ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام آبان ۱۳۹۹ | 15:20

σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

بگذارید F یک خانواده دلخواه از زیرمجموعه های X باشد. کوچکترین جبر منحصر به فرد وجود دارد که شامل هر مجموعه ای در F است (حتی اگر F ممکن است یک جبر σ باشد یا نباشد). در واقع محل تقاطع تمام σ-جبری های حاوی F است . (به تقاطع های σ-جبرهای بالا مراجعه کنید.) این σ -جبر نشان داده می شود (σ ( F و جبر σ تولید شده توسط F نامیده می شود .

سپس( σ ( F از همه زیرمجموعه های X تشکیل شده است که می تواند از طریق عناصر F با تعداد قابل شماری از عملیات مکمل ، اتحاد و تقاطع ساخته شود. اگر F خالی باشد ، پس σ ( F ) = { X ، ∅ } ، زیرا یک اتحادیه و تقاطع خالی به ترتیب مجموعه خالی و مجموعه جهانی را تولید می کند.

برای یک مثال ساده ، مجموعه

X = {1، 2، 3}

را در نظر بگیرید. سپس σ -جبر تولید شده توسط زیرمجموعه واحد{1}

σ ({{1}}) = {∅ ، {1} ، {2 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3}}

است . توسط سوء استفاده از نماد ، وقتی که یک مجموعه از زیر مجموعه های تنها یک عنصر، ، یکی ممکن است ارسال σ ( ) به جای σ ({ }) اگر آن را روشن است که یک زیر مجموعه از X است . در مثال قبلی

σ ({1})

به جای

σ ({{1}}).

در واقع ، استفاده از

σ ( A 1 ، A 2 ، ...)

به معنای

σ ({ A 1 ، A 2 ، ...})

همچنین کاملاً رایج است.

خانواده های زیادی از زیرمجموعه ها وجود دارند که σ-جبری های مفید تولید می کنند. برخی از این موارد در اینجا ارائه شده است.

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

اگر f تابعی از مجموعه X به مجموعه Y است و B جبر σ از زیرمجموعه های Y است ، جبر σ تولید شده توسط تابع f ، نشان داده شده با

σ ( f ) ،

مجموعه تمام تصاویر معکوس است ج -1 ( S ) از مجموعه S در B . یعنی

$\ sigma (f) = \ {f ^ {- 1} (S) \ ، | \ ، S \ in B \}.$

یک تابع f از یک مجموعه X به یک مجموعه Y با توجه به یک جبر Σ از زیر مجموعه های X قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر σ ( f ) زیر مجموعه Σ باشد.

یک وضعیت مشترک، و درک به طور پیش فرض اگر B است به صراحت مشخص نشده است، هنگامی که Y است متریک و یا فضای توپولوژیک و B مجموعه ای از است مجموعه بورل در Y .

اگر f تابعی از X تا R n باشد ،( σ ( f توسط خانواده زیر مجموعه هایی تولید می شود که تصاویر معکوس فواصل / مستطیل ها در R n هستند :

$\ sigma (f) = \ sigma \ چپ (\ {f ^ {- 1} ((a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار (a_ {n} ، b_ {n}])): a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \} \ سمت راست).$

یک ویژگی مفید موارد زیر است. فرض کنید f یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( S ، Σ S ) و g یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( T ، Σ T ) است. اگر یک نقشه قابل اندازه گیری h از ( T ، Σ T ) تا ( S ، Σ S ) وجود داشته باشد به طوری که(( f ( x ) = h ( g ( x برای همه x ، سپس σ ( f ) ⊂ σ ( g) اگر S محدود یا قابل شمارش نامحدود باشد یا به طور کلی ، ( S ، Σ S ) یک فضای استاندارد بورل است (به عنوان مثال ، یک فضای متریک کامل قابل تفکیک با مجموعه های بورل مرتبط با آن) ، مکالمه نیز صادق است. [7] نمونه هایی از فضاهای استاندارد بورل شامل R N با مجموعه بورل و R ∞ با سیلندر σ جبر شرح زیر است.

بورل و σ-جبری لبگ [ ویرایش ]

یک مثال مهم جبر بورل بر روی هر فضای توپولوژیکی است : جبر σ تولید شده توسط مجموعه های باز (یا به طور معادل ، توسط مجموعه های بسته ). توجه داشته باشید که این جبر σ به طور کلی ، کل مجموعه توان نیست. برای یک مثال غیر پیش پا افتاده که مجموعه Borel نیست ، به مجموعه های ویتالی یا غیربورل مراجعه کنید .

در فضای اقلیدسی R N ، یکی دیگر از σ جبر از اهمیت: که از همه اندازه پذیر لبگ مجموعه. این جبر σ شامل مجموعه های بیشتری از جبر بورل در R n است و در تئوری ادغام ترجیح داده می شود ، زیرا فضای اندازه پذیر کاملی را می دهد .

محصول σ-جبر [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X_ {1} ، \ Sigma _ {1})$ و $(X_ {2} ، \ Sigma _ {2})$ دو فضای قابل اندازه گیری باشد. جبر σ برای فضای ضرب مربوطه $X_ {1} \ بار X_ {2}$ ضرب جبری نامیده می شود و چنین تعریف می شود

$\ Sigma _ {1} \ times \ Sigma _ {2} = \ sigma (\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}، B_ {2} \ in \ سیگما _ {2} \}).$

رعایت کنید $\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ در \ Sigma _ {1} ، B_ {2} \ در \ Sigma _ {2} \}$ یک سیستم π است

جبر بورل برای R n توسط مستطیل های نیمه نامحدود و توسط مستطیل های محدود تولید می شود. مثلا،

${\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ sigma \ سمت چپ (\ چپ \ {(- \ ضعیف ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ زمان (- \ ضعیف ، b_ {n}]: b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right) = \ sigma \ چپ (\ چپ \ {(a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار) (a_ {n} ، b_ {n}]: a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right).$

برای هر یک از این دو مثال ، خانواده مولد یک سیستم π است .

σ-جبر تولید شده توسط مجموعه های استوانه [ ویرایش ]

فرض کنید

${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} = \ {f: f {\ text {تابعی از}} \ mathbb {T} {\ text {به}} \ mathbb { R} \}}$

مجموعه ای از توابع با ارزش حقیقی در است ${\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})$ زیر مجموعه های بورل از R را نشان می دهد . برای هر ${\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}$ و ${\ displaystyle \ {B_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ یک زیر مجموعه سیلندر از X یک مجموعه کاملاً محدود است که به صورت تعریف شده است

$C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = \ {f \ در X: f (t_ {i}) \ در B_ {i} ، 1 \ leq i \ leq n \}.$

برای هر ${\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}$ ،

$\ {C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R }) ، 1 \ leq i \ leq n \}$

یک π است که یک جبر σ تولید می کند $\ textstyle \ Sigma _ {t_ {1} ، \ dots ، t_ {n}}$ . سپس خانواده زیر مجموعه ها

${\ mathcal {F}} _ {X} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {t_ {i} \ in \ mathbb {T}، i \ leq n} \ Sigma _ {{ t_ {1} ، \ نقاط ، t_ {n}}$

جبری است که استوانه σ-جبر را برای X تولید می کند . این σ جبر است زیرجبر از σ جبر بورل تعیین شده توسط توپولوژی ضرب از $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ محدود به X .

یک مورد خاص مهم این است که چه زمانی $\ mathbb {T}$ مجموعه اعداد طبیعی است و X مجموعه ای از توالی های با ارزش حقیقی است. در این حالت ، کافی است مجموعه های سیلندر را در نظر بگیریم

$C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = (B_ {1} \ بار \ cdots \ بار B_ {n} \ بار \ mathbb {R} ^ {\ نامعتبر}) \ cap X = \ {(x_ {1} ، x_ {2} ، \ نقطه ، x_ {n} ، x_ {n + 1} ، \ نقطه) \ در X: x_ {i} \ در B_ {i} ، 1 \ leq من \ leq n \} ،$

برای کدام

$\ سیگما _ {n} = \ سیگما (\ {C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ) ، 1 \ leq i \ leq n \})$

یک دنباله غیر کاهنده σ-جبری است.

σ-جبر تولید شده توسط متغیر تصادفی یا بردار [ ویرایش ]

فرض کنید $(\ امگا ، \ سیگما ، \ mathbb {P})$ یک فضای احتمال است . اگر $\ textstyle Y: \ امگا \ به \ mathbb {R} ^ {n}$ با توجه به جبر بورل در R n قابل اندازه گیری است و سپس Y را یک متغیر تصادفی ( n = 1 ) یا بردار تصادفی ( n > 1) می نامیم . جبر σ تولید شده توسط Y است

$\ sigma (Y) = \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \}.$

σ-جبر تولید شده توسط یک فرآیند تصادفی [ ویرایش ]

فرض کنید $(\ امگا ، \ سیگما ، \ mathbb {P})$ یک فضای احتمال است و $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ مجموعه توابع با ارزش واقعی در است $\ mathbb {T}$ . اگر $\ textstyle Y: \ Omega \ به X \ subset \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ با توجه به استوانه σ جبر قابل اندازه گیری است $\ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X})$ (به بالا مراجعه کنید) برای X ، سپس Y یک فرآیند تصادفی یا یک فرآیند تصادفی نامیده می شود . جبر σ تولید شده توسط Y است

$\ sigma (Y) = \ left \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X}) \ right \} = \ sigma (\ {Y ^ {-1} (A): A \ in {\ mathcal {F}} _ {X} \}) ،$

σ -جبر تولید شده توسط تصاویر معکوس مجموعه های استوانه.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام آبان ۱۳۹۹ | 15:19

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

σ جبر Σ فقط یک σ حلقه که شامل مجموعه جهانی X . [4] σ نیاز حلقه نمی شود یک σ جبر، به عنوان مثال زیر مجموعه های قابل اندازه گیری از صفر اندازه گیری Lebesgue در خط واقعی یک σ حلقه، اما نه یک σ جبر از خط واقعی است اندازه گیری بی نهایت و در نتیجه نمی تواند توسط اتحادیه قابل شمارش آنها حاصل شود. اگر به جای اندازه صفر ، زیرمجموعه قابل اندازه گیری از اندازه محدود Lebesgue گرفته شود ، اینها یک حلقه هستند اما یک انگشت σ نیستند ، زیرا خط واقعی را می توان توسط اتحادیه قابل شمارش آنها بدست آورد ، اما اندازه آن محدود نیست.

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

σ - جبرها گاهی اوقات با استفاده از حروف بزرگ خط ، یا حروف چاپی Fraktur نشان داده می شوند . بنابراین ( X ، Σ) ممکن است به عنوان نشان داده شود $\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathcal {F}})$ یا $\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathfrak {F}})$ .

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

یک جبر (یا میدان جداکننده σ ) قابل تفکیک یک جبر σ است ${\ mathcal {F}}$ این یک فضای قابل تفکیک است که به عنوان یک فضای متریک با متریک در نظر گرفته شود ${\ displaystyle \ rho (A، B) = \ mu (A {\ mathbin {\ مثلث}} B)}$ برای ${\ displaystyle A ، B \ in {\ mathcal {F}}}$ و یک معیار مشخص $\ mu$ (و با $\مثلث$ بودن تفاوت متقارن اپراتور). [5] توجه داشته باشید که هر جبر σ تولید شده توسط مجموعه قابل شمارش از مجموعه ها قابل تفکیک است ، اما برعکس لازم نیست. به عنوان مثال ، جبر Lebesgue قابل تفکیک است (از آنجا که هر مجموعه قابل اندازه گیری Lebesgue معادل برخی از مجموعه های Borel است) اما به طور قابل شمارش تولید نمی شود (از آنجا که اصالت آن بالاتر از پیوستار است).

یک فضای اندازه گیری قابل تفکیک دارای یک شبه سنجی طبیعی است که آن را به عنوان یک فضای شبه سنجی قابل تفکیک می کند . فاصله بین دو مجموعه به عنوان اندازه گیری اختلاف متقارن دو مجموعه تعریف شده است. توجه داشته باشید که اختلاف متقارن دو مجموعه مجزا می تواند اندازه صفر داشته باشد. بنابراین لازم نیست که شبه سنجی همانطور که در بالا تعریف شد ، یک معیار واقعی باشد. با این وجود ، اگر مجموعه هایی که اختلاف متقارن آنها دارای اندازه صفر است ، در یک کلاس معادل واحد شناسایی شوند ، می توان با استفاده از متریک القایی ، مجموعه ضریب حاصل را به درستی اندازه گرفت. اگر فضای اندازه گیری قابل تفکیک باشد ، می توان نشان داد که فضای متریک مربوطه نیز هست.

مثالهای ساده مبتنی بر مجموعه [ ویرایش ]

بگذارید X هر مجموعه ای باشد.

خانواده فقط متشکل از مجموعه خالی و مجموعه X است که جبر حداقل یا بی اهمیت σ بیش از X نامیده می شود .
مجموعه توانی از X ، به نام گسسته σ جبر .
مجموعه {∅ ، A ، A c ، X } یک جبر σ ساده است که توسط زیر مجموعه A تولید می شود .
مجموعه زیرمجموعه های X که قابل شمارش هستند یا مکمل های آنها قابل شمارش هستند ، یک جبر σ (که از مجموعه توان X متمایز است در صورتی که فقط در صورت غیر قابل شمارش بودن X باشد). این σ جبر تولید شده توسط است تک از X . توجه: "قابل شمارش" شامل متناهی یا خالی است.
مجموعه ای از تمام اتحادیه های مجموعه در یک شمارا پارتیشن از X σ-جبر است.

توقف زمان σ-جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: Σ-جبر τ-گذشته

یک زمان توقف $\ تاو$ می تواند تعریف کند $\ سیگما$ -جبر ${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ ، به اصطلاح $\ سیگما$ جبر τ-گذشته ، که در یک فضای احتمال فیلتر شده اطلاعات را تا زمان تصادفی توصیف می کند $\ تاو$ به این معنا که ، اگر فضای احتمال فیلتر شده به عنوان یک آزمایش تصادفی تفسیر شود ، حداکثر اطلاعاتی که می توان در مورد آزمایش یافت به طور خودسرانه اغلب تکرار آن تا زمان $\ تاو$ است {\ ${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ . [6]

ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام آبان ۱۳۹۹ | 15:19

محدودیت های مجموعه [ ویرایش ]

بسیاری از کاربردهای اندازه گیری ، مانند مفهوم احتمال همگرایی تقریباً مطمئن ، شامل محدودیت توالی مجموعه ها است . برای این امر ، تعطیلی در اتحادیه های قابل شمارش و تقاطع ها از اهمیت بالاتری برخوردار است. محدودیتهای تعیین شده به شرح زیر در جبرهای σ تعریف می شوند.

برتری حد یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

حد حداقل یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

اگر ، در واقع ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}،}$

سپس $\ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}$ به عنوان مجموعه مشترک وجود دارد.

زیر جبری [ ویرایش ]

به احتمال زیاد ، به ویژه هنگامی که انتظار مشروط در میان باشد ، مجموعه ای مربوط به مجموعه هایی است که فقط بخشی از تمام اطلاعات ممکن را که می توانند مشاهده شوند ، نشان می دهند. این اطلاعات جزئی را می توان با σ -جبر کوچکتر توصیف کرد که زیرمجموعه اصلی جبر اصلی است. این شامل مجموعه زیرمجموعه هایی است که فقط مربوط به اطلاعات جزئی هستند و فقط توسط آنها تعیین می شود. یک مثال ساده برای نشان دادن این ایده کافی است.

تصور کنید که شما و شخص دیگر در حال شرط بندی در یک بازی هستید که شامل ورق زدن مکرر یک سکه و مشاهده اینکه آیا سرها ( H ) یا Tails ( T ) بالا می آید ، هستید . از آنجایی که شما و حریفتان بی نهایت ثروتمند هستید ، مدت دوام بازی محدودیتی ندارد. این بدان معنی است که فضای نمونه Ω باید از تمام دنباله های بی نهایت H یا T تشکیل شده باشد :

${\ displaystyle \ Omega = \ {H، T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}، x_ {2}، x_ {3}، \ dots): x_ {i} \ in \ {H ، T \} ، من \ geq 1 \}.}$

با این حال ، ممکن است بخواهید بعد از n تلنگر سکه ، استراتژی شرط بندی خود را قبل از تلنگر بعدی تعیین یا اصلاح کنید. اطلاعات مشاهده شده در آن نقطه می تواند در شرایط از 2 شرح N احتمالات را برای اولین N پایین بپرد. به طور رسمی ، از آنجا که شما نیاز دارید از زیر مجموعه های Ω استفاده کنید ، این به عنوان σ -جبر رمزگذاری می شود

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H، T \} ^ {\ infty}: A \ subset \ {H، T \} ^ {n} \}. }$

پس آن را مشاهده کنید

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {2} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {3} \ زیرمجموعه \ cdots \ زیرمجموعه {\ mathcal { G}} _ {\ ناکافی} ،}$

جایی که ${\ mathcal {G}} _ {\ نامعتبر}$ کوچکترین σ -جبر است که شامل تمام موارد دیگر است.

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید X مقداری تنظیم شود و بگذارید ${\ mathcal {P}} (X)$ مجموعه توانی X آن را نشان می دهد . سپس یک زیر مجموعه ${\ displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$ در صورتی که سه ویژگی زیر را برآورده کند ، σ -جبر نامیده می شود : [3]

X در Σ است ، و X به عنوان مجموعه جهانی در زمینه در نظر گرفته می شود .
Σ تحت مکمل بسته می شود : اگر A در Σ باشد ، مکمل آن نیز X \ A است .
Σ تحت اتحادیه های قابل شمارش بسته است : اگر A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... در Σ باشد ، A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ in نیز باشد.

از این ویژگی ها نتیجه می شود که جبر σ نیز در اشتراک های قابل شمارش بسته می شود (با اعمال قوانین دی مورگان ).

همچنین نتیجه می شود که مجموعه خالی in در Σ است ، زیرا توسط (1) X در Σ است و (2) ادعا می کند که مکمل آن ، مجموعه خالی نیز در Σ است. علاوه بر این ، از آنجا که { X ، ∅ } شرایط (3) را نیز برآورده می کند ، از این رو نتیجه می شود که { X ، σ} کوچکترین σ جبر ممکن در X است . بزرگترین σ-جبر ممکن در X 2 X است : ${\ mathcal {P}} (X)$ .

عناصر جبر σ را مجموعه قابل اندازه گیری می نامند . یک جفت مرتب ( X ، Σ) ، جایی که X یک مجموعه است و Σ یک جبر σ بیش از X است ، یک فضای قابل اندازه گیری نامیده می شود . اگر پیش اندازه هر مجموعه قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری باشد ، به یک تابع بین دو فضای قابل اندازه گیری یک تابع قابل اندازه گیری گفته می شود. مجموعه فضاهای قابل اندازه گیری ، دسته ای را تشکیل می دهد که توابع قابل اندازه گیری را به صورت مورفیسم در اختیار شما قرار می دهد . اقدامات به عنوان انواع خاصی از توابع از σ تعریف می شوند-جبر به [0 ،].

جبر σ هم یک سیستم π است و هم یک سیستم Dynkin ( سیستم λ). مکالمه نیز با قضیه دینکین درست است (در زیر).

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

این قضیه (یا قضیه کلاس یکنواخت مرتبط ) ابزاری اساسی برای اثبات بسیاری از نتایج در مورد خصوصیات جبرهای خاص σ است. این از ماهیت دو کلاس ساده مجموعه ، یعنی زیر استفاده می کند.

π-سیستم P مجموعه ای از زیر مجموعه های X است که تحت بسیاری از اشتراک متناهی بسته است، و

سیستم Dynkin (یا λ سیستم) D مجموعه ای از زیر مجموعه های X که شامل X و تحت مکمل و تحت اشتراک شمارا بسته است متلاشی شدن زیر مجموعه.

قضیه π-λ Dynkin می گوید ، اگر P یک سیستم π است و D یک سیستم Dynkin است که حاوی P است ، جبر σ σ ( P ) تولید شده توسط P در D موجود است . از آنجا که برخی از سیستم های π کلاسهای نسبتاً ساده ای هستند ، ممکن است سخت باشد که همه مجموعه های P از ویژگی مورد نظر لذت ببرند در حالی که از طرف دیگر ، نشان می دهد مجموعه D از همه زیر مجموعه های این ویژگی یک سیستم Dynkin است همچنین سرراست باشید قضیه π-λ Dynkin نشان می دهد که همه مجموعه های (σ ( Pاز ویژگی برخوردار هستند ، از انجام بررسی آن برای مجموعه دلخواه در σ ( P)

یکی از اساسی ترین کاربردهای قضیه π-λ نشان دادن برابری معیارها یا انتگرال های جداگانه تعریف شده است. به عنوان مثال ، برای معادل سازی احتمال یک متغیر تصادفی X با انتگرال لبگ -استیلتجس معمولاً با محاسبه احتمال مرتبط است ، استفاده می شود:

$\ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {A} \، F (dx)$ برای همه A در جبر بورل در R ،

که در آن F ( x ) تابع توزیع تجمعی برای X است ، تعریف شده در R ، در حالی که $\ mathbb {P}$ یک اندازه گیری احتمال است که در یک σ -جبر از زیر مجموعه برخی از فضای نمونه Ω تعریف شده است.

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

فرض کنید $\ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}$ مجموعه ای از جبرهای σ بر روی فضای X است .

تقاطع مجموعه ای از σ -جبر یک جبر است. برای تأکید بر شخصیت آن به عنوان σ -جبر ، اغلب با این مشخص می شود:

$\ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.$

طرح اثبات: فرض کنید Σ * اشتراک را نشان دهد. از آنجا که X در هر Σ α است ، Σ * خالی نیست. بستن تحت اجتماع های مکمل و قابل شمارش برای هر Σ α حاکی از این است که برای Σ ∗ نیز باید همین امر صادق باشد . بنابراین، Σ * σ-جبر است.

اجتماع مجموعه ای از جبرها به طور کلی σ -جبر ، یا حتی جبر نیست ، اما یک جبر σ تولید می کند که به عنوان پیوند شناخته می شود و به طور معمول مشخص می شود

$\ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).$

یک سیستم π که اتصال را ایجاد می کند

${\ mathcal {P}} = \ چپ \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ in \ Sigma _ {\ alpha _ {i}} ، \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}} ، \ n \ geq 1 \ right \}.$

Sketch of Proof: با حالت n = 1 ، مشاهده می شود که هر کدام $\ Sigma _ {\ alpha} \ زیرمجموعه {\ mathcal {P}}$ ، بنابراین

$\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ subset {\ mathcal {P}}.$

این دلالت می کنه که

$\ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست) \ زیرمجموعه \ sigma ({\ mathcal {P}})$

با تعریف σ -جبر تولید شده توسط مجموعه ای از زیر مجموعه ها. از سوی دیگر،

${\ mathcal {P}} \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست)$

که با قضیه π-λ دینکین بر آن دلالت دارد

$\ sigma ({\ mathcal {P}}) \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست)$

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

فرض کنید Y یک زیرمجموعه از X است و اجازه دهید ( X ، Σ) یک فضای قابل اندازه گیری باشد.

مجموعه { Y ∩ B : B ∈ Σ} یک جبر σ از زیر مجموعه های Y است .
فرض کنید ( Y ، Λ) یک فضای قابل اندازه گیری است. مجموعه { A ⊂ X : A ∩ Y ∈ Λ} یک جبر σ از زیر مجموعه های X است .

ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام آبان ۱۳۹۹ | 15:18

در تجزیه و تحلیل ریاضی و در نظریه احتمال ، یک σ جبر (همچنین σ میدان ) در یک مجموعه X است مجموعه Σ از زیر مجموعه های از X است که شامل X خود را، بسته تحت مکمل ، است قابل شمارش اتحادیه .

این تعریف حاکی از آن است که زیرمجموعه خالی را نیز شامل می شود و در تقاطع های قابل شمارش بسته است .

جفت ( X ، Σ) را فضای قابل اندازه گیری یا فضای بورل می نامند .

جبر σ یک نوع جبر مجموعه است . جبر و مقابله از مجموعه نیاز دارد، تنها به بسته می شود تحت اتحادیه و یا تقاطع از متناهی بسیاری از زیر مجموعه، یک شرط ضعیف تر است. [1]

استفاده اصلی از جبرها در تعریف اقدامات است . به طور خاص ، مجموعه آن دسته از زیرمجموعه هایی که معیار مشخصی برای آنها تعریف شده است ، لزوماً جبر σ است. این مفهوم در تحلیل ریاضی به عنوان پایه و اساس ادغام Lebesgue و در نظریه احتمال ، که در آن به عنوان مجموعه رویدادهایی که می توان احتمالات را به آنها اختصاص داد ، تفسیر می شود. همچنین ، به احتمال زیاد ، σ-جبری ها در تعریف انتظار مشروط محوری هستند .

در آمار ، جبرهای σ (ج) برای تعریف ریاضی رسمی آماری کافی مورد نیاز است ، [2] به ویژه هنگامی که آمار یک تابع یا یک فرایند تصادفی است و مفهوم چگالی شرطی قابل استفاده نیست.

اگر

X = { a ، b ، c ، d }

، یک جبر σ در X ممکن است

Σ = {∅ ، { a ، b } ، { c ، d } ، { a ، b ، c ، d }} ،

که ∅ است مجموعه تهی . به طور کلی ، یک جبر محدود همیشه یک جبر σ است.

اگر { A 1 ، A 2 ، A 3 ،…} یک پارتیشن قابل شمارش از X باشد ، مجموعه تمام اتحادیه های مجموعه در پارتیشن (از جمله مجموعه خالی) یک جبر σ است.

یک مثال مفیدتر مجموعه زیرمجموعه های خط واقعی است که با شروع با تمام بازه های زمانی باز و اضافه کردن در تمام اتحادیه های قابل شمارش ، تقاطع های قابل شمارش و مکمل های نسبی و ادامه این روند (با تکرار نامحدود از طریق تمام دستورالعمل های قابل شمارش ) تا زمان بسته شدن مربوطه خواص به دست می آیند - جبر σ تولید شده توسط این فرآیند به عنوان جبر بورل در خط واقعی شناخته می شود ، و همچنین می تواند به عنوان کوچکترین (به عنوان "درشت ترین") σ جبر شامل تمام مجموعه های باز ، یا به طور معادل شامل همه مجموعه های بسته اندازه گیری نظریه و بنابراین نظریه احتمال مدرن اساسی است، و یک ساختار مرتبط معروف به سلسله مراتب بورل با تئوری مجموعه توصیفی ارتباط دارد.

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

حداقل سه محرک اصلی برای σ-جبر وجود دارد: تعریف اقدامات ، دستکاری محدودیت مجموعه ها و مدیریت اطلاعات جزئی که با مجموعه مشخص می شوند.

اندازه گیری [ ویرایش ]

اندازه گیری در X است تابع است که یک غیر منفی عدد حقیقی به زیر مجموعه های X ؛ می توان تصور کرد که این مفهوم دقیق "اندازه" یا "حجم" برای مجموعه ها است. ما می خواهیم اندازه اتحادیه مجموعه های جدا از هم جمع اندازه های منفرد آنها باشد ، حتی برای یک توالی نامحدود از مجموعه های جدا از هم .

یکی می خواهد به هر زیرمجموعه X یک اندازه اختصاص دهد ، اما در بسیاری از تنظیمات طبیعی ، این امکان وجود ندارد. به عنوان مثال ، بدیهی انتخاب به این معنی است که وقتی اندازه در نظر گرفته شده مفهوم عادی طول برای زیرمجموعه های خط واقعی است ، مجموعه هایی وجود دارند که هیچ اندازه ای برای آنها وجود ندارد ، به عنوان مثال مجموعه های ویتالی . به همین دلیل ، در عوض مجموعه کوچکتری از زیر مجموعه های ممتاز X در نظر گرفته می شود. این زیر مجموعه ها را مجموعه های قابل اندازه گیری می نامند. آنها تحت عملیاتی بسته می شوند که انتظار می رود مجموعه های قابل اندازه گیری باشد. یعنی مکمل یک مجموعه قابل اندازه گیری یک مجموعه قابل اندازه گیری است و اتحادیه قابل شمارش مجموعه های قابل اندازه گیری یک مجموعه قابل اندازه گیری است. مجموعه های غیرخالی مجموعه هایی که دارای این خصوصیات هستند ، جبری ها σ نامیده می شوند.

σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه سی ام آبان ۱۳۹۹ | 14:13

این تعریف حاکی از آن است که زیرمجموعه خالی را نیز شامل می شود و در تقاطع های قابل شمارش بسته است .

جفت ( X ، Σ) را فضای قابل اندازه گیری یا فضای بورل می نامند .

اگر

X = { a ، b ، c ، d }

، یک جبر σ در X ممکن است

Σ = {∅ ، { a ، b } ، { c ، d } ، { a ، b ، c ، d }} ،

که ∅ است مجموعه تهی . به طور کلی ، یک جبر محدود همیشه یک جبر σ است.

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

اندازه گیری [ ویرایش ]

محدودیت های مجموعه [ ویرایش ]

برتری حد یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

حد حداقل یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

اگر ، در واقع ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}،}$

سپس $\ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}$ به عنوان مجموعه مشترک وجود دارد.

زیر جبری [ ویرایش ]

به احتمال زیاد ، به ویژه هنگامی که انتظار مشروط در میان باشد ، مجموعه ای مربوط به مجموعه هایی است که فقط بخشی از تمام اطلاعات ممکن را که می توانند مشاهده شوند ، نشان می دهند. این اطلاعات جزئی را می توان با جبر σ کوچکتر توصیف کرد که زیرمجموعه اصلی جبر اصلی است. این شامل مجموعه زیرمجموعه هایی است که فقط مربوط به اطلاعات جزئی هستند و فقط توسط آنها تعیین می شود. یک مثال ساده برای نشان دادن این ایده کافی است.

تصور کنید که شما و شخص دیگر در حال شرط بندی در یک بازی هستید که شامل ورق زدن مکرر یک سکه و مشاهده اینکه آیا سرها ( H ) یا Tails ( T ) بالا می آید ، هستید . از آنجایی که شما و حریفتان بی نهایت ثروتمند هستید ، مدت دوام بازی محدودیتی ندارد. این بدان معنی است که فضای نمونه Ω باید از تمام توالی های بی نهایت H یا T تشکیل شده باشد :

${\ displaystyle \ Omega = \ {H، T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}، x_ {2}، x_ {3}، \ dots): x_ {i} \ in \ {H ، T \} ، من \ geq 1 \}.}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H، T \} ^ {\ infty}: A \ subset \ {H، T \} ^ {n} \}. }$

پس آن را مشاهده کنید

جایی که ${\ mathcal {G}} _ {\ نامعتبر}$ کوچکترین جبر σ است که شامل تمام موارد دیگر است.

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید X مقداری تنظیم شود و بگذارید ${\ mathcal {P}} (X)$ مجموعه قدرت آن را نشان می دهد . سپس یک زیر مجموعه ${\ displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$ در صورتی که سه ویژگی زیر را برآورده کند ، جبر σ نامیده می شود : [3]

X در Σ است ، و X به عنوان مجموعه جهانی در زمینه زیر در نظر گرفته می شود .
Σ تحت مکمل بسته می شود : اگر A در Σ باشد ، مکمل آن نیز X \ A است .
Σ تحت اتحادیه های قابل شمارش بسته است : اگر A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... در Σ باشد ، A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ in نیز باشد.

از این ویژگی ها نتیجه می شود که جبر σ نیز در تقاطع های قابل شمارش بسته می شود (با اعمال قوانین دی مورگان ).

جبر σ هم یک سیستم π است و هم یک سیستم Dynkin ( سیستم λ). مکالمه نیز با قضیه دینکین درست است (در زیر).

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

π-سیستم P مجموعه ای از زیر مجموعه های X است که تحت finitely بسیاری از تقاطع بسته است، و

سیستم Dynkin (یا λ سیستم) D مجموعه ای از زیر مجموعه های X که شامل X و تحت مکمل و تحت اتحادیه شمارا از بسته است متلاشی شدن زیر مجموعه.

قضیه π-λ Dynkin می گوید ، اگر P یک سیستم π است و D یک سیستم Dynkin است که حاوی P است ، جبر σ σ ( P ) تولید شده توسط P در D موجود است . از آنجا که برخی از سیستم های π کلاسهای نسبتاً ساده ای هستند ، ممکن است سخت باشد که همه مجموعه های P از ویژگی مورد نظر لذت ببرند در حالی که از طرف دیگر ، نشان می دهد مجموعه D از همه زیر مجموعه های این ویژگی یک سیستم Dynkin است همچنین سرراست باشید قضیه π-λ Dynkin نشان می دهد که همه مجموعه های σ ( P ) از ویژگی برخوردار هستند ، از انجام بررسی آن برای مجموعه دلخواه در σ ( P)

یکی از اساسی ترین کاربردهای قضیه π-λ نشان دادن برابری معیارها یا انتگرال های جداگانه تعریف شده است. به عنوان مثال ، برای معادل سازی احتمال یک متغیر تصادفی X با انتگرال Lebesgue-Stieltjes که معمولاً با محاسبه احتمال مرتبط است ، استفاده می شود:

$\ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {A} \، F (dx)$ برای همه A در جبر بورل در R ،

که در آن F ( x ) تابع توزیع تجمعی برای X است ، تعریف شده در R ، در حالی که $\ mathbb {P}$ یک اندازه گیری احتمال است که در یک جبر σ از زیر مجموعه برخی از فضای نمونه Ω تعریف شده است.

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

فرض کنید $\ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}$ مجموعه ای از جبرهای σ بر روی فضای X است .

تقاطع مجموعه ای از جبرها σ یک جبر است. برای تأکید بر شخصیت آن به عنوان جبر σ ، اغلب با این مشخص می شود:

$\ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.$

طرح اثبات: بگذارید Σ ∗ تقاطع را نشان دهد. از آنجا که X در هر Σ α است ، Σ ∗ خالی نیست. بستن تحت اتحادیه های مکمل و قابل شمارش برای هر Σ α حاکی از این است که برای Σ ∗ نیز باید همین امر صادق باشد . بنابراین، Σ * σ-جبر است.

اتحادیه مجموعه ای از جبرها به طور کلی جبر σ ، یا حتی جبر نیست ، اما یک جبر σ تولید می کند که به عنوان پیوند شناخته می شود و به طور معمول مشخص می شود

$\ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).$

یک سیستم π که اتصال را ایجاد می کند

${\ mathcal {P}} = \ چپ \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ in \ Sigma _ {\ alpha _ {i}} ، \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}} ، \ n \ geq 1 \ right \}.$

Sketch of Proof: با حالت n = 1 ، مشاهده می شود که هر کدام $\ Sigma _ {\ alpha} \ زیرمجموعه {\ mathcal {P}}$ ، بنابراین

$\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ subset {\ mathcal {P}}.$

این دلالت می کنه که

$\ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست) \ زیرمجموعه \ sigma ({\ mathcal {P}})$

با تعریف جبر σ تولید شده توسط مجموعه ای از زیر مجموعه ها. از سوی دیگر،

${\ mathcal {P}} \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست)$

که با قضیه π-λ دینکین بر آن دلالت دارد

$\ sigma ({\ mathcal {P}}) \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست)$

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

فرض کنید Y یک زیرمجموعه از X است و اجازه دهید ( X ، Σ) یک فضای قابل اندازه گیری باشد.

مجموعه { Y ∩ B : B ∈ Σ} یک جبر σ از زیر مجموعه های Y است .
فرض کنید ( Y ، Λ) یک فضای قابل اندازه گیری است. مجموعه { A ⊂ X : A ∩ Y ∈ Λ} یک جبر σ از زیر مجموعه های X است .

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

مثالهای ساده مبتنی بر مجموعه [ ویرایش ]

بگذارید X هر مجموعه ای باشد.

خانواده فقط متشکل از مجموعه خالی و مجموعه X است که جبر حداقل یا بی اهمیت σ بیش از X نامیده می شود .
مجموعه توانی از X ، به نام گسسته σ جبر .
مجموعه {∅ ، A ، A c ، X } یک جبر σ ساده است که توسط زیر مجموعه A تولید می شود .
مجموعه زیرمجموعه های X که قابل شمارش هستند یا مکمل های آنها قابل شمارش هستند ، یک جبر σ (که از مجموعه توان X متمایز است در صورتی که فقط در صورت غیر قابل شمارش بودن X باشد). این σ جبر تولید شده توسط است تک از X . توجه: "قابل شمارش" شامل متناهی یا خالی است.
مجموعه ای از تمام اتحادیه های مجموعه در یک شمارا پارتیشن از X σ-جبر است.

توقف زمان σ-جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: Σ-جبر τ-گذشته

σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

بگذارید F یک خانواده دلخواه از زیرمجموعه های X باشد. کوچکترین جبر منحصر به فرد وجود دارد که شامل هر مجموعه ای در F است (حتی اگر F ممکن است یک جبر σ باشد یا نباشد). در واقع محل تقاطع تمام σ-جبری های حاوی F است . (به تقاطع های σ-جبرهای بالا مراجعه کنید.) این جبر σ نشان داده می شود σ ( F ) و جبر σ تولید شده توسط F نامیده می شود .

سپس σ ( F ) از همه زیرمجموعه های X تشکیل شده است که می تواند از طریق عناصر F با تعداد قابل شماری از عملیات مکمل ، اتحاد و تقاطع ساخته شود. اگر F خالی باشد ، پس σ ( F ) = { X ، ∅ } ، زیرا یک اتحادیه و تقاطع خالی به ترتیب مجموعه خالی و مجموعه جهانی را تولید می کند.

برای یک مثال ساده ، مجموعه X = {1، 2، 3} را در نظر بگیرید. سپس جبر σ تولید شده توسط زیرمجموعه واحد {1} σ ({{1}}) = {∅ ، {1} ، {2 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3}} است . توسط سوء استفاده از نماد ، وقتی که یک مجموعه از زیر مجموعه های تنها یک عنصر، ، یکی ممکن است ارسال σ ( ) به جای σ ({ }) اگر آن را روشن است که یک زیر مجموعه از است X . در مثال قبلی σ ({1}) به جای σ ({{1 1}). در واقع ، استفاده از σ ( A 1 ، A 2 ، ...) به معنای σ ({ A 1 ، A 2 ، ...}) همچنین کاملاً رایج است.

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

اگر f تابعی از مجموعه X به مجموعه Y است و B جبر σ از زیرمجموعه های Y است ، جبر σ تولید شده توسط تابع f ، نشان داده شده با σ ( f ) ، مجموعه تمام تصاویر معکوس است ج -1 ( S ) از مجموعه S در B . یعنی

$\ sigma (f) = \ {f ^ {- 1} (S) \ ، | \ ، S \ in B \}.$

اگر f تابعی از X تا R n باشد ، σ ( f ) توسط خانواده زیر مجموعه هایی تولید می شود که تصاویر معکوس فواصل / مستطیل ها در R n هستند :

$\ sigma (f) = \ sigma \ چپ (\ {f ^ {- 1} ((a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار (a_ {n} ، b_ {n}])): a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \} \ سمت راست).$

یک ویژگی مفید موارد زیر است. فرض کنید f یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( S ، Σ S ) و g یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( T ، Σ T ) است. اگر یک نقشه قابل اندازه گیری h از ( T ، Σ T ) تا ( S ، Σ S ) وجود داشته باشد به طوری که f ( x ) = h ( g ( x )) برای همه x ، سپس σ ( f ) ⊂ σ ( g) اگر S محدود یا قابل شمارش نامحدود باشد یا به طور کلی ، ( S ، Σ S ) یک فضای استاندارد بورل است (به عنوان مثال ، یک فضای متریک کامل قابل تفکیک با مجموعه های Borel مرتبط با آن) ، مکالمه نیز صادق است. [7] نمونه هایی از فضاهای استاندارد بورل شامل R N با مجموعه بورل و R ∞ با سیلندر σ جبر شرح زیر است.

بورل و Lebesgue σ-جبری [ ویرایش ]

در فضای اقلیدسی R N ، یکی دیگر از σ جبر از اهمیت: که از همه اندازه گیری لبسگو مجموعه. این جبر σ شامل مجموعه های بیشتری از جبر بورل در R n است و در تئوری ادغام ترجیح داده می شود ، زیرا فضای اندازه گیری کاملی را می دهد .

محصول σ-جبر [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X_ {1} ، \ Sigma _ {1})$ و $(X_ {2} ، \ Sigma _ {2})$ دو فضای قابل اندازه گیری باشد. جبر σ برای فضای محصول مربوطه $X_ {1} \ بار X_ {2}$ محصول جبری نامیده می شود و توسط آن تعریف می شود

$\ Sigma _ {1} \ times \ Sigma _ {2} = \ sigma (\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}، B_ {2} \ in \ سیگما _ {2} \}).$

رعایت کنید $\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ در \ Sigma _ {1} ، B_ {2} \ در \ Sigma _ {2} \}$ یک سیستم π است

جبر بورل برای R n توسط مستطیل های نیمه نامحدود و توسط مستطیل های محدود تولید می شود. مثلا،

برای هر یک از این دو مثال ، خانواده مولد یک سیستم π است .

σ-جبر تولید شده توسط مجموعه های استوانه [ ویرایش ]

فرض کنید

${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} = \ {f: f {\ text {تابعی از}} \ mathbb {T} {\ text {به}} \ mathbb { R} \}}$

مجموعه ای از توابع با ارزش واقعی در است ${\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})$ زیر مجموعه های Borel از R را نشان می دهد . برای هر ${\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}$ و ${\ displaystyle \ {B_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ یک زیر مجموعه سیلندر از X یک مجموعه کاملاً محدود است که به صورت تعریف شده است

$C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = \ {f \ در X: f (t_ {i}) \ در B_ {i} ، 1 \ leq i \ leq n \}.$

برای هر ${\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}$ ،

$\ {C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R }) ، 1 \ leq i \ leq n \}$

یک π است که یک جبر σ تولید می کند $\ textstyle \ Sigma _ {t_ {1} ، \ dots ، t_ {n}}$ . سپس خانواده زیر مجموعه ها

${\ mathcal {F}} _ {X} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {t_ {i} \ in \ mathbb {T}، i \ leq n} \ Sigma _ {{ t_ {1} ، \ نقاط ، t_ {n}}$

جبری است که استوانه σ-جبر را برای X تولید می کند . این σ جبر است subalgebra از بورل σ جبر تعیین شده توسط توپولوژی کالا از $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ محدود به X .

یک مورد خاص مهم این است که چه زمانی $\ mathbb {T}$ مجموعه اعداد طبیعی است و X مجموعه ای از توالی های با ارزش واقعی است. در این حالت ، کافی است مجموعه های سیلندر را در نظر بگیریم

برای کدام

$\ سیگما _ {n} = \ سیگما (\ {C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ) ، 1 \ leq i \ leq n \})$

یک دنباله غیر کاهنده σ-جبری است.

σ-جبر تولید شده توسط متغیر تصادفی یا بردار [ ویرایش ]

$\ sigma (Y) = \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \}.$

σ-جبر تولید شده توسط یک فرآیند تصادفی [ ویرایش ]

$\ sigma (Y) = \ left \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X}) \ right \} = \ sigma (\ {Y ^ {-1} (A): A \ in {\ mathcal {F}} _ {X} \}) ،$

جبر σ تولید شده توسط تصاویر معکوس مجموعه های استوانه.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

دامنه ایده آل اصلی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و ششم آبان ۱۳۹۹ | 15:27

در ریاضیات ، یک دامنه اصلی ایده آل ، و یا PID ، یک است دامنه انتگرال که در آن هر ایده آل است اصلی ، یعنی، می توان با یک عنصر واحد تولید می شود. به طور کلی ، یک حلقه ایده آل اصلی یک حلقه جابجایی غیر صفر است که ایده آل آن اصلی است ، اگرچه برخی از نویسندگان (به عنوان مثال ، بورباکی) از PID ها به عنوان حلقه های اصلی یاد می کنند. تمایز این است که یک حلقه ایده آل اصلی ممکن است تقسیم کننده صفر داشته باشد در حالی که دامنه ایده آل اصلی نمی تواند.

دامنه های اصلی ایده آل بنابراین اشیا mathemat ریاضی هستند که با توجه به تقسیم پذیری ، رفتاری شبیه به عدد صحیح دارند : هر عنصر PID دارای تجزیه منحصر به فرد به عناصر اصلی است (بنابراین یک قیاس از قضیه اساسی حساب ). هر دو عنصر PID بیشترین تقسیم مشترک را دارند (اگرچه یافتن آن با استفاده از الگوریتم اقلیدسی ممکن نیست ). اگر x و y عناصر PID بدون تقسیم کننده های مشترک هستند ، می توان هر عنصر PID را به صورت ax + by نوشت .

دامنه های اصلی ایده آل نوتریایی هستند ، آنها کاملاً بسته شده اند ، آنها دامنه های فاکتوراسیون منحصر به فرد و دامنه های Dedekind هستند . همه دامنه های اقلیدسی و همه زمینه ها اصلی ترین دامنه های ایده آل هستند.

دامنه های اصلی ایده آل در زنجیره زیر شامل کلاس وجود دارد :

rngs ⊃ حلقه ⊃ حلقه جابجایی ⊃ حوزه جدایی ناپذیر ⊃ حوزه یکپارچه بسته ⊃ حوزه GCD ⊃ دامنه فاکتور منحصر به فرد ⊃ حوزه اصلی ایده آل ⊃ دامنه اقلیدسی ⊃ زمینه ⊃ میدان بسته جبری

ساختارهای جبری
گروه مانند[نمایش]
انگشتر مانند[نمایش]
مشبک مانند[نمایش]
ماژول مانند[نمایش]
جبر مانند[نمایش]
v تی ه

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

مثالها عبارتند از:

$ک$ : هر زمینه ای ،
$\ mathbb {Z}$ از: حلقه از اعداد صحیح ، [1]
$K [x]$ : حلقه های چند جمله ای در یک متغیر با ضرایب یک زمینه. (مکالمه نیز درست است ، یعنی اگر ${\ displaystyle A [x]}$ پس PID است $آ$ علاوه بر این ، یک حلقه از سری قدرت رسمی در یک متغیر در یک قسمت PID است ، زیرا هر ایده آل به شکل $(x ^ {k})$ ،
$\ mathbb {Z} [i]$ : حلقه اعداد صحیح گوسی [2] ،
$\ mathbb {Z} [\ امگا]$ (جایی که $\ امگا$ ریشه مکعب ابتدایی 1 است): اعداد صحیح آیزنشتاین ،
هر حلقه ارزیابی گسسته ، به عنوان مثال حلقه اعداد صحیح p- adic mathbb {Z $\ mathbb {Z} _ {p}$ .

غیر نمونه [ ویرایش ]

نمونه هایی از دامنه های انتگرال که PID نیستند:

${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}]}$ یک مثال از یک حلقه است که یک دامنه فاکتوراسیون منحصر به فرد نیست ، از آنجا ${\ displaystyle 4 = 2 \ cdot 2 = (1 + {\ sqrt {-3}}) (1 - {\ sqrt {-3}}).}$ از این رو یک دامنه ایده آل اصلی نیست زیرا دامنه های اصلی ایده آل ، دامنه های فاکتوراسیون منحصر به فرد هستند.

$\ mathbb {Z} [x]$ : حلقه تمام چند جمله ها با ضرایب عدد صحیح. اصلی نیست زیرا ${\ displaystyle \ langle 2، x \ rangle}$ نمونه ای از ایده آل است که نمی تواند با یک چند جمله ای تولید شود.
${\ displaystyle K [x، y]}$ : حلقه های چند جمله ای در دو متغیر . ایده آل $\ langle x ، y \ غرغره$ اصلی نیست
بیشتر حلقه های اعداد صحیح جبری دامنه ایده آل اصلی نیستند زیرا ایده آل هایی دارند که توسط یک عنصر واحد تولید نمی شوند. این یکی از انگیزه های اصلی تعریف Dedekind از دامنه های Dedekind است زیرا یک عدد صحیح اصلی دیگر نمی تواند به عناصر تبدیل شود ، در عوض آنها ایده آل های اصلی هستند. در واقع بسیاری ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {p}]}$ برای ریشه p-th وحدت $\ zeta _ {p}$ دامنه های ایده آل اصلی نیستند [ توضیحات لازم است ] [3] . در واقع ، تعداد کلاس یک حلقه از اعداد صحیح جبری است ${\ mathcal {O}} _ {K}$ مفهومی از "چقدر دور" از بودن یک حوزه ایده آل اصلی ارائه می دهد.

ماژول ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه ساختار برای ماژول های کاملاً تولید شده در یک دامنه ایده آل اصلی

نتیجه اصلی قضیه ساختار است: اگر R یک دامنه اصلی ایده آل است و M یک ماژول R کاملاً تولید شده است ، پس $م$ یک جمع مستقیم از ماژول های حلقوی است ، به عنوان مثال ، ماژول های دارای یک ژنراتور. ماژول های حلقوی با همسان نیستند $R / xR$ برای بعضی ها $x \ در R$ [4] (توجه کنید که $ایکس$ ممکن است برابر باشد با ${\ displaystyle 0}$ ، که در این صورت $R / xR$ است $R$ )

اگر M یک ماژول رایگان بیش از یک دامنه اصلی ایده آل R باشد ، پس هر زیرمدول M دوباره رایگان است. به عنوان مثال ، این مورد برای ماژول های حلقه های دلخواه قابل استفاده نیست ${\ displaystyle (2، X) \ subseteq \ mathbb {Z} [X]}$ از ماژول های بیش از ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ نشان می دهد.

خصوصیات [ ویرایش ]

در یک دامنه ایده آل اصلی ، هر دو عنصر a ، b دارای بزرگترین تقسیم کننده مشترک هستند که ممکن است به عنوان مولد ایده آل بدست آید ( a ، b ) .

همه حوزه های اقلیدسی دامنه های ایده آل اصلی هستند ، اما عکس این درست نیست. یک مثال از یک دامنه اصلی ایده آل که یک حوزه اقلیدسی نباشد ، حلقه است ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ چپ [{\ frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ راست].}$ [5] [6] در این دامنه هیچ q و r وجود ندارد ، با 0 ≤ | r | <4 ، به طوری که4) q + r} $(1 + {\ sqrt {-19}}) = (4) q + r$ ، با وجود $1+ {\ sqrt {-19}}$ و $4$ داشتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک 2 .

هر دامنه اصلی ایده آل یک دامنه فاکتوراسیون منحصر به فرد (UFD) است. [7] [8] [9] [10] این مکالمه برقرار نیست زیرا برای هیچ UFD K ، حلقه K [ X ، Y ] از چند جمله ای ها در 2 متغیر یک UFD است اما PID نیست. (برای اثبات این نگاه به ایده آل تولید شده توسط $\ left \ langle X، Y \ right \ rangle.$ این کل حلقه نیست زیرا شامل چند جمله ای درجه 0 نیست ، اما با هیچ یک از عناصر قابل تولید نیست.)

هر دامنه ایده آل اصلی نوتریری است .
در تمام حلقه unital، آرمان حداکثر می نخست . در دامنه های اصلی ایده آل تقریباً یک مکالمه برقرار است: هر ایده آل اصلی بدون صفر حداکثر است.
تمام دامنه های اصلی ایده آل بسته شده اند .

سه جمله قبلی تعریف دامنه Dedekind را ارائه می دهند و از این رو هر دامنه اصلی ایده آل یک دامنه Dedekind است.

بگذارید A یک دامنه انتگرال باشد. بعدی ها برابر هستند.

A PID است.
هر ایده آل اصلی A اصلی است. [11]
A یک دامنه Dedekind است که یک UFD است.
هر ایده آل کاملاً تولید شده از A اصلی است (یعنی A یک دامنه Bézout است ) و A شرایط زنجیره صعودی را در ایده آل های اصلی برآورده می کند .
A هنجار Dedekind – Hasse را می پذیرد . [12]

هنجار میدانی یک هنجار Dedekind-Hasse است. بنابراین ، (5) نشان می دهد که یک حوزه اقلیدسی یک PID است. (4) مقایسه می کند با:

دامنه انتگرال یک UFD است اگر و فقط اگر یک دامنه GCD باشد (یعنی دامنه ای که هر دو عنصر بیشترین تقسیم مشترک را داشته باشد) که شرایط زنجیره صعودی را در ایده آل های اصلی تأمین می کند.

یک دامنه انتگرال یک دامنه Bézout است در صورتی که فقط هر دو عنصر موجود در آن دارای یک gcd باشد که یک ترکیب خطی از این دو باشد. بنابراین دامنه Bézout یک دامنه GCD است و (4) دلیل دیگری بر UFD بودن PID می دهد.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

هویت بزوت

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_ideal_domain

Nilradical جبر دروغ

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و ششم آبان ۱۳۹۹ | 15:23

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرش به ناوبری پرش به جستجو

در جبر از nilradical از جبر دروغ پوچتوان است ایده آل است که به عنوان بزرگ به عنوان امکان پذیر است.

${\ mathfrak {nil}} ({\ mathfrak g})$ از یک جبر دروغ بعدی محدود ${\ mathfrak {g}}$ ایده آل توان حداکثر آن است ، زیرا وجود دارد زیرا مجموع هر دو ایده آل توانمند توانمند نیست. این یک ایده آل در رادیکال است ${\ mathfrak {rad}} ({\ mathfrak {g}})$ از جبر دروغ ${\ mathfrak {g}}$ . ضریب جبر دروغ توسط nilradical آن جبر دروغ تقلیل است ${\ mathfrak {g}} ^ {{{\ mathrm {red}}}}$ . با این حال ، توالی دقیق کوتاه مربوطه

$0 \ به {\ mathfrak {nil}} ({\ mathfrak g}) \ به {\ mathfrak g} \ به {\ mathfrak {g}} ^ {{{\ mathrm {red}}}} \ تا 0$

به طور کلی تقسیم نمی شود (به عنوان مثال ، همیشه یک زیر جبر مکمل وجود ندارد

${\ mathfrak {nil}} ({\ mathfrak g})$ ${\ mathfrak {g}}$ ) این در تقابل با تجزیه Levi است : توالی دقیق کوتاه

$0 \ به {\ mathfrak {rad}} ({\ mathfrak g}) \ به {\ mathfrak g} \ به {\ mathfrak {g}} ^ {{{\ mathrm {ss}}}} \ تا 0$

تقسیم می شود (اساساً به این دلیل است که ضریب) ${\ mathfrak {g}} ^ {{{\ mathrm {ss}}}}$ نیمه ساده است)

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

تجزیه لوی
Nilradical از یک حلقه ، تصوری در تئوری حلقه.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Nilradical_of_a_Lie_algebra

حلقه نیمه محلی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و ششم آبان ۱۳۹۹ | 15:20

در ریاضیات ، یک حلقه نیمه محلی است حلقه که R / J ( R ) است حلقه SEMISIMPLE ، که در آن J ( R ) است جاکوبسن رادیکال از R . ( Lam & 2001 ، §20 ) ( Mikhalev & 2002 ، C.7 )

اگر R دارای تعداد محدودی از ایده آل های حداکثر راست (و تعداد محدود ایده آل های حداکثر چپ) باشد ، تعریف فوق راضی است . وقتی R یک حلقه عوض کننده است ، نتیجه معکوس نیز درست است و بنابراین تعریف نیمه محلی برای حلقه های تغییر دهنده اغلب "داشتن ایده آل های حداکثر بسیار زیاد" در نظر گرفته می شود .

برخی از ادبیات به طور کلی به یک حلقه نیمه محلی جابجایی به عنوان یک حلقه شبه نیمه محلی اشاره می کنند ، با استفاده از حلقه نیمه محلی برای اشاره به یک حلقه Noetherian با ایده آل های حداکثر بسیار زیاد.

یک حلقه نیمه محلی بنابراین عمومیت بیشتری نسبت به یک حلقه محلی دارد که فقط یک ایده آل حداکثر (راست / چپ / دو طرفه) دارد.

مثالها [ ویرایش ]

هر انگشتر راست یا چپ آرتینین ، هر حلقه سریال و هر حلقه نیمه عیب نیمه محلی است.
$\ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}$ یک حلقه نیمه محلی است. مخصوصاً اگر $متر$ پس یک قدرت اصلی است $\ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}$ یک حلقه محلی است.
یک جمع مستقیم محدود از فیلدها ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} {F_ {i}}}$ یک حلقه نیمه محلی است.
در مورد حلقه های جابجایی با یکپارچگی ، این مثال به معنای زیر نمونه است: قضیه باقی مانده چینی نشان می دهد که برای یک حلقه سوئیچ نیمه محلی R با ایده آل های حداکثر واحد و حداکثر m 1 ، ... ، m n

${\ displaystyle R / \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Cong \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} R / m_ {i} \،}$ .

(نقشه پیش بینی طبیعی است). سمت راست یک جمع مستقیم از فیلدها است. در اینجا ما یادداشت می کنیم که ∩ i m i = J ( R ) ، و می بینیم که R / J ( R ) در واقع یک حلقه نیمه ساده است.

حلقه کلاسیک خارج قسمت برای هر حلقه نوتری جابجایی یک حلقه semilocal است.
حلقه از روپوست یک ماژول ARTINIAN یک حلقه semilocal است.
حلقه نیمه محلی به عنوان مثال در رخ هندسه جبری هنگامی که یک (جابجایی) حلقه R است موضعی با توجه به زیر مجموعه multiplicatively بسته S = ∩ (R \ ص من ) ، که در آن P من finitely بسیاری هستند ایده آل های اول .

کتابهای درسی [ ویرایش ]

لام ، TY (2001) ، "7" ، اولین دوره در حلقه های غیرتغییری ، متون تحصیلات تکمیلی در ریاضیات ، 131 (2 ویراستار) ، نیویورک: Springer-Verlag ، ص. xx + 385 ، شابک 0-387-95183-0، MR 1838439
میخالف ، الكساندر وی. Pilz، Günter F.، eds. (2002) ، کتاب مختصر جبر ، Dordrecht: Kluwer Academic Publishers ، pp. xvi + 618 ، ISBN 0-7923-7072-4، MR 1966155

https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-local_ring

میدان جبری بسته

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و ششم آبان ۱۳۹۹ | 14:55

میدان جبری بسته

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک میدان F است جبری بسته اگر هر چند جمله ای غیر ثابت در F [ X ] (به تک متغیره حلقه های چند جمله ای با ضرایب در F ) دارای ریشه در F .

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، میدان اعداد واقعی از نظر جبری بسته نشده است ، زیرا معادله چند جمله ای x 2 + 1 = 0 هیچ حل در اعداد واقعی ندارد ، حتی اگر تمام ضرایب آن (1 و 0) واقعی باشند. همین استدلال ثابت می کند که هیچ زیرمجموعه ای از میدان واقعی از نظر جبری بسته نشده است. به طور خاص ، زمینه اعداد گویا از نظر جبری بسته نشده است. همچنین ، هیچ فیلد محدود F از نظر جبری بسته نیست ، زیرا اگر a 1 ، a 2 ، ... ، a n عناصر F باشند ، پس چند جمله ای ( x - a 1 ) ( x - a 2 ) ··· ( x - a n ) + 1 در F صفر ندارد . در مقابل ، قضیه اساسی جبر بیان می کند که زمینه اعداد مختلط از نظر جبری بسته شده است. مثال دیگر از یک میدان بسته جبری ، قسمت اعداد جبری (مختلط) است .

خصوصیات معادل [ ویرایش ]

با توجه به فیلد F ، ادعای " F از نظر جبری بسته شده است" معادل ادعاهای دیگر است:

تنها چند جمله ای های غیرقابل تقلیل مربوط به درجه یک هستند [ ویرایش ]

فیلد F از نظر جبری بسته است اگر و فقط اگر تنها چندجملهای غیرقابل کاهش در حلقه چند جمله ای F [ x ] مربوط به درجه یک باشد.

ادعای "چند جمله ای های درجه یک غیرقابل کاهش است" برای هر رشته ای به طور پیش پا افتاده درست است. اگر F از نظر جبری بسته شده باشد و p ( x ) چند جمله ای غیرقابل تقلیل F [ x ] باشد ، پس ریشه a دارد و بنابراین p ( x ) مضرب x - a است . از آنجا که p ( x ) غیرقابل کاهش است ، این بدان معنی است که p ( x ) = k ( x - a ) ، برای برخی k ∈ F \ {0}. از طرف دیگر ، اگرF از نظر جبری بسته نشده است ، پس چند جمله ای غیر ثابت p ( x ) در F [ x ] بدون ریشه در F وجود دارد . بگذارید q ( x ) فاکتور غیرقابل کاهش p ( x ) باشد. از آنجا که p ( x ) ریشه در F ندارد ، q ( x ) نیز ریشه در F ندارد . بنابراین ، q ( x ) دارای درجه بزرگتر از یک است ، زیرا هر چند جمله ای درجه اول یک ریشه در F دارد .

هر چند جمله ای محصول چند جمله ای درجه اول است [ ویرایش ]

زمینه F است جبری بسته اگر و تنها اگر هر چند جملهای ص ( X ) از درجه N ≥ 1، با ضرایب در F ، تقسیم به عوامل خطی . به عبارت دیگر ، عناصر k ، x 1 ، x 2 ، ... ، x n از قسمت F وجود دارد به گونه ای که p ( x ) = k ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) · ^^ ( x - x n )

اگر F این ویژگی را دارد ، مشخصاً هر چند جمله ای غیر ثابت در F [ x ] ریشه در F دارد . به عبارت دیگر ، F از نظر جبری بسته شده است. از طرف دیگر ، این ویژگی که در اینجا F بسته می شود اگر F از نظر جبری بسته باشد ، از ویژگی قبلی ناشی می شود همراه با این واقعیت که برای هر قسمت K ، هر چند جمله ای در K [ x ] را می توان به عنوان محصولی از چند جمله ای های غیرقابل کاهش نوشت .

چند جمله ای های درجه اول ریشه دارند [ ویرایش ]

اگر هر چند جمله ای بیش از F درجه اول ریشه در F داشته باشد ، هر چند جمله ای غیر ثابت ریشه در F دارد . [1] نتیجه این است که یک فیلد از نظر جبری بسته می شود اگر و فقط اگر هر چند جمله ای بیش از F درجه اول ریشه در F داشته باشد.

این رشته پسوند جبری مناسبی ندارد [ ویرایش ]

فیلد F در صورت جبری بسته می شود اگر و فقط اگر از پسوند جبری مناسبی برخوردار نباشد .

اگر F از پسوند جبری مناسبی برخوردار نیست ، بگذارید p ( x ) چند جمله ای غیرقابل کاهش در F [ x ] باشد. سپس خارج قسمت از F [ X ] پیمانه ایده آل تولید شده توسط P ( X ) گسترش جبری است F که درجه به درجه ای از برابر است ص ( X ). از آنجا که پسوند مناسبی نیست ، درجه آن 1 است و بنابراین درجه p ( x ) 1 است.

از طرف دیگر ، اگر F دارای برخی از پسوندهای جبری مناسب K باشد ، در این صورت حداقل چند جمله ای یک عنصر در K \ F غیرقابل کاهش است و درجه آن بیشتر از 1 است.

این قسمت پسوند محدود مناسبی ندارد [ ویرایش ]

فیلد F جبری بسته می شود اگر و فقط اگر فاقد پسوند متناسب مناسب باشد زیرا اگر در اثبات قبلی ، اصطلاح "پسوند جبری" با اصطلاح "پسوند محدود" جایگزین شود ، اثبات هنوز معتبر است. (توجه داشته باشید که پسوندهای محدود لزوماً جبری هستند.)

**هر اندومورفیسم F n مقداری بردار ویژه دارد [ ویرایش ]**

فیلد F جبری بسته می شود اگر و فقط اگر برای هر عدد طبیعی n ، هر نقشه خطی از F n به خود دارای بردار ویژه باشد.

روپوست از F N دارای بردار ویژه اگر و تنها اگر آن چند جمله ای مشخصه است برخی از ریشه. بنابراین ، وقتی F از نظر جبری بسته شود ، هر اندومورفیسم F n دارای بردار ویژه است. از طرف دیگر ، اگر هر اندومورفیسم F n دارای بردار ویژه باشد ، بگذارید p ( x ) عنصری از F [ x ] باشد. با ضریب پیشرو آن ، یک چند جمله ای q ( x ) دیگر بدست می آوریم که ریشه دارد اگر و فقط اگر p ( x ) ریشه داشته باشد. اما اگر q (x ) = x n + a n - 1 x n - 1 + ··· + a 0 ، سپس q ( x ) چند جمله ای مشخصه ماتریس همراه n × n است

${\ start {pmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 & -a_ {0} \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 & -a_ {1} \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & -a_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & -a_ {n-1} \ end {pmatrix}}.$

تجزیه عبارات منطقی [ ویرایش ]

فیلد F از نظر جبری بسته شده است اگر و فقط اگر هر تابع منطقی در یک متغیر x با ضرایب F بتواند به صورت مجموع یک تابع چند جمله ای با توابع منطقی شکل a / ( x - b ) n ، جایی که n یک عدد طبیعی است ، و a و b عناصر F هستند .

اگر F از نظر جبری بسته باشد ، از آنجا که چند جمله ای های غیرقابل کاهش در F [ x ] همه از درجه 1 هستند ، ویژگی بیان شده در بالا با قضیه تجزیه کسر جزئی حفظ می شود .

از طرف دیگر ، فرض کنید خصوصیاتی که در بالا گفته شد برای قسمت F صدق می کند . بگذارید p ( x ) یک عنصر غیرقابل کاهش در F [ x ] باشد. سپس تابع منطقی 1 / p را می توان به صورت مجموع یک تابع چند جمله ای q با توابع منطقی شکل a / ( x - b ) n نوشت . بنابراین ، بیان منطقی

${\ frac {1} {p (x)}} - q (x) = {\ frac {1-p (x) q (x)} {p (x)}}$

می توان به عنوان ضریب دو چند جمله ای نوشت که در آن مخرج حاصل از چند جمله ای درجه اول است. از آنجا که p ( x ) غیرقابل کاهش است ، باید این محصول را تقسیم کند و بنابراین ، باید چند جمله ای درجه یک نیز باشد.

چند جمله ای و ریشه های نسبتاً اصلی [ ویرایش ]

برای هر فیلد F ، اگر دو چند جمله ای p ( x ) ، q ( x ) ∈ F [ x ] نسبتاً اول باشد ، آنها ریشه مشترک ندارند ، زیرا اگر یک ∈ F ریشه مشترک بود ، پس p ( x ) و Q ( x را ) هر دو تقسیم عددی بر مضرب باشد X - و بنابراین نسبتاً عالی نخواهند بود. فیلدهایی که مفهوم معکوس برای آنها در نظر گرفته شده است (یعنی فیلدهایی به گونه ای که هرگاه دو چند جمله ای ریشه مشترکی نداشته باشند و نسبتاً اصلی باشند) دقیقاً فیلدهای بسته شده جبری هستند.

اگر فیلد F از نظر جبری بسته است ، بگذارید p ( x ) و q ( x ) دو چند جمله ای باشند که نسبتاً اول نیستند و بگذارید r ( x ) بزرگترین تقسیم کننده مشترک آنها باشد . سپس ، از آنجا که r ( x ) ثابت نیست ، مقداری ریشه a خواهد داشت ، که ریشه مشترک p ( x ) و q ( x ) خواهد بود.

اگر F از نظر جبری بسته نشده است ، بگذارید p ( x ) یک چند جمله ای باشد که درجه آن حداقل 1 بدون ریشه باشد. بنابراین p ( x ) و p ( x ) نسبتاً اولیه نیستند ، اما هیچ ریشه مشترکی ندارند (از آنجا که هیچ یک از آنها ریشه ندارند).

خواص دیگر [ ویرایش ]

اگر F یک میدان جبری بسته باشد و n یک عدد طبیعی باشد ، F شامل همه n ریشه های وحدت است ، زیرا اینها (طبق تعریف ) صفرهای n (لزوماً مجزا) از چند جمله ای x n نیستند - 1. یک پسوند میدان که در یک پسوند تولید شده توسط ریشه های وحدت وجود دارد ، یک پسوند سیکلوتومی است و گسترش یک میدان تولید شده توسط همه ریشه های وحدت را گاهی بسته شدن سیکلوتومی آن می نامند . بنابراین زمینه های جبری بسته از نظر سیکلوتومی بسته می شوند. این صحبت درست نیست. حتی با فرض اینکه هر چند جمله ای شکل x n - a تقسیم به عوامل خطی برای اطمینان از بسته بودن جبری کافی نیست.

اگر گزاره ای که می تواند به زبان منطق مرتبه اول بیان شود برای یک میدان بسته جبری صادق است ، پس برای هر زمینه جبری بسته با همان ویژگی صادق است . بعلاوه ، اگر چنین گزاره ای برای یک میدان بسته جبری با مشخصه 0 معتبر باشد ، پس نه تنها برای سایر زمینه های بسته جبری با مشخصه 0 معتبر است ، بلکه تعداد طبیعی N نیز وجود دارد که گزاره برای هر بسته جبری معتبر است زمینه با مشخصه ص وقتی ص > N . [2]

هر قسمت F دارای برخی از پسوندها است که از نظر جبری بسته شده است. به چنین پسوندی پسوند جبری بسته گفته می شود . در میان تمام چنین پسوند است یک و تنها یک (وجود دارد تا isomorphism ، اما نه ریخت منحصر به فرد ) است که یک فرمت جبری از F ؛ [3] از آن به نام بسته شدن جبری از F .

نظریه زمینه های جبری بسته دارای حذف کمیت است .

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ شیپمن، J. بهبود قضیه اساسی جبر ریاضی اینتلیجنسر ، جلد 29 (2007)، شماره 4. صفحات 9-14
^ زیر بخشها را مشاهده کنید حلقه ها و زمینه ها و خصوصیات نظریه های ریاضی در §2 از J. Barwise "مقدمه ای برای منطق مرتبه اول".
^ مشاهده لانگ جبر ، §VII.2 یا ون der Waerden در جبر ، §10.1.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraically_closed_field

ادامه هندسه محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 2:8

ساخت جبری [ ویرایش ]

یک ساختار جبری استاندارد سیستم ها این بدیهیات را برآورده می کند. برای یک حلقه تقسیم D ساخت یک ( N + 1) بیش از فضای برداری بعدی D (بعد فضای برداری تعدادی از عناصر در یک پایه است). بگذارید P زیر فضاهای 1 بعدی (تک ژنراتور) و L زیر فضاهای 2 بعدی (دو ژنراتور مستقل) (بسته شده با افزودن بردار) این فضای بردار باشد. بروز مهار است. اگر D محدود باشد ، باید یک فیلد محدود GF ( q ) باشد ، زیرا توسط قضیه کوچک ودبرنتمام حلقه های تقسیم محدود زمینه هستند. در این حالت ، این ساخت و ساز یک فضای پیش بینی محدود را تولید می کند. بعلاوه ، اگر بعد هندسی یک فضای فرافکنی حداقل سه باشد ، یک حلقه تقسیم وجود دارد که می توان فضا را از این طریق ساخت. در نتیجه ، تمام فضاهای فرافکنی متناسب با ابعاد هندسی حداقل سه در زمینه های محدود تعریف شده اند. یک فضای فرافکنی محدود تعریف شده روی چنین میدان محدودی دارای q + 1 نقطه روی یک خط است ، بنابراین دو مفهوم نظم با هم منطبق هستند. چنین فضای نمایشی محدود با PG ( n ، q ) مشخص می شود ، جایی که PG مخفف هندسه فرافکنی است ، n بعد هندسی هندسه و q است اندازه (ترتیب) میدان متناهی است که برای ساخت هندسه استفاده می شود.

به طور کلی ، تعداد زیر فضاهای k- بعدی PG ( n ، q ) توسط محصول آورده می شود: [8]

${{n + 1} \ را انتخاب کنید {k + 1}} _ {q} = \ prod _ {{i = 0}} ^ {k} {\ frac {q ^ {{n + 1-i}} - 1 } {q ^ {{i + 1}} - 1}} ،$

که یک ضریب دوجمله ای گاوسی ، آنالوگ q ضریب دوجمله ای است .

طبقه بندی فضاهای فرافکنی متناسب با بعد هندسی [ ویرایش ]

ابعاد 0 (بدون خط): فضا یک نقطه واحد است و آنقدر تحلیل رفته است که معمولاً نادیده گرفته می شود.
ابعاد 1 (دقیقاً یک خط): همه نقاط روی خط منحصر به فردی قرار دارند که به آن خط فرافکن گفته می شود .
بعد 2: حداقل 2 خط وجود دارد و هر دو خط با هم روبرو می شوند. یک فضای فرافکنی برای n = 2 یک صفحه نمایش است . طبقه بندی اینها بسیار دشوارتر است ، زیرا همه آنها با PG ( d ، q ) یکدست نیستند . صفحات Desarguesian (آنهایی که با PG (2 ، q ) همسان نیستند) قضیه Desargues را برآورده می کنند و هواپیماهای تصویری بیش از زمینه های محدود هستند ، اما هواپیماهای غیر Desarguesian زیادی وجود دارد .
حداقل بعد 3: دو خط غیر متقاطع وجود دارد. وبلن جوان قضیه بیان در مورد محدود که هر فضای تصویری از ابعاد هندسی N ≥ 3 متناظر با یک PG ( N ، Q ) از N فضای تصویری بعدی بیش از برخی از میدان متناهی GF ( س ).

کوچکترین طرح سه فضائی [ ویرایش ]

PG (3،2) اما همه خطوط رسم نشده اند

کوچکترین فضای فرافکنی 3 بعدی بیش از میدان GF (2) است و با PG (3،2) نشان داده می شود . دارای 15 نقطه ، 35 خط و 15 هواپیما است. هر صفحه شامل 7 نقطه و 7 خط است. هر خط شامل 3 امتیاز است. به عنوان هندسه ، این صفحات نسبت به صفحه Fano یکدست نیستند .

مدل مربع Fano 3-space

هر نقطه در 7 خط وجود دارد. هر جفت نقطه مشخص دقیقاً در یک خط قرار دارد و هر جفت صفحه متمایز دقیقاً در یک خط تلاقی می یابد.

در سال 1892 ، جینو فانو اولین کسی بود که چنین هندسه محدودی را در نظر گرفت.

مشکل دانش آموز کرکمن [ ویرایش ]

PG (3،2) به عنوان زمینه ای برای حل مشکل دانش آموز کرکمن ایجاد می شود ، که بیان می کند: "پانزده دختر دانش آموز هر روز در پنج گروه سه تایی راه می روند. پیاده روی دختران را به مدت یک هفته ترتیب دهید تا در آن زمان ، هر جفت از دختران فقط یک بار با هم در یک گروه قدم می زنند. " 35 ترکیب مختلف وجود دارد که دختران با هم راه می روند. همچنین 7 روز از هفته وجود دارد و 3 دختر در هر گروه وجود دارد. دو مورد از هفت راه حل غیرهم شکل برای حل این مشکل را می توان از نظر ساختار در Fano 3-space، PG (3،2) ، معروف به بسته بندی بیان کرد . گسترش یک فضای تصویری است پارتیشناز نقاط آن به خطوط جدا شده و بسته بندی پارتیشن خطوط به اسپردهای جدا شده است. در PG (3،2) ، یک تقسیم از 15 امتیاز به 5 خط جداگانه (با 3 امتیاز در هر خط) ، بنابراین مطابق با آرایش دختران مدرسه در یک روز خاص است. بسته بندی PG (3،2) شامل هفت اسپرد جداگانه است و بنابراین مربوط به یک هفته کامل از ترتیب هاست.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

طراحی بلوک - تعمیم یک صفحه نمایشی محدود.
چند ضلعی تعمیم یافته
هندسه بروز
فضای خطی (هندسه)
نزدیک چند ضلعی
هندسه جزئی
فضای قطبی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_geometry

ادامه هندسه محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 2:7

فضا ترتیب [ ویرایش ]

یک صفحه متناهی با نظم n یکی از مواردی است که هر خط دارای n نقطه باشد (برای یک صفحه ترکیبی) ، یا به گونه ای که هر خط دارای n + 1 امتیاز باشد (برای یک صفحه نمایش). یک سوال عمده در هندسه محدود این است:

آیا سفارش یک هواپیمای محدود همیشه یک قدرت اصلی است؟

این حدس زده می شود که درست باشد.

صفحات افینین و فرافکنی نظم n هر زمان که n یک قدرت اصلی باشد (یک عدد اصلی که به یک صحیح صحیح مثبت افزایش می یابد ) ، با استفاده از صفحات افقی و تصویری بیش از میدان محدود با عناصر n = p k ، وجود دارد. هواپیماهایی که از زمینه های محدود مشتق نشده اند نیز وجود دارند (به عنوان مثال برای ${\ displaystyle n = 9}$ ) ، اما همه مثالهای شناخته شده دارای یک قدرت برتر هستند. [1]

بهترین نتیجه کلی تا به امروز قضیه بروک-رایزر سال 1949 است که می گوید:

اگر n یک عدد صحیح مثبت از فرم 4 k + 1 یا 4 k + 2 باشد و n برابر با مجموع دو مربع عدد صحیح نباشد ، n به ترتیب یک صفحه محدود اتفاق نمی افتد.

کوچکترین عدد صحیحی که قدرت اصلی نیست و توسط قضیه Bruck – Ryser پوشش داده نمی شود 10 است. 10 به شکل 4 k + 2 است ، اما برابر است با مجموع مربع های 1 2 + 3 2 . عدم وجود صفحه محدود به ترتیب 10 در اثبات کمکی رایانه ای که در سال 1989 به پایان رسید ثابت شد - برای اطلاعات بیشتر به ( Lam 1991 ) مراجعه کنید.

کوچکترین شماره بعدی که باید در نظر گرفت 12 عدد است که نه نتیجه مثبت و نه منفی برای آن ثابت نشده است.

تاریخچه [ ویرایش ]

نمونه های جداگانه ای را می توان در کار توماس پنیگتون کرکمن (1847) و توسعه سیستماتیک هندسه فرافکنی محدود ارائه شده توسط فون استاودت (1856) یافت.

اولین درمان بدیهی هندسه فرافکنی محدود توسط ریاضیدان ایتالیایی Gino Fano توسعه داده شد . در کار خود [2] در اثبات استقلال از مجموعه ای از بدیهیات برای تصویری N فضا- که او توسعه یافته، [3] او یک فضای محدود سه بعدی با 15 امتیاز، 35 خطوط و 15 هواپیما (نمودار را ببینید)، که در آن در نظر گرفته هر خط فقط سه نقطه داشت. [4]

در سال 1906 اسوالد وبلن و WH Bussey هندسه تصویری را با استفاده از مختصات همگن با مدخل های میدان گالوسی GF ( q ) توصیف کردند. هنگامی که N + 1 مختصات استفاده می شود، N بعدی محدود هندسه مشخص می PG ( N، Q ). [5] این در هندسه مصنوعی بوجود می آید و دارای یک گروه تحول مرتبط است .

فضاهای محدود 3 بعدی یا بیشتر [ ویرایش ]

برای برخی از تفاوتهای مهم بین هندسه صفحه متناسب و هندسه فضاهای متناسب با ابعاد بالاتر ، به فضای فرافکنی بدیهی مراجعه کنید . برای بحث در مورد فضاهای متناسب با ابعاد بالاتر ، به عنوان مثال ، به کارهای JWP Hirschfeld مراجعه کنید . مطالعه این فضاهای بعدی بالاتر ( n ≥ 3 ) کاربردهای مهمی در نظریه های پیشرفته ریاضی دارد.

تعریف بدیهی [ ویرایش ]

یک فضای تصویری S را می توان بدیهی به عنوان یک مجموعه P (مجموعه نقاط) ، همراه با یک مجموعه L زیر مجموعه از P (مجموعه خط ها) تعریف کرد ، این بدیهیات را برآورده می کند: [6]

هر دو نقطه متمایز p و q دقیقاً در یک خط قرار دارند.
بدیهیات Veblen : [7] اگر a ، b ، c ، d نقاط متمایز هستند و خطوط از طریق ab و cd با هم ملاقات می کنند ، بنابراین خطوط از طریق ac و bd نیز چنین هستند .
هر خط حداقل 3 امتیاز روی خود دارد.

آخرین اصل موارد قابل تقلیل را حذف می کند که می تواند به عنوان یک اتحادیه ناپیوسته از فضاهای تصویری همراه با خطوط 2 نقطه ای به هر دو نقطه در فضاهای مجزا مجزا متصل شود. به طور خلاصه تر ، می توان آن را به عنوان یک ساختار بروز ( P ، L ، I ) تعریف کرد که متشکل از یک مجموعه P از نقاط ، یک مجموعه L از خطوط و یک رابطه بروز I است که بیان می کند کدام نقاط روی کدام خط ها قرار دارند.

بدست آوردن یک فضای فرافکنی محدود به یک اصل دیگر نیاز دارد:

مجموعه نقاط P یک مجموعه متناهی است.

در هر فضای فرافکنی محدود ، هر خط شامل تعداد نقاط یکسانی است و ترتیب فضا یک کمتر از این عدد مشترک تعریف می شود.

یک زیر فضایی از فضای فرافکنی یک زیرمجموعه X است ، به این ترتیب که هر خط حاوی دو نقطه X یک زیرمجموعه X است (یعنی کاملاً در X موجود است ). فضای کامل و فضای خالی همیشه زیر فضایی هستند.

بعد هندسی از فضا گفته می شود N اگر که بیشترین تعداد است که برای آن یک زنجیره به شدت صعودی از زیرفضاهای این شکل وجود دارد:

$\ varnothing = X _ {{- 1}} \ زیرمجموعه X _ {{0}} \ زیر مجموعه \ cdots \ زیرمجموعه X _ {{n}} = P.$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_geometry

هندسه محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 2:6

صفحه آفرین محدود از دستور 2 ، حاوی 4 "نقطه" و 6 "خط". خطوط یک رنگ "موازی" هستند. مرکز شکل یک "نقطه" از این صفحه ترکیبی نیست ، از این رو دو "خط" سبز "تلاقی" ندارند.

هندسه
طراحی حوزه به یک هواپیما
طرح کلی تاریخ
شاخه ها [نمایش]
مفاهیم امکانات [نمایش]
صفر بعدی [نمایش]
یک بعدی [نمایش]
دو بعدی [نمایش]
سه بعدی [نمایش]
چهار - / بعدی دیگر[نمایش]
هندسه ها
بر اساس اسم[نمایش]
توسط دوره[نمایش]
v تی ه

هندسه محدود هر است هندسی سیستم است که تنها محدود تعداد نقاط . هندسه اقلیدسی آشنا محدود نیست ، زیرا یک خط اقلیدسی دارای بی نهایت بسیاری از نقاط است. هندسه ای بر اساس گرافیک نمایش داده شده روی صفحه کامپیوتر ، که در آن پیکسل ها به عنوان نقاط در نظر گرفته می شوند ، یک هندسه محدود خواهد بود. در حالی که بسیاری از سیستم های است که می تواند به نام هندسه محدود وجود دارد، توجه بیشتر به محدود پرداخت تصویری و فضاهای affine به دلیل نظم و سادگی خود را. انواع قابل توجه دیگر هندسه محدود ، موبیوس متناهی یا صفحه های معکوس وهواپیماهای لاگر ، که نمونه هایی از یک نوع عمومی به نام هواپیماهای بنز هستند و آنالوگ های بعدی بالاتر آنها مانند هندسه های معکوس محدود بالاتر .

هندسه های محدود را می توان از طریق جبر خطی ، از فضاهای برداری در یک زمینه محدود شروع کرد . صفحات افقی و تصویری ساخته شده را هندسه های گالوا می گویند . هندسه های محدود را نیز می توان کاملاً بدیهی تعریف کرد. ترین هندسه محدود مشترک هندسه گالوا هستند، از هر گونه محدود فضای تصویری از ابعاد سه یا بیشتر است متناظر به یک فضای تصویری بیش از یک میدان محدود (این است که، projectivization از فضای برداری بر یک میدان محدود). با این حال ، بعد دو دارای صفحه های ترکیبی و تصویری است که با هندسه های گالوسی ، یعنی صفحات غیر دسارگویی ، همسان نیستند.. نتایج مشابهی برای انواع دیگر هندسه های محدود وجود دارد.

فهرست

هواپیماهای محدود [ ویرایش ]

صفحه آفرین محدود از دستور 3 ، شامل 9 نقطه و 12 خط.

اظهارات زیر فقط در مورد فضای محدود اعمال می شود . هندسه صفحه متناهی دو نوع اصلی دارد: افیین و تصویری . در هواپیما ، حس طبیعی خطوط موازی اعمال می شود. در مقابل ، در یک صفحه فرافکنی ، هر دو خط در یک نقطه منحصر به فرد تلاقی می کنند ، بنابراین خطوط موازی وجود ندارند. هر دو هندسه صفحه محدود و هندسه صفحه محدود می توانند توسط بدیهیات نسبتاً ساده توصیف شوند .

هواپیماهای محدود محدود [ ویرایش ]

هندسه هواپیمای ترکیبی مجموعه ای خالی از X است (عناصر آن "نقاط" نامیده می شوند) ، همراه با یک مجموعه غیر خالی L از زیر مجموعه های X (عناصر آن "خط" نامیده می شوند) ، به این ترتیب:

برای هر دو نقطه مشخص دقیقاً یک خط وجود دارد که هر دو نقطه را در بر می گیرد.
بدیهیات Playfair : با توجه به یک خط $\ الی$ و یک نکته $پ$ نه در $\ الی$ ، دقیقاً یک خط وجود دارد $\ خوب$ حاوی $پ$ به طوری که $\ ell \ cap \ ell '= \ لاک.$
مجموعه ای از چهار نقطه وجود دارد که هیچ سه مورد مربوط به همان خط نیست.

بدیهیات آخر تضمین می کند که هندسه پیش پا افتاده نیست ( خالی یا خیلی ساده برای جالبه ، مثلاً یک خط با تعداد دلخواه نقاط روی آن) ، در حالی که دو مورد اول ماهیت هندسه را مشخص می کنند.

ساده ترین هواپیمای ترکیبی فقط چهار نقطه دارد. آن را فضای مرتبه 2. می نامند . (ترتیب هواپیمای کمربند تعداد نقاط هر خط است ، به زیر مراجعه کنید.) از آنجا که هیچ سه خطی نیستند ، هر جفت نقطه یک خط منحصر به فرد را تعیین می کند ، بنابراین این صفحه شامل شش خط این مربوط به چهار ضلعی است که در آن لبه های غیر متقاطع "موازی" در نظر گرفته می شوند ، یا مربعی که نه تنها اضلاع مخالف ، بلکه مورب ها "موازی" در نظر گرفته می شوند. به طور کلی ، یک صفحه وابسته محدود از نظم n دارای n 2 نقطه و n 2 + n خط است. هر خط شامل n نقطه است و هر نقطه در n + 1 استخطوط صفحه آفرین از سفارش 3 به نام پیکربندی هسه شناخته می شود .

صفحه های نمایشی محدود [ ویرایش ]

هندسه هواپیما تصویری مجموعه ای ناتهی است X (که عناصر "نقطه" نامیده می شود)، همراه با یک ناتهی مجموعه L از زیرمجموعه از X (که عناصر به نام "خطوط")، به طوری که:

برای هر دو نقطه مشخص دقیقاً یک خط وجود دارد که هر دو نقطه را در بر می گیرد.
تقاطع هر دو خط مجزا دقیقاً شامل یک نقطه است.
مجموعه ای از چهار نقطه وجود دارد که هیچ سه مورد مربوط به همان خط نیست.

دوگانگی در صفحه Fano : هر نقطه با یک خط مطابقت دارد و بالعکس.

بررسی دو بدیهی اول نشان می دهد که تقریباً یکسان هستند ، با این تفاوت که نقش نقاط و خطوط با هم عوض شده اند. این اصل دوگانگی را برای هندسه های صفحه تصویری نشان می دهد ، به این معنی که اگر عبارات را با خط ها و خط ها را با نقاط رد و بدل کنیم ، هر گزاره واقعی معتبر در همه این هندسه ها صادق است. کوچکترین هندسه ای که هر سه بدیهی را برآورده می کند ، شامل هفت نقطه است. در این ساده ترین صفحات تصویری ، هفت خط نیز وجود دارد. هر نقطه روی سه خط است و هر خط شامل سه نقطه است.

فضای فانو

این هواپیمای خاص فرافکنی را گاهی فضای Fano می نامند . اگر هر یک از خطوط از هواپیما حذف، همراه با نقاط روی آن خط، هندسه نتیجه هواپیما affine به هواپیما سفارش 2. فانو نامیده می شود است هواپیما تصویری از سفارش 2 به دلیل آن منحصر به فرد است (تا isomorphism) . به طور کلی ، صفحه فرافکن نظم n دارای n 2 + n + 1 نقطه و تعداد همان خط است. هر خط شامل n + 1 امتیاز است و هر نقطه روی n + 1 خط است.

یک جایگشت از نقاط هفت هواپیما فانو است که حامل خط مستقیم واقع شونده امتیاز (امتیاز در همان خط) به نقطه در یک راستا است که به نام collineation از هواپیما. گروه همبستگی کامل از رده 168 است و برای گروه PSL (2،7) ≈ PSL (3،2) یک شکل نیست ، که در این حالت خاص نیز با گروه خطی کلی GL (3،2) ≈ PGL ( 3،2) .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_geometry

مجموعه زنجیره ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 2:2

هموتوپی زنجیره ای [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: دسته هموتوپی مجتمع های زنجیره ای

یک هموتوپی زنجیره ای راهی برای ارتباط دو نقشه زنجیره ای ارائه می دهد که همان نقشه را در گروه های همسانی القا می کنند ، حتی اگر نقشه ها متفاوت باشند. با توجه به دو زنجیره مجتمع و B ، و دو زنجیره نقشه F ، G : → B ، یک هموتوپی زنجیره دنباله های homomorphisms است ساعت N : N → B N 1 به طوری که HD + D B = F - G . نقشه ها ممکن است به صورت زیر در یک نمودار نوشته شده باشند ، اما این نمودار جایگزین نیست.

نقشه hd A + d B h به راحتی تأیید می شود تا نقشه صفر در همسانی را برای هر ساعت القا کند . بلافاصله نتیجه می شود که f و g یک نقشه مشابه را از همسانی القا می کنند. یکی می گوید F و G می homotopic زنجیره ای (و یا به سادگی homotopic )، و این اموال را تعریف می کند رابطه هم ارزی بین نقشه های زنجیره ای.

بگذارید X و Y فضاهای توپولوژیکی باشند. در مورد همسانی منفرد ، یک هموتوپی بین نقشه های مداوم f ، g : X → Y باعث ایجاد یک هموتوپی زنجیره ای بین نقشه های زنجیره ای مربوط به f و g می شود . این نشان می دهد که دو نقشه هوموتوپیک نقشه مشابهی را بر روی همسانی منفرد القا می کنند. نام "هموتوپی زنجیره ای" با این مثال ایجاد می شود.

مثالها [ ویرایش ]

همسانی واحد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همسانی واحد

بگذارید X یک فضای توپولوژیکی باشد. C n ( X ) را تعریف کنید تا n طبیعی باشد ، گروه آزاد آبلیایی که به طور رسمی توسط سادگی n n در X تولید می شود و نقشه مرزی را تعریف کنید ${\ displaystyle \ partial _ {n}: C_ {n} (X) \ به C_ {n-1} (X)}$ بودن

${\ displaystyle \ partial _ {n}: \، (\ sigma: [v_ {0}، \ ldots، v_ {n}] \ to X) \ mapsto \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} (\ sigma: [v_ {0}، \ ldots، {\ hat {v}} _ {i}، \ ldots، v_ {n}] \ به X)}$

جایی که کلاه نشان دهنده حذف یک راس است . یعنی مرز یک سیمپلکس جمع متناوب محدودیتهای صورتهای آن است. می توان نشان داد که ∂ 2 = 0 بنابراین $(C _ {\ bullet} ، \ partial _ {\ bullet})$ یک مجموعه زنجیره ای است. همسانی مفرد $H _ {\ bullet} (X)$ همسانی این مجموعه است.

همسانی منحصر به فرد یک فاکتور ثابت از فضاهای توپولوژیکی تا معادل هموتوپی است . گروه همسانی درجه صفر یک گروه آبلی رایگان در است مسیر قطعات از X .

کوهامولوژی د رام [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کوهامولوژی de Rham

دیفرانسیل K -forms در هر منیفولد صاف M فرم واقعی فضای برداری به نام Ω K ( M ) تحت علاوه بر. مشتق بیرونی د نقشه Ω K ( M ) به Ω K 1 ( M )، و د 2 = 0 زیر اساسا از تقارن مشتقات دوم ، به طوری که فضاهای برداری از K -forms همراه با مشتق بیرونی یک cochain پیچیده است.

${\ displaystyle \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ to \ Omega ^ {2} (M) \ to \ Omega ^ {3} (M) \ به \ cdots}$

cohomology از این مجموعه به نام د Rham های cohomology از X . گروه همسانی در بعد صفر با فضای بردار توابع ثابت محلی از M تا R یکدست است . بنابراین برای یک منیفولد فشرده ، این فضای برداری واقعی است که بعد آن تعداد اجزای متصل M است .

نقشه های صاف بین منیفولد باعث ایجاد نقشه های زنجیره ای و هموتوپی صاف بین نقشه باعث القای هموتوپی زنجیره ای می شود.

دسته مجتمع های زنجیره ای [ ویرایش ]

مجموعه های زنجیره ای ماژول های K با نقشه های زنجیره ای یک دسته Ch K تشکیل می دهند ، جایی که K یک حلقه جابجایی است.

اگر ${\ displaystyle {} _ {*}}$ و ${\ displaystyle {} _ {*}}$ مجتمع های زنجیره ای هستند ، محصول تانسور آنها $V \ otimes W$ یک مجموعه زنجیره ای است با عناصر درجه n داده شده توسط

${\ displaystyle (V \ otimes W) _ {n} = \ bigoplus _ {\ {i، j | i + j = n \}} V_ {i} \ otimes W_ {j}}$

و دیفرانسیل داده شده توسط

${\ displaystyle \ partial (a \ otimes b) = \ partial a \ otimes b + (- 1) ^ {\ left | a \ right |} a \ otimes \ partial b}$

که a و b به ترتیب هر دو بردار همگن در V و W هستند ، و ${\ displaystyle \ چپ | a \ راست |}$ درجه a را نشان می دهد .

این محصول تنسور ، دسته Ch K را به یک دسته منفرد متقارن تبدیل می کند . علامت هویت با توجه به این محصول مونوئید حلقه پایه K است که به عنوان یک مجموعه زنجیره ای در درجه 0 مشاهده می شود. بافته شدن بر روی تانسورهای ساده عناصر همگن توسط

${\ displaystyle a \ otimes b \ mapsto (-1) ^ {\ left | a \ right | \ left | b \ right |} b \ otimes a}$

این علامت برای اینکه بافتنی یک نقشه زنجیره ای باشد لازم است.

علاوه بر این ، مجموعه مجموعه های زنجیره ای K- modules همچنین دارای Hom داخلی است : با توجه به مجتمع های زنجیره ای V و W ، Hom داخلی V و W ، نشان داده شده Hom ( V ، W ) ، مجموعه زنجیره ای با عناصر درجه n است که توسط $\ Pi _ {i} {\ text {Hom}} _ {K} (V_ {i} ، W_ {i + n})$ و دیفرانسیل داده شده توسط

${\ displaystyle (\ part f) (v) = \ partial (f (v)) - (- 1) ^ {\ left | f \ right |} f (\ partial (v))}}$ .

ما یک شکل گیری طبیعی داریم

${\ text {Hom}} (A \ otimes B، C) \ Cong {\ text {Hom}} (A، {\ text {Hom}} (B، C))$

مثالهای دیگر [ ویرایش ]

مجموعه آمیتسور
مجموعه ای که برای تعریف گروه های بالاتر Chow از بلوخ استفاده می شود
مجموعه Buchsbaum – Rim
مجتمع فناوری
عقده پسر عموی
مجتمع Eagon – Northcott
مجموعه گرستن
مجموعه نمودار [1]
مجتمع کوزول
مجتمع مور
مجموعه Schur

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

جبر درجه بندی شده دیفرانسیل
جبر دروغ درجه بندی شده دیفرانسیل
مکاتبات Dold-Kan می گوید که یک معادله بین دسته مجموعه های زنجیره ای و گروه گروه های ساده abelian وجود دارد .
معیار عدم صحت بوکسباوم – آیزنبود
ماژول درجه بندی شده دیفرانسیل

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_complex

مجموعه زنجیره ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 2:1

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

"Bicomplex" در اینجا هدایت می شود. برای نوع شماره ، به شماره دو مجتمع مراجعه کنید .

در ریاضیات ، یک مجموعه زنجیره ای یک ساختار جبری است که از دنباله ای از گروه های آبلیان (یا ماژول ها ) و توالی همومورفیسم ها بین گروه های متوالی تشکیل شده است به گونه ای که تصویر هر یک از همگونی ها در هسته بعدی وجود دارد. همسانی آن به یک مجموعه زنجیره ای مرتبط است ، که نحوه گنجاندن تصاویر در هسته را توصیف می کند.

یک مجموعه کوچین شبیه یک مجتمع زنجیره ای است ، با این تفاوت که همگونی های آن از یک قاعده متفاوت پیروی می کند. همسانی یک مجموعه کوخین ، کوهومولوژی آن نامیده می شود.

در توپولوژی جبری ، مجموعه زنجیره ای منحصر به فرد یک فضای توپولوژیکی X با استفاده از نقشه های مداوم از یک سیمپلکس به X ساخته می شود و هومورفیسم های مجموعه زنجیره ای چگونگی محدود شدن این نقشه ها به مرز سیمپلکس را نشان می دهد. همسانی این مجموعه زنجیره ای همسانی منفرد X نامیده می شود ، و یک فضای ثابت توپولوژیکی است که معمولاً مورد استفاده قرار می گیرد .

مجتمع های زنجیره ای در جبر همولوژی مورد مطالعه قرار می گیرند ، اما در چندین زمینه ریاضیات از جمله جبر انتزاعی ، نظریه Galois ، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری مورد استفاده قرار می گیرند . می توان آنها را به طور کلی در دسته های آبلی تعریف کرد .

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

یک مجموعه زنجیره ای $(A _ {\ bullet} ، d _ {\ bullet})$ دنباله ای از گروه ها یا ماژول های abelian است ... ، A 0 ، A 1 ، A 2 ، A 3 ، A 4 ، ... توسط همگونی ها متصل می شوند ( عملگرهای مرزی یا دیفرانسیل نامیده می شوند ) d n : A n → A n -1 ، به گونه ای که ترکیب هر دو نقشه متوالی نقشه صفر است. به طور واضح ، اختلافات d n ∘ d n +1 = 0 را برآورده می کند ، یا با شاخص ها سرکوب می شود ، d 2 = 0. این مجموعه ممکن است به شرح زیر نوشته شود.

${\ displaystyle \ cdots {\ xleftarrow {d_ {0}}} A_ {0} {\ xleftarrow {d_ {1}}} A_ {1} {\ xleftarrow {d_ {2}}} A_ {2} {\ xleftarrow {d_ {3}}} A_ {3} {\ xleftarrow {d_ {4}}} A_ {4} {\ xleftarrow {d_ {5}}} \ cdots}$

پیچیده $(A ^ {\ bullet} ، d ^ {\ bullet})$ است دو مفهوم به مجموعه های زنجیره ای. این از دنباله ای از گروه های abelian و یا ماژول شامل ...، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... متصل شده توسط homomorphisms د N : N → N 1 رضایت د N 1 ∘ d n = 0 . مجموعه کوچین ممکن است به روشی مشابه مجتمع زنجیره ای نوشته شود.

${\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {d ^ {- 1}}} A ^ {0} {\ xrightarrow {d ^ {0}}} A ^ {1} {\ xrightarrow {d ^ {1}}} A ^ {2} {\ xrightarrow {d ^ {2}}} A ^ {3} {\ xrightarrow {d ^ {3}}} A ^ {4} {\ xrightarrow {d ^ {4}}} \ cdots}$

از شاخص n در A n یا A n به عنوان درجه (یا بعد ) یاد می شود. تفاوت بین مجتمع های زنجیره ای و کوکاین این است که ، در مجتمع های زنجیره ای ، تفاوت ها بعد را کاهش می دهند ، در حالی که در مجتمع های کوکاین آنها بعد را افزایش می دهند. تمام مفاهیم و تعاریف برای مجتمع های زنجیره ای اعمال می شود به cochain مجتمع، به جز که آنها این کنوانسیون های مختلف برای بعد به دنبال خواهد داشت، و اغلب شرایط داده می شود. پیشوند همکاری . در این مقاله ، تعاریفی برای مجتمع های زنجیره ای ارائه می شود که تمایز لازم نباشد.

مجتمع زنجیری محدود است که در آن است تقریبا تمام N 0؛ یعنی یک مجموعه متناهی که به سمت چپ و راست با 0. گسترش یافته است. به عنوان مثال ، مجموعه ای از زنجیره ای است که همسانی ساده یک مجموعه ساده متناهی را تعریف می کند . مجموعه زنجیره ای است که بالا محدود اگر تمام ماژول های بالا برخی از درجه ثابت N 0، و محدود زیر اگر تمام ماژول های زیر برخی از درجه ثابت به وضوح 0.، مجموعه است که هر دو بالا و پایین اگر و تنها اگر این مجموعه کراندار است محدود شده است.

عناصر گروههای فردی یک مجموعه زنجیره ای (co) زنجیره (co) نامیده می شوند . عناصر موجود در هسته د نامیده می شوند (CO) چرخه (یا بسته عناصر)، و عناصر در این عکس از د نامیده می شوند (CO) مرزهای (یا دقیق عناصر). درست از تعریف دیفرانسیل ، تمام مرزها چرخه هستند. N هفتم (CO) گروه همسانی H N ( H N ) گروه (CO) چرخه است پیمانه (CO) مرزهای در درجه N ، این است که،

${\ displaystyle H_ {n} = {\ frac {\ ker d_ {n}} {{\ mbox {im}} d_ {n + 1}}} \ quad \ سمت چپ (H ^ {n} = {\ frac { \ ker d ^ {n}} {{\ mbox {im}} d ^ {n-1}}} \ راست)}$

توالی دقیق [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توالی دقیق

یک توالی دقیق (یا یک مجموعه دقیق ) یک مجموعه زنجیره ای است که گروه های همسانی همه صفر است. این بدان معناست که تمام عناصر بسته در مجموعه دقیق هستند. یک توالی دقیق کوتاه یک توالی دقیق محدود است که در آن فقط گروه های A k ، A k + 1 ، A k +2 ممکن است غیر صفر باشند. به عنوان مثال ، مجموعه زنجیره ای زیر یک توالی دقیق کوتاه است.

${\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {}} \؛ 0 \؛ {\ xrightarrow {}} \؛ \ mathbf {Z} \؛ {\ xrightarrow {\ times p}} \؛ \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \؛ {\ xrightarrow {}} \؛ 0 \؛ {\ xrightarrow {}} \ cdots}$

در گروه میانی ، عناصر بسته عناصر p Z هستند . اینها به وضوح عناصر دقیق این گروه هستند.

نقشه های زنجیره ای [ ویرایش ]

یک نقشه زنجیره ای f بین دو مجموعه زنجیره ای $(A _ {\ bullet} ، d_ {A ، \ bullet})$ و $(B _ {\ bullet} ، d_ {B ، \ bullet})$ یک دنباله است $f _ {\ bullet}$ از همگونی $f_ {n}: A_ {n} \ rightarrow B_ {n}$ برای هر n که با عملگرهای مرزی در دو مجموعه زنجیره ای رفت و آمد می کند ، بنابراین $d_ {B ، n} \ circ f_ {n} = f_ {n-1} \ Circ d_ {A ، n}$ . این در نمودار جابجایی زیر نوشته شده است .

$(f _ {\ bullet}) _ {*}: H _ {\ bullet} (A _ {\ bullet}، d_ {A، \ bullet}) \ rightarrow H _ {\ bullet} (B _ {\ bullet}، d_ {B، \ bullet})$ .

یک نقشه f مداوم بین فضاهای توپولوژیکی X و Y باعث ایجاد یک نقشه زنجیره ای بین مجموعه های زنجیره ای منحصر به فرد X و Y می شود ، و از این رو یک نقشه f * بین همسانی منفرد X و Y را نیز القا می کند. وقتی X و Y هر دو با کره n برابر هستند ، نقشه القا شده بر روی همسانی درجه نقشه f را تعریف می کند .

مفهوم نقشه زنجیره ای از طریق ساخت مخروط نقشه زنجیره ای به حد مرز کاهش می یابد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_complex

ادامه یکنواختی ماژول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:58

توالی دقیق [ ویرایش ]

دنباله ای از همگونی های ماژول را در نظر بگیرید

${\ displaystyle \ cdots {\ overset {f_ {3}} {\ longrightarrow}} M_ {2} {\ overset {f_ {2}} {\ longrightarrow}} M_ {1} {\ overset {f_ {1}} {\ longrightarrow}} M_ {0} {\ overset {f_ {0}} {\ longrightarrow}} M _ {- 1} {\ overset {f _ {- 1}} {\ longrightarrow}} \ cdots.}$

اگر هر ترکیب صفر باشد ، به چنین توالی یک مجموعه زنجیره ای (یا اغلب فقط پیچیده) گفته می شود. یعنی

${\ displaystyle f_ {i} \ circ f_ {i + 1} = 0}$ یا معادل آن تصویر از ${\ displaystyle f_ {i + 1}}$ در هسته موجود است $f_ {i}$ . (اگر از اعداد به جای افزایش کاهش، و سپس آن را به نام یک مجموعه cochain؛ به عنوان مثال، د Rham پیچیده .) یک مجتمع زنجیره ای نامیده می شود توالی دقیق اگر ${\ displaystyle \ operatorname {im} (f_ {i + 1}) = \ operatorname {ker} (f_ {i})}$ . یک مورد خاص از یک توالی دقیق یک توالی دقیق کوتاه است:

$0 \ به A {\ overset {f} \ to} B {\ overset {g} \ to} C \ to 0$

جایی که $f$ هسته ای است $g$ تصویر از است $f$ و $g$ تصنیفی است

هر یکسان سازی ماژول ${\ displaystyle f: M \ به N}$ توالی دقیق را تعریف می کند

${\ displaystyle 0 \ to K \ to M {\ overset {f} {\ to}} N \ to C \ to 0،}$

جایی که $ک$ هسته است $f$ ، و $ج$ هسته است ، یعنی مقدار آن $ن$ توسط تصویر $f$ .

در مورد ماژول ها بر روی یک حلقه تغییر دهنده ، یک توالی دقیق است اگر و فقط اگر دقیقاً در حداکثر ایده آل ها باشد . این همه سکانس است

$0 \ به A _ {{{\ mathfrak {m}}}} {\ overset {f} \ to} B _ {{{\ mathfrak {m}}}} {\ overset {g} \ to} C _ {{{{\ mathfrak {m}}}} \ تا 0$

دقیق ، جایی که زیر نویس است ${{\ mathfrak {m}}}$ به معنای محلی سازی در یک ایده آل حداکثر است ${{\ mathfrak {m}}}$ .

اگر $f: M \ به B ، g: N \ به B$ می homomorphisms ماژول، سپس آنها گفته می شود به شکل یک مربع فیبر (یا مربع قلاب شود) که با M × B N ، اگر آن را به متناسب

$0 \ به M \ بار _ {{B}} N \ به M \ بار N {\ تنظیم بیش از حد {\ phi} \ به} B \ به 0$

جایی که $\ phi (x ، y) = f (x) -g (x)$ .

مثال: بگذارید $B \ زیرمجموعه A$ شود حلقه جابجایی، و اجازه دهید من می شود نابود از خارج قسمت B -module / B (که یک ایده آل از ). سپس نقشه های متعارف $A \ به A / I ، B / I \ به A / I$ یک مربع فیبر با تشکیل دهید $B = A \ times _ {{A / I}} B / I.$

اندومورفیسم ماژول های کاملاً تولید شده [ ویرایش ]

اجازه دهید $\ phi: M \ به M$ یک endomorphism بین R- modules تولید شده برای R حلقه تغییر پذیر R باشد. سپس

$\ فی$ توسط چند جمله ای مشخصه آن نسبت به مولد های M کشته می شود . به لما ناکایاما مراجعه کنید # اثبات .
اگر $\ فی$ اضافه گرایانه است ، پس از آن قابل تزریق است. [2]

همچنین نگاه کنید به: ضریب هربرند (که برای هر اندومورفیسم با برخی شرایط ظرافت قابل تعریف است.)

نوع: روابط افزودنی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: رابطه دودویی

یک رابطه افزودنی $M \ به N$ از یک ماژول M به یک ماژول N یک زیر مدول از است $M \ oplus N.$ [3] به عبارت دیگر ، این یکهمگونی" بسیار ارزشمند " است که در برخی از زیرمولدهای M تعریف شده است. معکوس $f ^ {- 1}$ از f زیر مدول است $\ {(y ، x) | (x ، y) \ در f \}$ . هر رابطه افزایشی f یک هم شکل بودن را از یک زیرماده از M به یک ضریب N تعیین می کند

$D (f) \ به N / \ {y | (0 ، y) \ in f \}$

جایی که $D (f)$ از تمام عناصر x در M تشکیل شده است به طوری که ( x ، y ) برای برخی y در N متعلق به f است .

گناه که از یک توالی طیفی ناشی نمونه ای از یک رابطه افزودنی است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_homomorphism

ادامه یکنواختی ماژول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:57

ساختارهای ماژول روی Hom [ ویرایش ]

به طور خلاصه، هوم به ارث برده عمل حلقه شد که استفاده می شود تا به شکل هوم. به عبارت دقیق تر ، اجازه دهید M ، N از ماژول های R باقی بماند. فرض کنید M عملکرد درستی از یک حلقه S دارد که با R -action جابجا می شود. یعنی M یک ماژول ( R ، S ) است. سپس

$\ operatorname {Hom} _R (M ، N)$

ساختار یک ماژول S چپ دارد که توسط: برای s در S و x در M تعریف شده است ،

${\ displaystyle (s \ cdot f) (x) = f (xs).}$

کاملاً مشخص است (یعنی ${\ displaystyle s \ cdot f}$ است R -Linear) از سال

${\ displaystyle (s \ cdot f) (rx) = f (rxs) = rf (xs) = r (s \ cdot f) (x)،}$

و ${\ displaystyle s \ cdot f}$ یک اقدام حلقه ای است از

${\ displaystyle (st \ cdot f) (x) = f (xst) = (t \ cdot f) (xs) = s \ cdot (t \ cdot f) (x)}$ .

توجه: اگر شخصی از R -action چپ به جای S -action راست استفاده کند ، تأیید فوق "خراب" خواهد بود . از این نظر ، اغلب گفته می شود که Hom از R -action استفاده می کند.

به همین ترتیب ، اگر M یک ماژول R چپ است و N یک ماژول R ( S ، S ) ، پس $\ operatorname {Hom} _R (M ، N)$ یک ماژول S مناسب توسط ${\ displaystyle (f \ cdot s) (x) = f (x) s}$ .

نمایش ماتریس [ ویرایش ]

رابطه بین ماتریس و تحولات خطی در جبر خطی به روشی طبیعی برای ماژول سازی همومورفیسم بین ماژول های آزاد تعمیم می یابد. دقیقا، با توجه به حق R -module U ، است که وجود دارد ریخت متعارف از گروه آبلی

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (U ^ {\ oplus n} ، U ^ {\ oplus m}) {\ overset {f \ mapsto [f_ {ij}]} {\ underset {\ sim} {\ به}}} M_ {m ، n} (\ operatorname {End} _ {R} (U))}$

با مشاهده به دست می آید ${\ displaystyle U ^ {\ oplus n}}$ متشکل از بردارهای ستون و سپس نوشتن f به عنوان یک ماتریس m × n . به طور خاص ، مشاهده R به عنوان R- module صحیح و استفاده از ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (R) \ simeq R}$ ، یک نفر دارد

${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (R ^ {n}) \ simeq M_ {n} (R)}$ ،

که معلوم می شود یک ایزومورفیسم حلقه ای است (به عنوان یک ترکیب مربوط به ضرب ماتریس است ).

توجه داشته باشید که همسان سازی فوق متعارف است. چاره ای در کار نیست. از طرف دیگر ، اگر به ما یک همومورفیسم ماژول بین ماژول های آزاد با درجه محدود داده شود ، پس انتخاب مبنای مرتب شده مربوط به انتخاب یک هم شکل است ${\ displaystyle F \ simeq R ^ {n}}$ . روش فوق سپس نمایه ماتریس را با توجه به چنین انتخابی از بازها ارائه می دهد. برای ماژول های عمومی تر ، نمایش های ماتریس ممکن است فاقد منحصر به فرد باشند یا وجود نداشته باشند.

تعریف [ ویرایش ]

در عمل ، غالباً با مشخص كردن مقادیر آن بر روی یك مجموعه مولد ، ماژول همگونی تعریف می شود . به طور دقیق تر ، اجازه دهید M و N از ماژول های R باقی بمانند. فرض کنید یک زیر مجموعه S تولید کننده M است . یعنی یک حدس وجود دارد $F \ به م$ با یک ماژول رایگان F با مبنای نمایه شده توسط S و K K (به عنوان مثال ، یک ارائه بصورت رایگان دارد ). سپس به یک همگونی ماژول $M \ به N$ این است که یک همگونی ماژول ارائه دهیم ${\ displaystyle F \ به N}$ که K را می کشد (یعنی نقشه K را به صفر می رساند).

عملیات [ ویرایش ]

اگر $f: M \ به N$ و $g: M '\ به N'$ یکسان سازی ماژول هستند ، پس حاصل جمع مستقیم آنها است

$f \ oplus g: M \ oplus M '\ به N \ oplus N' ، \ ، (x ، y) \ mapsto (f (x) ، g (y))$

و محصول تانسور آنها است

$f \ otimes g: M \ otimes M '\ to N \ otimes N'، \، x \ otimes y \ mapsto f (x) \ otimes g (y).$

اجازه دهید $f: M \ به N$ یک همگونی ماژول بین ماژول های چپ باشد. نمودار Γ F از F submodule است M ⊕ N داده شده توسط

${\ displaystyle \ Gamma _ {f} = \ {(x، f (x)) | x \ in M \}}$ ،

که تصویری از یکسان سازی ماژول

M → M ⊕ N ، x → ( x ، f ( x ))

است ، مورفیسم نمودار نامیده می شود .

ترانهاده از F است

$f ^ {*}: N ^ {*} \ به M ^ {*} ، \ ، f ^ {*} (\ alpha) = \ alpha \ circ f.$

اگر F ریخت است، پس از آن ترانهاده معکوس F است به نام contragredient از F .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_homomorphism

ادامه یکنواختی ماژول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:56

مثالها [ ویرایش ]

صفر نقشه M → N که به صفر نقشه هر عنصر.
تبدیل خطی بین فضاهای برداری .
$\ operatorname {Hom} _ {{{\ mathbb {Z}}}} ({\ mathbb {Z}} / n ، {\ mathbb {Z}} / m) = {\ mathbb {Z}} / \ operatorname { gcd} (n، m)$ .
برای یک حلقه تغییر پذیر R و ایده آل های I ، J ، شناسایی متعارف وجود دارد
${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (R / I، R / J) = \ {r \ in R | rI \ زیرمجموعه J \} / J}$

داده شده توسط $f \ mapsto f (1)$ . به خصوص، ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (R / I، R)}$ است نابود از من .

با توجه به یک حلقه R و یک عنصر r ، اجازه دهید ${\ displaystyle l_ {r}: R \ به R}$ ضرب سمت چپ را با r نشان می دهیم . سپس برای هر s ، t در R ،
${\ displaystyle l_ {r} (st) = rst = l_ {r} (s) t}$ .

به این معنا که، ${\ displaystyle l_ {r}}$ است حق R -Linear.

برای هر حلقه R ،
- $\ operatorname {End} _ {R} (R) = R$ به عنوان حلقه زمانی که R به عنوان یک ماژول مناسب نسبت به خود مشاهده می شود. به صراحت ، این ایزومورفیسم با نمایش منظم چپ داده می شود ${\ displaystyle R {\ overset {\ sim} {\ to}} \ operatorname {End} _ {R} (R) ، \، r \ mapsto l_ {r}}$ .
- به طور مشابه ، $\ operatorname {End} _ {R} (R) = R ^ {{op}}$ به عنوان حلقه زمانی که R به عنوان یک ماژول سمت چپ بیش از خود مشاهده می شود. کتابهای درسی یا سایر منابع معمولاً مشخص می کنند که کدام کنوانسیون استفاده می شود.
- $\ operatorname {Hom} _ {R} (R ، M) = م$ از طریق $f \ mapsto f (1)$ برای هر ماژول سمت چپ M . [1] (ساختار ماژول در هوم اینجا از سمت راست می آید R -action در R ؛ دیدن ساختارهای #Module در هوم . در زیر)
- $\ operatorname {Hom} _ {R} (M ، R)$ نامیده می شود ماژول دو از M ؛ اگر M یک ماژول سمت چپ (راست. راست) بیش از R باشد با ساختار ماژول که از R -action روی R ایجاد می شود ، یک ماژول چپ (resp. راست) است . با نشان داده می شود $M ^ *$ .
با توجه به همگونی حلقه R → S حلقه های جابجایی و S- مدول M ، یک نقشه R خطی θ: S → M در صورت وجود f ، g در S ، θ ( fg ) = f θ ( g ) مشتق نامیده می شود + θ ( F ) گرم .
اگر S ، T جبرهای انجمنی متحد بیش از یک حلقه R باشد ، یک همجنس گویی جبری از S به T یک همگونی حلقه است که همچنین یک همسان سازی مودم R است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_homomorphism

یکنواختی ماژول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:55

در جبر ، یک همریخت ماژول است تابع بین ماژول های که به حفظ ساختار ماژول. به طور واضح ، اگر M و N از روی حلقه R ماژول باقی مانده باشند ، یک تابع است $f: M \ به N$ نامیده می شود R - همریخت ماژول یا R - نقشه خطی اگر به هر X ، Y در M و R در R ،

$f (x + y) = f (x) + f (y) ،$

$f (rx) = rf (x).$

به عبارت دیگر ، f یک همگونی گروهی است (برای گروه های اصلی افزودنی) که با ضرب اسکالر رفت و آمد می کند. اگر M ، N حق با R -modules، شرط دوم با جایگزین

$f (xr) = f (x) r$

وارون از عنصر صفر تحت F است به نام هسته از F . مجموعه ای از همه homomorphisms ماژول از M به N است نشان داده می شود $\ operatorname {Hom} _R (M ، N)$ . این است گروه آبلی (تحت علاوه بر نقطه به نقطه) اما لزوما یک ماژول نیست مگر اینکه R است جابجایی .

ترکیب های homomorphisms ماژول است دوباره یک همریخت ماژول، و نقشه هویت در یک ماژول همریخت ماژول است. بنابراین ، تمام ماژول ها (می گویند سمت چپ) همراه با همه همگونی های ماژول بین آنها دسته ماژول ها را تشکیل می دهند .

فهرست

اصطلاحات [ ویرایش ]

در صورت پذیرش یک همجنس گرائی معکوس ، یکدست سازی ماژول ایزومورفیسم ماژول نامیده می شود . به طور خاص، آن را به یک است پوشا و یکبهیک . برعکس ، می توان نشان داد که یکنواختی ماژول ذهنی یک انحراف است. یعنی معکوس یک شکل تجانس ماژول است. به طور خاص ، همومورفیسم ماژول یک انحراف است اگر و فقط اگر یک ناهنجاری بین گروه های زیرین آبلیان باشد.

قضایا isomorphism برای homomorphisms ماژول نگه دارید.

همریخت ماژول از ماژول M را به خود یک نام روپوست و ریخت از M به خودی خود یک های automorphism . یکی می نویسد ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (M) = \ operatorname {Hom} _ {R} (M، M)}$ برای مجموعه ای از تمام endomorphisms بین یک ماژول M . این نه تنها یک گروه آبلی است، اما همچنین یک حلقه با ضرب داده شده توسط ترکیب تابع، به نام حلقه از روپوست از M . گروهی از واحدهای این حلقه است گروه automorphism از M .

لمام Schur می گوید که یک همگونی بین ماژول های ساده (ماژولی بدون زیر ماژول غیر پیش پا افتاده ) باید صفر یا یک شکل باشد. به طور خاص ، حلقه اندومورفیسم یک ماژول ساده یک حلقه تقسیم است .

در زبان نظریه مقوله ، همجنسگرائی مصنوعی را یک شکل ( monomorphism) و همومورفیسم تصنیفی (epimorphism ) را نیز می نامند .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_homomorphism

ماژول (ریاضیات) یا مدول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:50

انواع ماژول ها [ ویرایش ]

به طور نهایی تولید شده است

R -module M است finitely ایجاد در صورت وجود متناهی عناصر وجود دارد ایکس 1 ، ...، ایکس N در M به طوری که هر عنصر از M است ترکیب خطی از این عناصر با ضرایب از حلقه R .

چرخه ای

ماژول اگر توسط یک عنصر تولید شود ، ماژول حلقوی نامیده می شود .

رایگان

رایگان R -module یک ماژول که ریشه، یا به طور برابر، یکی این است که ریخت به یک است مجموع مستقیم نسخه از حلقه R . اینها ماژولهایی هستند که رفتاری کاملاً شبیه به فضاهای برداری دارند.

ابتکاری

ماژول های تصویری هستند جمعوند مستقیم از ماژول های رایگان و به اشتراک گذاری بسیاری از خواص مطلوب خود.

ذهنی

ماژول های ذهنی به صورت دوتایی به ماژول های تصویری تعریف می شوند.

تخت

اگر ماکزیمم محصول با دقت و توالی دقیق از R- modules را حفظ کند ، ماژول را مسطح می نامند .

بدون پیچش

اگر یک ماژول در دوگانه جبری خود جاسازی شود ، بدون پیچش نامیده می شود .

ساده

ماژول ساده S یک ماژول است که {0} و تنها submodules دارند {0} است و S . ماژول های ساده را گاهی غیرقابل کاهش می نامند . [5]

نیمه ساده

ماژول SEMISIMPLE مبلغ مستقیم (محدود یا نه) از ماژول های ساده است. از نظر تاریخی این ماژول ها کاملاً کاهش پذیر نیز نامیده می شوند .

تجزیه ناپذیر

یک ماژول تجزیه ناپذیر یک ماژول غیر صفر است که نمی توان آن را به صورت یک جمع مستقیم از دو زیر ماژول غیر صفر نوشت . هر ماژول ساده غیر قابل تجزیه است ، اما ماژول های تجزیه ناپذیری وجود دارد که ساده نیستند (به عنوان مثال ماژول های یکنواخت ).

با ایمان

ماژول وفادار M است که در آن عمل هر یک از R ≠ 0 در R در M کوچک اما با اهمیت است (یعنی R ⋅ X ≠ 0 برای برخی از X در M ). برابر، نابود از M ایده آل صفر است.

بدون پیچ خوردگی

یک ماژول بدون پیچش یک ماژول روی یک حلقه است به طوری که 0 تنها عنصری است که توسط یک عنصر منظم (غیر تقسیم کننده صفر) حلقه نابود می شود ، به طور معادل ${\ displaystyle rm = 0}$ دلالت دارد $r = 0$ یا $m = 0$ .

نوتریایی

ماژول نوتری یک ماژول است که ارضا است شرایط زنجیره صعودی در submodules، این است که، هر زنجیره ای افزایش submodules پس finitely بسیاری از مراحل ثابت شود. به طور معادل ، هر زیر مدول به طور محدود تولید می شود.

آرتینین

ماژول ARTINIAN یک ماژول است که ارضا است شرایط زنجیره نزولی در submodules، این است که، هر زنجیره ای کاهش submodules پس finitely بسیاری از مراحل ثابت شود.

درجه بندی شده

یک ماژول درجه بندی شده یک ماژول با تجزیه به عنوان یک مقدار مستقیم M = ⨁ x M x بیش از یک حلقه درجه بندی شده R = ⨁ x R x است به طوری که R x M y ⊂ M x + y برای همه x و y .

لباس فرم

ماژول یکنواخت یک ماژول که در آن همه جفت از submodules غیر صفر دارند تقاطع غیر صفر است.

مفاهیم بعدی [ ویرایش ]

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

نمایش یک گروه G بر روی یک فیلد k یک ماژول بیش از حلقه گروه k [G] است .

اگر M یک ماژول R چپ باشد ، عملکرد عنصر r در R تعریف می شود به عنوان نقشه M → M که هر x را به rx می فرستد (یا xr در مورد یک ماژول راست) ، و لزوماً یک گروه است اندومورفیسم گروه آبلیان ( M ، +) . مجموعه تمام اندومورفیسمهای گروه M انتهای Z ( M ) مشخص شده و یک حلقه را تحت ترکیب و ترکیب تشکیل می دهد و یک عنصر حلقه R از R ارسال می کندبه عمل آن در واقع یک همگونی حلقه را از R تا End Z ( M ) تعریف می کند.

چنین حلقه همریخت R → پایان Z ( M ) است که به نام نمایندگی از R بر گروه آبلی M ؛ یک روش جایگزین و معادل برای تعریف R- Modules سمت چپ این است که بگوییم R- Module چپ یک گروه Abelian M است به همراه نمایش R روی آن.

نمایندگی نامیده می شود وفادار اگر و تنها اگر نقشه R → پایان Z ( M ) است تزریقی . از نظر ماژول ها ، این بدان معناست که اگر r عنصر R باشد به طوری که rx = 0 برای کل x در M ، r = 0 باشد. هر گروه abelian یک واحد وفادار بیش از اعداد صحیح یا برخی از حساب های مدولار Z / n Z است .

تعمیم [ ویرایش ]

هر حلقه R را می توان به عنوان یک دسته از پیش اضافه شده با یک شی واحد مشاهده کرد. با این درک ، یک R- module سمت چپ فقط یک فاکتور افزودنی متغیر از R به گروه Ab از گروه های abelian است ، و R- modules سمت راست ، بردارهای افزودنی متغیر است. این نشان می دهد که ، اگر C هر گروه از پیش افزودنی است ، یک تراکتور افزودنی متغیر از C به Ab باید یک ماژول چپ تعمیم یافته بیش از C در نظر گرفته شود . این برش دهنده ها یک دسته functor C - Mod را تشکیل می دهندکه تعمیم طبیعی دسته ماژول R - Mod است .

بیش از ماژول جابجایی حلقه را می توان در یک مسیر متفاوت تعمیم: یک فضای حلقه دار ( X ، O X ) و در نظر قرقره از O X -modules (نگاه کنید به بافه ماژول ). اینها یک دسته O X - Mod را تشکیل می دهند و نقش مهمی در هندسه جبری مدرن دارند . اگر X فقط یک نقطه داشته باشد ، این یک دسته ماژول به معنای قدیمی بیش از حلقه تغییر دهنده O X ( X ) است.

همچنین می توان ماژول ها را در یک سمینار در نظر گرفت . بیش از ماژول حلقه گروه آبلی است، اما ماژول های بیش از semirings تنها جابجایی monoids . بیشتر برنامه های ماژول هنوز امکان پذیر است. به طور خاص ، برای هر S سنسور ، ماتریس های بیش از S یک semiring را تشکیل می دهند که مجموعه عناصر S از آن یک ماژول هستند (فقط به این معنی تعمیم یافته). این اجازه می دهد تا تعمیم بیشتری از مفهوم فضای بردار شامل سمینارهای علوم رایانه نظری باشد.

بیش از حلقه های نزدیک ، می توان ماژول های نزدیک حلقه ، یک تعمیم غیرابلیایی ماژول ها را در نظر گرفت. [ نیاز به منبع ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)

ماژول (ریاضیات) یا مدول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:49

مثالها [ ویرایش ]

اگر K یک زمینه باشد ، K - فضاهای بردار (فضاهای بردار بیش از K ) و K - مدول ها یکسان هستند.
اگر K یک فیلد باشد ، و K [ x ] یک حلقه چند جمله ای تک متغیره است ، پس یک ماژول K [ x ] M یک ماژول K با یک عملکرد اضافی x در M است که با عملکرد K در M تغییر می کند . به عبارت دیگر ، ماژول K [ x ] یک فضای M -K است که با یک نقشه خطی از M به M ترکیب می شود . استفاده از قضیه ساختار برای ماژولهای کاملاً تولید شده در یک دامنه ایده آل اصلیبه این مثال وجود نشان می دهد منطقی و متعارف اردن اشکال.
مفهوم ماژول Z با مفهوم گروه abelian موافق است. یعنی هر گروه abelian ماژولی است بر روی حلقه اعداد صحیح Z به روشی منحصر به فرد. برای n > 0 ، اجازه دهید n ⋅ x = x + x + ... + x ( n جمع) ، 0 ⋅ x = 0 و (- n ) ⋅ x = - ( n ⋅ x ) . چنین ماژولی نیازی به مبنا ندارد - گروههایی که حاوی عناصر پیچشی هستندانجام ندهید. (به عنوان مثال ، در گروه عدد صحیح مدول 3 ، نمی توان حتی یک عنصر را یافت که تعریف یک مجموعه مستقل خطی را ارضا کند زیرا وقتی یک عدد صحیح مانند 3 یا 6 یک عنصر را ضرب می کند ، نتیجه 0 می شود. با این حال ، اگر متناهی باشد فیلد به عنوان یک ماژول از همان فیلد محدود گرفته شده به عنوان حلقه در نظر گرفته می شود ، این یک فضای بردار است و یک پایه دارد.)
کسور دهدهی (از جمله آنهایی که منفی) یک ماژول بیش از اعداد صحیح را تشکیل دهند. فقط تک مجموعه ها به صورت خطی مجموعه مستقلی هستند ، اما هیچ واحدی وجود ندارد که بتواند به عنوان مبنا عمل کند ، بنابراین ماژول هیچ پایه و رتبه ای ندارد.
اگر R هر حلقه و N عدد طبیعی ، پس از آن ضرب دکارتی R N هر دو سمت چپ و راست است R -module بیش R اگر ما با استفاده عملیات جزء و زرنگ. از این رو وقتی n = 1 ، R یک ماژول R است ، جایی که ضرب اسکالر فقط ضرب حلقه است. حالت n = 0 R- modul بی اهمیت {0} را شامل می شود که فقط از عنصر هویت آن تشکیل شده است. ماژول های این نوع آزاد نامیده می شوند و اگر R دارای عدد مبنای ثابت باشد(به عنوان مثال هر حلقه یا فیلد جابجایی) عدد n سپس رتبه ماژول رایگان است.
اگر M N ( R ) حلقه است N × N ماتریس بیش از یک حلقه R ، M م است N ( R ) -module و الکترونیک من است N × N ماتریس با 1 در ( من ، من ) -entry (و صفر در جاهای دیگر)، و سپس ایمیل من M یک IS R -module، از دوباره من متر = E من RM ∈ E من M . بنابراین ممی شکند تا به عنوان مجموع مستقیم از R -modules، M = E 1 M ⊕ ... ⊕ الکترونیکی N M . در مقابل، با توجه به R -module M 0 ، سپس M 0 ⊕ N م است N ( R ) -module. در واقع ، رده ماژول های R و رده ماژول های R n ( R ) معادل هستند. مورد خاص این است که ماژول M فقط R به عنوان یک ماژول بیش از خود باشد ، سپس R n یک M n است (ر ) -مدول.
اگر S یک مجموعه خالی باشد ، M یک ماژول چپ R است ، و M S مجموعه ای از تمام توابع f است : S → M ، سپس با جمع و ضرب اسکالر در M S تعریف شده توسط ( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) and ( rf ) ( s ) = rf ( s ) ، M Sیک ماژول R چپ است . حق R مورد -module مشابه است. به ویژه، اگر R جابجایی پذیر است پس از آن مجموعه ای از homomorphisms R-ماژول ساعت : M → N (پایین را ببینید) یک است R -module (و در واقع یک submodule از N M ).
اگر X یک منیفولد صاف باشد ، توابع صاف از X به اعداد واقعی یک حلقه C ∞ ( X ) تشکیل می دهند. مجموعه ای از تمام صاف زمینه های بردار تعریف شده بر روی X به صورت یک ماژول بیش از C ∞ ( X )، و غیره انجام میدان تانسوری و فرم های دیفرانسیل در X . به طور کلی ، بخش های هر بسته نرم افزاری بردار یک ماژول فرافکنی بیش از C ∞ ( X ) و توسط تشکیل می دهندقضیه قو ، هر ماژول فرافکنی با ماژول مقاطع برخی از بسته ها ناموزون است. دسته از C ∞ ( X ) -modules و دسته از بسته نرم افزاری بردار بیش از X هستند معادل .
اگر R هر حلقه است و من هر است ایده آل چپ در R ، پس از آن من به سمت چپ است R -module، و آرمان های شبیه در R درست می R -modules.
اگر R یک حلقه است ، می توانیم حلقه R op را تعریف کنیم که دارای همان مجموعه زیرین و همان عمل جمع است ، اما ضرب مخالف: اگر ab = c در R باشد ، سپس ba = c در R op . هر R- module چپ M می تواند یک ماژول راست نسبت به R op باشد ، و هر ماژول سمت راست بیش از R می تواند یک ماژول سمت چپ بیش از R op در نظر گرفته شود .
ماژول های جبر دروغ ماژول هایی هستند (جبر انجمنی) بیش از جبرهای پوششی جهانی آن .

زیر مدول ها و همگونی ها [ ویرایش ]

فرض کنید M سمت چپ است R -module و N است زیر گروه از M . سپس N یک زیر مدول (یا به طور واضح تر یک زیرمجموعه R ) است اگر برای هر n در N و هر r در R ، محصول r ⋅ n در N باشد (یا n ⋅ r برای یک ماژول R درست).

اگر X زیرمجموعه ای از یک ماژول R باشد ، زیرمدول که توسط X پوشانده می شود تعریف می شود ${\ textstyle \ langle X \ rangle = \ bigcap _ {N \ supseteq X} N}$ جایی که N از زیر مدولهای M که حاوی X است ، یا به صراحت عبور می کند ${\ textstyle \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {k} r_ {i} x_ {i} \ mid r_ {i} \ in R، x_ {i} \ in X \ right \}}$ ، که در تعریف محصولات تنسور مهم است. [3]

مجموعه زیر مدولهای یک ماژول داده شده M ، همراه با دو عمل دودویی + و a ، یک شبکه تشکیل می دهد که قانون مدولار را برآورده می کند : با توجه به زیر ماژول های U ، N 1 ، N 2 از M به طوری که N 1 ⊂ N 2 ، سپس زیر دو زیر مدول برابر هستند: ( N 1 + U ) ∩ N 2 = N 1 + ( U ∩ N 2 ) .

اگر M و N به سمت چپ R -modules، و سپس یک نقشه F : M → N است همریخت از R -modules اگر به هر متر ، N در M و R ، ها در R ،

$f (r \ cdot m + s \ cdot n) = r \ cdot f (m) + s \ cdot f (n)$ .

این ، مانند هر یکسان سازی اشیا ریاضی ، فقط یک نقشه برداری است که ساختار اشیا را حفظ می کند. نام دیگر همریخت از R -modules یک IS R - نقشه های خطی .

دوسویی همریخت ماژول یک است ریختی از ماژول ها، و دو ماژول نامیده می شوند ریخت . دو ماژول هم شکل برای تمام اهداف عملی یکسان هستند و فقط در علامت گذاری برای عناصر آنها متفاوت است.

هسته از یک ماژول همریخت F : M → N submodule است M شامل همه عناصر که توسط به صفر ارسال F و تصویر از F submodule است N متشکل از مقادیر تابع f (متر) بر روی همه عناصر متر از M . [4] قضایا isomorphism آشنا از گروه ها و فضاهای برداری نیز برای معتبر هستند R -modules.

با توجه به یک حلقه R ، مجموعه تمام ماژول های R سمت چپ همراه با همگونی های ماژول خود یک دسته آبلی را تشکیل می دهند ، که توسط R - Mod نشان داده می شوند (به دسته ماژول ها مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)

ماژول (ریاضیات) یا مدول

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 1:48

ساختارهای جبری
گروه مانند[نمایش]
انگشتر مانند[نمایش]
مشبک مانند[نمایش]
ماژول مانند[نمایش]
جبر مانند[نمایش]
v تی ه

ساختار جبری → نظریه حلقه نظریه حلقه

مفاهیم اساسی[نمایش]
جبر عواملی [نمایش]
جبر غیرقابل تغییر [نمایش]
v تی ه

در ریاضیات ، ماژول یکی از ساختارهای اساسی جبری است که در جبر انتزاعی استفاده می شود . یک ماژول بر روی یک حلقه یک تعمیم از مفهوم فضای بردار در یک زمینه است ، که در آن مقیاس پذیرهای مربوطه عناصر یک حلقه دلخواه داده شده (با هویت) هستند و یک ضرب (در سمت چپ و / یا در سمت راست) تعریف شده است بین عناصر حلقه و عناصر ماژول. ماژول گرفتن اسکالرهای خود را از یک حلقه R یک نام R -مدول.

بنابراین ، یک ماژول ، مانند یک فضای بردار ، یک گروه افزودنی abelian است . محصولی بین عناصر حلقه و عناصر ماژول تعریف می شود که در عملکرد جمع هر پارامتر توزیعی است و با ضرب حلقه سازگار است.

ماژول بسیار مربوط به مربوط تئوری نمایندگی از گروه . آنها همچنین یکی از مفاهیم اصلی جبر رفتاری و جبر همولوژی هستند و به طور گسترده در هندسه جبری و توپولوژی جبری استفاده می شوند .

فهرست

مقدمه و تعریف [ ویرایش ]

انگیزه [ ویرایش ]

در یک فضای برداری، مجموعه ای از اسکالرهای است درست عمل می کند و در بردار با ضرب اسکالر، موضوع به بدیهیات خاص مانند قانون توزیع . در یک ماژول ، مقیاس پذیرها فقط باید یک حلقه باشند ، بنابراین مفهوم ماژول یک تعمیم قابل توجه را نشان می دهد. در جبر کموتی ، هر دو ایده آل و حلقه های ضریب ماژول هستند ، بنابراین بسیاری از بحث های مربوط به ایده آل ها یا حلقه های ضریب را می توان در یک استدلال واحد در مورد ماژول ها ترکیب کرد. در جبر غیر جابجایی تمایز بین ایده آل های چپ ، ایده آل ها و ماژول ها بارزتر می شود ، اگرچه برخی شرایط نظری حلقه را می توان در مورد ایده آل های چپ یا ماژول های چپ بیان کرد.

بیشتر نظریه ماژول ها شامل گسترش هر چه بیشتر خصوصیات مطلوب فضاهای برداری به حوزه ماژول ها بر روی یک حلقه "خوش رفتار " مانند دامنه ایده آل اصلی است . با این حال ، ماژول ها می توانند کمی پیچیده تر از فضاهای برداری باشند. به عنوان مثال ، همه ماژول ها دارای پایه نیستند ، و حتی آنهایی که ماژول های رایگان دارند ، اگر حلقه زیرین شرایط عدد پایه ثابت را برآورده نکند ، برخلاف فضاهای برداری ، که همیشه دارای یک (احتمالاً بی نهایت) هستند ، نیازی به رتبه منحصر به فرد ندارند مبنایی که پس از آن اساسی است منحصر به فرد است. (این دو ادعای اخیر به بدیهی انتخاب نیاز داردبه طور کلی، اما نه در مورد فضاهای محدود بعدی، و یا برخی از خوبی رفتار فضاهای بی نهایت بعدی مانند L ص فضاهای .)

تعریف رسمی [ ویرایش ]

فرض کنید R یک حلقه است و 1 R هویت ضربی آن است. چپ R -مدول M شامل یک گروه آبلی ( M ، +) و یک عملیات ⋅: R × M → M طوری که برای همه R ، ها در R و X ، Y در M ، ما را داشته باشد:

$r \ cdot (x + y) = r \ cdot x + r \ cdot y$
$(r + s) \ cdot x = r \ cdot x + s \ cdot x$
$(rs) \ cdot x = r \ cdot (s \ cdot x)$
$1_ {R} \ cdot x = x.$

عملکرد حلقه در M ضرب اسکالر نامیده می شود ، و معمولاً با هم قرار گرفتن ، به عنوان rx برای r در R و x در M نوشته می شود ، اگرچه در اینجا به عنوان r ⋅ x نشان داده می شود تا از عمل ضرب حلقه متمایز شود ، مشخص می شود در اینجا با کنار هم قرار گرفتن علامت گذاری R M نشانگر R چپ ماژول M است . یک R راست ماژول M یا M Rبه طور مشابه تعریف می شود ، با این تفاوت که حلقه در سمت راست عمل می کند. یعنی ضرب اسکالر به شکل ⋅: M × R → M در می آید و بدیهیات فوق با مقیاسهای r و s در سمت راست x و y نوشته می شوند .

نویسنده که حلقه نیاز به unital شرایط به آنرا حذف 4 بالا در تعریف از R -مدول، و به همین ترتیب ساختارهای تعریف شده در بالا "unital سمت چپ پاسخ R -مدول ها". در این مقاله ، مطابق با واژه نامه تئوری حلقه ، همه حلقه ها و ماژول ها یکپارچه فرض می شوند. [1]

اگر یکی عمل عددی به عنوان نویسد F R به طوری که F R ( X ) = R ⋅ X و F برای نقشه که طول می کشد هر تحقیق به نقشه مربوط به آن F R ، سپس اصل موضوعه اول که هر F R است روپوست گروه از M ، و سه بدیهی دیگر ادعا می کنند که نقشه f : R → End ( M ) داده شده توسط r ↦ f r یک همگونی حلقه ای از R استبه حلقه endomorphism End ( M ). [2] بنابراین یک ماژول یک عمل حلقه ای بر روی یک گروه abelian است (رجوع کنید به عملکرد گروهی . همچنین عملکرد مونوئید ساختار ضرب R را نیز در نظر بگیرید ). از این نظر ، تئوری ماژول نظریه بازنمایی را تعمیم می دهد ، که به اقدامات گروهی در فضاهای برداری یا معادل آن اقدامات حلقه گروهی مربوط می شود.

bimodule یک ماژول است که یک ماژول سمت چپ و یک ماژول سمت راست به طوری که دو ضرب سازگار می باشد.

اگر R است مبادلهای و سپس سمت چپ R -مدولهمان حق با R -مدولو به سادگی به نام R -مدول.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)

ادامه سلسله مراتب بورل

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم آبان ۱۳۹۹ | 20:36

ارتباط با سلسله مراتب دیگر [ ویرایش ]

لایت فیس		پررنگ
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (گاهی اوقات همان Δ است0 1)		Σ0 0= Π0 0= Δ0 0 (در صورت تعریف)
Δ0 1= بازگشتی		Δ0 1= بستن
Σ0 1= بازگشتی قابل شمارش است	Π0 1 = به طور بازگشتی قابل شمارش است	Σ0 1= G = باز	Π0 1= F = بسته است
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	Σ0 2= F σ	Π0 2= G δ
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	Σ0 3= G δσ	Π0 3= F σδ
⋮		⋮
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0= حسابي		Σ0 <ω= Π0 <ω= Δ0 <ω= Σ1 0= Π1 0= Δ1 0 = حسابی پررنگ
⋮		⋮
Δ0 α(α بازگشتی )		Δ0 α(α قابل شمارش )
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
⋮		⋮
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1= رجحان		Σ0 ω 1= Π0 ω 1= Δ0 ω 1= Δ1 1= B = بورل
Σ1 1 = تحلیلی لایت فیس	Π1 1 = تحلیلی لایت فیس	Σ1 1= A = تحلیلی	Π1 1= CA = تجزیه و تحلیل همزمان
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	Σ1 2 = PCA	Π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	Σ1 3 = PCPCA	Π1 3 = CPCPCA
⋮		⋮
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0= تحلیلی		Σ1 <ω= Π1 <ω= Δ1 <ω= Σ2 0= Π2 0= Δ2 0= P = فرافکنی
⋮		⋮

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy

ادامه سلسله مراتب بورل

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم آبان ۱۳۹۹ | 20:35

سلسله مراتب Boldface Borel [ ویرایش ]

سلسله مراتب بورل یا حروف برجسته سلسله مراتب بورل در یک فضای X متشکل از کلاس ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ ، ${\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0}$ ، و ${\ mathbf {\ Delta}} _ {\ alpha} ^ {0}$ برای هر ترتیب قابل شمارش $آلفا$ بزرگتر از صفر هر یک از این کلاس ها از زیر مجموعه های X تشکیل شده است . کلاسها به طور استقرایی از قوانین زیر تعریف می شوند:

یک مجموعه در ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {1} ^ {0}$ اگر و فقط اگر باز باشد.
یک مجموعه در ${\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0}$ اگر و فقط اگر مکمل آن در باشد ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ .
یک مجموعه $آ$ هست در ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ برای $\ alpha> 1$ اگر و فقط اگر توالی مجموعه ای وجود داشته باشد $A_ {1} ، A_ {2} ، \ نقاط$ به گونه ای که هر کدام $A_ {i}$ هست در ${\ mathbf {\ Pi}} _ {{\ alpha _ {i}}} ^ {0}$ برای بعضی ها $\ alpha _ {i} <\ alpha$ و $A = \ bigcup A_ {i}$ .
یک مجموعه در ${\ mathbf {\ Delta}} _ {\ alpha} ^ {0}$ اگر و فقط اگر هر دو در باشد ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ و در ${\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0}$ .

انگیزه سلسله مراتب دنبال کردن روشی است که در آن می توان یک مجموعه بورل را از مجموعه های باز با استفاده از اتحادیه های تکمیل کننده و قابل شمارش ساخت. گفته می شود که مجموعه ای از بورل در صورت قرار داشتن دارای درجه متناهی است ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ برای برخی از ترتیبات محدود $آلفا$ ؛ در غیر این صورت دارای درجه بی نهایت است .

اگر ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0} \ subseteq \ mathbf {\ Sigma} _ {2} ^ {0}}$ سپس می توان سلسله مراتب را با ویژگی های زیر نشان داد:

برای هر ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0} \ cup {\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0} \ subseteq {\ mathbf {\ Delta}} _ {{\ آلفا 1+}} ^ {0}$ . بنابراین ، هرگاه مجموعه ای در آن قرار گرفت ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ یا ${\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0}$ ، این مجموعه در تمام طبقات سلسله مراتبی مربوط به ترتیبهای بزرگتر از α خواهد بود
$\ bigcup _ {{\ alpha <\ omega _ {1}}} {\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0} = \ bigcup _ {{\ alpha <\ omega _ {1}}} {\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0} = \ bigcup _ {{\ alpha <\ omega _ {1}}} {\ mathbf {\ Delta}} _ {\ alpha} ^ {0 }$ . علاوه بر این ، مجموعه ای در این اتحادیه قرار دارد که فقط و فقط اگر بورل باشد.
اگر $ایکس$ یک فضای لهستانی غیر قابل شمارش است ، می توان نشان داد که ${\ mathbf {\ Sigma}} _ {\ alpha} ^ {0}$ موجود نیست ${\ mathbf {\ Pi}} _ {\ alpha} ^ {0}$ برای هرچی $\ alpha <\ امگا _ {1}$ ، و بنابراین سلسله مراتب سقوط نمی کند.

مجموعه های بورل از درجه کوچک [ ویرایش ]

کلاسهای درجه کوچک در تئوری مجموعه توصیفی کلاسیک با نامهای جایگزین شناخته می شوند.

${\ mathbf {\ Sigma}} _ {1} ^ {0}$ مجموعه ها مجموعه های باز هستند. ${\ mathbf {\ Pi}} _ {1} ^ {0}$ مجموعه ها مجموعه های بسته هستند.
${\ mathbf {\ Sigma}} _ {2} ^ {0}$ مجموعه ها اتحادیه های قابل شماری از مجموعه های بسته هستند و مجموعه های F σ نامیده می شوند . ${\ mathbf {\ Pi}} _ {2} ^ {0}$ مجموعه ها کلاس دوگانه هستند و می توانند به عنوان تقاطع قابل شمارش مجموعه های باز نوشته شوند. این مجموعه به نام G δ مجموعه .

سلسله مراتب Lightface [ ویرایش ]

lightface بورل سلسله مراتب از نسخه موثر حروف برجسته سلسله مراتب بورل است. این در نظریه مجموعه توصیفی موثر و نظریه بازگشت مهم است . سلسله مراتب lightface Borel سلسله مراتب حسابی زیر مجموعه های یک فضای موثر لهستانی را گسترش می دهد . این رابطه نزدیکی با سلسله مراتب ابرقراری دارد .

سلسله مراتب lightface Borel را می توان در هر فضای م Polishثر لهستانی تعریف کرد. از کلاس تشکیل شده است $\ Sigma _ {\ alpha} ^ {0}$ ، $\ Pi _ {\ alpha} ^ {0}$ و $\ دلتا _ {\ alpha} ^ {0}$ برای هر ترتیب قابل شمارش غیر صفر $آلفا$ کمتر از ترتیب کلیسا – کلین $\ امگا _ {1} ^ {{{\ mathrm {CK}}}}$ . هر کلاس از زیر مجموعه های فضا تشکیل شده است. کلاسها و کدهای عناصر کلاسها به صورت استقرایی به شرح زیر تعریف می شوند:

یک مجموعه است $\ سیگما _ {1} ^ {0}$ اگر و فقط اگر به طور م openثر باز باشد ، یعنی مجموعه ای باز كه اتحادیه ای از دنباله های قابل باز شمردن مجموعه های باز اساسی است. یک کد برای چنین مجموعه ای یک جفت است (0 ، e) ، جایی که e شاخص یک برنامه است که توالی مجموعه های باز اساسی را بر می شمارد.
یک مجموعه است $\ Pi _ {\ alpha} ^ {0}$ اگر و فقط اگر مکمل آن باشد $\ Sigma _ {\ alpha} ^ {0}$ . کد یکی از این مجموعه ها یک جفت است (1 ، c) که c یک کد برای مجموعه مکمل است.
یک مجموعه است $\ Sigma _ {{\ alpha}} ^ {0}$ اگر یک توالی قابل محاسبه کد از یک توالی وجود داشته باشد $A_ {1} ، A_ {2} ، \ نقاط$ از مجموعه هایی به گونه ای که هر کدام $A_ {i}$ است $\ Pi _ {{\ alpha _ {i}}} ^ {0}$ برای بعضی ها $\ alpha _ {i} <\ alpha$ و $A = \ bigcup A_ {i}$ . یک کد برای $\ Sigma _ {\ alpha} ^ {0}$ set یک جفت است (2 ، e) ، جایی که e نمایه ای از برنامه است که کدهای توالی را برمی شمارد $A_ {i}$ .

کدی برای مجموعه نور لامپ Borel اطلاعات کاملی در مورد نحوه بازیابی مجموعه از مجموعه هایی با درجه کوچکتر را می دهد. این در تضاد با سلسله مراتب پررنگ است ، جایی که چنین اثری لازم نیست. هر مجموعه سبک نور بورل دارای کدهای متمایز بسیار زیادی است. سایر سیستم های کدگذاری امکان پذیر است. ایده مهم این است که یک کد باید به طور موثر بین مجموعه های کاملاً باز ، مکمل مجموعه هایی که توسط کدهای قبلی نشان داده شده و شمارش های قابل محاسبه از توالی کد ها را از هم تشخیص دهد.

می توان نشان داد که برای هر یک $\ alpha <\ امگا _ {1} ^ {{{\ mathrm {CK}}}}$ مجموعه هایی وجود دارد $\ Sigma _ {\ alpha} ^ {0} \ setminus \ Pi _ {{\ alpha}} ^ {0}$ ، و بنابراین سلسله مراتب سقوط نمی کند. هیچ مجموعه جدیدی در مرحله اضافه نمی شود $\ امگا _ {1} ^ {{{\ mathrm {CK}}}}$ ، با این حال.

یک قضیه معروف به دلیل Spector and Kleene بیان می کند که مجموعه ای در سلسله مراتب نور زمینه Borel قرار دارد اگر و فقط اگر در سطح باشد $\ دلتا _ {1} ^ {1}$ از سلسله مراتب تحلیلی . این مجموعه نیز نامیده می شود hyperarithmetic .

کد مجموعه نور نور Borel A می تواند برای تعریف استقرایی درختی استفاده شود که گره های آن با کد برچسب گذاری شده اند. ریشه درخت با کد A مشخص شده است . اگر گره ای با کد فرم (1 ، c) برچسب گذاری شود ، آنگاه یک گره کودک دارد که کد آن c است . اگر یک گره با کد فرم (2 ، e) برچسب گذاری شود ، برای هر کد شمارش شده توسط برنامه با شاخص e یک فرزند دارد . اگر گره ای با کد فرم (0 ، e) برچسب گذاری شود ، پس فرزندی ندارد. این درخت نحوه ساخت A را از مجموعه هایی با درجه کوچکتر توصیف می کند. دستورالعمل های مورد استفاده در ساخت Aاطمینان حاصل کنید که این درخت هیچ مسیر نامحدودی ندارد ، زیرا هر مسیر نامحدود از طریق درخت باید شامل بی نهایت کدهای زیادی باشد که از 2 شروع می شوند ، و بنابراین یک ترتیب بی حد و حصر عادی را می دهد. برعکس ، اگر یک زیر شاخه دلخواه از $\ امگا ^ {{<\ امگا}} \ ،$ گره های خود را با کدها به روشی ثابت برچسب گذاری می کنند ، و درخت هیچ مسیر نامحدودی ندارد ، پس کد موجود در ریشه درخت یک کد برای مجموعه نور بورل است. رتبه این مجموعه به نوع ترتیب درخت در راسته Kleene – Brouwer محدود می شود . از آنجا که درخت از نظر حساب قابل تعریف است ، بنابراین این درجه باید کمتر از باشد $\ امگا _ {1} ^ {{{\ mathrm {CK}}}}$ . این مبدأ ترتیبی کلیسا-کلین در تعریف سلسله مراتب سطح سبک است.

سلسله مراتب بورل

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم آبان ۱۳۹۹ | 20:20

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در منطق ریاضی ، سلسله مراتب بورل طبقه بندی جبر بورل است که توسط زیرمجموعه های باز فضای لهستان ایجاد می شود . عناصر این جبر را مجموعه های بورل می نامند . به هر مجموعه بورل یک عدد ترتیبی قابل شمارش منحصر به فرد اختصاص داده می شود که به آن رتبه مجموعه بورل می گویند. سلسله مراتب بورل در نظریه مجموعه توصیفی مورد توجه خاص است .

یکی از کاربردهای رایج سلسله مراتب بورل ، اثبات حقایق مربوط به مجموعه های بورل با استفاده از القا induc نامحدود در درجه است. خصوصیات مجموعه ای از صفوف محدود کوچک در نظریه اندازه گیری و تجزیه و تحلیل مهم است .

فهرست

مجموعه های بورل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مجموعه بورل

جبر بورل در فضای توپولوژیک کوچکترین مجموعه ای از زیر مجموعه های از فضای که شامل مجموعه های باز و تحت اجتماع های قابل شمارش ومتمم بسته است . می توان نشان داد که جبر بورل در اشتراکهای قابل شمارش نیز بسته است.

با اثبات اینکه کل قدرت فضا تحت اجتماع های قابل شمارش ومتممبسته شده است ، یک اثبات کوتاه بر اینکه جبر بورل کاملاً مشخص شده است ، حاصل می شود و بنابراین جبر بورل محل اشتراک همه خانواده های زیرمجموعه فضا است که دارای این خصوصیات بسته هستند. این مدرک روش ساده ای برای تعیین بورل بودن یک مجموعه ارائه نمی دهد. انگیزه ای برای سلسله مراتب بورل ارائه خصوصیات صریح تر از مجموعه های بورل است.

فضاهای p

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیستم آبان ۱۳۹۹ | 0:46

برای کلاس پیچیدگی ، به PSPACE مراجعه کنید .

در حوزه ریاضی توپولوژی ، مفاهیم مختلفی از فضای P و فضای p وجود دارد .

فهرست

استفاده عمومی [ ویرایش ]

عبارت P-space ممکن است بطور عام برای نشان دادن یک فضای توپولوژیکی که برخی از P ثابتهای توپولوژیک داده شده و قبلاً معرفی شده را برآورده می کند ، استفاده شود . [1] این ممکن است در مورد فضاهایی از نوع دیگر ، یعنی فضاهای غیر توپولوژیکی با ساختار اضافی نیز اعمال شود.

فضاهای P به معنای Gillman – Henriksen [ ویرایش ]

یک فضای P به معنای گیلمن - Henriksen یک فضای توپولوژیکی است که در آن هر تقاطع قابل شمارش از مجموعه های باز باز است. شرط معادل این است که قابل شمارش اتحادیه از مجموعه بسته بسته شده است. به عبارت دیگر ، مجموعه های G δ باز و مجموعه های F σ بسته هستند. حرف P هم مخفف شبه گسسته و نخست است . گیلمن و هنریکسن همچنین یک نقطه P را به عنوان نقطه ای تعریف می کنند که هر ایده آل اصلی در آن باشداز حلقه توابع مداوم با ارزش واقعی حداکثر است ، و یک فضای P فضایی است که در آن هر نقطه یک نقطه P است. [2]

نویسندگان مختلف توجه خود را به فضاهای توپولوژیکی محدود می کنند که بدیهیات مختلف جدایی را برآورده می کنند . با بدیهیات مناسب ، می توان P- فضاها را از نظر حلقه های عملکردهای مداوم با ارزش واقعی توصیف کرد .

فضاهای اختصاصی الكساندروف ، كه در آن تقاطع های دلخواه مجموعه های باز ، انواع خاصی از فضاهای P دارند. اینها به نوبه خود شامل فضاهای محدود محلی است که شامل فضاهای محدود و فضاهای گسسته است .

فضاهای P به معنای موریتا [ ویرایش ]

مفهوم متفاوتی از یک فضای P توسط Kiiti Morita در سال 1964 در رابطه با حدس های وی (اکنون حل شده) معرفی شده است (برای اطلاعات بیشتر به قسمت مربوطه مراجعه کنید). به فضاهایی که خاصیت پوششی معرفی شده توسط موریتا را برآورده می کنند ، گاهی اوقات فضاهای P موریتا یا P فضاهای معمولی نیز گفته می شود .

فضاهای p [ ویرایش ]

مفهوم p-space توسط الكساندر آرنگلسكی معرفی شده است . [3]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/P-space

ادامه تصویر (ریاضیات)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:28

خصوصیات [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: جبر مجموعه ها ets مجموعه ها و نقشه ها


نمونه های متقابل بر اساس f : ℝ → ℝ، x ↦ x 2 ، نشان می دهد که برابری به طور کلی برای برخی از قوانین لازم نیست:
f ( A 1 ∩ A 2 ) ⊊ f ( A 1 ) ∩ f ( A 2 )
f ( f −1 ( B 3 )) ⊊ B 3
f −1 ( f ( A 4 )) ⊋ A 4

عمومی [ ویرایش ]

برای هر عملکرد {\ displaystyle f: X \ rightarrow Y} $f: X \ rightarrow Y$ و همه زیر مجموعه ها {\ displaystyle A \ subseteq X} $A \ subseteq X$ و {\ displaystyle B \ subseteq Y} ${\ displaystyle B \ subseteq Y}$ ، خصوصیات زیر را در خود نگه دارید:

تصویر	پیش تصویر
${\ displaystyle f (X) \ subseteq Y}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y) = X}$
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (Y)) = f (X)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (X)) = X}$
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) \ subseteq B}$ ${\ displaystyle B \ subseteq f (X)}$ ، به عنوان مثال $f$ تصنیفی است) [9] [10]	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) \ supseteq A}$ $f$ مقصر است) [9] [10]
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap f (X)}$	${\ displaystyle (f \ vert _ {A}) ^ {- 1} (B) = A \ cap f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (f (A))) = f (A)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (f ^ {- 1} (B))) = f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f (A) = \ varnothing \ Leftrightarrow A = \ varnothing}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ varnothing \ Leftrightarrow B \ subseteq Y \ setminus f (X)}$
${\ displaystyle f (A) \ supseteq B \ Leftrightarrow \ وجود دارد C \ subseteq A: f (C) = B}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) \ supseteq A \ Leftrightarrow f (A) \ subseteq B}$
${\ displaystyle f (A) \ supseteq f (X \ setminus A) \ Leftrightarrow f (A) = f (X)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) \ supseteq f ^ {- 1} (Y \ setminus B) \ Leftrightarrow f ^ {- 1} (B) = X}$
${\ displaystyle f (X \ setminus A) \ supseteq f (X) \ setminus f (A)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y \ setminus B) = X \ setminus f ^ {- 1} (B)}$ [9]
${\ displaystyle f (A \ cup f ^ {- 1} (B)) \ subseteq f (A) \ cup B}$ [11]	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A) \ cup B) \ supseteq A \ cup f ^ {- 1} (B)}$ [11]
${\ displaystyle f (A \ cap f ^ {- 1} (B)) = f (A) \ cap B}$ [11]	${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A) \ cap B) \ supseteq A \ cap f ^ {- 1} (B)}$ [11]

همچنین:

${\ displaystyle f (A) \ cap B = \ varnothing \ Leftrightarrow A \ cap f ^ {- 1} (B) = \ varnothing}$

عملکردهای متعدد [ ویرایش ]

برای توابع $f: X \ rightarrow Y$ و ${\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}$ با زیر مجموعه $A \ subseteq X$ و ${\ displaystyle C \ subseteq Z}$ ، خصوصیات زیر را در خود نگه دارید:

${\ displaystyle (g \ circ f) (A) = g (f (A))}}$
${\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} (C) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C))}$

چندین زیر مجموعه دامنه یا کد دامنه [ ویرایش ]

برای عملکرد $f: X \ rightarrow Y$ و زیرمجموعه ها ${\ displaystyle A_ {1} ، A_ {2} \ subseteq X}$ و ${\ displaystyle B_ {1} ، B_ {2} \ subseteq Y}$ ، خصوصیات زیر را در خود نگه دارید:

تصویر	پیش تصویر
${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A_ {2} \ Rightarrow f (A_ {1}) \ subseteq f (A_ {2})}$	${\ displaystyle B_ {1} \ subseteq B_ {2} \ Rightarrow f ^ {- 1} (B_ {1}) \ subseteq f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${\ displaystyle f (A_ {1} \ cup A_ {2}) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2})}$ [11] [12]	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ cup B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${\ displaystyle f (A_ {1} \ cap A_ {2}) \ subseteq f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}$ [11] [12] (اگر برابر باشد{\ displaystyle f} $f$ دارویی است [13] )	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ cap B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${\ displaystyle f (A_ {1} \ setminus A_ {2}) \ supseteq f (A_ {1}) \ setminus f (A_ {2})}$ [11] (اگر برابر باشد{\ displaystyle f} $f$ دارویی است [13] )	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ setminus B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2})}$ [11]
${\ displaystyle f (A_ {1} \ مثلث A_ {2}) \ supseteq f (A_ {1}) \ مثلث f (A_ {2})}$ (اگر برابر باشد $f$ تزریقی است)	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} \ مثلث B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ مثلث f ^ {- 1} (B_ {2})}$

نتایج مربوط به تصاویر و پیش تصاویر به جبر ( بولی ) تقاطع و کار اتحادیه برای هر مجموعه ای از زیر مجموعه ها ، نه فقط برای جفت زیر مجموعه ها:

$f \ left (\ bigcup _ {s \ in S} A_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f (A_ {s})$
$f \ left (\ bigcap _ {s \ in S} A_ {s} \ right) \ subseteq \ bigcap _ {s \ in S} f (A_ {s})$
$f ^ {- 1} \ چپ (\ bigcup _ {s \ در S} B_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f ^ {- 1} (B_ {s})$
$f ^ {- 1} \ چپ (\ bigcap _ {s \ در S} B_ {s} \ right) = \ bigcap _ {s \ در S} f ^ {- 1} (B_ {s})$

(در اینجا ، S می تواند نامحدود باشد ، حتی به طور غیرقابل شماری نامحدود ).

با توجه به جبر زیرمجموعه که در بالا توضیح داده شد ، عملکرد عکس معکوس یک دگرگونی شبکه است ، در حالی که تابع تصویر فقط یک همگونی نیمه اتصال است (یعنی همیشه تقاطع ها را حفظ نمی کند).

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics)#Inverse_image

تصویر (ریاضیات)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:27

f تابعی از دامنه X به کدوم Y است . بیضی زرد داخل Y تصویر f است .

ساختار جبری → نظریه گروه
نظریه گروه

مفاهیم اساسی[پنهان شدن]

همگونی های گروهی

گروههای محدود [نمایش]

[نمایش]

گروه های توپولوژیک و دروغ [نمایش]

گروه های جبری [نمایش]

در ریاضیات ، تصویر یک تابع مجموعه تمام مقادیر خروجی است که ممکن است تولید کند.

به طور کلی، ارزیابی یک تابع داده شده F در هر عنصر از یک زیر مجموعه داده از آن دامنه به تولید مجموعه ای به نام " تصویر از زیر (و یا از طریق) F ". به طور مشابه، تصویر معکوس (یا وارون ) از یک زیر مجموعه داده B از برد از F ، مجموعه ای از تمام عناصر از دامنه است که بر روی نقشه به اعضای B .

تصویر و عکس معکوس نیز ممکن است برای روابط باینری عمومی تعریف شوند ، نه فقط توابع.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

کلمه "تصویر" به سه روش مرتبط استفاده می شود. در این تعاریف، F : X → Y یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y .

تصویر یک عنصر [ ویرایش ]

اگر X یک عضو از X ، سپس تصویر از X تحت f را ، مشخص F ( X )، [1] است ارزش از F زمانی که به اعمال x است. f ( x ) به عنوان جایگزین f برای آرگومان x شناخته می شود .

تصویر یک زیرمجموعه [ ویرایش ]

تصویر زیر مجموعه A ⊆ X در زیر f ، مشخص شده است ${\ displaystyle f [A]}$ ، زیر مجموعه Y است که می تواند با استفاده از نماد تنظیم کننده به شرح زیر تعریف شود: [2]

${\ displaystyle f [A] = \ {f (x) \ mid x \ in A \}}$

وقتی خطر سردرگمی وجود ندارد ، ${\ displaystyle f [A]}$ به سادگی به عنوان نوشته شده است $f (A)$ . این کنوانسیون یک کنوانسیون مشترک است. معنای مورد نظر باید از متن استنباط شود. این باعث می شود F [.] تابعی که دامنه است مجموعه توانی از X (مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های از X )، و که برد مجموعه توانی است Y . برای اطلاعات بیشتر به § Notation زیر مراجعه کنید .

تصویر یک تابع [ ویرایش ]

تصویر از یک تابع تصویر کامل آن است دامنه ، همچنین به عنوان شناخته شده وسیعی از تابع. [3]

تعمیم به روابط باینری [ ویرایش ]

اگر R یک رابطه دودویی دلخواه روی X × Y باشد ، مجموعه {y∈ Y | xRy برای بعضی از x ∈ X } به تصویر R یا محدوده R گفته می شود . به صورت دوبل ، مجموعه { x ∈ X | XRY برای برخی از y∈ Y } است دامنه به نام R .

تصویر معکوس [ ویرایش ]

"Preimage" در اینجا هدایت می شود. برای حمله رمزنگاری شده به توابع هش ، حمله preimage را ببینید .

بگذارید f تابعی از X به Y باشد. وارون یا تصویر معکوس از یک مجموعه B ⊆ Y تحت تابع f ، مشخص شده توسط ${\ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$ ، زیرمجموعه X است که توسط

${\ displaystyle f ^ {- 1} [B] = \ {x \ in X \، | \، f (x) \ in B \}.}$

سایر علامت ها شامل f -1 ( B ) [4] و f - ( B ) هستند . [5] این تصویر معکوس یک تک ، مشخص شده توسط F -1 [{ Y }] یا با F -1 [ Y ] است، نیز نامیده می شود فیبر بیش از Y یا مجموعه سطح از Y . مجموعه تمام الیاف موجود روی عناصر Y یک خانواده از مجموعه های نمایه شده توسط Y است .

به عنوان مثال ، برای تابع f ( x ) = x 2 ، تصویر معکوس {4} {{2 ، 2} خواهد بود. باز هم ، اگر خطر سردرگمی وجود نداشته باشد ، f -1 [ B ] را می توان با f -1 ( B ) نشان داد ، و f -1 را نیز می توان به عنوان تابعی از مجموعه قدرت Y به مجموعه توان X . علامت f -1 نباید با علامت عملکرد معکوس اشتباه گرفته شود ، اگرچه با علامت معمول برای انتخاب ها همزمان است زیرا تصویر معکوس B در زیر fتصویر B در زیر f -1 است .

علامت گذاری برای تصویر و عکس معکوس [ ویرایش ]

نت های سنتی استفاده شده در بخش قبلی می توانند گیج کننده باشند. یک گزینه دیگر [6] دادن نامهای صریح برای تصویر و پیش تصویر به عنوان توابع بین مجموعه های قدرت است:

علامت گذاری پیکان [ ویرایش ]

$f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)$ با $f ^ {\ rightarrow} (A) = \ {f (a) \؛ | \؛ a \ in A \}$
$f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)$ با $f ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ in X \؛ | \؛ f (a) \ in B \}$

علامت گذاری ستاره [ ویرایش ]

$f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)$ بجای $f ^ {\ rightarrow}$
$f ^ {\ star}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)$ بجای $f ^ {\ leftarrow}$

اصطلاحات دیگر [ ویرایش ]

یک علامت جایگزین برای f [ A ] که در منطق ریاضی و تئوری مجموعه استفاده می شود f " A است . [7] [8]
برخی از متون به تصویر مراجعه F به عنوان وسیعی از F ، اما این کاربرد باید اجتناب شود زیرا کلمه "محدوده" نیز معمولا استفاده به معنی برد از F .

مثالها [ ویرایش ]

f : {1، 2، 3} → { a، b، c، d } تعریف شده توسط ${\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ start {matrix} a، & {\ mbox {if}} x = 1 \\ a، & {\ mbox {if}} x = 2 \\ c، & {\ mbox {if}} x = 3. \ end {matrix}} \ سمت راست.}$ تصویر از مجموعه {2، 3} تحت F است F ({2، 3}) = { A، C }. تصویر تابع f را {است A، C }. وارون از است F -1 ({ }) = {1، 2}. وارون از { A، B } است {1، 2}. پیش تصویر { b ، d } مجموعه خالی است {}.
f : R → R تعریف شده توسط f ( x ) = x 2 .تصویر از {-2، 3} تحت F است F ({-2، 3}) = {4، 9} و تصویر از F است R + . وارون از {4، 9} تحت F است F -1 ({4، 9}) = {-3، -2، 2، 3}. پیش مجموعه مجموعه N = { n ∈ R | n <0} زیر f مجموعه خالی است ، زیرا اعداد منفی در مجموعه واقعی ها ریشه مربع ندارند.
f : R 2 → R تعریف شده توسط f ( x ، y ) = x 2 + y 2 .الیاف F -1 ({ }) می دایره متحد المرکز در مورد منشاء ، منشاء خودی خود، و مجموعه تهی ، بسته به اینکه آیا > 0، = 0، یا <0 بود.
اگر M است منیفولد و π : TM → M متعارف است طرح از کلاف مماس TM به M ، سپس الیاف از π هستند فضاهای مماس T X ( M ) برای X ∈ M . این نیز نمونه ای از بسته نرم افزاری فیبر است .
یک گروه ضریب یک تصویر همگن است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics)#Inverse_image

مقایسه توپولوژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:25

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(تغییر مسیر از بهترین توپولوژی )

در توپولوژی و حوزه های مرتبط ریاضیات ، مجموعه تمام توپولوژی های ممکن در یک مجموعه معین ، مجموعه ای مرتب را تشکیل می دهد . از این رابطه می توان برای مقایسه توپولوژی ها استفاده کرد .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

توپولوژی روی یک مجموعه ممکن است به عنوان مجموعه زیرمجموعه هایی باشد که "باز" در نظر گرفته می شوند. یک تعریف جایگزین این است که این مجموعه زیرمجموعه هایی است که "بسته" در نظر گرفته می شوند. این دو روش تعریف توپولوژی اساساً برابر هستند زیرا مکمل یک مجموعه باز بسته است و بالعکس. در ادامه ، مهم نیست که از کدام تعریف استفاده شده است.

اجازه دهید τ 1 و τ 2 است دو توپولوژی بر روی مجموعه ای X به طوری که τ 1 است در موجود τ 2 :

$\ tau _ {1} \ subseteq \ tau _ {2}$ .

یعنی هر عنصر τ 1 عنصر τ 2 نیز هست . سپس توپولوژی τ 1 گفته شده است که یک درشت ( ضعیف و یا کوچکتر ) توپولوژی از τ 2 و τ 2 گفته شده است که یک ظریف ( قوی تر و یا بزرگتر ) توپولوژی از τ 1 . [توجه 1]

اگر علاوه بر این

$\ tau _ {1} \ neq \ tau _ {2}$

ما می گویند τ 1 است به شدت درشت از τ 2 و τ 2 است به شدت ظریف از τ 1 . [1]

رابطه دودویی ⊆ اینگونه تعریف می کند رابطه سفارش جزئی در مجموعه ای از تمام توپولوژی ممکن است در X .

مثالها [ ویرایش ]

بهترین توپولوژی در X است توپولوژی گسسته ؛ این توپولوژی باعث می شود تا همه زیرمجموعه ها باز شوند. درشت توپولوژی در X است توپولوژی بدیهی ؛ این توپولوژی فقط مجموعه خالی و کل فضا را به عنوان مجموعه های باز پذیرفته است.

در فضاهای عملکردی و فضاهای اندازه گیری ، اغلب تعدادی توپولوژی ممکن وجود دارد. برای برخی از روابط پیچیده ، توپولوژی ها را در مجموعه اپراتورهای موجود در فضای هیلبرت مشاهده کنید .

تمام توپولوژی های قطبی ممکن در یک جفت دوتایی از توپولوژی ضعیف ریزتر و از توپولوژی قوی درشت هستند .

خصوصیات [ ویرایش ]

بگذارید τ 1 و τ 2 دو توپولوژی بر روی مجموعه X باشند . پس جملات زیرمعادل هستند:

τ 1 ⊆ τ 2
هویت نقشه شناسه X : ( X ، τ 2 ) → ( X ، τ 1 ) یک نقشه مداوم .
نقشه هویت ID X : ( X ، τ 1 ) → ( X ، τ 2 ) یک نقشه باز است

دو نتیجه فوری این گفته عبارتند از:

نقشه مداوم F : X → Y مستمر باقی می ماند اگر توپولوژی در Y می شود درشت یا توپولوژی در X ظریف .
در صورت ریزتر شدن توپولوژی Y یا توپولوژی X درشت ، یک نقشه باز (مربوط به بسته) f : X → Y باز می ماند (مربوط به بسته) .

همچنین می توان توپولوژی ها را با استفاده از پایگاه های همسایگی مقایسه کرد . بگذارید τ 1 و τ 2 دو توپولوژی بر روی مجموعه X باشند و اجازه دهیم B i ( x ) محلی برای توپولوژی τ i در x ∈ X برای i = 1،2 باشد. سپس τ 1 ⊆ τ 2 اگر و فقط اگر برای همه x ∈ X باشد ، هر مجموعه باز U 1 در B 1 ( x ) شامل مجموعه ای باز U 2 در B 2 ( x) بصری ، این منطقی است: یک توپولوژی دقیق باید محله های کوچکتری داشته باشد.

شبکه توپولوژی [ ویرایش ]

مجموعه تمام توپولوژی ها روی یک مجموعه X همراه با رابطه ترتیب جزئی a یک شبکه کامل تشکیل می دهد که در تقاطع های دلخواه نیز بسته می شود. یعنی هر مجموعه توپولوژی در X دارای ملاقات (یا حداقل ) و پیوند (یا برتری ) است. گردهمایی مجموعه توپولوژی ها محل تلاقی آن توپولوژی ها است. پیوستن ، با این حال ، به طور کلی اتحادیه آن توپولوژی ها نیست (اتحادیه دو توپولوژی نیازی به توپولوژی نیست) بلکه توپولوژی تولید شده توسط اتحادیه است.

هر شبکه کامل نیز یک شبکه محدود است ، به این معنی که دارای یک بزرگترین و کمترین عنصر است . در مورد توپولوژی ، بزرگترین عنصر توپولوژی گسسته و کمترین عنصر توپولوژی بی اهمیت است .

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ برخی از نویسندگان ، به ویژه تحلیل گران ، از اصطلاحات ضعیف و قوی با معنی مخالف استفاده می کنند (مونکرس ، ص 78).

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

توپولوژی اولیه ، درشت ترین توپولوژی مجموعه ای است که خانواده ای از نگاشت ها را از آن مجموعه پیوسته می کند
توپولوژی نهایی ، بهترین توپولوژی در مجموعه برای ایجاد خانواده ای از نگاشت ها در آن مجموعه به صورت مداوم

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_topologies

فضای همگن

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:24

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

چنبره . توروس استاندارد تحت گروههای دیفرمورفیسم و هومومورفیسم همگن است و توروس مسطح تحت گروههای دیفرمورفیسم ، همومورفیسم و ایزومتری یکدست است .

در ریاضیات ، به ویژه در نظریه های گروه های دروغ ، گروه های جبری و گروه های توپولوژیک ، یک فضای همگن برای یک گروه G یک فضای منیفولد یا توپولوژیکی X غیر خالی است که G بر آن به صورت انتقالی عمل می کند . عناصر G هستند به نام تقارن از X . یک مورد خاص از این مورد زمانی است که گروه G مورد نظر گروه خودسازی فضای X باشد - در اینجا "گروه اتومورفیسم" می تواند به معنای گروه ایزومتری ، گروه دیفرومورفیسم یا گروه هومومورفیسم . در این حالت ، X به صورت شهودی X در هر نقطه به صورت محلی به نظر می رسد یکنواخت باشد ، یا به معنای ایزومتری (هندسه سفت و سخت) ، دیفرومورفیسم (هندسه دیفرانسیل) یا هومومورفیسم (توپولوژی). برخی از نویسندگان اصرار دارند که عمل G باشد وفادار (عناصر غیر هویت عمل غیر بدیهی)، اگر چه مقاله حاضر را نمی کند. بنابراین یک عمل گروهی از G روی X وجود دارد که می توان تصور کرد که برخی از "ساختارهای هندسی" را روی X حفظ می کند و X را به صورت یکG- orbit .

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

بگذارید X یک مجموعه غیر خالی باشد و G یک گروه. سپس X اگر با عمل G روی X مجهز شود ، G -space نامیده می شود . [1] توجه داشته باشید كه G به طور خودكار بوسیله فرم های ساختاری (مجموعه های مختلف) عمل می كند. اگر X در علاوه بر این تعلق دارد به برخی دسته ، سپس عناصر G فرض به عنوان عمل automorphisms در همان رده. یعنی نقشه های X که از عناصر G آمده اندساختار مرتبط با گروه را حفظ کنید (به عنوان مثال ، اگر X در Diff شی object باشد ، بنابراین عمل باید توسط اختلاف مورفیسم انجام شود ). فضای همگن فضایی G است که G بر روی آن به صورت انتقالی عمل می کند.

به طور خلاصه ، اگر X یک شی از رده C است ، پس ساختار یک فضای G یک شکل است :

$\ rho: G \ to \ mathrm {Aut} _ {\ mathbf {C}} (X)$

به گروهی از automorphisms از جسم X در رده C . این جفت ( X ، ρ) فضای همگنی را تعریف می کند به شرطی که ρ ( G ) یک گروه انتقالی از تقارن مجموعه زیرین X باشد.

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، اگر X یک فضای توپولوژیکی باشد ، بنابراین عناصر گروه فرض می شود که به عنوان هومومورفیسم در X عمل می کنند . ساختار G : -فضای ρ گروه همریخت است G → Homeo ( X ) را به گروه همسانریختی از X .

به همین ترتیب ، اگر X یک منیفولد قابل تغییر باشد ، عناصر گروه تفاوت شکل گیری هستند . ساختار G : -فضای ρ گروه همریخت است G → Diffeo ( X ) به گروه diffeomorphism فراهم آورده است از X .

فضاهای متقارن ریمانی کلاس مهمی از فضاهای همگن است و بسیاری از مثالهای ذکر شده در زیر را شامل می شود.

نمونه های عینی عبارتند از:

گروه های ایزومتری

انحنای مثبت:

کره ( گروه متعامد ): $S ^ {n-1} \ Cong \ mathrm {O} (n) / \ mathrm {O} (n-1)$ . این به دلیل مشاهدات زیر درست است: اول ، $S ^ {{n-1}}$ مجموعه بردارها در است $\ mathbb {R} ^ {n}$ با هنجار $1$ . اگر یکی از این بردارها را به عنوان بردار پایه در نظر بگیریم ، می توان هر بردار دیگری را با استفاده از تحول متعامد ساخت. اگر دهانه این بردار را یک زیر فضای یک بعدی در نظر بگیریم $\ mathbb {R} ^ {n}$ ، سپس مکمل یک است $(n-1)$ فضای بردار بعدی که تحت یک تغییر شکل متعامد از تغییر نمی کند ${\ displaystyle {\ text {O}} (n-1)}$ . این به ما نشان می دهد که چرا می توانیم سازه سازی کنیم $S ^ {{n-1}}$ به عنوان یک فضای همگن.
کره گرا ( گروه متعامد خاص ): $S ^ {n-1} \ Cong \ mathrm {SO} (n) / \ mathrm {SO} (n-1)$
فضای پروجکتیو ( گروه متعامد فرافکنی ): $\ mathrm {P} ^ {n-1} \ Cong \ mathrm {PO} (n) / \ mathrm {PO} (n-1)$

تخت (انحنای صفر):

فضای اقلیدسی ( گروه اقلیدسی ، تثبیت کننده نقطه یک گروه متعامد است): A n ≅ E ( n ) / O ( n )

انحنای منفی:

فضای هذلولی ( گروه ارتوچون لورنتس ، گروه متعامد تثبیت کننده نقطه ، مربوط به مدل هایپربولوئید ): H n ≅ O + (1 ، n ) / O ( n )
فضای هذلولی گرا: SO + (1 ، n ) / SO ( n )
فضای ضد سیتر : AdS n +1 = O (2، n ) / O (1، n )

دیگران

فضای Affine (برای گروه آیفین ، گروه خطی عمومی تثبیت کننده نقطه ): A n = Aff ( n ، K ) / GL ( n ، k ).
$\ mathrm {Gr} (r، n) = \ mathrm {O} (n) / (\ mathrm {O} (r) \ times \ mathrm {O} (nr))$
فضاهای برداری توپولوژیک (به معنای توپولوژی)

هندسه [ ویرایش ]

از نقطه نظر از برنامه ارلانگن ، یکی ممکن است درک کنند که "تمام نقاط یکسان هستند"، در هندسه از X . این امر در مورد کلیه هندسه های ارائه شده قبل از هندسه ریمانی ، در اواسط قرن نوزدهم صدق می کرد .

بنابراین، برای مثال، فضای اقلیدسی ، فضای affine به و فضای تصویری تمام فضاهای همگن برای مربوطه می باشند به شیوه های طبیعی گروه تقارن . همین امر در مورد مدلهای هندسه غیر اقلیدسی انحنای ثابت ، مانند فضای هذلولی ، صادق است .

یک مثال کلاسیک دیگر ، فضای خطوط در فضای فرافکنی سه بعدی است (معادل آن ، فضای زیر فضاهای دو بعدی یک فضای بردار چهار بعدی ). جبر خطی ساده است که نشان می دهد GL 4 به طور انتقالی بر روی آنها عمل می کند. می توانیم آنها را با مختصات خطی پارامتر کنیم : این 2 × 2 خردسال ماتریس 4 × 2 با ستون های دو بردار پایه برای فضای زیر هستند. هندسه فضای همگن حاصل است هندسه خط از یولیوس پلوکر .

فضاهای همگن به عنوان فضاهای کیهانی [ ویرایش ]

به طور کلی، اگر X یک فضای همگن است، و H O است تثبیت کننده برخی از نقطه مشخص شده ای در X (انتخاب از منشاء )، نقاط X مربوط به سمت چپ cosets G / H O ، و نقطه مشخص شده ای مربوط به مجموعه هویت. برعکس ، با توجه به یک فضای کوزنت G / H ، این یک فضای همگن برای G با یک نقطه مشخص ، یعنی کوزیت هویت است. بنابراین می توان یک فضای همگن را به عنوان یک فضای کوزنت بدون انتخاب مبدا در نظر گرفت.

به طور کلی، انتخابی متفاوت از مبدا O خواهد به خارج قسمت منجر G توسط مختلف زیر گروه H O ' است که به مربوط H O توسط یک های automorphism داخلی از G . به طور مشخص،

$H_ {o '} = gH_ {o} g ^ {- 1} \ qquad \ qquad (1)$

که در آن g هر عنصر G است که برای آن = o go باشد. توجه داشته باشید که خودسازی داخلی (1) به انتخاب چنین g بستگی ندارد . این فقط به g modulo H o بستگی دارد .

اگر عمل G در X پیوسته است و X هاسدورف است، و سپس H است زیر گروه بسته از G . به طور خاص ، اگر G یک گروه دروغ باشد ، پس H یک زیر گروه Lie است که توسط قضیه Cartan ارائه می شود . از این رو G / H یک منیفولد صاف است و بنابراین X دارای یک ساختار صاف منحصر به فرد و سازگار با عملکرد گروه است.

اگر H زیرگروه هویت { e } باشد ، X یک فضای اصلی همگن است .

در واقع می توان بیشتر برای رفتن دو هممجموعه ها فضاهای، به ویژه کلیفورد-کلین به شکل Γ \ G / H ، که در آن Γ یک زیر گروه گسسته (از است G ) اقدام درستی discontinuously .

مثال [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، در حالت هندسه خط ، ما می توانیم H را به عنوان یک زیر گروه 12 بعدی از گروه خطی عمومی 16 بعدی ، GL (4) ، که توسط شرایط در ورودی های ماتریس تعریف شده است ، شناسایی کنیم

ساعت 13 = ساعت 14 = ساعت 23 = ساعت 24 = 0 ،

با جستجوی تثبیت کننده فضای زیر توسط دو بردار پایه استاندارد این نشان می دهد که X دارای بعد 4 است.

از آنجا که مختصات همگن داده شده توسط خردسالان 6 عدد است ، این بدان معناست که افراد دوم از یکدیگر مستقل نیستند. در حقیقت ، یک رابطه درجه دوم واحد بین شش خردسال برقرار است ، همانطور که هندسه های قرن نوزدهم شناخته شده بودند.

این مثال ، اولین نمونه شناخته شده از گراسمانی ، غیر از فضای فرافکنی بود. بسیاری از فضاهای همگن بیشتر از گروههای خطی کلاسیک وجود دارد که در ریاضیات استفاده مشترک دارند.

فضاهای برداری ناهمگن [ ویرایش ]

ایده فضای بردار ناهمگن توسط مایکیو ساتو مطرح شد .

این یک فضای برداری محدود بعدی V با عملکرد گروهی از گروه جبری G است ، به طوری که یک مدار G وجود دارد که برای توپولوژی زاریسکی باز است (و بنابراین ، متراکم). به عنوان مثال GL (1) بر روی یک فضای یک بعدی عمل می کند.

این تعریف محدودتر از آن است که در ابتدا به نظر می رسد: چنین فضاهایی دارای خصوصیات قابل توجهی هستند و طبقه بندی فضاهای برداری غیرهمگن غیر قابل تقلیل وجود دارد ، تا یک تحول معروف به "ریخته گری".

فضاهای همگن در فیزیک [ ویرایش ]

کیهان شناسی فیزیکی با استفاده از نظریه عمومی نسبیت از سیستم طبقه بندی بیانچی استفاده می کند. فضاهای همگن در نسبیت نشان دهنده قسمت فضایی معیارهای پس زمینه برای برخی از مدل های کیهان شناسی است . به عنوان مثال ، سه مورد متریک فریدمن-لمیتر-رابرتسون-واکر ممکن است با زیر مجموعه های Bianchi I (flat) ، V (open) ، VII (flat یا open) و IX (closed) ارائه شود ، در حالی که Mixmaster کیهان یک نمونه ناهمسانگرد از کیهان شناسی بیانچی IX را نشان می دهد. [2]

یک فضای همگن از ابعاد N مجموعه ای را پذیرفته است ${\ tfrac {1} {2}} N (N + 1)$ کشتن بردارها . [3] برای سه بعد ، این در مجموع شش فیلد بردار مستقل خطی را می دهد. 3 فضاهای همگن این خاصیت را دارند که می توان از ترکیبات خطی اینها برای یافتن سه قسمت بردار کشتار غیر قابل انکار استفاده کرد $\ xi _ {i} ^ {(a)}$ ،

$\ xi _ {[i؛ k]} ^ {(a)} = C _ {\ bc} ^ {a} \ xi _ {i} ^ {(b)} \ xi _ {k} ^ {(c)}$

که در آن شی $C _ {\ bc} ^ {a}$ ، "ثابت های ساختار" ، در دو شاخص پایین تر خود یک تقارن متقارن سه تنسور مرتب ثابت را تشکیل می دهد (در سمت چپ ، براکت ها نشان دهنده عدم تقارن است و "؛" نشان دهنده عملگر دیفرانسیل متغیر است ). در مورد جهان ایزوتروپی مسطح ، یک احتمال وجود دارد $C _ {\ bc} ^ {a} = 0$ (نوع I) ، اما در مورد یک جهان بسته $C _ {\ bc} ^ {a} = \ varepsilon _ {\ bc} ^ {a}$ جایی که $\ varepsilon _ {\ bc} ^ {a}$ است نماد لوی چوی .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ ما تصور می کنیم که این عمل در سمت چپ است . تمایز فقط در توصیف X به عنوان یک فضای کوزوت مهم است.
^ لو لاندو و اوگنی لیفشیز (1980) ، دوره فیزیک نظری ، جلد 1. 2: نظریه کلاسیک زمینه ها ، باترورث-هاینمن ، شابک 978-0-7506-2768-9
^ استیون وینبرگ (1972) ، جاذبه و کیهان شناسی ، جان ویلی و پسران

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_space

ادامه گروه دروغ (Lie )

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:23

مفهوم گروه دروغ و امکانات طبقه بندی [ ویرایش ]

گروه های دروغ ممکن است به عنوان خانواده های تقارن هموار با هم متفاوت باشند. نمونه هایی از تقارن شامل چرخش در مورد یک محور است. آنچه باید درک شود ماهیت تحولات 'کوچک' است ، به عنوان مثال چرخش هایی از طریق زاویه های کوچک ، که تحولات اطراف را به هم پیوند می دهد. جسم ریاضی تصرف این ساختار را جبر دروغ می نامند ( خود دروغ آنها را "گروههای بی نهایت کوچک" نامیده است). می توان تعریف کرد زیرا گروه های دروغ چند شاخه صاف هستند ، بنابراین در هر نقطه باید فضاهای مماس داشته باشید .

جبر دروغ از هر گروه دروغ جمع و جور (خیلی تقریباً: گروهی که تقارن ها یک مجموعه محدود را تشکیل می دهد) را می توان به صورت یک جمع مستقیم از جبر دروغ آبلیان و تعدادی از موارد ساده تجزیه کرد . ساختار جبر دروغ abelian از نظر ریاضیاتی جالب نیست (از آنجا که براکت Lie به طور یکسان صفر است) ؛ علاقه به احضارهای ساده است. از این رو این سوال مطرح می شود: جبرهای دروغ ساده گروه های جمع و جور کدامند؟ به نظر می رسد که آنها بیشتر در چهار خانواده بی نهایت قرار می گیرند ، "جبرهای دروغ کلاسیک" A n ، B n ، C n و D n، که از نظر تقارن فضای اقلیدسی توصیفات ساده ای دارند. اما فقط پنج "جبر دروغ استثنایی" نیز وجود دارد که در هیچ یک از این خانواده ها قرار نمی گیرند. E 8 بزرگترین آنهاست.

گروه های دروغ بر اساس خصوصیات جبری ( ساده ، نیمه ساده ، قابل حل ، توانمندی قدرتمند ، آبلیان ) ، اتصال ( متصل یا ساده متصل ) و فشردگی آنها طبقه بندی می شوند .

اولین نتیجه کلیدی تجزیه Levi است ، که می گوید هر گروه Lie به سادگی متصل شده محصول نیمه مستقیم یک زیر گروه عادی قابل حل و یک زیر گروه نیمه ساده است.

گروه های دروغ جمع و جور متصل همه شناخته شده اند: آنها ضرایب مرکزی محدودی از یک محصول از کپی های گروه دایره S 1 و گروه های جمع و جور ساده دروغ هستند (که مربوط به نمودارهای Dynkin متصل هستند ).
هر گروه دروغ قابل حل متصل به سادگی با یک زیر گروه بسته از گروه ماتریس های مثلثی فوقانی وارون دارای درجه ای ناهمسان است و هرگونه نمایش غیر قابل تقلیل بعدی محدود از چنین گروهی 1 بعدی است. گروه های قابل حل به جز در چند بعد کوچک ، بسیار طبقه بندی نشده اند.
هر گروه دروغ توانمند توانمندی ساده متصل به زیرگروه بسته گروه ماتریس های مثلثی فوقانی وارون با 1 در مورب برخی از درجه ها ، و هر نمایش غیر قابل تقلیل بعدی محدود از چنین گروهی 1 بعدی است. مانند گروه های قابل حل ، گروه های توانمند توانسته اند طبقه بندی کنند ، جز در چند بعد کوچک.
گروه های دروغ ساده گاهی اوقات به صورت گروههایی تعریف می شوند که به عنوان گروههای انتزاعی ساده باشند ، و گاهی تعریف می شوند که گروههای دروغی با یک جبر دروغ متصل می شوند. به عنوان مثال ، SL (2 ، R ) با توجه به تعریف دوم ساده است اما مطابق با تعریف اول نیست. همه آنها طبقه بندی شده اند (برای هر دو تعریف).
گروه های نیمه ساده دروغ ، گروه های دروغی هستند که جبر دروغ محصولی از جبرهای دروغ ساده است. [22] آنها پسوندهای اصلی محصولات گروههای ساده دروغ هستند.

م componentلفه هویت هر گروه Lie یک زیرگروه نرمال باز است و گروه ضریب یک گروه گسسته است . پوشش جهانی هر گروه دروغ متصل یک گروه دروغ متصل به سادگی است ، و بالعکس هر گروه دروغ متصل ضریب یک گروه دروغ متصل به سادگی توسط یک زیر گروه عادی گسسته مرکز است. هر گروه Lie G را می توان به صورت متعارف به گروه های گسسته ، ساده و هابلی تجزیه کرد به شرح زیر. نوشتن

G باهم برای دستگاه وصل از هویت

G sol برای بزرگترین زیرگروه قابل حل نرمال متصل

G صفر برای بزرگترین متصل زیر گروه پوچتوان طبیعی

به طوری که دنباله ای از زیرگروههای عادی داریم

1 ⊆ G صفر ⊆ G سل ⊆ G باهم ⊆ G .

سپس

G / G con گسسته است

G باهم / G سل است پسوند مرکزی از یک محصول از گروه های دروغ متصل ساده .

G sol / G nil آبلیان است. یک گروه دروغ abelian متصل به یک محصول از نسخه های R و گروه دایره S 1 است .

G nil / 1 قدرت بالایی دارد و بنابراین سری مرکزی صعودی آن دارای ضریب abelian است.

این می تواند برای کاهش برخی از مشکلات مربوط به گروه های دروغگویی (مانند یافتن نمایش های واحد آنها) به همان مشکلات مربوط به گروه های ساده متصل و زیر گروه های توانمند و قابل حل بعد کوچکتر ، استفاده شود.

گروه diffeomorphism فراهم آورده است از یک گروه دروغ transitively عمل می کند در گروه دروغ
هر گروه Lie قابل موازی شدن است و از این رو یک منیفولد جهت پذیر است (یک انحناط بسته نرم افزاری بین بسته مماس و محصول خود با فضای مماس در هویت وجود دارد)

گروه های دروغ بی نهایت بعدی [ ویرایش ]

گروه های دروغ غالباً به صورت متناهی تعریف می شوند ، اما گروه های زیادی وجود دارند که به گروه های دروغ شباهت دارند ، به غیر از بعد نامحدود. ساده ترین راه برای تعریف گروههای دروغ با ابعاد نامحدود ، مدلسازی محلی آنها بر روی فضاهای Banach است (برخلاف فضای اقلیدسی در حالت بعدی متناهی) ، و در این حالت بسیاری از تئوریهای اساسی مشابه دروغهای بعدی متناهی است گروه ها. با این حال این برای بسیاری از برنامه ها ناکافی است ، زیرا بسیاری از نمونه های طبیعی گروه های Lie با ابعاد بی نهایت منیفولد Banach نیستند. در عوض لازم است گروه های دروغ را تعریف کنید که به صورت محلی تر و محدب تر ساخته شده اندفضاهای برداری توپولوژیکی. در این حالت رابطه بین جبر دروغ و گروه دروغ نسبتاً ظریف می شود و چندین نتیجه در مورد گروه های دروغ بعدی محدود دیگر برقرار نیست.

این ادبیات از نظر اصطلاحات کاملاً یکنواخت نیستند که دقیقاً کدام خصوصیات گروههای بی اندازه را برای گروه پیشوند دروغ در گروه دروغ واجد شرایط می داند . در سمت جبر دروغ ، از ساده تر بودن معیارهای صحیح پیشوند دروغ در جبر دروغ ، همه چیز ساده تر استکاملاً جبری هستند. به عنوان مثال ، یک جبر Lie با ابعاد نامحدود ممکن است دارای یک گروه Lie متناظر باشد. یعنی ممکن است گروهی متناظر با جبر دروغ باشد ، اما ممکن است آنقدر خوب نباشد که بتوان آن را گروه دروغ نامید ، یا ممکن است ارتباط بین گروه و جبر دروغ به اندازه کافی خوب نباشد (به عنوان مثال ، شکست در نقشه نمایی در محله ای از هویت). این "کافی خوب" است که به طور جهانی تعریف نشده است.

برخی از نمونه هایی که بررسی شده اند عبارتند از:

گروه اختلاف مورفیسم های یک منیفولد. درباره گروه تفاضل دایره کاملاً چیزهای زیادی شناخته شده است. جبر دروغ آن (کم وبیش) جبر Witt است ، که امتداد اصلی آن جبر Virasoro است ( برای استخراج این واقعیت به جبر Virasoro از جبر Witt مراجعه کنید) جبر تقارن نظریه میدان متقارب دو بعدی است . گروه diffeomorphism فراهم آورده است از منیفولدهای جمع و جور از ابعاد بزرگتر هستند به طور منظم گروه فریشه دروغ ؛ اطلاعات کمی در مورد ساختار آنها شناخته شده است.
گروه دیفورمورفیسم زمان-زمان گاهی در تلاش برای تعیین مقدار گرانش ظاهر می شود .
گروه نقشه های صاف از یک منیفولد به یک گروه دروغ بعدی محدود نمونه ای از یک گروه سنج است (با عملکرد ضرب نقطه ای ) ، و در تئوری میدان کوانتوم و نظریه دونالدسون استفاده می شود . اگر منیفولد یک دایره باشد ، به آنها گروههای حلقه ای گفته می شود و دارای پسوندهای مرکزی هستند که جبرهای دروغ آنها جبرهای Kac-Moody (کم و بیش) هستند .
آنالوگهای بی نهایت بعدی از گروههای خطی عمومی ، گروههای متعامد و غیره وجود دارد. [23] یک جنبه مهم این است که اینها ممکن است خصوصیات توپولوژیک ساده تری داشته باشند: به عنوان مثال قضیه کوپر را ببینید . به عنوان مثال ، در نظریه M ، یک تئوری سنج 10 بعدی SU (N) با بی نهایت شدن N به یک تئوری 11 بعدی تبدیل می شود.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

ادامه σ -جبر

σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

بورل و σ-جبری لبگ [ ویرایش ]

محصول σ-جبر [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط مجموعه های استوانه [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط متغیر تصادفی یا بردار [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک فرآیند تصادفی [ ویرایش ]

ادامه σ -جبر

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

مثالهای ساده مبتنی بر مجموعه [ ویرایش ]

توقف زمان σ-جبری [ ویرایش ]

ادامه σ -جبر

محدودیت های مجموعه [ ویرایش ]

زیر جبری [ ویرایش ]

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

ادامه σ -جبر

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

اندازه گیری [ ویرایش ]

σ -جبر

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

اندازه گیری [ ویرایش ]

محدودیت های مجموعه [ ویرایش ]

زیر جبری [ ویرایش ]

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

مثالهای ساده مبتنی بر مجموعه [ ویرایش ]

توقف زمان σ-جبری [ ویرایش ]

σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

بورل و Lebesgue σ-جبری [ ویرایش ]

محصول σ-جبر [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط مجموعه های استوانه [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط متغیر تصادفی یا بردار [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک فرآیند تصادفی [ ویرایش ]

دامنه ایده آل اصلی

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

غیر نمونه [ ویرایش ]

ماژول ها [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

Nilradical جبر دروغ

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

حلقه نیمه محلی

مثالها [ ویرایش ]

کتابهای درسی [ ویرایش ]

میدان جبری بسته

میدان جبری بسته

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

خصوصیات معادل [ ویرایش ]

تنها چند جمله ای های غیرقابل تقلیل مربوط به درجه یک هستند [ ویرایش ]

هر چند جمله ای محصول چند جمله ای درجه اول است [ ویرایش ]

چند جمله ای های درجه اول ریشه دارند [ ویرایش ]

این رشته پسوند جبری مناسبی ندارد [ ویرایش ]

این قسمت پسوند محدود مناسبی ندارد [ ویرایش ]

هر اندومورفیسم F n مقداری بردار ویژه دارد [ ویرایش ]

تجزیه عبارات منطقی [ ویرایش ]

**هر اندومورفیسم F n مقداری بردار ویژه دارد [ ویرایش ]**