ساخت جبری [ ویرایش ]
یک ساختار جبری استاندارد سیستم ها این بدیهیات را برآورده می کند. برای یک حلقه تقسیم D ساخت یک ( N + 1) بیش از فضای برداری بعدی D (بعد فضای برداری تعدادی از عناصر در یک پایه است). بگذارید P زیر فضاهای 1 بعدی (تک ژنراتور) و L زیر فضاهای 2 بعدی (دو ژنراتور مستقل) (بسته شده با افزودن بردار) این فضای بردار باشد. بروز مهار است. اگر D محدود باشد ، باید یک فیلد محدود GF ( q ) باشد ، زیرا توسط قضیه کوچک ودبرنتمام حلقه های تقسیم محدود زمینه هستند. در این حالت ، این ساخت و ساز یک فضای پیش بینی محدود را تولید می کند. بعلاوه ، اگر بعد هندسی یک فضای فرافکنی حداقل سه باشد ، یک حلقه تقسیم وجود دارد که می توان فضا را از این طریق ساخت. در نتیجه ، تمام فضاهای فرافکنی متناسب با ابعاد هندسی حداقل سه در زمینه های محدود تعریف شده اند. یک فضای فرافکنی محدود تعریف شده روی چنین میدان محدودی دارای q + 1 نقطه روی یک خط است ، بنابراین دو مفهوم نظم با هم منطبق هستند. چنین فضای نمایشی محدود با PG ( n ، q ) مشخص می شود ، جایی که PG مخفف هندسه فرافکنی است ، n بعد هندسی هندسه و q است اندازه (ترتیب) میدان متناهی است که برای ساخت هندسه استفاده می شود.
به طور کلی ، تعداد زیر فضاهای k- بعدی PG ( n ، q ) توسط محصول آورده می شود: [8]
که یک ضریب دوجمله ای گاوسی ، آنالوگ q ضریب دوجمله ای است .
طبقه بندی فضاهای فرافکنی متناسب با بعد هندسی [ ویرایش ]
- ابعاد 0 (بدون خط): فضا یک نقطه واحد است و آنقدر تحلیل رفته است که معمولاً نادیده گرفته می شود.
- ابعاد 1 (دقیقاً یک خط): همه نقاط روی خط منحصر به فردی قرار دارند که به آن خط فرافکن گفته می شود .
- بعد 2: حداقل 2 خط وجود دارد و هر دو خط با هم روبرو می شوند. یک فضای فرافکنی برای n = 2 یک صفحه نمایش است . طبقه بندی اینها بسیار دشوارتر است ، زیرا همه آنها با PG ( d ، q ) یکدست نیستند . صفحات Desarguesian (آنهایی که با PG (2 ، q ) همسان نیستند) قضیه Desargues را برآورده می کنند و هواپیماهای تصویری بیش از زمینه های محدود هستند ، اما هواپیماهای غیر Desarguesian زیادی وجود دارد .
- حداقل بعد 3: دو خط غیر متقاطع وجود دارد. وبلن جوان قضیه بیان در مورد محدود که هر فضای تصویری از ابعاد هندسی N ≥ 3 متناظر با یک PG ( N ، Q ) از N فضای تصویری بعدی بیش از برخی از میدان متناهی GF ( س ).
کوچکترین طرح سه فضائی [ ویرایش ]
PG (3،2) اما همه خطوط رسم نشده اند
کوچکترین فضای فرافکنی 3 بعدی بیش از میدان GF (2) است و با PG (3،2) نشان داده می شود . دارای 15 نقطه ، 35 خط و 15 هواپیما است. هر صفحه شامل 7 نقطه و 7 خط است. هر خط شامل 3 امتیاز است. به عنوان هندسه ، این صفحات نسبت به صفحه Fano یکدست نیستند .
مدل مربع Fano 3-space
هر نقطه در 7 خط وجود دارد. هر جفت نقطه مشخص دقیقاً در یک خط قرار دارد و هر جفت صفحه متمایز دقیقاً در یک خط تلاقی می یابد.
در سال 1892 ، جینو فانو اولین کسی بود که چنین هندسه محدودی را در نظر گرفت.
مشکل دانش آموز کرکمن [ ویرایش ]
PG (3،2) به عنوان زمینه ای برای حل مشکل دانش آموز کرکمن ایجاد می شود ، که بیان می کند: "پانزده دختر دانش آموز هر روز در پنج گروه سه تایی راه می روند. پیاده روی دختران را به مدت یک هفته ترتیب دهید تا در آن زمان ، هر جفت از دختران فقط یک بار با هم در یک گروه قدم می زنند. " 35 ترکیب مختلف وجود دارد که دختران با هم راه می روند. همچنین 7 روز از هفته وجود دارد و 3 دختر در هر گروه وجود دارد. دو مورد از هفت راه حل غیرهم شکل برای حل این مشکل را می توان از نظر ساختار در Fano 3-space، PG (3،2) ، معروف به بسته بندی بیان کرد . گسترش یک فضای تصویری است پارتیشناز نقاط آن به خطوط جدا شده و بسته بندی پارتیشن خطوط به اسپردهای جدا شده است. در PG (3،2) ، یک تقسیم از 15 امتیاز به 5 خط جداگانه (با 3 امتیاز در هر خط) ، بنابراین مطابق با آرایش دختران مدرسه در یک روز خاص است. بسته بندی PG (3،2) شامل هفت اسپرد جداگانه است و بنابراین مربوط به یک هفته کامل از ترتیب هاست.
همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید
- طراحی بلوک - تعمیم یک صفحه نمایشی محدود.
- چند ضلعی تعمیم یافته
- هندسه بروز
- فضای خطی (هندسه)
- نزدیک چند ضلعی
- هندسه جزئی
- فضای قطبی
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_geometry
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.