خصوصیات اساسی [ ویرایش ]

بگذارید μ یک معیار باشد.

یکنواختی [ ویرایش ]

اگر E 1 و E 2 مجموعه قابل اندازه گیری با E 1  ⊆  E 2 پس از آن

\ mu (E_ {1}) \ leq \ mu (E_ {2}).

اندازه گیری اتحادیه ها و تقاطع های قابل شمارش [ ویرایش ]

حساسیت فرعی [ ویرایش ]

برای هر دنباله قابل شمارش E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه (و لزوما جدا از هم نیست) قابل اندازه گیری E n در Σ:

\ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {i}).

تداوم از پایین [ ویرایش ]

اگر E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه های قابل اندازه گیری هستند و{\ displaystyle E_ {n} \ subseteq E_ {n + 1}،}برای همه n ، پس اتحاد مجموعه های E n قابل اندازه گیری است ، و

\ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to \ infty} \ mu (E_ {i}).

تداوم از بالا [ ویرایش ]

اگر E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه های قابل اندازه گیری هستند و برای همه {\ displaystyle E_ {n + 1} \ subseteq E_ {n}،}سپس تقاطع مجموعه های E n قابل اندازه گیری است. بعلاوه ، اگر حداقل یکی از E n دارای اندازه محدود باشد ، پس

\ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to \ infty} \ mu (E_ {i}).

این ویژگی بدون فرض اینکه حداقل یکی از E n دارای اندازه محدود باشد نادرست است . به عنوان مثال ، برای هر n ∈ N ، بگذارید E n = [ n ، ∞) ⊂ R ، که همه اندازه بی نهایت Lebesgue دارند ، اما تقاطع خالی است.

اقدامات محدود سیگما [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری محدود سیگما

فضای اندازه گیری ( X ، Σ، μ ) نامیده می شود محدود اگر (μ ( X  یک عدد حقیقی محدود (به جای ∞) است. معیارهای محدود غیر صفر مشابه معیارهای احتمال هستند به این معنا که هر اندازه محدود μ با اندازه گیری احتمال متناسب است{\ frac {1} {\ mu (X)}} \ mu . اندازه گیری μ است که به نام σ-محدود اگر X را می توان به یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه قابل اندازه گیری اندازه گیری محدود تجزیه می شود. همین قیاس، مجموعه ای در یک فضای اندازه است گفت: به یک اندازه گیری σ-محدود اگر آن را یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه با اندازه گیری محدود است.

به عنوان مثال ، اعداد واقعی با اندازه گیری استاندارد Lebesgue σ محدود هستند اما محدود نیستند. فواصل بسته [ k ، k +1] را برای تمام عدد صحیح k در نظر بگیرید . تعداد فواصل بسیار زیادی وجود دارد که هر کدام دارای اندازه 1 هستند و اتحادیه آنها کل خط واقعی است. متناوباً ، اعداد واقعی را با معیار شمارش در نظر بگیرید، که به هر مجموعه متناهی از تعداد واقعی نقاط تنظیم می شود. این فضای اندازه گیری σ محدود نیست ، زیرا هر مجموعه ای با اندازه گیری محدود فقط دارای بسیاری از نقاط است و برای پوشش دادن کل خط واقعی تعداد زیادی از این مجموعه ها به طول می انجامد. فضاهای اندازه گیری محدود σ دارای ویژگی های بسیار مناسبی هستند. σ-محدود بودن را می توان از این لحاظ با ویژگی Lindelöf فضاهای توپولوژیکی مقایسه کرد. همچنین می توان آنها را به عنوان یک تعمیم مبهم از ایده تصور کرد که فضای اندازه گیری ممکن است دارای "اندازه گیری غیرقابل شمارش" باشد.

اقدامات محدود [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری محدود

گفته می شود که معیاری اگر جمع قابل شماری از معیارهای محدود باشد ، s-محدود است. معیارهای S محدود محدودتر از اقدامات محدود سیگما هستند و در تئوری فرآیندهای تصادفی کاربرد دارند .

کامل بودن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری کامل

به مجموعه ای قابل اندازه گیری X گفته می شود که درصورت μ ( X ) = 0 ، مجموعه تهی باشد . به زیرمجموعه ای از مجموعه null یک مجموعه ناچیز گفته می شود . یک مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری نیست ، اما هر مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری به طور خودکار یک مجموعه پوچ است. اگر هر مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری باشد ، معیار را کامل می نامند .

اندازه گیری را می توان به یکی از کامل با در نظر گرفتن σ جبر از زیر مجموعه های گسترش Y که توسط مجموعه ای ناچیز از یک مجموعه قابل اندازه گیری متفاوت X ، این است که، به طوری که تفاوت متقارن از X و Y در یک مجموعه تهی موجود است. یکی (μ ( Y  را برابر( μ ( X  تعریف می کند .

افزودنی [ ویرایش ]

اقدامات لازم است تا به طور قابل شماری افزودنی باشند. با این حال ، شرایط می تواند به شرح زیر تقویت شود. برای هر مجموعهمن و هر مجموعه ای از موارد منفی {\ displaystyle r_ {i} ، من \ در I} تعریف کردن:

\ sum _ {i \ in I} r_ {i} = \ sup \ left \ lbrace \ sum _ {i \ in J} r_ {i}: | J | <\ aleph _ {0}، J \ subseteq I \ راست \ آغوش.

یعنی ، ما مجموع r_ {i} به عنوان برتری کل مبالغ بسیاری از آنها باشد.

یک اندازه \ mu  بر \ سیگما  است\ کاپا در صورت وجود ، اضافه می شود {\ displaystyle \ lambda <\ kappa} و هر خانواده ای از مجموعه های جدا از هم {\ displaystyle X _ {\ alpha} ، \ alpha <\ lambda} وضعیت زیر:

{\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in \ lambda} X _ {\ alpha} \ in \ Sigma}

\ mu \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in \ lambda} X _ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {\ alpha \ in \ lambda} \ mu \ left (X _ {\ alpha} \ right)

توجه داشته باشید که شرط دوم معادل این جمله است که ایده آل مجموعه های پوچ است\ کاپا -کامل.

مجموعه های غیر قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مجموعه ای غیر قابل اندازه گیری

اگر اصل موضوع انتخاب فرض بر این است درست باشد، می توان آن را ثابت کرد که همه زیر مجموعه از فضای اقلیدسی می لبسگو اندازه گیری ؛ نمونه هایی از این مجموعه ها شامل مجموعه Vitali و مجموعه های غیر قابل اندازه گیری است که توسط پارادوکس هاوسدورف و پارادوکس Banach – Tarski فرض شده است .

تعمیم [ ویرایش ]

برای اهداف خاص ، داشتن "معیاری" مفید است که مقادیر آن محدود به واقعیات غیر منفی یا بینهایت نباشد. به عنوان مثال ، یک تابع مجموعه افزودنی قابل شمارش با مقادیر در اعداد واقعی (امضا شده) ، معیار امضا شده نامیده می شود ، در حالی که چنین تابعی با مقادیر در اعداد مختلط ، معیار پیچیده ای نامیده می شود . اقداماتی که در فضاهای Banach مقادیر به دست می آورند به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته اند. [2] اندازه گیری است که طول می کشد ارزش در مجموعه ای از بینی خود الحاقی در فضای هیلبرت است که به نام اندازه گیری-طرح ریزی ارزش ؛ اینها در تحلیل عملکردی برای قضیه طیفی استفاده می شوند. هنگامی که لازم است معیارهای معمول که مقادیر غیر منفی را از تعمیم می گیرند ، تشخیص دهیم ، از اصطلاح معیار مثبت استفاده می شود. اقدامات مثبت تحت تركيب مخروطي بسته مي شوند اما تركيب عمومي خطي بسته نمي شوند ، در حاليكه اقدامات امضا شده بسته شدن خطي اقدامات مثبت است.

تعمیم دیگر ، اندازه گیری کاملاً افزودنی است که به عنوان محتوا نیز شناخته می شود . این همان اندازه گیری است با این تفاوت که به جای اینکه به افزودنی قابل شمارش نیاز داشته باشیم ، فقط به افزودنی محدود نیاز داریم . از نظر تاریخی ، ابتدا از این تعریف استفاده می شد. به نظر می رسد که به طور کلی، اقدامات متناهی افزودنی با مفاهیمی همچون متصل محدودیت باناخ ، دوگانه L ∞ و فشرده سنگ-چک . همه اینها از یک راه یا دیگری با بدیهیات انتخابی مرتبط هستند . مطالب در برخی مشکلات فنی در نظریه اندازه گیری هندسی مفید است . این تئوری استاقدامات Banach .

شارژ یک تعمیم در هر دو جهت است: آن متناه افزودنی، اندازه گیری امضا شده است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)