ضرب مستقیم

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، اغلب می توان یک ضرب مستقیم از اشیاء از قبل شناخته شده را تعریف کرد و یک ضرب جدید ارائه داد. این امر، حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های زیربنایی را به همراه ساختاری که به طور مناسب تعریف شده روی مجموعه ضرب تعمیم می‌دهد . به طور انتزاعی تر، در مورد ضرب در نظریه دسته صحبت می شود که این مفاهیم را رسمیت می بخشد.

به عنوان مثال، حاصل ضرب مجموعه ها، گروه ها (توضیح داده شده در زیر)، حلقه ها و دیگر ساختارهای جبری هستند . ضرب از فضاهای توپولوژیک به عنوان مثال دیگری است. [ مشکوک - بحث ]

جمع مستقیم نیز وجود دارد - در برخی مناطق این به جای یکدیگر استفاده می شود، در حالی که در برخی دیگر مفهوم متفاوتی است.

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان مجموعه اعداد حقیقی، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ فقط ضرب دکارتی است $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ .
اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان گروه اعداد حقیقی تحت جمع، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ هنوز دارد $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ به عنوان مجموعه زیربنایی آن تفاوت بین این و مثال قبل در این است $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ اکنون یک گروه است، و بنابراین باید نحوه اضافه کردن عناصر آنها را نیز بگوییم. این کار با تعریف انجام می شود $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ .
اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان حلقه اعداد حقیقی، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ دوباره دارد $\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ به عنوان مجموعه زیربنایی آن حلقه ساختار حلقه شامل اضافه تعریف شده توسط $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ و ضرب تعریف شده توسط $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ .
با این حال، اگر فکر کنیم $\mathbb {R}$ به عنوان میدان اعداد حقیقی، سپس حاصلضرب مستقیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ وجود ندارد - تعریف ساده و ساده جمع و ضرب در مولفه مانند مثال بالا منجر به ایجاد یک فیلد نمی شود زیرا عنصر $(1,0)$ یک ندارد وارون ضربی .

به روشی مشابه، ما می توانیم در مورد حاصلضرب مستقیم ساختارهای جبری بسیار متناهی صحبت کنیم، به عنوان مثال $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ . این به این حقیقیت بستگی دارد که ضرب مستقیم تا یکریختی تداعی کننده است . به این معنا که، ${\splaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\ بار C)}$ برای هر ساختار جبری $آ$ ، $ب$ ، و $سی$ از همان نوع ضرب مستقیم نیز جابجایی تا یکریختی، یعنی $A\times B\cong B\times A$ برای هر ساختار جبری $آ$ و $ب$ از همان نوع ما حتی می توانیم در مورد حاصل ضرب مستقیم ساختارهای جبری بی نهایت صحبت کنیم. برای مثال می‌توانیم ضرب مستقیم تعداد زیادی کپی از آن را در نظر بگیریم $\mathbb {R}$ ، که به صورت می نویسیم $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb$ .

ضرب مستقیم گروه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب مستقیم گروه ها

در تئوری گروه می توان حاصل ضرب مستقیم دو گروه ( G , ∘) و ( H , ∙) را که با G × H نشان داده می شود تعریف کرد . برای گروه های آبلی که به صورت جمعی نوشته می شوند، می توان آن را مجموع مستقیم دو گروه نیز نامید که با نشان داده می شود. $G\plus H$ .

به صورت زیر تعریف می شود:

مجموعه ای از عناصر این گروه جدید است ضرب دکارتی از مجموعه ای از عناصر از G و H ، این است که {( g ، h ): g ∈ G ، h ∈ H }؛
روی این عناصر عملیاتی را که از نظر عنصر تعریف شده است قرار دهید:
( g , h ) × ( g ' , h ' ) = ( g ∘ g ' , h ∙ h ' )

(توجه داشته باشید که ( G ، ∘) ممکن است با ( H ، ∙) یکسان باشد )

این ساخت و ساز یک گروه جدید می دهد. دارای یک زیرگروه نرمال یکریخت به G (که توسط عناصر شکل ( g ، 1) داده می شود)، و یک یکریخت به H (شامل عناصر (1، h )).

عکس این قضیه نیز صادق است، قضیه تشخیص زیر وجود دارد: اگر یک گروه K شامل دو زیرگروه نرمال G و H باشد ، به طوری که K = GH و اشتراک G و H فقط شامل هویت باشد، K به G × H یکریخت است . آرام شدن این شرایط، که نیاز به نرمال بودن تنها یک زیرگروه دارد، ضرب نیمه مستقیم را می دهد .

به عنوان مثال، دو نسخه از گروه منحصر به فرد (تا یکریختی ها) مرتبه 2، C 2 را به عنوان G و H در نظر بگیرید : مثلاً {1, a } و {1, b }. سپس C 2 × C 2 = {(1,1), (1, b ), ( a ,1), ( a , b )} با عنصر عملیات عنصر به عنصر. به عنوان مثال، (1، b )*( a ،1) = (1* a ، b *1) = ( a ، b )، و (1، b )*(1، b ) = (1، b 2) = (1،1).

با یک ضرب مستقیم، ما برخی از همریختی‌های گروهی طبیعی را به صورت آزاد دریافت می‌کنیم : نقشه‌های طرح‌ریزی که توسط تعریف می‌شوند

${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G \بار H\ به H،\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{تراز شده}}$

توابع مختصات نامیده می شود .

همچنین، هر همریختی f نسبت به ضرب مستقیم کاملاً توسط توابع مؤلفه آن تعیین می شود $f_{i}=\pi _{i}\circ f$ .

برای هر گروه ( G ، ∘) و هر عدد صحیح N ≥ 0، استفاده مکرر از ضرب مستقیم این گروه از همه می دهد N - تاپل G N (برای N = 0 ما از گروه بدیهی )، برای مثال Z N و R N .

ضرب مستقیم مدول ها [ ویرایش ]

حاصلضرب مستقیم برای مدول ها (نباید با حاصل ضرب تانسور اشتباه شود ) بسیار شبیه به چیزی است که برای گروه های بالا تعریف شده است، با استفاده از حاصلضرب دکارتی با عمل جمع به صورت مؤلفه، و ضرب اسکالر فقط بر روی همه مؤلفه ها توزیع می شود. با شروع از R، فضای اقلیدسی R n را می گیریم ، مثال اولیه یک فضای برداری n بعدی حقیقی . ضرب مستقیم R m و R N است R m + N .

توجه داشته باشید که یک ضرب مستقیم برای یک اندیس متناهی $\prod _{i=1}^{n}X_{i}$ متعارف به مجموع مستقیم یکریخت است $\bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}$ . مجموع مستقیم و حاصلضرب مستقیم برای اندیس های نامتناهی یکریخت نیستند، جایی که عناصر یک مجموع مستقیم برای همه صفر هستند اما برای تعداد متناهی از ورودی ها. آنها در مفهوم نظریه مقوله دوگانه هستند : مجموع مستقیم ضرب مشترک است ، در حالی که ضرب مستقیم حاصلضرب است.

برای مثال در نظر بگیرید $X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ و $Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R}$ ، حاصلضرب مستقیم بی نهایت و مجموع مستقیم اعداد حقیقی. فقط دنباله هایی با تعداد متناهی از عناصر غیر صفر در Y هستند . به عنوان مثال، (1،0،0،0،...) در Y است اما (1،1،1،1،...) نیست. هر دوی این دنباله ها در ضرب مستقیم X هستند . در واقع، Y یک زیر مجموعه مناسب از X است (یعنی Y ⊂ X ). [1] [2]

ضرب مستقیم فضای توپولوژیکی [ ویرایش ]

ضرب مستقیم برای مجموعه ای از فضاهای توپولوژیکی X i برای i در I ، یک مجموعه اندیس، یک بار دیگر از ضرب دکارتی استفاده می کند.

$\prod _{i\در I}X_{i}.$

تعریف توپولوژی کمی مشکل است. برای فاکتورهای متناهی، این امر بدیهی و طبیعی است: به سادگی مجموعه‌های باز را مجموعه‌ای از ضرب دکارتی زیرمجموعه‌های باز از هر عامل به‌عنوان پایه در نظر بگیرید:

${\mathcal {B}}=\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\}.$

این توپولوژی توپولوژی ضرب نامیده می شود . به عنوان مثال، به طور مستقیم تعریف توپولوژی ضرب در R 2 توسط مجموعه باز از R (اتحادیه های مجزا از فواصل باز)، پایه و اساس این توپولوژی به همه اتحادیه های مجزا از مستطیل باز در فضا (شامل عنوان آن می رسد، آن همزمان با توپولوژی mیک معمول ).

توپولوژی ضرب برای ضرب نامتناهی دارای پیچ و تاب است، و این به این مربوط می شود که بتوانیم تمام نقشه های طرح ریزی را پیوسته کنیم و همه توابع را به ضرب پیوسته تبدیل کنیم، اگر و تنها در صورتی که همه توابع اجزای آن پیوسته باشند (یعنی برای ارضای مقوله ها). تعریف ضرب: همریختی‌ها در اینجا توابع پیوسته هستند: ما به عنوان مبنای مجموعه‌های باز مجموعه‌ای از تمام ضرب دکارتی زیرمجموعه‌های باز از هر عامل را در نظر می‌گیریم، مانند قبل، با این قید که همه زیرمجموعه‌های باز، به جز تعداد متناهی، کل عامل هستند:

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ {\Big |}\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_ {j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})( U_{i}=X_{i})\right\}.$

توپولوژی با توپولوژی طبیعی تر، در این مورد، در نظر گرفتن ضرب بی نهایت زیر مجموعه های باز مانند قبل است، و این یک توپولوژی تا حدودی جالب، توپولوژی جعبه را به دست می دهد . با این حال، یافتن نمونه‌ای از توابع اجزای پیوسته که تابع ضرب آن‌ها پیوسته نیست، چندان دشوار نیست (برای مثال و موارد دیگر، توپولوژی جعبه ورودی جداگانه را ببینید). مشکلی که پیچش را ضروری می‌کند، در نهایت ریشه در این حقیقیت دارد که اشتراک مجموعه‌های باز تنها برای مجموعه‌های متناهی در تعریف توپولوژی باز است.

ضرب (با توپولوژی ضرب) با توجه به حفظ خواص عوامل خود خوب هستند. برای مثال، حاصلضرب فضاهای هاسدورف هاوسدورف است. حاصلضرب فضاهای ّ همبند است و حاصلضرب فضاهای فشرده فشرده است. آخرین مورد که قضیه تیخنوف نامیده می شود ، معادل دیگری برای اصل انتخاب است .

برای خواص بیشتر و فرمول‌بندی‌های معادل، توپولوژی ضرب ورودی جداگانه را ببینید .

ضرب مستقیم روابط دودویی [ ویرایش ]

در ضرب دکارتی دو مجموعه با رابطه دوتایی R و S، تعریف ( ، ب ) T ( ج ، د ) به عنوان R ج و ب S د . اگر R و S هر دو انعکاسی ، غیربازتابی ، متعدی ، متقارن یا ضد متقارن باشند ، T نیز خواهد بود. [3] به طور مشابه، seriality از T از ارث برده R و S . از ترکیب ویژگی ها نتیجه می شود که این برای a بودن نیز صدق می کند پیش سفارش و بودن یک رابطه هم ارزی . با این حال، اگر R و S روابط متصل هستند ، T نیازی به اتصال ندارد. برای مثال، حاصلضرب مستقیم ≤ $\mathbb {N}$ با خودش ارتباطی ندارد (1،2) و (2،1).

ضرب مستقیم در جبر جهانی [ ویرایش ]

اگر Σ یک امضای ثابت است ، I یک مجموعه اندیس دلخواه (احتمالا نامتناهی) است، و ( A i ) i ∈ I یک خانواده نمایه شده از جبرهای Σ است، حاصلضرب مستقیم A = Π i ∈ I A i یک جبر Σ تعریف شده است. به شرح زیر است:

مجموعه جهان A از A حاصل ضرب دکارتی مجموعه های جهان A i از A i است ، به طور رسمی: A = Π i ∈ I A i ;
برای هر n و هر نماد عملیات n- ary f ∈ Σ , تفسیر آن f A در A به طور رسمی به صورت جزء تعریف می شود: برای همه a 1 , ..., a n ∈ A و هر i ∈ I , i امین جزء f A ( a 1 , ..., a n ) به صورت f A i ( a 1 ( i ), ..., a n (من )) .

برای هر i ∈ I , i امین طرح π i : A → A i با π i ( a ) = a ( i ) تعریف می شود . این یک همریختی سورژکتیو بین جبرهای Σ A و A i است . [4]

به عنوان یک حالت خاص، اگر مجموعه اندیس I = { 1, 2 } باشد، حاصل ضرب مستقیم دو جبر Σ A 1 و A 2 به دست می آید که به صورت A = A 1 × A 2 نوشته می شود . اگر Σ فقط شامل یک عملیات باینری f باشد ، تعریف فوق از حاصلضرب مستقیم گروه ها با استفاده از نماد A 1 = G ، A 2 = H ، f A 1 = ∘ ، f A 2 = ∙ و f به دست می آید.A = ×. به طور مشابه، تعریف ضرب مستقیم مدول ها در اینجا خلاصه می شود.

ضرب دسته بندی شده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ضرب (نظریه طبقه بندی)

ضرب مستقیم را می توان به یک دسته دلخواه انتزاع کرد . در یک دسته بندی کلی، با توجه به مجموعه ای از اشیاء A i و مجموعه ای از همریختی های p i از A تا A i [ توضیح لازم است ] با i در متناهی ه ای از مجموعه اندیس I ، یک شی A یک ضرب طبقه بندی شده در این دسته گفته می شود. اگر برای هر شی B و هر مجموعه ای از همریختی های f i از B به A i، یک همریختی منحصر به فرد f از B به A وجود دارد به طوری که f i = p i f و این شی A منحصر به فرد است. این نه تنها برای دو عامل، بلکه به طور دلخواه (حتی بی نهایت) برای بسیاری کار می کند.

برای گروه‌ها به طور مشابه ضرب مستقیم مجموعه‌ای عمومی‌تر و دلخواه از گروه‌های G i را برای i در I ، I یک مجموعه اندیس تعریف می‌کنیم. با نشان دادن حاصل ضرب دکارتی گروه ها با G ، ضرب در G را با عمل ضرب مؤلفه تعریف می کنیم . و متناظر با p i در تعریف بالا نقشه های طرح ریزی هستند

$\pi _{i}\colon G\to G_{i}\quad \mathrm {by} \quad \pi _{i}(g)=g_{i}$ ،

توابعی که می گیرند $(g_{j})_{j\in I}$ به i ام جزء آن g i .

ضرب مستقیم داخلی و خارجی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: مجموع مستقیم داخلی

برخی از نویسندگان بین یک ضرب مستقیم داخلی و یک ضرب مستقیم خارجی تمایز قائل می شوند. اگر $A، B\ زیر مجموعه X$ و $A\ بار B\cong X$ ، می گوییم X یک ضرب مستقیم داخلی A و B است ، در حالی که اگر A و B فرعی نباشند، می گوییم که این یک ضرب مستقیم خارجی است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و هفتم آبان ۱۴۰۰ ساعت 1:19 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی

ضرب مستقیم

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

ضرب مستقیم گروه [ ویرایش ]

ضرب مستقیم مدول ها [ ویرایش ]

ضرب مستقیم فضای توپولوژیکی [ ویرایش ]

ضرب مستقیم روابط دودویی [ ویرایش ]

ضرب مستقیم در جبر جهانی [ ویرایش ]

ضرب دسته بندی شده [ ویرایش ]

ضرب مستقیم داخلی و خارجی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پیوندهای روزانه

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین