نقشه های یکنواخت مداوم

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 10:10

نقشه های یکنواخت مداوم [ ویرایش ]

نقشه ${\ displaystyle f \، \ colon M_ {1} \ به M_ {2}}$ اگر برای همه باشد به طور یکنواخت ادامه دارد $\ varepsilon> 0$ وجود دارد $\ دلتا> 0$ به طوری که

${\ displaystyle d_ {1} (x، y) <\ delta \ به معنی d_ {2} (f (x)، f (y)) <\ varepsilon \ quad {\ mbox {for all}} \ quad x، y \ در M_ {1}.}$

هر نقشه یکنواخت مداوم ${\ displaystyle f \، \ colon M_ {1} \ به M_ {2}}$ پیوسته است اگر این حرف درست باشد $M_ {1}$ جمع و جور است ( قضیه هاینه – کانتور ).

نقشه های یکنواخت پیوسته توالی های کوشی را به داخل تبدیل می کنند $M_ {1}$ به توالی های کوشی در $M_ {2}$ . برای نقشه های مداوم ، این معمولاً اشتباه است. به عنوان مثال ، یک نقشه مداوم از فاصله باز $(0،1)$ به خط واقعی برخی از توالی های کوشی را به توالی های بی حد و حصر تبدیل می کند.

نقشه ها و انقباضات مداوم لیپشیتس [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تداوم لیپشیتس

با توجه به یک عدد واقعی $K> 0$ ، نقشه ${\ displaystyle f \، \ colon M_ {1} \ به M_ {2}}$ است K -Lipschitz مداوم اگر

$d_2 (f (x) ، f (y)) \ leq K d_1 (x، y) \ quad \ mbox {برای همه} \ quad x ، y \ در M_1.$

هر نقشه مداوم با لیپشیتس به طور یکنواخت مداوم است ، اما عکس العمل به طور کلی درست نیست.

اگر ${\ displaystyle K <1}$ ، سپس

$f$ انقباض نامیده می شود . فرض کنید ${\ displaystyle M_ {2} = M_ {1}}$ و $M_ {1}$ کامل است اگر $f$ انقباض است ، پس $f$ یک نقطه ثابت منحصر به فرد را قبول می کند ( قضیه نقطه ثابت Banach ). اگر $M_ {1}$ جمع و جور است ، شرایط را می توان کمی تضعیف کرد: $f$ اگر یک نقطه ثابت منحصر به فرد را بپذیرد

$d (f (x) ، f (y)) <d (x، y) \ quad \ mbox {برای همه} \ quad x \ ne y \ در M_1$ .

ایزومتری [ ویرایش ]

نقشه ${\ displaystyle f \، \ colon M_ {1} \ به M_ {2}}$ یک IS همسان اگر

$d_2 (f (x) ، f (y)) = d_1 (x، y) \ quad \ mbox {برای همه} \ quad x ، y \ در M_1$

ایزومتری همیشه م injثر است . تصویر یک مجموعه جمع و جور یا کامل در زیر ایزومتری به ترتیب فشرده یا کامل است. با این حال اگر همسان است پوشا ، سپس تصویر از یک بسته (یا باز) مجموعه نیاز نیست بسته شود (یا باز).

شبه ایزومتری [ ویرایش ]

نقشه ${\ displaystyle f \، \ colon M_ {1} \ به M_ {2}}$ در صورت ثابت بودن شبه ایزومتری است ${\ displaystyle A \ geq 1}$ و $B \ geq0$ به طوری که

${\ displaystyle {\ frac {1} {A}} d_ {2} (f (x)، f (y)) - B \ leq d_ {1} (x، y) \ leq Ad_ {2} (f ( x) ، f (y)) + B \ quad {\ text {برای همه}} \ quad x ، y \ در M_ {1}}$

و یک ثابت ${\ displaystyle C \ geq 0}$ به گونه ای که هر نقطه در $M_ {2}$ حداکثر فاصله دارد $ج$ از نقطه ای از تصویر ${\ displaystyle f (M_ {1})}$ .

توجه داشته باشید که شبه ایزومتری برای ادامه دار بودن لازم نیست. شبه ایزومتری ها "ساختار در مقیاس بزرگ" فضاهای متریک را مقایسه می کنند. آنها در تئوری گروه هندسی در رابطه با کلمه متریک استفاده می کنند .

مفاهیم معادل سازی فضای متریک [ ویرایش ]

با توجه به دو فضای متریک ${\ displaystyle (M_ {1} ، d_ {1})}$ و ${\ displaystyle (M_ {2} ، d_ {2})}$ :

آنها به نام homeomorphic (توپولوژیکی ریخت) اگر وجود داشته باشد وجود دارد همسانریختی بین آنها (به عنوان مثال، یک پوشا و یکبهیک مداوم در هر دو جهت).
آنها به نام uniformic (یکنواخت ریخت) اگر وجود داشته باشد وجود دارد ریخت یکنواخت بین آنها (به عنوان مثال، یک پوشا و یکبهیک یکنواخت در هر دو جهت مداوم).
آنها به نام ایزومتریک اگر وجود داشته باشد وجود دارد دوسویی همسان بین آنها. در این حالت ، دو فضای متریک اساساً یکسان هستند.
اگر شبه ایزومتری بین آنها وجود داشته باشد ، آنها را شبه ایزومتریک می نامند .

خواص توپولوژیکی [ ویرایش ]

فضاهای متریک پارامپکتاکتیو هستند [7] فضاهای هاوسدورف [8] و از این رو طبیعی هستند (در واقع کاملاً طبیعی هستند). یک پیامد مهم این است که هر فضای متریک پارتیشن های وحدت را می پذیرد و هر تابع با ارزش واقعی پیوسته که در یک زیر مجموعه بسته از یک فضای متریک تعریف شده است ، می تواند به یک نقشه مداوم در کل فضا گسترش یابد (قضیه پسوند Tietze ). همچنین درست است که هر نقشه پیوسته لیپشیتس با ارزش واقعی که در زیرمجموعه ای از یک فضای متریک تعریف شده است ، می تواند به یک نقشه پیوسته لیپشیتس در کل فضا گسترش یابد.

فضاهای متریک ابتدا قابل شمارش هستند زیرا می توان از توپهایی با شعاع منطقی به عنوان پایه محله استفاده کرد.

توپولوژی متریک در یک فضای متریک $م$ درشتترین توپولوژی موجود است $م$ نسبت به آن معیار $د$ یک نقشه مداوم از محصول است $م$ با خودش به اعداد واقعی غیر منفی.

فاصله بین نقاط و مجموعه ها ؛ فاصله هاوسدورف و معیار Gromov [ ویرایش ]

یک روش ساده برای ساختن تابعی که یک نقطه را از یک مجموعه بسته جدا می کند (همانطور که برای یک فضای کاملاً منظم لازم است) در نظر گرفتن فاصله بین نقطه و مجموعه است . اگر $(م ، د)$ یک فضای متریک است ، $س$ یک زیر مجموعه از $م$ و $ایکس$ یک نقطه از است $م$ ، فاصله را از تعریف می کنیم $ایکس$ به $س$ مانند $d (x، S) = \ inf \ {d (x، s): s \ در S \}$ جایی که $\ inf$ نشان دهنده حداقل است .

سپس ${\ displaystyle d (x، S) = 0}$ اگر و تنها اگر $ایکس$ متعلق به بسته شدن از $س$ . علاوه بر این ، ما تعمیم زیر را در مورد نابرابری مثلث داریم:

$d (x ، S) \ leq d (x ، y) + d (y ، S) ،$

که به ویژه نشان می دهد که نقشه $x \ mapsto d (x ، S)$ پیوسته است

با توجه به دو زیر مجموعه $س$ و $تی$ از $م$ ، خود را تعریف می کنیم فاصله هاسدورف به

$d_H (S ، T) = \ max \ {\ sup \ {d (s، T): s \ in S \} ، \ sup \ {d (t، S): t \ in T \} \}$ جایی که $\ sup$ نمایندگی برتری است .

به طور کلی ، فاصله هاوسدورف ${\ displaystyle d_ {H} (S، T)}$ می تواند بی نهایت باشد اگر هر عنصر از هر یک از مجموعه ها به برخی از عناصر مجموعه دیگر نزدیک باشد ، دو مجموعه در فاصله Hausdorff به یکدیگر نزدیک هستند.

فاصله هاوسدورف $d_ {H}$ مجموعه را برمی گرداند ${\ displaystyle K (M)}$ از همه زیر مجموعه های جمع و جور غیر خالی از $م$ به یک فضای متریک می توان این را نشان داد ${\ displaystyle K (M)}$ کامل است اگر $م$ کامل است (تصور متفاوتی از همگرایی زیرمجموعه های جمع و جور توسط همگرایی کوراتوفسکی ارائه شده است .)

سپس می توان فاصله Gromov – Hausdorff را بین هر دو فضای متریک با در نظر گرفتن حداقل فاصله Hausdorff از نسخه های تعبیه شده ایزومتریک از دو فضا تعریف کرد. با استفاده از این فاصله ، کلاس همه فضاهای متریک جمع و جور در نوع خود به یک فضای متریک تبدیل می شود.

فضاهای متریک محصول [ ویرایش ]

اگر $(M_1 ، d_1) ، \ ldot ، (M_n ، d_n)$ فضاهای متریک هستند ، و $ن$ است هنجار اقلیدسی در $\ mathbb {R} ^ {n}$ ، سپس $\ بزرگ (M_1 \ بار \ ldot \ بار M_n ، N (d_1 ، \ ldots ، d_n) \ بزرگ)$ یک فضای متریک است ، جایی که معیار محصول توسط آن تعریف می شود

$N (d_1، ...، d_n) \ Big ((x_1، \ ldots، x_n)، (y_1، \ ldots، y_n) \ Big) = N \ Big (d_1 (x_1، y_1)، \ ldots، d_n ( x_n ، y_n) \ بزرگ) ،$

و توپولوژی ناشی از آن با توپولوژی محصول موافق است . با معادل سازی هنجارها در ابعاد محدود ، اگر یک معیار معادل بدست آید $ن$ است هنجار تاکسی ، یک P-هنجار ، حداکثر هنجار، و یا هر هنجار دیگر است که غیر کاهش عنوان مختصات مثبت $n$ افزایش دو برابر (تولید نابرابری مثلث).

به همین ترتیب ، یک محصول قابل شمارش از فضاهای متریک را می توان با استفاده از متریک زیر بدست آورد

$d (x، y) = \ sum_ {i = 1} ^ \ infty \ frac1 {2 ^ i} \ frac {d_i (x_i، y_i)} {1 + d_i (x_i، y_i)}.$

یک محصول غیرقابل شمارش از فضاهای متریک لازم نیست قابل اندازه گیری باشد. مثلا، ${\ mathbb {R}} ^ {{\ mathbb {R}}}$ است اول قابل شمارش و در نتیجه ناتهی یک مجموعه میگر است.

تداوم مسافت [ ویرایش ]

در مورد یک فضای واحد $(م ، د)$ ، نقشه فاصله $d \ u003d M = بار M \ rightarrow R ^ +$ (از تعریف ) با توجه به هر یک از معیارهای محصول فوق به طور یکنواخت مداوم است $N (d ، d)$ ، و به ویژه با توجه به توپولوژی محصول مداوم است $M \ بار M$ .

فضاهای متریک کمیت [ ویرایش ]

اگر M یک فضای متریک با متریک است $د$ ، و $سیم کارت$ یک رابطه معادل در است $م$ ، سپس می توانیم به مجموعه ضریب وقف دهیم ${\ displaystyle M / \! \ sim}$ با یک شبه سنجی. با توجه به دو کلاس معادل سازی $[ایکس]$ و $[y]$ ، تعریف می کنیم

$d '([x]، [y]) = \ inf \ {d (p_1، q_1) + d (p_2، q_2) + \ dotsb + d (p_ {n}، q_ {n}) \}$

جایی که حداقل از تمام توالی های محدود گرفته می شود $(p_1 ، p_2 ، \ dots ، p_n)$ و $(q_1 ، q_2 ، \ نقطه ، q_n)$ با

$[p_1] = [x]$ $[q_n] = [سال]$ $[q_i] = [p_ {i + 1}] ، i = 1،2 ، \ dots ، n-1$ . به طور کلی این فقط یک شبه سنجی را تعریف می کند ، یعنی $d '([x] ، [y]) = 0$ لزوماً به این معنی نیست $[x] = [سال]$ . با این حال ، برای برخی از روابط معادل سازی (به عنوان مثال ، روابطی که با چسباندن چند وجهی در کنار صورتها داده شده است) ، $د '$ یک معیار است

معیار ضریب $د$ با ویژگی جهانی زیر مشخص می شود . اگر ${\ displaystyle f \، \ colon (M ، d) \ به (X ، \ delta)}$ یک نقشه متریک بین فضاهای متریک است (یعنی $\ دلتا (f (x) ، f (y)) \ le d (x ، y)$ برای همه

$ایکس$ $y$ ) رضایت بخش $f (x) = f (y)$ هر زمان که $x \ sim y ،$ سپس تابع القا شده ${\ displaystyle {\ overline {f}} \، \ colon M / \! \ sim \ to X}$ ، داده شده توسط $\ overline {f} ([x]) = f (x)$ ، یک نقشه متریک است ${\ displaystyle {\ overline {f}} \، \ colon (M / \! \ sim، d ') \ به (X ، \ delta).}$

یک فضای توپولوژیکی ترتیبی است اگر و فقط اگر نصف یک فضای متریک باشد. [9]

تعمیم فضاهای متریک [ ویرایش ]

هر فضای متریک به صورت طبیعی یک فضای یکنواخت است و هر فضای یکنواختی به طور طبیعی یک فضای توپولوژیک است . بنابراین می توان فضاهای یکنواخت و توپولوژیک را تعمیم فضاهای متریک دانست.
اگر اولین تعریف از فضای متریک را در بالا در نظر بگیریم و نیاز دوم را آرام کنیم ، به مفاهیم یک فضای شبه سنجی یا یک فضای متریک دررفتگی می رسیم . [10] اگر سوم یا چهارم را حذف کنیم ، به یک فضای نیمه سنجی ، یا یک فضای نیم متری می رسیم .
اگر تابع فاصله در خط عدد توسعه یافته واقعی مقادیر را بدست آورد ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ impyy \}}$ ، اما در غیر این صورت هر چهار شرط را برآورده می کند ، سپس آن را یک متریک توسعه یافته و فضای مربوطه را an می نامند $\ بی فایده$ فضای -metric . اگر تابع فاصله در برخی از مجموعه های مناسب (مناسب) مقادیر را بدست آورد (و نابرابری مثلث بر این اساس تنظیم شود) ، ما به مفهوم فوق متری تعمیم یافته خواهیم رسید . [10]
فضاهای رویکرد ، تعمیم فضاهای متریک ، براساس فاصله از نقطه به نقطه ، به جای فاصله از نقطه به نقطه است.
فضای تداوم یک کلیت از فضاهای متریک و posets ، که می تواند مورد استفاده قرار گیرد برای متحد کردن مفاهیم فضاهای متریک و دامنه .
یک فضای متریک جزئی در نظر گرفته شده است تا حداقل تعمیم مفهوم فضای متریک باشد ، به این ترتیب که فاصله هر نقطه از خود دیگر لزوماً صفر نیست. [11]

فضاهای متریک به عنوان دسته های غنی شده [ ویرایش ]

مجموعه سفارش داده شده $(\ mathbb {R} ، \ geq)$ می تواند به عنوان دیده دسته با درخواست دقیقا یک

morphism $a \ به b$ اگر $a \ geq ب$ و در غیر این صورت هیچ کدام با استفاده از $+$ به عنوان محصول تانسور و ${\ displaystyle 0}$ به عنوان هویت ، به یک دسته مونوئید تبدیل می شود $R ^ {*}$ . هر فضای متریک $(م ، د)$ اکنون می توان به عنوان یک گروه مشاهده کرد $M ^ *$ غنی شده بیش از $R ^ {*}$ :

تنظیم $\ operatorname {Ob} (M ^ {*}): = م$
برای هر $X ، Y \ در م$ تنظیم $\ operatorname {Hom} (X، Y): = d (X، Y) \ در \ operatorname {Ob} (R ^ *)$
شکل ظاهری ترکیب $\ operatorname {Hom} (Y، Z) \ otimes \ operatorname {Hom} (X، Y) \ به \ operatorname {Hom} (X، Z)$ شکل منحصر به فرد در خواهد بود $R ^ {*}$ از نابرابری مثلث داده شده است $d (y ، z) + d (x ، y) \ geq d (x ، z)$
شکل شناسی هویت $0 \ به \ operatorname {Hom} (X ، X)$ مورفيسم منحصر به فرد خواهد بود از اين واقعيت $0 \ geq d (X ، X)$ .
از آنجا که $R ^ {*}$ یک پیام است ، تمام نمودارهایی که برای یک گروه غنی شده به طور خودکار رفت و آمد می کنند.

مقاله FW Lawvere را که در زیر لیست شده است مشاهده کنید.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

مشکل الکساندروف – راسیاس
دسته فضاهای متریک
فضای کلاسیک وینر
انقباض نقشه - عملکرد کاهش فاصله بین تمام نقاط
واژه نامه هندسه متریک و متریک - واژه نامه ریاضیات
فضای هیلبرت - فضای محصول داخلی که از نظر متریک کامل است. یک فضای Banach که هنجار آن باعث تولید داخلی می شود (هنجار هویت متوازی الاضلاع را برآورده می کند)
چهارمین مشکل هیلبرت
ایزومتری
تداوم Lipschitz - شکل قوی تداوم یکنواخت
اندازه گیری (ریاضیات) - تعمیم طول ، مساحت ، حجم و انتگرال
متریک (ریاضیات) - فاصله تعریف تابع ریاضی
نقشه متریک
امضای متریک
تانسور متریک
درخت متریک
نرمال (ریاضیات) - طول در یک فضای بردار
فضای بردار نرم شده - فضای بردار که در آن فاصله مشخص می شود
متریک محصول
فضا (ریاضیات) - مجموعه ای ریاضی با برخی ساختارهای اضافه شده
نابرابری مثلث - ویژگی هندسه ، همچنین برای تعمیم مفهوم "فاصله" در فضاهای متریک استفاده می شود
فضای فرا متریک - نوعی از فضای متریک که در آن نابرابری مثلث با نابرابری قوی تر با استفاده از حداکثر به جای جمع جایگزین می شود

فضاهای جمع و جور( فضاهای متریک فشرده)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 10:6

فضاهای جمع و جور [ ویرایش ]

یک فضای متریک $م$ جمع و جور است اگر هر دنباله در $م$ دارای یک توالی که از همگرایی به یک نقطه در $م$ . این را به عنوان شناخته شده درحد پی در پی و در فضاهای متریک (اما در فضاهای توپولوژیک طور کلی نه)، معادل مفاهیم توپولوژیکی است درحد قابل شمارش و فشردگی تعریف از طریق پوشش می دهد باز .

نمونه هایی از فضاهای متریک فشرده شامل فاصله بسته است $[0،1]$ با متریک مقدار مطلق ، تمام فضاهای متریک با امتیازات کاملاً زیاد و مجموعه کانتور . هر زیرمجموعه بسته از یک فضای جمع و جور ، خودش جمع و جور است.

یک فضای متریک اگر فقط کامل و کاملاً محدود باشد فشرده است. این قضیه به قضیه هاینه-بورل معروف است . توجه داشته باشید که فشردگی فقط به توپولوژی بستگی دارد ، در حالی که محدودیت به متریک بستگی دارد.

عدد عددی Lebesgue بیان می کند که برای هر پوشش باز یک فضای متریک فشرده $م$ ، یک "عدد Lebesgue" وجود دارد $\ دلتا$ به طوری که هر زیر مجموعه از $م$ از قطر ${\ displaystyle r <\ delta}$ در برخی از اعضای جلد موجود است.

هر فضای متریک جمع و جور دوم قابل شمارش است ، [6] و یک تصویر پیوسته از مجموعه کانتور است . (نتیجه اخیر به خاطر پاول الكاندروف و یوریسون است .)

فضاهای محلی جمع و جور و مناسب [ ویرایش ]

اگر هر نقطه دارای محله فشرده باشد ، فضای متریک به صورت محلی فشرده گفته می شود . فضاهای اقلیدسی به صورت محلی جمع و جور هستند ، اما فضاهای Banach با ابعاد بی نهایت نیستند.

اگر هر توپ بسته یک فضا مناسب باشد ${\ displaystyle \ {y \، \ colon d (x، y) \ leq r \}}$ جمع و جور است فضاهای مناسب از نظر محلی جمع و جور هستند ، اما عکس العمل به طور کلی درست نیست.

اتصال [ ویرایش ]

یک فضای متریک $م$ است متصل اگر تنها زیر مجموعه که هر دو باز و بسته می شوند مجموعه تهی و $م$ خودش

یک فضای متریک $م$ است مسیر متصل اگر برای هر دو نقطه $x ، y \ در م$ یک نقشه مداوم وجود دارد $f \ colon [0،1] \ به M$ با $f (0) = x$ و $f (1) = y$ . هر مسیری که به فضای متصل متصل است متصل است ، اما برعکس به طور کلی درست نیست.

همچنین نسخه های محلی از این تعاریف وجود دارد فضاهای محلی متصل و به صورت محلی فضاهای مسیر متصل .

فضاهایی که به سادگی به هم متصل شده اند ، فضاهایی هستند که به تعبیری خاص ، "سوراخ" ندارند.

فضاهای قابل تفکیک [ ویرایش ]

یک فضای متریک اگر دارای زیرمجموعه متراکم قابل شمارش باشد ، فضای قابل تفکیکی است. نمونه های معمولی اعداد واقعی یا هر فضای اقلیدسی است. برای فضاهای متریک (اما نه برای فضاهای توپولوژیک عمومی) قابلیت تفکیک با شمارش دوم و همچنین با ویژگی Lindelöf برابر است.

فضاهای متریک اشاره شده [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ یک فضای متریک غیرخالی است و $x_ {0} \ در X$ سپس $(X ، x_ {0})$ یک فضای متریک نوک تیز نامیده می شود ، و $x_ {0}$ یک نقطه برجسته نامیده می شود . توجه داشته باشید که یک فضای متریک اشاره شده فقط یک فضای متریک غیرخالی است که توجه آن به نقطه متمایز آن جلب شده است و هر فضای متریک غیرخالی را می توان به عنوان یک فضای متریک اشاره شده مشاهده کرد. نقطه متمایز گاهی نشان داده می شود ${\ displaystyle 0}$ به دلیل رفتار مشابه آن در زمینه های خاص به صفر.

انواع نقشه ها بین فضاهای متریک [ ویرایش ]

فرض کنید $(M_ {1} ، d_ {1})$ و $(M_ {2} ، d_ {2})$ دو فضای متریک هستند

نقشه های مداوم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملکرد مداوم (توپولوژی)

نقشه ${\ displaystyle f \، \ colon M_ {1} \ به M_ {2}}$ اگر دارای یکی (و بنابراین همه) از ویژگی های معادل زیر باشد ، مداوم است :

تداوم توپولوژیک عمومی

برای هر مجموعه باز $تو$ که در $M_ {2}$ ، پیش تصویر ${\ displaystyle f ^ {- 1} [U]}$ در باز است $M_ {1}$

این تعریف کلی از تداوم در توپولوژی است .

پیوستگی متوالی

اگر $(x_ {n})$ دنباله ای در است $M_ {1}$ که به همگرا می شود $ایکس$ ، سپس توالی $(f (x_n))$ همگرا به $f (x)$ که در $M_ {2}$ .

این تداوم پی در پی است ، ناشی از ادوارد هاینه .

تعریف ε-δ

برای هر ${\ displaystyle x \ in M_ {1}}$ و هر $\ varepsilon> 0$ وجود دارد $\ دلتا> 0$ به گونه ای که برای همه $y$ که در $M_ {1}$ ما داریم

${\ displaystyle d_ {1} (x، y) <\ delta \ به معنای d_ {2} (f (x)، f (y)) <\ varepsilon.}$

این از تعریف (ε، δ) -حدود استفاده می کند و به دلیل آگوستین لویی کوشی است .

علاوه بر این، $f$ مداوم است اگر و فقط اگر در هر زیر مجموعه جمع و جور مداوم باشد $M_ {1}$ .

تصویر از هر مجموعه فشرده تحت یک تابع پیوسته جمع و جور، و تصویر از هر مجموعه متصل شده تحت یک تابع پیوسته متصل است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space

نمونه هایی از فضاهای متریک

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 10:0

نمونه هایی از فضاهای متریک [ ویرایش ]

اعداد حقیقی با استفاده از تابع فاصله $d (x ، y) = \ vert y - x \ vert$ داده شده توسط تفاوت مطلق ، و، به طور کلی، اقلیدسی N فضا- با فاصله اقلیدسی ، هستند کامل فضاهای متریک. اعداد گویا را با تابع همان فاصله هم یک فضای متریک، اما نه یکی از کامل تشکیل می دهد.
اعداد حقیقی مثبت با عملکرد فاصله $d (x، y) = \ vert \ log (y / x) \ vert$ یک فضای متریک کامل است.
هر فضای بردار هنجاری شده با تعریف یک فضای متریک است، همچنین به معیارهای مربوط به فضاهای برداری مراجعه کنید . (اگر چنین فضایی کامل باشد ، ما آن را فضای Banach می نامیم ) مثالها:
- هنجار منهتن افزایش می دهد به فاصله منهتن ، که در آن فاصله بین هر دو نقطه، یا بردار، مجموع تفاوت بین مختصات است.
- حداکثر هنجار افزایش می دهد به فاصله چبیشف یا از راه دور صفحه شطرنج، تعداد حداقل از حرکت یک پادشاه شطرنج به سفر از را $ایکس$ به $y$ .
راه آهن بریتانیا متریک ( "دفتر پست متریک" یا "نیز نامیده می شود SNCF در متریک") فضای برداری عادی هنجار داده شده است $d (x ، y) = \ lVert x \ rVert + \ lVert y \ rVert$ برای نقاط مشخص $ایکس$ و $y$ ، و $d (x ، x) = 0$ . به طور کلی $\ lVert. \ r$ می تواند با یک تابع جایگزین شود $f$ گرفتن یک مجموعه دلخواه $س$ به واقعیات غیر منفی و گرفتن ارزش ${\ displaystyle 0}$ حداکثر یک بار: سپس متریک در تعریف می شود $س$ توسط $d (x ، y) = f (x) + f (y)$ برای نقاط مشخص $ایکس$ و $y$ ، و $d (x ، x) = 0$ . این نام اشاره به تمایل سفرهای ریلی برای ادامه مسیر از طریق لندن (یا پاریس) صرف نظر از مقصد نهایی آنها دارد.
اگر $(م ، د)$ یک فضای متریک است و $ایکس$ یک زیر مجموعه از $م$ ، سپس $(X ، d)$ با محدود کردن دامنه ، به یک فضای متریک تبدیل می شود $د$ به $X \ X بار$ .
متریک گسسته ، که در آن $d (x ، y) = 0$ اگر $x = سال$ و $d (x ، y) = 1$ در غیر این صورت ، یک مثال ساده اما مهم است و می تواند برای همه مجموعه ها اعمال شود. این ، به ویژه ، نشان می دهد که برای هر مجموعه ، همیشه یک فضای متریک مرتبط با آن وجود دارد. با استفاده از این معیار ، هر نقطه یک توپ باز است ، بنابراین هر زیر مجموعه باز است و فضا دارای توپولوژی گسسته است .
یک فضای متریک محدود ، یک فضای متریک با تعداد محدودی از نقاط است. هر فضای متریک محدود نمی تواند به صورت ایزومتریک در یک فضای اقلیدسی تعبیه شود . [3] [4]
هواپیما اغراقی یک فضای متریک است. به طور کلی:
- اگر $م$ هر منیفولد ریمانی متصل است ، سپس می توانیم چرخش دهیم $م$ با تعریف فاصله دو نقطه به عنوان حداقل طول مسیرها ( منحنی های پیوسته قابل تغییر ) که آنها را متصل می کند ، به یک فضای متریک تبدیل می شود.
- اگر $ایکس$ برخی از مجموعه است و $م$ یک فضای متریک است ، بنابراین ، مجموعه ای از تمام توابع محدود شده است $f \ colon X \ rightarrow M$ (یعنی آن دسته از توابع که تصویر یک زیر مجموعه محدود از $م$ ) را می توان با تعریف به یک فضای متریک تبدیل کرد $d (f ، g) = \ sup_ {x \ in X} d (f (x) ، g (x))$ برای هر دو عملکرد محدود شده $f$ و $g$ (جایی که $\ sup$ فوق العاده است ) [5] این معیار را متریک یکنواخت یا معیار برتری می نامند و اگر $م$ کامل است ، سپس این فضای عملکرد نیز کامل است. اگر X نیز یک فضای توپولوژیکی باشد ، مجموعه ای از همه توابع پیوسته محدود از $ایکس$ به $م$ (دارای متریک یکنواخت) ، اگر M باشد یک معیار کامل نیز خواهد بود .
- اگر $G$ یک نمودار متصل مستقیم نیست ، سپس مجموعه است $V$ از رئوس $G$ با تعریف می توان به یک فضای متریک تبدیل کرد $d (x ، y)$ به طول کوتاهترین مسیر اتصال رئوس $ایکس$ و $y$ . در تئوری گروه هندسی ، این برای نمودار کیلی یک گروه اعمال می شود و کلمه متریک را می دهد .
فاصله ویرایش نمودار اندازه گیری عدم تشابه بین دو نمودار است ، که به عنوان حداقل تعداد عملیات ویرایش نمودار مورد نیاز برای تبدیل یک نمودار به نمودار دیگر تعریف شده است.
فاصله لوناشتاین اندازه گیری از عدم تشابه بین دو رشته $تو$ و $v$ ، به عنوان حداقل تعداد حذف نویسه ، درج یا تعویض مورد نیاز برای تغییر تعریف شده است $تو$ به $v$ . این را می توان به عنوان یک مورد خاص از معیار کوتاهترین مسیر در یک نمودار تصور کرد و یک نمونه از فاصله ویرایش است .
با توجه به یک فضای متریک $(X ، d)$ و یک عملکرد مقعر افزایش می یابد $f \ روده بزرگ [0 ، \ ناکافی] \ rightarrow [0 ، \ ناکارآمد)$ به طوری که $f (x) = 0$ اگر و تنها اگر $x = 0$ ، سپس $f \ circ d$ همچنین یک معیار در است $ایکس$ .
با توجه به یک عملکرد تزریقی $f$ از هر مجموعه $آ$ به یک فضای متریک
$(X ، d)$ ، $d (f (x) ، f (y))$ معیاری را در تعریف می کند $آ$ .
با استفاده از تئوری T ، بازه تنگ یک فضای متریک نیز یک فضای متریک است. دامنه تنگ در چندین نوع تحلیل مفید است.
مجموعه همه $متر$ توسط $n$ ماتریس ها در بعضی از زمینه ها با توجه به فاصله رتبه یک فضای متریک است $d (X ، Y) = \ mathrm {rank} (Y - X)$ .
از معیار Helly در تئوری بازی استفاده می شود .

مجموعه های باز و بسته ، توپولوژی و همگرایی [ ویرایش ]

هر فضای متریک به صورت طبیعی یک فضای توپولوژیک است و بنابراین همه تعاریف و قضیه ها درباره فضاهای توپولوژیک عمومی نیز در مورد همه فضاهای متریک کاربرد دارند.

در مورد هر نقطه $ایکس$ در یک فضای متریک $م$ ما توپ باز شعاع را تعریف می کنیم $r> 0$ (جایی که $ر$ یک عدد واقعی است) در مورد $ایکس$ به عنوان مجموعه

$B (x؛ r) = \ {y \ in M: d (x، y) <r \}.$

این توپهای باز پایه ای برای توپولوژی روی M را تشکیل می دهند و آن را به یک فضای توپولوژیک تبدیل می کنند .

صریحاً ، یک زیرمجموعه $تو$ از $م$ اگر برای همه باز باشد فراخوانی می شود $ایکس$ که در $تو$ وجود دارد یک $r> 0$ به طوری که $B (x؛ r)$ موجود است در $تو$ . مکمل از یک مجموعه باز است که به نام بسته . محله از نقطه $ایکس$ هر زیر مجموعه ای از $م$ که شامل یک توپ باز است $ایکس$ به عنوان زیر مجموعه

یک فضای توپولوژیکی که می تواند از این طریق از یک فضای متریک بوجود آید ، یک فضای متراکم پذیر نامیده می شود .

یک دنباله ( $x_ {n}$ ) در یک فضای متریک $م$ گفته می شود که به حد همگرا می رسد $x \ در م$ اگر و فقط اگر برای هر $\ varepsilon> 0$ ، یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که ${\ displaystyle d (x_ {n} ، x) <\ varepsilon}$ برای همه $n> N$ . به طور معادل ، می توان از تعریف کلی همگرایی موجود در همه فضاهای توپولوژیک استفاده کرد.

یک زیر مجموعه $آ$ فضای متریک $م$ بسته شده است اگر و فقط اگر هر دنباله در $آ$ که در یک محدوده همگرا می شود $م$ حد خود را در دارد $آ$ .

انواع فضاهای متریک [ ویرایش ]

فضاهای کامل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای متریک کامل

یک فضای متریک $م$ گفته می شود اگر هر توالی کوشی در هم جمع شود کامل است $م$ . این است که می گویند: اگرتا 0} $d (x_n ، x_m) \ تا 0$ به عنوان هر دو $n$ و

$متر$ به طور مستقل به بی نهایت بروید ، سپس برخی وجود دارد $y \ در م$ با $d (x_n ، y) \ تا 0$ .

هر فضای اقلیدسی کامل است ، مانند هر زیر مجموعه بسته از یک فضای کامل. اعداد منطقی ، با استفاده از معیار اندازه گیری مطلق $d (x ، y) = \ vert x - y \ vert$ ، کامل نیستند

هر فضای متریک است منحصر به فرد (تا همسان ) تکمیل است، که یک فضای کامل است که شامل فضای داده شده به عنوان یک متراکم زیر مجموعه. به عنوان مثال ، اعداد واقعی تکمیل منطقی ها هستند.

اگر $ایکس$ زیر مجموعه کاملی از فضای متریک است $م$ ، سپس $ایکس$ در بسته است $م$ . در واقع ، یک فضا کامل است اگر و فقط اگر در هر فضای متریک حاوی بسته باشد.

هر فضای متریک کامل ، یک فضای بایر است .

فضاهای محدود و کاملاً محدود شده [ ویرایش ]

قطر یک مجموعه.

همچنین نگاه کنید به: مجموعه محدود

یک فضای متریک $م$ اگر مقداری عدد وجود داشته باشد ، مقید نامیده می شود $ر$ ، به طوری که ${\ displaystyle d (x، y) \ leq r}$ برای همه $x ، y \ در م$ . کوچکترین ممکن از این قبیل $ر$ نامیده می شود قطر از $م$ . فضا $م$ اگر برای هر یک باشد ، پیش سازگار یا کاملاً محدود نامیده می شود $r> 0$ توپهای شعاعی کاملا مشخصی وجود دارد $ر$ اتحادیه که پوشش می دهد $م$ . از آنجا که مجموعه مراکز این توپها محدود است ، قطر متناهی دارد و از آن (با استفاده از نابرابری مثلث) نتیجه می گیرد که هر فضای کاملاً محدود شده محدود می شود. معکوس برقرار نیست ، زیرا می توان معیار گسسته ای به هر مجموعه بی نهایت داد (یکی از مثالهای بالا) که تحت آن محدود شده و کاملاً محدود نشده است.

توجه داشته باشید که در متن فاصله ها در فضای اعداد واقعی و گهگاه مناطق در یک فضای اقلیدسی ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ یک مجموعه محدود به عنوان "یک فاصله محدود" یا "منطقه محدود" شناخته می شود. با این وجود محدودیت را نباید به طور کلی با "متناهی" اشتباه گرفت ، که به تعداد عناصر اشاره دارد و نه اینکه تا چه حد مجموعه گسترش یافته است. ظرافت به معنای محدود بودن است ، اما برعکس. همچنین توجه داشته باشید که یک زیرمجموعه نامحدود از ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ممکن است حجم محدودی داشته باشد .

فضای متریک

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 9:57

در ریاضیات ، یک فضای متریک یک مجموعه همراه با یک متریک روی مجموعه است . متریک تابعی است که مفهوم فاصله بین هر دو عضو مجموعه را تعریف می کند ، که معمولاً به آنها امتیاز می گویند . متریک چند ویژگی ساده را برآورده می کند. غیررسمی:

فاصله از $آ$ به $ب$ صفر است اگر و فقط اگر $آ$ و $ب$ همان نقطه هستند ،
فاصله بین دو نقطه مشخص مثبت است ،
فاصله از $آ$ به $ب$ همان فاصله از است $ب$ به $آ$ ، و
فاصله از $آ$ به $ب$ (مستقیم) کمتر یا برابر با فاصله از است $آ$ به $ب$ از طریق هر نقطه سوم $ج$ .

متریک در یک فضا باعث ایجاد خصوصیات توپولوژیکی مانند مجموعه های باز و بسته می شود که منجر به مطالعه فضاهای انتزاعی توپولوژیکی می شود .

آشنا ترین فضای متریک ، فضای 3 بعدی اقلیدسی است . در حقیقت ، "متریک" تعمیم متریک اقلیدسی است که از چهار ویژگی دیرینه فاصله اقلیدسی ناشی می شود. متریک اقلیدسی فاصله بین دو نقطه را به عنوان طول قطعه خط مستقیم متصل می کند. سایر فضاهای متریک به عنوان مثال در هندسه بیضوی و هندسه هایپربولیک اتفاق می افتد ، جایی که فاصله روی کره ای که با زاویه اندازه گیری می شود یک متریک است و مدل هایپربولیید هندسه هذلولی توسط نسبیت خاص به عنوان یک فضای متریک سرعت استفاده می شود .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

این بخش نیاز به گسترش دارد : دلایل تعمیم معیار اقلیدسی ، اولین معیارهای غیر اقلیدسی بررسی شده ، پیامدهای ریاضیات. با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( آگوست 2011 )

در سال 1906 موریس فرشته فضاهای متریک را در کار خود به نام Sur quelques points du calcon fonctionnel معرفی کرد . [1] اما این نام به دلیل فلیکس هاوسدورف است .

تعریف [ ویرایش ]

فضای متریک یک IS زوج مرتب $(م ، د)$ جایی که $م$ یک مجموعه است و $د$ یک متریک در $م$ ، یعنی یک تابع

${\ displaystyle d \، \ colon M \ times M \ to \ mathbb {R}}$

به گونه ای که برای هر $x ، y ، z \ در م$ ، موارد زیر صدق می کند: [2]

1	${\ displaystyle d (x، y) = 0 \ iff x = y}$	هویت غیر قابل تشخیص
2	${\ displaystyle d (x، y) = d (y، x)}$	تقارن
3	${\ displaystyle d (x، z) \ leq d (x، y) + d (y، z)}$	فرعی بودن یا نابرابری مثلث

با توجه به سه بدیهی فوق ، ما نیز چنین داریم ${\ displaystyle d (x، y) \ geq 0}$ برای هرچی $x ، y \ در م$ . این به شرح زیر استنباط می شود:

$d (x ، y) + d (y ، x) \ ge d (x ، x)$	توسط نابرابری مثلث
$d (x ، y) + d (x ، y) \ ge d (x ، x)$	با تقارن
$2d (x ، y) \ ge 0$	توسط هویت غیرقابل تشخیص
$d (x ، y) \ geq 0$	ما غیر منفی داریم

کارکرد $د$ نیز نامیده می شود تابع فاصله و یا به سادگی از راه دور . غالبا، $د$ حذف شده و یکی فقط می نویسد $م$ برای یک فضای متریک اگر از زمینه مشخص شود که چه متریک استفاده شده است.

با نادیده گرفتن جزئیات ریاضی ، برای هر سیستم از جاده ها و زمین ها فاصله بین دو مکان را می توان به عنوان طول کوتاهترین مسیر اتصال آن مکان ها تعریف کرد. برای متریک بودن ، نباید هیچ جاده یک طرفه ای وجود داشته باشد. نابرابری مثلث بیانگر این واقعیت است که مسیرهای انحرافی میانبر نیستند. اگر فاصله دو نقطه صفر باشد ، دو نقطه از یکدیگر قابل تشخیص نیستند. بسیاری از نمونه های زیر را می توان نسخه های ملموس این ایده کلی دانست.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space

دانیل کانمن

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 9:42

دانیل کانمن

کانمن در سال 2004

بدنیا آمدن

5 مارس 1934 (سن 86 سالگی) [1]

تل آویو ، حکم انگلیس فلسطین (اسرائیل فعلی)

ملیت

ایالات متحده ، اسرائیل

تحصیلات

دانشگاه عبری ( BA )
دانشگاه کالیفرنیا ، برکلی ( MA ، PhD )

شناخته شده برای

سوگیری شناختی
اقتصاد رفتاری
نظریه چشم انداز
انزجار از دست دادن

همسر (ها)

ایرا کانمن آن تریزمن (1978–2018 ، مرگ او)

جوایز

جایزه APA Lifetime Achievement Award (2007)
جایزه یادبود نوبل در علوم اقتصادی (2002)
Tufts University Award Leontief (2010)
APS Distribution Scientific Contribution Award (1982)
University of Louisville Grawemeyer Award (2003)

حرفه علمی

زمینه های

روانشناسی ، اقتصاد

مسسات

دانشگاه پرینستون 1993–
دانشگاه کالیفرنیا ، برکلی 1986–93
دانشگاه بریتیش کلمبیا 1978–86
مرکز مطالعات پیشرفته در علوم رفتاری 1972–73
دانشگاه عبری اورشلیم 1961–77

پایان نامه

یک مدل تحلیلی از دیفرانسیل معنایی (1961)

مشاور دکترا

سوزان ام. اروین-تریپ

دانشجویان دکترا

Anat
Ninio Avishai Henik
Baruch Fischhoff Ziv Carmon

صدای دانیل کانمن

ضبط شده در اوت 2013 از برنامه BBC Radio 4 Discus Island Discs

سایت اینترنتی

princeton .edu / ~ kahneman /

دانیل کانمان ( / K ɑː N ə متر ə N / ؛ عبری : דניאל כהנמן ؛ زاده 5 مارس 1934) است اسرائیل روانشناس و اقتصاددان قابل توجه برای کار خود را در روانشناسی از قضاوت و تصمیم گیری ، و همچنین رفتاری اقتصاد ، که به خاطر آن جایزه یادبود نوبل 2002 در علوم اقتصادی را دریافت کرد (با ورنون ال اسمیت به اشتراک گذاشته شد) یافته های تجربی وی فرض عقلانیت انسانی حاکم در نظریه اقتصادی مدرن را به چالش می کشد.

با آموس Tversky و دیگران ، Kahneman یک شناخت شناختی برای خطاهای رایج انسانی ناشی از اکتشافات و مغرضات ایجاد کرد (Kahneman & Tversky، 1973؛ Kahneman، Slovic & Tversky، 1982؛ Tversky & Kahneman، 1974) ، و نظریه چشم انداز را توسعه داد (Kahneman & Tversky ، 1979).

در سال 2011 ، وی توسط مجله فارین پالیسی در لیست متفکران برتر جهانی معرفی شد. [2] در همان سال ، کتاب تفکر ، سریع و آهسته وی ، که خلاصه بسیاری از تحقیقات وی است ، منتشر شد و به پرفروش ترین کتاب تبدیل شد. [3]

او استاد روانشناسی و روابط عمومی در است دانشگاه پرینستون را وودرو ویلسون دانشگاه . کانمن شریک موسس TGG Group ، یک شرکت مشاوره بازرگانی و امور خیرخواهانه است. وی با روانشناس شناختی و همکار انجمن سلطنتی ، آن Treisman ، که در سال 2018 درگذشت ازدواج کرد. [4]

در سال 2015 ، اکونومیست او را به عنوان هفتمین اقتصاددان تأثیرگذار در جهان معرفی کرد. [5]

فهرست

بیوگرافی [ ویرایش ]

دانیل کانمان در متولد شد تل آویو ، فلسطین در سال 1934، که در آن مادر خود را، راشل، شد بازدید از خویشاوندان. وی دوران کودکی خود را در پاریس ، فرانسه گذراند ، جایی که پدر و مادرش در اوایل دهه 1920 از لیتوانی مهاجرت کرده بودند . کانمن و خانواده اش هنگامی که در سال 1940 توسط آلمان نازی اشغال شد ، در پاریس بودند . پدرش ، افراییم ، در اولین جمع آوری اصلی یهودیان فرانسه انتخاب شد ، اما پس از شش هفته به دلیل مداخله کارفرما آزاد شد. ، اوژن شوئلر . [6] : 52خانواده در اجرا برای باقی مانده از جنگ بود، و جان سالم به در، به جز مرگ پدر کانمان به دلیل دیابت در سال 1944. کاهنمن و خانواده اش پس از آن به نقل مکان فلسطین بریتانیا در سال 1948، درست قبل از ایجاد کشور از اسرائیل (کانمن ، 2003).

کانمن از تجربیات خود در فرانسه اشغال شده توسط نازی ها ، و در بخشی از توضیح علت ورود به رشته روانشناسی ، نوشت :

اواخر سال 1941 یا اوایل سال 1942 بود. یهودیان باید از ستاره داوود استفاده کنند و از ساعت 6 بعد از ظهر منع رفت و آمد کنند. من برای بازی با یک دوست مسیحی رفته بودم و خیلی دیر مانده بودم. ژاکت قهوه ای رنگم را به داخل برگرداندم تا چند بلوک خانه را طی کنم. وقتی داشتم از خیابانی خالی می گذشتم ، دیدم یک سرباز آلمانی در حال نزدیک شدن است. او یونیفرم مشکی به تن داشت که به من گفته شده بود بیش از سایرین از آن بترسم - لباسی که سربازان ویژه استخدام شده اس. وقتی به او نزدیکتر شدم و سعی کردم سریع راه بروم ، متوجه شدم که او با دقت به من نگاه می کند. سپس او مرا نشانه گرفت ، مرا بلند کرد و بغلم کرد. من خیلی ترسیده بودم که او متوجه ستاره درون ژاکت من شود. او با احساس بسیار به من آلمانی صحبت می کرد. وقتی مرا پایین گذاشت ، کیف پول خود را باز کرد ، عکس پسری را به من نشان داد و مقداری پول به من داد. من بیش از هر زمان دیگری به حق با مادرم به خانه رفتم: مردم بی وقفه پیچیده و جالب بودند. (Kahneman ، 2003 ، ص 417)

کانمن مدرک کارشناسی خود را در رشته روانشناسی و یک خردسال در ریاضیات را از دانشگاه عبری اورشلیم در سال 1954 دریافت کرد. پس از کسب مدرک کارشناسی ، در بخش روانشناسی نیروهای دفاعی اسرائیل خدمت کرد . یکی از مسئولیت های وی ارزیابی داوطلبان مدرسه افسری ، و تدوین آزمون ها و اقدامات برای این منظور بود. در سال 1958 ، برای تحصیل در دکترای روانشناسی خود از دانشگاه کالیفرنیا ، برکلی به ایالات متحده رفت . پایان نامه 1961 وی ، به توصیه سوزان اروین ، روابط بین صفات را در دیفرانسیل معنایی بررسی کردو "به من اجازه داد که به دو مورد مورد علاقه خود بپردازم: تجزیه و تحلیل ساختارهای پیچیده همبستگی و برنامه نویسی FORTRAN " ، همانطور که بعداً یادآوری می کند. [4]

حرفه آکادمیک [ ویرایش ]

روانشناسی شناختی [ ویرایش ]

کانمن فعالیت تحصیلی خود را به عنوان مدرس روانشناسی در دانشگاه عبری اورشلیم در سال 1961 آغاز کرد. [4] وی در سال 1966 به مقام استاد ارشد ارتقا یافت. کارهای اولیه او متمرکز بر درک و توجه بصری بود. به عنوان مثال ، اولین انتشار او در مجله معتبر Science با عنوان "قطر مردمک و بار حافظه" بود (Kahneman & Beatty، 1966). در این دوره ، كانمان دانشمند مهمان در دانشگاه میشیگان (66 - 1965) و واحد تحقیقات روانشناسی كاربردی در كمبریج بود (1968/1969 ، تابستان ها). وی در مرکز مطالعات شناختی و در سال 1966/1967 مدرس روانشناسی شناختی در دانشگاه هاروارد بود .

قضاوت و تصمیم گیری [ ویرایش ]

این دوره آغاز همکاری طولانی مدت کانهن با آموس توورسکی است . کانمن و توورسکی با هم مجموعه ای از مقالات اساسی را در زمینه عمومی قضاوت و تصمیم گیری منتشر کردند که در نهایت به انتشار نظریه چشم انداز آنها در سال 1979 منجر شد (کانمن و توورسکی ، 1979). به دنبال این ، این زوج با پاول اسلوویچ برای ویرایش مجموعه ای تحت عنوان "قضاوت تحت عدم قطعیت: اکتشافات و تعصبات" (1982) همکاری کردند که ثابت شد خلاصه ای مهم از کار آنها و سایر پیشرفتهای اخیر است که بر تفکر آنها تأثیر گذاشته است. کانمن در نهایت در سال 2002 جایزه یادبود نوبل اقتصاد را به خاطر کار در تئوری چشم انداز دریافت کرد.

در بیوگرافی نوبل خود ، كانمان اظهار داشت كه همکاری وی با Tversky پس از دعوت كانمان از Tversky برای سخنرانی مهمان در یكی از سمینارهای Kahneman در دانشگاه عبری در سال 1968 یا 1969 آغاز شد. [4] اولین مقاله مشترك آنها ، "اعتقاد به قانون" از اعداد کوچک "در سال 1971 منتشر شد (Tversky & Kahneman، 1971). آنها در سالهای 1971–1979 هفت مقاله در ژورنالهای مورد بررسی قرار دادند. جدا از "نظریه چشم انداز" ، مهمترین این مقالات "داوری تحت عدم قطعیت: اکتشافات و تعصبات" (Tversky & Kahneman ، 1974) بود که در مجله معتبر Science منتشر شد و مفهوم لنگر انداختن را ارائه داد .

کانمن در سال 1978 دانشگاه عبری را ترک کرد و در دانشگاه بریتیش کلمبیا منصبی گرفت . [4]

اقتصاد رفتاری [ ویرایش ]

کانمن و توورسکی هر دو در سال تحصیلی 1977–1978 در مرکز مطالعات پیشرفته علوم رفتاری در دانشگاه استنفورد همکار بودند . اقتصاددان جوانی به نام ریچارد تالر در همان سال استاد میهمان شاخه استنفورد در دفتر ملی تحقیقات اقتصادی بود. به گفته کانمن ، "[من و تالر] خیلی زود دوست شدیم و از آن زمان تأثیر قابل توجهی در تفکر یکدیگر داشتیم" (کانمن ، 2003 ، ص 437). تالر با تکیه بر نظریه چشم انداز و مجموعه کار کانمن و تروسکی ، در سال 1980 "به سوی یک نظریه مثبت انتخاب مصرف کننده" را منتشر کرد ، مقاله ای که کانمن آن را "متن بنیانگذار در اقتصاد رفتاری " خوانده است (کانمن ، 2003 ، پ. 438)

کانمن و توورسکی به شدت درگیر توسعه این رویکرد جدید در نظریه اقتصادی شدند و درگیری آنها در این جنبش باعث کاهش شدت و انحصار دوره همکاری مشترک قبلی آنها شد. آنها تا پایان زندگی Tversky با هم به انتشار می پرداختند ، اما دوره ای که Kahneman تقریباً به طور انحصاری با Tversky منتشر می كرد ، در سال 1983 پایان یافت ، زمانی كه او دو مقاله با Anne Treisman ، همسرش از 1978 منتشر كرد.

روانشناسی هدونیک [ ویرایش ]

در دهه 1990 ، تمرکز تحقیقات کانمن به تدریج با تأکید بر حوزه " روانشناسی لذت گرایانه " آغاز شد. این زیرشاخه با جنبش روانشناسی مثبت که در آن زمان به طور مداوم محبوبیت پیدا می کرد ، ارتباط نزدیک دارد. طبق گفته کانمن و همکارانش ،

روانشناسی هدونیک ... مطالعه آنچه باعث می شود تجارب و زندگی دلپذیر یا ناخوشایند باشد. این مربوط به احساس لذت و درد ، علاقه و کسالت ، لذت و اندوه و رضایت و نارضایتی است. این مسئله همچنین به کل شرایط ، از بیولوژیکی تا اجتماعی ، مربوط می شود که در آن رنج و لذت است. [7]

به طور دقیق می توان تعیین کرد که تحقیقات کانمن در چه زمانی روی لذت گرایی متمرکز شده است ، گرچه احتمالاً از کار وی در مورد مفهوم اقتصادی سودمندی ناشی می شود. پس از انتشار مقالات و فصل های مختلف در همه سال ها ، به جز یك سال ، در دوره 1979–1986 (در مجموع 23 اثر منتشر شده در 8 سال) ، كانمان دقیقاً یك فصل را در طی سالهای 1987–1989 منتشر كرد. پس از این وقفه ، مقالاتی در مورد سودمندی و روانشناسی مطلوبیت شروع به ظهور کرد (به عنوان مثال ، Kahneman & Snell ، 1990 ؛ Kahneman & Thaler ، 1991 ؛ Kahneman & Varey ، 1991). در سال 1992 ، وری و كانمان روش ارزیابی لحظه ها و قسمت ها را به عنوان راهی برای ثبت "تجارب توسعه یافته در طول زمان" معرفی كردند. در حالی که کههنم به مطالعه تصمیم گیری ادامه می داد (به عنوان مثال ، کانمن ، 1992 ، 1994 ؛ کانمن و لووالو ، 1993) ، روانشناسی لذت گرایانه کانون توجه بیشتری به انتشارات بود (به عنوان مثال ، فردریکسون و کانمن ، 1993 ؛ کانمن ، فردریکسون ، شرایبر و Redelemeier، 1993؛ Kahneman، Wakker & سارین ، 1997؛ Redelmeier & Kahneman ، 1996) ، در اوج در یک مجلد با ویرایش مشترکاد دینر و نوربرت شوارتز ، محققان تأثیر و رفاه. [8]

با دیوید Schkade ، Kahneman مفهوم توهم متمركز را توسعه داد (Kahneman & Schkade، 1998؛ Kahneman، Krueger، Schkade، Schwarz & Stone، 2006) تا به طور جزئی اشتباهاتی را كه مردم هنگام تخمین تأثیرات سناریوهای مختلف بر خوشبختی آینده خود مرتكب می شوند ، توضیح دهد. (همچنین به عنوان پیش بینی عاطفی شناخته می شود ، که توسط دانیل گیلبرت به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است ). "توهم" هنگامی رخ می دهد که افراد تأثیر یک عامل خاص را در شادی کلی خود در نظر بگیرند ، آنها تمایل دارند که اهمیت این عامل را بسیار اغراق کنند ، در حالی که از عوامل متعدد دیگری که در بیشتر موارد تأثیر بیشتری دارند غافل می شوند. نمونه خوبی توسط مقاله Kahneman و Schkade در سال 1998 ارائه شده است: "آیا در کالیفرنیا زندگی می کنیدمردم را خوشحال کنیم؟ توهم متمرکز در قضاوت در مورد رضایت از زندگی ". در آن مقاله ، دانش آموزان در غرب میانه و کالیفرنیا سطح مشابهی از رضایت از زندگی را گزارش کردند ، اما اهالی غرب میانه فکر می کردند همسالان کالیفرنیایی آنها شادتر خواهند بود. تنها اطلاعات متمایز دانش آموزان غرب میانه هنگام ساخت این اطلاعات قضاوت ها این واقعیت بود که همتایان فرضی آنها در کالیفرنیا زندگی می کنند ، بنابراین ، آنها "تمرکز" خود را بر این تمایز نشان می دهند ، در نتیجه تأثیر آب و هوای کالیفرنیا بر رضایت ساکنان آن از زندگی را بیش از حد ارزیابی می کنند.

رضایت از زندگی [ ویرایش ]

کانمن گفته است که در حقیقت انسانها رضایت از زندگی را دنبال می کنند ، که "تا حد زیادی به معیارهای اجتماعی مرتبط است - دستیابی به اهداف ، برآورده کردن انتظارات". [9] [10]

آموزش [ ویرایش ]

کاهنمن یک محقق و اعضای هیات علمی بازنشسته ارشد عضو در است دانشگاه پرینستون را گروه روانشناسی و وودرو ویلسون دانشکده امور دولتی و بین المللی . وی همچنین عضو دانشگاه عبری و دانشمند ارشد گالوپ است . [11]

زندگی شخصی [ ویرایش ]

همسر اول کانمان ایرا کانمن ، روانشناس آموزشی اسرائیلی بود که دارای دو فرزند بود. همسر دوم او روانشناس شناختی آن Treisman از سال 1978 تا زمان مرگش در سال 2018 بود. از سال 2014 ، آنها به صورت نیمه وقت در برکلی ، کالیفرنیا زندگی می کردند . [12] [13] از کانمن به عنوان یک ملحد یهودی یاد شده است . [14]

جوایز و تقدیرنامه ها [ ویرایش ]

در سال 2001 ، وی به عنوان عضوی آکادمی ملی علوم انتخاب شد [15]
در سال 2002 ، كانمان با وجود كاركرد روانشناس تحقيقات ، جايزه نوبل يادبود اقتصاد را براي كار در تئوري چشم انداز دريافت كرد. کانمن اظهار داشت که او هرگز حتی یک دوره اقتصادی نگذرانده است - هر آنچه را که وی در مورد موضوعی می داند که او و Tversky از همکارانشان ریچارد تالر و جک کنتش یاد گرفته اند.
کانمن ، دریافت کننده مشترک Tversky ، جایزه روانشناسی دانشگاه لوئیزویل گراومایر را در سال 2003 دریافت کرد . [16]
در سال 2007، او با ارائه شد انجمن روانشناسی آمریکا را جایزه برای کمک های طول عمر برجسته به روانشناسی . [17]
در 6 نوامبر 2009، او دکترای افتخاری از دپارتمان اقتصاد اهدا شد دانشگاه اراسموس در روتردام ، هلند . کانمن در سخنرانی پذیرش خود گفت ، "وقتی به اندازه کافی طولانی زندگی می کنید ، می بینید که غیرممکن ها به واقعیت تبدیل می شوند." او به این واقعیت اشاره داشت که وقتی تحصیلات خود را در زمینه اقتصاد رفتاری آغاز می کرد ، هرگز انتظار نداشت که به عنوان یک اقتصاددان مورد افتخار قرار گیرد. [18]
هم در سال 2011 و هم در سال 2012 ، وی 50 بلومبرگ را با نفوذترین افراد در امور مالی جهانی قرار داد . [19]
در تاریخ 9 نوامبر 2011 ، توسط آکادمی هنر و علوم آمریکا جایزه تالکوت پارسونز را دریافت کرد . [20]
کتاب او تفکر ، سریع و آهسته برنده جایزه کتاب لس آنجلس تایمز 2011 برای علاقه فعلی [21] و جایزه ارتباطات آکادمی علوم ملی برای بهترین کتاب منتشر شده در سال 2011 بود. [22]
در سال 2012 وی به عنوان آکادمیست متناظر در Real Academia Española (علوم اقتصادی و مالی) پذیرفته شد . [23]
در 8 آگوست 2013 ، باراک اوباما ، رئیس جمهور آمریکا اعلام کرد که دانیل کهنمان دریافت کننده مدال آزادی ریاست جمهوری خواهد بود. [24]
در ژوئن 1، 2015، او دکترای افتخاری از دانشکده هنر در اهدا شد دانشگاه مک گیل در مونترال . [25]
دسامبر 2018 ، كانمان توسط م Instituteسسه ملی علوم اجتماعی به عنوان افتخار مدال طلا انتخاب شد . [26]
در سال 2019 ، كانمان جایزه طلای آكادمی دستاورد آمریكا را دریافت كرد . [27]

مشارکتهای قابل توجه [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Kahneman

آموس ناتان تورسکی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و نهم شهریور ۱۳۹۹ | 0:46

آموس Tversky

آموس Tversky

بدنیا آمدن	آموس ناتان توورسکی 16 مارس 1937 حیفا ، حکم انگلیس فلسطین (اکنون در اسرائیل)
فوت کرد	2 ژوئن 1996 (59 ساله) استنفورد ، کالیفرنیا ، ایالات متحده
ملیت	اسرائیلی
ماده آلما	دانشگاه عبری دانشگاه میشیگان
شناخته شده برای	نظریه چشم انداز ابتکارات و تعصبات
همسر (ها)	باربارا تورسکی ( متر 1963)
جوایز	جایزه MacArthur جایزه Grawemeyer در روانشناسی (2003)
حرفه علمی
زمینه های	روانشناسی شناختی ، اقتصاد رفتاری
مسسات	دانشگاه عبری دانشگاه استنفورد
دانشجویان دکترا	مایا بار هیلل

آموس ناتان تورسکی (به عبری : עמוס טברסקי ؛ 16 مارس 1937 - 2 ژوئن 1996) روانشناس شناختی و ریاضی اسرائیلی ، دانشجوی علوم شناختی ، همکار دانیل کانمن و شخصیت کلیدی در کشف انسان سیستماتیک بود سوگیری شناختی و کنترل خطر .

بیشتر کارهای اولیه او مربوط به مبانی اندازه گیری بود. وی یکی از نویسندگان رساله ای در سه جلد بود ، مبانی اندازه گیری (که اخیراً تجدید چاپ شده است). کار اولیه او با کانمن بر روانشناسی پیش بینی و قضاوت احتمال متمرکز بود. بعداً آنها با هم همکاری کردند تا نظریه چشم انداز را که هدف آن تبیین گزینه های اقتصادی غیر منطقی انسان است و یکی از کارهای اساسی اقتصاد رفتاری به حساب می آید ، توسعه دهند . شش سال پس از مرگ ترورسکی ، کانمن جایزه یادبود نوبل علوم اقتصادی 2002 را برای کارهایی که با همکاری آموس تروسکی انجام داد دریافت کرد. [1] (جایزه پس از مرگ اهدا نمی شود.) کانمن به نیویورک تایمز گفتدر یک مصاحبه به زودی پس از دریافت این افتخار: "من احساس می کنم این یک جایزه مشترک است. ما بیش از یک دهه دوقلو بودیم." [2] Tversky همچنین با بسیاری از محققان برجسته از جمله توماس گیلوویچ ، ایتامار سیمونسون ، پل اسلوویچ و ریچارد تالر همکاری کرد . نظر روانشناسی عمومی نظرسنجی، در سال 2002 منتشر شده است، به عنوان تورسکی 93 روانشناس پراستنادترین قرن 20th، گره خورده با رتبه بندی ادوین خسته کننده ، جان دیویی ، و ویلهلم وونت . [3]

فهرست

بیوگرافی [ ویرایش ]

Tversky در حیفا ، فلسطین انگلیس ( اسرائیل فعلی ) به عنوان فرزند دامپزشک متولد لهستان ، یوسف Tversky و یهودی لیتوانیایی Jenia Tversky (نامزد گینسبورگ) متولد شد ، یک مددکار اجتماعی که بعداً عضو پارلمان ماپای (حزب کارگر) شد. [4] Tversky یک خواهر داشت ، روت ، سیزده سال بزرگتر از او بود. در دبیرستان ، Tversky کلاسهایی را از منتقد ادبی Baruch Kurzweil گذراند و با همکلاسی Dahlia Ravikovich که به یک شاعر برنده جایزه تبدیل شد ، دوست شد. در این مدت ، وی همچنین در نهال عضو و رهبر بود ، یک جنبش جوانان به منظور ترکیب کشاورزی و خدمت سربازی.[5]

Tversky با تمیز در نیروهای دفاعی اسرائیل به عنوان یک چترباز خدمت می کرد ، به درجه ناخدا رسید و برای شجاعت آراسته شد. [4] وی در بحران سوئز در سال 1956 در مناطق جنگی با چتر نجات رفت ، در جنگ شش روزه در سال 1967 فرماندهی یک واحد پیاده نظام را بر عهده داشت و در جنگ یوم کیپور در سال 1973 در یک واحد روانشناسی خدمت کرد. [5]

در سال 1963 ، Tversky با روانشناس آمریکایی باربارا گانس ، که اکنون استاد گروه رشد انسانی در کالج معلمان ، دانشگاه کلمبیا است ، ازدواج کرد . [5] آنها سه فرزند با هم داشتند.

Tversky در سال 1961 مدرک لیسانس خود را از دانشگاه عبری اورشلیم در اسرائیل دریافت کرد و در سال 1965 دکترای خود را از دانشگاه میشیگان در آن آربور دریافت کرد. وی بعداً در دانشگاه عبری تدریس کرد و در سال 1978 به عضویت هیئت علمی دانشگاه استنفورد درآمد ، و در آنجا بقیه را گذراند از زندگی حرفه ای او در سال 1980 عضو آکادمی هنر و علوم آمریکا شد . [5] [6] در سال 1984 وی دریافت کننده بورسیه MacArthur بود و در سال 1985 به عضویت آکادمی ملی علوم انتخاب شد . [7] Tversky ، گیرنده مشترک با Daniel Kahneman ، 2003 را به دست آورد جایزه روانشناسی دانشگاه لوئیزویل گراومیر . [8] وی در سال 1996 بر اثر ملانوم متاستاتیک درگذشت . [9] او یک ملحد یهودی بود. [10]

شغل [ ویرایش ]

کار با دانیل کانمن [ ویرایش ]

تأثیرگذارترین کار آموس توورسکی با همکاری همکار قدیمی او ، دانیل کانمن ، در مشارکتی که از اواخر دهه 1960 آغاز شد ، انجام شد. کار آنها تعصبات و شکستهای عقلانیت را که بطور مداوم در تصمیم گیریهای بشر نشان داده شده است ، کشف کرد. [5] با شروع مقاله اول خود ، "اعتقاد به قانون اعداد کوچک" ، کانمن و Tversky یازده "توهم شناختی" را ارائه دادند که بر قضاوت انسان تأثیر می گذارد ، اغلب با استفاده از آزمایش های تجربی در مقیاس کوچک که نشان می دهد افراد چگونه تصمیم های غیر منطقی را تحت شرایط نامشخص این کار در زمینه اقتصاد که تا حد زیادی عقلانیت همه بازیگران را فرض می کرد بسیار تأثیرگذار بود . [11]

جهل تطبیقی [ ویرایش ]

Tversky and Fox (1995) [12] به کراهت گریزی پرداختند، این ایده که مردم با چارچوب ناآگاهی تطبیقی قمارهای مبهم یا انتخاب های مبهم را دوست ندارند. ایده آنها این بود که مردم فقط وقتی از ابهام گریزانند که با مقایسه گزینه ای مبهم با گزینه ای بدون ابهام ، توجه آنها به طور خاص به ابهام جلب شود. به عنوان مثال ، افراد مایلند هنگام ارزیابی هر دو این اورن ها بیشتر در انتخاب یک توپ رنگی صحیح از یک ورن حاوی نسبت مساوی توپ های سیاه و قرمز شرط بندی کنند تا یک اورن با نسبت نامشخص توپ. با این حال ، هنگام ارزیابی آنها به طور جداگانه ، مردم مایل به شرط بندی تقریباً به همان مقدار روی هر یک از هر ون هستند. بنابراین ، وقتی می توان قمار مبهم را با قمار بدون ابهام مقایسه کرد ، مردم منفور هستند - اما نه وقتی کسی از این مقایسه بی اطلاع باشد.

مشارکتهای قابل توجه [ ویرایش ]

شکل تابع مقدار ( مطلوبیت ) در نظریه چشم انداز . عدم تقارن تابع مربوط به انزجار از دست دادن است .

در فرهنگ عامه [ ویرایش ]

تست هوش Tversky [ ویرایش ]

همانطور که مالکوم گلادول در کتاب دیوید و گالیات: زیر دستان ، بدشانسی ها و هنر مبارزه با غول ها در سال 2013 بازگو می کند ، همتایان Tversky به قدری درباره او فکر می کردند که برای سنجش هوش یک آزمایش زبانی را انجام دادند. همانطور که توسط آدام آلتر ، روانشناس به گلادول مربوط می شود ، تست هوش Tversky "هرچه سریعتر فهمیدید Tversky از شما هوشمندتر است ، باهوش ترید" بود. [13]

پروژه واگرد [ ویرایش ]

کتاب مایکل لوئیس ، پروژه Undoing: دوستی که ذهن ما را تغییر داد ، منتشر شده در 16 دسامبر 2016 ، درباره آموس توورسکی و دانیل کانمن است و "داستان زندگی و کار مشترک آنها" است. [14]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Amos_Tversky

چوکت انتگرال

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و هشتم شهریور ۱۳۹۹ | 18:2

Choquet و جدایی ناپذیر است subadditive یا superadditive جدایی ناپذیر توسط ریاضیدان فرانسوی ایجاد گوستاو Choquet و در سال 1953. [1] در ابتدا در مورد استفاده قرار گرفت مکانیک آماری و نظریه پتانسیل ، [2] اما پیدا شده است راه خود را در تئوری تصمیم گیری در 1980s، [3] جایی که به عنوان روشی برای اندازه گیری سودمندی مورد انتظار یک رویداد نامشخص استفاده می شود. این به طور خاص برای توابع عضویت و ظرفیت استفاده می شود . در نظریه احتمال غیر دقیق، انتگرال Choquet همچنین برای محاسبه انتظار کمتری که با احتمال 2 مونوتون پایین تر ایجاد می شود ، یا انتظار بالایی که با احتمال بالایی 2 متناوب ایجاد می شود ، استفاده می شود .

استفاده از انتگرال Choquet برای نشان دادن سودمندی مورد انتظار از توابع اعتقادی که با ظرفیت اندازه گیری شده اند ، راهی برای سازش پارادوکس Ellsberg و پارادوکس Allais است . [4] [5]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

علامت گذاری زیر استفاده می شود:

$س$ - یک مجموعه
${\ mathcal {F}}$ - مجموعه ای از زیر مجموعه های $س$ .
$f: S \ به \ mathbb {R}$ - یک عملکرد
$\ nu: \ mathcal {F} \ به \ mathbb {R} ^ +$ - یک عملکرد تنظیم یکنواخت .

فرض کن که $f$ با توجه به قابل اندازه گیری است ${\ mathcal {F}}$ ، به این معنا که

$\ forall x \ in \ mathbb {R} \ colon \ {s | f (s) \ geq x \} \ in \ mathcal {F}$

سپس انتزاعی Choquet از $f$ با توجه به $\ nu$ توسط این تعریف می شود:

$(C) \ int fd \ nu: = \ int _ {- \ infty} ^ 0 (\ nu (\ {s | f (s) \ geq x \}) - \ nu (S)) \، dx + \ int ^ \ infty_0 \ nu (\ {s | f (s) \ geq x \}) \، dx$

جایی که انتگرال ها در سمت راست انتگرال معمول ریمان هستند (انتگرال ها به دلیل یکپارچه بودن یکپارچه هستند $ایکس$ )

خصوصیات [ ویرایش ]

به طور کلی انتگرال Choquet افزودنی را برآورده نمی کند. به طور دقیق تر ، اگر $\ nu$ معیار احتمالی نیست ، ممکن است چنین باشد

$\ int f \ ، d \ nu + \ int g \ ، d \ nu \ neq \ int (f + g) \ ، d \ nu.$

برای برخی از توابع $f$ و $g$ .

انتگرال Choquet خصوصیات زیر را برآورده می کند.

یکنواختی [ ویرایش ]

$f \ leq g$ سپس

$(C) \ int f \ ، d \ nu \ leq (C) \ int g \ ، d \ nu$

همگنی مثبت [ ویرایش ]

برای همه $\ lambda \ ge 0$ آن را نگه می دارد که

$(C) \ int \ lambda f \ ، d \ nu = \ lambda (C) \ int f \ ، d \ nu ،$

افزودنی Comonotone [ ویرایش ]

اگر $f، g: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ توابع کاموتونی هستند ، یعنی اگر برای همه باشد $s ، s 'در S$ آن را نگه می دارد که

$(f (s) - f (s ')) (g (s) - g (s')) \ geq 0$ .

که می توان چنین تصور کرد $f$ و $g$ بالا و پایین رفتن با هم

سپس

$(C) \ int \ ، fd \ nu + (C) \ int g \ ، d \ nu = (C) \ int (f + g) \ ، d \ nu.$

حساسیت فرعی [ ویرایش ]

اگر $\ nu$ 2 متناوب است ، [ توضیحات لازم است ] سپس

$(C) \ int \ ، fd \ nu + (C) \ int g \ ، d \ nu \ ge (C) \ int (f + g) \ ، d \ nu.$

حساسیت بیش از حد [ ویرایش ]

اگر $\ nu$ 2-یکنواخت است ، [ توضیح لازم است ] سپس

$(C) \ int \ ، fd \ nu + (C) \ int g \ ، d \ nu \ le (C) \ int (f + g) \ ، d \ nu.$

نمایندگی جایگزین [ ویرایش ]

اجازه دهید $G$ تابع توزیع تجمعی را نشان می دهد به طوری که $G ^ {- 1}$ است $d H$ ادغام پذیر سپس از این فرمول زیر اغلب به عنوان Choquet Integral یاد می شود:

$\ int _ {- \ infty} ^ \ infty G ^ {- 1} (\ alpha) d H (\ alpha) = - \ int _ {- \ infty} ^ a H (G (x)) dx + \ int_a ^ \ infty \ hat {H} (1-G (x)) dx ،$

جایی که $\ کلاه {H} (x) = H (1) -H (1-x)$ .

انتخاب کنید $H (x): = x$ به دست آوردن $\ int_0 ^ 1 G ^ {- 1} (x) dx = E [X]$ ،
انتخاب کنید $H (x): = 1 _ {[\ alpha ، x]}$ به دست آوردن
$\ int_0 ^ 1 G ^ {- 1} (x) dH (x) = G ^ {- 1} (\ alpha)$

برنامه ها [ ویرایش ]

انتگرال Choquet در پردازش تصویر ، پردازش ویدئو و بینایی رایانه استفاده شد. در نظریه تصمیم گیری رفتاری ، آموس توورسکی و دانیل کانمن از روشهای انتگرالی و مرتبط چوکت در تدوین نظریه چشم انداز تجمعی استفاده می کنند. [6]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Choquet_integral

حساسیت بیش از حد

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و هشتم شهریور ۱۳۹۹ | 17:55

در ریاضیات ، یک دنباله { a n } ، n ≥ 1 را اگر نابرابری را برآورده کند ، فوق العاده می نامیم

${\ displaystyle a_ {n + m} \ geq a_ {n} + a_ {m}}$

برای همه متر و N . دلیل عمده استفاده از توالی های فوق افزایشی ، لما زیر به دلیل مایکل فکته است . [1]

(Lemma: (Fekete برای هر دنباله فوقالعاده { a n } ، n ≥ 1 ، حد lim a n / n وجود دارد و برابر است با sup a n / n . (برای مثال ممکن است حد بی نهایت مثبت باشد ، برای دنباله a n = log n !)

به طور مشابه، تابع F است superadditive اگر

${\ displaystyle f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}$

برای همه X و Y در دامنه از F .

مثلا، $f (x) = x ^ {2}$ یک تابع فوق اضافی برای اعداد واقعی غیر منفی است زیرا مربع از $(x + y)$ همیشه بزرگتر یا مساوی مربع است $ایکس$ بعلاوه مربع $y$ ، برای اعداد واقعی غیر منفی $ایکس$ و $y$ .

آنالوگ لمای فاکته برای توابع فرعی نیز وجود دارد. پسوندهای لمای فاکته وجود دارد که برای نگهداری برای همه m و n نیازی به تعریف فوق حساسیت در بالا نیست . همچنین نتایج که اجازه می دهد یک به استنباط نرخ همگرایی به حد که وجود آن در لم Fekete اعلام کرد اگر نوعی از هر دو superadditivity و وجود دارد جمعپذیری موجود است. شرح خوبی از این موضوع را می توان در Steele (1997) یافت. [2] [3]

اگر f یک تابع فوق العاده است و اگر 0 در دامنه آن باشد ، f (0) ≤ 0. برای دیدن این ، نابرابری را در بالا بگیرید. $f (x) \ leq f (x + y) -f (y)$ . از این رو $f (0) \ leq f (0 + y) -f (y) = 0$

منفی یک تابع superadditive است subadditive .

نمونه هایی از توابع فوق افزایشی [ ویرایش ]

عامل تعیین کننده برای ماتریس های هرمیتی غیر منفی ، به عنوان مثال ، اگر است ${\ displaystyle A ، B \ in {\ text {Mat}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ پس از آن هرمتیان غیر منفی هستند ${\ displaystyle \ det (A + B) \ geq \ det (A) + \ det (B)}$ .

این از قضیه تعیین کننده مینکوفسکی ، که به طور کلی بیان می کند ، نتیجه می شود ${\ displaystyle \ det (\ cdot) ^ {1 / n}}$ فوق العاده مثبت است (برابر آن مقعر) [4] برای ماتریس های هرمیتیایی غیر منفی با اندازه n : اگر ${\ displaystyle A ، B \ in {\ text {Mat}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ پس از آن هرمتیان غیر منفی هستند ${\ displaystyle \ det (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ det (A) ^ {1 / n} + \ det (B) ^ {1 / n}}$ .

اطلاعات متقابل
هورست آلزر ثابت كرد [5] كه تابع گاما Hadamard H ( x ) برای همه اعداد واقعی x ، y با x ، y 5050 ≥ فوق العاده است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Superadditivity

جمعپذیری

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و هشتم شهریور ۱۳۹۹ | 17:49

در ریاضیات ، جمعپذیری یک ویژگی از یک تابع است که کشورهای، تقریبا، که ارزیابی عملکرد برای مجموع دو است عناصر از دامنه همیشه چیزی را برمی گرداند کمتر یا مجموع ارزش تابع در هر یک از عناصر برابر است. نمونه های بی شماری از توابع فرعی در زمینه های مختلف ریاضیات ، به ویژه هنجارها و ریشه های مربع وجود دارد . نقشه های افزودنی موارد خاص توابع فرعی هستند.

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

یک تابع subadditive یک تابع است $f \ روده بزرگ A \ به B$ ، داشتن یک دامنه A و یک کد کد B مرتب که هر دو تحت این ویژگی بسته شده اند ، با ویژگی زیر:

$\ forall x ، y \ در A ، f (x + y) \ leq f (x) + f (y).$

به عنوان مثال ، تابع ریشه مربع است ، از آنجایی که اعداد واقعی غیر منفی به عنوان دامنه و کد دامنه وجود دارد $\ forall x ، y \ geq 0$ ما داریم:

${\ sqrt {x + y}} \ leq {\ sqrt {x}} + {\ sqrt {y}}.$

یک سکانس $\ چپ \ {a_ {n} \ راست \} ، n \ geq 1$ ، درصورتیکه نابرابری را برآورده کند ، subadditive نامیده می شود

$(1) \ qquad a _ {{n + m}} \ leq a_ {n} + a_ {m}$

برای همه متر و N . اگر دنباله ای به عنوان تابعی از مجموعه اعداد طبیعی تفسیر شود ، این یک مورد خاص از تابع فرعی است.

خصوصیات [ ویرایش ]

توالی ها [ ویرایش ]

نتیجه مفید مربوط به توالی subadditive به شرح زیر است لم به دلیل مایکل Fekete . [1]

Fekete's Subadditive Lemma: برای هر دنباله ${\ چپ \ {a_ {n} \ راست \}} _ {{n = 1}} ^ {\ نامعتبر}$ ، حد $\ displaystyle \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {a_ {n}} {n}}$ وجود دارد و برابر است با حداقل $\ inf {\ frac {a_ {n}} {n}}$ . (ممکن است حد باشد $\ بعدازظهر \ بی فایده$ .)

آنالوگ لما F فاکته برای توالی های فوق افزایشی نیز وجود دارد ، یعنی: $a _ {{n + m}} \ geq a_ {n} + a_ {m}.$ (بنابراین ممکن است حد بی نهایت مثبت باشد: دنباله را در نظر بگیرید $a_ {n} = \ log n!$ .)

پسوندهای لمسی فاکته وجود دارد که برای همه m و n نیازی به نابرابری (1) ندارد ، بلکه فقط برای m و n است به طوری که ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ leq {\ frac {m} {n}} \ leq 2.}$ علاوه بر این ، شرط ${\ displaystyle a_ {n + m} \ leq a_ {n} + a_ {m}}$ ممکن است به شرح زیر ضعیف شود: ${\ displaystyle a_ {n + m} \ leq a_ {n} + a_ {m} + \ phi (n + m)}$ به شرطی که $\ فی$ یک عملکرد در حال افزایش است به طوری که انتگرال ${\ displaystyle \ int \ phi (t) t ^ {- 2} \، dt}$ همگرایی می کند (نزدیک بی نهایت). [2]

همچنین نتایجی وجود دارد که به فرد اجازه می دهد در صورت وجود نوعی از افزایش حساسیت و افزایش خاصیت ، میزان همگرایی را به حدی که موجودیت آن در لما F فاکته است ، کاهش دهد. [3] [4]

علاوه بر این ، آنالوگهای لکته فاکته برای نقشه های واقعی غیر قابل افزودن (با فرضیات اضافی) از زیر مجموعه های محدود یک گروه قابل تطبیق [5] [6] ، [7] و بیشتر ، از یک گروه نیمه قابل انعطاف سمت چپ قابل اثبات است. [8]

توابع [ ویرایش ]

قضیه: [9] برای هر تابع افزودنی افزودنی قابل اندازه گیری ${\ displaystyle f: (0 ، \ infty) \ to \ mathbb {R}،}$ حد ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {f (t)} {t}}}$ وجود دارد و برابر است با ${\ displaystyle \ inf _ {t> 0} {\ frac {f (t)} {t}}.}$ (ممکن است حد باشد ${\ displaystyle - \ infty.}$ )

اگر f یک تابع فرعی است ، و اگر 0 در دامنه آن است ، f (0) ≥ 0. برای دیدن این ، نابرابری را در بالا بگیرید. $f (x) \ geq f (x + y) -f (y)$ . از این رو $f (0) \ geq f (0 + y) -f (y) = 0$

یک عملکرد مقعر $f: [0 ، \ infty] \ به [0 ، \ invyy]$ با $f (0) \ geq 0$ همچنین فرعی است. برای دیدن این ، ابتدا شخص آن را مشاهده می کند $f (x) \ geq \ textstyle {{\ frac {y} {x + y}}} f (0) + \ textstyle {{\ frac {x} {x + y}}} f (x + y)$ . سپس به جمع این مقید نگاه کنید $f (x)$ و $f (y)$ ، سرانجام تأیید می کند که f فرعی است. [10]

منفی یک تابع فرعی اضافه اضافه است .

نمونه هایی در حوزه های مختلف [ ویرایش ]

آنتروپی [ ویرایش ]

آنتروپی در تئوری اطلاعات و فیزیک آماری و همچنین در مکانیک کوانتوم در یک فرمول بندی کلی به دلیل ون نویمان نقش اساسی دارد . آنتروپی همیشه در تمام فرمول های خود به عنوان یک مقدار فرعی اضافه می شود ، به این معنی که آنتروپی یک ابر سیستم یا یک اتحادیه متغیرهای تصادفی همیشه از مجموع انتروپی اجزای منفرد آن کمتر یا برابر است. علاوه بر این ، آنتروپی در فیزیک چندین نابرابری سختگیرانه تر از قبیل ضعف حساسیت شدید آنتروپی در مکانیک آماری کلاسیک و آنالوگ کوانتومی آن را برآورده می کند .

اقتصاد [ ویرایش ]

خاصیت افزایشی خاصیت اساسی برخی از توابع هزینه خاص است . به طور کلی ، شرط لازم و کافی برای تأیید انحصار طبیعی است . این بدان معناست که تولید فقط از یک شرکت از نظر اجتماعی هزینه کمتری دارد (از نظر هزینه متوسط) نسبت به تولید کسری از مقدار اصلی توسط تعداد مساوی شرکت.

اقتصاد مقیاس با توابع هزینه متوسط افزایشی اضافه می شود.

به جز در مورد کالاهای مکمل ، قیمت کالاها (به عنوان تابعی از کمیت) باید فرعی باشد. در غیر این صورت ، اگر مجموع هزینه دو مورد ارزان تر از هزینه بسته نرم افزاری دو مورد از آنها با هم باشد ، هیچ کس هرگز بسته را خریداری نمی کند ، در نتیجه باعث می شود قیمت بسته نرم افزاری به مجموع قیمت های "تبدیل" شود دو مورد جداگانه بنابراین اثبات می کند که شرط کافی برای انحصار طبیعی نیست؛ از آنجا که واحد مبادله ممکن است هزینه واقعی یک کالا نباشد. این وضعیت برای همه در صحنه سیاسی که برخی از اقلیت ها ادعا می کنند از دست دادن آزادی خاص در برخی از سطوح خاص دولت به معنای بهتر بودن بسیاری از دولت ها است ، آشنا است. در حالیکه اکثریت ادعا می کنند که واحد صحیح دیگری از هزینه نیز وجود دارد. [ نقل قول لازم است]

امور مالی [ ویرایش ]

حساسیت فرعی یکی از خواص مطلوب اقدامات ریسک منسجم در مدیریت ریسک است [11] . شهود اقتصادی موجود در زیر حساسیت اندازه گیری ریسک این است که قرار گرفتن در معرض خطر نمونه کارها باید ، در بدترین حالت ، به سادگی با مجموع قرار گرفتن در معرض ریسک موقعیت های فردی که پرتفوی را تشکیل می دهند برابر باشد. در هر صورت دیگر ، تأثیرات متنوع سازی منجر به قرار گرفتن در معرض نمونه کارهایی می شود که کمتر از مجموع مواجهه های فردی با ریسک است. فقدان خاصیت افزایشی از مهمترین انتقادهای مدلهای VaR است که به فرض نرمال بودن عوامل خطر متکی نیستند . Gaussian VaR تضمین پذیری پذیری پایین را تضمین می کند: به عنوان مثال ، Gaussian VaR از یک پورتفیو دو موقعیت بلند واحد $V$ در سطح اطمینان ${\ displaystyle 1-p}$ است ، با فرض اینکه میانگین تغییر مقدار نمونه کارها صفر باشد و VaR به عنوان ضرر منفی تعریف شود ،

${\ displaystyle {\ text {VaR}} _ {p} \igu z_ {p} \ sigma _ {\ Delta V} = z_ {p} {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} +2 \ rho _ {xy} \ sigma _ {x} \ sigma _ {y}}}}$

جایی که ${\ displaystyle z_ {p}}$ معکوس تابع توزیع تجمعی نرمال در سطح احتمال است $پ$ ${\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} ، \ sigma _ {y} ^ {2}}$ آیا موقعیت های فردی واریانس بازدهی دارند و

${\ displaystyle \ rho _ {xy}}$ است اندازه گیری همبستگی خطی بین دو موقعیت بازده فردی است. از آنجا که واریانس همیشه مثبت است ،

${\ displaystyle {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} +2 \ rho _ {xy} \ sigma _ {x} \ sigma _ {y}}} \ leq \ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}}$

بنابراین Gaussian VaR برای هر مقدار از فرعی است ${\ displaystyle \ rho _ {xy} \ in [-1،1]}$ و به طور خاص ، برابر است با مجموع مواجهه فردی با خطر در هنگام

${\ displaystyle \ rho _ {xy} = 1}$ که در صورت عدم تأثیر تنوع در ریسک نمونه کارها است.

ترمودینامیک [ ویرایش ]

حساسیت فرعی در خصوصیات ترمودینامیکی محلول ها و مخلوط های غیر ایده آل مانند حجم مولار اضافی و گرمای اختلاط یا آنتالپی بیش از حد رخ می دهد .

ترکیبی از کلمات [ ویرایش ]

یک زبان فاکتوریل $ل$ یکی است که اگر کلمه ای در آن باشد $ل$ ، سپس تمام عوامل آن کلمه نیز در هستند $ل$ . در ترکیبیات روی کلمات ، یک مشکل رایج تعیین تعداد است $A (n)$ از طول- $n$ کلمات به زبان فاکتوریل به وضوح ${\ displaystyle A (m + n) \ leq A (m) A (n)}$ ، بنابراین ${\ displaystyle \ log A (n)}$ فرعی است و از این رو می توان از لما فاکته برای تخمین رشد استفاده کرد

$A (n)$ . [12]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Subadditivity

حلقه سیگما

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و ششم شهریور ۱۳۹۹ | 9:0

در ریاضیات ، به مجموعه ای غیر خالی از مجموعه ، حلقه σ ( حلقه سیگما تلفظ می شود ) اگر تحت اتحاد قابل شمارش و مکمل نسبی بسته شود ، می گویند .

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ mathcal {R}}$ مجموعه ای غیر خالی از مجموعه ها باشد. سپس ${\ mathcal {R}}$ یک σ حلقه اگر:

$\ bigcup _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} A _ {{n}} \ in {\ mathcal {R}}$ اگر $A _ {{n}} \ in {\ mathcal {R}}$ برای همه $n \ in \ mathbb {N}$
$A \ setminus B \ in \ mathcal {R}$ اگر $A ، B \ in {\ mathcal {R}}$

خصوصیات [ ویرایش ]

از این دو خاصیت بلافاصله می بینیم که

$\ bigcap _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} A_ {n} \ in {\ mathcal {R}}$ اگر $A _ {{n}} \ in {\ mathcal {R}}$ برای همه $n \ in \ mathbb {N}$

این فقط به این دلیل است ${\ displaystyle \ cap _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} = A_ {1} \ setminus \ cup _ {n = 2} ^ {\ infty} (A_ {1} \ setminus A_ {n })}$ .

مفاهیم مشابه [ ویرایش ]

اگر تحت اتحادیه محدود ملک اول به بسته شدن ضعیف شود (به عنوان مثال ، $A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}$ هر زمان که $A ، B \ in {\ mathcal {R}}$ ) اما اتحادیه قابل شمارش نیست ، پس ${\ mathcal {R}}$ یک حلقه است اما یک حلقه σ نیست.

استفاده می کند [ ویرایش ]

در صورت عدم تمایل به اندازه گیری مجموعه جهانی ، می توان از حلقه های σ به جای میدان های σ (جبرهای σ) در توسعه تئوری اندازه گیری و یکپارچه سازی استفاده کرد . هر میدان σ نیز یک حلقه σ است ، اما نیازی نیست که یک حلقه σ یک میدان σ باشد.

یک حلقه ${\ mathcal {R}}$ این مجموعه ای از زیر مجموعه های $ایکس$ یک میدان σ را برای ایجاد می کند $ایکس$ . تعریف کردن ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {A \ cup B ^ {c} | A ، B \ in {\ mathcal {R}} \}}$ . سپس ${\ mathcal {A}}$ یک میدان σ روی مجموعه است $ایکس$ - برای بررسی بسته شدن تحت اتحادیه قابل شمارش ، $\ سیگما$ -ring در تقاطع های قابل شمارش بسته شده است. در حقیقت ${\ mathcal {A}}$ حداقل میدان σ است ${\ mathcal {R}}$ از آنجا که باید در هر فیلد σ موجود باشد ${\ mathcal {R}}$ .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-ring

افزودنی (به ویژه افزودنی محدود) و افزودنی سیگما

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و ششم شهریور ۱۳۹۹ | 8:56

در ریاضیات ، افزودنی (به ویژه افزودنی محدود) و افزودنی سیگما (که به آن افزودنی قابل شمارش نیز گفته می شود) از یک تابع (که اغلب معیار اندازه گیری است ) که در زیر مجموعه های یک مجموعه داده شده تعریف می شود ، انتزاعی است که چگونه خصوصیات بصری اندازه ( طول ، مساحت ، حجم ) یک هنگام در نظر گرفتن چندین شی ، جمع را تعیین کنید. افزايش نسبت به σ افزودني ضعيف تر است و افزودني σ به معناي افزايش است.

فهرست

توابع تنظیم کننده افزودنی (یا کاملاً افزودنی) [ ویرایش ]

اجازه دهید $\ mu$ تابعی باشد که بر روی جبر مجموعه ها تعریف شده باشد

$\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ با مقادیر در [−∞ ، + ∞] (به خط اعداد واقعی گسترش یافته مراجعه کنید ). کارکرد $\ mu$ است که به نام افزودنی، و یا متناهی افزودنی، اگر، هر زمان که و B هستند مجموعه متلاشی شدن در $\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ ، یک نفر دارد

$\ mu (A \ cup B) = \ mu (A) + \ mu (B). \ ،$

(نتیجه این امر این است که یک تابع افزودنی نمی تواند −∞ و + ∞ را به عنوان مقادیر بدست آورد ، زیرا عبارت ∞ - und تعریف نشده است.) °

با القای ریاضی می توان اثبات کرد که یک عملکرد افزودنی برآورده می کند

$\ mu \ چپ (\ bigcup _ {{n = 1}} ^ {N} A_ {n} \ راست) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} \ mu (A_ {n})$

برای هرچی $A_ {1} ، A_ {2} ، \ dots ، A_ {N}$ مجموعه های جدا از هم $\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ .

توابع مجموعه افزودنی σ [ ویرایش ]

فرض کنید که $\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ یک جبر است . اگر برای هر سکانس باشد $A_ {1} ، A_ {2} ، \ نقطه ، A_ {n} ، \ نقطه$ مجموعه های جدا از هم جدا $\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ ، یک نفر دارد

$\ mu \ left (\ bigcup _ {{n = 1}} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n} )$ ،

می گوییم μ بصورت قابل شمارش افزودنی یا σ-افزودنی است.
همانطور که در زیر نشان داده شده است ، هر عملکرد افزودنی σ افزودنی است اما برعکس نیست.

توابع مجموعه افزودنی τ [ ویرایش ]

فرض کنید علاوه بر جبر سیگما $\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ ، ما یک توپولوژی τ داریم. اگر برای هر خانواده هدایت شده ای از مجموعه های باز قابل اندازه گیری باشد

$\ scriptstyle {\ mathcal {G}}$ ⊆ $\ scriptstyle {\ mathcal {A}}$ ∩τ ، $\ mu \ left (\ bigcup {\ mathcal {G}} \ right) = \ sup _ {{G \ in {\ mathcal {G}}}} \ mu (G)$ ،

می گوییم که μ افزودنی τ است. به طور خاص ، اگر μ منظم درونی باشد (با توجه به مجموعه های جمع و جور) ، افزودنی τ است. [1]

خصوصیات [ ویرایش ]

خصوصیات اساسی [ ویرایش ]

خواص مفید یک عملکرد افزودنی μ شامل موارد زیر است:

یا μ (∅) = 0 است ، یا μ به همه مجموعه های دامنه خود ∞ اختصاص می دهد ، یا μ به همه مجموعه های دامنه خود −∞ اختصاص می دهد.
اگر μ غیر منفی و A ⊆ B باشد ، پس μ ( A ) μ ( B ) است.
اگر A ⊆ B و μ ( B ) - μ ( A ) تعریف شود ، سپس μ ( B \ A ) = μ ( B ) - μ ( A ).
با توجه به A و B ، μ ( A ∪ B ) + μ ( A ∩ B ) = μ ( A ) + μ ( B ).

مثالها [ ویرایش ]

نمونه ای از یک تابع σ-افزودنی μ تابع تعریف شده است مجموعه توانی از اعداد حقیقی ، به طوری که

$\ mu (A) = {\ start {cases} 1 & {\ mbox {if}} 0 \ in A \\ 0 & {\ mbox {if}} 0 \ notin A. \ end {موارد}}$

اگر $A_ {1} ، A_ {2} ، \ نقطه ، A_ {n} ، \ نقطه$ دنباله ای از مجموعه های جدا شده از اعداد واقعی است ، سپس یا هیچ یک از مجموعه ها حاوی 0 نیست ، یا دقیقاً یکی از آنها حاوی 0 نیست. در هر صورت ، برابری

$\ mu \ left (\ bigcup _ {{n = 1}} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n} )$

دارای.

برای مشاهده بیشتر توابع افزودنی σ به اندازه گیری و اندازه گیری امضا شده مراجعه کنید .

یک عملکرد افزودنی که σ-افزودنی نیست [ ویرایش ]

نمونه ای از یک تابع افزودنی که σ-افزودنی نیست با در نظر گرفتن μ بدست می آید ، تعریف شده بر روی مجموعه های Lebesgue از اعداد واقعی توسط فرمول

$\ mu (A) = \ lim _ {{k \ to \ infty}} {\ frac {1} {k}} \ cdot \ lambda \ left (A \ cap \ left (0، k \ right) \ right) ،$

که در آن λ نشان دهنده اندازه گیری Lebesgue و LIM حد باناخ .

با استفاده از خطی بودن حد می توان افزودنی بودن این عملکرد را بررسی کرد. که این تابع افزودنی σ نیست با در نظر گرفتن توالی مجموعه های جدا از هم دنبال می شود

$A_ {n} = \ چپ [n ، n + 1 \ راست]$

برای n = 0 ، 1 ، 2 ، ... اتحادیه این مجموعه ها واقعیات مثبت است و μ اعمال شده برای اتحادیه پس از آن یک است ، در حالی که μ برای هر یک از مجموعه های جداگانه صفر است ، بنابراین مجموع μ ( A n ) نیز صفر است ، که این مثال ضد را اثبات می کند.

تعمیم [ ویرایش ]

می توان توابع افزودنی را با مقادیر موجود در هر مونوئید افزودنی (به عنوان مثال هر گروه یا معمولاً یک فضای بردار ) تعریف کرد. برای افزودن سیگما ، علاوه بر این لازم است که مفهوم حد یک دنباله روی آن مجموعه تعریف شود. به عنوان مثال ، معیارهای طیفی توابع افزودنی سیگما با مقادیر موجود در جبر Banach هستند . مثال دیگر ، همچنین از مکانیک کوانتوم ، اندازه گیری مثبت عملگر است .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

این مقاله شامل مواد افزودنی در PlanetMath است که تحت مجوز Creative Commons Attribution / Share-Alike مجوز دارد .

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma_additivity

تابع اندازه پذیر

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و ششم شهریور ۱۳۹۹ | 8:50

در ریاضیات و به ویژه نظریه اندازه گیری ، یک تابع تابع اندازه پذیر از یک تابع بین مجموعه اساسی از دو فضاهای اندازه پذیر است: که حفظ ساختار فضاهای وارون هر اندازه پذیر مجموعه ای اندازه پذیراست. این کاملاً شبیه به این تعریف است که تابع پیوسته بین فضاهای توپولوژیکی ساختار توپولوژیک را حفظ می کند: پیش نمایش هر مجموعه باز باز است. درآنالیز حقیقی ، از توابع اندازه پذیر در تعریف انتگرال Lebesgue استفاده می شود . در نظریه احتمال، یک تابع اندازه پذیر در یک فضای احتمال به عنوان یک متغیر تصادفی شناخته می شود .

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X ، \ Sigma)$ و ${\ displaystyle (Y ، \ mathrm {T})}$ فضاهای اندازه پذیر باشند ، به این معنی که $ایکس$ و $بله$ مجموعه های مجهز به

$\ سیگما$ -جبر

$\ سیگما$ و $\ mathrm {T}$ هستند .یک $f: X \ به Y$ تابع اندازه پذیرگفته می شود اگر برای همه ${\ displaystyle \ forall E \ in \ mathrm {T}}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} (E): = \ {x \ in X | \؛ f (x) \ in E \} \ in \ Sigma.}$

به این معنا که، ${\ displaystyle \ sigma (f) \ subseteq \ Sigma}$ ، جایی که ${\ displaystyle \ sigma (f)}$ σ جبر تولید شده توسط f است . اگر $f: X \ به Y$ یک تابع اندازه پذیر است ، ما خواهیم نوشت

${\ displaystyle f \ colon (X ، \ Sigma) \ rightarrow (Y ، \ mathrm {T}).}$

برای تأکید بر وابستگی به $\ سیگما$ -جبر $\ سیگما$ و $\ mathrm {T}$ .

تغییرات مدت استفاده [ ویرایش ]

انتخاب از $\ سیگما$ -جبرها در تعریف بالا بعضی اوقات ضمنی است و به متن بستگی دارد. مثلاً برای ${\ mathbb R}$ ${{\ mathbb C}}$ ، یا سایر فضاهای توپولوژیکی ، جبر بورل (شامل تمام مجموعه های باز) یک انتخاب معمول است. برخی از نویسندگان توابع اندازه پذیر را با توجه به جبر بورل منحصراً با ارزش حقیقی تعریف می کنند . [1]

اگر مقادیر تابع در یک فضای برداری بی نهایت بعدی قرار داشته باشد ، تعریف های غیر معادل دیگری از اندازه گیری ، مانند اندازه گیری ضعیف و اندازه گیری بوچنر وجود دارد.

کلاسهای قابل توجهی از توابع قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

متغیرهای تصادفی براساس تعریف توابع اندازه پذیر هستند که در فضاهای احتمال تعریف می شوند.
اگر $(X ، \ Sigma)$ و ${\ displaystyle (Y ، T)}$ می فضاهای بورل ، یک تابع اندازه پذیر ${\ displaystyle f: (X، \ Sigma) \ به (Y، T)}$ یک تابع بورل نیز نامیده می شود . توابع پیوسته توابع بورل هستند اما همه توابع بورل پیوسته نیستند. با این حال ، یک تابع قابل اندازه گیری تقریباً یک تابع پیوستهاست. دیدن قضیه Luzin 'ثانیه . اگر یک تابع بورل بخشی از نقشه باشد ${\ displaystyle Y {\ xrightarrow {~ \ pi ~}} X}$ ، به آن بخش بورل گفته می شود .
یک عملکرد تابع اندازه پذیر لبگ یک عملکرد قابل اندازه پذیر است ${\ displaystyle f: (\ \ mathbb {R} ، {\ mathcal {L}}) \ به (\ mathbb {C} ، {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}})}$ ، که ${\ mathcal {L}}$ هست $\ سیگما$ جبر مجموعه های اندازه پذیر لبگ ، و ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}}$ است جبر بورل در اعداد مختلط $\ mathbb {C}$ . توابع اندازه پذیر لبگ در تحلیل ریاضی مورد توجه هستند زیرا می توانند یکپارچه شوند. در مورد
$f: X \ به \ mathbb {R}$ ، $f$ اگر لبگ اندازه پذیرباشد ، $\ {f> \ alpha \} = \ {x \ in X: f (x)> \ alpha \}$ برای همه ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ اندازه پذیر است . این نیز معادل هر یک از است $\ {f \ geq \ alpha \} ، \ {f <\ alpha \} ، \ {f \ leq \ alpha \}$ اندازه پذیر برای همه $آلفا$ است، پیش نمایش هر مجموعه باز قابل اندازه گیری است. توابع پیوسته ، توابع یکنواخت ، توابع پله ای، توابع نیمه پیوسته ، توابع قابل تلفیق با ریمان و توابع تغییر محدود ، همگی از نظر لبگ اندازه پذیر هستند. [2] یک عملکرد $f: X \ به {\ mathbb {C}}$ اگر قسمتهای حقیقی و موهومی اندازه پذیر باشند اندازه پذیر است.

خصوصیات توابع قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

حاصل جمع از دوتابع اندازه پذیر با ارزش پیچیده تابع اندازه پذیر است. [3] همینطور ضرب، به شرطی که تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد ، تقسیم هم اندازه پذیر است. [1]
اگر ${\ displaystyle f: (X، \ Sigma _ {1}) \ to (Y، \ Sigma _ {2})}$ و ${\ displaystyle g: (Y، \ Sigma _ {2}) \ to (Z، \ Sigma _ {3})}$ توابعاندازه پذیر هستند ، بنابراین ترکیب آنها نیز چنین است ${\ displaystyle g \ circ f: (X، \ Sigma _ {1}) \ to (Z، \ Sigma _ {3})}$ . [1]
اگر ${\ displaystyle f: (X، \ Sigma _ {1}) \ to (Y، \ Sigma _ {2})}$ و ${\ displaystyle g: (Y، \ Sigma _ {3}) \ to (Z، \ Sigma _ {4})}$ توابع اندازه پذیر ، ترکیب آنها است ${\ displaystyle g \ circ f: X \ to Z}$ نیازی نیست ${\ displaystyle (\ Sigma _ {1} ، \ Sigma _ {4})}$ اندازه پذیر است مگر اینکه ${\ displaystyle \ Sigma _ {3} \ subseteq \ Sigma _ {2}}$ . در واقع ، دو عملکرد اندازه پذیر لبگ ممکن است به گونه ای ساخته شود که ترکیب آنها را غیراندازه پذیر لبگ کند.
(در نقطه به نقطه) سوپریمم ، infimum ، برتری حدی ، و حد تحتانی از یک توالی (یعنی، شمارایند بسیاری از) اندازه گیری از توابع حقیقی همه قابل اندازه گیری نیز هست. [1] [4]
نقطه به نقطه حد دنباله از توابع اندازه پذیر ${\ displaystyle f_ {n}: X \ به Y}$ اندازه پذیر است ، که $بله$ یک فضای متریک است (دارای جبر بورل است). این به طور کلی درست نیست اگر $بله$ غیر اندازه پذیر است. توجه داشته باشید که دستور مربوطه برای توابع مداوم به شرایط قوی تر از همگرایی نقطه ای مانند همگرایی یکنواخت نیاز دارد. [5] [6]

توابع غیر قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

توابع با ارزش حقیقی در برنامه ها اندازه پذیر هستند. با این حال ، یافتن توابع غیر اندازه پذیردشوار نیست.

در هر فضای اندازه پذیر $(X ، \ Sigma)$ با یک مجموعه غیر اندازه پذیر $A \ زیرمجموعه X$ ، ${\ displaystyle A \ notin \ Sigma}$ ، می توان یک تابع شاخص غیر اندازه پذیر ساخت :

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} :( X ، \ Sigma) \ به \ mathbb {R} ، \ quad \ mathbf {1} _ {A} (x) = {\ شروع {موارد} 1 و { \ text {if}} x \ در A \\ 0 & {\ text {در غیر این صورت}} ، \ end {موارد}}}$

جایی که $\ mathbb {R}$ مجهز به جبر معمول بورل است . این یک تابع غیر اندازه پذیر از زمان پیش مجموعه مجموعه اندازه پذیر است $\ {1 \}$ غیرقابل اندازه گیری است $آ$ .

به عنوان مثال دیگر ، هر تابع غیر ثابت $f: X \ به \ mathbb {R}$ با توجه به چیزهای بی اهمیت اندازه پذیر نیست $\ سیگما$ -جبر ${\ displaystyle \ Sigma = \ {\ emptyset، X \}}$ ، از آنجا که پیش نمایش هر نقطه در محدوده زیرمجموعه مناسب و غیر خالی از است $ایکس$ ، که عنصری از چیزهای بی اهمیت نیست $\ سیگما$ .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

فضاهای برداری توابع اندازه پذیر: $L ^ {p}$ فضاها
سیستم دینامیکی با اندازه گیری

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_function

ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 9:8

σ-جبر تولید شده توسط مجموعه های استوانه [ ویرایش ]

فرض کنید

${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}} = \ {f: f {\ text {تابعی از}} \ mathbb {T} {\ text {به}} \ mathbb { R} \}}$

مجموعه ای از توابع با ارزش حقیقی در است $\ mathbb {T}$ . اجازه دهید ${\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})$ زیر مجموعه های Borel از R را نشان می دهد . برای هر ${\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}$ و ${\ displaystyle \ {B_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ یک زیر مجموعه سیلندر از X یک مجموعه کاملاً محدود است که به صورت تعریف شده است

$C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = \ {f \ در X: f (t_ {i}) \ در B_ {i} ، 1 \ leq i \ leq n \}.$

برای هر ${\ displaystyle \ {t_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ زیرمجموعه \ mathbb {T}}$ ،

$\ {C_ {t_ {1} ، \ نقطه ، t_ {n}} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R }) ، 1 \ leq i \ leq n \}$

یک π است که یک جبر σ تولید می کند

$\ textstyle \ Sigma _ {t_ {1} ، \ dots ، t_ {n}}$ . سپس خانواده زیر مجموعه ها

${\ mathcal {F}} _ {X} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {t_ {i} \ in \ mathbb {T}، i \ leq n} \ Sigma _ {{ t_ {1} ، \ نقاط ، t_ {n}}$

جبری است که استوانه σ-جبر را برای X تولید می کند . این σ جبر است subalgebra از بورل σ جبر تعیین شده توسط توپولوژی کالا از

$\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ محدود به X .

یک مورد خاص مهم این است که چه زمانی $\ mathbb {T}$ مجموعه اعداد طبیعی است و X مجموعه ای از توالی های با ارزش حقیقی است. در این حالت ، کافی است مجموعه های سیلندر را در نظر بگیریم

$C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}) = (B_ {1} \ بار \ cdots \ بار B_ {n} \ بار \ mathbb {R} ^ {\ نامعتبر}) \ cap X = \ {(x_ {1} ، x_ {2} ، \ نقطه ، x_ {n} ، x_ {n + 1} ، \ نقطه) \ در X: x_ {i} \ در B_ {i} ، 1 \ leq من \ leq n \} ،$

برای کدام

$\ سیگما _ {n} = \ سیگما (\ {C_ {n} (B_ {1} ، \ نقطه ، B_ {n}): B_ {i} \ در {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ) ، 1 \ leq i \ leq n \})$

یک دنباله غیر کاهنده σ-جبری است.

σ-جبر تولید شده توسط متغیر تصادفی یا بردار [ ویرایش ]

فرض کنید $(\ امگا ، \ سیگما ، \ mathbb {P})$ یک فضای احتمال است . اگر $\ textstyle Y: \ امگا \ به \ mathbb {R} ^ {n}$ با توجه به جبر بورل در R n قابل اندازه گیری است و سپس Y را یک متغیر تصادفی ( 1 = n ) یا بردار تصادفی ( n > 1) می نامیم . σ -جبر تولید شده توسط Y است

$\ sigma (Y) = \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) \}.$

σ-جبر تولید شده توسط یک فرآیند تصادفی [ ویرایش ]

فرض کنید $(\ امگا ، \ سیگما ، \ mathbb {P})$ یک فضای احتمال است و $\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ مجموعه توابع با ارزش حقیقی در $\ mathbb {T}$ است . اگر $\ textstyle Y: \ امگا \ به X \ زیرمجموعه \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {T}}$ با توجه به استوانه σ جبر قابل اندازه گیری است $\ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X})$ (به بالا مراجعه کنید) برای X ، سپس Y یک فرآیند تصادفی یا یک فرآیند تصادفی نامیده می شود . σ -جبر تولید شده توسط Y است

$\ sigma (Y) = \ left \ {Y ^ {- 1} (A): A \ in \ sigma ({\ mathcal {F}} _ {X}) \ right \} = \ sigma (\ {Y ^ {-1} (A): A \ in {\ mathcal {F}} _ {X} \}) ،$

جبر σ تولید شده توسط تصاویر معکوس مجموعه های استوانه.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 9:5

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید X مقداری تنظیم شود و بگذارید ${\ mathcal {P}} (X)$ مجموعه قدرت آن را نشان می دهد . سپس یک زیر مجموعه ${\ displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$ در صورتی که سه ویژگی زیر را برآورده کند ، σ -جبر نامیده می شود : [3]

X در Σ است ، و X به عنوان مجموعه جهانی در زمینه زیر در نظر گرفته می شود .
Σ تحت مکمل بسته می شود : اگر A در Σ باشد ، مکمل آن نیز X \ A است .
Σ تحت اتحادیه های قابل شمارش بسته است : اگر A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... در Σ باشد ، A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ in نیز است .

از این ویژگی ها ، نتیجه می شود که σ -جبر نیز در تقاطع های قابل شمارش بسته می شود (با اعمال قوانین دی مورگان ).

همچنین نتیجه می شود که مجموعه خالی in در Σ است ، زیرا توسط (1) X در Σ است و (2) ادعا می کند که مکمل آن ، مجموعه خالی نیز در Σ است. علاوه بر این ، از آنجا که { X ، ∅ } شرایط (3) را نیز برآورده می کند ، از این رو نتیجه می شود که { X ، ∅ } کوچکترین σ-جبر ممکن در X است . بزرگترین σ-جبر ممکن در X 2 X است : ${\ mathcal {P}} (X)$ .

عناصر جبر σ را مجموعه قابل اندازه گیری می نامند . یک جفت مرتب ( X ، Σ) ، که در آن X یک مجموعه است و Σ یک σ -جبر بیش از X است ، یک فضای قابل اندازه گیری نامیده می شود . اگر پیش اندازه هر مجموعه قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری باشد ، به یک تابع بین دو فضای قابل اندازه گیری یک تابع قابل اندازه گیری گفته می شود. مجموعه فضاهای قابل اندازه گیری ، دسته ای را تشکیل می دهد که توابع قابل اندازه گیری را به صورت مورفیزم در می آورد . اقدامات به عنوان انواع خاصی از توابع از σ تعریف می شوند-جبر به [0 ،].

جبر σ هم یک سیستم π است و هم یک سیستم Dynkin ( سیستم λ). مکالمه نیز با قضیه دینکین درست است (در زیر).

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

این قضیه (یا قضیه کلاس یکنواخت مرتبط ) ابزاری اساسی برای اثبات بسیاری از نتایج در مورد خواص جبرهای خاص σ است. این از ماهیت دو کلاس ساده مجموعه ، یعنی زیر استفاده می کند.

π-سیستم P مجموعه ای از زیر مجموعه های X است که تحت finitely بسیاری از تقاطع بسته است، و

سیستم Dynkin (یا λ سیستم) D مجموعه ای از زیر مجموعه های X که شامل X و تحت مکمل و تحت اتحادیه شمارا از بسته است متلاشی شدن زیر مجموعه.

قضیه π-λ Dynkin می گوید ، اگر P یک سیستم π است و D یک سیستم Dynkin است که حاوی P است ، جبر σ σ ( P ) تولید شده توسط P در D موجود است . از آنجا که برخی از سیستم های π کلاسهای نسبتاً ساده ای هستند ، ممکن است سخت باشد که همه مجموعه های P از ویژگی مورد نظر لذت ببرند در حالی که از طرف دیگر ، نشان می دهد مجموعه D از همه زیر مجموعه های این ویژگی یک سیستم Dynkin است همچنین سرراست باشید قضیه π-λ Dynkin نشان می دهد که همه مجموعه های σ ( P ) از ویژگی برخوردار هستند ، و از انجام وظیفه بررسی آن برای یک مجموعه دلخواه در σ ( P)

یکی از اساسی ترین کاربردهای قضیه π-λ نشان دادن برابری معیارها یا انتگرال های جداگانه تعریف شده است. به عنوان مثال ، برای معادل سازی احتمال یک متغیر تصادفی X با انتگرال Lebesgue-Stieltjes که معمولاً با محاسبه احتمال مرتبط است ، استفاده می شود:

$\ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {A} \، F (dx)$ برای همه A در جبر بورل در R ،

جایی که F ( x ) تابع توزیع تجمعی برای X است ، تعریف شده بر روی R ، در حالی که $\ mathbb {P}$ یک اندازه گیری احتمال است که در یک σ -جبراز زیر مجموعه های برخی از فضای نمونه Ω تعریف شده است.

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

فرض کنید $\ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}$ مجموعه ای از جبرهای σ بر روی فضای X است .

تقاطع مجموعه ای از σ -جبرها یک جبر است. برای تأکید بر شخصیت آن به عنوان σ -جبر ، اغلب با این مشخص می شود: $\ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.$

طرح اثبات: بگذارید Σ ∗ تقاطع را نشان دهد. از آنجا که X در هر Σ α است ، Σ ∗ خالی نیست. بسته شدن در زیر اتحادیه های مکمل و قابل شمارش برای هر Σ α بیانگر این است که برای Σ ∗ نیز باید همین امر صادق باشد . بنابراین، Σ * σ-جبر است.

اتحادیه مجموعه ای از جبرها به طور کلی یک σ -جبر ، یا حتی یک جبر نیست ، اما یک σ -جبر تولید می کند که به عنوان پیوند شناخته می شود و به طور معمول مشخص می شود

$\ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).$

یک سیستم π که اتصال را ایجاد می کند

${\ mathcal {P}} = \ چپ \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ در \ Sigma _ {\ alpha _ {i}} ، \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}} ، \ n \ geq 1 \ right \}.$

طرح اثبات: با توجه به مورد n = 1 ، مشاهده می شود که هر یک $\ Sigma _ {\ alpha} \ زیرمجموعه {\ mathcal {P}}$ ، بنابراین

$\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ subset {\ mathcal {P}}.$

این دلالت می کنه که

$\ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست) \ زیرمجموعه \ sigma ({\ mathcal {P}})$

با تعریف جبر σ تولید شده توسط مجموعه ای از زیر مجموعه ها. از سوی دیگر،

${\ mathcal {P}} \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست)$

که با قضیه π-λ دینکین بر آن دلالت دارد

$\ sigma ({\ mathcal {P}}) \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست)$

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

فرض کنید Y یک زیرمجموعه از X است و اجازه دهید ( X ، Σ) یک فضای قابل اندازه گیری باشد.

مجموعه { Y ∩ B : B ∈ Σ} یک σ -جبر از زیر مجموعه های Y است .
فرض کنید ( Y ، Λ) یک فضای قابل اندازه گیری است. مجموعه { A ⊂ X : A ∩ Y ∈ Λ} یک σ -جبر از زیر مجموعه های X است .

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

σ جبر Σ فقط یک σ حلقه که شامل مجموعه جهانی X . [4] σ نیاز حلقه نمی شود یک σ جبر، به عنوان مثال زیر مجموعه های قابل اندازه گیری از صفر اندازه گیری Lebesgue در خط واقعی یک σ حلقه، اما نه یک σ جبر از خط واقعی است اندازه گیری بی نهایت و در نتیجه نمی تواند توسط اتحادیه قابل شمارش آنها حاصل شود. اگر به جای اندازه صفر ، زیرمجموعه قابل اندازه گیری از اندازه محدود Lebesgue گرفته شود ، اینها یک حلقه هستند اما یک σ حلقه نیستند ، زیرا خط واقعی را می توان توسط اتحادیه قابل شمارش آنها بدست آورد ، اما اندازه آن محدود نیست.

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

σ - جبرها گاهی اوقات با استفاده از حروف بزرگ خط ، یا حروف چاپی Fraktur نشان داده می شوند . بنابراین ( X ، Σ) ممکن است به عنوان نشان داده شود $\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathcal {F}})$ یا

$\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathfrak {F}})$ .

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

یک جبر (یا میدان جداکننده σ ) قابل تفکیک یک جبر σ است ${\ mathcal {F}}$ این یک فضای قابل تفکیک است که به عنوان یک فضای متریک با متریک در نظر گرفته شود

${\ displaystyle \ rho (A، B) = \ mu (A {\ mathbin {\ مثلث}} B)}$ برای ${\ displaystyle A ، B \ in {\ mathcal {F}}}$ و یک معیار مشخص $\ mu$ (و با $\مثلث$ بودن تفاوت متقارن اپراتور). [5] توجه داشته باشید که هر

σ -جبر تولید شده توسط یک مجموعه قابل شمارش از مجموعه ها قابل تفکیک است ، اما برعکس لازم نیست. به عنوان مثال ، جبر Lebesgue قابل تفکیک است (از آنجا که هر مجموعه قابل اندازه گیری Lebesgue معادل برخی از مجموعه های Borel است) اما به طور قابل شمارش تولید نمی شود (از آنجا که اصالت آن بالاتر از پیوستار است).

یک فضای اندازه گیری قابل تفکیک دارای یک شبه سنجی طبیعی است که آن را به عنوان یک فضای شبه سنجی قابل تفکیک می کند . فاصله بین دو مجموعه به عنوان اندازه گیری اختلاف متقارن دو مجموعه تعریف شده است. توجه داشته باشید که اختلاف متقارن دو مجموعه مجزا می تواند اندازه صفر داشته باشد. بنابراین لازم نیست که شبه سنجی همانطور که در بالا تعریف شد ، یک معیار واقعی باشد. با این وجود ، اگر مجموعه هایی که اختلاف متقارن آنها دارای اندازه صفر است ، در یک کلاس معادل واحد شناسایی شوند ، می توان با استفاده از متریک القایی ، مجموعه ضریب حاصل را به درستی اندازه گیری کرد. اگر فضای اندازه گیری قابل تفکیک باشد ، می توان نشان داد که فضای متریک مربوطه نیز هست.

مثالهای ساده مبتنی بر مجموعه [ ویرایش ]

بگذارید X هر مجموعه ای باشد.

خانواده فقط متشکل از مجموعه خالی و مجموعه X است که جبر حداقل یا بی اهمیت σ بیش از X نامیده می شود .
مجموعه توانی از X ، به نام گسسته σ جبر .
مجموعه {∅ ، A ، A c ، X } یک جبر σ ساده است که توسط زیر مجموعه A تولید می شود .
مجموعه ای از زیرمجموعه های X که قابل شمارش هستند یا مکمل های آنها قابل شمارش هستند ، یک جبر σ (که از مجموعه قدرت X متمایز است در صورتی که X فقط غیر قابل شمارش باشد). این σ جبر تولید شده توسط است تک از X . توجه: "قابل شمارش" شامل متناهی یا خالی است.
مجموعه ای از تمام اتحادیه های مجموعه در یک شمارا پارتیشن از X σ-جبر است.

توقف زمان σ-جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: Σ-جبر τ-گذشته

یک زمان توقف $\ تاو$ می تواند تعریف کند $\ سیگما$ -جبر ${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ ، به اصطلاحσ -جبر τ-گذشته ، که در یک فضای احتمال فیلتر شده اطلاعات را تا زمان تصادفی توصیف می کند $\ تاو$ به این معنا که ، اگر فضای احتمال فیلتر شده به عنوان یک آزمایش تصادفی تفسیر شود ، حداکثر اطلاعاتی که می توان در مورد آزمایش پیدا کرد ، به طور خودسرانه اغلب تکرار آن تا زمان

$\ تاو$ است

${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ . [6]

σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

بگذارید F یک خانواده دلخواه از زیرمجموعه های X باشد. کوچکترین جبر منحصر به فرد وجود دارد که شامل هر مجموعه در F است (حتی اگر F ممکن است یک

σ -جبر باشد یا نباشد). در واقع محل تقاطع تمام σ-جبری های حاوی F است . (تقاطع های جبرهای σ را در بالا مشاهده کنید.) این σ -جبر نشان داده می شود

(σ ( F و جبر σ تولید شده توسط F نامیده می شود .

سپس( σ ( Fاز تمام زیرمجموعه های X تشکیل شده است که می تواند از طریق عناصر F با تعداد قابل شماری از عملیات مکمل ، اتحاد و تقاطع ساخته شود. اگر F خالی باشد ، پس

σ ( F ) = { X ، ∅ }

، زیرا یک اتحادیه و تقاطع خالی به ترتیب مجموعه خالی و مجموعه جهانی را تولید می کند.

برای یک مثال ساده ، مجموعه{ X = {1، 2، 3 را در نظر بگیرید. سپس جبر σ تولید شده توسط زیرمجموعه واحد

{{ σ ({{1}}) = {∅ ، {1} ، {2 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3 است . با سو abuse استفاده از علامت گذاری ، هنگامی که مجموعه ای از زیرمجموعه ها فقط یک عنصر دارند ، A ، اگر مشخص باشد که A زیر مجموعه X است ، می توان({σ ({ A به جای ( σ ( A نوشت . در مثال قبلی ({σ ({1 به جای ({σ ({{1 1. در واقع ، استفاده از (σ ( A 1 ، A 2 ، ...به معنای ({σ ({ A 1 ، A 2 ، ...همچنین کاملاً رایج است.

خانواده های زیادی از زیرمجموعه ها وجود دارند که جبرهای σ مفید تولید می کنند. برخی از این موارد در اینجا ارائه شده است.

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

اگر f تابعی از مجموعه X به مجموعه Y است و B جبر σ از زیر مجموعه Y است ، جبر σ تولید شده توسط تابع f ، (اσ ( f مشخص می شود ، مجموعه تمام تصاویر معکوس است ج -1 ( S ) از مجموعه S در B . یعنی

$\ sigma (f) = \ {f ^ {- 1} (S) \ ، | \ ، S \ in B \}.$

یک تابع f از یک مجموعه X به یک مجموعه Y با توجه به یک جبر σ از زیر مجموعه های X قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر( σ ( f زیر مجموعه Σ باشد.

یک وضعیت مشترک، و درک به طور پیش فرض اگر B است به صراحت مشخص نشده است، هنگامی که Y است متریک و یا فضای توپولوژیک و B مجموعه ای از است مجموعه بورل در Y .

اگر f تابعی از X به R n باشد ، σ ( f ) توسط خانواده زیر مجموعه هایی تولید می شود که تصاویر معکوس فواصل / مستطیل ها در R n هستند :

$\ sigma (f) = \ sigma \ چپ (\ {f ^ {- 1} ((a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار (a_ {n} ، b_ {n}])): a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \} \ سمت راست).$

یک ویژگی مفید موارد زیر است. فرض کنید f یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( S ، Σ S ) و g یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( T ، Σ T ) است. اگر یک نقشه قابل اندازه گیری h از ( T ، Σ T ) تا ( S ، Σ S ) وجود داشته باشد به طوری که ((f ( x ) = h ( g ( x برای تمام x ، سپس σ ( f ) ⊂ σ ( g) اگر S محدود یا قابل شمارش نامحدود باشد یا به طور کلی ، ( S ، Σ S ) یک فضای استاندارد بورل است (به عنوان مثال ، یک فضای متریک کامل قابل تفکیک با مجموعه های Borel مرتبط با آن) ، مکالمه نیز صادق است. [7] نمونه هایی از فضاهای استاندارد بورل شامل R N با مجموعه بورل و R ∞ با سیلندر σ جبر شرح زیر است.

بورل و Lebesgue σ-جبری [ ویرایش ]

یک مثال مهم جبر بورل بر روی هر فضای توپولوژیکی است : جبر σ تولید شده توسط مجموعه های باز (یا به طور معادل ، توسط مجموعه های بسته ). توجه داشته باشید که این جبر σ به طور کلی ، کل مجموعه توان نیست. برای یک مثال غیر پیش پا افتاده که مجموعه Borel نیست ، به مجموعه های Vitali یا Non-Borel مراجعه کنید .

در فضای اقلیدسی R N ، یکی دیگر از σ جبر از اهمیت: که از همه اندازه گیری لبسگو مجموعه. این جبر σ شامل مجموعه های بیشتری از جبر بورل در R n است و در تئوری ادغام ترجیح داده می شود ، زیرا فضای اندازه گیری کاملی را می دهد .

ضرب σ-جبر [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X_ {1} ، \ Sigma _ {1})$ و $(X_ {2} ، \ Sigma _ {2})$ دو فضای قابل اندازه گیری باشد. جبر σ برای فضای ضرب مربوطه $X_ {1} \ بار X_ {2}$ ضرب جبری نامیده می شود و توسط آن تعریف می شود

$\ Sigma _ {1} \ times \ Sigma _ {2} = \ sigma (\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}، B_ {2} \ in \ سیگما _ {2} \}).$

رعایت کنید $\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ در \ Sigma _ {1} ، B_ {2} \ در \ Sigma _ {2} \}$ یک سیستم π است

جبر بورل برای R n توسط مستطیل های نیمه نامحدود و توسط مستطیل های محدود تولید می شود. مثلا،

${\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ sigma \ سمت چپ (\ چپ \ {(- \ ضعیف ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ زمان (- \ ضعیف ، b_) {n}]: b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right) = \ sigma \ چپ (\ چپ \ {(a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار) (a_ {n} ، b_ {n}]: a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right).$

برای هر یک از این دو مثال ، خانواده مولد یک سیستم π است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 8:53

برای ساختار جبری پذیرفتن یک امضای داده شده از عملیات Σ ، جبر جهانی را ببینید .

در تجزیه و تحلیل ریاضی و در نظریه احتمال ، یک σ جبر (همچنین σ میدان ) در یک مجموعه X Σ مجموعه ای از زیر مجموعه های از X است که شامل X خود را، بسته تحت مکمل ، و تحت بسته است قابل شمارش اتحادیه .

این تعریف حاکی از آن است که این زیرمجموعه خالی را نیز شامل می شود و در تقاطع های قابل شمارش بسته است .

جفت ( X ، Σ) را فضای قابل اندازه گیری یا فضای بورل می نامند .

جبر σ یک نوع جبر مجموعه است . جبر و مقابله از مجموعه نیاز دارد، تنها به بسته می شود تحت اتحادیه و یا تقاطع از متناهی بسیاری از زیر مجموعه، یک شرط ضعیف تر است. [1]

استفاده اصلی از جبرها در تعریف اقدامات است . به طور خاص ، مجموعه آن دسته از زیرمجموعه هایی که معیار مشخصی برای آنها تعریف شده است ، الزاماً یک جبر σ است. این مفهوم در تحلیل ریاضی به عنوان پایه و اساس ادغام Lebesgue و در نظریه احتمال ، که در آن به عنوان مجموعه رویدادهایی که می توان احتمالات را به آنها اختصاص داد ، تفسیر می شود. همچنین ، به احتمال زیاد ، σ-جبری ها در تعریف انتظار مشروط محوری هستند .

در آمار ، σ -جبرها (ج) برای تعریف ریاضی رسمی یک آمار کافی مورد نیاز است ، [2] به ویژه هنگامی که آماری یک تابع یا یک فرایند تصادفی است و مفهوم چگالی شرطی قابل استفاده نیست.

اگر {X = { a ، b ، c ، d ، یکσ -جبر در X ممکن است {{Σ = {∅ ، { a ، b } ، { c ، d } ، { a ، b ، c ، d باشد ، که ∅ مجموعه تهی است . به طور کلی ، یک جبر محدود همیشه یک σ -جبر است.

اگر { A 1 ، A 2 ، A 3 ،…} یک پارتیشن قابل شمارش از X باشد ، مجموعه تمام اتحادیه های مجموعه در پارتیشن (از جمله مجموعه خالی) یک σ -جبر است.

یک مثال مفیدتر مجموعه زیرمجموعه های خط واقعی است که با شروع با تمام بازه های زمانی باز و اضافه کردن در همه اتحادیه های قابل شمارش ، تقاطع های قابل شمارش و مکمل های نسبی و ادامه این روند (با تکرار نامحدود از طریق تمام دستورالعمل های قابل شمارش ) تا زمان بسته شدن مربوطه خواص به دست می آیند σ -جبر تولید شده توسط این فرآیند به عنوان جبر بورل در خط واقعی شناخته می شود ، و همچنین می تواند به عنوان کوچکترین (به عنوان "درشت ترین") σ جبر که تمام مجموعه های باز را شامل می شود ، یا به طور معادل شامل همه مجموعه های بسته اندازه گیری نظریه و بنابراین نظریه احتمال مدرن اساسی است، و یک ساختار مرتبط معروف به سلسله مراتب بورل با تئوری مجموعه توصیفی ارتباط دارد.

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

حداقل سه محرک اصلی برای σ-جبر وجود دارد: تعریف اقدامات ، دستکاری محدودیت مجموعه ها و مدیریت اطلاعات جزئی که با مجموعه مشخص می شوند.

اندازه گیری [ ویرایش ]

اندازه گیری در X است تابع است که یک غیر منفی عدد حقیقی به زیر مجموعه های X ؛ می توان تصور کرد که این مفهوم دقیق "اندازه" یا "حجم" برای مجموعه ها است. ما می خواهیم اندازه اتحادیه مجموعه های جدا از هم جمع اندازه های جداگانه آنها باشد ، حتی برای یک توالی نامحدود از مجموعه های جدا از هم .

یکی می خواهد به هر زیرمجموعه X یک اندازه اختصاص دهد ، اما در بسیاری از تنظیمات طبیعی ، این امکان وجود ندارد. به عنوان مثال ، بدیهی انتخاب به این معنی است که ، هنگامی که اندازه در نظر گرفته شده مفهوم عادی طول برای زیرمجموعه های خط واقعی است ، مجموعه هایی وجود دارند که هیچ اندازه ای برای آنها وجود ندارد ، به عنوان مثال مجموعه های ویتالی . به همین دلیل ، در عوض مجموعه کوچکتری از زیر مجموعه های ممتاز X در نظر گرفته می شود. این زیر مجموعه ها را مجموعه های قابل اندازه گیری می نامند. آنها تحت عملیاتی بسته می شوند که انتظار می رود مجموعه های قابل اندازه گیری باشد. یعنی مکمل مجموعه قابل اندازه گیری مجموعه ای قابل اندازه گیری است و اتحادیه قابل شمارش مجموعه های قابل اندازه گیری مجموعه ای قابل اندازه گیری است. مجموعه های غیرخالی مجموعه هایی که دارای این خصوصیات هستند ، جبری ها σ نامیده می شوند.

محدودیت های مجموعه [ ویرایش ]

بسیاری از کاربردهای اندازه گیری ، مانند مفهوم احتمال همگرایی تقریباً مطمئن ، شامل محدودیت توالی مجموعه ها است . برای این امر ، تعطیلی در اتحادیه های قابل شمارش و تقاطع ها از اهمیت بالاتری برخوردار است. محدودیتهای تعیین شده به شرح زیر در σ -جبر تعریف می شود.

برتری حد یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

حد حداقل یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

اگر ، در واقع ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}،}$

سپس $\ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}$ به عنوان مجموعه مشترک وجود دارد.

زیر جبری [ ویرایش ]

به احتمال زیاد ، به ویژه هنگامی که انتظار مشروط در میان باشد ، یکی مربوط به مجموعه هایی است که فقط بخشی از تمام اطلاعات ممکن را که می توانند مشاهده شوند ، نشان می دهند. این اطلاعات جزئی را می توان با σ -جبرکوچکتر توصیف کرد که زیر مجموعه اصلی جبر اصلی است. این شامل مجموعه زیرمجموعه هایی است که فقط مربوط به اطلاعات جزئی هستند و فقط توسط آنها تعیین می شود. یک مثال ساده برای نشان دادن این ایده کافی است.

تصور کنید شما و شخص دیگر در حال شرط بندی در یک بازی هستید که شامل ورق زدن مکرر یک سکه و مشاهده اینکه آیا سرها ( H ) یا دمها ( T ) بالا می آید ، هستید . از آنجایی که شما و حریفتان بی نهایت ثروتمند هستید ، مدت دوام بازی محدودیتی ندارد. این بدان معنی است که فضای نمونه Ω باید از تمام توالی های بی نهایت H یا T تشکیل شده باشد :

${\ displaystyle \ Omega = \ {H، T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}، x_ {2}، x_ {3}، \ dots): x_ {i} \ in \ {H ، T \} ، من \ geq 1 \}.}$

با این حال ، ممکن است بخواهید بعد از n تلنگر سکه ، استراتژی شرط بندی خود را پیش از تلنگر بعدی تعیین یا اصلاح کنید. اطلاعات مشاهده شده در آن نقطه می تواند در شرایط از 2 شرح N احتمالات را برای اولین N پایین بپرد. به طور رسمی ، از آنجا که شما نیاز دارید از زیر مجموعه های Ω استفاده کنید ، این به عنوان σ -جبررمزگذاری می شود

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H، T \} ^ {\ infty}: A \ subset \ {H، T \} ^ {n} \}. }$

پس آن را مشاهده کنید

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {2} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {3} \ زیرمجموعه \ cdots \ زیرمجموعه {\ mathcal { G}} _ {\ ناکافی} ،}$

جایی که ${\ mathcal {G}} _ {\ نامعتبر}$ کوچکترین σ -جبر است که شامل تمام موارد دیگر است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

ادامه اندازه یک مجموعه

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 8:4

خصوصیات اساسی [ ویرایش ]

بگذارید μ یک معیار باشد.

یکنواختی [ ویرایش ]

اگر E 1 و E 2 مجموعه قابل اندازه گیری با E 1 ⊆ E 2 پس از آن

$\ mu (E_ {1}) \ leq \ mu (E_ {2}).$

اندازه گیری اتحادیه ها و تقاطع های قابل شمارش [ ویرایش ]

حساسیت فرعی [ ویرایش ]

برای هر دنباله قابل شمارش E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه (و لزوما جدا از هم نیست) قابل اندازه گیری E n در Σ:

$\ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {i}).$

تداوم از پایین [ ویرایش ]

اگر E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه های قابل اندازه گیری هستند و ${\ displaystyle E_ {n} \ subseteq E_ {n + 1}،}$ برای همه n ، پس اتحاد مجموعه های E n قابل اندازه گیری است ، و

$\ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to \ infty} \ mu (E_ {i}).$

تداوم از بالا [ ویرایش ]

اگر E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه های قابل اندازه گیری هستند و برای همه ${\ displaystyle E_ {n + 1} \ subseteq E_ {n}،}$ سپس تقاطع مجموعه های E n قابل اندازه گیری است. بعلاوه ، اگر حداقل یکی از E n دارای اندازه محدود باشد ، پس

$\ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to \ infty} \ mu (E_ {i}).$

این ویژگی بدون فرض اینکه حداقل یکی از E n دارای اندازه محدود باشد نادرست است . به عنوان مثال ، برای هر n ∈ N ، بگذارید E n = [ n ، ∞) ⊂ R ، که همه اندازه بی نهایت Lebesgue دارند ، اما تقاطع خالی است.

اقدامات محدود سیگما [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری محدود سیگما

فضای اندازه گیری ( X ، Σ، μ ) نامیده می شود محدود اگر (μ ( X یک عدد حقیقی محدود (به جای ∞) است. معیارهای محدود غیر صفر مشابه معیارهای احتمال هستند به این معنا که هر اندازه محدود μ با اندازه گیری احتمال متناسب است ${\ frac {1} {\ mu (X)}} \ mu$ . اندازه گیری μ است که به نام σ-محدود اگر X را می توان به یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه قابل اندازه گیری اندازه گیری محدود تجزیه می شود. همین قیاس، مجموعه ای در یک فضای اندازه است گفت: به یک اندازه گیری σ-محدود اگر آن را یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه با اندازه گیری محدود است.

به عنوان مثال ، اعداد واقعی با اندازه گیری استاندارد Lebesgue σ محدود هستند اما محدود نیستند. فواصل بسته [ k ، k +1] را برای تمام عدد صحیح k در نظر بگیرید . تعداد فواصل بسیار زیادی وجود دارد که هر کدام دارای اندازه 1 هستند و اتحادیه آنها کل خط واقعی است. متناوباً ، اعداد واقعی را با معیار شمارش در نظر بگیرید، که به هر مجموعه متناهی از تعداد واقعی نقاط تنظیم می شود. این فضای اندازه گیری σ محدود نیست ، زیرا هر مجموعه ای با اندازه گیری محدود فقط دارای بسیاری از نقاط است و برای پوشش دادن کل خط واقعی تعداد زیادی از این مجموعه ها به طول می انجامد. فضاهای اندازه گیری محدود σ دارای ویژگی های بسیار مناسبی هستند. σ-محدود بودن را می توان از این لحاظ با ویژگی Lindelöf فضاهای توپولوژیکی مقایسه کرد. همچنین می توان آنها را به عنوان یک تعمیم مبهم از ایده تصور کرد که فضای اندازه گیری ممکن است دارای "اندازه گیری غیرقابل شمارش" باشد.

اقدامات محدود [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری محدود

گفته می شود که معیاری اگر جمع قابل شماری از معیارهای محدود باشد ، s-محدود است. معیارهای S محدود محدودتر از اقدامات محدود سیگما هستند و در تئوری فرآیندهای تصادفی کاربرد دارند .

کامل بودن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری کامل

به مجموعه ای قابل اندازه گیری X گفته می شود که درصورت μ ( X ) = 0 ، مجموعه تهی باشد . به زیرمجموعه ای از مجموعه null یک مجموعه ناچیز گفته می شود . یک مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری نیست ، اما هر مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری به طور خودکار یک مجموعه پوچ است. اگر هر مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری باشد ، معیار را کامل می نامند .

اندازه گیری را می توان به یکی از کامل با در نظر گرفتن σ جبر از زیر مجموعه های گسترش Y که توسط مجموعه ای ناچیز از یک مجموعه قابل اندازه گیری متفاوت X ، این است که، به طوری که تفاوت متقارن از X و Y در یک مجموعه تهی موجود است. یکی (μ ( Y را برابر( μ ( X تعریف می کند .

افزودنی [ ویرایش ]

اقدامات لازم است تا به طور قابل شماری افزودنی باشند. با این حال ، شرایط می تواند به شرح زیر تقویت شود. برای هر مجموعه $من$ و هر مجموعه ای از موارد منفی ${\ displaystyle r_ {i} ، من \ در I}$ تعریف کردن:

$\ sum _ {i \ in I} r_ {i} = \ sup \ left \ lbrace \ sum _ {i \ in J} r_ {i}: | J | <\ aleph _ {0}، J \ subseteq I \ راست \ آغوش.$

یعنی ، ما مجموع $r_ {i}$ به عنوان برتری کل مبالغ بسیاری از آنها باشد.

یک اندازه $\ mu$ بر $\ سیگما$ است $\ کاپا$ در صورت وجود ، اضافه می شود ${\ displaystyle \ lambda <\ kappa}$ و هر خانواده ای از مجموعه های جدا از هم ${\ displaystyle X _ {\ alpha} ، \ alpha <\ lambda}$ وضعیت زیر:

${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in \ lambda} X _ {\ alpha} \ in \ Sigma}$

$\ mu \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in \ lambda} X _ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {\ alpha \ in \ lambda} \ mu \ left (X _ {\ alpha} \ right)$

توجه داشته باشید که شرط دوم معادل این جمله است که ایده آل مجموعه های پوچ است $\ کاپا$ -کامل.

مجموعه های غیر قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مجموعه ای غیر قابل اندازه گیری

اگر اصل موضوع انتخاب فرض بر این است درست باشد، می توان آن را ثابت کرد که همه زیر مجموعه از فضای اقلیدسی می لبسگو اندازه گیری ؛ نمونه هایی از این مجموعه ها شامل مجموعه Vitali و مجموعه های غیر قابل اندازه گیری است که توسط پارادوکس هاوسدورف و پارادوکس Banach – Tarski فرض شده است .

تعمیم [ ویرایش ]

برای اهداف خاص ، داشتن "معیاری" مفید است که مقادیر آن محدود به واقعیات غیر منفی یا بینهایت نباشد. به عنوان مثال ، یک تابع مجموعه افزودنی قابل شمارش با مقادیر در اعداد واقعی (امضا شده) ، معیار امضا شده نامیده می شود ، در حالی که چنین تابعی با مقادیر در اعداد مختلط ، معیار پیچیده ای نامیده می شود . اقداماتی که در فضاهای Banach مقادیر به دست می آورند به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته اند. [2] اندازه گیری است که طول می کشد ارزش در مجموعه ای از بینی خود الحاقی در فضای هیلبرت است که به نام اندازه گیری-طرح ریزی ارزش ؛ اینها در تحلیل عملکردی برای قضیه طیفی استفاده می شوند. هنگامی که لازم است معیارهای معمول که مقادیر غیر منفی را از تعمیم می گیرند ، تشخیص دهیم ، از اصطلاح معیار مثبت استفاده می شود. اقدامات مثبت تحت تركيب مخروطي بسته مي شوند اما تركيب عمومي خطي بسته نمي شوند ، در حاليكه اقدامات امضا شده بسته شدن خطي اقدامات مثبت است.

تعمیم دیگر ، اندازه گیری کاملاً افزودنی است که به عنوان محتوا نیز شناخته می شود . این همان اندازه گیری است با این تفاوت که به جای اینکه به افزودنی قابل شمارش نیاز داشته باشیم ، فقط به افزودنی محدود نیاز داریم . از نظر تاریخی ، ابتدا از این تعریف استفاده می شد. به نظر می رسد که به طور کلی، اقدامات متناهی افزودنی با مفاهیمی همچون متصل محدودیت باناخ ، دوگانه L ∞ و فشرده سنگ-چک . همه اینها از یک راه یا دیگری با بدیهیات انتخابی مرتبط هستند . مطالب در برخی مشکلات فنی در نظریه اندازه گیری هندسی مفید است . این تئوری استاقدامات Banach .

شارژ یک تعمیم در هر دو جهت است: آن متناه افزودنی، اندازه گیری امضا شده است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

پورتال ریاضیات

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

اندازه یک مجموعه

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 8:3

رسمی، اندازه گیری دارای خاصیت بودن یکنواخت به این معنا که اگر است زیر مجموعه از B ، اندازه گیری از است کمتر یا اندازه گیری برابر B . علاوه بر این ، اندازه مجموعه خالی 0 می باشد.

در تحلیل ریاضی ، اندازه روی یک مجموعه یک روش سیستماتیک برای اختصاص دادن یک عدد به هر زیر مجموعه مناسب از آن مجموعه است ، که بصورت شهودی به عنوان اندازه آن تفسیر می شود. از این نظر ، معیار تعمیم مفاهیم طول ، مساحت و حجم است. یک مثال مهم است اندازه گیری لبگ در فضای اقلیدسی ، که اختصاص معمولی طول ، مساحت ، و حجم از هندسه اقلیدسی به زیر مجموعه های مناسب از N - بعدی فضای اقلیدسی R N. به عنوان مثال ، مقدار لبگ از فاصله [0 ، 1] در اعداد واقعی طول آن به معنای روزمره کلمه است ، به طور خاص ، 1.

مشخصات فنی، اندازه گیری است تابع است که یک عدد حقیقی غیر منفی و یا + ∞ به (خاص) زیر مجموعه های یک مجموعه X ( را ببینید تعریف زیر). علاوه بر این باید به طور قابل شماری افزودنی باشد : اندازه گیری یک زیرمجموعه "بزرگ" که می تواند به تعداد محدود (یا قابل شمارش بی نهایت) تعداد زیر مجموعه های "غیر کوچکتر" تجزیه شود ، برابر با مجموع اندازه گیری های زیرمجموعه های "کوچکتر" است. به طور کلی ، اگر کسی بخواهد اندازه ثابت را به هر زیر مجموعه از مجموعه معین مرتبط کند در حالی که بدیهیات دیگر اندازه گیری را برآورده می کند ، فقط نمونه های بی اهمیت مانند اندازه گیری شمارش را پیدا می کند. این مشکل فقط با تعیین اندازه گیری فقط در زیر مجموعه ای از همه زیر مجموعه ها برطرف شد. زیرمجموعه های به اصطلاح قابل اندازه گیری ، که برای تشکیل یک جبر σ لازم است . این بدان معنی است که اتحادیه های قابل شمارش ، تقاطع های قابل شمارش و مکمل های زیرمجموعه های قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری هستند. مجموعه های غیر قابل اندازه گیری در یک فضای اقلیدسی ، که اندازه گیری لبگ را نمی توان به طور مداوم بر روی آنها تعریف کرد ، لزوماً پیچیده است به این معنی که بد با مکمل آنها مخلوط شده است. [1] در واقع ، وجود آنها نتیجه ای غیر پیش پا افتاده از بدیهیات انتخاب است .

نظریه اندازه گیری در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن 20 در مراحل پی در پی توسط امیل بورل ، هنری لبسگو ، یوهان رادون و موریس فرشته ، و دیگران ایجاد شد. برنامه های کاربردی اصلی از اقدامات در مبانی هستند Lebesgue انتگرال ، در آندره کلموگروف را axiomatisation است از نظریه احتمال و در نظریه ergodic . در تئوری ادغام ، تعیین یک اندازه گیری به فرد امکان می دهد انتگرال ها را تعریف کنددر فضاهای کلی تر از زیر مجموعه های فضای اقلیدسی ؛ علاوه بر این ، انتگرال با توجه به اندازه گیری Lebesgue در فضاهای اقلیدسی کلی تر است و دارای نظریه غنی تر از سلف خود ، انتگرال ریمان است . نظریه احتمال ، معیارهایی را که به کل مجموعه اندازه 1 اختصاص می دهند ، در نظر می گیرد و زیرمجموعه های قابل اندازه گیری را رویدادهایی می داند که احتمال آنها با این معیار داده می شود. نظریه ارگودیک اقداماتی را در نظر می گیرد که تحت یک سیستم پویا ثابت نیستند یا به طور طبیعی از آن ناشی می شوند .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

جمع شدن قابل شمارش اندازه گیری μ : معیار اندازه گیری اتحادیه غیر متغیر قابل شمارش با مجموع تمام معیارهای هر زیر مجموعه است.

اجازه دهید X یک مجموعه و Σ σ جبر بیش X . یک تابع μ از Σ به خط اعداد واقعی توسعه یافته درصورتی که خصوصیات زیر را برآورده کند ، معیار نامیده می شود :

های غیر منفی : برای همه E در Σ، ما باید μ ( E ) ≥ 0 .
مجموعه خالی پوچ : $\ mu (\ varnothing) = 0$ .
افزودنی قابل شمارش (یا σ -addtivity ): برای همه مجموعه های قابل شمارش ${\ displaystyle \ {E_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ نامعتبر}}$ مجموعه های جداگانه دو به دو در Σ ،

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) .}$

اگر حداقل یک مجموعه باشد $E$ دارای اندازه گیری محدود است ، پس از آن شرط $\ mu (\ varnothing) = 0$ به طور خودکار ملاقات می شود در واقع ، با افزودنی قابل شمارش ،

${\ displaystyle \ mu (E) = \ mu (E \ cup \ varnothing) = \ mu (E) + \ mu (\ varnothing) ،}$

و بنابراین ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$

اگر فقط شرط دوم و سوم تعریف اندازه گیری فوق وجود داشته باشد و μ حداکثر یکی از مقادیر ± takes را به خود اختصاص دهد ، آنگاه μ را معیار امضا شده می نامند .

جفت ( X ، Σ) را فضای قابل اندازه گیری می نامند ، اعضای Σ را مجموعه های قابل اندازه گیری می نامند . اگر ${\ displaystyle \ چپ (X ، \ Sigma _ {X} \ راست)}$ و ${\ displaystyle \ چپ (Y ، \ Sigma _ {Y} \ راست)}$ دو فضای قابل اندازه گیری هستند ، سپس یک تابع $f: X \ به Y$ نامیده می شود اندازه گیری اگر برای هر Y مجموعه - ${\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {Y}}$ از تصویر معکوس است X -measurable - یعنی: ${\ displaystyle f ^ {(- 1)} (B) \ in \ Sigma _ {X}}$ . در این تنظیمات ، ترکیب توابع قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری است ، و باعث می شود که فضاهای قابل اندازه گیری و توابع قابل اندازه گیری به یک دسته تبدیل شوند ، فضاهای قابل اندازه گیری به عنوان اشیا و مجموعه توابع قابل اندازه گیری به عنوان فلش باشند. همچنین به عملکرد قابل اندازه گیری # تغییرات استفاده مدت در مورد تنظیم دیگری مراجعه کنید.

سه گانه ( X ، Σ، μ ) است که به نام فضا اندازه گیری . اندازه احتمال یک اقدام با مجموع یک اندازه گیری است - یعنی μ ( X ) = 1 . فضای احتمال یک فضای از اندازه گیری با اندازه احتمال است.

برای فضاهای اندازه گیری که فضاهای توپولوژیکی نیز هستند ، شرایط مختلف سازگاری را می توان برای اندازه گیری و توپولوژی تعیین کرد. بیشتر اقدامات در عمل در تجزیه و تحلیل (و در بسیاری از موارد نیز در تئوری احتمال ) ملاقات می شود ، اقدامات رادون است . اقدامات رادون یک تعریف جایگزین از لحاظ functionals خطی در دارند فضا در سطح محلی محدب از توابع پیوسته با پشتیبانی جمع و جور . این روش توسط بورباکی (2004) و تعدادی از منابع دیگر اتخاذ شده است. برای جزئیات بیشتر ، به مقاله اقدامات رادون مراجعه کنید .

مثالها [ ویرایش ]

برخی اقدامات مهم در اینجا ذکر شده است.

اندازه گیری شمارش تعریف شده توسط μ ( S ) = تعداد عناصر در S .
اندازه گیری Lebesgue در R است کامل ترجمه ثابت اندازه گیری در σ جبر حاوی فواصل در R به طوری که μ ([0، 1]) = 1 ؛ و هر معیار دیگری با این خصوصیات میزان Lebesgue را گسترش می دهد.
اندازه گیری زاویه دایره در چرخش ثابت نیست و اندازه گیری زاویه هذلولی در نقشه برداری فشار ثابت نیست .
اندازه گیری هار برای موضعا فشرده گروه توپولوژیک یک تعمیم از اندازه گیری Lebesgue (و نیز شمارش اندازه گیری و اندازه گیری زاویه دایره) است و دارای خواص منحصر به فرد مشابه است.
اندازه گیری هاسدورف یک تعمیم از اندازه گیری Lebesgue به مجموعه با ابعاد غیر صحیح، به طور خاص، مجموعه های فراکتال است.
هر فضای احتمالی اندازه گیری را ایجاد می کند که مقدار 1 را در کل فضا می گیرد (و بنابراین تمام مقادیر خود را در فاصله واحد [0 ، 1] می گیرد). به چنین معیاری اندازه گیری احتمال گفته می شود . بدیهیات احتمال را ببینید .
اندازه گیری دیراک δ (قس تابع دلتای دیراک ) توسط δ داده ( S ) = χ S (A)، که در آن χ S است عملکرد شاخص از S . اندازه گیری یک مجموعه 1 است اگر در غیر اینصورت شامل نقطه a و 0 باشد.

سایر اقدامات 'به نام' استفاده شده در نظریه های مختلف عبارتند از: بورل اندازه گیری ، اندازه گیری اردن ، اندازه گیری ارگودیک ، اندازه گیری اویلر ، اندازه گیری گاوسی ، اندازه گیری بئر ، اندازه گیری رادون ، اندازه گیری جوان ، و اندازه گیری لوئب .

در فیزیک ، نمونه ای از اندازه گیری ، توزیع فضایی جرم است (به عنوان مثال ، پتانسیل گرانش را ببینید ) ، یا یک ویژگی گسترده غیر منفی دیگر ، محفوظ است ( برای لیست این موارد به قانون حفاظت مراجعه کنید ) یا خیر. مقادیر منفی منجر به اقدامات امضا شده می شود ، به "کلیات" در زیر مراجعه کنید.

اندازه گیری لیوویل ، که به عنوان فرم حجم طبیعی در یک منیفولد جامع نیز شناخته می شود ، در مکانیک آماری کلاسیک و همیلتونین مفید است.
اندازه گیری گیبس به طور گسترده ای در مکانیک آماری استفاده می شود ، اغلب تحت نام گروه متعارف است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

هانری لبسگو

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 7:38

با Henry lebègue باستان شناس فرانسوی اشتباه گرفته نشود

هانری لبسگو

بدنیا آمدن	28 ژوئن 1875 Beauvais ، Oise ، France
فوت کرد	26 ژوئیه 1941 (66 ساله) پاریس ، فرانسه
ملیت	فرانسوی
ماده آلما	دانشگاه olecole Normale Supérieure پاریس
شناخته شده برای	ادغام Lebesgue اندازه گیری Lebesgue
جوایز	همکار انجمن سلطنتی [1] جایزه پونسلت برای سال 1914 [2]
حرفه علمی
زمینه های	ریاضیات
مسسات	دانشگاه رن دانشگاه پوآتیه دانشگاه پاریس کالج فرانسه
مشاور دکترا	امیل بورل
دانشجویان دکترا	Paul Montel Zygmunt Janiszewski Georges de Rham

Henri Léon Lebesgue ForMemRS [1] (به فرانسوی: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ؛ 28 ژوئن 1875 - 26 ژوئیه 1941) ریاضیدان فرانسوی بود که به دلیل تئوری ادغام ، که تعمیم مفهوم ادغام قرن 17 بود ، شناخته شد - جمع کردن ناحیه بین یک محور و منحنی تابعی که برای آن محور تعریف شده است. نظریه وی در اصل در مقاله خود در Intégrale، longueur، aire ("انتگرال ، طول ، مساحت") در دانشگاه نانسی طی سال 1902 منتشر شد. [3] [4]

فهرست

زندگی شخصی [ ویرایش ]

هانری Lebesgue در 28 ژوئن 1875 در متولد شد بووه ، اواز . پدر لبسگو حروفچینی و مادرش معلم مدرسه بود . والدین وی در خانه کتابخانه ای را جمع کردند که هنری جوان توانست از آن استفاده کند. پدرش هنگامی که لبسگو هنوز خیلی جوان بود به دلیل بیماری سل درگذشت و مادرش مجبور شد خودش به تنهایی از او حمایت کند. همانطور که او در مدرسه ابتدایی استعداد قابل توجهی در ریاضیات نشان داد ، یکی از مربیان وی پشتیبانی اجتماعی را برای ادامه تحصیل در کالج دوبوا و سپس در لیسه سن لوئیس و لیسه لوئیس گراند در پاریس ترتیب داد . [5]

در سال 1894 لبسگو در اکول نورمال سوپریور پذیرفته شد ، جایی که وی همچنان به تمرکز انرژی خود در زمینه تحصیل ریاضیات پرداخت و در سال 1897 فارغ التحصیل شد. پس از فارغ التحصیلی وی به مدت دو سال در مدرسه عالی نرمال ماند و در کتابخانه مشغول به کار شد ، و از آنجا مطلع شد. از تحقیق در مورد ناپیوستگی که در آن زمان توسط رنه-لوئیس بایر ، فارغ التحصیل اخیر مدرسه انجام شد. در همان زمان وی تحصیلات تکمیلی خود را در سوربن آغاز کرد ، جایی که در مورد کارهای امیل بورل در مورد نظریه اندازه گیری اولیه و کار کمیل جوردن در مورد اندازه گیری اردن آموخت . در سال 1899 به سمت تدریس در Lycée Central در نقل مکان کردنانسی ضمن ادامه کار در مقطع دکترا. در سال 1902 دکترای خود را به دست آورد. از سوربن با پایان نامه اصلی "انتگرال ، طول ، مساحت" ، ارائه شده با بورل ، چهار سال بزرگتر ، به عنوان مشاور. [6]

لبسگ با خواهر یکی از همرزمانش ازدواج کرد و او و همسرش صاحب دو فرزند به نام های سوزان و ژاک شدند.

پس از انتشار پایان نامه خود ، در سال 1902 به لیبزگ موقعیتی در دانشگاه رن پیشنهاد شد و در آنجا سخنرانی می کرد تا سال 1906 ، زمانی که به دانشکده علوم دانشگاه پواتیر منتقل شد . در سال 1910 لبسگو بعنوان مشاور دفتری به سوربن نقل مکان کرد و از سال 1919 به مقام استادی ارتقا یافت. در سال 1921 وی دانشگاه سوربن را ترک کرد و به عنوان استاد ریاضیات در کالج فرانسه درآمد ، در آنجا برای بقیه عمر به سخنرانی و تحقیق پرداخت. . [7] در سال 1922 به عنوان عضوی از آکادمی علوم انتخاب شد . هنری لبسگو در 26 ژوئیه 1941 در پاریس درگذشت . [6]

حرفه ریاضی [ ویرایش ]

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives ، 1904

اولین مقاله Lebesgue در سال 1898 منتشر شد و عنوان آن "Sur l'approximation des fonctions" بود. این قضیه با قضیه Weierstrass در تقریب با توابع مداوم توسط چند جمله ای ها سروکار داشت. بین مارس 1899 و آوریل 1901 لبسگ شش یادداشت را در Comptes Rendus منتشر کرد . اولین مورد ، بدون ارتباط با توسعه او در ادغام Lebesgue ، به گسترش قضیه بایر به توابع دو متغیر مربوط می شود. پنج مورد بعدی مربوط به سطوح قابل استفاده برای صفحه ، مساحت چند ضلعی های کج ، انتگرال های سطح حداقل مساحت با یک محدوده مشخص شده است و در یادداشت نهایی تعریف ادغام Lebesgue برای برخی از تابع f (x) ارائه شده است. پایان نامه بزرگ Lebesgue ،Intégrale، longueur، aire ، با شرح کامل این کار ، در Annali di Matematica در سال 1902 ظاهر شد. فصل اول تئوری اندازه گیری را توسعه می دهد (نگاه کنید به اندازه گیری بورل ). در فصل دوم او انتگرال را از نظر هندسی و تحلیلی تعریف می کند. در فصل های بعدی ، یادداشت های Comptes Rendus با طول ، مساحت و سطوح قابل استفاده گسترش می یابد. فصل آخر عمدتا به مسئله فلات می پردازد . این رساله یکی از بهترین رساله ها است که توسط ریاضیدانی نوشته شده است. [1]

سخنرانی های او از سال 1902 تا 1903 در " دستگاه های بورل " جمع آوری شد Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . مسئله ادغام که به عنوان جستجوی یک تابع بدوی در نظر گرفته می شود ، اصلی ترین کتاب این کتاب است. لبسگ با طرح خطاب به آگوستین-لویی کوشی ، پیتر گوستاو لژون دیریشله و برنهارد ریمان ، مسئله ادغام را در زمینه تاریخی خود ارائه می دهد . Lebesgue شش شرط را ارائه می دهد که مطلوب است که انتگرال باید آنها را برآورده کند ، آخرین شرط این است: "اگر دنباله f n (x) تا حد f (x) افزایش یابد ، انتگرال f n (x) به انتگرال تمایل دارد f (x) ". Lebesgue نشان می دهد که شرایط او منجر بهتئوری اندازه گیری و توابع قابل اندازه گیری و تعاریف تحلیلی و هندسی انتگرال.

او در کنار تبدیل مثلثاتی توابع با کاغذ 1903 خود "جنوبی له سری trigonométriques". وی سه قضیه اصلی را در این کار ارائه داد: اینکه یک سری مثلثاتی که یک تابع محدود را نشان می دهد ، یک سری فوریه است ، که ضریب n ام فوریه به صفر تمایل دارد ( لمای ریمان-لبسگو ) ، و اینکه یک سری فوریه اصطلاحاً قابل ادغام است. در سال 1904-1905 لبسگ بار دیگر در کالج دوفرانس سخنرانی کرد ، این بار در مورد سری مثلثاتی و وی برای انتشار سخنرانی های خود در یکی دیگر از "تراکت های بورل" ادامه داد. در این تراکت او یک بار دیگر موضوع را در زمینه تاریخی آن درمان می کند. او درباره مجموعه فوریه ، نظریه کانتور-ریمان ، انتزاع پواسون توضیح می دهدو مشکل دیریشله .

در مقاله ای در سال 1910 ، "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" با ارزیابی توالی اندازه ی باقی مانده اصطلاحات با مجموعه توابع فوریه مطابق با شرایط لیپشیتز سروکار دارد . او همچنین اثبات می کند که لمای ریمان-لبسگو بهترین نتیجه ممکن برای عملکردهای مداوم است ، و به برخی از ثابت های لبسگو می پردازد.

لبسگ یک بار نوشت: "Réduites à des théories générales، les mathématiques seraient une belle forme sans contenu." ("کاهش یافته به نظریه های عمومی ، ریاضیات یک فرم زیبا و بدون محتوا خواهد بود.")

در تجزیه و تحلیل نظری اندازه گیری و شاخه های مربوط به ریاضیات ، انتگرال Lebesgue-Stieltjes تعمیم Riemann-Stieltjes و Lebesgue ادغام ، حفظ بسیاری از مزایای مورد دوم در یک چارچوب نظری اندازه گیری کلی تر.

لبسگو در طول زندگی حرفه ای خود ، به حوزه های تجزیه و تحلیل پیچیده و توپولوژی نیز ورود پیدا کرد . وی همچنین درباره امین بورل که انتگرال آن کلیتر بود اختلاف داشت. [8] [9] [10] [11] با این حال ، این اقدامات ناچیز جزئی در مقایسه با سهم او در تجزیه و تحلیل واقعی ، رنگ پریده است . مشارکت های وی در این زمینه تأثیر شگرفی در شکل امروز این رشته داشته و روش های وی به بخشی اساسی در تجزیه و تحلیل مدرن تبدیل شده اند. اینها پیامدهای عملی مهمی در فیزیک بنیادی دارند که لبسگ کاملاً از آن بی اطلاع بود ، همانطور که در زیر ذکر شده است.

نظریه ادغام لبسگ [ ویرایش ]

تقریب انتگرال ریمان توسط مناطق مستطیل شکل.

این یک مرور کلی تاریخی است. برای یک روش ریاضی فنی ، به ادغام Lebesgue مراجعه کنید .

ادغام عملیاتی ریاضی است که با ایده غیررسمی یافتن منطقه زیر نمودار یک تابع مطابقت دارد . اولین نظریه ادغام توسط ارشمیدس در قرن 3 قبل از میلاد با روش کوادترهای خود ایجاد شد ، اما این فقط در شرایط محدود با تقارن هندسی بالا قابل استفاده است. در قرن هفدهم ، آیزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایب نیتز این ایده را کشف کردند که ادغام ذاتاً با تمایز ارتباط دارد، دومی راهی برای اندازه گیری سرعت تغییر یک تابع در هر نقطه از نمودار است. این رابطه شگفت آور بین دو عمل عمده هندسی در حساب ، تمایز و تلفیق ، اکنون به عنوان قضیه بنیادی حساب شناخته می شود . این به ریاضیدانان اجازه داده است برای اولین بار یک کلاس گسترده از انتگرال ها را محاسبه کنند. با این حال ، برخلاف روش ارشمیدس که مبتنی بر هندسه اقلیدسی بود ، ریاضیدانان احساس می کردند که حساب انتگرال نیوتن و لایب نیتس اساس دقیق ندارد.

در قرن نوزدهم ، آگوستین کوشی محدودیت epsilon-delta ایجاد کرد و برنهارد ریمان با رسمیت بخشی به آنچه که اکنون انتگرال ریمان نامیده می شود ، این موضوع را دنبال کرد . برای تعریف این انتگرال ، سطح زیر نمودار را با مستطیل های کوچکتر و کوچکتر پر می کند و در هر مرحله از حد مجموع مساحت مستطیل ها را می گیرد . برای برخی از توابع ، مساحت کل این مستطیل ها به یک عدد نزدیک نمی شود. به این ترتیب ، آنها هیچ انتگرال ریمان ندارند.

لبسگ روش جدیدی برای ادغام برای حل این مشکل ابداع کرد. Lebesgue به جای استفاده از ناحیه های مستطیل ، که تمرکز خود را بر دامنه تابع قرار می دهد ، به کد رمز تابع برای واحد اساسی مساحت خود نگاه کرد. ایده Lebesgue این بود که ابتدا اندازه گیری را برای هر دو مجموعه و توابع روی آن مجموعه ها تعریف کند. او سپس به ساخت انتگرال برای آنچه او توابع ساده می نامید ، ادامه داد. توابع قابل اندازه گیری که فقط مقادیر بسیار محدودی را می گیرند. سپس آن را برای توابع پیچیده تر به عنوان حداقل حد انتهایی تمام انتگرال های توابع ساده کوچکتر از تابع مورد نظر تعریف کرد.

ادغام Lebesgue ویژگی دارد که هر تابع تعریف شده در یک فاصله زمانی محدود با انتگرال ریمان دارای یک انتگرال Lebesgue نیز می باشد و برای این توابع دو انتگرال با هم توافق دارند. علاوه بر این ، هر تابع محدود شده در یک فاصله محدود بسته دارای یک انتگرال Lebesgue است و توابع بسیاری با یکپارچه Lebesgue وجود دارد که فاقد انتگرال ریمان هستند.

به عنوان بخشی از توسعه یکپارچه سازی Lebesgue ، Lebesgue مفهوم اندازه گیری را ابداع کرد ، که ایده طول را از فواصل به یک کلاس بسیار بزرگ از مجموعه ها ، مجموعه های قابل اندازه گیری گسترش می دهد (بنابراین دقیق تر ، توابع ساده توابعی هستند که تعداد محدودی را می گیرند از مقادیر ، و هر مقدار در یک مجموعه قابل اندازه گیری گرفته می شود). روش لبسگ برای تبدیل اندازه گیری به یک کلیت انتگرالی به راحتی در بسیاری از موقعیت های دیگر منجر به حوزه مدرن نظریه اندازه گیری می شود .

انتگرال Lebesgue از یک نظر کمبود دارد. انتگرال ریمان در مورد انتگرال نامناسب ریمان برای اندازه گیری توابعی که دامنه تعریف آنها یک فاصله بسته نیست ، تعمیم داده می شود . انتگرال Lebesgue بسیاری از این عملکردها را ادغام می کند (همیشه وقتی جواب می دهد همان جواب را بازتولید می کند) ، اما نه همه آنها. برای توابع روی خط واقعی ، انتگرال Henstock یک مفهوم حتی کلی تر از انتگرال است (مبتنی بر تئوری ریمان به جای لبسگ) که هم ادغام Lebesgue و هم ادغام نادرست ریمان را در بر می گیرد. با این حال ، انتگرال Henstock به ویژگی های خاص ترتیب خط واقعی بستگی دارد و بنابراین برای اجازه یکپارچه سازی در فضاهای کلی تر ، تعمیم داده نمی شود (مثلاً منیفولدها)) ، در حالی که انتگرال Lebesgue کاملاً طبیعی به چنین فضاهایی گسترش می یابد.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue#Lebesgue's_theory_of_integration

ادامه انتگرال لبگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 7:30

قضیه های اساسی انتگرال لبگ[ ویرایش ]

انتگرال لبگ دارای ویژگی های زیر است:

رابطه برابری برابری تقریباً در همه جا : انتگرال لبگ تفاوتی را بین عملکردهایی که فقط در مجموعه ای از μ-اندازه صفر تفاوت دارند تشخیص نمی دهد. برای بیان دقیق تر ، گفته می شود که توابع f و g تقریباً در همه جا برابر هستند (ae) اگر

$\ mu (\ {x \ in E: f (x) \ neq g (x) \}) = 0.$

اگر f ، g توابع غیر منفی قابل اندازه گیری هستند (احتمالاً با فرض مقدار + ∞ ) به گونه ای که f = g تقریباً در همه جا وجود دارد ،

$\ int f \ ، d \ mu = \ int g \ ، d \ mu.$

به معنای ذاتی ، انتگرال به رابطه برابری برابری تقریباً در همه جا احترام می گذارد.

اگر f ، g توابعي هستند كه f = g تقريباً در همه جا وجود دارد ، در اين صورت f تنها در صورتي كه g قابل تلفيق لبگ باشد ، لبگ قابل تلفيق است ، و انتگرال هاي f و g در صورت وجود يكي هستند.

خطی بودن : اگر f و g توابع قابل ادغام لبگ و a و b اعداد واقعی هستند ، پس af + bg لبگ قابل تلفیق است و

$\ int (af + bg) \، d \ mu = a \ int f \، d \ mu + b \ int g \، d \ mu.$

یکنواختی : اگر f ≤ g باشد ، پس

$\ int f \ ، d \ mu \ leq \ int g \ ، d \ mu.$

اجازه دهید $(\ امگا ، \ سیگما ، \ مو)$ یک فضای اندازه گیری باشد. مشخص کن ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ $\ سیگما$ جبر بورل روشن می شود ${\ displaystyle [0 ، + \ infty]}$ . (طبق تعریف ، ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ شامل مجموعه است ${\ displaystyle \ {+ \ infty \}}$ و تمام زیر مجموعه های بورل از ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$ ) در نظر بگیرید ${\ displaystyle (\ Sigma، \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ عملکرد غیر منفی قابل اندازه گیری ${\ displaystyle s: \ امگا \ به [0 ، + \ ناکارآمد]}$ . برای یک مجموعه ${\ displaystyle S \ in \ Sigma}$ ، تعریف کردن

${\ displaystyle \ nu (S) = \ int _ {S} s \، d \ mu.}$

سپس $\ nu$ یک معیار لبگ در است ${\ displaystyle (\ امگا ، \ سیگما)}$ .

قضیه همگرایی یکنواخت : فرض کنید { f k } k ∈ sequ دنباله ای از توابع قابل اندازه گیری غیر منفی است به گونه ای که

$f_ {k} (x) \ leq f_ {k + 1} (x) \ quad \ forall k \ in \ mathbb {N} ، \ ، \ forall x \ in E.$

سپس، حد نقطه به نقطه F از F K لبسگو قابل اندازه گیری است و

${\ displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \، d \ mu = \ int f \، d \ mu.}$

مقدار هر یک از انتگرال ها بی نهایت مجاز است.

لما Fatou : اگر { f k } k ∈ N دنباله ای از توابع قابل اندازه گیری غیر منفی باشد ،

$\ int \ liminf _ {k} f_ {k} \، d \ mu \ leq \ liminf _ {k} \ int f_ {k} \، d \ mu.$

باز هم ، مقدار هر یک از انتگرال ها ممکن است بی نهایت باشد.

قضیه همگرایی مسلط : فرض کنید { f k } k ∈ N دنباله ای از توابع قابل اندازه گیری پیچیده با حد نقطه ای f است و یک تابع قابل ادغام لبگ g وجود دارد (یعنی g متعلق به فضای L 1 است ) به گونه ای که | f k | ≤ گرم برای همه ک .

سپس ، f لبگ یکپارچه است و

$\ lim _ {k} \ int f_ {k} \ ، d \ mu = \ int f \ ، d \ mu.$

فرمولهای جایگزین [ ویرایش ]

توسعه انتگرال با توجه به معیار لبگ بدون اتکا به ماشین آلات کامل نظریه اندازه گیری امکان پذیر است. یکی از این رویکردها توسط انتگرال دانیل ارائه شده است .

همچنین یک رویکرد جایگزین برای توسعه تئوری ادغام از طریق روشهای تجزیه و تحلیل عملکردی وجود دارد . انتگرال ریمان برای هر تابع مداوم f از پشتیبانی فشرده تعریف شده در ℝ n (یا یک زیر مجموعه باز ثابت) وجود دارد. از این انتگرال ها می توان انتگرال هایی از توابع کلی تر ساخت.

بگذارید C c فضای تمام عملکردهای مداوم پشتیبانی شده فشرده با ارزش واقعی باشد. یک هنجار را در C c توسط تعریف کنید

${\ displaystyle \ left \ | f \ right \ | = \ int | f (x) | \، dx.}$

سپس C c یک فضای بردار هنجاردار است (و به طور خاص ، یک فضای متریک است.) تمام فضاهای متریک دارای مکمل های Hausdorff هستند ، بنابراین اجازه دهید L 1 تکمیل آن باشد. این فضا نسبت به فضای توابع یکپارچه لبگ ، فضای زیر توابع با صفر انتگرالی یکدست است. علاوه بر این، جدایی ناپذیر ریمان ∫ است یکنواخت پیوسته کاربردی با توجه به هنجار در C C است که متراکم در L 1 . از این رو ∫ دارای پسوند منحصر به فرد برای تمام L 1 . این انتگرال دقیقاً انتگرال لبگ است.

به طور کلی ، هنگامی که فضای اندازه گیری که توابع بر روی آن تعریف می شود ، یک فضای توپولوژیکی محلی فشرده نیز باشد (همانطور که در مورد اعداد واقعی وجود دارد ℝ) ، اندازه هایی سازگار با توپولوژی به معنای مناسب ( معیارهای رادون ، اندازه گیری لبسگ یک مثال است) یک انتگرال با توجه به آنها می تواند به همان روش تعریف شود ، از انتگرال توابع مداوم با پشتیبانی فشرده شروع می شود . به طور دقیق تر ، توابع پشتیبانی شده فشرده یک فضای بردار را تشکیل می دهند که دارای یک توپولوژی طبیعی است و یک اندازه گیری (رادون) به عنوان یک خط مداوم تعریف می شودعملکردی در این فضا. مقدار یک اندازه گیری در یک تابع با پشتیبانی فشرده پس از تعریف نیز انتگرال تابع است. سپس یكی اقدام به گسترش اندازه گیری (انتگرال) به توابع كلی تر با تداوم می كند و اندازه گیری یك مجموعه را به عنوان انتگرال تابع نشانگر آن تعریف می كند. این رویکردی است که بورباکی (2004) و تعداد معینی از نویسندگان در پیش گرفتند. برای جزئیات بیشتر به اقدامات رادون مراجعه کنید .

محدودیت های انتگرال Lebesgue [ ویرایش ]

هدف اصلی انتگرال لبگ ارائه یک مفهوم انتگرال است که در آن محدودیت انتگرال ها با فرضیات ملایم حفظ می شود. هیچ تضمینی وجود ندارد که هر عملکردی با لبگ قابل تلفیق باشد. اما ممكن است اتفاق بیفتد كه انتگرال های نامناسب برای توابعی وجود داشته باشد كه لبگ قابل تلفیق نیستند. یک مثال می تواند باشد

${\ frac {\ sin (x)} {x}}$

در کل خط واقعی این تابع با لبگ قابل تلفیق نیست

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right | dx = \ infty.}$

از سوی دیگر، ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} dx}$ به عنوان یک انتگرال نامناسب وجود دارد و می توان آن را محدوم محاسبه کرد ؛ دو برابر انتگرال دیریشله است .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

Henri Lebesgue ، برای توصیف غیر فنی ادغام Lebesgue
مجموعه نول
ادغام
اندازه گرفتن
سیگما-جبر
فضایلبگ
ادغام لبگ – Stieltjes
جدایی ناپذیر ریمان
جدایی ناپذیر Henstock – Kurzweil

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ Folland ، Gerald B. (1984). تحلیل واقعی: تکنیک های مدرن و کاربردهای آنها . وایلی پ. 56
^ Lieb & Loss 2001

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

ادامه انتگرال لبگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 7:22

توابع امضا شده [ ویرایش ]

برای مدیریت توابع امضا شده ، به چند تعریف دیگر نیاز داریم. اگر f تابعی قابل اندازه گیری از مجموعه E به واقعی باشد (از جمله ± ∞ ) ، پس می توانیم بنویسیم

$f = f ^ {+} - f ^ {-} ، \ quad$

جایی که

$f ^ {+} (x) = \ چپ \ {{\ start {matrix} f (x) & {\ text {if}} f (x)> 0 \\ 0 & {\ text {در غیر اینصورت}} \ پایان { ماتریس}} \ درست است.$

$f ^ {-} (x) = \ سمت چپ \ {{\ \ شروع {matrix} -f (x) & {\ text {if}} f (x) <0 \\ 0 & {\ text {در غیر این صورت}} \ پایان {matrix}} \ right.$

توجه داشته باشید که هر دو f + و f - توابع غیر منفی قابل اندازه گیری هستند. همچنین توجه داشته باشید که

$| f | = f ^ {+} + f ^ {-}. \ quad$

ما می گوییم که انتگرال Lebesgue از تابع قابل اندازه گیری F وجود دارد ، و یا تعریف اگر حداقل یکی از $\ int f ^ {+} \ ، d \ mu$ و $\ int f ^ {-} \ ، d \ mu$ متناهی است:

$\ min \ left (\ int f ^ {+} \، d \ mu، \ int f ^ {-} \، d \ mu \ right) <\ بی اعتبار است.$

در این حالت تعریف می کنیم

${\ displaystyle \ int f \، d \ mu = \ int f ^ {+} \، d \ mu - \ int f ^ {-} \، d \ mu.}$

اگر

$\ int | f | \ ، d \ mu <\ بی اعتبار ،$

می گوییم f با Lebesgue قابل تلفیق است .

به نظر می رسد که این تعریف خصوصیات مطلوب انتگرال را می دهد.

توابع با ارزش پیچیده [ ویرایش ]

توابع با ارزش پیچیده را می توان با در نظر گرفتن جداگانه قسمت واقعی و خیالی ، به طور مشابه ادغام کرد.

اگر h = f + ig برای توابع قابل ادغام با ارزش واقعی f ، g ، آنگاه انتگرال h با استفاده از

$\ int h \ ، d \ mu = \ int f \ ، d \ mu + i \ int g \ ، d \ mu.$

این تابع Lebesgue یکپارچه است در صورتی که فقط اگر مقدار مطلق آن قابل تجزیه در Lebesgue باشد (به تابع کاملاً یکپارچه شده مراجعه کنید ).

مثال [ ویرایش ]

عملکرد نشانگر اعداد گویا را در نظر بگیرید ، 1 Q ، همچنین به عنوان تابع Dirichlet شناخته می شود. این عملکرد هیچ کجا مداوم نیست .

$1 _ {\ mathbf {Q}}$ است ریمان-انتگرال در نمی [0، 1] : مهم نیست که چگونه مجموعه ای [0، 1] به subintervals تقسیم، هر یک از پارتیشن شامل حداقل یک منطقی و حداقل یک عدد گنگ، چون گویا و irrationals هر دو متراکم در واقعیت بنابراین مجموعهای داربو فوقانی همه یک هستند و جمعهای داربو پایین همه صفر هستند.
$1 _ {\ mathbf {Q}}$ با استفاده از معیار Lebesgue در [0 ، 1] قابل تلفیق Lebesgue است : در واقع ، این تابع شاخص منطقی ها است بنابراین بر اساس تعریف

$\ int _ {[0،1]} 1 _ {\ mathbf {Q}} \ ، d \ mu = \ mu (\ mathbf {Q} \ cap [0،1]) = 0 ،$

چون Q است قابل شمارش .

دامنه ادغام [ ویرایش ]

یک مسئله فنی در ادغام Lebesgue این است که دامنه یکپارچه سازی به عنوان یک مجموعه (زیرمجموعه ای از فضای اندازه گیری) تعریف می شود ، بدون مفهوم جهت گیری. در محاسبات ابتدایی ، یکی ادغام را با توجه به یک جهت تعریف می کند :

$\ int _ {b} ^ {a} f: = - \ int _ {a} ^ {b} f$

تعمیم این امر به ابعاد بالاتر باعث ادغام اشکال دیفرانسیل می شود . در مقابل ، ادغام Lebesgue یک تعمیم جایگزین را فراهم می کند ، با توجه به اندازه گیری ، در زیرمجموعه ها ادغام می شود. این را می توان به عنوان

$\ int _ {A} f \، d \ mu = \ int _ {[a، b]} f \، d \ mu$

برای نشان ادغام بیش از یک زیر مجموعه . برای جزئیات بیشتر در مورد ارتباط بین این تعمیم ها ، به فرم افتراقی lation ارتباط با اقدامات مراجعه کنید .

محدودیت های انتگرال ریمان [ ویرایش ]

با ظهور سری فوریه ، بسیاری از مشکلات تحلیلی مربوط به انتگرال ها به وجود آمد که راه حل رضایت بخش آنها نیاز به تعویض فرایندهای حد و علائم انتگرال داشت. با این حال ، شرایطی که انتگرال تحت آن است

$\ sum _ {k} \ int f_ {k} (x) dx ، \ quad \ int \ چپ [\ sum _ {k} f_ {k} (x) \ right] dx$

در چارچوب ریمان کاملاً گریزان هستند. برخی از مشکلات فنی دیگر با انتگرال ریمان وجود دارد. اینها با دشواری محدودیت که در بالا بحث شد مرتبط هستند.

شکست همگرایی یکنواخت . همانطور که در بالا نشان داده شده است ، عملکرد نشانگر 1 Q بر اساس منطقی ها ریمان قابل جمع نیست. به طور خاص ، قضیه همگرایی یکنواخت از کار می افتد . برای دیدن دلیل ، اجازه دهید { a k } شمارش تمام اعداد منطقی موجود در [0 ، 1] باشد ( قابل شمارش هستند بنابراین می توان این کار را انجام داد.) سپس اجازه دهید

$g_ {k} (x) = \ چپ \ {{\ start {matrix} 1 & {\ text {if}} x = a_ {j} ، j \ leq k \\ 0 & {\ text {در غیر این صورت}} \ پایان { ماتریس}} \ درست است.$

تابع g k به جز مجموعه محدودی از نقاط ، در همه جا صفر است. از این رو انتگرال ریمان آن صفر است. هر گرم K غیر منفی است، و این دنباله ای از توابع است یکنواخت افزایش، اما حد خود را به عنوان K → ∞ است 1 Q است که ریمان انتگرال است.

نامناسب بودن برای فواصل نامحدود . انتگرال ریمان فقط می تواند توابع را در یک بازه زمانی محدود ادغام کند. با این وجود می توان آن را با گرفتن محدودیت به فواصل نامحدود افزایش داد ، به شرطی که پاسخی مانند ∞ - yield نداشته باشد.

ادغام در ساختارهای غیر از فضای اقلیدسی . انتگرال ریمان با ساختار نظم خط واقعی پیوندی ناگسستنی دارد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

ادامه انتگرال لبگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 7:18

ساخت و ساز [ ویرایش ]

نظریه انتگرال لبگ به نظریه ای از مجموعه ها و اندازه گیری های قابل اندازه گیری روی این مجموعه ها و همچنین تئوری توابع و انتگرال های قابل اندازه گیری درباره این توابع نیاز دارد.

نظریه اندازه گیری [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اندازه گیری (ریاضیات)

نظریه اندازه گیری در ابتدا برای ارائه انتزاعی مفید از مفهوم طول زیر مجموعه های خط واقعی - و به طور کلی ، مساحت و حجم زیر مجموعه های فضاهای اقلیدسی ایجاد شد. به طور خاص ، این پاسخ منظم به این سوال که کدام زیر مجموعه های ℝ دارای طول هستند ، ارائه می دهد. همانطور که تحولات بعدی نظریه مجموعه ها نشان داد (به مجموعه غیر قابل اندازه گیری مراجعه کنید ) ، در واقع اختصاص دادن طول به همه زیر مجموعه های ℝ به روشی که برخی از خصوصیات طبیعی و عدم تغییر ترجمه را حفظ کند غیرممکن است. این نشان می دهد که انتخاب یک کلاس مناسب از زیر مجموعه های قابل اندازه گیری یک پیش نیاز اساسی است.

انتگرال ریمان به وضوح از مفهوم طول استفاده می کند. در واقع ، عنصر محاسبه برای انتگرال ریمان مستطیل [ a ، b ] × [ c ، d ] است که مساحت آن برابر با ( b - a ) ( d - c ) است . مقدار b - a طول قاعده مستطیل و d - c ارتفاع مستطیل است. ریمان فقط می توانست از مستطیل های مسطح برای تخمین سطح زیر منحنی استفاده کند ، زیرا تئوری کافی برای اندازه گیری مجموعه های عمومی تر وجود نداشت.

در توسعه نظریه در اکثر کتابهای درسی مدرن (پس از سال 1950) ، روش اندازه گیری و ادغام بدیهی است . این بدان معناست که یک اندازه گیری هر μ تابع تعریف شده بر روی یک کلاس خاص است X از زیر مجموعه های یک مجموعه E ، که ارضا یک لیست خاصی از خواص. می توان نشان داد که این خصوصیات در موارد مختلف نگهداری می شوند.

توابع قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

ما با یک فضای اندازه گیری ( E ، X ، μ) شروع می کنیم که در آن E یک مجموعه است ، X یک جبر σ از زیر مجموعه های E است ، و μ یک اندازه گیری (غیر منفی ) در E است که روی مجموعه های X تعریف شده است .

به عنوان مثال، E می تواند اقلیدسی N فضا- ℝ N و یا برخی از لبسگو اندازه گیری زیر مجموعه ای از آن، X است σ جبر از همه لبسگو زیر مجموعه های اندازه گیری الکترونیکی و μ اندازه گیری لبسگو است. در نظریه احتمالات ریاضی ، ما مطالعه خود را به اندازه گیری احتمال μ محدود می کنیم ، که μ ( E ) = 1 را برآورده می کند .

نظریه لبسگ انتگرال ها را برای دسته ای از توابع به نام توابع قابل اندازه گیری تعریف می کند . یک تابع با ارزش واقعی f در E قابل اندازه گیری است اگر پیش تصویری از هر بازه از فرم ( t ، ∞) (در واقع ، هر مجموعه Borel ) در X باشد :

${\ displaystyle \ {x \، \ mid \، f (x)> t \} \ in X \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}$

ما می توانیم نشان دهیم که این برابر با الزام به پیش نمایش تصویر زیر مجموعه های Borel از in در X است . مجموعه توابع قابل اندازه گیری تحت عملیات جبری بسته می شود ، اما مهمتر از آن در انواع مختلف محدودیت های متوالی نقطه ای بسته می شود :

$\ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k} ، \ quad \ liminf _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k} ، \ quad \ limsup _ {k \ in \ mathbb { N}} f_ {k}$

اگر توالی اصلی ( f k ) k ، جایی که k ∈ of ، شامل توابع قابل اندازه گیری است ، قابل اندازه گیری هستند.

روشهای مختلفی برای تعریف انتگرال وجود دارد:

${\ displaystyle \ int _ {E} f \، d \ mu = \ int _ {E} f \ چپ (x \ راست) \، d \ mu \ چپ (x \ راست)}$

برای توابع حقیقی اندازه گیری F در تعریف E .

ساخت انتگرال [ ویرایش ]

تقریب یک عملکرد با توابع ساده.

یک روش برای ساخت انتگرال لبگا ستفاده از توابع به اصطلاح ساده است : ترکیبات خطی واقعی محدود از توابع نشانگر . برای یک مبتدی نظریه اندازه گیری ، این ساختار انتگرال لبگ هنگامی که با روش استفاده از مجموع ریمان با تعریف / ساخت انتگرال ریمان مقایسه می شود ، شهودی تر است . از توابع ساده می توان برای تقریب یک تابع قابل اندازه گیری ، با تقسیم دامنه به لایه ها ، استفاده کرد. انتگرال یک تابع ساده برابر است با اندازه گیری یک لایه داده شده ، چند برابر ارتفاع آن لایه. انتگرال یک عملکرد قابل اندازه گیری عمومی غیر منفی سپس به عنوان یک برتری مناسب تعریف می شودتقریب ها توسط توابع ساده ، و انتگرال یک تابع قابل اندازه گیری (نه لزوماً مثبت) تفاوت دو انتگرال از توابع قابل اندازه گیری غیر منفی است ، همانطور که قبلا ذکر شد .

توابع نشانگر [ ویرایش ]

برای اختصاص یک مقدار به انتگرال تابع نشانگر 1 S از یک مجموعه قابل اندازه گیری S سازگار با اندازه μ داده شده ، تنها انتخاب معقول این است که تنظیم کنید:

${\ displaystyle \ int 1_ {S} \، d \ mu = \ mu (S).}$

توجه داشته باشید که نتیجه ممکن است برابر با + ∞ باشد ، مگر اینکه μ یک اندازه گیری محدود باشد.

توابع ساده [ ویرایش ]

ترکیبی خطی محدود از توابع نشانگر

$\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}$

که در آن ضرایب a k اعداد واقعی و S k مجموعه های قابل اندازه گیری جداگانه هستند ، یک تابع ساده قابل اندازه گیری نامیده می شود . انتگرال را با خطی بودن به توابع ساده قابل اندازه گیری غیر منفی گسترش می دهیم . وقتی ضرایب a k غیر منفی باشند ، تنظیم می کنیم

$\ int \ چپ (\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}} \ راست) \ ، d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ int 1_ {S_ {k}} \ ، d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ ، \ mu (S_ {k}).$

قرارداد 0 × ∞ = 0 باید استفاده شود ، و نتیجه ممکن است بی نهایت باشد. حتی اگر یک تابع ساده از بسیاری جهات به عنوان ترکیبی خطی از توابع نشانگر قابل نوشتن باشد ، انتگرال همیشه یکسان است. این را می توان با استفاده از خاصیت افزودنی اندازه گیری ها نشان داد.

برخی از مراقبت مورد نیاز است هنگام تعریف جدایی ناپذیر از یک واقعی ارزش تابع ساده، برای جلوگیری از بیان تعریف نشده ∞ - ∞ : یکی فرض می شود که نمایندگی

$f = \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}$

به گونه ای است که μ ( S k ) <∞ هر زمان که k k ≠ 0 باشد. سپس فرمول فوق برای انتگرال f منطقی است ، و نتیجه به نمایندگی خاص f برآورده ساختن فرض ها بستگی ندارد .

اگر B زیر مجموعه قابل اندازه گیری است E و حال یک تابع ساده اندازه گیری است یکی را تعریف می کند

$\ int _ {B} s \، d \ mu = \ int 1_ {B} \، s \، d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \، \ mu (S_ {k} \ cap B )$

توابع غیر منفی [ ویرایش ]

بگذارید f یک تابع قابل اندازه گیری غیر منفی در E باشد ، که به آن اجازه می دهیم مقدار + ain را بدست آوریم ، به عبارت دیگر ، f مقادیر غیر منفی را در خط عدد توسعه یافته واقعی می گیرد . ما تعریف می کنیم

$\ int _ {E} f \، d \ mu = \ sup \ left \ {\، \ int _ {E} s \، d \ mu: 0 \ leq s \ leq f، \ s \ {\ text {simple }}\،\درست\}.$

ما باید نشان دهیم که این انتگرال همزمان با قبلی است ، که در مجموعه توابع ساده تعریف شده است ، زمانی که E یک قطعه است [ a ، b ]. همچنین این سال وجود دارد که آیا این امر به هیچ وجه با مفهوم ادغام ریمان مطابقت دارد؟ می توان ثابت کرد که پاسخ هر دو سوال مثبت است.

ما انتگرال f را برای هر تابع قابل اندازه گیری غیر واقعی منفی قابل اندازه گیری در E تعریف کرده ایم . برای برخی از توابع ، این انتگرال ∫ E f dμ بی نهایت است.

داشتن یک توالی خاص از توابع ساده که تقریباً چاه انتگرال لبگ را تقریب می بخشد (به طور مشابه با مبلغ ریمان) ، اغلب مفید است. برای یک تابع غیر قابل اندازه گیری f ، اجازه دهید ${\ displaystyle s_ {n} (x)}$ تابع ساده ای است که مقدار آن است

${\ displaystyle k / 2 ^ {n}}$ هر زمان که

${\ displaystyle k / 2 ^ {n} \ leq f (x) <(k + 1) / 2 ^ {n}}$ ، برای k یک عدد صحیح غیر منفی کمتر از (بگویید) $4 ^ {n}$ . سپس می توان مستقیماً ثابت کرد که

${\ displaystyle \ int f \، d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int s_ {n} \، d \ mu}$

و این محدودیت در سمت راست به عنوان یک عدد واقعی گسترش یافته وجود دارد. این ارتباط بین رویکرد به انتگرال لبگ با استفاده از توابع ساده و انگیزه برای انتگرال لبگ با استفاده از یک پارتیشن از محدوده است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

ادامه انتگرال لبگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 7:12

تفسیر بصری [ ویرایش ]

ادغام ریمان-داربوکس (به رنگ آبی) و ادغام لبسگ (با رنگ قرمز).

برای درک شهودی درباره رویکردهای مختلف ادغام ، تصور کنیم که می خواهیم حجم کوهی (بالاتر از سطح دریا) را پیدا کنیم.

رویکرد ریمان - داربو

پایه کوه را به شبکه ای از مربع های 1 متری تقسیم کنید. ارتفاع کوه را در مرکز هر میدان اندازه بگیرید. حجم بر روی یک مربع شبکه واحد حدود 1 متر است 2 × (ارتفاع آن مربع است)، بنابراین حجم کل 1 متر است 2 برابر مجموع ارتفاعات.

رویکرد Lebesgue

یک نقشه کانتور از کوه ترسیم کنید ، جایی که خطوط مجاور 1 متر از یکدیگر فاصله دارند. حجم زمین یک کانتور منفرد تقریباً 1 مترمربع است (مساحت آن کانتور) ، بنابراین حجم کل حاصل جمع این مناطق برابر 1 متر است.

Folland خلاصه تفاوت بین ریمان و Lebesgue روش کند: «برای محاسبه انتگرال ریمان F ، یکی پارتیشن دامنه [ ، ب ] به subintervals"، در حالی که در انتگرال Lebesgue، "یکی در اثر پارتیشن بندی وسیعی از F " [1]

به سمت یک تعریف رسمی [ ویرایش ]

یک عملکرد قابل اندازه گیری همراه با مجموعه نشان داده شده است ${\ displaystyle \ {x | f (x)> t \}}$ (در محور x). انتگرال لبگ با برش دادن در امتداد محور y با استفاده از اندازه گیری 1 بعدی Lebesgue برای اندازه گیری "عرض" برش ها بدست می آید.

برای تعریف انتگرال لبگ نیاز به مفهوم رسمی اندازه گیری است که تقریباً به هر مجموعه A از اعداد واقعی یک عدد غیر منفی μ ( A ) را نشان می دهد که نشان دهنده "اندازه" A است . این مفهوم "اندازه" باید با طول معمول یک فاصله یا اتحاد جداگانه فواصل مطابقت داشته باشد. فرض کنید f : ℝ → ℝ + یک تابع با ارزش واقعی غیر منفی است. با استفاده از فلسفه "تقسیم دامنه f " ، انتگرال f باید مجموع بیش از t منطقه ابتدایی موجود در نوار افقی نازک بین y = t باشدو y = t - dt . این منطقه ابتدایی فقط است

$\ mu \ چپ (\ {x \ mid f (x)> t \} \ right) \، dt.$

اجازه دهید

$f ^ {*} (t) = \ mu \ چپ (\ {x \ mid f (x)> t \} \ راست).$

انتگرال لبگ از f توسط [2] تعریف می شود

$\ int f \، d \ mu = \ int _ {0} ^ {\ infty} f ^ {*} (t) \، dt$

جایی که انتگرال در سمت راست یک انتگرال معمولی نامناسب ریمان است . توجه داشته باشید که F * غیر منفی کاهش عملکرد است، و در نتیجه تا جدایی ناپذیر ریمان نامناسب به خوبی تعریف شده با ارزش در فاصله [0، ∞] . برای یک کلاس مناسب از توابع ( توابع قابل اندازه گیری ) ، این انتگرال لبگ را تعریف می کند.

یک تابع قابل اندازه گیری کلی (نه لزوماً مثبت) f قابل تجزیه لبگ است اگر منطقه بین نمودار f و x-x محدود باشد:

$\ int | f | \ ، d \ mu <+ \ بی اعتبار است.$

در آن حالت ، همانند مورد ریمانیان ، انتگرال تفاوت بین ناحیه بالای محور- x و ناحیه زیر محور- x است :

$\ int f \، d \ mu = \ int f ^ {+} \، d \ mu - \ int f ^ {-} \، d \ mu$

جایی که $f = f ^ {+} - f ^ {-}$ تجزیه f به اختلاف دو تابع غیر منفی داده شده توسط است

${\ displaystyle {\ start {تراز شده}} {3} f ^ {+} (x) & = \ max \ {f (x) ، 0 \} & {} = {} و {\ start {موارد} f (x ) ، و {\ text {if}} f (x)> 0 ، \\ 0 ، و {\ text {در غیر این صورت}} \ end {موارد}} \\ f ^ {-} (x) & = \ max \ {-f (x) ، 0 \} و {} = {} و {\ {شروع {موارد} -f (x) ، و {\ text {if}} f (x) <0 ، \\ 0 و { \ text {در غیر این صورت.}} \ end {موارد}} \ end {تراز شده}}}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

انتگرال لبگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 6:55

انتگرال یک عملکرد مثبت را می توان به عنوان زیر یک منحنی تفسیر کرد.

بخشی از یک سری مقالات در مورد

حساب

دیفرانسیل[نمایش]

انتگرال[پنهان شدن]

تعاریف
لیست انتگرال ها تبدیل یکپارچه
ضد اشتقاق انتگرال ( نامناسب ) جدایی ناپذیر ریمان ادغام Lebesgue ادغام کانتور انتگرال توابع معکوس
ادغام توسط
قطعات دیسک ها پوسته های استوانه ای تعویض ( مثلثات ، وایراسترس ، اویلر ) فرمول اولر فراکسیون جزئی تغییر ترتیب فرمول های کاهش افتراق زیر علامت انتگرال

سلسله[نمایش]

بردار[نمایش]

چند متغیره[نمایش]

تخصصی[نمایش]

واژه نامه حساب[نمایش]

در ریاضیات ، انتگرال یک تابع غیر منفی یک متغیر را می توان در ساده ترین حالت به عنوان ناحیه ای بین نمودار آن تابع و محور x در نظر گرفت . انتگرال Lebesgue گسترش انتگرال به یک کلاس بزرگتر از توابع. همچنین دامنه هایی را که می توان این توابع را روی آنها تعریف کرد ، گسترش می دهد.

مدتها قبل از قرن 20 ، ریاضیدانان قبلاً فهمیده بودند که برای توابع غیر منفی با نمودار به اندازه کافی صاف - مانند توابع مداوم در فواصل محدود بسته - منطقه زیر منحنی را می توان به عنوان یکپارچه تعریف کرد و با استفاده از تکنیک های تقریب در منطقه محاسبه کرد توسط چند ضلعی . با این حال ، همانطور که نیاز به در نظر گرفتن توابع نامنظم بیشتر بوجود آمد - به عنوان مثال ، در نتیجه فرآیندهای محدود کننده تجزیه و تحلیل ریاضی و نظریه ریاضی احتمال - مشخص شد که برای تعریف یک انتگرال مناسب ، تکنیک های تقریب دقیق تری لازم است. همچنین ، ممکن است کسی بخواهد در فضاهایی کلی تر از خط واقعی ادغام شود. انتگرال Lebesgue انتزاعات مورد نیاز برای انجام این کار مهم را فراهم می کند.

انتگرال Lebesgue نقش مهمی در نظریه احتمال ، تحلیل واقعی و بسیاری از زمینه های دیگر در ریاضیات دارد. نام آن از هنری لبسگو (1841–1875) گرفته شده است ، كه انتگرال را معرفی كرده است ( Lebesgue 1904 ). این همچنین یک قسمت محوری از نظریه بدیهیات احتمال است .

اصطلاح ادغام Lebesgue می تواند به معنای نظریه عمومی ادغام یک تابع با توجه به یک اندازه گیری کلی باشد ، همانطور که توسط Lebesgue معرفی شده است ، یا مورد خاص ادغام یک تابع تعریف شده در یک زیر دامنه از خط واقعی با توجه به اندازه گیری Lebesgue .

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

انتگرال یک تابع مثبت f بین حدفاصل a و b را می توان به عنوان منطقه زیر نمودار f تفسیر کرد . این برای توابع آشنا مانند چند جمله ای ها آسان است ، اما برای عملکردهای عجیب و غریب بیشتر چه معنی دارد؟ به طور کلی ، "کدام منطقه زیر منحنی" برای کدام دسته از توابع معنی دارد؟ پاسخ این س importanceال از اهمیت نظری و عملی زیادی برخوردار است.

به عنوان بخشی از یک حرکت کلی به سمت سخت گیری در ریاضیات در قرن نوزدهم ، ریاضیدانان تلاش کردند تا حساب یکپارچه را بر پایه ای محکم قرار دهند. جدایی ناپذیر ریمان -proposed توسط برنهارد ریمان (1826-1866) -is تلاش گسترده موفق به ارائه چنین پایه و اساس. تعریف ریمان با ساخت دنباله ای از مناطق به راحتی محاسبه شده آغاز می شود که به انتگرال یک تابع معین همگرا می شوند. این تعریف از این نظر موفقیت آمیز است که برای بسیاری از مشکلات که قبلاً حل شده اند پاسخ مورد انتظار را می دهد و برای بسیاری از مشکلات دیگر نتایج مفیدی را به همراه دارد.

با این حال ، ادغام ریمان با گرفتن توالی از توابع تعامل خوبی ندارد ، و تجزیه و تحلیل چنین فرآیندهای محدود را دشوار می کند. این مهم است، به عنوان مثال، در مطالعه سریهای فوریه ، تبدیل فوریه ، و موضوعات دیگر. انتگرال Lebesgue بهتر قادر به توصیف چگونگی و زمان امکان گرفتن محدودیت در علامت انتگرال است (از طریق قضیه همگرایی یکنواخت قدرتمند و قضیه همگرایی مسلط ).

در حالی که انتگرال ریمان سطح زیر منحنی را از مستطیل های عمودی ساخته شده در نظر می گیرد ، تعریف Lebesgue دال های افقی را در نظر می گیرد که لزوما فقط مستطیل نیستند ، بنابراین انعطاف پذیرتر است. به همین دلیل ، تعریف Lebesgue محاسبه انتگرال ها را برای یک دسته گسترده تر از توابع امکان پذیر می کند. به عنوان مثال ، تابع Dirichlet ، که 0 استدلال آن غیر منطقی است و 1 در غیر این صورت ، یک انتگرال Lebesgue دارد ، اما یک انتگرال ریمان ندارد. بعلاوه ، انتگرال Lebesgue از این تابع صفر است ، که با این شهود موافق است که هنگام انتخاب یک عدد واقعی به طور یکنواخت و به طور تصادفی از فاصله واحد ، احتمال انتخاب یک عدد منطقی باید صفر باشد.

لیبسگ رویكرد خود را برای ادغام در نامه ای به Paul Montel خلاصه كرد :

من باید مبلغ مشخصی را که در جیبم جمع کرده ام بپردازم. اسکناس ها و سکه ها را از جیبم بیرون می آورم و آنها را به ترتیب پیدا کردن به طلبکار می دهم تا زمانی که به مبلغ کل رسیدم. این جدایی ناپذیر ریمان است. اما می توانم طور دیگری پیش بروم. بعد از اینکه همه پول را از جیبم بیرون آوردم ، اسکناس ها و سکه ها را مطابق ارزش های یکسان سفارش می دهم و سپس چندین انبار را یکی پس از دیگری به طلبکار پرداخت می کنم. این جدایی ناپذیر من است.
- منبع : ( Siegmund-Schultze 2008 )

بینش این است که فرد باید بتواند مقادیر یک تابع را آزادانه مرتب کند ، در حالی که مقدار انتگرال را حفظ می کند. این فرآیند بازآرایی می تواند عملکرد بسیار آسیب شناختی را به یک عملکرد "خوب" از نظر ادغام تبدیل کند و بنابراین اجازه می دهد چنین عملکردهای آسیب شناسی یکپارچه شوند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

انتگرال ریمان-استیلتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 6:52

انتگرال عمومی ریمان-استیلتس [ ویرایش ]

یک تعمیم جزئی [8] این است که در تعریف بالا پارتیشن P را در نظر بگیرید که یک پارتیشن دیگر P ε را تصفیه می کند ، به این معنی که P از P ε با افزودن نقاط ناشی می شود ، نه از پارتیشن هایی با مش ظریف تر. به طور خاص، تعمیم جدایی ناپذیر ریمان-Stieltjes از F با توجه به گرم یک عدد است طوری که برای هر ε > 0 وجود دارد یک پارتیشن وجود دارد P ε طوری که برای هر پارتیشن P که تصحیح P ε ،

$| S (P ، f ، g) -A | <\ varepsilon \ ،$

برای هر گزینه از نقاط c i در [ x i ، x i +1 ].

این تعمیم انتگرال ریمان-استیلتس را به عنوان محدودیت مور-اسمیت در مجموعه کارگردانی پارتیشن های [ a ، b ] نشان می دهد. [9] [10]

یک نتیجه این است که با این تعریف ، انتگرال ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، \ mathrm {d} g (x)}$ هنوز هم می توان در مواردی که f و g دارای یک نقطه انقطاع مشترک هستند تعریف شود.

مبالغ داربوکس [ ویرایش ]

با استفاده از یک تعمیم مناسب مبالغ داربو می توان با انتگرال ریمان-استیلتس به طور موثر کار کرد . برای یک پارتیشن P و یک تابع کاهش نیافته g بر روی [ a ، b ] مقدار Darboux فوقانی f را با توجه به g توسط تعریف کنید

${\ displaystyle U (P، f، g) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \، \، [\، g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) \، ] \، \ sup _ {x \ in [x_ {i-1}، x_ {i}]} f (x)}$

و مبلغ پایین توسط

${\ displaystyle L (P، f، g) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \، \، [\، g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) \، ] \، \ inf _ {x \ in [x_ {i-1}، x_ {i}]} f (x).}$

سپس ریمان-استیلتس عمومی f با توجه به g وجود دارد اگر و فقط اگر ، برای هر ε> 0 ، یک پارتیشن P وجود داشته باشد به طوری که

$U (P ، f ، g) -L (P ، f ، g) <\ varepsilon.$

بعلاوه ، f با توجه به g (به معنای کلاسیک) اگر با Riemann-Stieltjes قابل تلفیق باشد ، است

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {mesh} (P) \ تا 0} [\، U (P، f، g) -L (P، f، g) \،] = 0. \ quad}$ [11]

مثالها و موارد خاص [ ویرایش ]

**مشتقپذیر گرم ( X ) [ ویرایش ]**

با توجه به $g (x)$ که به طور مداوم از هم متفاوت است $\ mathbb {R}$ می توان نشان داد که برابری وجود دارد

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '(x) \، \ mathrm {d} x}$

جایی که انتگرال در سمت راست انتگرال استاندارد ریمان است ، با این فرض که $f$ می تواند توسط انتگرال Riemann-Stieltjes ادغام شود.

به طور کلی ، انتگرال ریمان برابر است با انتگرال ریمان-استیلتس در صورت $g$ است Lebesgue انتگرال از مشتق شده از آن. در این مورد $g$ گفته می شود کاملاً مستمر است .

ممکن است اینگونه باشد $g$ دارای ناپیوستگی های پرش است ، یا ممکن است تقریباً در همه جا صفر مشتق داشته باشد در حالی که هنوز مداوم است و افزایش می یابد (به عنوان مثال ، $g$ می تواند تابع کانتور یا "راه پله شیطان" باشد) ، در هر یک از موارد انتگرال ریمان-استیلتس توسط هیچ عبارتی مشتق شده از g ضبط نمی شود .

انتگرال ریمان [ ویرایش ]

انتگرال استاندارد ریمان مورد خاصی از انتگرال ریمان-استیلتس است که در آن قرار دارد $g (x) = x$ .

یکسو کننده [ ویرایش ]

عملکرد را در نظر بگیرید ${\ displaystyle g (x) = \ max \ {0، x \}}$ مورد استفاده در مطالعه شبکه های عصبی ، به نام یک واحد خطی اصلاح شده (ReLU) . سپس Riemann-Stieltjes را می توان به عنوان ارزیابی کرد

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) \ ، \ mathrm {d} x}$

جایی که انتگرال در سمت راست انتگرال استاندارد ریمان است.

ادغام کاوالیر [ ویرایش ]

تجسم انتگرال Cavaliere برای عملکرد ${\ displaystyle f (x) = (2x + 8) ^ {3}}$

از اصل کاوالیری می توان برای محاسبه نواحی محدود شده توسط منحنی ها با استفاده از انتگرال های ریمان-استیلتس استفاده کرد. [12] نوارهای یکپارچه سازی ریمان با نوارهایی غیر شکل مستطیل جایگزین می شوند. روش تبدیل "منطقه کاوالیر" با یک تحول است $ساعت$ ، یا برای استفاده ${\ displaystyle g = h ^ {- 1}}$ به عنوان یکپارچه

برای یک تابع داده شده $f (x)$ در یک فاصله $[a، b]$ ، یک "تابع ترجمه" $a (y)$ باید تلاقی کند ${\ displaystyle (x ، f (x))}$ دقیقاً یکبار برای هر تغییر در فاصله. سپس یک منطقه "کاوالیر" محدود می شود ${\ displaystyle f (x) ، a (y)}$ ، $ایکس$ -محور ، و ${\ displaystyle b (y) = a (y) + (ba)}$ . پس از آن منطقه منطقه است

${\ displaystyle \ int _ {a (y)} ^ {b (y)} f (x) \، dx \ = \ \ int _ {a '} ^ {b'} f (x) \، dg (x ) ،}$ جایی که $آ'$ و $ب '$ هستند $ایکس$ -که در آن ارزش دارد $a (y)$ و ${\ displaystyle b (y)}$ تلاقی کردن $f (x)$ .

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ Stieltjes (1894) ، صص 68–71.
^ هیل و فیلیپس (1974) ، بند 3،3.
^ جوان (1936) .
^ به Riesz & Sz مراجعه کنید . Nagy (1990) برای جزئیات بیشتر.
^ Johnsonbaugh & Pfaffenberger (2010) ، ص. 219
^ رودین (1964) ، صص 121–122.
^ Kolmogorov & Fomin (1975) ، ص. 368
^ توسط Pollard (1920) معرفی شدهو اکنون در تحلیل استاندارد است.
^ مک شان (1952) .
^ هیلدبرانت (1938) آن را خواستار جدایی ناپذیر پولارد-مور-Stieltjes .
^ گریوز (1946) ، فصل. XII ، §3.
^ TL Grobler ، ER Ackermann ، AJ van Zyl و JC Olivier Cavaliere ادغاماز شورای تحقیقات علمی و صنعتی

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Stieltjes_integral

انتگرال ریمان-استیلتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 6:51

در ریاضیات ، انتگرال ریمان-استیلتس تعمیم انتگرال ریمان است که به نام برنهارد ریمان و توماس جوآن استیلتس نامگذاری شده است . تعریف این انتگرال برای اولین بار در سال 1894 توسط Stieltjes منتشر شد. [1] این به عنوان یک پیشرو آموزنده و مفید از انتگرال Lebesgue ، و ابزاری بسیار ارزشمند در متحد کردن اشکال معادل قضیه های آماری است که برای احتمال گسسته و مستمر اعمال می شود.

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

جدایی ناپذیر ریمان-استیلتس از عملکردی با ارزش واقعی $f$ از یک متغیر واقعی در فاصله $[a، b]$ با توجه به عملکرد واقعی دیگر $g$ با نشان داده می شود

${\ displaystyle \ int _ {x = a} ^ {b} f (x) \ ، \ mathrm {d} g (x).}$

تعریف آن از توالی پارتیشن ها استفاده می کند

$پ$ از فاصله $[a، b]$

${\ displaystyle P = \ {a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n} = b \}.}$

بنابراین انتگرال تعریف می شود به عنوان حد ، به عنوان هنجار (طول طولانی ترین subinterval) از پارتیشن نزدیک می شود{\ displaystyle 0} ${\ displaystyle 0}$ ، از مجموع تقریبی

${\ displaystyle S (P، f، g) = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (c_ {i}) \ left [g (x_ {i + 1}) - g (x_ { من}) \ راست]}$

جایی که $c_ {i}$ در زیر- i i قرار دارد [ x i ، x i +1 ]. دو عملکرد $f$ و $g$ به ترتیب Integrand و Integrator نامیده می شوند . معمولا $g$ گرفته شده است به یکنواخت (و یا حداقل از تنوع محدود ) و راست نیمه (با این حال این آخرین اساسا کنوانسیون). ما به طور خاص نیازی نداریم

$g$ پیوسته باشد ، این امکان را برای انتگرال هایی که اصطلاحات جرم نقطه دارند فراهم می کند.

در اینجا "حد" قابل درک است که یک عدد A است (مقدار انتگرال ریمان-استیلتس) به گونه ای که برای هر ε > 0 ، δ > 0 وجود دارد به طوری که برای هر پارتیشن P با هنجار ( P ) < δ ، و برای هر انتخاب نقاط c i در [ x i ، x i +1 ] ،

$| S (P ، f ، g) -A | <\ varepsilon. \ ،$

خصوصیات [ ویرایش ]

انتگرال Riemann-Stieltjes ادغام قطعات را در فرم پذیرفته است

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، \ mathrm {d} g (x) = f (b) g (b) -f (a) g (a) - \ int _ {a} ^ {b} g (x) \ ، \ mathrm {d} f (x)}$

و وجود هر یک از انتگرالها دلالت بر وجود دیگری دارد. [2]

از سوی دیگر، در نتیجه کلاسیک [3] نشان می دهد که انتگرال به خوبی تعریف شده اگر F است α - دارنده مستمر و گرم است β -Hölder مستمر با α + β > 1 .

کاربرد در نظریه احتمال [ ویرایش ]

اگر گرم است تجمعی تابع توزیع احتمال یک متغیر تصادفی X که دارای یک تابع چگالی احتمال با توجه به اندازه گیری Lebesgue و F هر تابع که است مقدار مورد انتظار ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ چپ [\ ، \ چپ | f (X) \ راست | \ ، \ راست]}$ متناهی است ، پس تابع چگالی احتمال X مشتق g است و ما داریم

${\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) g '(x) \، \ mathrm {d} x.}$

اما اگر X دارای تابع چگالی احتمال نسبت به اندازه گیری Lebesgue نباشد ، این فرمول کار نمی کند . به طور خاص ، اگر توزیع X گسسته باشد کار نمی کند (یعنی همه احتمالات توسط جرم های نقطه ای محاسبه می شود) ، و حتی اگر توزیع توزیع تجمعی g مداوم باشد ، اگر g نتواند باشد ، کار نمی کند . کاملاً مداوم (باز هم ، عملکرد Cantor ممکن است به عنوان نمونه ای از این خرابی عمل کند). اما هویت

${\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \، \ mathrm {d} g (x)}$

نگه می دارد اگر گرم است هر تابع توزیع احتمال تجمعی در خط واقعی، مهم نیست که چگونه بد رفتار شده است. به طور خاص ، مهم نیست که چقدر عملکرد بد توزیع تجمعی g یک متغیر تصادفی X بد رفتاری داشته باشد ، اگر لحظه E ( X n ) وجود داشته باشد ، آنگاه برابر است با

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X ^ {n} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n} \، \ mathrm {d} g (x). }$

کاربرد در تحلیل عملکردی [ ویرایش ]

نشان داده میشود، انتگرال ریمان-استیلتیس در فرمول اصلی از قضیه اف Riesz به است که نشان دهنده فضای دو از باناخ فضای C [ ، ب ] از توابع پیوسته در بازه [ ، ب ] به عنوان انتگرال ریمان-Stieltjes در برابر عملکرد محدود تنوع . بعداً ، این قضیه از نظر اندازه گیری مجدداً تنظیم شد.

انتگرال ریمان-استیلتس همچنین در فرمول قضیه طیفی برای اپراتورهای خود پیوست (یا به طور کلی ، طبیعی) در یک فضای هیلبرت ظاهر می شود. در این قضیه ، انتگرال با توجه به یک خانواده طیفی از پیش بینی ها در نظر گرفته شده است. [4]

وجود انتگرال [ ویرایش ]

بهترین قضیه وجود ساده بیان می کند که اگر f پیوسته باشد و g از تغییر محدوده [ a ، b ] برخوردار باشد ، انتگرال وجود دارد. [5] [6] [7] یک تابع g اگر فقط تفاوت بین دو عملکرد یکنواخت (محدود) باشد ، از یک تغییر محدود برخوردار است. اگر g از تنوع محدودی برخوردار نباشد ، توابع مداومی وجود خواهد داشت که با توجه به g نمی توانند یکپارچه شوند . به طور کلی ، انتگرال به خوبی تعریف نشده است اگر f و g هر نقطه از انقطاع را داشته باشند ، اما موارد دیگری نیز وجود دارد.

تعمیم [ ویرایش ]

یک تعمیم مهم انتگرال Lebesgue – Stieltjes است که انتگرال Riemann-Stieltjes را به روشی مشابه با نحوه تعمیم انتگرال Lebesgue انتگرال ریمان تعمیم می دهد. اگر انتگرال نامناسب ریمان-استیلتس مجاز باشد ، انتگرال Lebesgue کاملاً عمومی تر از انتگرال ریمان-استیلتس نیست.

انتگرال ریمان-استیلتس همچنین [ هنگامی که یکپارچه general یا یکپارچه کننده g در یک فضای Banach مقادیر را می گیرند ، [ مورد نیاز ] را تعمیم می دهد . اگر g : [ a ، b ] → X مقادیری را در فضای Banach X بدست آورد ، طبیعی است که فرض کنیم این یک تغییر به شدت محدود باشد ، به این معنی که

${\ displaystyle \ sup \ sum _ {i} \ | g (t_ {i-1}) - g (t_ {i}) \ | _ {X} <\ infty}$

برتری در تمام پارتیشن های محدود گرفته شده است

$a = t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ cdots \ leq t_ {n} = b$

از فاصله [ a ، b ]. این تعمیم از طریق تبدیل لاپلاس - استیلتس در مطالعه نیم گروه ها نقش دارد .

جدایی ناپذیر ITO گسترش انتگرال ریمان-Stietjes به انتگرال فراگیر و انتگرال که فرایندهای تصادفی به جای توابع ساده؛ همچنین به حساب تصادفی مراجعه کنید .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Stieltjes_integral

حساب در مقیاس زمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و چهارم شهریور ۱۳۹۹ | 11:56

در ریاضیات ، حساب دیفرانسیل و انتگرال در مقیاس زمان اتحاد از تئوری است معادلات تفاوت را با معادلات دیفرانسیل ، متحد انتگرال و دیفرانسیل حساب دیفرانسیل و انتگرال با حساب تفاوت محدود ، ارائه یک فرمالیسم برای مطالعه گسسته پیوسته ترکیبی سیستم های دینامیکی . این برنامه در هر زمینه ای که به مدل سازی همزمان داده های گسسته و مداوم نیاز دارد ، دارای کاربردهایی است. این تعریف جدیدی از یک مشتق ارائه می دهد به این صورت که اگر کسی تابع تعریف شده روی اعداد واقعی را از هم متمایز کند ، تعریف معادل تمایز استاندارد است ، اما اگر کسی از یک تابع تعریف شده بر روی اعداد صحیح استفاده کند ، معادل آن استعملگر اختلاف رو به جلو .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

حساب مقیاس زمانی در سال 1988 توسط ریاضیدان آلمانی استفان هیلگر معرفی شد . [1] با این وجود ، قبلاً از ایده های مشابهی استفاده شده است و حداقل به معرفی انتگرال ریمان-استیلتس برمی گردد که مبالغ و انتگرال ها را متحد می کند.

معادلات پویا [ ویرایش ]

بسیاری از نتایج مربوط به معادلات دیفرانسیل به راحتی به نتایج مربوط به معادلات اختلاف منتقل می شوند ، در حالی که نتایج دیگر به نظر می رسد کاملاً متفاوت از نتایج پیوسته آنها باشد. [2] مطالعه معادلات پویا در مقیاس های زمانی چنین اختلافاتی را نشان می دهد و به جلوگیری از اثبات نتایج دو بار کمک می کند - یک بار برای معادلات دیفرانسیل و یک بار دیگر برای معادلات اختلاف. ایده کلی اثبات نتیجه ای برای یک معادله پویا است که در آن دامنه تابع ناشناخته به اصطلاح مقیاس زمانی باشد (همچنین به عنوان مجموعه ای از زمان شناخته می شود) ، که ممکن است یک زیرمجموعه بسته دلخواه از واقعیات باشد. در این روش، نتایج اعمال نه تنها به مجموعه ای از اعداد حقیقی یا مجموعه ای از اعداد صحیحاما به مقیاسهای زمانی کلی تر مانند یک مجموعه Cantor .

سه مثال محبوب ترین حساب دیفرانسیل و انتگرال در مقیاس های زمانی هستند حساب دیفرانسیل ، حساب دیفرانسیل و انتگرال تفاوت ، و حساب دیفرانسیل و انتگرال کوانتومی . معادلات پویا در مقیاس زمانی دارای پتانسیلی برای کاربردها هستند ، مانند پویایی جمعیت . به عنوان مثال ، آنها می توانند جمعیت حشرات را که در فصل به طور مداوم تکامل می یابند ، در زمستان در حالی که تخمهای آنها جوجه کشی یا خاموش هستند ، از بین ببرند و سپس در یک فصل جدید تخم بزنند و جمعیت غیر همپوشانی ایجاد کنند.

تعاریف رسمی [ ویرایش ]

مقیاس زمانی (یا اندازه گیری زنجیره ای ) است زیر مجموعه بسته از خط واقعی $\ mathbb {R}$ . علامت گذاری رایج برای مقیاس زمانی کلی این است $\ mathbb {T}$ .

دو نمونه متداول مقیاس زمانی ، اعداد واقعی هستند $\ mathbb {R}$ و مقیاس زمان گسسته $h \ mathbb {Z}$ .

یک نقطه واحد در مقیاس زمانی به صورت زیر تعریف می شود:

$t: t \ in \ mathbb {T}$

عملیات در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

عملگرهای پرش به جلو ، پرش به عقب و دانه در مقیاس زمانی گسسته

پرش به جلو و پرش رو به عقب اپراتورهای نشان دهنده نزدیک ترین نقطه در مقیاس زمانی در سمت راست و چپ یک نقطه داده شده $تی$ ، به ترتیب. به طور رسمی:

$\ sigma (t) = \ inf \ {s \ in \ mathbb {T}: s> t \}$ (اپراتور شیفت جلو / اپراتور جهش رو به جلو)

$\ rho (t) = \ sup \ {s \ in \ mathbb {T}: s <t \}$ (اپراتور تغییر عقب / عملگر پرش به عقب)

دانه دانه $\ mu$ فاصله از یک نقطه تا نزدیکترین نقطه در سمت راست است و توسط:

$\ mu (t) = \ sigma (t) -t.$

برای یک حق متراکم $تی$ ، $\ سیگما (t) = t$ و $\ mu (t) = 0$ .
برای یک چپ متراکم $تی$ ، $\ rho (t) = t$

طبقه بندی امتیازات [ ویرایش ]

چندین امتیاز در مقیاس زمانی با طبقه بندی های مختلف

برای هرچی $t \ in \ mathbb {T}$ ، $تی$ است:

متراکم مانده اگر $\ rho (t) = t$
درست متراکم اگر $\ سیگما (t) = t$
اگر پراکنده بماند $\ rho (t) <t$
درست پراکنده اگر $\ sigma (t)> t$
متراکم اگر هر دو متراکم و راست متراکم بمانند
جدا شده اگر هر دو چپ پراکنده و راست پراکنده باشند

همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است:

نقطه $t_ {1}$ است متراکم
نقطه $t_ {2}$ است متراکم چپ و راست پراکنده
نقطه $t_ {3}$ است جدا شده
نقطه $t_ {4}$ است به سمت چپ پراکنده و متراکم راست

تداوم [ ویرایش ]

تداوم مقیاس زمانی به عنوان معادل چگالی تعریف می شود. به مقیاس زمانی گفته می شود که از نظر نقطه درست است $تی$ اگر در نقطه متراکم باشد ، درست است $تی$ . به همین ترتیب ، گفته می شود که یک مقیاس زمانی در نقطه به صورت چپ پیوسته است $تی$ اگر در نقطه متراکم بماند $تی$ .

مشتق [ ویرایش ]

عملکردی را در نظر بگیرید:

$f: \ mathbb {T} \ rightarrow \ mathbb {R}$ ،

(جایی که ... می تواند هر فضای Banach باشد ، اما برای سادگی روی خط واقعی تنظیم شده است).

تعریف: مشتق دلتا (همچنین مشتق هیلگر) $f ^ {\ Delta} (t)$ وجود دارد اگر و فقط اگر:

برای هر $\ epsilon> 0$ یک محله وجود دارد $تو$ از $تی$ به طوری که:

$| f (\ sigma (t)) - f (s) -f ^ {\ Delta} (t) (\ sigma (t) -s) | \ leq \ varepsilon | \ sigma (t) -s |$

برای همه $s$ که در $تو$ .

$\ mathbb {T} = \ mathbb {R}.$ سپس $\ سیگما (t) = t$ $\ mu (t) = 0$ ، $f ^ {\ Delta} = f '$ ؛ مشتق مورد استفاده در حساب استاندارد است . اگر

$\ mathbb {T} = \ mathbb {Z}$ ( عدد صحیح ) ، $\ sigma (t) = t + 1$ ، $\ mu (t) = 1$ $f ^ {\ Delta} = \ Delta f$ عملگر اختلاف رو به جلو است که در معادلات اختلاف استفاده می شود.

ادغام [ ویرایش ]

جدایی ناپذیر دلتا به عنوان نامعین با توجه به مشتق دلتا تعریف شده است. اگر $F (t)$ یک مشتق مداوم دارد $f (t) = F ^ {\ Delta} (t)$ یکی تنظیم می شود

$\ int _ {r} ^ {s} f (t) \ Delta (t) = F (s) -F (r).$

تبدیل لاپلاس و تبدیل z [ ویرایش ]

یک تبدیل لاپلاس را می توان برای توابع در مقیاس زمانی تعریف کرد ، که از جدول مشابه تبدیل برای هر مقیاس دلخواه زمانی استفاده می کند. از این تبدیل می توان برای حل معادلات دینامیکی در مقیاس زمانی استفاده کرد. اگر مقیاس زمانی ، اعداد صحیح غیر منفی باشد ، تبدیل برابر است با [2] تغییر یافته در تبدیل Z :

${\ mathcal {Z}} '\ {x [z] \} = {\ frac {{\ mathcal {Z}} \ {x [z + 1] \}} {z + 1}}$

تمایز جزئی [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات اختلاف جزئی به عنوان معادلات پویای جزئی در مقیاس های زمانی متحد می شوند. [3] [4] [5]

ادغام چندگانه [ ویرایش ]

ادغام چندگانه در مقیاس زمانی در Bohner (2005) مورد بررسی قرار گرفته است. [6]

معادلات دینامیکی تصادفی در مقیاس زمان [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل تصادفی و معادلات اختلاف تصادفی را می توان به مقادیر زمانی به معادلات دینامیک تصادفی تعمیم داد. [7]

اندازه گیری تئوری در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

معیار طبیعی [8] [9] که از طریق هر مقیاس زمانی مرتبط است

$\ mu ^ {\ Delta} (A) = \ lambda (\ rho ^ {- 1} (A)) ،$

جایی که $\ لامبدا$ نشانگر میزان Lebesgue و $\ rho$ عملگر تغییر عقب است که در مشخص شده است $\ mathbb {R}$ . انتگرال دلتا به نظر می رسد یکپارچه معمول Lebesgue – Stieltjes با توجه به این اندازه گیری است

$\ int _ {r} ^ {s} f (t) \ Delta t = \ int _ {[r، s)} f (t) d \ mu ^ {\ Delta} (t)$

و معلوم می شود که مشتق دلتا مشتق رادون-نیکودیم با توجه به این اندازه گیری است [10]

$f ^ {\ Delta} (t) = {\ frac {df} {d \ mu ^ {\ Delta}}} (t).$

توزیع در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

دلتای دیراک و دلتای کرونکر در مقیاس های زمانی به عنوان متحد دلتا Hilger : [11] [12]

$\ delta _ {a} ^ {\ mathbb {H}} (t) = {\ start {موارد} {\ frac {1} {\ mu (a)}} ، & t = a \\ 0 ، & t \ neq a \ پایان {موارد}}$

معادلات انتگرال در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

معادلات انتگرال و معادلات جمع در مقیاس زمانی به عنوان معادلات انتگرال متحد می شوند. [ نیاز به منبع ]

حساب کسری در مقیاس زمان [ ویرایش ]

حساب کسری در مقیاس های زمانی در Bastos ، Mozyrska و Torres درمان می شود. [13]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

تجزیه و تحلیل فرکتال برای معادلات دینامیکی در یک مجموعه کانتور .

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Time-scale_calculus

شبیه سازی رویداد گسسته

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و چهارم شهریور ۱۳۹۹ | 11:45

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(هدایت از شبیه سازی رویداد گسسته )

پرش به ناوبری پرش به جستجو

یک شبیه سازی رویداد گسسته ( DES ) عملکرد سیستم را به عنوان دنباله ای ( گسسته ) از وقایع در زمان مدل می کند. هر رویداد در یک لحظه خاص در زمان اتفاق می افتد و نشان دهنده تغییر وضعیت در سیستم است. [1] بین وقایع پی در پی ، تصور نمی شود که تغییری در سیستم رخ دهد. بنابراین زمان شبیه سازی می تواند مستقیماً به زمان وقوع رویداد بعدی برسد ، که به آن پیشرفت زمان رویداد بعدی می گویند .

علاوه بر پیشرفت زمان رویداد بعدی ، یک روش جایگزین نیز وجود دارد که پیشرفت زمان با افزایش ثابت نامیده می شود ، جایی که زمان به برش های کوچک تقسیم می شود و وضعیت سیستم با توجه به مجموعه رویدادها / فعالیت هایی که در آن زمان اتفاق می افتد ، به روز می شود تکه. [2] از آنجا که لازم نیست هر قطعه زمان شبیه سازی شود ، یک شبیه سازی زمان بعدی می تواند به طور معمول خیلی سریعتر از یک شبیه سازی زمان افزایش ثابت مربوطه اجرا شود.

هر دو شکل DES در مقایسه با شبیه سازی مداوم است که در آن حالت سیستم به طور مداوم و در طول زمان بر اساس مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل تعریف می شود که نرخ تغییر متغیرهای حالت را تعریف می کند.

فهرست

مثال [ ویرایش ]

یک تمرین معمول در یادگیری نحوه ساختن شبیه سازی های رویدادهای گسسته ، مدل سازی یک صف است ، مانند مشتریانی که برای خدمات دهی توسط یک عابر بانک به یک بانک می رسند. در این مثال ، نهادهای سیستم عبارتند از صف مشتری و فروشنده . حوادث سیستم می باشد و ضوابط-ورود و ضوابط خروج . (رویداد Teller-Begins-Service می تواند بخشی از منطق رویدادهای ورود و خروج باشد.) حالات سیستم که توسط این رویدادها تغییر می کنند ، تعداد مشتریان در صف هستند (یک عدد صحیح از 0 تا n) و وضعیت تلفن (شلوغ یا بیکار). متغیرهای تصادفی که نیاز به مشخص می شود برای مدل سازی این سیستمتصادفی هستند و ضوابط-Interarrival وقت و تلر سرویس-زمان . چارچوبی مبتنی بر عامل برای مدل سازی عملکرد یک شبیه ساز رویداد گسسته موازی خوشبین مثال دیگری برای شبیه سازی رویداد گسسته است. [3]

اجزا [ ویرایش ]

علاوه بر منطق آنچه در هنگام وقوع حوادث سیستم رخ می دهد ، شبیه سازی های گسسته رویدادها شامل موارد زیر است:

صف اولویت ، کنترل کننده رویداد انیمیشن و کنترل کننده زمان عادی سازی مجدد زمان (با اجرای شبیه سازی ، متغیرهای زمان دقت خود را از دست می دهند. بعد از مدتی تمام متغیرهای زمان باید با کسر آخرین زمان رویداد پردازش شده مجدداً عادی شوند).

حالت [ ویرایش ]

حالت سیستم مجموعه ای از متغیرها است که خصوصیات برجسته سیستم مورد مطالعه را ضبط می کند. مسیر حالت با گذشت زمان S (t) را می توان از طریق ریاضی با یک تابع مرحله نشان داد که هر زمان که یک رویداد رخ می دهد مقدار آن می تواند تغییر کند.

ساعت [ ویرایش ]

شبیه سازی باید زمان شبیه سازی فعلی را در هر واحد اندازه گیری که برای سیستم مدل سازی مناسب است ، پیگیری کند. در شبیه سازی های رویداد گسسته ، در مقایسه با شبیه سازی های مداوم ، زمان "هاپ" می کند زیرا وقایع آنی هستند - ساعت با شروع شبیه سازی به زمان شروع رویداد بعدی می رود.

لیست رویدادها [ ویرایش ]

شبیه سازی حداقل یک لیست از رویدادهای شبیه سازی را حفظ می کند. این کار گاهی اوقات مجموعه رویداد معلق نامیده می شود زیرا در آن رویدادهایی ذکر شده است که در نتیجه رویداد شبیه سازی شده قبلی منتظر مانده اند اما هنوز خود آنها نباید شبیه سازی شوند. یک رویداد را با زمان وقوع آن توضیح می دهیم و یک نوع آن ، کدی را نشان می دهد که برای شبیه سازی آن رویداد استفاده می شود. پارامتر شدن کد رویداد معمول است ، در این صورت ، توضیحات رویداد همچنین حاوی پارامترهایی برای کد رویداد است.

وقتی وقایع آنی هستند ، فعالیتهایی که با گذشت زمان گسترش می یابند به عنوان توالی وقایع مدل می شوند. برخی از چارچوب های شبیه سازی اجازه می دهد تا زمان یک رویداد به عنوان فاصله مشخص شود ، زمان شروع و زمان پایان هر رویداد را نشان می دهد.

موتورهای شبیه سازی تک رشته ای مبتنی بر رویدادهای لحظه ای فقط یک رویداد جاری دارند. در مقابل ، موتورهای شبیه سازی چند رشته ای و موتورهای شبیه سازی که از یک مدل رویداد مبتنی بر فاصله پشتیبانی می کنند ، ممکن است چندین رویداد جاری داشته باشند. در هر دو مورد ، مشکلات قابل توجهی در هماهنگی بین رویدادهای جاری وجود دارد.

مجموعه رویداد در انتظار به طور معمول به عنوان یک صف اولویت بندی شده ، مرتب شده بر اساس زمان رویداد. [4] یعنی صرف نظر از ترتیب اضافه شدن رویدادها به مجموعه رویدادها ، آنها با ترتیب دقیق زمانی حذف می شوند. پیاده سازی های مختلف اولویت های مختلف در زمینه شبیه سازی رویداد گسسته مورد مطالعه قرار گرفته اند [5] . گزینه های مورد مطالعه شامل درختان شاخک ، لیست های جست و خیز ، صف تقویم ، [6] و صف های نردبان بوده است. [7] [8] در ماشین های موازی انبوه ، مانند چند هسته ای یا چند هسته ایپردازنده ها ، مجموعه رویداد معلق را می توان با تکیه بر الگوریتم های غیر مسدود کننده ، به منظور کاهش هزینه همگام سازی در میان رشته های همزمان ، پیاده سازی کرد. [9] [10]

معمولاً با ادامه شبیه سازی ، رویدادها به صورت پویا برنامه ریزی می شوند. به عنوان مثال ، در مثال بانکی که در بالا ذکر شد ، رویداد CUSTOMER-ARRIVAL در زمان t ، اگر CUSTOMER_QUEUE خالی باشد و TELLER بیکار باشد ، شامل ایجاد رویداد بعدی CUSTOMER-DEPARTURE است که در زمان t + s رخ می دهد ، جایی که s عددی است که از توزیع SERVICE-TIME تولید می شود.

مولد اعداد تصادفی [ ویرایش ]

شبیه سازی نیاز به ایجاد متغیرهای تصادفی از انواع مختلف ، بسته به مدل سیستم دارد. این کار توسط یک یا چند مولد اعداد شبه انجام می شود . استفاده از اعداد شبه تصادفی در مقابل اعداد تصادفی واقعی در صورتی که یک شبیه سازی نیاز به تکرار دقیقاً با همان رفتار داشته باشد ، فایده ای دارد.

یکی از مشکلات توزیع اعداد تصادفی مورد استفاده در شبیه سازی رویداد گسسته این است که توزیع حالت پایدار زمان رویداد ممکن است از قبل مشخص نباشد. در نتیجه ، مجموعه اولیه رویدادهایی که در مجموعه رویدادهای معلق قرار می گیرند ، زمان توزیع حالت پایدار را نشان نمی دهند. این مشکل به طور معمول با بوت استرپ مدل شبیه سازی حل می شود. فقط یک تلاش محدود برای اختصاص زمانهای واقع بینانه به مجموعه اولیه وقایع در انتظار انجام می شود. با این حال ، این رویدادها رویدادهای اضافی را برنامه ریزی می کنند و با گذشت زمان ، توزیع زمان رویدادها به حالت پایدار خود نزدیک می شود. به این عمل بوت استرپینگ می گویندمدل شبیه سازی در جمع آوری آمار از مدل در حال اجرا ، مهم نیست که حوادثی را که قبل از رسیدن به حالت پایدار رخ می دهد نادیده بگیریم یا اینکه شبیه سازی را برای مدت زمان طولانی انجام دهیم که رفتار بوت استرپینگ تحت تأثیر رفتار حالت پایدار قرار گیرد. (این کاربرد اصطلاح bootstrapping را می توان با استفاده از آن در آمار و محاسبات مقایسه کرد ).

آمار [ ویرایش ]

شبیه سازی به طور معمول آمار سیستم را ثبت می کند ، که جنبه های مورد علاقه را کمی می کند. در مثال بانکی ، پیگیری میانگین زمان انتظار جالب است. در یک مدل شبیه سازی ، معیارهای عملکرد به طور تحلیلی از توزیع احتمالات بدست نمی آیند ، بلکه به عنوان میانگین بیش از تکرارها هستند ، که اجراهای مختلف مدل است. فواصل اطمینان معمولاً برای کمک به ارزیابی کیفیت خروجی ساخته می شوند.

شرط پایان [ ویرایش ]

از آنجا که رویدادها بوت استرپ هستند ، از لحاظ نظری یک شبیه سازی رویداد گسسته می تواند برای همیشه اجرا شود. بنابراین طراح شبیه سازی باید تصمیم بگیرد که چه زمانی شبیه سازی به پایان می رسد. گزینه های معمول "در زمان t" یا "پس از پردازش تعداد رویدادها" یا به طور کلی "وقتی اندازه گیری آماری X به مقدار x برسد" هستند.

رویکرد سه فاز [ ویرایش ]

پید (1998) رویکرد سه فاز برای شبیه سازی رویداد گسسته را پیشنهاد کرده است. در این رویکرد ، مرحله اول پرش به رویداد زمانی بعدی است. مرحله دوم اجرای کلیه رویدادهایی است که بدون قید و شرط در آن زمان اتفاق می افتد (که به آنها رویداد B گفته می شود). مرحله سوم اجرای همه رویدادهایی است که در آن زمان به طور مشروط اتفاق می افتند (که به آنها رویداد C گفته می شود). رویکرد سه فاز تصفیه ای از رویکرد مبتنی بر رویداد است که در آن رویدادهای همزمان ترتیب داده می شوند تا از کارآمدترین استفاده از منابع رایانه ای شود. رویکرد سه فاز توسط تعدادی از بسته های نرم افزاری شبیه سازی تجاری استفاده می شود ، اما از دید کاربر ، مشخصات روش شبیه سازی اساسی به طور کلی پنهان است.

کاربردهای مشترک [ ویرایش ]

تشخیص مشکلات فرآیند [ ویرایش ]

رویکردهای شبیه سازی به ویژه برای کمک به کاربران در تشخیص مسائل در محیط های پیچیده بسیار مجهز هستند. تئوری محدودیتها نشان دهنده اهمیت درک تنگناها در یک سیستم. شناسایی و رفع تنگناها باعث بهبود فرآیندها و سیستم کلی می شود. به عنوان مثال ، در شرکت های تولیدی گلوگاه ممکن است به دلیل موجودی بیش از حد ، تولید بیش از حد ، تنوع در فرآیندها و تغییر در مسیریابی یا تعیین توالی ایجاد شود. با مستند سازی دقیق سیستم با کمک یک مدل شبیه سازی می توان چشم پرنده ای از کل سیستم را به دست آورد.

یک مدل کاری از سیستم به مدیریت اجازه می دهد تا محرک های عملکرد را درک کند. می توان یک شبیه سازی ساخت که شامل هر تعداد شاخص عملکردی مانند استفاده از کارگر ، نرخ تحویل به موقع ، نرخ قراضه ، دوره های نقدی و غیره باشد.

برنامه های کاربردی بیمارستان [ ویرایش ]

سالن عمل به طور کلی بین چندین رشته جراحی مشترک است. از طریق درک بهتر ماهیت این روش ها ، می توان توان عملیاتی بیمار را افزایش داد. مثال: اگر یک عمل جراحی قلب به طور متوسط چهار ساعت طول بکشد ، تغییر برنامه اتاق عمل از هشت ساعت به 9 ساعت دیگر باعث افزایش توان بیمار نمی شود. از طرف دیگر ، اگر یک عمل فتق به طور متوسط بیست دقیقه طول بکشد ، یک ساعت اضافی نیز ممکن است افزایش عملکرد نداشته باشد ، اگر ظرفیت و متوسط زمان صرف شده در اتاق ریکاوری در نظر گرفته نشود.

ایده های بهبود عملکرد آزمایشگاه [ ویرایش ]

بسیاری از ایده های بهبود سیستم بر اساس اصول صحیح ساخته شده اند ، روش های اثبات شده ( Lean ، Six Sigma ، TQM و غیره) هنوز در بهبود سیستم کلی ناکام مانده اند. یک مدل شبیه سازی به کاربر اجازه می دهد تا ایده بهبود عملکرد را در متن سیستم کلی درک و آزمایش کند.

ارزیابی تصمیمات سرمایه گذاری سرمایه ای [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: روشهای مونت کارلو در امور مالی . مالیات شرکتی # تصمیمات سرمایه گذاری سرمایه و # عدم اطمینان کمی .

از مدل سازی شبیه سازی معمولاً برای مدل سازی سرمایه گذاری های بالقوه استفاده می شود. از طریق مدل سازی سرمایه گذاری ، تصمیم گیرندگان می توانند آگاهانه تصمیم بگیرند و گزینه های بالقوه را ارزیابی کنند.

شبیه سازهای شبکه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: شبیه سازی شبکه

شبیه سازی رویداد گسسته در شبکه رایانه ای برای شبیه سازی پروتکل های جدید ، معماری های مختلف سیستم (توزیع شده ، سلسله مراتبی ، متمرکز ، P2P) قبل از استقرار واقعی استفاده می شود. می توان معیارهای ارزیابی مختلفی مانند زمان سرویس ، پهنای باند ، بسته های افتاده ، مصرف منابع و غیره را تعریف کرد.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

رویکردهای مدل سازی سیستم:

ماشینهای حالت محدود و زنجیره های مارکوف
فرآیند تصادفی و یک مورد خاص ، روند مارکوف
نظریه صف بندی و به ویژه فرآیند تولد - مرگ
مشخصات سیستم گسسته رویداد
مدل سازی در سطح معامله (TLM)

تکنیک های محاسباتی:

نرم افزار:

رشته ها:

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-event_simulation

زمان گسسته و زمان مداوم

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و چهارم شهریور ۱۳۹۹ | 11:43

در پویایی ریاضی ، زمان گسسته و زمان پیوسته دو چارچوب جایگزین برای مدل سازی متغیرهایی هستند که با گذشت زمان تکامل می یابند.

فهرست

زمان گسسته [ ویرایش ]

سیگنال نمونه گسسته

زمان گسسته مقادیر متغیرها را بصورت متمایز ، جدا از هم در "نقاط زمانی" مشاهده می کند ، یا معادل آن بدون تغییر در هر منطقه غیر صفر از زمان ("دوره زمانی") - یعنی زمان به عنوان یک متغیر گسسته مشاهده می شود . بنابراین یک متغیر غیر زمان با حرکت زمان از یک دوره زمانی به دوره دیگر از یک مقدار به ارزش دیگر می پرد. این نمای زمان مربوط به ساعت دیجیتالی است که برای مدتی 10:37 قرائت ثابت می کند و سپس به قرائت ثابت جدید 10:38 و غیره می رود. در این چارچوب ، هر متغیر مورد نظر هر یک بار اندازه گیری می شود بازه زمانی. تعداد اندازه گیری ها بین هر دو بازه زمانی محدود است. اندازه گیری ها معمولاً در مقادیر عددی صحیح متوالی متغیر "زمان" انجام می شوند.

سیگنال گسسته یا سیگنال گسسته است سری زمانی متشکل از یک توالی از مقادیر.

برخلاف سیگنال زمان پیوسته ، سیگنال زمان گسسته تابعی از استدلال پیوسته نیست. اما ممکن است با نمونه برداری از سیگنال زمان پیوسته بدست آمده باشد. وقتی سیگنال زمان گسسته با نمونه برداری از یک دنباله در زمانهایی با فاصله یکنواخت بدست می آید ، دارای نرخ نمونه برداری مرتبط است .

سیگنال های زمان گسسته ممکن است منشا مختلفی داشته باشند ، اما معمولاً می توانند در یکی از دو گروه طبقه بندی شوند: [1]

با بدست آوردن مقادیر سیگنال آنالوگ با سرعت ثابت یا متغیر. این فرآیند نمونه گیری نامیده می شود . [2]
با مشاهده یک فرایند ذاتی گسسته ، مانند حداکثر ارزش هفتگی یک شاخص اقتصادی خاص.

زمان مداوم [ ویرایش ]

در مقابل، زمان پیوسته دیدگاه متغیرهای به عنوان داشتن یک مقدار خاص برای به طور بالقوه تنها بینهایت مقدار کوتاه از زمان. بین هر دو نقطه در زمان تعداد بی نهایت از نقاط دیگر در زمان وجود دارد. متغیر "زمان" در کل خط عدد واقعی ، یا بسته به زمینه ، در زیر مجموعه ای از آن مانند واقعی های غیر منفی متغیر است. بنابراین زمان به عنوان یک متغیر پیوسته مشاهده می شود .

سیگنال پیوسته یا یک سیگنال زمان پیوسته است متغیر مقدار (یک سیگنال ) که دامنه است، که اغلب زمان، است پیوستار (به عنوان مثال، یک متصل فاصله از اعداد حقیقی ). یعنی دامنه تابع یک مجموعه غیر قابل شمارش است . تابع خود نیازی به مداوم ندارد . در مقابل ، یک سیگنال زمان گسسته مانند اعداد طبیعی دارای دامنه قابل شمارش است .

سیگنال دامنه و زمان پیوسته به عنوان سیگنال زمان پیوسته یا سیگنال آنالوگ شناخته می شود . این (یک سیگنال ) در هر لحظه مقداری ارزش دارد. سیگنال های الکتریکی متناسب با مقادیر فیزیکی مانند دما ، فشار ، صدا و غیره به طور کلی سیگنال های مداوم هستند. نمونه های دیگر سیگنال های مداوم موج سینوسی ، موج کسینوس ، موج مثلثی و غیره هستند.

سیگنال از طریق یک دامنه تعریف می شود که ممکن است محدود باشد یا نباشد و یک نگاشت کاربردی از دامنه به مقدار سیگنال وجود دارد. تداوم متغیر زمان ، در ارتباط با قانون چگالی اعداد واقعی ، به این معنی است که مقدار سیگنال را می توان در هر نقطه دلخواه از زمان یافت.

یک نمونه معمول از یک سیگنال با مدت زمان بی نهایت این است:

$f (t) = \ sin (t) ، \ quad t \ in {\ mathbb {R}}$

همتای مدت محدود سیگنال فوق می تواند باشد:

$f (t) = \ sin (t) ، \ quad t \ in [- \ pi ، \ pi]$ و {\ displaystyle f (t) = 0} $f (t) = 0$ در غیر این صورت.

مقدار سیگنال مدت محدود (یا نامحدود) ممکن است محدود باشد یا نباشد. مثلا،

$f (t) = {\ frac {1} {t}} ، \ quad t \ in [0،1]$ و $f (t) = 0$ در غیر این صورت،

یک سیگنال با مدت زمان محدود است اما برای یک مقدار بی نهایت طول می کشد $t = 0 \ ،$ .

در بسیاری از رشته ها ، قرارداد این است که یک سیگنال پیوسته باید همیشه دارای یک مقدار محدود باشد ، که در مورد سیگنال های فیزیکی منطقی تر است.

برای برخی اهداف ، تکین های بی نهایت قابل قبول هستند تا زمانی که سیگنال در هر بازه محدود قابل جمع باشد (به عنوان مثال ، $t ^ {- 1}$ سیگنال در بی نهایت قابل جمع نیست ، اما $t ^ {{- 2}}$ است).

هر سیگنال آنالوگ ذاتاً پیوسته است. سیگنال های گسسته در زمان ، مورد استفاده در پردازش سیگنال های دیجیتال ، می توان با به دست آمده از نمونه برداری و تدریج از سیگنال های مداوم.

سیگنال پیوسته نیز ممکن است در یک متغیر مستقل غیر از زمان تعریف شود. یک متغیر مستقل بسیار متداول دیگر ، فضا است و به ویژه در پردازش تصویر ، جایی که از دو بعد فضا استفاده می شود ، بسیار مفید است .

زمینه های مرتبط [ ویرایش ]

زمان گسسته اغلب در هنگام اندازه گیری های تجربی استفاده می شود ، زیرا به طور معمول فقط اندازه گیری متغیرها به صورت متوالی امکان پذیر است. به عنوان مثال ، در حالی که فعالیت اقتصادی در واقع به طور مداوم اتفاق می افتد ، اما هیچ لحظه ای نیست که اقتصاد کاملاً متوقف شود ، اما فقط می توان فعالیت اقتصادی را به صورت گسسته اندازه گیری کرد. به همین دلیل ، داده های منتشر شده در مورد ، به عنوان مثال ، تولید ناخالص داخلی توالی مقادیر سه ماهه را نشان می دهد .

وقتی کسی تلاش می کند این متغیرها را از نظر متغیرهای دیگر و / یا مقادیر قبلی خود تجربی توضیح دهد ، از روش های سری زمانی یا رگرسیون استفاده می کند که در آن متغیرها با یک زیرنویس نشان داده می شوند که دوره زمانی مشاهده را نشان می دهد. به عنوان مثال ، y t ممکن است به ارزش درآمد مشاهده شده در دوره زمانی نامشخص t ، y 3 به ارزش درآمد مشاهده شده در دوره زمانی سوم و غیره اشاره کند.

علاوه بر این ، هنگامی که یک محقق سعی در ایجاد نظریه ای برای توضیح آنچه در زمان گسسته مشاهده می شود ، دارد ، غالباً خود تئوری در زمان گسسته بیان می شود تا توسعه سری زمانی یا مدل رگرسیون را تسهیل کند.

از طرف دیگر ، ساخت مدل های نظری در زمان مداوم اغلب از نظر ریاضی قابل حل است و اغلب در مناطقی مانند فیزیک ، توصیف دقیق نیاز به استفاده از زمان مداوم دارد. در یک زمینه زمانی پیوسته ، مقدار یک متغیر y در یک نقطه نامشخص در زمان به صورت y ( t ) یا در صورت روشن بودن معنی به صورت y نشان داده می شود .

انواع معادلات [ ویرایش ]

زمان گسسته [ ویرایش ]

زمان گسسته از معادلات اختلاف استفاده می کند ، همچنین به عنوان روابط بازگشتی شناخته می شود. مثالی که به عنوان نقشه لجستیک یا معادله لجستیک شناخته می شود ، می باشد

$x _ {{t + 1}} = rx_ {t} (1-x_ {t}) ،$

که در آن r یک پارامتر در محدوده 2 تا 4 است و x متغیری در محدوده 0 تا 1 است که مقدار آن در دوره t به صورت غیرخطی بر مقدار آن در دوره بعدی ، t +1 تأثیر می گذارد . مثلاً اگر

$r = 4$ و $x_ {1} = 1/3$ ، سپس برای t = 1 داریم $x_ {2} = 4 (1/3) (2/3) = 8/9$ ، و برای t = 2 داریم $x_ {3} = 4 (8/9) (1/9) = 32/81$ .

مثال دیگر تعدیل قیمت P را در پاسخ به تقاضای اضافی غیر صفر برای یک محصول به عنوان مثال مدل می کند

$P _ {{t + 1}} = P_ {t} + \ delta \ cdot f (P_ {t} ، ...)$

جایی که $\ دلتا$ پارامتر مثبت تنظیم سرعت است که کمتر از یا برابر با 1 است ، و کجا $f$ تابع تقاضای بیش از حد است .

زمان مداوم [ ویرایش ]

زمان مداوم از معادلات دیفرانسیل استفاده می کند . به عنوان مثال ، تنظیم قیمت P در پاسخ به تقاضای اضافی غیر صفر برای یک محصول می تواند در مدت زمان مداوم مدل شود

${\ frac {dP} {dt}} = \ lambda \ cdot f (P ، ...)$

جایی که سمت چپ اولین مشتق قیمت با توجه به زمان است (یعنی نرخ تغییر قیمت) ، $\ لامبدا$ پارامتر سرعت تنظیم است که می تواند هر عدد محدود مثبتی باشد و $f$ دوباره تابع تقاضای اضافی است.

تصویر گرافیکی [ ویرایش ]

یک متغیر اندازه گیری شده در زمان گسسته را می توان به عنوان یک تابع گام رسم کرد ، که در آن به هر دوره زمانی منطقه ای در محور افقی با همان طول هر دوره زمانی دیگر داده می شود و متغیر اندازه گیری شده به عنوان ارتفاعی رسم می شود که در تمام مدت ثابت می ماند منطقه دوره زمانی در این روش گرافیکی ، نمودار به عنوان دنباله ای از مراحل افقی ظاهر می شود. متناوباً ، هر دوره زمانی را می توان به عنوان یک نقطه جدا شده از زمان ، معمولاً در یک مقدار صحیح در محور افقی مشاهده کرد و متغیر اندازه گیری شده به عنوان ارتفاعی بالاتر از آن نقطه محور زمان رسم می شود. در این تکنیک نمودار به صورت مجموعه ای از نقاط ظاهر می شود.

مقادیر یک متغیر که در زمان مداوم اندازه گیری می شود به عنوان یک تابع مداوم رسم می شود ، زیرا دامنه زمان به عنوان کل محور واقعی یا حداقل بخشی از متصل آن در نظر گرفته می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_time_and_continuous_time

شبکه های همراه با پالس یا شبکه های عصبی همراه با پالس ( PCNN )

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و سوم شهریور ۱۳۹۹ | 6:41

شبکه های همراه با پالس یا شبکه های عصبی همراه با پالس ( PCNN ) مدل های عصبی هستند که با مدل سازی قشر بینایی گربه ارائه شده و برای پردازش تصویر بیومتیمیک با عملکرد بالا تولید شده اند . [1]

در سال 1989 ، اکهورن یک مدل عصبی برای شبیه سازی مکانیسم قشر بینایی گربه ارائه داد. مدل Eckhorn ابزاری ساده و م forثر برای مطالعه قشر بینایی پستانداران کوچک فراهم کرد و خیلی زود به عنوان پتانسیل کاربرد قابل توجهی در پردازش تصویر شناخته شد.

در سال 1994 ، جانسون مدل Eckhorn را با الگوریتم پردازش تصویر تطبیق داد و این الگوریتم را یک شبکه عصبی همراه با پالس نامید . در طول دهه گذشته ، PCNN ها در برنامه های مختلف پردازش تصویر از جمله: تقسیم بندی تصویر ، تولید ویژگی ها ، استخراج صورت ، تشخیص حرکت ، رشد منطقه و کاهش نویز مورد استفاده قرار گرفته اند .

ویژگی اصلی مدل زمینه اتصال Eckhorn (LFM) اصطلاح اتصال است. LFM مدولاسیون ورودی اصلی توسط یک عامل جبران مغرض است که توسط ورودی پیوند دهنده هدایت می شود. اینها یک متغیر آستانه را تحریک می کنند که از یک مقدار بالای اولیه تجزیه می شود. هنگامی که آستانه به زیر صفر می رسد ، به مقدار زیادی تنظیم می شود و روند از ابتدا شروع می شود. این متفاوت از مدل استاندارد عصبی یکپارچه و آتش است که ورودی را جمع می کند تا زمانی که از حد بالایی عبور کند و به طور موثر "کوتاه شود" تا باعث نبض شود.

LFM از این اختلاف برای حفظ انفجارهای نبض استفاده می کند ، کاری که مدل استاندارد در یک سطح نورون انجام نمی دهد. درک این نکته ارزشمند است که با توجه به سطح ولتاژهای شناور در محفظه (های) دندریتیک ، تجزیه و تحلیل دقیق مدل استاندارد باید شامل یک اصطلاح شنت باشد ، و به نوبه خود این باعث یک اثر تعدیل چندگانه ظریف می شود که یک واقعیت واقعی را امکان پذیر می کند. شبکه مرتبه بالاتر (HON). [2] پردازش تصویر پالس چند بعدی از داده های ساختار شیمیایی با استفاده از PCNN توسط کینزر و همکاران مورد بحث قرار گرفته است. [3]

PCNN یک شبکه عصبی دو بعدی است . هر نوروندر شبکه مربوط به یک پیکسل در یک تصویر ورودی است و اطلاعات رنگی پیکسل مربوطه (به عنوان مثال شدت) را به عنوان محرک خارجی دریافت می کند. هر نورون همچنین با نورون های همسایه خود متصل می شود و محرکهای محلی را از آنها دریافت می کند. محرک های خارجی و محلی در یک سیستم فعال سازی داخلی ترکیب می شوند ، که محرک ها را تا زمانی که از آستانه دینامیکی فراتر نرود و در نتیجه یک پالس تولید می کند ، جمع می کند. از طریق محاسبه تکرار شونده ، سلول های عصبی PCNN سری زمانی خروجی پالس تولید می کنند. سری زمانی خروجی های پالس حاوی اطلاعات تصاویر ورودی است و می تواند برای برنامه های مختلف پردازش تصویر ، مانند تقسیم تصویر و تولید ویژگی استفاده شود. در مقایسه با ابزارهای معمولی پردازش تصویر ، PCNN چندین امتیاز قابل توجه دارد ، از جمله قدرت در برابر نویز ،

یک PCNN ساده به نام مدل قشر مغزدار در سال 2009 ساخته شد. [4]

همانطور که در کتابی به قلم توماس لیندبلاد و جیسون ام کینزر بیان شد ، PCNN برای پردازش تصویر مفید است. [5]

برنامه ها [ ویرایش ]

PCNN است موفقیت در بسیاری از زمینه های علمی و صنعتی، مانند پردازش تصویر (حذف نویز تصویر، ثابت [6] و بهبود تصویر [7] )، همه جفت مسئله یافتن کوتاهترین مسیر، [8] و تشخیص الگو.

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Pulse-coupled_networks

ادامه تقسیم تصویر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 21:16

تقسیم بندی نیمه اتوماتیک [ ویرایش ]

در یک نوع تقسیم بندی ، کاربر با کلیک ماوس منطقه مورد نظر خود را ترسیم می کند و الگوریتم ها اعمال می شوند تا مسیری که به بهترین وجهی متناسب با لبه تصویر است نشان داده شود.

در این نوع تقسیم بندی از تکنیک هایی مانند SIOX ، Livewire ، Smart Scissors یا IT-SNAPS استفاده می شود. در یک نوع جایگزین تقسیم بندی نیمه اتوماتیک ، الگوریتم ها یک تاکسون فضایی را برمی گردانند (به عنوان مثال پیش زمینه ، گروه اشیا ، شی یا قسمت شی) که توسط کاربر انتخاب شده یا از طریق احتمالات قبلی تعیین شده است. [69] [70]

تقسیم بندی قابل آموزش [ ویرایش ]

بیشتر روشهای تقسیم بندی فوق الذکر فقط براساس اطلاعات رنگی پیکسلهای تصویر است. انسانها هنگام انجام تقسیم بندی تصویر از دانش بیشتری استفاده می کنند ، اما اجرای این دانش مهندسی انسانی و زمان محاسباتی قابل توجهی را می طلبد و به یک پایگاه داده دانش دامنه عظیم نیاز دارد که در حال حاضر وجود ندارد. روش های تقسیم بندی قابل آموزش ، مانند تقسیم بندی شبکه عصبی ، با مدل سازی دانش دامنه از مجموعه داده ای از پیکسل های دارای برچسب ، بر این مسائل غلبه می کنند.

یک شبکه عصبی تقسیم تصویر می تواند مناطق کوچکی از تصویر را پردازش کند تا ویژگی های ساده مانند لبه ها را استخراج کند. [71] سپس یک شبکه عصبی دیگر یا هر مکانیسم تصمیم گیری ، می تواند این ویژگی ها را ترکیب کرده و بر اساس آن مناطق یک تصویر را برچسب گذاری کند. نوعی شبکه که به این روش طراحی شده نقشه Kohonen است .

شبکه های عصبی همراه با پالس (PCNN) مدل های عصبی هستند که با مدل سازی قشر بینایی گربه ارائه شده و برای پردازش تصویر بیومتیمیک با عملکرد بالا تولید شده اند . در سال 1989 ، راینهارد اکهورن یک مدل عصبی را برای شبیه سازی مکانیسم قشر بینایی گربه معرفی کرد. مدل Eckhorn ابزاری ساده و م effectiveثر برای مطالعه قشر بینایی پستانداران کوچک فراهم کرد و خیلی زود به عنوان پتانسیل کاربرد قابل توجهی در پردازش تصویر شناخته شد. در سال 1994 ، مدل اکهورن به عنوان یک الگوریتم پردازش تصویر توسط جان ال جانسون ، که این الگوریتم را شبکه عصبی پالس همراه می کند ، سازگار شد. [72]در طول دهه گذشته ، PCNN ها برای کاربردهای مختلف پردازش تصویر از جمله: تقسیم بندی تصویر ، تولید ویژگی ها ، استخراج صورت ، تشخیص حرکت ، رشد منطقه ، کاهش نویز و غیره مورد استفاده قرار گرفته اند. PCNN یک شبکه عصبی دو بعدی است. هر نورون در شبکه مربوط به یک پیکسل در یک تصویر ورودی است ، و اطلاعات رنگ پیکسل مربوطه (به عنوان مثال شدت) را به عنوان یک محرک خارجی دریافت می کند. هر نورون همچنین با نورون های همسایه خود متصل می شود و محرکهای محلی را از آنها دریافت می کند. محرک های خارجی و محلی در یک سیستم فعال سازی داخلی ترکیب می شوند ، که محرک ها را تا زمانی که از آستانه دینامیکی فراتر نرود و در نتیجه یک خروجی پالس ایجاد می کند ، جمع می کند. از طریق محاسبه تکرار شونده ، سلول های عصبی PCNN سری زمانی خروجی پالس تولید می کنند. سری زمانی خروجی های پالس حاوی اطلاعات تصاویر ورودی است و می تواند برای برنامه های مختلف پردازش تصویر مانند تقسیم بندی تصویر و تولید ویژگی مورد استفاده قرار گیرد. در مقایسه با ابزارهای معمولی پردازش تصویر ، PCNN دارای چندین شایستگی قابل توجه است ، از جمله مقاومت در برابر نویز ، استقلال تغییرات هندسی در الگوهای ورودی ، قابلیت پل زدن تغییرات شدت جزئی در الگوهای ورودی و غیره.

U-Net یک شبکه عصبی کانولوشن است که به عنوان ورودی یک تصویر گرفته و برای هر پیکسل یک برچسب تولید می کند. [73] U-Net در ابتدا برای شناسایی مرزهای سلول در تصاویر زیست پزشکی ساخته شد. U-Net از خود رمزگذار کلاسیک پیروی می کندمعماری ، به این ترتیب شامل دو زیر ساختار است. ساختار رمزگذار از پشته سنتی لایه های همبستگی و حداکثر تجمع پیروی می کند تا با عبور از بین لایه ها ، زمینه دریافت را کاهش دهد. این برای ضبط متن در تصویر استفاده می شود. ساختار رسیور از لایه های کانولوشن جابجا شده برای نمونه برداری استفاده می کند تا ابعاد انتهایی آن نزدیک به تصویر ورودی باشد. اتصالات پرش بین لایه های کانولوشن و کانولوشن جا به جا شده با همان شکل قرار می گیرند تا جزئیاتی که در غیر این صورت از بین می رفتند ، حفظ شوند.

علاوه بر وظایف تقسیم معنایی در سطح پیکسل که به هر پیکسل ، یک طبقه بندی مشخص داده می شود ، برنامه های تقسیم بندی مدرن شامل وظایف تقسیم معنایی سطح نمونه هستند که در آن هر فرد در یک گروه خاص باید به طور منحصر به فرد مشخص شود و همچنین وظایف تقسیم بندی پانوپتیک که این موارد را ترکیب می کند. دو وظیفه برای تقسیم بندی صحنه کامل تر. [74]

تقسیم بندی تصاویر و فیلم های مرتبط [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تقسیم مشترک شی

تصاویر مرتبط مانند آلبوم عکس یا دنباله ای از فریم های ویدئویی غالباً حاوی اشیا scenes و صحنه هایی از نظر معنایی مشابه هستند ، بنابراین استفاده از این همبستگی ها اغلب سودمند است. [75] وظیفه تقسیم همزمان صحنه ها از تصاویر یا فریم های ویدیویی مرتبط ، تقسیم بندی مشترک نامیده می شود ، [11] که به طور معمول در محلی سازی کنش انسان استفاده می شود . برخلاف تشخیص شی object مبتنی بر جعبه مرزی مرسوم ، روش های محلی سازی عمل انسان نتایج ریزتری را ارائه می دهد ، به طور معمول ماسک تقسیم بندی برای هر تصویر ، مشخص کننده موضوع مورد علاقه انسان و گروه عملکرد آن است (به عنوان مثال ، لوله-بخش [12] ). تکنیک هایی مانند پویاشبکه های مارکوف ، CNN و LSTM اغلب برای بهره برداری از روابط بین قاب استفاده می شوند.

روشهای دیگر [ ویرایش ]

روش های تقسیم بندی بسیاری دیگر وجود دارد مانند تقسیم بندی چند طیفی یا تقسیم بندی مبتنی بر اتصال بر اساس تصاویر DTI . [76] [77]

معیار تقسیم بندی [ ویرایش ]

چندین معیار تقسیم بندی برای مقایسه عملکرد روش تقسیم بندی با روش های تقسیم پیشرفته در مجموعه های استاندارد در دسترس است:

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Image_segmentation

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

نقشه های یکنواخت مداوم

نقشه های یکنواخت مداوم [ ویرایش ]

نقشه ها و انقباضات مداوم لیپشیتس [ ویرایش ]

ایزومتری [ ویرایش ]

شبه ایزومتری [ ویرایش ]

مفاهیم معادل سازی فضای متریک [ ویرایش ]

خواص توپولوژیکی [ ویرایش ]

فاصله بین نقاط و مجموعه ها ؛ فاصله هاوسدورف و معیار Gromov [ ویرایش ]

فضاهای متریک محصول [ ویرایش ]

تداوم مسافت [ ویرایش ]

فضاهای متریک کمیت [ ویرایش ]

تعمیم فضاهای متریک [ ویرایش ]

فضاهای متریک به عنوان دسته های غنی شده [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

فضاهای جمع و جور( فضاهای متریک فشرده)

فضاهای جمع و جور [ ویرایش ]

فضاهای محلی جمع و جور و مناسب [ ویرایش ]

اتصال [ ویرایش ]

فضاهای قابل تفکیک [ ویرایش ]

فضاهای متریک اشاره شده [ ویرایش ]

انواع نقشه ها بین فضاهای متریک [ ویرایش ]

نقشه های مداوم [ ویرایش ]

نمونه هایی از فضاهای متریک

نمونه هایی از فضاهای متریک [ ویرایش ]

مجموعه های باز و بسته ، توپولوژی و همگرایی [ ویرایش ]

انواع فضاهای متریک [ ویرایش ]

فضاهای کامل [ ویرایش ]

فضاهای محدود و کاملاً محدود شده [ ویرایش ]

فضای متریک

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

دانیل کانمن

فهرست

بیوگرافی [ ویرایش ]

حرفه آکادمیک [ ویرایش ]

آموزش [ ویرایش ]

زندگی شخصی [ ویرایش ]

جوایز و تقدیرنامه ها [ ویرایش ]

مشارکتهای قابل توجه [ ویرایش ]

منبع

آموس ناتان تورسکی

آموس Tversky

فهرست

بیوگرافی [ ویرایش ]

شغل [ ویرایش ]

کار با دانیل کانمن [ ویرایش ]

جهل تطبیقی [ ویرایش ]

مشارکتهای قابل توجه [ ویرایش ]

در فرهنگ عامه [ ویرایش ]

تست هوش Tversky [ ویرایش ]

پروژه واگرد [ ویرایش ]

منابع

چوکت انتگرال

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

یکنواختی [ ویرایش ]

همگنی مثبت [ ویرایش ]

افزودنی Comonotone [ ویرایش ]

حساسیت فرعی [ ویرایش ]

حساسیت بیش از حد [ ویرایش ]

نمایندگی جایگزین [ ویرایش ]

برنامه ها [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

حساسیت بیش از حد

نمونه هایی از توابع فوق افزایشی [ ویرایش ]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

جمعپذیری

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

خصوصیات [ ویرایش ]

توالی ها [ ویرایش ]

توابع [ ویرایش ]

نمونه هایی در حوزه های مختلف [ ویرایش ]

آنتروپی [ ویرایش ]

اقتصاد [ ویرایش ]