ادامه σ -جبر

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم شهریور ۱۳۹۹ | 9:5

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید X مقداری تنظیم شود و بگذارید ${\ mathcal {P}} (X)$ مجموعه قدرت آن را نشان می دهد . سپس یک زیر مجموعه ${\ displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$ در صورتی که سه ویژگی زیر را برآورده کند ، σ -جبر نامیده می شود : [3]

X در Σ است ، و X به عنوان مجموعه جهانی در زمینه زیر در نظر گرفته می شود .
Σ تحت مکمل بسته می شود : اگر A در Σ باشد ، مکمل آن نیز X \ A است .
Σ تحت اتحادیه های قابل شمارش بسته است : اگر A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... در Σ باشد ، A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ in نیز است .

از این ویژگی ها ، نتیجه می شود که σ -جبر نیز در تقاطع های قابل شمارش بسته می شود (با اعمال قوانین دی مورگان ).

همچنین نتیجه می شود که مجموعه خالی in در Σ است ، زیرا توسط (1) X در Σ است و (2) ادعا می کند که مکمل آن ، مجموعه خالی نیز در Σ است. علاوه بر این ، از آنجا که { X ، ∅ } شرایط (3) را نیز برآورده می کند ، از این رو نتیجه می شود که { X ، ∅ } کوچکترین σ-جبر ممکن در X است . بزرگترین σ-جبر ممکن در X 2 X است : ${\ mathcal {P}} (X)$ .

عناصر جبر σ را مجموعه قابل اندازه گیری می نامند . یک جفت مرتب ( X ، Σ) ، که در آن X یک مجموعه است و Σ یک σ -جبر بیش از X است ، یک فضای قابل اندازه گیری نامیده می شود . اگر پیش اندازه هر مجموعه قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری باشد ، به یک تابع بین دو فضای قابل اندازه گیری یک تابع قابل اندازه گیری گفته می شود. مجموعه فضاهای قابل اندازه گیری ، دسته ای را تشکیل می دهد که توابع قابل اندازه گیری را به صورت مورفیزم در می آورد . اقدامات به عنوان انواع خاصی از توابع از σ تعریف می شوند-جبر به [0 ،].

جبر σ هم یک سیستم π است و هم یک سیستم Dynkin ( سیستم λ). مکالمه نیز با قضیه دینکین درست است (در زیر).

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

این قضیه (یا قضیه کلاس یکنواخت مرتبط ) ابزاری اساسی برای اثبات بسیاری از نتایج در مورد خواص جبرهای خاص σ است. این از ماهیت دو کلاس ساده مجموعه ، یعنی زیر استفاده می کند.

π-سیستم P مجموعه ای از زیر مجموعه های X است که تحت finitely بسیاری از تقاطع بسته است، و

سیستم Dynkin (یا λ سیستم) D مجموعه ای از زیر مجموعه های X که شامل X و تحت مکمل و تحت اتحادیه شمارا از بسته است متلاشی شدن زیر مجموعه.

قضیه π-λ Dynkin می گوید ، اگر P یک سیستم π است و D یک سیستم Dynkin است که حاوی P است ، جبر σ σ ( P ) تولید شده توسط P در D موجود است . از آنجا که برخی از سیستم های π کلاسهای نسبتاً ساده ای هستند ، ممکن است سخت باشد که همه مجموعه های P از ویژگی مورد نظر لذت ببرند در حالی که از طرف دیگر ، نشان می دهد مجموعه D از همه زیر مجموعه های این ویژگی یک سیستم Dynkin است همچنین سرراست باشید قضیه π-λ Dynkin نشان می دهد که همه مجموعه های σ ( P ) از ویژگی برخوردار هستند ، و از انجام وظیفه بررسی آن برای یک مجموعه دلخواه در σ ( P)

یکی از اساسی ترین کاربردهای قضیه π-λ نشان دادن برابری معیارها یا انتگرال های جداگانه تعریف شده است. به عنوان مثال ، برای معادل سازی احتمال یک متغیر تصادفی X با انتگرال Lebesgue-Stieltjes که معمولاً با محاسبه احتمال مرتبط است ، استفاده می شود:

$\ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {A} \، F (dx)$ برای همه A در جبر بورل در R ،

جایی که F ( x ) تابع توزیع تجمعی برای X است ، تعریف شده بر روی R ، در حالی که $\ mathbb {P}$ یک اندازه گیری احتمال است که در یک σ -جبراز زیر مجموعه های برخی از فضای نمونه Ω تعریف شده است.

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

فرض کنید $\ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}$ مجموعه ای از جبرهای σ بر روی فضای X است .

تقاطع مجموعه ای از σ -جبرها یک جبر است. برای تأکید بر شخصیت آن به عنوان σ -جبر ، اغلب با این مشخص می شود: $\ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.$

طرح اثبات: بگذارید Σ ∗ تقاطع را نشان دهد. از آنجا که X در هر Σ α است ، Σ ∗ خالی نیست. بسته شدن در زیر اتحادیه های مکمل و قابل شمارش برای هر Σ α بیانگر این است که برای Σ ∗ نیز باید همین امر صادق باشد . بنابراین، Σ * σ-جبر است.

اتحادیه مجموعه ای از جبرها به طور کلی یک σ -جبر ، یا حتی یک جبر نیست ، اما یک σ -جبر تولید می کند که به عنوان پیوند شناخته می شود و به طور معمول مشخص می شود

$\ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).$

یک سیستم π که اتصال را ایجاد می کند

${\ mathcal {P}} = \ چپ \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ در \ Sigma _ {\ alpha _ {i}} ، \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}} ، \ n \ geq 1 \ right \}.$

طرح اثبات: با توجه به مورد n = 1 ، مشاهده می شود که هر یک $\ Sigma _ {\ alpha} \ زیرمجموعه {\ mathcal {P}}$ ، بنابراین

$\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ subset {\ mathcal {P}}.$

این دلالت می کنه که

$\ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست) \ زیرمجموعه \ sigma ({\ mathcal {P}})$

با تعریف جبر σ تولید شده توسط مجموعه ای از زیر مجموعه ها. از سوی دیگر،

${\ mathcal {P}} \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست)$

که با قضیه π-λ دینکین بر آن دلالت دارد

$\ sigma ({\ mathcal {P}}) \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست)$

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

فرض کنید Y یک زیرمجموعه از X است و اجازه دهید ( X ، Σ) یک فضای قابل اندازه گیری باشد.

مجموعه { Y ∩ B : B ∈ Σ} یک σ -جبر از زیر مجموعه های Y است .
فرض کنید ( Y ، Λ) یک فضای قابل اندازه گیری است. مجموعه { A ⊂ X : A ∩ Y ∈ Λ} یک σ -جبر از زیر مجموعه های X است .

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

σ جبر Σ فقط یک σ حلقه که شامل مجموعه جهانی X . [4] σ نیاز حلقه نمی شود یک σ جبر، به عنوان مثال زیر مجموعه های قابل اندازه گیری از صفر اندازه گیری Lebesgue در خط واقعی یک σ حلقه، اما نه یک σ جبر از خط واقعی است اندازه گیری بی نهایت و در نتیجه نمی تواند توسط اتحادیه قابل شمارش آنها حاصل شود. اگر به جای اندازه صفر ، زیرمجموعه قابل اندازه گیری از اندازه محدود Lebesgue گرفته شود ، اینها یک حلقه هستند اما یک σ حلقه نیستند ، زیرا خط واقعی را می توان توسط اتحادیه قابل شمارش آنها بدست آورد ، اما اندازه آن محدود نیست.

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

σ - جبرها گاهی اوقات با استفاده از حروف بزرگ خط ، یا حروف چاپی Fraktur نشان داده می شوند . بنابراین ( X ، Σ) ممکن است به عنوان نشان داده شود $\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathcal {F}})$ یا

$\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathfrak {F}})$ .

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

یک جبر (یا میدان جداکننده σ ) قابل تفکیک یک جبر σ است ${\ mathcal {F}}$ این یک فضای قابل تفکیک است که به عنوان یک فضای متریک با متریک در نظر گرفته شود

${\ displaystyle \ rho (A، B) = \ mu (A {\ mathbin {\ مثلث}} B)}$ برای ${\ displaystyle A ، B \ in {\ mathcal {F}}}$ و یک معیار مشخص $\ mu$ (و با $\مثلث$ بودن تفاوت متقارن اپراتور). [5] توجه داشته باشید که هر

σ -جبر تولید شده توسط یک مجموعه قابل شمارش از مجموعه ها قابل تفکیک است ، اما برعکس لازم نیست. به عنوان مثال ، جبر Lebesgue قابل تفکیک است (از آنجا که هر مجموعه قابل اندازه گیری Lebesgue معادل برخی از مجموعه های Borel است) اما به طور قابل شمارش تولید نمی شود (از آنجا که اصالت آن بالاتر از پیوستار است).

یک فضای اندازه گیری قابل تفکیک دارای یک شبه سنجی طبیعی است که آن را به عنوان یک فضای شبه سنجی قابل تفکیک می کند . فاصله بین دو مجموعه به عنوان اندازه گیری اختلاف متقارن دو مجموعه تعریف شده است. توجه داشته باشید که اختلاف متقارن دو مجموعه مجزا می تواند اندازه صفر داشته باشد. بنابراین لازم نیست که شبه سنجی همانطور که در بالا تعریف شد ، یک معیار واقعی باشد. با این وجود ، اگر مجموعه هایی که اختلاف متقارن آنها دارای اندازه صفر است ، در یک کلاس معادل واحد شناسایی شوند ، می توان با استفاده از متریک القایی ، مجموعه ضریب حاصل را به درستی اندازه گیری کرد. اگر فضای اندازه گیری قابل تفکیک باشد ، می توان نشان داد که فضای متریک مربوطه نیز هست.

مثالهای ساده مبتنی بر مجموعه [ ویرایش ]

بگذارید X هر مجموعه ای باشد.

خانواده فقط متشکل از مجموعه خالی و مجموعه X است که جبر حداقل یا بی اهمیت σ بیش از X نامیده می شود .
مجموعه توانی از X ، به نام گسسته σ جبر .
مجموعه {∅ ، A ، A c ، X } یک جبر σ ساده است که توسط زیر مجموعه A تولید می شود .
مجموعه ای از زیرمجموعه های X که قابل شمارش هستند یا مکمل های آنها قابل شمارش هستند ، یک جبر σ (که از مجموعه قدرت X متمایز است در صورتی که X فقط غیر قابل شمارش باشد). این σ جبر تولید شده توسط است تک از X . توجه: "قابل شمارش" شامل متناهی یا خالی است.
مجموعه ای از تمام اتحادیه های مجموعه در یک شمارا پارتیشن از X σ-جبر است.

توقف زمان σ-جبری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: Σ-جبر τ-گذشته

یک زمان توقف $\ تاو$ می تواند تعریف کند $\ سیگما$ -جبر ${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ ، به اصطلاحσ -جبر τ-گذشته ، که در یک فضای احتمال فیلتر شده اطلاعات را تا زمان تصادفی توصیف می کند $\ تاو$ به این معنا که ، اگر فضای احتمال فیلتر شده به عنوان یک آزمایش تصادفی تفسیر شود ، حداکثر اطلاعاتی که می توان در مورد آزمایش پیدا کرد ، به طور خودسرانه اغلب تکرار آن تا زمان

$\ تاو$ است

${\ mathcal {F}} _ {\ tau}$ . [6]

σ-جبرهای تولید شده توسط خانواده مجموعه ها [ ویرایش ]

σ-جبر تولید شده توسط یک خانواده خودسر [ ویرایش ]

بگذارید F یک خانواده دلخواه از زیرمجموعه های X باشد. کوچکترین جبر منحصر به فرد وجود دارد که شامل هر مجموعه در F است (حتی اگر F ممکن است یک

σ -جبر باشد یا نباشد). در واقع محل تقاطع تمام σ-جبری های حاوی F است . (تقاطع های جبرهای σ را در بالا مشاهده کنید.) این σ -جبر نشان داده می شود

(σ ( F و جبر σ تولید شده توسط F نامیده می شود .

سپس( σ ( Fاز تمام زیرمجموعه های X تشکیل شده است که می تواند از طریق عناصر F با تعداد قابل شماری از عملیات مکمل ، اتحاد و تقاطع ساخته شود. اگر F خالی باشد ، پس

σ ( F ) = { X ، ∅ }

، زیرا یک اتحادیه و تقاطع خالی به ترتیب مجموعه خالی و مجموعه جهانی را تولید می کند.

برای یک مثال ساده ، مجموعه{ X = {1، 2، 3 را در نظر بگیرید. سپس جبر σ تولید شده توسط زیرمجموعه واحد

{{ σ ({{1}}) = {∅ ، {1} ، {2 ، 3} ، {1 ، 2 ، 3 است . با سو abuse استفاده از علامت گذاری ، هنگامی که مجموعه ای از زیرمجموعه ها فقط یک عنصر دارند ، A ، اگر مشخص باشد که A زیر مجموعه X است ، می توان({σ ({ A به جای ( σ ( A نوشت . در مثال قبلی ({σ ({1 به جای ({σ ({{1 1. در واقع ، استفاده از (σ ( A 1 ، A 2 ، ...به معنای ({σ ({ A 1 ، A 2 ، ...همچنین کاملاً رایج است.

خانواده های زیادی از زیرمجموعه ها وجود دارند که جبرهای σ مفید تولید می کنند. برخی از این موارد در اینجا ارائه شده است.

σ-جبر تولید شده توسط یک تابع [ ویرایش ]

اگر f تابعی از مجموعه X به مجموعه Y است و B جبر σ از زیر مجموعه Y است ، جبر σ تولید شده توسط تابع f ، (اσ ( f مشخص می شود ، مجموعه تمام تصاویر معکوس است ج -1 ( S ) از مجموعه S در B . یعنی

$\ sigma (f) = \ {f ^ {- 1} (S) \ ، | \ ، S \ in B \}.$

یک تابع f از یک مجموعه X به یک مجموعه Y با توجه به یک جبر σ از زیر مجموعه های X قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر( σ ( f زیر مجموعه Σ باشد.

یک وضعیت مشترک، و درک به طور پیش فرض اگر B است به صراحت مشخص نشده است، هنگامی که Y است متریک و یا فضای توپولوژیک و B مجموعه ای از است مجموعه بورل در Y .

اگر f تابعی از X به R n باشد ، σ ( f ) توسط خانواده زیر مجموعه هایی تولید می شود که تصاویر معکوس فواصل / مستطیل ها در R n هستند :

$\ sigma (f) = \ sigma \ چپ (\ {f ^ {- 1} ((a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار (a_ {n} ، b_ {n}])): a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \} \ سمت راست).$

یک ویژگی مفید موارد زیر است. فرض کنید f یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( S ، Σ S ) و g یک نقشه قابل اندازه گیری از ( X ، Σ X ) تا ( T ، Σ T ) است. اگر یک نقشه قابل اندازه گیری h از ( T ، Σ T ) تا ( S ، Σ S ) وجود داشته باشد به طوری که ((f ( x ) = h ( g ( x برای تمام x ، سپس σ ( f ) ⊂ σ ( g) اگر S محدود یا قابل شمارش نامحدود باشد یا به طور کلی ، ( S ، Σ S ) یک فضای استاندارد بورل است (به عنوان مثال ، یک فضای متریک کامل قابل تفکیک با مجموعه های Borel مرتبط با آن) ، مکالمه نیز صادق است. [7] نمونه هایی از فضاهای استاندارد بورل شامل R N با مجموعه بورل و R ∞ با سیلندر σ جبر شرح زیر است.

بورل و Lebesgue σ-جبری [ ویرایش ]

یک مثال مهم جبر بورل بر روی هر فضای توپولوژیکی است : جبر σ تولید شده توسط مجموعه های باز (یا به طور معادل ، توسط مجموعه های بسته ). توجه داشته باشید که این جبر σ به طور کلی ، کل مجموعه توان نیست. برای یک مثال غیر پیش پا افتاده که مجموعه Borel نیست ، به مجموعه های Vitali یا Non-Borel مراجعه کنید .

در فضای اقلیدسی R N ، یکی دیگر از σ جبر از اهمیت: که از همه اندازه گیری لبسگو مجموعه. این جبر σ شامل مجموعه های بیشتری از جبر بورل در R n است و در تئوری ادغام ترجیح داده می شود ، زیرا فضای اندازه گیری کاملی را می دهد .

ضرب σ-جبر [ ویرایش ]

اجازه دهید $(X_ {1} ، \ Sigma _ {1})$ و $(X_ {2} ، \ Sigma _ {2})$ دو فضای قابل اندازه گیری باشد. جبر σ برای فضای ضرب مربوطه $X_ {1} \ بار X_ {2}$ ضرب جبری نامیده می شود و توسط آن تعریف می شود

$\ Sigma _ {1} \ times \ Sigma _ {2} = \ sigma (\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ in \ Sigma _ {1}، B_ {2} \ in \ سیگما _ {2} \}).$

رعایت کنید $\ {B_ {1} \ بار B_ {2}: B_ {1} \ در \ Sigma _ {1} ، B_ {2} \ در \ Sigma _ {2} \}$ یک سیستم π است

جبر بورل برای R n توسط مستطیل های نیمه نامحدود و توسط مستطیل های محدود تولید می شود. مثلا،

${\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ sigma \ سمت چپ (\ چپ \ {(- \ ضعیف ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ زمان (- \ ضعیف ، b_) {n}]: b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right) = \ sigma \ چپ (\ چپ \ {(a_ {1} ، b_ {1}] \ بار \ cdots \ بار) (a_ {n} ، b_ {n}]: a_ {i} ، b_ {i} \ in \ mathbb {R} \ right \} \ right).$

برای هر یک از این دو مثال ، خانواده مولد یک سیستم π است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی