ریاضیات

برای تعمیم این مفهوم ، به ضرب تنسور مدولها و ضرب تنسور (ابهام زدایی) مراجعه کنید .

در ریاضیات ، به تانسور V ⊗ W از دو فضای برداری V و W بیش از همان زمینه ) یک فضای برداری، عطا با یک است نقشه دارای دو خط مستقیم )

​از ضرب دکارتی V × W به V ⊗ W. این نقشه دو خطی جهانی است به این معنا که برای هر فضای بردار X ، نقشه های دو خطی از V × W تا X با نقشه های خطی از V ⊗ W تا X مطابقت یک به یک دارند .

از ضرب دکارتی V × W به V ⊗ W . این نقشه دو خطی جهانی است به این معنا که برای هر فضای بردار X ، نقشه های دو خطی از V × W تا X با نقشه های خطی از V ⊗ W تا X مطابقت یک به یک دارند .

اگر  ​یک پایه از V و ​یک پایه از W ، سپس MN عناصر ​پایه V ⊗ W را تشکیل می دهند . اگر ​ و  ​سپس بردار مختصات از ​بیش از این مبنا ، ضرب خارجی بردارهای مختصات v و w بر مبنای مربوطه است.

از این ویژگی می توان برای تعریف ضرب تنسور استفاده کرد ، اما این مستلزم اثبات این مسئله است که ضرب تنسور دو فضای بردار به انتخاب بازها بستگی ندارد. بنابراین ، ضرب تنسور دو فضای بردار V و W به طور کلی به عنوان فضای ضریب فضای بردار دارای V × W به عنوان پایه توسط فضای خفیف خطی که توسط حداقل شرایط لازم برای داشتن دوشیمیایی مورد نیاز است ، تعریف می شود.

به طور کلی ، ضرب تنسور را می توان به همین ترتیب برای مدولها روی یک حلقه جابجایی و گروه های آبلی (که مدولهایی بر روی اعداد صحیح هستند) تعریف کرد. برای فضاهای برداری و مدولهایی که ساختارهای اضافی دارند ، ضرب تنسور غالباً به ساختاری مشابه مجهز شده است. به عنوان مثال ، ضرب تنسور دو جبر انجمنی یک جبر انجمنی است. با این حال ، در مورد فضاهای برداری توپولوژیکی ، تعریف فوق فقط برای در نظر گرفتن نقشه های دو خطی پیوسته اصلاح می شود .

فهرست

• 1انگیزه بصری و ضرب کششی بتن
• 2 ضرب تنسور انتزاعی: فضای بردار آزاد
• 3استفاده از فضای برداری رایگان برای "فراموش کردن" پایه
• 4تعریف ضرب تانسور انتزاعی
• 5خواص
  • 5.1نشانه گذاری
  • 5.2بعد، ابعاد، اندازه
  • 5.3ضرب تنسور از نقشه های خطی
  • 5.4مالکیت جهانی
  • 5.5قدرت تانسور و بافندگی
• 6ضرب تنسورها
  • 6.1نقشه ارزیابی و انقباض تانسور
  • 6.2نمایندگی الحاقی
• 7رابطه ضرب تنسور با هوم
• 8ضربات تنسور مدولها بر روی یک حلقه
  • 8.1ضرب تنسور مدولها بر روی یک حلقه غیرتغییر
  • 8.2محاسبه ضرب تنسور
• 9ضرب کششی جبرها
• 10پیکربندی های خاص تنسورها
• 11نمونه های دیگر ضربات تنسور
  • 11.1ضرب تنسور فضاهای هیلبرت
  • 11.2ضرب تانسور توپولوژیک
  • 11.3ضرب تنسور از فضاهای برداری درجه بندی شده
  • 11.4ضرب تنسور از نمایش ها
  • 11.5ضرب تنسور از اشکال درجه دوم
  • 11.6ضرب تنسور از اشکال چند خطی
  • 11.7ضرب تنسور از شاخه های مدولها
  • 11.8ضرب تانسور بسته های خطی
  • 11.9ضرب تنسور زمینه ها
  • 11.10ضرب تنسور نمودارها
  • 11.11دسته های مونویدی
• 12جبرهای کمی
• 13ضرب تنسور در برنامه نویسی
  • 13.1زبان های برنامه نویسی آرایه
• 14همچنین ببینید
• 15یادداشت
• 16منابع

انگیزه بصری و ضرب تانسور بتن [ ویرایش ]

انگیزه بصری برای ضرب تانسور متکی بر مفهوم تانسورها به طور کلی. به طور خاص ، تنسور جسمی است که می تواند نوع خاصی از نقشه چند خطی در نظر گرفته شود ، که تعداد مشخصی از بردارها را بگیرد ( ترتیب آن ) و یک اسکالر خارج شود. اشیاء از جمله در تعدادی از زمینه های نرم افزار، مانند مفید هستند هندسه ریمانی ، معروف برای استفاده از آن در آلبرت انیشتین را نظریه نسبیت عام در فیزیک مدرن ، که در آن تانسور متریک یک مفهوم پایه ای است. به طور خاص ، تانسور متریک دو بردار می گیرد ، تقریباً به صورت فلش های کوچک متصور شده از یک نقطه خاص در یک فضای منحنی یا منیفولد منشعب می شود و یک ضرب نقطه محلی از آنها را نسبت به آن نقطه خاص باز می گرداند - عملیاتی که برخی از اطلاعات را رمزگذاری می کند در مورد بردارها، طول و همچنین زاویه بین آنها. از آنجایی که ضرب نقطه یک اسکالر است ، بنابراین تنسور متریک شایسته نام خود است. در هر نقطه از منیفولد یک تانسور متریک وجود دارد و بنابراین تغییر در تانسور متریک چگونگی تغییر مفاهیم فاصله و زاویه را کد می کند و بنابراین قوانین هندسه تحلیلی در کل منیفولد متفاوت است.

می توان به ضرب تنسور دو فضای بردار فکر کرد ،  ​ و  ​، به عنوان نمایانگر مجموعه تمام حسگرهایی است که بردار را از آنها می گیرد  ​ و بردار از  ​و یک اسکالر را در زمینه پایه مشترک خود خارج کنید (و بنابراین فقط در صورت داشتن چنین زمینه پایه مشترک قابل تعریف است). این دو فاصله ممکن است یکسان باشد - در بالا ، آنها بردارهایی در فضای مماس در یک نقطه هستند: تقریباً فضای مسطح یک قطعه کوچک از منیفولد نزدیک به یک نقطه خاص "به نظر می رسد" ، و بنابراین تانسور متریک در ضرب تانسور زندگی می کند از آن فضا با خودش اما ممکن است این دو فضا نیز متفاوت باشد.

اگر برای هر یک از فضاهای برداری مبنایی داشته باشیم و فضاهای برداری بعدی محدود باشند ، می توانیم بردارها را از نظر م مولفه در زیر بردارهای پایه نشان دهیم: