حلقه آرتینی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه پانزدهم آذر ۱۳۹۹ | 0:56

در جبر مجرد ، یک حلقه آرتینی(گاهی اوقات حلقه آرتینی) است حلقه که ارضا کند شرایط زنجیره نزولی در ایده آل ؛ یعنی هیچ دنباله نزولی بی نهایت از ایده آل ها وجود ندارد. حلقه های آرتینی به نام امیل آرتین نامگذاری شده اند ، وی اولین بار کشف کرد که شرایط زنجیره نزولی ایده آل ها به طور همزمان حلقه ها و حلقه های متناهی را تعمیم می دهد که فضاهای بردار بعدی در میدان ها هستند . تعریف حلقه های آرتینی ممکن است با جایگزینی شرایط زنجیره نزولی با یک مفهوم معادل: حداقل شرط .

یک حلقه است آرتینی چپ اگر ارضا کند شرط زنجیره نزولی بر ایده آل های چپ، آرتینی راست اگر آن را برآورده کند شرایط نزولی های زنجیره ای در ایده آل راست، و آرتینی یا آرتینی دو طرفه آن است که اگر هر دو سمت چپ و راست آرتینی. برای حلقه های جابجایی ، تعریف های چپ و راست با هم منطبق هستند ، اما به طور کلی آنها از یکدیگر متمایز هستند.

آرتین-Wedderburn به قضیه مشخصه همه ساده حلقه آرتینی به عنوان حلقه ای از ماتریس بیش از یک حلقه تقسیم . این بدان معنی است که اگر و فقط اگر آرتینی درست باشد یک حلقه ساده از آرتینی باقی مانده است.

تعریف و اصطلاحات یکسانی را می توان در مدول ها به کار برد ، و ایده آل ها با زیر مدول ها جایگزین می شوند.

اگرچه وضعیت زنجیره نزولی نسبت به وضعیت زنجیره صعودی دوگان به نظر می رسد ، اما در حلقه ها در واقع شرایط قوی تر است. به طور خاص ، یک نتیجه از قضیه Akizuki-Hopkins-Levitzki این است که یک حلقه آرتینی چپ (مربوط به راست) راست به طور خودکار یک حلقه نوتری چپ (مربوط به راست) است . این برای مدول های عمومی درست نیست. یعنی یک مدول آرتینی نیازی نیست که یک مدول نوتری باشد .

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

دامنه انتگرال آرتینی است اگر و تنها اگر یک میدان است.
یک حلقه با ایده آل های بسیار زیاد ، بگویید چپ ، آرتینی باقی مانده است. به طور خاص ، یک حلقه متناهی (به عنوان مثال ، $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ ) چپ و راست آرتینی است.
بگذارید k یک میدان باشد. سپس $k [t] / (t ^ {n})$ آرتینی برای هر عدد صحیح مثبت است n .
به طور مشابه ، ${\ displaystyle k [x، y] / (x ^ {2}، y ^ {3}، xy ^ {2}) = k \ oplus k \ cdot x \ oplus k \ cdot y \ oplus k \ cdot xy \ oplus k \ cdot y ^ {2}}$ یک حلقه آرتینی با ایده آل ماکزیمال $(x ، y)$ است
اگر I ایده آل غیر صفر دامنه ددکیند A fhan ، پس $A / I$ یک حلقه اصلی آرتینی است. [1]
برای هر $n \ geq 1$ ، حلقه ماتریس کامل $M_ {n} (R)$ بیش از یک حلقه آرتینی (مربوط به نوتریسمت چپ) R آرتینی (مربوط به نوتری سمت چپ). [2]

حلقه اعداد صحیح $\ mathbb {Z}$ یک حلقه نوتری است اما آرتینی نیست.

مدولها روی حلقه های آرتینی [ ویرایش ]

اجازه دهید M یک مدول چپ بر روی یک حلقه آرتینی سمت چپ باشد. سپس موارد زیر معادل هستند

( قضیه هاپکینز ):

(i) M کاملاً تولید می شود ،

(ii) M دارای طول متناهی است (یعنی دارای سری ترکیبات است ) ،

(iii) M نوتری است ،

(IV) M آرتینی است. [3]

حلقه های آرتینی جابجایی [ ویرایش ]

بگذارید A یک حلقه نوتری جابجایی با یکدار باشد. شرایط زیر معادل هستند.

A آرتینی است.
A یک ضرب متناهی از حلقه های موضعی آرتینی جابجایی است. [4]
A / nil ( A ) یک حلقه نیمه ساده است ، که در آن nil ( A ) مقدار رایکال پوچی از A است . [ نیاز به منبع ]
هر مدول کاملاً تولید شده بیش از A دارای طول متناهی است. (به بالا نگاه کن)
A دارای ابعاد Krull صفر است. [5] (به ویژه ، nilradical از آنجا که ایده آل های اصلی ماکزیمال هستند ، رادیکال Jacobson است.)
$\ operatorname {Spec} A$ متناهی و گسسته است.
$\ operatorname {Spec} A$ گسسته است [6]

اجازه دهید K یک میدان و متناهی مولد K جبر. سپس آرتینی است اگر و تنها اگر است متناهی به عنوان تولید k-module باشد.

یک حلقه موضعی آرتینی کامل است. ضریب و موضعی سازی حلقه آرتینی آرتینی است.

حلقه ساده آرتینی [ ویرایش ]

حلقه ساده آرتینی یک حلقه ماتریس بیش از حلقه تقسیم است. در واقع ، [7] بگذارید I ایده آل مناسب حداقل (غیر صفر) از A باشم . پس از آن $هوش مصنوعی$ یک ایده آل دو طرفه است ، $هوش مصنوعی = الف$ از آنجا که A ساده است. بنابراین ، ما می توانیم انتخاب کنیم $a_ {i} \ در A$ به طوری که $1 \ در a {1} I + \ cdots + a_ {k} I$ . فرض کنید k با توجه به ویژگی آن حداقل باشد. همریختی مدول های مناسب A را در نظر بگیرید:

${\ displaystyle {\ start {cases} I ^ {\ oplus k} \ to A، \\ (y_ {1}، \ dots، y_ {k}) \ mapsto a_ {1} y_ {1} + \ cdots + a_ {k} y_ {k} \ end {موارد}}}$

این تصنیفی است. اگر این تزریقی نیست ، بگویید ، $a_ {1} y_ {1} = a_ {2} y_ {2} + \ cdots + a_ {k} y_ {k}$ با غیر صفر $y_ {1}$ . سپس ، با کمترین میزان I ، ما باید: $y_ {1} A = I$ . آن به شرح زیر است:

$a_ {1} I = a_ {1} y_ {1} A \ زیرمجموعه a_ {2} I + \ cdots + a_ {k} I$ ،

که با حداقل k تضاد دارد . از این رو ، $I ^ {\ oplus k} \ simeq A$ و بنابراین $A \ simeq \ operatorname {End} _ {A} (A) \ simeq M_ {k} (\ operatorname {End} _ {A} (I))$ .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی