2} \؛ \؛ {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \؛ \؛ \ mathbb {H} _ {3} \؛ \؛ {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}} \؛ \؛ \ operatorname {im} (\ operatorname {curl}) \ تا 0.}$

از آنجا که واگرایی شیب لاپلاکی است ، و از آنجا که فضای هیلبرت از توابع مربع مجتمع را می توان توسط توابع ویژه Laplacian گسترش داد ، در حال حاضر می بینیم که برخی از نقشه های معکوس ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1}: \ mathbb {H} _ {3} \ به L ^ {2}}$ باید وجود داشته باشد برای ساخت واضح چنین معکوس ، می توانیم از تعریف بردار لاپلاس شروع کنیم

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {A}}) + \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ vec {A}}) }$

از آنجایی که ما در تلاش هستیم تا با ترکیب برخی از عملکردها با شیب ، یک نقشه برداری هویتی ایجاد کنیم ، این را در مورد خود می دانیم ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {A}} = \ operatorname {curl} ({\ vec {A}}) = 0}$ . پس اگر واگرایی هر دو طرف را در نظر بگیریم

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ nabla \ cdot \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} & = \ nabla \ cdot \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {A}}) \\ & = \ nabla ^ {2} (\ nabla \ cdot {\ vec {A}}) \\\ پایان {تراز شده}}}$

می بینیم که اگر یک تابع یک عملکرد ویژه بردار Laplacian باشد ، واگرایی آن باید یک عملکرد ویژه Laplacian مقیاس با همان مقدار ویژه باشد. سپس می توانیم عملکرد معکوس خود را بسازیم ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1}}$ به سادگی با شکستن هر عملکردی در ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$ به مبنای ویژه بردار-لاپلاس ، مقیاس گذاری هر یک با معکوس ارزش ویژه آنها و گرفتن واگرایی ؛ عمل از ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1} \ circ \ nabla}$ بنابراین به وضوح هویت است. بنابراین با تقسیم لما ،

${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3} \ Cong L ^ {2} \ oplus \ operatorname {im} (\ operatorname {curl})}$ ،

یا به طور معادل ، هر یک از قسمت های برداری مجذور مربع در $\ mathbb {R} ^ {3}$ می تواند به جمع یک گرادیان و یک حلقه شکسته شود - چیزی که ما برای اثبات آن تلاش کردیم.

خصوصیات [ ویرایش ]

لم تقسیم می گوید که اگر دنباله دقیقکوتاه

${\ displaystyle 0 \ به A \؛ {\ xrightarrow {\ f \}} \؛ B \؛ {\ xrightarrow {\ g \}} \؛ C \ به 0}$

اذعان morphism تی : B → به طوری که تی ∘ F هویت است یا morphism تو : C → B به طوری که گرم ∘ تو هویت است C ، پس از آن B است مجموع مستقیم از و C (برای غیر - گروههای جایگزین ، این یک محصول نیمه مستقیم است ). یکی می گوید که چنین توالی دقیق کوتاهی تقسیم می شود .

مار لم نشان می دهد که چگونه یک نمودار جابجایی با دو ردیف دقیق افزایش می دهد به یک توالی طولانی تر دقیق. نه لم یک مورد خاص است.

پنج لم شرایطی که تحت آن نقشه وسط در یک نمودار جابجایی با ردیف دقیق طول 5 ریخت است می دهد. کوتاه پنج لم یک مورد خاص آن استفاده به توالی دقیق کوتاه است.

اهمیت توالی دقیق کوتاه با این واقعیت تأکید می شود که هر دنباله دقیق از "بافتن با هم" چندین توالی دقیق کوتاه همپوشانی ناشی می شود. به عنوان مثال توالی دقیق را در نظر بگیرید

$A_ {1} \ به A_ {2} \ به A_ {3} \ به A_ {4} \ به A_ {5} \ به A_ {6}$

که به معنای وجود اشیا C Ck در گروه است به گونه ای که

$C_ {k} \ Cong \ ker (A_ {k} \ به A_ {k + 1}) \ Cong \ operatorname {im} (A_ {k-1} \ به A_ {k})$ .

علاوه بر این فرض کنید هسته هسته هر مورفیسم وجود داشته باشد و با تصویر مورفیسم بعدی در دنباله یکدست باشد:

$C_ {k} \ Cong \ operatorname {coker} (A_ {k-2} \ به A_ {k-1})$

(این برای تعدادی از دسته های جالب ، از جمله هر دسته از آبلیان مانند گروه های آبلی ، درست است ؛ اما برای همه دسته هایی که توالی دقیق را مجاز می دانند ، درست نیست ، و به ویژه برای گروهی که در آنها کوکر وجود دارد ، درست نیست) ج ): G → H است H / IM ( F ) اما $H / {\ left \ langle \ operatorname {im} f \ right \ rangle} ^ {H}$ ، ضریب H با بسته شدن مزدوج im ( f ).) سپس یک نمودار جابجایی بدست می آوریم که در آن تمام موربها توالی دقیق کوتاه هستند:

تنها بخشی از این نمودار که به شرایط کوکرنل بستگی دارد ، جسم است ${\ textstyle C_ {7}}$ و جفت نهایی شکل گیری ها ${\ textstyle A_ {6} \ به C_ {7} \ به 0}$ . در صورت وجود هر شی $A _ {{k + 1}}$ و مورفيسم ${\ displaystyle A_ {k} \ به A_ {k + 1}}$ به طوری که ${\ displaystyle A_ {k-1} \ به A_ {k} \ به A_ {k + 1}}$ دقیق است ، سپس دقیق بودن ${\ displaystyle 0 \ به C_ {k} \ به A_ {k} \ به C_ {k + 1} \ به 0}$ اطمینان حاصل می شود باز هم با مثال گرفتن از دسته گروه ها ، این واقعیت که( im ( fهسته برخی از همگونی ها در H است ، به این معنی است که یک زیر گروه عادی است ، که همزمان با بسته شدن مزدوج آن است. بنابراین کوکر ( f ) با تصویر( H / im ( f مورفیسم بعدی یکدست است.

برعکس ، با توجه به هر لیستی از توالی های کوتاه کوتاه همپوشانی ، اصطلاحات میانی آنها یک توالی دقیق را به همان شیوه تشکیل می دهند.

کاربردهای دنباله دقیق [ ویرایش ]

در تئوری مقوله های آبلیان ، توالی های دقیق کوتاه اغلب به عنوان یک زبان مناسب برای صحبت در مورد اشیا sub زیر و فاکتور استفاده می شود.

مشکل پسوند است که در اصل این پرسش که "با توجه به شرایط پایان و C از یک توالی دقیق کوتاه، چه احتمالات را برای حد وسط وجود داشته باشد ب ؟" در گروه گروه ها ، این معادل این س ،ال است که چه گروه های B دارای A به عنوان یک زیر گروه نرمال و C به عنوان گروه عامل مربوطه هستند؟ این مسئله در طبقه بندی گروه ها مهم است . همچنین به گروه اتومورفیسم بیرونی مراجعه کنید .

توجه داشته باشید که در دنباله دقیق، ترکیب F من 1 ∘ F من نقشه من به 0 در من 2 ، بنابراین هر توالی دقیق است زنجیره ای پیچیده . علاوه بر این، تنها F من تصاویر از عناصر من به 0 توسط نقشه برداری F من 1 ، به طوری که همسانی این مجموعه زنجیره ای بی اهمیت است. به طور خلاصه تر:

توالی دقیق دقیقاً آن مجموعه های زنجیره ای است که حلقوی هستند .

با توجه به هر مجموعه پیچیده ای ، بنابراین می توان همسانی آن را معیاری برای اندازه گیری دقیق بودن آن دانست.

اگر یک سری دنباله دقیق کوتاه به هم پیوسته توسط مجتمع های زنجیره ای (یعنی یک توالی دقیق کوتاه از مجتمع های زنجیره ای یا از دیدگاه دیگر ، یک مجموعه زنجیره ای از توالی های دقیق کوتاه) را بدست آوریم ، پس می توانیم از این امر دقیقاً طولانی مدت بدست آوریم توالی (یعنی یک توالی دقیق که توسط اعداد طبیعی نمایه می شود) در همسانی با استفاده از لامای زیگ زاگ . این در توپولوژی جبری در مطالعه همسانی نسبی مطرح می شود .دنباله مایر Vietoris مثال دیگری است. توالی دقیق طولانی که توسط دنباله دقیق کوتاه ایجاد می شود نیز از ویژگی های عامل های مشتق شده است .

functors دقیق هستند functors که تبدیل دنباله دقیق را به دنباله دقیق.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

ادامه دنباله دقیق

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم آذر ۱۳۹۹ | 19:51

مثالها [ ویرایش ]

عدد صحیح مدول دو [ ویرایش ]

توالی زیر گروه های آبلیان را در نظر بگیرید :

${\ displaystyle \ mathbf {Z} \؛ \؛ {\ overset {2 \ times} {\ hookrightarrow}} \؛ \؛ \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

اولین هومورفیسم هر عنصر i را در مجموعه اعداد صحیح Z به عنصر 2 i در Z ترسیم می کند . همومورفیسم دوم هر عنصر i را در Z به یک عنصر j در گروه ضریب رسم می کند ، یعنی j = i mod 2. در اینجا پیکان قلاب

$\ hookrightarrow$ نشان می دهد که نقشه 2 × از Z به Z است monomorphism فلش دو سر، و $\ twoheadrightarrow$ نشانگر یک اپیمورفیسم است (نقشه mod 2). این یک توالی دقیق است زیرا تصویر 2 Z از تک شکل هسته هسته اپیمورفیسم است. اساساً توالی "همان" را می توان به صورت زیر نوشت

${\ displaystyle 2 \ mathbf {Z} \؛ \؛ {\ hookrightarrow} \؛ \؛ \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

در این حالت تک شکل 2 n ↦ 2 n است و اگرچه به نظر می رسد یک تابع هویت باشد ، اما روی آن نیست (یعنی اپیمورفیسم نیست) زیرا اعداد فرد متعلق به 2 Z نیستند . تصویر 2 Z از طریق این یکنواختی دقیقاً همان زیر مجموعه Z است که تصویر Z تا n ↦ 2 n استفاده شده در توالی قبلی. این توالی اخیر در ماهیت بتن اولین شی its آن با مورد قبلی متفاوت است زیرا 2 Z مجموعه ای یکسان با Z نیست حتی اگر این دو گروه به صورت یکسان نباشند .

توالی اول نیز ممکن است بدون استفاده از نمادهای خاص برای یک شکل و اپیمورفیسم نوشته شود:

${\ displaystyle 0 \؛ \ to \؛ \ mathbf {Z} \؛ \؛ {\ overset {2 \ times} {\ longrightarrow}} \؛ \؛ \ mathbf {Z} \؛ \ longrightarrow \؛ \ mathbf { Z} / 2 \ mathbf {Z} \؛ \ به \؛ \ 0}$

در اینجا 0 نشانگر گروه بی اهمیت است ، نقشه از Z به Z ضرب در 2 می شود ، و نقشه از Z به گروه فاکتور Z / 2 Z با کاهش مدول صحیح 2 داده می شود. این در واقع یک توالی دقیق است:

تصویر نقشه 0 → Z {0} است ، و هسته ضرب در 2 نیز {0} است ، بنابراین ترتیب در Z اول دقیق است .
تصویر ضرب در 2 2 Z است ، و هسته کاهش دهنده مدول 2 نیز 2 Z است ، بنابراین ترتیب در Z دوم دقیق است .
تصویر کاهش مدول 2 Z / 2 Z است ، و هسته نقشه صفر نیز Z / 2 Z است ، بنابراین توالی دقیق در موقعیت Z / 2 Z است .

دنباله اول و سوم به دلیل بیکران بودن Z تا حدودی مورد خاصی است . برای گروه محدود نمی توان با گنجاندن (به عنوان مثال توسط یک مونورفیسم) به عنوان یک زیر گروه مناسب از خود ، نقشه برداری کرد. در عوض توالی ای که از قضیه اول ایزومورفیسم بیرون می آید ، است

$1 \ به N \ به G \ به G / N \ به 1$

به عنوان مثال مشخص تر از توالی دقیق در گروههای محدود:

$1 \ به C_ {n} \ به D_ {2n} \ به C_ {2} \ به 1$

جایی که $C_ {n}$ است که گروه دوری از سفارش N و $D _ {{2n}}$ است گروه دوسطحی از مرتبه 2 نفر ، یک گروه غیر آبلی است.

تقاطع و مجموع ماژول ها [ ویرایش ]

بگذارید من و J دو ایده آل حلقه R باشیم . سپس

${\ displaystyle 0 \ to I \ cap J \ to I \ oplus J \ to I + J \ to 0}$

یک توالی دقیق از R- modules است ، جایی که همگونی ماژول ${\ displaystyle I \ cap J \ to I \ oplus J}$ نقشه هر عنصر x از $من \ کلاه J$ به عنصر ${\ displaystyle (x ، x)}$ از مبلغ مستقیم ${\ displaystyle I \ oplus J}$ ، و همومورفسیم ${\ displaystyle I \ oplus J \ به I + J}$ هر عنصر را ترسیم می کند $(x ، y)$ از ${\ displaystyle I \ oplus J}$ به $xy$ .

این هومورفیسم ها محدودیت هایی از هومورفیسم های مشابه تعریف شده هستند که توالی دقیق کوتاه را تشکیل می دهند

${\ displaystyle 0 \ به R \ به R \ oplus R \ به R \ به 0}$

عبور به ماژول های ضریب توالی دقیق دیگری دارد

${\ displaystyle 0 \ به R / (I \ cap J) \ به R / I \ oplus R / J \ به R / (I + J) \ به 0}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

ادامه دنباله دقیق

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم آذر ۱۳۹۹ | 19:48

دنبالهدقیق کوتاه [ ویرایش ]

دنباله دقیق کوتاه مهم است که دنباله دقیق فرم است

${\ displaystyle 0 \ به A \؛ {\ xrightarrow {\ f \}} \؛ B \؛ {\ xrightarrow {\ g \}} \؛ C \ به 0}$

همانطور که در بالا تاسیس شده است، برای هر گونه دنباله دقیق کوتاه، F است monomorphism و g یک IS epimorphism . بعلاوه ، تصویر f برابر با هسته g است . بهتر است از فکر می کنم به عنوان یک subobject از B با F تعبیه به B و C به عنوان هدف متناظر عامل (و یا خارج قسمت )، B / ، با گرم القا ریخت

${\ displaystyle C \ cong B / \ operatorname {im} (f)}$

توالی دقیق کوتاه

${\ displaystyle 0 \ به A \؛ {\ xrightarrow {\ f \}} \؛ B \؛ {\ xrightarrow {\ g \}} \؛ C \ به 0}$

در صورت وجود همگونی h : C → B تقسیم نامیده می شود به گونه ای که ترکیب g ∘ h نقشه هویت در C باشد. این شرح است که اگر این گروه های abelian هستند، B متناظر به است مجموع مستقیم از و C (نگاه کنید به لم خرد کن ):

${\ displaystyle B \ Cong A \ oplus C.}$

توالی دقیق طولانی [ ویرایش ]

یک توالی دقیق طولانی یک توالی دقیق است که متشکل از بیش از سه اصطلاح غیر صفر است و اغلب یک توالی دقیق بی نهایت است.

یک توالی دقیق و طولانی

${\ displaystyle A_ {0} \؛ {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \؛ A_ {1} \؛ {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \؛ A_ {2} \؛ { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \؛ \ cdots \؛ {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \؛ A_ {n}}$

معادل توالی توالی دقیق کوتاه است

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} & A_ {0} \؛ \ rightarrow \؛ K_ {1} \؛ \ rightarrow \؛ 0 \؛ ، \\ 0 \؛ \ rightarrow \؛ K_ {1} \ rightarrow {} & A_ {1} \؛ \ rightarrow \؛ K_ {2} \؛ \ rightarrow \؛ 0 \؛، \\\ vdots \، \، \، \، \\ 0 \؛ \ rightarrow \؛ K_ {n-1 } \ rightarrow {} & A_ {n-1} \ rightarrow \؛ K_ {n} \؛ \ rightarrow \؛ 0 \؛، \\ 0 \؛ \ rightarrow K_ {n} \ rightarrow {} & A_ {n} \ end {هم راستا}}}$

جایی که

${\ displaystyle K_ {i} = \ operatorname {im} (f_ {i}) = \ ker (f_ {i + 1})}}$ برای هر $من$ .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

دنباله دقیق

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم آذر ۱۳۹۹ | 19:32

دنباله دقیق یک مفهوم در ریاضیات ، به ویژه در نظریه گروه ، حلقه و ماژول تئوری، جبر همسان ، و همچنین در هندسه دیفرانسیل . دنباله دقیق است توالی ، یا محدود یا نامحدود، اشیاء و morphisms بین آنها به طوری که تصویر یکی morphism برابر با هسته از بعدی.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

در متن نظریه گروه ، یک توالی

${\ displaystyle G_ {0} \؛ {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \؛ G_ {1} \؛ {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \؛ G_ {2} \؛ { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \؛ \ cdots \؛ {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \؛ G_ {n}}$

اگر تصویر هر یک از همگونی ها برابر با هسته بعدی باشد ، از گروه ها و همگونی های گروهی دقیق نامیده می شود :

${\ displaystyle \ operatorname {im} (f_ {k}) = \ ker (f_ {k + 1})}$

توالی گروه ها و همگونی ها ممکن است محدود یا نامحدود باشد.

برای سایر ساختارهای جبری می توان تعریف مشابهی ارائه داد . به عنوان مثال ، می توان توالی دقیقی از فضاهای برداری و نقشه های خطی ، یا همگونی های ماژول و ماژول را داشت . به طور کلی ، مفهوم توالی دقیق در هر دسته با هسته ها و هسته ها منطقی است .

موارد ساده [ ویرایش ]

برای درک این تعریف ، مفید است که موارد نسبتاً ساده ای را در نظر بگیرید که دنباله متناهی است و با گروه بی اهمیت آغاز یا پایان می یابد . به طور سنتی ، این ، همراه با عنصر هویت منفرد ، 0 (علامت افزودنی ، معمولاً هنگامی که گروه ها هابلی هستند) ، یا 1 (علامت ضرب) نشان داده می شود.

دنباله 0 → A → B را در نظر بگیرید . تصویر سمت چپ ترین نقشه 0 است. بنابراین دنباله دقیق است اگر و فقط اگر نقشه سمت راست (از A تا B ) دارای هسته {0} باشد. به عنوان مثال، اگر و تنها اگر که نقشه یک است monomorphism (تزریقی و یا یک به یک).
توالی دوگانه B → C → 0 را در نظر بگیرید . هسته سمت راست ترین نقشه C است. بنابراین توالی دقیق است اگر و فقط اگر تصویر سمت چپ نقشه (از B تا C ) تمام C باشد . به عنوان مثال ، اگر و فقط اگر آن نقشه یک اپیمورفیسم باشد (تصنیفی یا بر روی آن).
بنابراین، توالی 0 → X → Y → 0 است دقیق اگر و تنها اگر نقشه از X به Y هر دو monomorphism و epimorphism (است که، یک است bimorphism )، و در نتیجه، در بسیاری از موارد، یک ریخت از X به Y .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

آموزش ریاضی

مسائل آنالیز حقیقی(1)

مسائل آنالیز حقیقی

7-ادامه تانسور

تنیس در فیزیک [ ویرایش | ویرایش کد ]

انحراف و توپ [ ویرایش | ویرایش کد ]

5-ادامه تانسور

5-ادامه تانسور

تعریف مدرن [ ویرایش | ویرایش کد ]

تنسور به عنوان یک عملکرد چند لایه [ ویرایش | ویرایش کد ]

اجزای تنسور [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمایش سنسور در اجزای پایه [ ویرایش | ویرایش کد ]

اقدامات تنش [ ویرایش | ویرایش کد ]

3-ادامه تانسور

نمونه ای از تانسور درجه n [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمایش تنسور به شکل ماتریس [ ویرایش | ویرایش کد ]

4-ادامه تانسور

هیچ نمونه ای وجود ندارد [ ویرایش | ویرایش کد ]

تعاریف [ ویرایش | ویرایش کد ]

2-ادامه تانسور

درجه تنسور 0 است [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمونه سنسورهای درجه 1 را طبقه بندی کنید [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمونه ای از تانسور درجه 2 [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمونه ای از تانسور 3 درجه [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمونه ای از تانسور 4 درجه [ ویرایش | ویرایش کد ]

1-تانسور

محتوا:

نمونه هایی از سنسورها [ ویرایش | ویرایش کد ]

ادامه تانسور دو فضای برداری

استفاده از فضای برداری رایگان برای "فراموش کردن" اساس [ ویرایش ]

تعریف محصول تانسور انتزاعی [ ویرایش ]

تانسور دو فضای برداری

5-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو)

4-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو)

3-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو)

2-ادامه مدول تزریقی(انژکتیو) (مثال)

1-مدول تزریقی(انژکتیو)

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

ادامه جبر کلین

جبر کلین

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

حلقه آرتینی

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

مدولها روی حلقه های آرتینی [ ویرایش ]

حلقه های آرتینی جابجایی [ ویرایش ]

حلقه ساده آرتینی [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

حلقه نوتری

فهرست

خصوصیات [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

قضیه های کلیدی [ ویرایش ]

مورد جابجایی [ ویرایش ]

مورد غیرمرتبی [ ویرایش ]

تأثیر در ماژول های تزریقی [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

https://math.stackexchange.com/questions/129337/how-can-we-show-that-mathbb-q-is-not-a-free-mathbb-z

تابع واشتراس

خلاصه

ساخت و ساز [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

نكته فراكتال نمودار تابع [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

تداوم هلدرین [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

منابع

تابع واشتراس

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

تداوم هلدر [ ویرایش ]

تراکم توابع قابل تغییر در هیچ جا [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

آسیب شناسی (ریاضیات)

فهرست

در تحلیل [ ویرایش ]