σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

بگذارید F یک خانواده دلخواه از زیرمجموعه های X باشد. کوچکترین جبر منحصر به فرد وجود دارد که شامل هر مجموعه ای در F است (حتی اگر F ممکن است یک جبر σ باشد یا نباشد). در واقع محل تقاطع تمام σ-جبری های حاوی F است . (به تقاطع های σ-جبرهای بالا مراجعه کنید.) این σ -جبر     نشان داده می شود (σ ( F  و جبر σ تولید شده توسط F نامیده می شود .

سپس( σ ( F از همه زیرمجموعه های X تشکیل شده است که می تواند از طریق عناصر F با تعداد قابل شماری از عملیات مکمل ، اتحاد و تقاطع ساخته شود. اگر F خالی باشد ، پس σ ( F ) = { X ، ∅ } ، زیرا یک اتحادیه و تقاطع خالی به ترتیب مجموعه خالی و مجموعه جهانی را تولید می کند.

برای یک مثال ساده ، مجموعه 

X = {1، 2، 3}

را در نظر بگیرید. سپس σ -جبر     تولید شده توسط زیرمجموعه واحد{1}

 σ ({{1}}) = {∅ ، {1} ، {2 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3}}

است . توسط سوء استفاده از نماد ، وقتی که یک مجموعه از زیر مجموعه های تنها یک عنصر، ، یکی ممکن است ارسال σ ( ) به جای σ ({ }) اگر آن را روشن است که یک زیر مجموعه از X است  . در مثال قبلی

σ ({1})

به جای

 σ ({{1}}). 

در واقع ، استفاده از

 σ ( A 1 ، A 2 ، ...) 

به معنای

 σ ({ A 1 ، A 2 ، ...}) 

همچنین کاملاً رایج است.

خانواده های زیادی از زیرمجموعه ها وجود دارند که σ-جبری های مفید تولید می کنند. برخی از این موارد در اینجا ارائه شده است.

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

اگر f تابعی از مجموعه X به مجموعه Y است و B جبر σ از زیرمجموعه های Y است ، جبر σ تولید شده توسط تابع f ، نشان داده شده با

σ ( f ) ،

مجموعه تمام تصاویر معکوس است ج -1 ( S ) از مجموعه S در B . یعنی

\ sigma (f) = \ {f ^ {- 1} (S) \ ، | \ ، S \ in B \}.

یک تابع f از یک مجموعه X به یک مجموعه Y با توجه به یک جبر Σ از زیر مجموعه های X قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر σ ( f ) زیر مجموعه Σ باشد.

یک وضعیت مشترک، و درک به طور پیش فرض اگر B است به صراحت مشخص نشده است، هنگامی که Y است متریک و یا فضای توپولوژیک و B مجموعه ای از است مجموعه بورل در Y .

اگر f تابعی از X تا R n باشد ،( σ ( f توسط خانواده زیر مجموعه هایی تولید می شود که تصاویر معکوس فواصل / مستطیل ها در R n هستند :

\ sigma (f) = \ sigma \ چپ (\ {f ^ {- 1} ((a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار (a_ {n} ، b_ {n}])): a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \} \ سمت راست).

یک ویژگی مفید موارد زیر است. فرض کنید f یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( S ، Σ S ) و g یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( T ، Σ T ) است. اگر یک نقشه قابل اندازه گیری h از ( T ، Σ T ) تا ( S ، Σ S ) وجود داشته باشد به طوری که(( f ( x ) = h ( g ( x  برای همه x ، سپس σ ( f ) ⊂ σ ( g) اگر S محدود یا قابل شمارش نامحدود باشد یا به طور کلی ، ( S ، Σ S ) یک فضای استاندارد بورل است (به عنوان مثال ، یک فضای متریک کامل قابل تفکیک با مجموعه های بورل مرتبط با آن) ، مکالمه نیز صادق است. [7] نمونه هایی از فضاهای استاندارد بورل شامل R N با مجموعه بورل و R ∞ با سیلندر σ جبر شرح زیر است.

بورل و σ-جبری  لبگ  [ ویرایش ]

یک مثال مهم جبر بورل بر روی هر فضای توپولوژیکی است : جبر σ تولید شده توسط مجموعه های باز (یا به طور معادل ، توسط مجموعه های بسته ). توجه داشته باشید که این جبر σ به طور کلی ، کل مجموعه توان نیست. برای یک مثال غیر پیش پا افتاده که مجموعه Borel نیست ، به مجموعه های ویتالی یا غیربورل مراجعه کنید .

در فضای اقلیدسی R N ، یکی دیگر از σ جبر از اهمیت: که از همه اندازه پذیر لبگ  مجموعه. این جبر σ شامل مجموعه های بیشتری از جبر بورل در R n است و در تئوری ادغام ترجیح داده می شود ، زیرا فضای اندازه پذیر کاملی را می دهد .

محصول σ-جبر [ ویرایش ]

اجازه دهید (X_ {1} ، \ Sigma _ {1}) و (X_ {2} ، \ Sigma _ {2})دو فضای قابل اندازه گیری باشد. جبر σ برای فضای ضرب مربوطه X_ {1} \ بار X_ {2}ضرب جبری نامیده می شود و چنین تعریف می شود

\ Sigma _ {1} \ times \ Sigma _ {2} = \ sigma (\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}، B_ {2} \ in \ سیگما _ {2} \}).

رعایت کنید \ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ در \ Sigma _ {1} ، B_ {2} \ در \ Sigma _ {2} \} یک سیستم π است

جبر بورل برای R n توسط مستطیل های نیمه نامحدود و توسط مستطیل های محدود تولید می شود. مثلا،

{\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ sigma \ سمت چپ (\ چپ \ {(- \ ضعیف ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ زمان (- \ ضعیف ، b_ {n}]: b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right) = \ sigma \ چپ (\ چپ \ {(a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار) (a_ {n} ، b_ {n}]: a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right).

برای هر یک از این دو مثال ، خانواده مولد یک سیستم π است .

σ-جبر تولید شده توسط مجموعه های استوانه [ ویرایش ]

فرض کنید

{\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} = \ {f: f {\ text {تابعی از}} \ mathbb {T} {\ text {به}} \ mathbb { R} \}}

مجموعه ای از توابع با ارزش حقیقی در است {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})زیر مجموعه های بورل از R را نشان می دهد . برای هر{\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}} و {\ displaystyle \ {B_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}یک زیر مجموعه سیلندر از X یک مجموعه کاملاً محدود است که به صورت تعریف شده است

C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = \ {f \ در X: f (t_ {i}) \ در B_ {i} ، 1 \ leq i \ leq n \}.

برای هر {\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}،

\ {C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R }) ، 1 \ leq i \ leq n \}

یک π است که یک جبر σ تولید می کند \ textstyle \ Sigma _ {t_ {1} ، \ dots ، t_ {n}}. سپس خانواده زیر مجموعه ها

{\ mathcal {F}} _ {X} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {t_ {i} \ in \ mathbb {T}، i \ leq n} \ Sigma _ {{ t_ {1} ، \ نقاط ، t_ {n}}

جبری است که استوانه σ-جبر را برای X تولید می کند . این σ جبر است زیرجبر از σ جبر  بورل تعیین شده توسط توپولوژی ضرب از\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}محدود به X .

یک مورد خاص مهم این است که چه زمانی\ mathbb {T} مجموعه اعداد طبیعی است و X مجموعه ای از توالی های با ارزش حقیقی است. در این حالت ، کافی است مجموعه های سیلندر را در نظر بگیریم

C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = (B_ {1} \ بار \ cdots \ بار B_ {n} \ بار \ mathbb {R} ^ {\ نامعتبر}) \ cap X = \ {(x_ {1} ، x_ {2} ، \ نقطه ، x_ {n} ، x_ {n + 1} ، \ نقطه) \ در X: x_ {i} \ در B_ {i} ، 1 \ leq من \ leq n \} ،

برای کدام

\ سیگما _ {n} = \ سیگما (\ {C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ) ، 1 \ leq i \ leq n \})

یک دنباله غیر کاهنده σ-جبری است.

σ-جبر تولید شده توسط متغیر تصادفی یا بردار [ ویرایش ]

فرض کنید (\ امگا ، \ سیگما ، \ mathbb {P})یک فضای احتمال است . اگر\ textstyle Y: \ امگا \ به \ mathbb {R} ^ {n}با توجه به جبر بورل در R n قابل اندازه گیری است و سپس Y را یک متغیر تصادفی ( n = 1 ) یا بردار تصادفی ( n > 1) می نامیم . جبر σ تولید شده توسط Y است

\ sigma (Y) = \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \}.

σ-جبر تولید شده توسط یک فرآیند تصادفی [ ویرایش ]

فرض کنید (\ امگا ، \ سیگما ، \ mathbb {P})یک فضای احتمال است و\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} مجموعه توابع با ارزش واقعی در است \ mathbb {T} . اگر \ textstyle Y: \ Omega \ به X \ subset \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} با توجه به استوانه σ جبر قابل اندازه گیری است \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X})(به بالا مراجعه کنید) برای X ، سپس Y یک فرآیند تصادفی یا یک فرآیند تصادفی نامیده می شود . جبر σ تولید شده توسط Y است

\ sigma (Y) = \ left \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X}) \ right \} = \ sigma (\ {Y ^ {-1} (A): A \ in {\ mathcal {F}} _ {X} \}) ،

σ -جبر     تولید شده توسط تصاویر معکوس مجموعه های استوانه.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra