من سعی می کنم این را ثابت کنم ( x ، y)یک ایده آل حداکثری است Q [x،y]. از آنجایی که یک ایده آل استI⊆ R اگر و فقط اگر حداکثر است R / Iیک رشته است، برای اثبات آن کافی است Q [x،y] / ( x ، y)یک میدان است.
اجازه دهیدϕ : Q [ x , y] → X: هممورفیسم ارزیابی باشد که ارسال می کند p ( x ، y)به p ( 0 , 0 ). ϕϕ به وضوح surjective است و اگر ثابت کنم که هسته ϕ ایده آل است ( x ، y)، نتیجه با قضیه اول یکریختی دنبال می شود.

( x ، y) ⊆ Ke r ( ϕ ) واضح است، اما برای اثبات شمول معکوس، ایده I این است که یک چند جمله ای را انتخاب کنم p ( x ، y) ∈ Ke r ( ϕ ) و برای انجام تقسیم اقلیدسی از p ( x ، y) و X که در ( Q [ x ] )و ( Q [ y] ) به ترتیب. مسئله این است که هیچ یک از آنها حلقه چند جمله ای روی میدان نیستند. یک قضیه وجود دارد که می گوید اگر R جابجایی است و اگرR [ x ] پس PID است Rیک میدان است. از آنجایی که هیچ کدام [x]، نه Q [y]س[y] فیلدها هستند، نتیجه این است که هیچ کدام ( Q [ x ] ) [ y]، نه ( Q [ y] ) [ x ] PID هستند، بنابراین دامنه اقلیدسی نیستند.

بدیهی است که تقسیم اقلیدسی مسئله را حل نمی کند. اگر در نظر بگیریمp ( x ، y) به عنوان یک عنصر در (  [ y]Q [ x ] )و اگر تقسیم کنیم y، سپس یک ضریب بدست می آوریم q( x ، y)q و باقیمانده ای که هست 0 یا درجه 0 بر فراز ( [ y] Q [ x ] )، از این رو یک چند جمله ای است r ( x ) که در X فقط.

سپس، p ( x ، y) = yq( x ، y) + r ( x ) و فرضیه p ( 0 ، 0 ) = 0 این را تضمین نمی کند r ( x ) = 0. بنابراین، ما نمی توانیم به این نتیجه برسیمy تقسیم می کند p ( x ، y).

آیا راهی برای رفع این اثبات وجود دارد یا رویکرد دیگری برای این مسئله وجود دارد

https://math.stackexchange.com/questions/998205/maximal-ideal-in-mathbbqx-y