مجموعه زنجیره ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آبان ۱۳۹۹ | 2:2

هموتوپی زنجیره ای [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: دسته هموتوپی مجتمع های زنجیره ای

یک هموتوپی زنجیره ای راهی برای ارتباط دو نقشه زنجیره ای ارائه می دهد که همان نقشه را در گروه های همسانی القا می کنند ، حتی اگر نقشه ها متفاوت باشند. با توجه به دو زنجیره مجتمع و B ، و دو زنجیره نقشه F ، G : → B ، یک هموتوپی زنجیره دنباله های homomorphisms است ساعت N : N → B N 1 به طوری که HD + D B = F - G . نقشه ها ممکن است به صورت زیر در یک نمودار نوشته شده باشند ، اما این نمودار جایگزین نیست.

نقشه hd A + d B h به راحتی تأیید می شود تا نقشه صفر در همسانی را برای هر ساعت القا کند . بلافاصله نتیجه می شود که f و g یک نقشه مشابه را از همسانی القا می کنند. یکی می گوید F و G می homotopic زنجیره ای (و یا به سادگی homotopic )، و این اموال را تعریف می کند رابطه هم ارزی بین نقشه های زنجیره ای.

بگذارید X و Y فضاهای توپولوژیکی باشند. در مورد همسانی منفرد ، یک هموتوپی بین نقشه های مداوم f ، g : X → Y باعث ایجاد یک هموتوپی زنجیره ای بین نقشه های زنجیره ای مربوط به f و g می شود . این نشان می دهد که دو نقشه هوموتوپیک نقشه مشابهی را بر روی همسانی منفرد القا می کنند. نام "هموتوپی زنجیره ای" با این مثال ایجاد می شود.

مثالها [ ویرایش ]

همسانی واحد [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همسانی واحد

بگذارید X یک فضای توپولوژیکی باشد. C n ( X ) را تعریف کنید تا n طبیعی باشد ، گروه آزاد آبلیایی که به طور رسمی توسط سادگی n n در X تولید می شود و نقشه مرزی را تعریف کنید ${\ displaystyle \ partial _ {n}: C_ {n} (X) \ به C_ {n-1} (X)}$ بودن

${\ displaystyle \ partial _ {n}: \، (\ sigma: [v_ {0}، \ ldots، v_ {n}] \ to X) \ mapsto \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} (\ sigma: [v_ {0}، \ ldots، {\ hat {v}} _ {i}، \ ldots، v_ {n}] \ به X)}$

جایی که کلاه نشان دهنده حذف یک راس است . یعنی مرز یک سیمپلکس جمع متناوب محدودیتهای صورتهای آن است. می توان نشان داد که ∂ 2 = 0 بنابراین $(C _ {\ bullet} ، \ partial _ {\ bullet})$ یک مجموعه زنجیره ای است. همسانی مفرد $H _ {\ bullet} (X)$ همسانی این مجموعه است.

همسانی منحصر به فرد یک فاکتور ثابت از فضاهای توپولوژیکی تا معادل هموتوپی است . گروه همسانی درجه صفر یک گروه آبلی رایگان در است مسیر قطعات از X .

کوهامولوژی د رام [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کوهامولوژی de Rham

دیفرانسیل K -forms در هر منیفولد صاف M فرم واقعی فضای برداری به نام Ω K ( M ) تحت علاوه بر. مشتق بیرونی د نقشه Ω K ( M ) به Ω K 1 ( M )، و د 2 = 0 زیر اساسا از تقارن مشتقات دوم ، به طوری که فضاهای برداری از K -forms همراه با مشتق بیرونی یک cochain پیچیده است.

${\ displaystyle \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ to \ Omega ^ {2} (M) \ to \ Omega ^ {3} (M) \ به \ cdots}$

cohomology از این مجموعه به نام د Rham های cohomology از X . گروه همسانی در بعد صفر با فضای بردار توابع ثابت محلی از M تا R یکدست است . بنابراین برای یک منیفولد فشرده ، این فضای برداری واقعی است که بعد آن تعداد اجزای متصل M است .

نقشه های صاف بین منیفولد باعث ایجاد نقشه های زنجیره ای و هموتوپی صاف بین نقشه باعث القای هموتوپی زنجیره ای می شود.

دسته مجتمع های زنجیره ای [ ویرایش ]

مجموعه های زنجیره ای ماژول های K با نقشه های زنجیره ای یک دسته Ch K تشکیل می دهند ، جایی که K یک حلقه جابجایی است.

اگر ${\ displaystyle {} _ {*}}$ و ${\ displaystyle {} _ {*}}$ مجتمع های زنجیره ای هستند ، محصول تانسور آنها $V \ otimes W$ یک مجموعه زنجیره ای است با عناصر درجه n داده شده توسط

${\ displaystyle (V \ otimes W) _ {n} = \ bigoplus _ {\ {i، j | i + j = n \}} V_ {i} \ otimes W_ {j}}$

و دیفرانسیل داده شده توسط

${\ displaystyle \ partial (a \ otimes b) = \ partial a \ otimes b + (- 1) ^ {\ left | a \ right |} a \ otimes \ partial b}$

که a و b به ترتیب هر دو بردار همگن در V و W هستند ، و ${\ displaystyle \ چپ | a \ راست |}$ درجه a را نشان می دهد .

این محصول تنسور ، دسته Ch K را به یک دسته منفرد متقارن تبدیل می کند . علامت هویت با توجه به این محصول مونوئید حلقه پایه K است که به عنوان یک مجموعه زنجیره ای در درجه 0 مشاهده می شود. بافته شدن بر روی تانسورهای ساده عناصر همگن توسط

${\ displaystyle a \ otimes b \ mapsto (-1) ^ {\ left | a \ right | \ left | b \ right |} b \ otimes a}$

این علامت برای اینکه بافتنی یک نقشه زنجیره ای باشد لازم است.

علاوه بر این ، مجموعه مجموعه های زنجیره ای K- modules همچنین دارای Hom داخلی است : با توجه به مجتمع های زنجیره ای V و W ، Hom داخلی V و W ، نشان داده شده Hom ( V ، W ) ، مجموعه زنجیره ای با عناصر درجه n است که توسط $\ Pi _ {i} {\ text {Hom}} _ {K} (V_ {i} ، W_ {i + n})$ و دیفرانسیل داده شده توسط

${\ displaystyle (\ part f) (v) = \ partial (f (v)) - (- 1) ^ {\ left | f \ right |} f (\ partial (v))}}$ .

ما یک شکل گیری طبیعی داریم

${\ text {Hom}} (A \ otimes B، C) \ Cong {\ text {Hom}} (A، {\ text {Hom}} (B، C))$

مثالهای دیگر [ ویرایش ]

مجموعه آمیتسور
مجموعه ای که برای تعریف گروه های بالاتر Chow از بلوخ استفاده می شود
مجموعه Buchsbaum – Rim
مجتمع فناوری
عقده پسر عموی
مجتمع Eagon – Northcott
مجموعه گرستن
مجموعه نمودار [1]
مجتمع کوزول
مجتمع مور
مجموعه Schur

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

جبر درجه بندی شده دیفرانسیل
جبر دروغ درجه بندی شده دیفرانسیل
مکاتبات Dold-Kan می گوید که یک معادله بین دسته مجموعه های زنجیره ای و گروه گروه های ساده abelian وجود دارد .
معیار عدم صحت بوکسباوم – آیزنبود
ماژول درجه بندی شده دیفرانسیل

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_complex

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی