در پویایی ریاضی ، زمان گسسته و زمان پیوسته دو چارچوب جایگزین برای مدل سازی متغیرهایی هستند که با گذشت زمان تکامل می یابند.

 

فهرست

زمان گسسته [ ویرایش ]

سیگنال نمونه گسسته

زمان گسسته مقادیر متغیرها را بصورت متمایز ، جدا از هم در "نقاط زمانی" مشاهده می کند ، یا معادل آن بدون تغییر در هر منطقه غیر صفر از زمان ("دوره زمانی") - یعنی زمان به عنوان یک متغیر گسسته مشاهده می شود . بنابراین یک متغیر غیر زمان با حرکت زمان از یک دوره زمانی به دوره دیگر از یک مقدار به ارزش دیگر می پرد. این نمای زمان مربوط به ساعت دیجیتالی است که برای مدتی 10:37 قرائت ثابت می کند و سپس به قرائت ثابت جدید 10:38 و غیره می رود. در این چارچوب ، هر متغیر مورد نظر هر یک بار اندازه گیری می شود بازه زمانی. تعداد اندازه گیری ها بین هر دو بازه زمانی محدود است. اندازه گیری ها معمولاً در مقادیر عددی صحیح متوالی متغیر "زمان" انجام می شوند.

سیگنال گسسته یا سیگنال گسسته است سری زمانی متشکل از یک توالی از مقادیر.

برخلاف سیگنال زمان پیوسته ، سیگنال زمان گسسته تابعی از استدلال پیوسته نیست. اما ممکن است با نمونه برداری از سیگنال زمان پیوسته بدست آمده باشد. وقتی سیگنال زمان گسسته با نمونه برداری از یک دنباله در زمانهایی با فاصله یکنواخت بدست می آید ، دارای نرخ نمونه برداری مرتبط است .

سیگنال های زمان گسسته ممکن است منشا مختلفی داشته باشند ، اما معمولاً می توانند در یکی از دو گروه طبقه بندی شوند: [1]

  • با بدست آوردن مقادیر سیگنال آنالوگ با سرعت ثابت یا متغیر. این فرآیند نمونه گیری نامیده می شود . [2]
  • با مشاهده یک فرایند ذاتی گسسته ، مانند حداکثر ارزش هفتگی یک شاخص اقتصادی خاص.

زمان مداوم [ ویرایش ]

در مقابل، زمان پیوسته دیدگاه متغیرهای به عنوان داشتن یک مقدار خاص برای به طور بالقوه تنها بینهایت مقدار کوتاه از زمان. بین هر دو نقطه در زمان تعداد بی نهایت از نقاط دیگر در زمان وجود دارد. متغیر "زمان" در کل خط عدد واقعی ، یا بسته به زمینه ، در زیر مجموعه ای از آن مانند واقعی های غیر منفی متغیر است. بنابراین زمان به عنوان یک متغیر پیوسته مشاهده می شود .

سیگنال پیوسته یا یک سیگنال زمان پیوسته است متغیر مقدار (یک سیگنال ) که دامنه است، که اغلب زمان، است پیوستار (به عنوان مثال، یک متصل فاصله از اعداد حقیقی ). یعنی دامنه تابع یک مجموعه غیر قابل شمارش است . تابع خود نیازی به مداوم ندارد . در مقابل ، یک سیگنال زمان گسسته مانند اعداد طبیعی دارای دامنه قابل شمارش است .

سیگنال دامنه و زمان پیوسته به عنوان سیگنال زمان پیوسته یا سیگنال آنالوگ شناخته می شود . این (یک سیگنال ) در هر لحظه مقداری ارزش دارد. سیگنال های الکتریکی متناسب با مقادیر فیزیکی مانند دما ، فشار ، صدا و غیره به طور کلی سیگنال های مداوم هستند. نمونه های دیگر سیگنال های مداوم موج سینوسی ، موج کسینوس ، موج مثلثی و غیره هستند.

سیگنال از طریق یک دامنه تعریف می شود که ممکن است محدود باشد یا نباشد و یک نگاشت کاربردی از دامنه به مقدار سیگنال وجود دارد. تداوم متغیر زمان ، در ارتباط با قانون چگالی اعداد واقعی ، به این معنی است که مقدار سیگنال را می توان در هر نقطه دلخواه از زمان یافت.

یک نمونه معمول از یک سیگنال با مدت زمان بی نهایت این است:

f (t) = \ sin (t) ، \ quad t \ in {\ mathbb {R}}

همتای مدت محدود سیگنال فوق می تواند باشد:

f (t) = \ sin (t) ، \ quad t \ in [- \ pi ، \ pi] و {\ displaystyle f (t) = 0}f (t) = 0 در غیر این صورت.

مقدار سیگنال مدت محدود (یا نامحدود) ممکن است محدود باشد یا نباشد. مثلا،

f (t) = {\ frac {1} {t}} ، \ quad t \ in [0،1] و f (t) = 0 در غیر این صورت،

یک سیگنال با مدت زمان محدود است اما برای یک مقدار بی نهایت طول می کشدt = 0 \ ،.

در بسیاری از رشته ها ، قرارداد این است که یک سیگنال پیوسته باید همیشه دارای یک مقدار محدود باشد ، که در مورد سیگنال های فیزیکی منطقی تر است.

برای برخی اهداف ، تکین های بی نهایت قابل قبول هستند تا زمانی که سیگنال در هر بازه محدود قابل جمع باشد (به عنوان مثال ، t ^ {- 1} سیگنال در بی نهایت قابل جمع نیست ، اما t ^ {{- 2}} است).

هر سیگنال آنالوگ ذاتاً پیوسته است. سیگنال های گسسته در زمان ، مورد استفاده در پردازش سیگنال های دیجیتال ، می توان با به دست آمده از نمونه برداری و تدریج از سیگنال های مداوم.

سیگنال پیوسته نیز ممکن است در یک متغیر مستقل غیر از زمان تعریف شود. یک متغیر مستقل بسیار متداول دیگر ، فضا است و به ویژه در پردازش تصویر ، جایی که از دو بعد فضا استفاده می شود ، بسیار مفید است .

زمینه های مرتبط [ ویرایش ]

زمان گسسته اغلب در هنگام اندازه گیری های تجربی استفاده می شود ، زیرا به طور معمول فقط اندازه گیری متغیرها به صورت متوالی امکان پذیر است. به عنوان مثال ، در حالی که فعالیت اقتصادی در واقع به طور مداوم اتفاق می افتد ، اما هیچ لحظه ای نیست که اقتصاد کاملاً متوقف شود ، اما فقط می توان فعالیت اقتصادی را به صورت گسسته اندازه گیری کرد. به همین دلیل ، داده های منتشر شده در مورد ، به عنوان مثال ، تولید ناخالص داخلی توالی مقادیر سه ماهه را نشان می دهد .

وقتی کسی تلاش می کند این متغیرها را از نظر متغیرهای دیگر و / یا مقادیر قبلی خود تجربی توضیح دهد ، از روش های سری زمانی یا رگرسیون استفاده می کند که در آن متغیرها با یک زیرنویس نشان داده می شوند که دوره زمانی مشاهده را نشان می دهد. به عنوان مثال ، y t ممکن است به ارزش درآمد مشاهده شده در دوره زمانی نامشخص t ، y 3 به ارزش درآمد مشاهده شده در دوره زمانی سوم و غیره اشاره کند.

علاوه بر این ، هنگامی که یک محقق سعی در ایجاد نظریه ای برای توضیح آنچه در زمان گسسته مشاهده می شود ، دارد ، غالباً خود تئوری در زمان گسسته بیان می شود تا توسعه سری زمانی یا مدل رگرسیون را تسهیل کند.

از طرف دیگر ، ساخت مدل های نظری در زمان مداوم اغلب از نظر ریاضی قابل حل است و اغلب در مناطقی مانند فیزیک ، توصیف دقیق نیاز به استفاده از زمان مداوم دارد. در یک زمینه زمانی پیوسته ، مقدار یک متغیر y در یک نقطه نامشخص در زمان به صورت y ( t ) یا در صورت روشن بودن معنی به صورت y نشان داده می شود .

انواع معادلات [ ویرایش ]

زمان گسسته [ ویرایش ]

زمان گسسته از معادلات اختلاف استفاده می کند ، همچنین به عنوان روابط بازگشتی شناخته می شود. مثالی که به عنوان نقشه لجستیک یا معادله لجستیک شناخته می شود ، می باشد

x _ {{t + 1}} = rx_ {t} (1-x_ {t}) ،

که در آن r یک پارامتر در محدوده 2 تا 4 است و x متغیری در محدوده 0 تا 1 است که مقدار آن در دوره t به صورت غیرخطی بر مقدار آن در دوره بعدی ، t +1 تأثیر می گذارد . مثلاً اگر

r = 4 و x_ {1} = 1/3، سپس برای t = 1 داریمx_ {2} = 4 (1/3) (2/3) = 8/9، و برای t = 2 داریمx_ {3} = 4 (8/9) (1/9) = 32/81.

مثال دیگر تعدیل قیمت P را در پاسخ به تقاضای اضافی غیر صفر برای یک محصول به عنوان مثال مدل می کند

P _ {{t + 1}} = P_ {t} + \ delta \ cdot f (P_ {t} ، ...)

جایی که \ دلتا  پارامتر مثبت تنظیم سرعت است که کمتر از یا برابر با 1 است ، و کجاfتابع تقاضای بیش از حد است .

زمان مداوم [ ویرایش ]

زمان مداوم از معادلات دیفرانسیل استفاده می کند . به عنوان مثال ، تنظیم قیمت P در پاسخ به تقاضای اضافی غیر صفر برای یک محصول می تواند در مدت زمان مداوم مدل شود

{\ frac {dP} {dt}} = \ lambda \ cdot f (P ، ...)

جایی که سمت چپ اولین مشتق قیمت با توجه به زمان است (یعنی نرخ تغییر قیمت) ،\ لامبدا  پارامتر سرعت تنظیم است که می تواند هر عدد محدود مثبتی باشد و f دوباره تابع تقاضای اضافی است.

تصویر گرافیکی [ ویرایش ]

یک متغیر اندازه گیری شده در زمان گسسته را می توان به عنوان یک تابع گام رسم کرد ، که در آن به هر دوره زمانی منطقه ای در محور افقی با همان طول هر دوره زمانی دیگر داده می شود و متغیر اندازه گیری شده به عنوان ارتفاعی رسم می شود که در تمام مدت ثابت می ماند منطقه دوره زمانی در این روش گرافیکی ، نمودار به عنوان دنباله ای از مراحل افقی ظاهر می شود. متناوباً ، هر دوره زمانی را می توان به عنوان یک نقطه جدا شده از زمان ، معمولاً در یک مقدار صحیح در محور افقی مشاهده کرد و متغیر اندازه گیری شده به عنوان ارتفاعی بالاتر از آن نقطه محور زمان رسم می شود. در این تکنیک نمودار به صورت مجموعه ای از نقاط ظاهر می شود.

مقادیر یک متغیر که در زمان مداوم اندازه گیری می شود به عنوان یک تابع مداوم رسم می شود ، زیرا دامنه زمان به عنوان کل محور واقعی یا حداقل بخشی از متصل آن در نظر گرفته می شود.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_time_and_continuous_time