​

تعریف مدرن [ ویرایش | ویرایش کد ]

به طور کلی ، تنسور را می توان عناصر کارکرد تنسور در مناطق بردار دلخواه ، از جمله متفاوت اما مربوط به یکدیگر نباشید. با این حال ، حسگرهای مربوط به یک منطقه برداری خاص که در زیر تعریف شده اند ، از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند.

سنسور:  نمایش \ سبک نمایش (n ، متر)} درجه بیشتر از: د: بردار حجم فضا نمایشگر نمایشگر \ displaystyle V} عنصر کار تانسور n: و: متر: مناطق مجاور {\ displaystyle V {{*}} (یعنی منطقه عملکردی خطی (فرش) V).

{\ displaystyle \ tau \ in T_ {m} ^ {n} (V) = \ underbrace {V \ otimes \ ldots \ otimes V} _ {n} \ otimes \ underbrace {V ^ {*} \ otimes \ ldots \ otimes V ^ {*}} _ {m}. imes

{\ displaystyle n + m} به مجموع اعداد ظرفیت تنسور گفته می شود (که غالباً عنوان نامیده می شود). سنسور:  نمایش \ سبک نمایش (n ، متر)} به آن درجه می گویند n: زمان کنتراست و: متر: covariant ، که گاهی n- class tensor نیز نامیده می شود ، به معنای کلاس (0 ، n ) یا (n ، 0) است ، به عنوان مثال: {\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}} یک سنسور کلاس 3 است (3 نشانگر).

تنسور به عنوان یک عملکرد چند لایه [ ویرایش | ویرایش کد ]

درست مثل {\ displaystyle (0،1)} یک تانسور درجه می تواند به عنوان یک تابع خطی نشان داده شود نمایشگر نمایشگر \ displaystyle V} در فضا ، راحت است که یکی را تصور کنید نمایش \ tau: tensor (0، n) درجه به عنوان n استدلال بردار نمایش نمایش \ displaystyle \ tau (v_ {1} ، v_ {2} ، \ ldots ، v_ {n})} تابعی که با هر آرگومان خطی است نمایش نمایش \ displaystyle v_ {i} \ در V} (به عنوان مثال ، توابع چند لایه نامیده می شوند) ، یعنی F: برای هر ثابت در میدان c (که ناحیه بردار بر روی آن مشخص می شود) آن را نگه می دارد.

{\ displaystyle \ tau (v_ {1}، \ ldots، cv_ {A}، \ ldots، v_ {n}) = c \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A}، \ ldots، v_} n}) ،}

{\ displaystyle \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A} + v_ {A} '، \ ldots، v_ {n}) = \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A}، \ ldots، v_ {n}) + \ tau (v_ {1}، \ ldots، v_ {A} '، \ ldots، v_ {n}).}

در همان چهره ، از درجه دلخواه نمایش \ tau: تنسور  نمایش \ سبک نمایش (n ، متر)} ارائه شده است متر: بردارها و: n: با عملکرد یکسو کننده چند لایه.

{\ displaystyle \ tau (v_ {1}، v_ {2}، \ ldots، v_ {m}، \ omega {{1}، \ omega {{2}، \ ldots، \ omega {{n})،}

{\ displaystyle \ tau \ colon V ^ {m} \ بار (V ^ {*}) ^ {n} \ به F.}

اجزای تنسور [ ویرایش | ویرایش کد ]

نمایش سنسور در اجزای پایه [ ویرایش | ویرایش کد ]

در فضا انتخاب کنید نمایشگر نمایشگر \ displaystyle V} پایه: {\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {1} ، \ mathbf {e} _ {2} ، \ ldots ، \ mathbf {e} _ {d} \}}، و به ترتیب {\ displaystyle \ {\ mathbf {f} ^ {1} ، \ mathbf {f} ^ {2} ، \ ldots ، \ mathbf {f} ^ {d} \}}- پایه دوتایی در منطقه مجاور {\ displaystyle V {{*}} (به این معنا که، ( {\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {a} \ cdot \ mathbf {f} ^ {b}) = \ delta _ {a} ^ {b}}، {\ displaystyle \ delta _ {a} ^ {b}} نماد کرونکر).

سپس تنسورها 

display \ displaystyle \ mathrm {T} _ {m} ^ {n} (V) = \ چپ (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} V \ right) \ otimes \ left (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {m} V {{*} \ راست)} در منطقه ، به طور طبیعی ، یک بنیاد ظهور می کند

display \ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i_ {1}} \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {2}} \، \ otimes \، \ ldots \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {n}} \ ، \ اوقات \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {1}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ _ j_ {2}} \ ، \ otimes \ ، \ ldots \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {m}} \} ، \ quad 1 \ leqslant i_ {a}، j_ {b} \ leqslant d}.

نمایش نمایش \ displaystyle \ tau \ در \ mathrm {T} _ {m} ^ {n} (V)} تانسور دلخواه را می توان به عنوان ترکیبی خطی از ترکیبات اساسی تانسور ثبت کرد.

{\ displaystyle \ tau = \ sum _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} \ sum _ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}} {\ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}}} \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {2}} \، \ otimes \، \ ldots \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {n}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {1}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {2}} \ ، \ otimes \ ، \ ldots \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {m}}. m

با استفاده از توافق نامه انیشتین ، این انحلال را می توان به صورت زیر نوشت:

{\ displaystyle \ tau = {\ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}}} \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {2}} \، \ otimes \، \ ldots \، \ otimes \، \ mathbf {e} _ {i_ {n}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {1}} \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {2}} \ ، \ otimes \ ، \ ldots \ ، \ otimes \ ، \ mathbf {f} ^ {j_ {m}}.}

{\ displaystyle \ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {m}} ^ {i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {n}}} اعداد نامیده می شوند: نمایش \ tau: اجزای تانسور اشتراک اجزای تنسور دقیق و زیرنویس ها متناقض نامیده می شوند. به عنوان مثال ، برخی از کابوی های دو قطبی ساعت: انحلال به این شکل خواهد بود.

display \ displaystyle h = \ sum _ {j، k} h_ {jk} \ mathbf {f} ^ {j} \ otimes \ mathbf {f} ^ {k}}

اگر تنسور را به عنوان یک تابع چند لایه تعریف کنیم ، اجزای آن با مقادیر این تابع تعیین می شوند.

display \ displaystyle \ mathrm {T} _ {n} ^ {m} (V) = \ چپ (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} V ^ {*} \ right) \ otimes \ left (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {m} V \ راست)}:

{\ displaystyle {\ tau _ {j_ {1}، j_ {2}، \ ldots، j_ {n}} {_ i_ {1}، i_ {2}، \ ldots، i_ {m}} \ = \ tau (\ mathbf {f} ^ {i_ {1}} ، \ mathbf {f} ^ {i_ {2}} ، \ ldots ، \ mathbf {f} ^ {i_ {m}} ، \ mathbf {e} _ { j_ {1}} ، \ mathbf {e} _ {j_ {2}} ، \ ldots ، \ mathbf {e} _ {j_ {n}}) ، \ quad 1 \ leqslant i_ {a} ، j_ {b} \ leqslant d. q

اقدامات تنش [ ویرایش | ویرایش کد ]

سنسورها عملیات جبری زیر را مجاز می دانند:

  • ضرب اسکالر - ضرب هر یک از اجزای تانسور در مقیاس. مانند بردار یا ضرب مقدار (هر دو مورد خاص خاص هستند).
  • افزایش مقدار همان ظرفیت و شاخص (مجموع را می توان از نظر بردار به عنوان یک جز محاسبه کرد).
    • وجود ضرب اسکالر ضمیمه تنورها همان نوع فضای خطی تانسور را تشکیل می دهند.
  • ضرب هایتنسور - بدون محدودیت. تانسور رتبه بندی  (m ، n)}نمایش \ سبک نمایش (m ، n)} تانسور نمایش \ نمایش سبک (m '، n')} ضرب عمومی:  نمایش \ سبک نمایش (m + m '، n + n')} یک تانسور درجه است ، یعنی اگر:  {{\ displaystyle \ sigma \ in T_ {n} ^ {m} { و: {\ displaystyle \ tau \ in T_ {n '} ^ {m'}}ضربآنهاست.

display \ displaystyle \ sigma \ otimes \ tau \ in T_ {n + n '} ^ {m + m'} = T_ {n} ^ {m} \ otimes T_ {n '} ^ {m'}.}

به عنوان مثال ، اجزای یک ضربتنسور ، ضرب هایاجزای مربوطه از عوامل هستند ...

display \ displaystyle P _ {\ \ kl} {{ij} \ = A ^ {ij} B_ {kl}}

  • تسکین تنسور یک عمل خاص تنسوری است که ظرفیت تنسور را کاهش می دهد ، محاسبه شده با جمع کردن یک جفت شاخص (در بالا اگر پایین باشد در پایین) در حال اجرا ، برابر ماندن با یکدیگر ، تمام مقادیر آنها ، به عنوان

​