مفهوم گروه دروغ و امکانات طبقه بندی [ ویرایش ]

گروه های دروغ ممکن است به عنوان خانواده های تقارن هموار با هم متفاوت باشند. نمونه هایی از تقارن شامل چرخش در مورد یک محور است. آنچه باید درک شود ماهیت تحولات 'کوچک' است ، به عنوان مثال چرخش هایی از طریق زاویه های کوچک ، که تحولات اطراف را به هم پیوند می دهد. جسم ریاضی تصرف این ساختار را جبر دروغ می نامند ( خود دروغ آنها را "گروههای بی نهایت کوچک" نامیده است). می توان تعریف کرد زیرا گروه های دروغ چند شاخه صاف هستند ، بنابراین در هر نقطه باید فضاهای مماس داشته باشید .

جبر دروغ از هر گروه دروغ جمع و جور (خیلی تقریباً: گروهی که تقارن ها یک مجموعه محدود را تشکیل می دهد) را می توان به صورت یک جمع مستقیم از جبر دروغ آبلیان و تعدادی از موارد ساده تجزیه کرد . ساختار جبر دروغ abelian از نظر ریاضیاتی جالب نیست (از آنجا که براکت Lie به طور یکسان صفر است) ؛ علاقه به احضارهای ساده است. از این رو این سوال مطرح می شود: جبرهای دروغ ساده گروه های جمع و جور کدامند؟ به نظر می رسد که آنها بیشتر در چهار خانواده بی نهایت قرار می گیرند ، "جبرهای دروغ کلاسیک" A n ، B n ، C n و D n، که از نظر تقارن فضای اقلیدسی توصیفات ساده ای دارند. اما فقط پنج "جبر دروغ استثنایی" نیز وجود دارد که در هیچ یک از این خانواده ها قرار نمی گیرند. E 8 بزرگترین آنهاست.

گروه های دروغ بر اساس خصوصیات جبری ( ساده ، نیمه ساده ، قابل حل ، توانمندی قدرتمند ، آبلیان ) ، اتصال ( متصل یا ساده متصل ) و فشردگی آنها طبقه بندی می شوند .

اولین نتیجه کلیدی تجزیه Levi است ، که می گوید هر گروه Lie به سادگی متصل شده محصول نیمه مستقیم یک زیر گروه عادی قابل حل و یک زیر گروه نیمه ساده است.

  • گروه های دروغ جمع و جور متصل همه شناخته شده اند: آنها ضرایب مرکزی محدودی از یک محصول از کپی های گروه دایره S 1 و گروه های جمع و جور ساده دروغ هستند (که مربوط به نمودارهای Dynkin متصل هستند ).
  • هر گروه دروغ قابل حل متصل به سادگی با یک زیر گروه بسته از گروه ماتریس های مثلثی فوقانی وارون دارای درجه ای ناهمسان است و هرگونه نمایش غیر قابل تقلیل بعدی محدود از چنین گروهی 1 بعدی است. گروه های قابل حل به جز در چند بعد کوچک ، بسیار طبقه بندی نشده اند.
  • هر گروه دروغ توانمند توانمندی ساده متصل به زیرگروه بسته گروه ماتریس های مثلثی فوقانی وارون با 1 در مورب برخی از درجه ها ، و هر نمایش غیر قابل تقلیل بعدی محدود از چنین گروهی 1 بعدی است. مانند گروه های قابل حل ، گروه های توانمند توانسته اند طبقه بندی کنند ، جز در چند بعد کوچک.
  • گروه های دروغ ساده گاهی اوقات به صورت گروههایی تعریف می شوند که به عنوان گروههای انتزاعی ساده باشند ، و گاهی تعریف می شوند که گروههای دروغی با یک جبر دروغ متصل می شوند. به عنوان مثال ، SL (2 ، R ) با توجه به تعریف دوم ساده است اما مطابق با تعریف اول نیست. همه آنها طبقه بندی شده اند (برای هر دو تعریف).
  • گروه های نیمه ساده دروغ ، گروه های دروغی هستند که جبر دروغ محصولی از جبرهای دروغ ساده است. [22] آنها پسوندهای اصلی محصولات گروههای ساده دروغ هستند.

م componentلفه هویت هر گروه Lie یک زیرگروه نرمال باز است و گروه ضریب یک گروه گسسته است . پوشش جهانی هر گروه دروغ متصل یک گروه دروغ متصل به سادگی است ، و بالعکس هر گروه دروغ متصل ضریب یک گروه دروغ متصل به سادگی توسط یک زیر گروه عادی گسسته مرکز است. هر گروه Lie G را می توان به صورت متعارف به گروه های گسسته ، ساده و هابلی تجزیه کرد به شرح زیر. نوشتن

G باهم برای دستگاه وصل از هویت

G sol برای بزرگترین زیرگروه قابل حل نرمال متصل

G صفر برای بزرگترین متصل زیر گروه پوچتوان طبیعی

به طوری که دنباله ای از زیرگروههای عادی داریم

1 ⊆ G صفر ⊆ G سل ⊆ G باهم ⊆ G .

سپس

G / G con گسسته است

G باهم / G سل است پسوند مرکزی از یک محصول از گروه های دروغ متصل ساده .

G sol / G nil آبلیان است. یک گروه دروغ abelian متصل به یک محصول از نسخه های R و گروه دایره S 1 است .

G nil / 1 قدرت بالایی دارد و بنابراین سری مرکزی صعودی آن دارای ضریب abelian است.

این می تواند برای کاهش برخی از مشکلات مربوط به گروه های دروغگویی (مانند یافتن نمایش های واحد آنها) به همان مشکلات مربوط به گروه های ساده متصل و زیر گروه های توانمند و قابل حل بعد کوچکتر ، استفاده شود.

گروه های دروغ بی نهایت بعدی [ ویرایش ]

گروه های دروغ غالباً به صورت متناهی تعریف می شوند ، اما گروه های زیادی وجود دارند که به گروه های دروغ شباهت دارند ، به غیر از بعد نامحدود. ساده ترین راه برای تعریف گروههای دروغ با ابعاد نامحدود ، مدلسازی محلی آنها بر روی فضاهای Banach است (برخلاف فضای اقلیدسی در حالت بعدی متناهی) ، و در این حالت بسیاری از تئوریهای اساسی مشابه دروغهای بعدی متناهی است گروه ها. با این حال این برای بسیاری از برنامه ها ناکافی است ، زیرا بسیاری از نمونه های طبیعی گروه های Lie با ابعاد بی نهایت منیفولد Banach نیستند. در عوض لازم است گروه های دروغ را تعریف کنید که به صورت محلی تر و محدب تر ساخته شده اندفضاهای برداری توپولوژیکی. در این حالت رابطه بین جبر دروغ و گروه دروغ نسبتاً ظریف می شود و چندین نتیجه در مورد گروه های دروغ بعدی محدود دیگر برقرار نیست.

این ادبیات از نظر اصطلاحات کاملاً یکنواخت نیستند که دقیقاً کدام خصوصیات گروههای بی اندازه را برای گروه پیشوند دروغ در گروه دروغ واجد شرایط می داند . در سمت جبر دروغ ، از ساده تر بودن معیارهای صحیح پیشوند دروغ در جبر دروغ ، همه چیز ساده تر استکاملاً جبری هستند. به عنوان مثال ، یک جبر Lie با ابعاد نامحدود ممکن است دارای یک گروه Lie متناظر باشد. یعنی ممکن است گروهی متناظر با جبر دروغ باشد ، اما ممکن است آنقدر خوب نباشد که بتوان آن را گروه دروغ نامید ، یا ممکن است ارتباط بین گروه و جبر دروغ به اندازه کافی خوب نباشد (به عنوان مثال ، شکست در نقشه نمایی در محله ای از هویت). این "کافی خوب" است که به طور جهانی تعریف نشده است.

برخی از نمونه هایی که بررسی شده اند عبارتند از:

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group