ادامه دنباله دقیق

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم آذر ۱۳۹۹ | 19:51

مثالها [ ویرایش ]

عدد صحیح مدول دو [ ویرایش ]

توالی زیر گروه های آبلیان را در نظر بگیرید :

${\ displaystyle \ mathbf {Z} \؛ \؛ {\ overset {2 \ times} {\ hookrightarrow}} \؛ \؛ \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

اولین هومورفیسم هر عنصر i را در مجموعه اعداد صحیح Z به عنصر 2 i در Z ترسیم می کند . همومورفیسم دوم هر عنصر i را در Z به یک عنصر j در گروه ضریب رسم می کند ، یعنی j = i mod 2. در اینجا پیکان قلاب

$\ hookrightarrow$ نشان می دهد که نقشه 2 × از Z به Z است monomorphism فلش دو سر، و $\ twoheadrightarrow$ نشانگر یک اپیمورفیسم است (نقشه mod 2). این یک توالی دقیق است زیرا تصویر 2 Z از تک شکل هسته هسته اپیمورفیسم است. اساساً توالی "همان" را می توان به صورت زیر نوشت

${\ displaystyle 2 \ mathbf {Z} \؛ \؛ {\ hookrightarrow} \؛ \؛ \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

در این حالت تک شکل 2 n ↦ 2 n است و اگرچه به نظر می رسد یک تابع هویت باشد ، اما روی آن نیست (یعنی اپیمورفیسم نیست) زیرا اعداد فرد متعلق به 2 Z نیستند . تصویر 2 Z از طریق این یکنواختی دقیقاً همان زیر مجموعه Z است که تصویر Z تا n ↦ 2 n استفاده شده در توالی قبلی. این توالی اخیر در ماهیت بتن اولین شی its آن با مورد قبلی متفاوت است زیرا 2 Z مجموعه ای یکسان با Z نیست حتی اگر این دو گروه به صورت یکسان نباشند .

توالی اول نیز ممکن است بدون استفاده از نمادهای خاص برای یک شکل و اپیمورفیسم نوشته شود:

${\ displaystyle 0 \؛ \ to \؛ \ mathbf {Z} \؛ \؛ {\ overset {2 \ times} {\ longrightarrow}} \؛ \؛ \ mathbf {Z} \؛ \ longrightarrow \؛ \ mathbf { Z} / 2 \ mathbf {Z} \؛ \ به \؛ \ 0}$

در اینجا 0 نشانگر گروه بی اهمیت است ، نقشه از Z به Z ضرب در 2 می شود ، و نقشه از Z به گروه فاکتور Z / 2 Z با کاهش مدول صحیح 2 داده می شود. این در واقع یک توالی دقیق است:

تصویر نقشه 0 → Z {0} است ، و هسته ضرب در 2 نیز {0} است ، بنابراین ترتیب در Z اول دقیق است .
تصویر ضرب در 2 2 Z است ، و هسته کاهش دهنده مدول 2 نیز 2 Z است ، بنابراین ترتیب در Z دوم دقیق است .
تصویر کاهش مدول 2 Z / 2 Z است ، و هسته نقشه صفر نیز Z / 2 Z است ، بنابراین توالی دقیق در موقعیت Z / 2 Z است .

دنباله اول و سوم به دلیل بیکران بودن Z تا حدودی مورد خاصی است . برای گروه محدود نمی توان با گنجاندن (به عنوان مثال توسط یک مونورفیسم) به عنوان یک زیر گروه مناسب از خود ، نقشه برداری کرد. در عوض توالی ای که از قضیه اول ایزومورفیسم بیرون می آید ، است

$1 \ به N \ به G \ به G / N \ به 1$

به عنوان مثال مشخص تر از توالی دقیق در گروههای محدود:

$1 \ به C_ {n} \ به D_ {2n} \ به C_ {2} \ به 1$

جایی که $C_ {n}$ است که گروه دوری از سفارش N و $D _ {{2n}}$ است گروه دوسطحی از مرتبه 2 نفر ، یک گروه غیر آبلی است.

تقاطع و مجموع ماژول ها [ ویرایش ]

بگذارید من و J دو ایده آل حلقه R باشیم . سپس

${\ displaystyle 0 \ to I \ cap J \ to I \ oplus J \ to I + J \ to 0}$

یک توالی دقیق از R- modules است ، جایی که همگونی ماژول ${\ displaystyle I \ cap J \ to I \ oplus J}$ نقشه هر عنصر x از $من \ کلاه J$ به عنصر ${\ displaystyle (x ، x)}$ از مبلغ مستقیم ${\ displaystyle I \ oplus J}$ ، و همومورفسیم ${\ displaystyle I \ oplus J \ به I + J}$ هر عنصر را ترسیم می کند $(x ، y)$ از ${\ displaystyle I \ oplus J}$ به $xy$ .

این هومورفیسم ها محدودیت هایی از هومورفیسم های مشابه تعریف شده هستند که توالی دقیق کوتاه را تشکیل می دهند

${\ displaystyle 0 \ به R \ به R \ oplus R \ به R \ به 0}$

عبور به ماژول های ضریب توالی دقیق دیگری دارد

${\ displaystyle 0 \ به R / (I \ cap J) \ به R / I \ oplus R / J \ به R / (I + J) \ به 0}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی