.

فضا ترتیب [ ویرایش ]

یک صفحه متناهی با نظم n یکی از مواردی است که هر خط دارای n نقطه باشد (برای یک صفحه ترکیبی) ، یا به گونه ای که هر خط دارای n + 1 امتیاز باشد (برای یک صفحه نمایش). یک سوال عمده در هندسه محدود این است:

آیا سفارش یک هواپیمای محدود همیشه یک قدرت اصلی است؟

این حدس زده می شود که درست باشد.

صفحات افینین و فرافکنی نظم n هر زمان که n یک قدرت اصلی باشد (یک عدد اصلی که به یک صحیح صحیح مثبت افزایش می یابد ) ، با استفاده از صفحات افقی و تصویری بیش از میدان محدود با عناصر n = p k ، وجود دارد. هواپیماهایی که از زمینه های محدود مشتق نشده اند نیز وجود دارند (به عنوان مثال برای {\ displaystyle n = 9}) ، اما همه مثالهای شناخته شده دارای یک قدرت برتر هستند. [1]

بهترین نتیجه کلی تا به امروز قضیه بروک-رایزر سال 1949 است که می گوید:

اگر n یک عدد صحیح مثبت از فرم 4 k + 1 یا 4 k + 2 باشد و n برابر با مجموع دو مربع عدد صحیح نباشد ، n به ترتیب یک صفحه محدود اتفاق نمی افتد.

کوچکترین عدد صحیحی که قدرت اصلی نیست و توسط قضیه Bruck – Ryser پوشش داده نمی شود 10 است. 10 به شکل 4 k + 2 است ، اما برابر است با مجموع مربع های 1 2 + 3 2 . عدم وجود صفحه محدود به ترتیب 10 در اثبات کمکی رایانه ای که در سال 1989 به پایان رسید ثابت شد - برای اطلاعات بیشتر به ( Lam 1991 ) مراجعه کنید.

کوچکترین شماره بعدی که باید در نظر گرفت 12 عدد است که نه نتیجه مثبت و نه منفی برای آن ثابت نشده است.

تاریخچه [ ویرایش ]

نمونه های جداگانه ای را می توان در کار توماس پنیگتون کرکمن (1847) و توسعه سیستماتیک هندسه فرافکنی محدود ارائه شده توسط فون استاودت (1856) یافت.

اولین درمان بدیهی هندسه فرافکنی محدود توسط ریاضیدان ایتالیایی Gino Fano توسعه داده شد . در کار خود [2] در اثبات استقلال از مجموعه ای از بدیهیات برای تصویری N فضا- که او توسعه یافته، [3] او یک فضای محدود سه بعدی با 15 امتیاز، 35 خطوط و 15 هواپیما (نمودار را ببینید)، که در آن در نظر گرفته هر خط فقط سه نقطه داشت. [4]

در سال 1906 اسوالد وبلن و WH Bussey هندسه تصویری را با استفاده از مختصات همگن با مدخل های میدان گالوسی GF ( q ) توصیف کردند. هنگامی که N + 1 مختصات استفاده می شود، N بعدی محدود هندسه مشخص می PG ( N، Q ). [5] این در هندسه مصنوعی بوجود می آید و دارای یک گروه تحول مرتبط است .

فضاهای محدود 3 بعدی یا بیشتر [ ویرایش ]

برای برخی از تفاوتهای مهم بین هندسه صفحه متناسب و هندسه فضاهای متناسب با ابعاد بالاتر ، به فضای فرافکنی بدیهی مراجعه کنید . برای بحث در مورد فضاهای متناسب با ابعاد بالاتر ، به عنوان مثال ، به کارهای JWP Hirschfeld مراجعه کنید . مطالعه این فضاهای بعدی بالاتر ( n ≥ 3 ) کاربردهای مهمی در نظریه های پیشرفته ریاضی دارد.

تعریف بدیهی [ ویرایش ]

یک فضای تصویری S را می توان بدیهی به عنوان یک مجموعه P (مجموعه نقاط) ، همراه با یک مجموعه L زیر مجموعه از P (مجموعه خط ها) تعریف کرد ، این بدیهیات را برآورده می کند: [6]

  • هر دو نقطه متمایز p و q دقیقاً در یک خط قرار دارند.
  • بدیهیات Veblen : [7] اگر a ، b ، c ، d نقاط متمایز هستند و خطوط از طریق ab و cd با هم ملاقات می کنند ، بنابراین خطوط از طریق ac و bd نیز چنین هستند .
  • هر خط حداقل 3 امتیاز روی خود دارد.

آخرین اصل موارد قابل تقلیل را حذف می کند که می تواند به عنوان یک اتحادیه ناپیوسته از فضاهای تصویری همراه با خطوط 2 نقطه ای به هر دو نقطه در فضاهای مجزا مجزا متصل شود. به طور خلاصه تر ، می توان آن را به عنوان یک ساختار بروز ( P ، L ، I ) تعریف کرد که متشکل از یک مجموعه P از نقاط ، یک مجموعه L از خطوط و یک رابطه بروز I است که بیان می کند کدام نقاط روی کدام خط ها قرار دارند.

بدست آوردن یک فضای فرافکنی محدود به یک اصل دیگر نیاز دارد:

  • مجموعه نقاط P یک مجموعه متناهی است.

در هر فضای فرافکنی محدود ، هر خط شامل تعداد نقاط یکسانی است و ترتیب فضا یک کمتر از این عدد مشترک تعریف می شود.

یک زیر فضایی از فضای فرافکنی یک زیرمجموعه X است ، به این ترتیب که هر خط حاوی دو نقطه X یک زیرمجموعه X است (یعنی کاملاً در X موجود است ). فضای کامل و فضای خالی همیشه زیر فضایی هستند.

بعد هندسی از فضا گفته می شود N اگر که بیشترین تعداد است که برای آن یک زنجیره به شدت صعودی از زیرفضاهای این شکل وجود دارد:

\ varnothing = X _ {{- 1}} \ زیرمجموعه X _ {{0}} \ زیر مجموعه \ cdots \ زیرمجموعه X _ {{n}} = P.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_geometry