حساب در مقیاس زمانی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و چهارم شهریور ۱۳۹۹ | 11:56

در ریاضیات ، حساب دیفرانسیل و انتگرال در مقیاس زمان اتحاد از تئوری است معادلات تفاوت را با معادلات دیفرانسیل ، متحد انتگرال و دیفرانسیل حساب دیفرانسیل و انتگرال با حساب تفاوت محدود ، ارائه یک فرمالیسم برای مطالعه گسسته پیوسته ترکیبی سیستم های دینامیکی . این برنامه در هر زمینه ای که به مدل سازی همزمان داده های گسسته و مداوم نیاز دارد ، دارای کاربردهایی است. این تعریف جدیدی از یک مشتق ارائه می دهد به این صورت که اگر کسی تابع تعریف شده روی اعداد واقعی را از هم متمایز کند ، تعریف معادل تمایز استاندارد است ، اما اگر کسی از یک تابع تعریف شده بر روی اعداد صحیح استفاده کند ، معادل آن استعملگر اختلاف رو به جلو .

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

حساب مقیاس زمانی در سال 1988 توسط ریاضیدان آلمانی استفان هیلگر معرفی شد . [1] با این وجود ، قبلاً از ایده های مشابهی استفاده شده است و حداقل به معرفی انتگرال ریمان-استیلتس برمی گردد که مبالغ و انتگرال ها را متحد می کند.

معادلات پویا [ ویرایش ]

بسیاری از نتایج مربوط به معادلات دیفرانسیل به راحتی به نتایج مربوط به معادلات اختلاف منتقل می شوند ، در حالی که نتایج دیگر به نظر می رسد کاملاً متفاوت از نتایج پیوسته آنها باشد. [2] مطالعه معادلات پویا در مقیاس های زمانی چنین اختلافاتی را نشان می دهد و به جلوگیری از اثبات نتایج دو بار کمک می کند - یک بار برای معادلات دیفرانسیل و یک بار دیگر برای معادلات اختلاف. ایده کلی اثبات نتیجه ای برای یک معادله پویا است که در آن دامنه تابع ناشناخته به اصطلاح مقیاس زمانی باشد (همچنین به عنوان مجموعه ای از زمان شناخته می شود) ، که ممکن است یک زیرمجموعه بسته دلخواه از واقعیات باشد. در این روش، نتایج اعمال نه تنها به مجموعه ای از اعداد حقیقی یا مجموعه ای از اعداد صحیحاما به مقیاسهای زمانی کلی تر مانند یک مجموعه Cantor .

سه مثال محبوب ترین حساب دیفرانسیل و انتگرال در مقیاس های زمانی هستند حساب دیفرانسیل ، حساب دیفرانسیل و انتگرال تفاوت ، و حساب دیفرانسیل و انتگرال کوانتومی . معادلات پویا در مقیاس زمانی دارای پتانسیلی برای کاربردها هستند ، مانند پویایی جمعیت . به عنوان مثال ، آنها می توانند جمعیت حشرات را که در فصل به طور مداوم تکامل می یابند ، در زمستان در حالی که تخمهای آنها جوجه کشی یا خاموش هستند ، از بین ببرند و سپس در یک فصل جدید تخم بزنند و جمعیت غیر همپوشانی ایجاد کنند.

تعاریف رسمی [ ویرایش ]

مقیاس زمانی (یا اندازه گیری زنجیره ای ) است زیر مجموعه بسته از خط واقعی $\ mathbb {R}$ . علامت گذاری رایج برای مقیاس زمانی کلی این است $\ mathbb {T}$ .

دو نمونه متداول مقیاس زمانی ، اعداد واقعی هستند $\ mathbb {R}$ و مقیاس زمان گسسته $h \ mathbb {Z}$ .

یک نقطه واحد در مقیاس زمانی به صورت زیر تعریف می شود:

$t: t \ in \ mathbb {T}$

عملیات در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

عملگرهای پرش به جلو ، پرش به عقب و دانه در مقیاس زمانی گسسته

پرش به جلو و پرش رو به عقب اپراتورهای نشان دهنده نزدیک ترین نقطه در مقیاس زمانی در سمت راست و چپ یک نقطه داده شده $تی$ ، به ترتیب. به طور رسمی:

$\ sigma (t) = \ inf \ {s \ in \ mathbb {T}: s> t \}$ (اپراتور شیفت جلو / اپراتور جهش رو به جلو)

$\ rho (t) = \ sup \ {s \ in \ mathbb {T}: s <t \}$ (اپراتور تغییر عقب / عملگر پرش به عقب)

دانه دانه $\ mu$ فاصله از یک نقطه تا نزدیکترین نقطه در سمت راست است و توسط:

$\ mu (t) = \ sigma (t) -t.$

برای یک حق متراکم $تی$ ، $\ سیگما (t) = t$ و $\ mu (t) = 0$ .
برای یک چپ متراکم $تی$ ، $\ rho (t) = t$

طبقه بندی امتیازات [ ویرایش ]

چندین امتیاز در مقیاس زمانی با طبقه بندی های مختلف

برای هرچی $t \ in \ mathbb {T}$ ، $تی$ است:

متراکم مانده اگر $\ rho (t) = t$
درست متراکم اگر $\ سیگما (t) = t$
اگر پراکنده بماند $\ rho (t) <t$
درست پراکنده اگر $\ sigma (t)> t$
متراکم اگر هر دو متراکم و راست متراکم بمانند
جدا شده اگر هر دو چپ پراکنده و راست پراکنده باشند

همانطور که در شکل سمت راست نشان داده شده است:

نقطه $t_ {1}$ است متراکم
نقطه $t_ {2}$ است متراکم چپ و راست پراکنده
نقطه $t_ {3}$ است جدا شده
نقطه $t_ {4}$ است به سمت چپ پراکنده و متراکم راست

تداوم [ ویرایش ]

تداوم مقیاس زمانی به عنوان معادل چگالی تعریف می شود. به مقیاس زمانی گفته می شود که از نظر نقطه درست است $تی$ اگر در نقطه متراکم باشد ، درست است $تی$ . به همین ترتیب ، گفته می شود که یک مقیاس زمانی در نقطه به صورت چپ پیوسته است $تی$ اگر در نقطه متراکم بماند $تی$ .

مشتق [ ویرایش ]

عملکردی را در نظر بگیرید:

$f: \ mathbb {T} \ rightarrow \ mathbb {R}$ ،

(جایی که ... می تواند هر فضای Banach باشد ، اما برای سادگی روی خط واقعی تنظیم شده است).

تعریف: مشتق دلتا (همچنین مشتق هیلگر) $f ^ {\ Delta} (t)$ وجود دارد اگر و فقط اگر:

برای هر $\ epsilon> 0$ یک محله وجود دارد $تو$ از $تی$ به طوری که:

$| f (\ sigma (t)) - f (s) -f ^ {\ Delta} (t) (\ sigma (t) -s) | \ leq \ varepsilon | \ sigma (t) -s |$

برای همه $s$ که در $تو$ .

$\ mathbb {T} = \ mathbb {R}.$ سپس $\ سیگما (t) = t$ $\ mu (t) = 0$ ، $f ^ {\ Delta} = f '$ ؛ مشتق مورد استفاده در حساب استاندارد است . اگر

$\ mathbb {T} = \ mathbb {Z}$ ( عدد صحیح ) ، $\ sigma (t) = t + 1$ ، $\ mu (t) = 1$ $f ^ {\ Delta} = \ Delta f$ عملگر اختلاف رو به جلو است که در معادلات اختلاف استفاده می شود.

ادغام [ ویرایش ]

جدایی ناپذیر دلتا به عنوان نامعین با توجه به مشتق دلتا تعریف شده است. اگر $F (t)$ یک مشتق مداوم دارد $f (t) = F ^ {\ Delta} (t)$ یکی تنظیم می شود

$\ int _ {r} ^ {s} f (t) \ Delta (t) = F (s) -F (r).$

تبدیل لاپلاس و تبدیل z [ ویرایش ]

یک تبدیل لاپلاس را می توان برای توابع در مقیاس زمانی تعریف کرد ، که از جدول مشابه تبدیل برای هر مقیاس دلخواه زمانی استفاده می کند. از این تبدیل می توان برای حل معادلات دینامیکی در مقیاس زمانی استفاده کرد. اگر مقیاس زمانی ، اعداد صحیح غیر منفی باشد ، تبدیل برابر است با [2] تغییر یافته در تبدیل Z :

${\ mathcal {Z}} '\ {x [z] \} = {\ frac {{\ mathcal {Z}} \ {x [z + 1] \}} {z + 1}}$

تمایز جزئی [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات اختلاف جزئی به عنوان معادلات پویای جزئی در مقیاس های زمانی متحد می شوند. [3] [4] [5]

ادغام چندگانه [ ویرایش ]

ادغام چندگانه در مقیاس زمانی در Bohner (2005) مورد بررسی قرار گرفته است. [6]

معادلات دینامیکی تصادفی در مقیاس زمان [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل تصادفی و معادلات اختلاف تصادفی را می توان به مقادیر زمانی به معادلات دینامیک تصادفی تعمیم داد. [7]

اندازه گیری تئوری در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

معیار طبیعی [8] [9] که از طریق هر مقیاس زمانی مرتبط است

$\ mu ^ {\ Delta} (A) = \ lambda (\ rho ^ {- 1} (A)) ،$

جایی که $\ لامبدا$ نشانگر میزان Lebesgue و $\ rho$ عملگر تغییر عقب است که در مشخص شده است $\ mathbb {R}$ . انتگرال دلتا به نظر می رسد یکپارچه معمول Lebesgue – Stieltjes با توجه به این اندازه گیری است

$\ int _ {r} ^ {s} f (t) \ Delta t = \ int _ {[r، s)} f (t) d \ mu ^ {\ Delta} (t)$

و معلوم می شود که مشتق دلتا مشتق رادون-نیکودیم با توجه به این اندازه گیری است [10]

$f ^ {\ Delta} (t) = {\ frac {df} {d \ mu ^ {\ Delta}}} (t).$

توزیع در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

دلتای دیراک و دلتای کرونکر در مقیاس های زمانی به عنوان متحد دلتا Hilger : [11] [12]

$\ delta _ {a} ^ {\ mathbb {H}} (t) = {\ start {موارد} {\ frac {1} {\ mu (a)}} ، & t = a \\ 0 ، & t \ neq a \ پایان {موارد}}$

معادلات انتگرال در مقیاس زمانی [ ویرایش ]

معادلات انتگرال و معادلات جمع در مقیاس زمانی به عنوان معادلات انتگرال متحد می شوند. [ نیاز به منبع ]

حساب کسری در مقیاس زمان [ ویرایش ]

حساب کسری در مقیاس های زمانی در Bastos ، Mozyrska و Torres درمان می شود. [13]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

تجزیه و تحلیل فرکتال برای معادلات دینامیکی در یک مجموعه کانتور .

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Time-scale_calculus

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی