تصویر (ریاضیات)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم آبان ۱۳۹۹ | 9:27

f تابعی از دامنه X به کدوم Y است . بیضی زرد داخل Y تصویر f است .

ساختار جبری → نظریه گروه
نظریه گروه

مفاهیم اساسی[پنهان شدن]

همگونی های گروهی

گروههای محدود [نمایش]

[نمایش]

گروه های توپولوژیک و دروغ [نمایش]

گروه های جبری [نمایش]

در ریاضیات ، تصویر یک تابع مجموعه تمام مقادیر خروجی است که ممکن است تولید کند.

به طور کلی، ارزیابی یک تابع داده شده F در هر عنصر از یک زیر مجموعه داده از آن دامنه به تولید مجموعه ای به نام " تصویر از زیر (و یا از طریق) F ". به طور مشابه، تصویر معکوس (یا وارون ) از یک زیر مجموعه داده B از برد از F ، مجموعه ای از تمام عناصر از دامنه است که بر روی نقشه به اعضای B .

تصویر و عکس معکوس نیز ممکن است برای روابط باینری عمومی تعریف شوند ، نه فقط توابع.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

کلمه "تصویر" به سه روش مرتبط استفاده می شود. در این تعاریف، F : X → Y یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y .

تصویر یک عنصر [ ویرایش ]

اگر X یک عضو از X ، سپس تصویر از X تحت f را ، مشخص F ( X )، [1] است ارزش از F زمانی که به اعمال x است. f ( x ) به عنوان جایگزین f برای آرگومان x شناخته می شود .

تصویر یک زیرمجموعه [ ویرایش ]

تصویر زیر مجموعه A ⊆ X در زیر f ، مشخص شده است ${\ displaystyle f [A]}$ ، زیر مجموعه Y است که می تواند با استفاده از نماد تنظیم کننده به شرح زیر تعریف شود: [2]

${\ displaystyle f [A] = \ {f (x) \ mid x \ in A \}}$

وقتی خطر سردرگمی وجود ندارد ، ${\ displaystyle f [A]}$ به سادگی به عنوان نوشته شده است $f (A)$ . این کنوانسیون یک کنوانسیون مشترک است. معنای مورد نظر باید از متن استنباط شود. این باعث می شود F [.] تابعی که دامنه است مجموعه توانی از X (مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های از X )، و که برد مجموعه توانی است Y . برای اطلاعات بیشتر به § Notation زیر مراجعه کنید .

تصویر یک تابع [ ویرایش ]

تصویر از یک تابع تصویر کامل آن است دامنه ، همچنین به عنوان شناخته شده وسیعی از تابع. [3]

تعمیم به روابط باینری [ ویرایش ]

اگر R یک رابطه دودویی دلخواه روی X × Y باشد ، مجموعه {y∈ Y | xRy برای بعضی از x ∈ X } به تصویر R یا محدوده R گفته می شود . به صورت دوبل ، مجموعه { x ∈ X | XRY برای برخی از y∈ Y } است دامنه به نام R .

تصویر معکوس [ ویرایش ]

"Preimage" در اینجا هدایت می شود. برای حمله رمزنگاری شده به توابع هش ، حمله preimage را ببینید .

بگذارید f تابعی از X به Y باشد. وارون یا تصویر معکوس از یک مجموعه B ⊆ Y تحت تابع f ، مشخص شده توسط ${\ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$ ، زیرمجموعه X است که توسط

${\ displaystyle f ^ {- 1} [B] = \ {x \ in X \، | \، f (x) \ in B \}.}$

سایر علامت ها شامل f -1 ( B ) [4] و f - ( B ) هستند . [5] این تصویر معکوس یک تک ، مشخص شده توسط F -1 [{ Y }] یا با F -1 [ Y ] است، نیز نامیده می شود فیبر بیش از Y یا مجموعه سطح از Y . مجموعه تمام الیاف موجود روی عناصر Y یک خانواده از مجموعه های نمایه شده توسط Y است .

به عنوان مثال ، برای تابع f ( x ) = x 2 ، تصویر معکوس {4} {{2 ، 2} خواهد بود. باز هم ، اگر خطر سردرگمی وجود نداشته باشد ، f -1 [ B ] را می توان با f -1 ( B ) نشان داد ، و f -1 را نیز می توان به عنوان تابعی از مجموعه قدرت Y به مجموعه توان X . علامت f -1 نباید با علامت عملکرد معکوس اشتباه گرفته شود ، اگرچه با علامت معمول برای انتخاب ها همزمان است زیرا تصویر معکوس B در زیر fتصویر B در زیر f -1 است .

علامت گذاری برای تصویر و عکس معکوس [ ویرایش ]

نت های سنتی استفاده شده در بخش قبلی می توانند گیج کننده باشند. یک گزینه دیگر [6] دادن نامهای صریح برای تصویر و پیش تصویر به عنوان توابع بین مجموعه های قدرت است:

علامت گذاری پیکان [ ویرایش ]

$f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)$ با $f ^ {\ rightarrow} (A) = \ {f (a) \؛ | \؛ a \ in A \}$
$f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)$ با $f ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ in X \؛ | \؛ f (a) \ in B \}$

علامت گذاری ستاره [ ویرایش ]

$f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)$ بجای $f ^ {\ rightarrow}$
$f ^ {\ star}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)$ بجای $f ^ {\ leftarrow}$

اصطلاحات دیگر [ ویرایش ]

یک علامت جایگزین برای f [ A ] که در منطق ریاضی و تئوری مجموعه استفاده می شود f " A است . [7] [8]
برخی از متون به تصویر مراجعه F به عنوان وسیعی از F ، اما این کاربرد باید اجتناب شود زیرا کلمه "محدوده" نیز معمولا استفاده به معنی برد از F .

مثالها [ ویرایش ]

f : {1، 2، 3} → { a، b، c، d } تعریف شده توسط ${\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ start {matrix} a، & {\ mbox {if}} x = 1 \\ a، & {\ mbox {if}} x = 2 \\ c، & {\ mbox {if}} x = 3. \ end {matrix}} \ سمت راست.}$ تصویر از مجموعه {2، 3} تحت F است F ({2، 3}) = { A، C }. تصویر تابع f را {است A، C }. وارون از است F -1 ({ }) = {1، 2}. وارون از { A، B } است {1، 2}. پیش تصویر { b ، d } مجموعه خالی است {}.
f : R → R تعریف شده توسط f ( x ) = x 2 .تصویر از {-2، 3} تحت F است F ({-2، 3}) = {4، 9} و تصویر از F است R + . وارون از {4، 9} تحت F است F -1 ({4، 9}) = {-3، -2، 2، 3}. پیش مجموعه مجموعه N = { n ∈ R | n <0} زیر f مجموعه خالی است ، زیرا اعداد منفی در مجموعه واقعی ها ریشه مربع ندارند.
f : R 2 → R تعریف شده توسط f ( x ، y ) = x 2 + y 2 .الیاف F -1 ({ }) می دایره متحد المرکز در مورد منشاء ، منشاء خودی خود، و مجموعه تهی ، بسته به اینکه آیا > 0، = 0، یا <0 بود.
اگر M است منیفولد و π : TM → M متعارف است طرح از کلاف مماس TM به M ، سپس الیاف از π هستند فضاهای مماس T X ( M ) برای X ∈ M . این نیز نمونه ای از بسته نرم افزاری فیبر است .
یک گروه ضریب یک تصویر همگن است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Image_(mathematics)#Inverse_image

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی