2-ادامه تانسور

درجه تنسور 0 است [ ویرایش | ویرایش کد ]

تانسور درجه صفر را تانسور (0.0) یا اسکالر می نامند.

یکی از ساده ترین نمونه های بردار اسکالر نمایش $v:$ طول بردار است نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ فضای اقلیدسی.

نکته جالب در مورد مقیاس کش ها این است که آنها با حرکت در فضای جدید تغییر نمی کنند. لازم به ذکر است که مقیاس عنصری از فضای خطی نیست ، بلکه عنصری از فیلدی است که این فضا بر روی آن داده می شود. این مخصوص فضای اقلیدسی است ${\ mathbb {R} {$ این زمینه به انواع تنسورها برگشته است ${\ displaystyle (0،0)}$ اعداد واقعی در اطراف فضای اقلیدسی هستند.

بدیهی است که طول بردار به انتخاب پایه منطقه بستگی ندارد و در نتیجه ، مقیاس است ، اما به دلیل سختگیری ، شما فقط می توانید این واقعیت را ثابت کنید.

طول بردار ، بر اساس تعریف ، با فرمول محاسبه می شود:

${\ displaystyle | v | = {\ sqrt {(v، v)}} ،}$

جایی که: نمایش $نمایش \ displaystyle (v ، v)}$ - عملکرد محصول اسکالر $display \ displaystyle (\ cdot \ ،، \ cdot): V \ بار V \ rightarrow \ mathbb {R}:$ که ارزش آنها فقط به بردارهای آرگومان بستگی دارد و با تغییر اساس تغییر نمی کند. بنابراین ، طول بردار به انتخاب پایه بستگی ندارد.

نمونه سنسورهای درجه 1 را طبقه بندی کنید [ ویرایش | ویرایش کد ]

دو نوع سنسور درجه 1 وجود دارد.

نمایش $نمایش \ displaystyle (1،0)}$ نوع تانسور - بردارها - نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ عناصر فضایی که گاهی اوقات بردارهای متناقض نامیده می شوند.
${\ displaystyle (0،1)}$ بردارهای نوع - خطی ${\ displaystyle V {{*}}$ عناصر متصل را بعضی اوقات بخاری می نامند.

نمونه ای از تانسور درجه 1 [ ویرایش | ویرایش کد ]

در این مثال ما از ناحیه برداری استفاده می کنیم ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$ (صفحه اقلیدسی) ، عناصر آن جفت اعداد واقعی هستند.

در نظر گرفتن: $display \ displaystyle v = {\ start {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ (سبز در تصویر) بردار

ما یک پایه را در یک صفحه بردار قرار می دهیم ${\ displaystyle {\ color {red} e_ {1}} = {\ start {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ و: ${\ displaystyle {\ color {red} e_ {2}} = {\ start {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ چنین پایه ای پایه استاندارد نامیده می شود و در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است). مشخص كردن: $display \ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ بردار به انتخاب پایه بستگی ندارد ، به طور مستقل تعریف شده است.

در یک سیستم مختصات مستطیل شکل ${\ displaystyle x {{1}، \؛ x {{2}}$ ، مربوط به بنیاد است ${\ displaystyle \ color {red} e_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {red} e_ {2}}$ ${\ displaystyle \ color {limegreen} v}$ دارد ${\ displaystyle v ^ {1} = 1}$ ، نمایش $نمایش \ displaystyle v ^ {2} = 2}$ مختصات ، یعنی

${\ displaystyle {\ color {limegreen} v} = v ^ {1} {\ color {red} e_ {1}} + v ^ {2} \ color {red} e_ {2}}$ .

ما اکنون مبنای جدیدی ارائه می دهیم ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ ، دریافت شده از اولین: $display \ displaystyle 45 {{\ circ}}$ چرخش در جهت مثبت. سپس: ${\ displaystyle {\ color {blue} f_ {1}} = {\ start {pmatrix {{\ frac {1 {{\ sqrt {2}} \ \\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}} } \ end {pmatrix}}}$ ، پایان ${\ displaystyle {\ color {blue} f_ {2}} = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {1 {{\ sqrt {2}} \ \\ {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} \ end {pmatrix}} پایان$ .

در تصویر ، یک بردار وجود دارد ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{1}$ ، ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{2}$ مختصات در پایگاه جدید متفاوت است ${\ displaystyle \ color {limegreen} v}$ از مختصات بردار. این بسیار مهم است زیرا ${\ displaystyle \ color {limegreen} v}$ بردار به خودی خود به عنوان عنصری از فضای خطی ، به هیچ وجه به انتخاب پایه در فضا بستگی ندارد ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{1}$ ، ${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{2}$ مختصات بردار در طی انتقال به یک پایگاه جدید توسط قانون تبدیل ویژه (بردار) تغییر می کند.

به همین ترتیب ، برای سایر سنجنده های مقدار (اما متفاوت از 0) ، آنها خود تنسورها هستند ، که به هیچ وجه به پایه فضا بستگی ندارند ، اما مختصات آنها ، که اغلب با آنها با سنسورها کار می کنند ، به انتخاب پایه بستگی دارد.

مثال: $display \ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ در این مثال از بردار ، قانون تبدیل مختصات بردار هنگام عبور از یک پایه به مبنای دیگر به دست می آید. توزیع کردن: { ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ بردارها ${\ displaystyle \ color {red} e_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {red} e_ {2}}$ در پایگاه داده و بردار را مشخص کنید ${\ displaystyle c_ {i} ^ {j}}$ صفحه نمایش $j:$ از طریق مختصات ، سپس:

${\ displaystyle {\ color {blue} f_ {i}} = c_ {i} {{1 {{\ color {red} e_ {1}} + c_ {i} ^ {2} {\ color {red} e_ {2}} = c_ {i} ^ {j} {\ color {red} e_ {j}} ، \ quad i = 1،2،}$

که در آن ، مانند هر مکان دیگر ، فرض بر این است که تکرار شاخص های از بالا به پایین (مطابق با صفحه نمایش $j:$ شاخص) ماتریس: ${\ displaystyle (c_ {i} ^ {j})}$ ماتریس انتقال نامیده می شود: ${\ displaystyle \ color {red} e_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {red} e_ {2}}$ از زمین! ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ . در این مثال:

${\ displaystyle (c_ {i} ^ {j}) = {\ start {pmatrix} {\ frac {1 {{\ sqrt {2}}} & - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} و {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ end {pmatrix}}}$ . ما به اشتراک خواهیم گذاشت نمایش $v:$ بردار با دو پایه و از عبارت قبلاً به دست آمده استفاده کنید ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {i}}$ برای

${\ displaystyle {\ color {limegreen} v} = {\ tilde {v}} ^ {i} {\ color {blue} f_ {i}} = {\ tilde {v}} ^ {i} c_ {i} {{j {{\ color {red} e_ {j}} = v ^ {j {{\ color {red} e_ {j}}}$

از معادله دوم روابط بین مختصات را بر اساس جدید و قدیمی بدست می آوریم. ${\ displaystyle v ^ {j} = c_ {i} ^ {j {{\ tilde {v}} ^ {i}}$ ضرب معادله در ماتریس معکوس ${\ displaystyle ({\ bar {c}} _ {i} ^ {j})}$ - چه کسی ، ما می گیریم ${\ displaystyle {\ tilde {v}} ^ {k} = {\ bar {c}} _ {s} ^ {k} v ^ {s}}$ عبارتی که به شما امکان می دهد مختصات یک بردار را پیدا کنید نمایش $v:$ در هسته ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ .

قانون تغییر مختصات برداری را که قبلاً ذکر شد مشخص کنید.

بیایید فقط ذکر کنیم که در این مثال ، پایه ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {1} {$ ، ${\ displaystyle \ color {blue} f_ {2}}$ بردار: ${\ displaystyle {\ color {limegreen} v}}$ مختصات دارد

${\ displaystyle {\ tilde {v}} {{1} = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {2}}}$ , ${\ displaystyle {\ tilde {v}} ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ ، می توان آن را با استفاده از معادله بدست آورد ${\ displaystyle {\ tilde {v}} ^ {k}}$ .

بدیهی است که مختصات موجود در پایگاه داده جدید بردارها با پایگاه داده مختصات قدیمی واقعاً متفاوت است.

نمونه ای از یک تابع خطی (نوع تانسور) ${\ displaystyle (0،1)}$ ، مخفی) [ ویرایش | ویرایش کد ]

قابلیت خطی بازتابی خطی از فضای بردار است نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در مزرعه $K:$ که در آن این منطقه داده شده است (برای مناطق اقلیدسی: نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ )

مانند مثال قبلی ، ما از منطقه اقلیدسی استفاده خواهیم کرد: ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

بردار را درست می کنیم نمایش $نمایش \ displaystyle a \ در V}$ ، ما طول را تغییر می دهیم و جایگزین می کنیم نمایش $نمایش \ displaystyle \ varphi (x) = (a ، x)}$ تابع ، که یک بردار است نمایش $نمایش \ displaystyle x \ در V}$ متصل می شود نمایشگر $ایکس:$ بردار: بردار ${\ displaystyle a}$ با محصول اسکالر.

از آنجا که محصول اسکالر با دو استدلال خطی است: $display \ displaystyle \ varphi: V \ longrightarrow \ mathbb {R}، \؛ x \ longmapsto (a، x)}$ خطی است

برای نقشه برداری خطی ، می توانید با افزودن یک قانون ، عملیات ضرب را وارد کنید

${\ displaystyle (\ lambda _ {1} \ varphi _ {1} + \ lambda _ {2} \ varphi _ {2}) (x) = \ lambda _ {1} \ varphi _ {1} (x) + \ lambda _ {2} \ varphi _ {2} (x)}$ ) ، مجموعه تمام توابع خطی با عملکردهای معکوس بسیاری از همه توابع خطی یک منطقه خطی به نام ناحیه ملتحمه است و ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ .

چگونه نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در فضای ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ شما می توانید اساس ، عناصر اصلی را برای فضای ترکیبی انتخاب کنید نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ از جانب: $K:$ توابع ، سپس بیشترین استفاده را در نظر بگیرید ، ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ پایه.

نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ برخی را در فضا اصلاح کنید ${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ پایه و تعریف کنید ${\ displaystyle e ^ {1} ، \ ، e {{2} ، \ dots ، e ^ {n} \ in V ^ {\ ast} {$ نمایش دادن: ${\ displaystyle e x {i} (x): = x ^ {i}}$ ، به طور معمول ، در کجا: نمایش $نمایش {\ displaystyle x ^ {i}$ $من:$ بردار مختصات را در پایگاه داده x هماهنگ کنید

${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ ${\ displaystyle e {{1} ، \ dots ، e ^ {n}}$ توابع مختصات توابع خطی هستند و مبنایی را تشکیل می دهند (dual نامیده می شود) ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ در فضای.

از آنجا که ${\ displaystyle V {{\ ast}}$ یک فضای بردار است ، عنصر آن است نمایش $\ varphi:$ ، عملکرد طرح ریزی قبلاً درج شده) را می توان به موارد زیر گسترش داد: ${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ : ${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {i} e ^ {i}}$ روی زمین.

$display \ displaystyle \ varphi _ {1} ، \ ، \ varphi _ {2} {$ اعداد را تنسور می نامند نمایش $\ varphi:$ مختصات ، آنها به پایه دوگانه بستگی دارند ${\ displaystyle e {{1} ، \ dots ، e ^ {n}}$ که از آن تعیین می شود نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ در فضای ${\ displaystyle e_ {1} ، \ ، e_ {2} ، \ dots ، e_ {n}$ با انتخاب مبنا بنابراین ، اگر شما انتخاب کنید نمایشگر $نمایشگر \ displaystyle V}$ بر اساس مبنای دیگر ، مختصات تابع خطی تغییر خواهد کرد ، اگرچه خود تابع بدون تغییر است.

در مثال نوع تانسور نمایش $نمایش \ displaystyle (1،0)}$ ، به روشی مشابه قابل دستیابی است

${\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}} _ {i} = c_ {i} ^ {s} \ varphi _ {s} \ } ^ {s} t \ tilde {\ varphi}} _ {s} {$ تحول مختصات بردار. ما چنین کاری نخواهیم کرد ، اما بگذارید یک بار دیگر یادآوری کنیم که مختصات خط سنسورهای نوع (0،1) هنگام تغییر پایه بر اساس یک قانون مخفی خاص ، خود تنش (نقشه برداری نمایش $\ varphi:$ تغییر نمی کند. چنین عباراتی برای مناقصه های با ارزش بالاتر صحیح است.

نمونه ای از تانسور درجه 2 [ ویرایش | ویرایش کد ]

ساده ترین ایده برای درک اهمیت فیزیکی (و تا حدودی هندسی) تنیس درجه دوم احتمالاً فشار ناشی از تنش بافتی تحت تنش خارجی است. $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ مشاهده (نگاه کنید به شکل). کشیدن آن در جهات مختلف با دستان خود و یا کشیدن پارچه روی برخی اسب های پیچیده می تواند به عنوان یک قطعه پارچه باشد. به طور شهودی روشن است که مولکول ها ، اتم های لایه های اتمی ، جهت گیری متفاوت خواهد بود به دلیل ولتاژ بافت ها در قسمت های مختلف الیاف بافت های مختلف. این شبیه چیزی است که هر منطقه می تواند دما یا فشار هوا را در خود جای دهد. بنابراین ، هر نقطه از بافت با شی ریاضی آن مطابقت دارد: $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ تانسور ولتاژ (تانسور درجه دو). برای درک اینکه تنسور T چگونه وضعیت ولتاژ را در هر نقطه از پارچه نشان می دهد ، می توانید یک برش کوچک در آن نقطه ایجاد کنید ، و ببینید که در چه جهتی این برش ها مغرضانه است. بنابراین شکل بالا ، ما دو قسمت مختلف از نقاط را برش دادیم. یک جهت را برش دهید $display \ displaystyle \ color {red} c}$ خط قرمز نقطه چین شده را نشان می دهد ، دیگری $display \ displaystyle \ color {blue} c}$ جهت خطوط آبی رنگ است. $display \ displaystyle \ mathbf {T}$ برای توصیف ریاضی جهت کاهش داده ها ، از بردار به صورت عادی (بردار عمودی در صفحه) استفاده می شود. بنابراین $display \ displaystyle \ color {red} c}$ بردار طبیعی برای بخش ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ قرمز است در صفحه قطعه عمودی ، $display \ displaystyle \ color {blue} c}$ در مورد قطعه ، وضعیت به همین ترتیب است. علاوه بر جهت رشد در بافت ، بردارهای بنفش را نشان می دهد. $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ .

برای پیش بینی محل ایجاد برش ، از یک تانسور کششی استفاده می شود. از نظر ریاضی ، این پیش بینی مشابه خواهد بود.

تعریف "عملکرد تنسور" ${\ displaystyle f (x، y) = \ mathbf {T} _ {x، y}}$ ، که استدلال های آن مختصات نقاط داخل بدن است ، و مقدار آن تنسور است ، که وضعیت کشش را در یک نقطه مشخص از بدن توصیف می کند.
به عنوان مثال یک نقطه بدن را انتخاب کنید $(x_ {0} ، y_ {0})$ و از: $نمایشگر \ نمایش سبک f (x ، y)}$ یک سنسور تهیه کنید که حالت ولتاژ را در نقطه توصیف کند ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x_ {0} ، y_ {0}}}$ .
جهت هواپیما را تعیین کنید ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ ، که در آن بدن بریده خواهد شد.
با برش جهت نقطه T را ضرب کنید $(x_ {0} ، y_ {0})$ ولتاژ تنسور در این نقطه ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x_ {0} ، y_ {0}}}$ ، آن سابقه ریاضی به نظر می رسد ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x_ {0}، y_ {0} color \ color {red {{\ vec {c}} = \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ .
بردار: $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ نشان می دهد که در آن است ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ پخش كردن $(x_ {0} ، y_ {0})$ نقطه:

باید درک کرد که برش هایی که در جهات مختلف در یک نقطه از بدن ایجاد می شوند منجر به پاسخ های مختلف بافتی می شوند. این پدیده در شکل زیر نشان داده شده است ، جایی که رشد پارگی بافت اتفاق می افتد $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ در جهات مختلف و با شدت متفاوت ${\ displaystyle \ | {\ color {RedViolet {{\ vec {t}}} \ |}$ در پاسخ به همان نکته ای که گفته شد ${\ displaystyle \ color {red} {\ vec {c}}}$ و: $display \ displaystyle \ color {RedViolet} {\ vec {t}}}$ قبل از برش در جهات مختلف.

فقط برای توصیف چنین رفتارهای پیچیده ای از تنور استفاده می شود که در این حالت به عنوان توابع برداری عمل می کنند. ${\ displaystyle f_ {x_ {0}، y_ {0}} ({\ vec {c}}) = \ mathbf {T} _ {x_ {0}، y_ {0}} ve \ vec {c}} = {\ vec {t}}}$ ، در هر نقطه تعریف شده است $(x_ {0} ، y_ {0})$ تکه های پارچه که تمام جهات ممکن را تعریف می کند ${\ displaystyle {\ vec {c}}}$ کاهش در تمام جهات ممکن ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$ تخریب بیشتر بافت

نمونه های انتزاعی تر از سنسورهای کلاس 2.

درجه تانسور نمایش یک خط دو خطی وجود دارد ، به عنوان مثال ، یک تانسور متریک در یک فضای ملموس
- پیچنده شیب رومی - تنسور ریچی ${\ displaystyle R_ {ij}}$ درجه: نمایش $نمایش \ سبک نمایش (0،2)}$ .
درجه تانسور(کوکنار لنگر نیز نامیده می شود [1] ) دارای یک عملگر خطی هستند یا:
- به طور خاص ، عملگر هویت ، که می تواند توسط یک ماتریس هویت نشان داده شود ${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$ ، - درجه تانسور $display \ displaystyle (1،1)}$ .