ریاضیات

ساختار جبری → نظریه حلقه نظریه حلقه
مفاهیم اساسی[نمایش]
جبر عواملی[نمایش]
جبر غیرقابل تغییر[نمایش]
v تی ه

در ریاضیات ، ماژول یکی از ساختارهای اساسی جبری است که در جبر انتزاعی استفاده می شود . یک ماژول بر روی یک حلقه یک تعمیم از مفهوم فضای بردار در یک زمینه است ، که در آن مقیاس پذیرهای مربوطه عناصر یک حلقه دلخواه داده شده (با هویت) هستند و یک ضرب (در سمت چپ و / یا در سمت راست) تعریف شده است بین عناصر حلقه و عناصر ماژول. ماژول گرفتن اسکالرهای خود را از یک حلقه R یک نام R -مدول.

بنابراین ، یک ماژول ، مانند یک فضای بردار ، یک گروه افزودنی abelian است . محصولی بین عناصر حلقه و عناصر ماژول تعریف می شود که در عملکرد جمع هر پارامتر توزیعی است و با ضرب حلقه سازگار است.

ماژول بسیار مربوط به مربوط تئوری نمایندگی از گروه . آنها همچنین یکی از مفاهیم اصلی جبر رفتاری و جبر همولوژی هستند و به طور گسترده در هندسه جبری و توپولوژی جبری استفاده می شوند .

فهرست

• 1مقدمه و تعریف
  • 1.1انگیزه
  • 1.2تعریف رسمی
• 2مثال ها
• 3زیر مدول ها و همومورفیسم ها
• 4انواع ماژول ها
• 5مفاهیم بعدی
  • 5.1ارتباط با نظریه بازنمایی
  • 5.2تعمیم ها
• 6همچنین ببینید
• 7یادداشت
• 8منابع
• 9لینک های خارجی

مقدمه و تعریف [ ویرایش ]

انگیزه [ ویرایش ]

در یک فضای برداری، مجموعه ای از اسکالرهای است درست عمل می کند و در بردار با ضرب اسکالر، موضوع به بدیهیات خاص مانند قانون توزیع . در یک ماژول ، مقیاس پذیرها فقط باید یک حلقه باشند ، بنابراین مفهوم ماژول یک تعمیم قابل توجه را نشان می دهد. در جبر کموتی ، هر دو ایده آل و حلقه های ضریب ماژول هستند ، بنابراین بسیاری از بحث های مربوط به ایده آل ها یا حلقه های ضریب را می توان در یک استدلال واحد در مورد ماژول ها ترکیب کرد. در جبر غیر جابجایی تمایز بین ایده آل های چپ ، ایده آل ها و ماژول ها بارزتر می شود ، اگرچه برخی شرایط نظری حلقه را می توان در مورد ایده آل های چپ یا ماژول های چپ بیان کرد.

بیشتر نظریه ماژول ها شامل گسترش هر چه بیشتر خصوصیات مطلوب فضاهای برداری به حوزه ماژول ها بر روی یک حلقه "خوش رفتار " مانند دامنه ایده آل اصلی است . با این حال ، ماژول ها می توانند کمی پیچیده تر از فضاهای برداری باشند. به عنوان مثال ، همه ماژول ها دارای پایه نیستند ، و حتی آنهایی که ماژول های رایگان دارند ، اگر حلقه زیرین شرایط عدد پایه ثابت را برآورده نکند ، برخلاف فضاهای برداری ، که همیشه دارای یک (احتمالاً بی نهایت) هستند ، نیازی به رتبه منحصر به فرد ندارند مبنایی که پس از آن اساسی است منحصر به فرد است. (این دو ادعای اخیر به بدیهی انتخاب نیاز داردبه طور کلی، اما نه در مورد فضاهای محدود بعدی، و یا برخی از خوبی رفتار فضاهای بی نهایت بعدی مانند L ص فضاهای .)

تعریف رسمی [ ویرایش ]

فرض کنید R یک حلقه است و 1 R هویت ضربی آن است. چپ R -مدول M شامل یک گروه آبلی ( M ، +) و یک عملیات ⋅: R × M → M طوری که برای همه R ، ها در R و X ، Y در M ، ما را داشته باشد:

عملکرد حلقه در M ضرب اسکالر نامیده می شود ، و معمولاً با هم قرار گرفتن ، به عنوان rx برای r در R و x در M نوشته می شود ، اگرچه در اینجا به عنوان r ⋅ x نشان داده می شود تا از عمل ضرب حلقه متمایز شود ، مشخص می شود در اینجا با کنار هم قرار گرفتن علامت گذاری R M نشانگر R چپ ماژول M است . یک R راست ماژول M یا M Rبه طور مشابه تعریف می شود ، با این تفاوت که حلقه در سمت راست عمل می کند. یعنی ضرب اسکالر به شکل ⋅: M × R → M در می آید و بدیهیات فوق با مقیاسهای r و s در سمت راست x و y نوشته می شوند .

نویسنده که حلقه نیاز به unital شرایط به آنرا حذف 4 بالا در تعریف از R -مدول، و به همین ترتیب ساختارهای تعریف شده در بالا "unital سمت چپ پاسخ R -مدول ها". در این مقاله ، مطابق با واژه نامه تئوری حلقه ، همه حلقه ها و ماژول ها یکپارچه فرض می شوند. [1]

اگر یکی عمل عددی به عنوان نویسد F R به طوری که F R ( X ) = R ⋅ X و F برای نقشه که طول می کشد هر تحقیق به نقشه مربوط به آن F R  ، سپس اصل موضوعه اول که هر F R است روپوست گروه از M ، و سه بدیهی دیگر ادعا می کنند که نقشه f  : R → End ( M ) داده شده توسط r ↦ f r یک همگونی حلقه ای از R استبه حلقه endomorphism End ( M ). [2] بنابراین یک ماژول یک عمل حلقه ای بر روی یک گروه abelian است (رجوع کنید به عملکرد گروهی . همچنین عملکرد مونوئید ساختار ضرب R را نیز در نظر بگیرید ). از این نظر ، تئوری ماژول نظریه بازنمایی را تعمیم می دهد ، که به اقدامات گروهی در فضاهای برداری یا معادل آن اقدامات حلقه گروهی مربوط می شود.

bimodule یک ماژول است که یک ماژول سمت چپ و یک ماژول سمت راست به طوری که دو ضرب سازگار می باشد.

اگر R است مبادلهای و سپس سمت چپ R -مدولهمان حق با R -مدولو به سادگی به نام R -مدول.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)