نظریه [ ویرایش ]
قضیه ساختار برای حلقه های جابجایی نوتری [ ویرایش ]
بیش از یک حلقه نوتری تغییر پذیر 
جایی که 
زیرمدول ها ، خارج قسمت، ضرب ها و مجموع[ ویرایش ]
هر ضربی از (حتی بی نهایت زیاد) مدول های انژکتیوانژکتیو است. برعکس ، اگر یک ضرب مستقیم از مدول ها انژکتیو باشد ، هر مدول انژکتیو است ( Lam 1999 ، ص 61). هر جمع مستقیم از مدول های انژکتیو ،انژکتیو است. به طور کلی ، زیر مدول ها ، مدول های فاکتور یا جمع بی نهایت مستقیم مدول های انژکتیو انژکتیو نیست . هر زیر مدول از هر مدول انژکتیو است اگر و فقط اگر حلقه نیمه ساده آرتینی باشد ، انژکتیو است ( Golan & Head 1991 ، p. 152)؛ هر مدول فاکتور از هر مدول انژکتیو است اگر و فقط در صورت ارثی بودن حلقه ، انژکتیو باشد ( Lam 1999)، ث 3.22) هر مقدار بی نهایت مستقیم از مدول های انژکتیواگر و فقط در صورت وجود حلقه نوتری ، انژکتیو باشد ( Lam 1999 ، Th 3.46). [5]
معیار بئر [ ویرایش ]
در مقاله اصلی بئر ، او نتیجه خوبی را به دست آورد ، معمولاً به عنوان معیار بئر شناخته می شود ، برای بررسی اینکه یک مدول بئراست یا خیر: یک R- module چپ Q فقط در صورت وجود یکسان سازی g : I - Q تعریف شده بر روی ایده آل چپ I است. از R را می توان به تمام R گسترش داد .
با استفاده از این معیار می توان نشان داد که Q یک گروه آبلی انژکتیواست (یعنی یک مدول انژکتیوبیش از Z ). به طور كلی ، یك گروه آبلی در صورتی تزریق می شود كه فقط در صورت تقسیم پذیر باشد. به طور کلی تر: یک مدول بیش از یک دامنه اصلی ایده آل اگر و فقط در صورت قابل تقسیم قابل تأثیر باشد (مورد فضاهای برداری نمونه ای از این قضیه است ، زیرا هر فیلد یک حوزه ایده آل اصلی است و هر فضای بردار قابل تقسیم است). در مورد یک دامنه انتگرال عمومی ، ما هنوز یک پیامد داریم: هر مدول آسیب پذیر بر یک دامنه انتگرال قابل تقسیم است.
معیار بائر شده است در بسیاری جهات (تصفیه شده جولان و رئیس 1،991 ، ص 119)، از جمله یک نتیجه از ( اسمیت 1981 ) و ( Vamos در 1983 ) که برای یک حلقه نوتری تناظرهای، کافی است به در نظر گرفتن تنها ایده آل های اول I. معیار دوگانه بائر ، که آزمایشی برای فرافکنی می دهد ، به طور کلی نادرست است. به عنوان مثال ، Z -module Q دو برابر معیار بئر را برآورده می کند اما فرافکنی نیست.
تولیدکننده های ذهنی [ ویرایش ]
مقاله اصلی: توام تولید کننده
شاید مهمترین مدول انژکتیوگروه آبلی Q / Z باشد. این یک تولیدکننده انژکتیو در گروه گروه های آبلی است ، به این معنی که این انژکتیواست و هر مدول دیگری در یک ضرب کاملاً بزرگ از نسخه های Q / Z موجود است . بنابراین به طور خاص ، هر گروه آبلی یک زیر گروه از یک انژکتیو است. کاملاً قابل توجه است که این مورد در مورد هر حلقه ای نیز صادق است: هر مدول یک زیر مدول مدول انژکتیو است ، یا "گروه مدول های چپ R انژکتیواست." برای اثبات این موضوع ، از خصوصیات عجیب گروه آبلی Q / Z استفاده می شود برای ساختن یک همزن سازنده انژکتیودر رده مدول های چپ R.
برای یک مدول R چپ M ، به اصطلاح "مدول شخصیت" M + = Hom Z ( M ، Q / Z ) یک مدول R راست است که یک دوگان جالب را نشان می دهد ، نه بین مدول های انژکتیوو مدول های تصویری ، بلکه بین مدول های انژکتیوو مدول های تخت ( Enochs & Jenda 2001 ، ص 78-80) . برای هر حلقه R ، یک مدول R سمت چپ صاف است اگر و فقط اگر مدول شخصیت آن انژکتیو باشد. اگر R نوتری باشد ، R چپ است-مدول اگر و فقط اگر مدول شخصیت آن صاف باشد ، انژکتیو است.
بدنه های ذهنی [ ویرایش ]
مقاله اصلی: بدنه انژکتیو
بدنه انژکتیو از یک مدول کوچکترین مدول انژکتیوحاوی یک داده شده است و در (شرح داده شد Eckmann در و Shopf 1953 ) .
می توان از بدنه های انژکتیوبرای تعریف حداقل تفکیک پذیری استفاده کرد (به زیر مراجعه کنید). اگر هر اصطلاح تفکیک پذیری بدنه مخلوطی مغز نقشه قبلی باشد ، رزولوشن انژکتیوحداقل طول دارد.
قطعنامه های ذهنی [ ویرایش ]
هر مدول M همچنین دارای یک انژکتیووضوح : یک دنباله دقیق از فرم
0 → M → I 0 → I 1 → I 2 → ...
که در آن I j مدول های انژکتیو است. از قطعنامه های ذهنی می توان برای تعریف عامل های مشتق شده مانند اکستراکتور Ext استفاده کرد .
طول یک قطعنامه انژکتیو محدود اولین شاخص N به طوری که من نفر غیر صفر است و من من = 0 برای من بیشتر از N . اگر یک مدول M یک تفکیک پذیری محدود را بپذیرد ، کمترین طول را در بین تمام رزولوشن های اجرایی محدود M را می توان بعد جسمی آن دانست و id ( M ) را نشان می دهد. اگر M تفکیک پذیری محدود را نپذیرد ، بنا بر عرف ، بعد انژکتیو بی نهایت است. ( Lam 1999 ، §5C) به عنوان مثال ، یک مدول M مانند ID را در نظر بگیرید (M ) = 0. در این وضعیت ، دقت دنباله 0 → M → I 0 → 0 نشان می دهد که پیکان در مرکز یک شکل است ، و از این رو M خود م injثر است. [6]
به طور معادل ، بعد انژکتیو M حداقل عدد صحیح است (اگر چنین باشد ، در غیر این صورت ...) n به گونه ای که ExtN
A(- ، M ) = 0 برای همه N > n .
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.