میدان جبری بسته

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، یک میدان F است جبری بسته اگر هر چند جمله ای غیر ثابت در F [ X ] (به تک متغیره حلقه های چند جمله ای با ضرایب در F ) دارای ریشه در F .

 

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، میدان اعداد واقعی از نظر جبری بسته نشده است ، زیرا معادله چند جمله ای x 2  + 1 = 0 هیچ حل در اعداد واقعی ندارد ، حتی اگر تمام ضرایب آن (1 و 0) واقعی باشند. همین استدلال ثابت می کند که هیچ زیرمجموعه ای از میدان واقعی از نظر جبری بسته نشده است. به طور خاص ، زمینه اعداد گویا از نظر جبری بسته نشده است. همچنین ، هیچ فیلد محدود F از نظر جبری بسته نیست ، زیرا اگر a 1 ، a 2 ، ... ، a n عناصر F باشند ، پس چند جمله ای ( x  -  a 1 ) ( x -  a 2 ) ··· ( x  -  a n ) + 1 در F صفر ندارد . در مقابل ، قضیه اساسی جبر بیان می کند که زمینه اعداد مختلط از نظر جبری بسته شده است. مثال دیگر از یک میدان بسته جبری ، قسمت اعداد جبری (مختلط) است .

خصوصیات معادل [ ویرایش ]

با توجه به فیلد F ، ادعای " F از نظر جبری بسته شده است" معادل ادعاهای دیگر است:

تنها چند جمله ای های غیرقابل تقلیل مربوط به درجه یک هستند [ ویرایش ]

فیلد F از نظر جبری بسته است اگر و فقط اگر تنها چندجملهای غیرقابل کاهش در حلقه چند جمله ای F [ x ] مربوط به درجه یک باشد.

ادعای "چند جمله ای های درجه یک غیرقابل کاهش است" برای هر رشته ای به طور پیش پا افتاده درست است. اگر F از نظر جبری بسته شده باشد و p ( x ) چند جمله ای غیرقابل تقلیل F [ x ] باشد ، پس ریشه a دارد و بنابراین p ( x ) مضرب x  -  a است . از آنجا که p ( x ) غیرقابل کاهش است ، این بدان معنی است که p ( x ) =  k ( x  -  a ) ، برای برخی k  ∈  F  \ {0}. از طرف دیگر ، اگرF از نظر جبری بسته نشده است ، پس چند جمله ای غیر ثابت p ( x ) در F [ x ] بدون ریشه در F وجود دارد . بگذارید q ( x ) فاکتور غیرقابل کاهش p ( x ) باشد. از آنجا که p ( x ) ریشه در F ندارد ، q ( x ) نیز ریشه در F ندارد . بنابراین ، q ( x ) دارای درجه بزرگتر از یک است ، زیرا هر چند جمله ای درجه اول یک ریشه در F دارد .

هر چند جمله ای محصول چند جمله ای درجه اول است [ ویرایش ]

زمینه F است جبری بسته اگر و تنها اگر هر چند جملهای ص ( X ) از درجه N  ≥ 1، با ضرایب در F ، تقسیم به عوامل خطی . به عبارت دیگر ، عناصر k ،  x 1 ،  x 2 ، ... ،  x n از قسمت F وجود دارد به گونه ای که p ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) · ^^ ( x  - x n )

اگر F این ویژگی را دارد ، مشخصاً هر چند جمله ای غیر ثابت در F [ x ] ریشه در F دارد . به عبارت دیگر ، F از نظر جبری بسته شده است. از طرف دیگر ، این ویژگی که در اینجا F بسته می شود اگر F از نظر جبری بسته باشد ، از ویژگی قبلی ناشی می شود همراه با این واقعیت که برای هر قسمت K ، هر چند جمله ای در K [ x ] را می توان به عنوان محصولی از چند جمله ای های غیرقابل کاهش نوشت .

چند جمله ای های درجه اول ریشه دارند [ ویرایش ]

اگر هر چند جمله ای بیش از F درجه اول ریشه در F داشته باشد ، هر چند جمله ای غیر ثابت ریشه در F دارد . [1] نتیجه این است که یک فیلد از نظر جبری بسته می شود اگر و فقط اگر هر چند جمله ای بیش از F درجه اول ریشه در F داشته باشد.

این رشته پسوند جبری مناسبی ندارد [ ویرایش ]

فیلد F در صورت جبری بسته می شود اگر و فقط اگر از پسوند جبری مناسبی برخوردار نباشد .

اگر F از پسوند جبری مناسبی برخوردار نیست ، بگذارید p ( x ) چند جمله ای غیرقابل کاهش در F [ x ] باشد. سپس خارج قسمت از F [ X ] پیمانه ایده آل تولید شده توسط P ( X ) گسترش جبری است F که درجه به درجه ای از برابر است ص ( X ). از آنجا که پسوند مناسبی نیست ، درجه آن 1 است و بنابراین درجه p ( x ) 1 است.

از طرف دیگر ، اگر F دارای برخی از پسوندهای جبری مناسب K باشد ، در این صورت حداقل چند جمله ای یک عنصر در K  \  F غیرقابل کاهش است و درجه آن بیشتر از 1 است.

این قسمت پسوند محدود مناسبی ندارد [ ویرایش ]

فیلد F جبری بسته می شود اگر و فقط اگر فاقد پسوند متناسب مناسب باشد زیرا اگر در اثبات قبلی ، اصطلاح "پسوند جبری" با اصطلاح "پسوند محدود" جایگزین شود ، اثبات هنوز معتبر است. (توجه داشته باشید که پسوندهای محدود لزوماً جبری هستند.)

هر اندومورفیسم F n مقداری بردار ویژه دارد [ ویرایش ]

فیلد F جبری بسته می شود اگر و فقط اگر برای هر عدد طبیعی n ، هر نقشه خطی از F n به خود دارای بردار ویژه باشد.

روپوست از F N دارای بردار ویژه اگر و تنها اگر آن چند جمله ای مشخصه است برخی از ریشه. بنابراین ، وقتی F از نظر جبری بسته شود ، هر اندومورفیسم F n دارای بردار ویژه است. از طرف دیگر ، اگر هر اندومورفیسم F n دارای بردار ویژه باشد ، بگذارید p ( x ) عنصری از F [ x ] باشد. با ضریب پیشرو آن ، یک چند جمله ای q ( x ) دیگر بدست می آوریم که ریشه دارد اگر و فقط اگر p ( x ) ریشه داشته باشد. اما اگر q (x ) =  x n  +  a n  - 1 x n  - 1 + ··· +  a 0 ، سپس q ( x ) چند جمله ای مشخصه ماتریس همراه n × n است

{\ start {pmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 & -a_ {0} \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 & -a_ {1} \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & -a_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & -a_ {n-1} \ end {pmatrix}}.

تجزیه عبارات منطقی [ ویرایش ]

فیلد F از نظر جبری بسته شده است اگر و فقط اگر هر تابع منطقی در یک متغیر x با ضرایب F بتواند به صورت مجموع یک تابع چند جمله ای با توابع منطقی شکل a / ( x  -  b ) n ، جایی که n یک عدد طبیعی است ، و a و b عناصر F هستند .

اگر F از نظر جبری بسته باشد ، از آنجا که چند جمله ای های غیرقابل کاهش در F [ x ] همه از درجه 1 هستند ، ویژگی بیان شده در بالا با قضیه تجزیه کسر جزئی حفظ می شود .

از طرف دیگر ، فرض کنید خصوصیاتی که در بالا گفته شد برای قسمت F صدق می کند . بگذارید p ( x ) یک عنصر غیرقابل کاهش در F [ x ] باشد. سپس تابع منطقی 1 / p را می توان به صورت مجموع یک تابع چند جمله ای q با توابع منطقی شکل a / ( x  -  b ) n نوشت . بنابراین ، بیان منطقی

{\ frac {1} {p (x)}} - q (x) = {\ frac {1-p (x) q (x)} {p (x)}}

می توان به عنوان ضریب دو چند جمله ای نوشت که در آن مخرج حاصل از چند جمله ای درجه اول است. از آنجا که p ( x ) غیرقابل کاهش است ، باید این محصول را تقسیم کند و بنابراین ، باید چند جمله ای درجه یک نیز باشد.

چند جمله ای و ریشه های نسبتاً اصلی [ ویرایش ]

برای هر فیلد F ، اگر دو چند جمله ای p ( x ) ، q ( x ) ∈  F [ x ] نسبتاً اول باشد ، آنها ریشه مشترک ندارند ، زیرا اگر یک  ∈  F ریشه مشترک بود ، پس  p ( x ) و   Q ( x را ) هر دو تقسیم عددی بر مضرب باشد X  - و بنابراین نسبتاً عالی نخواهند بود. فیلدهایی که مفهوم معکوس برای آنها در نظر گرفته شده است (یعنی فیلدهایی به گونه ای که هرگاه دو چند جمله ای ریشه مشترکی نداشته باشند و نسبتاً اصلی باشند) دقیقاً فیلدهای بسته شده جبری هستند.

اگر فیلد F از نظر جبری بسته است ، بگذارید p ( x ) و q ( x ) دو چند جمله ای باشند که نسبتاً اول نیستند و بگذارید r ( x ) بزرگترین تقسیم کننده مشترک آنها باشد . سپس ، از آنجا که r ( x ) ثابت نیست ، مقداری ریشه a خواهد داشت ، که ریشه مشترک p ( x ) و q ( x ) خواهد بود.

اگر F از نظر جبری بسته نشده است ، بگذارید p ( x ) یک چند جمله ای باشد که درجه آن حداقل 1 بدون ریشه باشد. بنابراین p ( x ) و p ( x ) نسبتاً اولیه نیستند ، اما هیچ ریشه مشترکی ندارند (از آنجا که هیچ یک از آنها ریشه ندارند).

خواص دیگر [ ویرایش ]

اگر F یک میدان جبری بسته باشد و n یک عدد طبیعی باشد ، F شامل همه n ریشه های وحدت است ، زیرا اینها (طبق تعریف ) صفرهای n (لزوماً مجزا) از چند جمله ای x n نیستند  - 1. یک پسوند میدان که در یک پسوند تولید شده توسط ریشه های وحدت وجود دارد ، یک پسوند سیکلوتومی است و گسترش یک میدان تولید شده توسط همه ریشه های وحدت را گاهی بسته شدن سیکلوتومی آن می نامند . بنابراین زمینه های جبری بسته از نظر سیکلوتومی بسته می شوند. این صحبت درست نیست. حتی با فرض اینکه هر چند جمله ای شکل x n  -  a تقسیم به عوامل خطی برای اطمینان از بسته بودن جبری کافی نیست.

اگر گزاره ای که می تواند به زبان منطق مرتبه اول بیان شود برای یک میدان بسته جبری صادق است ، پس برای هر زمینه جبری بسته با همان ویژگی صادق است . بعلاوه ، اگر چنین گزاره ای برای یک میدان بسته جبری با مشخصه 0 معتبر باشد ، پس نه تنها برای سایر زمینه های بسته جبری با مشخصه 0 معتبر است ، بلکه تعداد طبیعی N نیز وجود دارد که گزاره برای هر بسته جبری معتبر است زمینه با مشخصه  ص وقتی ص  >  N . [2]

هر قسمت F دارای برخی از پسوندها است که از نظر جبری بسته شده است. به چنین پسوندی پسوند جبری بسته گفته می شود . در میان تمام چنین پسوند است یک و تنها یک (وجود دارد تا isomorphism ، اما نه ریخت منحصر به فرد ) است که یک فرمت جبری از F ؛ [3] از آن به نام بسته شدن جبری از F .

نظریه زمینه های جبری بسته دارای حذف کمیت است .

یادداشت ها [ ویرایش ]

  1. ^ شیپمن، J. بهبود قضیه اساسی جبر ریاضی اینتلیجنسر ، جلد 29 (2007)، شماره 4. صفحات 9-14
  2. ^ زیر بخشها را مشاهده کنید حلقه ها و زمینه ها و خصوصیات نظریه های ریاضی در §2 از J. Barwise "مقدمه ای برای منطق مرتبه اول".
  3. ^ مشاهده لانگ جبر ، §VII.2 یا ون der Waerden در جبر ، §10.1.

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraically_closed_field