ادامه انتگرال لبگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 7:18

ساخت و ساز [ ویرایش ]

نظریه انتگرال لبگ به نظریه ای از مجموعه ها و اندازه گیری های قابل اندازه گیری روی این مجموعه ها و همچنین تئوری توابع و انتگرال های قابل اندازه گیری درباره این توابع نیاز دارد.

نظریه اندازه گیری [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اندازه گیری (ریاضیات)

نظریه اندازه گیری در ابتدا برای ارائه انتزاعی مفید از مفهوم طول زیر مجموعه های خط واقعی - و به طور کلی ، مساحت و حجم زیر مجموعه های فضاهای اقلیدسی ایجاد شد. به طور خاص ، این پاسخ منظم به این سوال که کدام زیر مجموعه های ℝ دارای طول هستند ، ارائه می دهد. همانطور که تحولات بعدی نظریه مجموعه ها نشان داد (به مجموعه غیر قابل اندازه گیری مراجعه کنید ) ، در واقع اختصاص دادن طول به همه زیر مجموعه های ℝ به روشی که برخی از خصوصیات طبیعی و عدم تغییر ترجمه را حفظ کند غیرممکن است. این نشان می دهد که انتخاب یک کلاس مناسب از زیر مجموعه های قابل اندازه گیری یک پیش نیاز اساسی است.

انتگرال ریمان به وضوح از مفهوم طول استفاده می کند. در واقع ، عنصر محاسبه برای انتگرال ریمان مستطیل [ a ، b ] × [ c ، d ] است که مساحت آن برابر با ( b - a ) ( d - c ) است . مقدار b - a طول قاعده مستطیل و d - c ارتفاع مستطیل است. ریمان فقط می توانست از مستطیل های مسطح برای تخمین سطح زیر منحنی استفاده کند ، زیرا تئوری کافی برای اندازه گیری مجموعه های عمومی تر وجود نداشت.

در توسعه نظریه در اکثر کتابهای درسی مدرن (پس از سال 1950) ، روش اندازه گیری و ادغام بدیهی است . این بدان معناست که یک اندازه گیری هر μ تابع تعریف شده بر روی یک کلاس خاص است X از زیر مجموعه های یک مجموعه E ، که ارضا یک لیست خاصی از خواص. می توان نشان داد که این خصوصیات در موارد مختلف نگهداری می شوند.

توابع قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

ما با یک فضای اندازه گیری ( E ، X ، μ) شروع می کنیم که در آن E یک مجموعه است ، X یک جبر σ از زیر مجموعه های E است ، و μ یک اندازه گیری (غیر منفی ) در E است که روی مجموعه های X تعریف شده است .

به عنوان مثال، E می تواند اقلیدسی N فضا- ℝ N و یا برخی از لبسگو اندازه گیری زیر مجموعه ای از آن، X است σ جبر از همه لبسگو زیر مجموعه های اندازه گیری الکترونیکی و μ اندازه گیری لبسگو است. در نظریه احتمالات ریاضی ، ما مطالعه خود را به اندازه گیری احتمال μ محدود می کنیم ، که μ ( E ) = 1 را برآورده می کند .

نظریه لبسگ انتگرال ها را برای دسته ای از توابع به نام توابع قابل اندازه گیری تعریف می کند . یک تابع با ارزش واقعی f در E قابل اندازه گیری است اگر پیش تصویری از هر بازه از فرم ( t ، ∞) (در واقع ، هر مجموعه Borel ) در X باشد :

${\ displaystyle \ {x \، \ mid \، f (x)> t \} \ in X \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}$

ما می توانیم نشان دهیم که این برابر با الزام به پیش نمایش تصویر زیر مجموعه های Borel از in در X است . مجموعه توابع قابل اندازه گیری تحت عملیات جبری بسته می شود ، اما مهمتر از آن در انواع مختلف محدودیت های متوالی نقطه ای بسته می شود :

$\ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k} ، \ quad \ liminf _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k} ، \ quad \ limsup _ {k \ in \ mathbb { N}} f_ {k}$

اگر توالی اصلی ( f k ) k ، جایی که k ∈ of ، شامل توابع قابل اندازه گیری است ، قابل اندازه گیری هستند.

روشهای مختلفی برای تعریف انتگرال وجود دارد:

${\ displaystyle \ int _ {E} f \، d \ mu = \ int _ {E} f \ چپ (x \ راست) \، d \ mu \ چپ (x \ راست)}$

برای توابع حقیقی اندازه گیری F در تعریف E .

ساخت انتگرال [ ویرایش ]

تقریب یک عملکرد با توابع ساده.

یک روش برای ساخت انتگرال لبگا ستفاده از توابع به اصطلاح ساده است : ترکیبات خطی واقعی محدود از توابع نشانگر . برای یک مبتدی نظریه اندازه گیری ، این ساختار انتگرال لبگ هنگامی که با روش استفاده از مجموع ریمان با تعریف / ساخت انتگرال ریمان مقایسه می شود ، شهودی تر است . از توابع ساده می توان برای تقریب یک تابع قابل اندازه گیری ، با تقسیم دامنه به لایه ها ، استفاده کرد. انتگرال یک تابع ساده برابر است با اندازه گیری یک لایه داده شده ، چند برابر ارتفاع آن لایه. انتگرال یک عملکرد قابل اندازه گیری عمومی غیر منفی سپس به عنوان یک برتری مناسب تعریف می شودتقریب ها توسط توابع ساده ، و انتگرال یک تابع قابل اندازه گیری (نه لزوماً مثبت) تفاوت دو انتگرال از توابع قابل اندازه گیری غیر منفی است ، همانطور که قبلا ذکر شد .

توابع نشانگر [ ویرایش ]

برای اختصاص یک مقدار به انتگرال تابع نشانگر 1 S از یک مجموعه قابل اندازه گیری S سازگار با اندازه μ داده شده ، تنها انتخاب معقول این است که تنظیم کنید:

${\ displaystyle \ int 1_ {S} \، d \ mu = \ mu (S).}$

توجه داشته باشید که نتیجه ممکن است برابر با + ∞ باشد ، مگر اینکه μ یک اندازه گیری محدود باشد.

توابع ساده [ ویرایش ]

ترکیبی خطی محدود از توابع نشانگر

$\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}$

که در آن ضرایب a k اعداد واقعی و S k مجموعه های قابل اندازه گیری جداگانه هستند ، یک تابع ساده قابل اندازه گیری نامیده می شود . انتگرال را با خطی بودن به توابع ساده قابل اندازه گیری غیر منفی گسترش می دهیم . وقتی ضرایب a k غیر منفی باشند ، تنظیم می کنیم

$\ int \ چپ (\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}} \ راست) \ ، d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ int 1_ {S_ {k}} \ ، d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ ، \ mu (S_ {k}).$

قرارداد 0 × ∞ = 0 باید استفاده شود ، و نتیجه ممکن است بی نهایت باشد. حتی اگر یک تابع ساده از بسیاری جهات به عنوان ترکیبی خطی از توابع نشانگر قابل نوشتن باشد ، انتگرال همیشه یکسان است. این را می توان با استفاده از خاصیت افزودنی اندازه گیری ها نشان داد.

برخی از مراقبت مورد نیاز است هنگام تعریف جدایی ناپذیر از یک واقعی ارزش تابع ساده، برای جلوگیری از بیان تعریف نشده ∞ - ∞ : یکی فرض می شود که نمایندگی

$f = \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}$

به گونه ای است که μ ( S k ) <∞ هر زمان که k k ≠ 0 باشد. سپس فرمول فوق برای انتگرال f منطقی است ، و نتیجه به نمایندگی خاص f برآورده ساختن فرض ها بستگی ندارد .

اگر B زیر مجموعه قابل اندازه گیری است E و حال یک تابع ساده اندازه گیری است یکی را تعریف می کند

$\ int _ {B} s \، d \ mu = \ int 1_ {B} \، s \، d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \، \ mu (S_ {k} \ cap B )$

توابع غیر منفی [ ویرایش ]

بگذارید f یک تابع قابل اندازه گیری غیر منفی در E باشد ، که به آن اجازه می دهیم مقدار + ain را بدست آوریم ، به عبارت دیگر ، f مقادیر غیر منفی را در خط عدد توسعه یافته واقعی می گیرد . ما تعریف می کنیم

$\ int _ {E} f \، d \ mu = \ sup \ left \ {\، \ int _ {E} s \، d \ mu: 0 \ leq s \ leq f، \ s \ {\ text {simple }}\،\درست\}.$

ما باید نشان دهیم که این انتگرال همزمان با قبلی است ، که در مجموعه توابع ساده تعریف شده است ، زمانی که E یک قطعه است [ a ، b ]. همچنین این سال وجود دارد که آیا این امر به هیچ وجه با مفهوم ادغام ریمان مطابقت دارد؟ می توان ثابت کرد که پاسخ هر دو سوال مثبت است.

ما انتگرال f را برای هر تابع قابل اندازه گیری غیر واقعی منفی قابل اندازه گیری در E تعریف کرده ایم . برای برخی از توابع ، این انتگرال ∫ E f dμ بی نهایت است.

داشتن یک توالی خاص از توابع ساده که تقریباً چاه انتگرال لبگ را تقریب می بخشد (به طور مشابه با مبلغ ریمان) ، اغلب مفید است. برای یک تابع غیر قابل اندازه گیری f ، اجازه دهید ${\ displaystyle s_ {n} (x)}$ تابع ساده ای است که مقدار آن است

${\ displaystyle k / 2 ^ {n}}$ هر زمان که

${\ displaystyle k / 2 ^ {n} \ leq f (x) <(k + 1) / 2 ^ {n}}$ ، برای k یک عدد صحیح غیر منفی کمتر از (بگویید) $4 ^ {n}$ . سپس می توان مستقیماً ثابت کرد که

${\ displaystyle \ int f \، d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int s_ {n} \، d \ mu}$

و این محدودیت در سمت راست به عنوان یک عدد واقعی گسترش یافته وجود دارد. این ارتباط بین رویکرد به انتگرال لبگ با استفاده از توابع ساده و انگیزه برای انتگرال لبگ با استفاده از یک پارتیشن از محدوده است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی