​

​

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای استفاده گسترده تر از این اصطلاح در ریاضیات، به جمع مستقیم مراجعه کنید .

در جبر انتزاعی ، مجموع مستقیم ساختاری است که چندین مدول را در یک مدول جدید و بزرگتر ترکیب می کند. مجموع مستقیم مدول ها کوچکترین مدول است که شامل مدول های داده شده به عنوان زیر مدول ها نامتناهی "غیر ضروری" است و آن را به نمونه ای از یک ضرب مشترک تبدیل می کند . در مقابل ضرب مستقیم ، که مفهوم دوگانه است .

آشناترین نمونه‌های این ساختار هنگام در نظر گرفتن فضاهای برداری (مدول‌های روی یک میدان ) و گروه‌های آبلی (مدول‌های روی حلقه Z از اعداد صحیح ) رخ می‌دهد. ساخت و ساز ممکن است برای پوشش فضاهای باناخ و فضاهای هیلبرت نیز گسترش یابد .

 

فهرست

ساخت فضاهای برداری و گروه های آبلی [ ویرایش ]

با این فرض که فقط دو شی داریم ابتدا ساخت را در این دو مورد ارائه می دهیم. سپس به یک خانواده دلخواه از مدول های دلخواه تعمیم می دهیم. عناصر کلیدی ساختار کلی با در نظر گرفتن عمیق این دو مورد به وضوح مشخص می شوند.

ساخت دو فضای برداری [ ویرایش ]

فرض کنید V و W هستند فضاهای برداری بیش از زمینه K . دکارتی ضرب V × W می توان ساختار فضای برداری بر داده K ( هالموس 1974 ، §18) با تعریف عملیات مولفه ای:

  • ( v 1 , w 1 ) + ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , w 1 + w 2 )
  • α ( v , w ) = ( α v , α w )

برای v , v 1 , v 2 ∈ V , w , w 1 , w 2 ∈ W و α ∈ K .

فضای برداری حاصله به نام مجموع مستقیم از V و W و معمولا با یک علامت به اضافه در داخل یک دایره نشان داده می شود:

 

{\displaystyle V\plus W}

 

مرسوم است که عناصر یک مجموع مرتب شده را نه به صورت جفت مرتب شده ( v ، w )، بلکه به صورت مجموع v + w بنویسید .

فضای فرعی V × {0} از V ⊕ W هم شکل با V است و اغلب با V شناسایی می شود . به طور مشابه برای {0} × W و W . ( مجموع مستقیم داخلی را در زیر ببینید.) با این شناسایی، هر عنصر V ⊕ W را می توان به یک و تنها یک روش به عنوان مجموع یک عنصر V و یک عنصر W نوشت . بعد از V ⊕ W به مجموع ابعاد برابر است V و W. یکی از کاربردهای اولیه، بازسازی یک فضای برداری محدود از هر زیرفضای W و مکمل متعامد آن است:

 

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}

 

این ساختار به راحتی به هر تعداد محدودی از فضاهای برداری تعمیم می یابد.

ساخت و ساز برای دو گروه آبلی [ ویرایش ]

برای گروه های آبلی G و H که به صورت جمعی نوشته می شوند، حاصلضرب مستقیم G و H نیز جمع مستقیم نامیده می شود ( مک لن & بیرخوف1999 , §V.6). بنابراین ضرب دکارتی G × H با تعریف عملیات به صورت جزء به ساختار یک گروه آبلی مجهز شده است:

( g 1 , h 1 ) + ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 + g 2 , h 1 + h 2 )

برای g 1 ، g 2 در G و H 1 ، H 2 در H .

مضرب های انتگرال به طور مشابه به صورت جزء تعریف می شوند

n ( g ، h ) = ( ng ، nh )

برای g در G ، h در H ، و n یک عدد صحیح . این به موازات گسترش حاصل ضرب اسکالر فضاهای برداری به مجموع مستقیم بالا است.

گروه آبلی آمده است به نام مجموع مستقیم از G و H است و معمولا توسط یک نماد به علاوه در داخل یک دایره نشان داده می شود:

 

{\displaystyle G\oplus H}

 

مرسوم است که عناصر یک مجموع مرتب شده را نه به صورت جفت مرتب شده ( g ، h )، بلکه به صورت مجموع g + h بنویسید .

زیر گروه G × {0} از G ⊕ H به ریخت است G است و اغلب با شناسایی G ؛ به طور مشابه برای {0} × H و H . ( مجموع مستقیم داخلی را در زیر ببینید.) با این شناسایی، درست است که هر عنصر G ⊕ H را می توان به یک روش و به عنوان مجموع یک عنصر از G و یک عنصر H نوشت . رتبه از G ⊕ H به مجموع صفوف برابر است G و H .

این ساختار به راحتی به هر تعداد محدودی از گروه های آبلی تعمیم می یابد .

ساخت یک خانواده دلخواه از مدول ها [ ویرایش ]

باید به شباهت آشکاری بین تعاریف مجموع مستقیم دو فضای برداری و دو گروه آبلی توجه کرد. در واقع، هر یک مورد خاصی از ساخت مجموع مستقیم دو مدول است . علاوه بر این، با اصلاح تعریف می توان مجموع مستقیم یک خانواده نامتناهی از مدول ها را در نظر گرفت. تعریف دقیق به شرح زیر است ( بورباکی 1989 ، §II.1.6).

فرض کنید R یک حلقه باشد و { M i  :  i  ∈  I } یک خانواده از مدول های R سمت چپ که توسط مجموعه I نمایه می شوند . سپس مجموع مستقیم { M i } به عنوان مجموعه تمام دنباله ها تعریف می شود(\alpha_i) جایی که \alpha_i \در M_i و \alpha_i = 0برای تعداد زیادی شاخص i . ( ضرب مستقیم مشابه است اما نیازی نیست که شاخص ها بطور همزمان ناپدید شوند.)

همچنین می‌توان آن را به‌عنوان توابع α از I به اجتماع مجزا مدول‌های M i تعریف کرد، به طوری که α( i ) ∈  M i برای همه i ∈ I و α( i ) = 0 برای تعداد زیادی شاخص i . این توابع را می‌توان به‌طور معادل به‌عنوان بخش‌های پشتیبانی شده محدود از بسته فیبر روی مجموعه شاخص I در نظر گرفت ، با فیبر بیش ازمن در من بودن M_{i}.

این مجموعه ساختار مدول را از طریق جمع مؤلفه و ضرب اسکالر به ارث می برد. به طور واضح، دو دنباله (یا تابع) α و β را می توان با نوشتن اضافه کرد(\alpha + \beta)_i = \alpha_i + \beta_iبرای همه i (توجه داشته باشید که این دوباره برای همه شاخص‌ها به استثنای تعداد محدودی صفر است)، و چنین تابعی را می‌توان با یک عنصر r از R با تعریف ضرب کرد.r(\alpha)_i = (r\alpha)_iبرای همه من . به این ترتیب، مجموع مستقیم به یک مدول R چپ تبدیل می شود و نشان داده می شود

 

{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}

 

نوشتن دنباله مرسوم است (\alpha_i) به صورت مجموع  \سیگما \alpha_i. گاهی اوقات یک جمع اولیه \سیگما \alpha_iبرای نشان دادن اینکه به طور همزمان بسیاری از عبارت ها صفر هستند استفاده می شود.

خواص [ ویرایش ]

  • مجموع مستقیم زیرمجموعه ای از حاصلضرب مستقیم مدول های M i است ( بورباکی 1989 ، §II.1.7). حاصلضرب مستقیم مجموعه ای از همه توابع α از I تا اتحاد متمایز مدول های M i با α ( i )∈ M i است ، اما لزوماً برای همه اما تعداد محدودی از i محو نمی شود . اگر مجموعه شاخص I محدود باشد، مجموع مستقیم و حاصلضرب مستقیم برابر هستند.
  • هر یک از مدول‌های M i ممکن است با زیرمدول مجموع مستقیم متشکل از توابعی که در همه شاخص‌های متفاوت از i ناپدید می‌شوند، شناسایی شوند . با این شناسایی ها، هر عنصر x از مجموع مستقیم را می توان به یک و تنها یک روش به عنوان مجموع عناصر بسیار محدود از مدول های M i نوشت .
  • اگر M i در واقع فضاهای برداری باشند، بعد مجموع مستقیم برابر با مجموع ابعاد M i است . همین امر در مورد رتبه گروه های آبلی و طول مدول ها صادق است .
  • هر فضای برداری روی میدان K نسبت به مجموع مستقیم کپی های به اندازه کافی از K هم شکل است ، بنابراین به یک معنا فقط این مجموع مستقیم باید در نظر گرفته شوند. این برای مدول های روی حلقه های دلخواه درست نیست.
  • ضرب تانسور توزیع مبالغ بیش از مستقیم به این معنا زیر: اگر N برخی از حق است R -مدول، سپس مجموع مستقیم ضربات تانسور از N با M من (که گروه های آبلی هستند) به طور طبیعی به ضرب تانسور از ریخت N با مجموع مستقیم M i .
  • مجموع مستقیم جابجایی و تداعی (تا هم شکلی) هستند، به این معنی که فرقی نمی کند که مجموع مستقیم را در کدام ترتیب تشکیل دهد.

جمع مستقیم داخلی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ضرب مستقیم داخلی

فرض کنید M برخی R -مدول، و M من است زیرمدول از M برای هر من در من . اگر هر X در M می توان در یک نوشته شده و تنها یک راه به عنوان مجموع متناهی از عناصر از M من ، پس ما می گویند که M است که مجموع مستقیم داخلی از زیرمدولs M من ( هالموس 1974 ، §18). در این مورد، M به طور طبیعی با مجموع مستقیم (خارجی) M i همانطور که در بالا تعریف شد، هم شکل است.آدامسون 1972 ، ص61).

زیرمدول N از M است جمع وند مستقیم از M اگر وجود دارد برخی دیگر زیرمدول وجود دارد N ' از M به طوری که M است داخلی مجموع مستقیم از N و N' . در این مورد، N و N′ زیرمدول های مکمل هستند .

دارایی جهانی [ ویرایش ]

در زبان نظریه رسته ، مجموع مستقیم است هم ضرب و از این رو هم حد در این رده از چپ R -مدولs، که به معنی آن است که با نکات زیر مشخص ضرب جهانی . برای هر i in I ، تعبیه طبیعی را در نظر بگیرید

{\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}

که عناصر M i را به توابعی ارسال می کند که برای همه آرگومان ها اما i صفر هستند . اگر f i  : M i → M نقشه های خطی R دلخواه برای هر i باشد ، دقیقاً یک نقشه خطی R وجود دارد.

f : \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow M

طوری که f o j i = f i برای همه i .

گروه گروتندیک [ ویرایش ]

مجموع مستقیم به مجموعه ای از اشیاء ساختار یک مونوئید جابجایی را می دهد ، به این صورت که جمع اشیاء تعریف شده است، اما تفریق نیست. در واقع، تفریق را می توان تعریف کرد، و هر مونوئیدی جابجایی را می توان به یک گروه آبلی گسترش داد . این پسوند به عنوان گروه گروتندیک شناخته می شود . گسترش با تعریف کلاس های هم ارزی از جفت اشیا انجام می شود، که به جفت های خاصی اجازه می دهد تا به عنوان معکوس در نظر گرفته شوند. ساختاری که در مقاله درباره گروه گروتندیک به تفصیل آمده است، «جهانی» است، به این دلیل که دارای خاصیت جهانی منحصر به فرد بودن است، و با هر تعبیه دیگری از یک مونوئید جابجایی در یک گروه آبلی هم شکل است.

مجموع مستقیم مدول ها با ساختار اضافی [ ویرایش ]

اگر مدول های مورد نظر ما دارای ساختار اضافی هستند (مثلاً یک هنجار یا یک ضرب داخلی )، در این صورت اغلب می توان مجموع مستقیم مدول ها را برای حمل این ساختار اضافی نیز ایجاد کرد. در این مورد، ما ضرب مشترک را در دسته مناسب همه اشیاء حامل ساختار اضافی به دست می آوریم . دو مثال برجسته برای فضاهای باناخ و فضاهای هیلبرت رخ می دهد .

در برخی از متون کلاسیک، مفهوم مجموع مستقیم جبرها بر روی یک میدان نیز معرفی شده است. با این حال، این ساختار یک ضرب مشترک در دسته جبرها ارائه نمی دهد، بلکه یک ضرب مستقیم را ارائه می دهد ( به یادداشت زیر و اشاره در مورد مجموع مستقیم حلقه ها مراجعه کنید ).

مجموع مستقیم جبرها [ ویرایش ]

مجموع مستقیم جبرها ایکس و Y مجموع مستقیم به عنوان فضاهای برداری، با حاصلضرب است

{\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}

این نمونه های کلاسیک را در نظر بگیرید:

\mathbf{R} \oplus \mathbf{R}است حلقه ریخت به تعداد تقسیم پیچیده ، همچنین در استفاده تجزیه و تحلیل فاصله .

\mathbf{C} \oplus \mathbf{C}جبر تزارین است که توسط جیمز کاکل در سال 1848 معرفی شد.

{\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H}،}به نام split-biquaternions ، توسط ویلیام کینگدون کلیفورد در سال 1873 معرفی شد.

جوزف ودربرن از مفهوم مجموع مستقیم جبرها در طبقه بندی اعداد ابرمختلط استفاده کرد . به سخنرانی‌های او در مورد ماتریس‌ها (1934)، صفحه 151 نگاه کنید.\lambda (x \oplus y) = \lambda x \oplus \lambda y در حالی که برای ضرب مستقیم ممکن است یک فاکتور اسکالر به طور متناوب با قطعات جمع آوری شود، اما نه هر دو: {\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).\!} Ian R. Porteous از سه مجموع مستقیم بالا برای نشان دادن آنها استفاده می کند{\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}به عنوان حلقه های اسکالر در تحلیل او از جبرهای کلیفورد و گروه های کلاسیک (1995).

ساختاری که در بالا توضیح داده شد، و همچنین استفاده Wedderburn از اصطلاحات مجموع مستقیم و ضرب مستقیم از قراردادی متفاوت از آنچه در تئوری دسته بندی است پیروی می کند . از نظر مقوله‌ای، مجموع مستقیم ودربرن یک ضرب طبقه‌ای است ، در حالی که حاصلضرب مستقیم ودربرن یک ضرب مشترک (یا مجموع طبقه‌ای) است که (برای جبرهای جابه‌جایی) در واقع با حاصلضرب تانسور جبرها مطابقت دارد .

جبرهای ترکیبی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جبر ترکیبی

جبر ترکیبی {\displaystyle (A,\,^{\ast },n)}یک IS جبر بیش از یک میدان آ،یک دگرگونی {\displaystyle \,^{\ast }\,} و یک "هنجار" {\displaystyle n(x)=xx^{*}.} هر رشته ای ک باعث ایجاد یک سری جبرهای ترکیبی می شود که با شروع می شوند ک، و دگرگونی بی اهمیت، به طوری که {\displaystyle n(x)=x^{2}.} مرحله استقرایی در مجموعه شامل تشکیل مجموع مستقیم است A\plus A و با استفاده از involution جدید {\displaystyle (x,y)^{*}=x^{*}-y.}

لئونارد دیکسون توسعه این ساخت و ساز دو برابر چهارگان برای اعداد Cayley و روش دو برابر شامل مجموع مستقیمA\plus Aساخت کیلی – دیکسون نامیده می شود . در مثال شروع با{\displaystyle K=\mathbb {R}،}این سری اعداد مختلط ، کواترنیون ها، اکتونیون ها و سدنیون ها را تولید می کند . شروع با{\displaystyle K=\mathbb {C} } و هنجار {\displaystyle n(z)=z^{2}،}این سری با اعداد دو مختلط ، دو کواترنیون ها و بیوکتونیون ها ادامه می یابد .

ماکس زورن متوجه شد که ساختار کلاسیک کیلی- دیکسون ساخت برخی جبرهای ترکیبی را که به عنوان زیرجبرهای واقعی در{\displaystyle \left(\mathbb {C},z^{2}\right)}سری، به ویژه تقسیم octonions . یک ساختار اصلاح شده Cayley-Dickson که هنوز بر اساس استفاده از جمع مستقیم استA\plus A از یک جبر پایه آ، از آن زمان برای نمایش این مجموعه استفاده شده است {\displaystyle \mathbb {R}،} تعداد تقسیم پیچیده ، تقسیم چهارگان ، و تقسیم octonions.

مجموع مستقیم فضاهای باناخ [ ویرایش ]

 

مجموع مستقیم دو فضای باناخ ایکس و Y مجموع مستقیم است ایکس و Y به عنوان فضاهای برداری، با هنجار در نظر گرفته می شود {\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}} برای همه x\در X و {\displaystyle y\in Y.}

به طور کلی، اگر X_{i} مجموعه ای از فضاهای باناخ است که در آن منعبور از مجموعه شاخص من، سپس مجموع مستقیم {\displaystyle \oplus _{i\in I}X_{i}} یک مدول متشکل از تمام توابع است ایکس تعریف شده است من به طوری که {\displaystyle x(i)\در X_{i}} برای همه من در من و

 

{\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}

 

هنجار با مجموع بالا داده می شود. مجموع مستقیم با این هنجار دوباره فضای باناخ است.

به عنوان مثال، اگر مجموعه شاخص را در نظر بگیریم {\displaystyle I=\mathbb {N} } و {\displaystyle X_{i}=\mathbb {R}،} سپس مجموع مستقیم {\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}} فضا است {\displaystyle \ell _{1}،} که از تمام دنباله ها تشکیل شده است \ چپ (a_{i}\راست) واقعیات با هنجار محدود {\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}

یک زیرفضای بسته آ از فضای باناخ ایکساست تکمیل صورتی که یکی دیگر فضا بسته وجود داردب از ایکس به طوری که ایکس برابر با مجموع مستقیم داخلی است A\plus B.توجه داشته باشید که هر زیرفضای بسته تکمیل نمی شود. به عنوان مثالج_{0} در تکمیل نشده است {\displaystyle \ell ^{\infty }.}

مجموع مستقیم مدول ها با فرم های دوخطی [ ویرایش ]

اجازه دهید {\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}خانواده ای باشد که توسطمناز مدول های مجهز به فرم های دو خطی . مجموع مستقیم متعامد مجموع مستقیم مدول با فرم دارای دو خط مستقیم استبتعریف شده توسط [1]

 

{\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i }\left({x_{i},y_{i}}\right)}که در آن جمع حتی برای مجموعه های شاخص بی نهایت معنی دارد من زیرا فقط به طور محدود بسیاری از اصطلاحات غیر صفر هستند.

 

مجموع مستقیم فضاهای هیلبرت [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: هسته مثبت - قطعی § ارتباط با فضاهای هیلبرت هسته در حال تولید و نقشه های ویژگی

اگر به پایان می رسد بسیاری از فضاهای هیلبرت }}{\displaystyle H_{1},\ldots,H_{n}} داده می شود، می توان مجموع مستقیم متعامد آنها را مانند بالا ساخت (از آنجایی که آنها فضاهای برداری هستند) و حاصلضرب داخلی را به صورت زیر تعریف کرد:

 

{\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots,y_{n}\right)\right\rangle =\ langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}

 

مجموع مستقیم حاصل یک فضای هیلبرت است که شامل فضاهای هیلبرت داده شده به عنوان زیرفضاهای متعامد متقابل است .

اگر بی نهایت فضاهای هیلبرت سلام} برای من در منداده می شود، ما می توانیم همان ساخت و ساز را انجام دهیم. توجه داشته باشید که هنگام تعریف حاصلضرب داخلی، فقط تعداد محدودی از جمع غیر صفر خواهند بود. با این حال، نتیجه فقط یک فضای داخلی ضرب خواهد بود و لزوما کامل نخواهد بود . سپس مجموع مستقیم فضاهای هیلبرت را تعریف می کنیمسلام} تا تکمیل کننده این فضای ضرب درونی باشد.

به طور متناوب و معادل، می توان مجموع مستقیم فضاهای هیلبرت را تعریف کرد سلام} به عنوان فضای همه توابع α با دامنه من، به طوری که \alpha(i) عنصری است از سلام} برای هر من در من و:

 

{\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}

 

حاصلضرب داخلی دو تابع α و β به صورت زیر تعریف می شود:

 

{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}

 

این فضا کامل است و ما یک فضای هیلبرت دریافت می کنیم.

به عنوان مثال، اگر مجموعه شاخص را در نظر بگیریم {\displaystyle I=\mathbb {N} } و {\displaystyle X_{i}=\mathbb {R}،} سپس مجموع مستقیم {\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}} فضا است {\displaystyle \ell _{2}،} که از تمام دنباله ها تشکیل شده است \ چپ (a_{i}\راست) واقعیات با هنجار محدود {\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}با مقایسه این با مثال برای فضاهای باناخ ، می بینیم که مجموع مستقیم فضای باناخ و مجموع مستقیم فضای هیلبرت لزوماً یکسان نیستند. اما اگر تعداد مجموع‌های بسیار محدودی وجود داشته باشد، مجموع مستقیم فضای باناخ با مجموع مستقیم فضای هیلبرت هم شکل است، اگرچه هنجار متفاوت خواهد بود.

هر فضای هیلبرت به یک مجموع مستقیم از تعداد زیادی کپی از میدان پایه هم شکل است، که یا {\displaystyle \mathbb {R} {\text{ یا }}\mathbb {C}.} این معادل این ادعاست که هر فضای هیلبرت مبنایی متعارف دارد. به طور کلی، هر زیرفضای بسته یک فضای هیلبرت تکمیل می شود زیرا یک مکمل متعامد را می پذیرد . برعکس، قضیه Lindenstrauss-Tzafriri بیان می کند که اگر هر زیرفضای بسته یک فضای باناخ تکمیل شود، فضای باناخ هم شکل (از نظر توپولوژیکی) به فضای هیلبرت است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

​

​منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_sum_of_modules