نمونه هایی از فضاهای متریک

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سی و یکم شهریور ۱۳۹۹ | 10:0

نمونه هایی از فضاهای متریک [ ویرایش ]

اعداد حقیقی با استفاده از تابع فاصله $d (x ، y) = \ vert y - x \ vert$ داده شده توسط تفاوت مطلق ، و، به طور کلی، اقلیدسی N فضا- با فاصله اقلیدسی ، هستند کامل فضاهای متریک. اعداد گویا را با تابع همان فاصله هم یک فضای متریک، اما نه یکی از کامل تشکیل می دهد.
اعداد حقیقی مثبت با عملکرد فاصله $d (x، y) = \ vert \ log (y / x) \ vert$ یک فضای متریک کامل است.
هر فضای بردار هنجاری شده با تعریف یک فضای متریک است، همچنین به معیارهای مربوط به فضاهای برداری مراجعه کنید . (اگر چنین فضایی کامل باشد ، ما آن را فضای Banach می نامیم ) مثالها:
- هنجار منهتن افزایش می دهد به فاصله منهتن ، که در آن فاصله بین هر دو نقطه، یا بردار، مجموع تفاوت بین مختصات است.
- حداکثر هنجار افزایش می دهد به فاصله چبیشف یا از راه دور صفحه شطرنج، تعداد حداقل از حرکت یک پادشاه شطرنج به سفر از را $ایکس$ به $y$ .
راه آهن بریتانیا متریک ( "دفتر پست متریک" یا "نیز نامیده می شود SNCF در متریک") فضای برداری عادی هنجار داده شده است $d (x ، y) = \ lVert x \ rVert + \ lVert y \ rVert$ برای نقاط مشخص $ایکس$ و $y$ ، و $d (x ، x) = 0$ . به طور کلی $\ lVert. \ r$ می تواند با یک تابع جایگزین شود $f$ گرفتن یک مجموعه دلخواه $س$ به واقعیات غیر منفی و گرفتن ارزش ${\ displaystyle 0}$ حداکثر یک بار: سپس متریک در تعریف می شود $س$ توسط $d (x ، y) = f (x) + f (y)$ برای نقاط مشخص $ایکس$ و $y$ ، و $d (x ، x) = 0$ . این نام اشاره به تمایل سفرهای ریلی برای ادامه مسیر از طریق لندن (یا پاریس) صرف نظر از مقصد نهایی آنها دارد.
اگر $(م ، د)$ یک فضای متریک است و $ایکس$ یک زیر مجموعه از $م$ ، سپس $(X ، d)$ با محدود کردن دامنه ، به یک فضای متریک تبدیل می شود $د$ به $X \ X بار$ .
متریک گسسته ، که در آن $d (x ، y) = 0$ اگر $x = سال$ و $d (x ، y) = 1$ در غیر این صورت ، یک مثال ساده اما مهم است و می تواند برای همه مجموعه ها اعمال شود. این ، به ویژه ، نشان می دهد که برای هر مجموعه ، همیشه یک فضای متریک مرتبط با آن وجود دارد. با استفاده از این معیار ، هر نقطه یک توپ باز است ، بنابراین هر زیر مجموعه باز است و فضا دارای توپولوژی گسسته است .
یک فضای متریک محدود ، یک فضای متریک با تعداد محدودی از نقاط است. هر فضای متریک محدود نمی تواند به صورت ایزومتریک در یک فضای اقلیدسی تعبیه شود . [3] [4]
هواپیما اغراقی یک فضای متریک است. به طور کلی:
- اگر $م$ هر منیفولد ریمانی متصل است ، سپس می توانیم چرخش دهیم $م$ با تعریف فاصله دو نقطه به عنوان حداقل طول مسیرها ( منحنی های پیوسته قابل تغییر ) که آنها را متصل می کند ، به یک فضای متریک تبدیل می شود.
- اگر $ایکس$ برخی از مجموعه است و $م$ یک فضای متریک است ، بنابراین ، مجموعه ای از تمام توابع محدود شده است $f \ colon X \ rightarrow M$ (یعنی آن دسته از توابع که تصویر یک زیر مجموعه محدود از $م$ ) را می توان با تعریف به یک فضای متریک تبدیل کرد $d (f ، g) = \ sup_ {x \ in X} d (f (x) ، g (x))$ برای هر دو عملکرد محدود شده $f$ و $g$ (جایی که $\ sup$ فوق العاده است ) [5] این معیار را متریک یکنواخت یا معیار برتری می نامند و اگر $م$ کامل است ، سپس این فضای عملکرد نیز کامل است. اگر X نیز یک فضای توپولوژیکی باشد ، مجموعه ای از همه توابع پیوسته محدود از $ایکس$ به $م$ (دارای متریک یکنواخت) ، اگر M باشد یک معیار کامل نیز خواهد بود .
- اگر $G$ یک نمودار متصل مستقیم نیست ، سپس مجموعه است $V$ از رئوس $G$ با تعریف می توان به یک فضای متریک تبدیل کرد $d (x ، y)$ به طول کوتاهترین مسیر اتصال رئوس $ایکس$ و $y$ . در تئوری گروه هندسی ، این برای نمودار کیلی یک گروه اعمال می شود و کلمه متریک را می دهد .
فاصله ویرایش نمودار اندازه گیری عدم تشابه بین دو نمودار است ، که به عنوان حداقل تعداد عملیات ویرایش نمودار مورد نیاز برای تبدیل یک نمودار به نمودار دیگر تعریف شده است.
فاصله لوناشتاین اندازه گیری از عدم تشابه بین دو رشته $تو$ و $v$ ، به عنوان حداقل تعداد حذف نویسه ، درج یا تعویض مورد نیاز برای تغییر تعریف شده است $تو$ به $v$ . این را می توان به عنوان یک مورد خاص از معیار کوتاهترین مسیر در یک نمودار تصور کرد و یک نمونه از فاصله ویرایش است .
با توجه به یک فضای متریک $(X ، d)$ و یک عملکرد مقعر افزایش می یابد $f \ روده بزرگ [0 ، \ ناکافی] \ rightarrow [0 ، \ ناکارآمد)$ به طوری که $f (x) = 0$ اگر و تنها اگر $x = 0$ ، سپس $f \ circ d$ همچنین یک معیار در است $ایکس$ .
با توجه به یک عملکرد تزریقی $f$ از هر مجموعه $آ$ به یک فضای متریک
$(X ، d)$ ، $d (f (x) ، f (y))$ معیاری را در تعریف می کند $آ$ .
با استفاده از تئوری T ، بازه تنگ یک فضای متریک نیز یک فضای متریک است. دامنه تنگ در چندین نوع تحلیل مفید است.
مجموعه همه $متر$ توسط $n$ ماتریس ها در بعضی از زمینه ها با توجه به فاصله رتبه یک فضای متریک است $d (X ، Y) = \ mathrm {rank} (Y - X)$ .
از معیار Helly در تئوری بازی استفاده می شود .

مجموعه های باز و بسته ، توپولوژی و همگرایی [ ویرایش ]

هر فضای متریک به صورت طبیعی یک فضای توپولوژیک است و بنابراین همه تعاریف و قضیه ها درباره فضاهای توپولوژیک عمومی نیز در مورد همه فضاهای متریک کاربرد دارند.

در مورد هر نقطه $ایکس$ در یک فضای متریک $م$ ما توپ باز شعاع را تعریف می کنیم $r> 0$ (جایی که $ر$ یک عدد واقعی است) در مورد $ایکس$ به عنوان مجموعه

$B (x؛ r) = \ {y \ in M: d (x، y) <r \}.$

این توپهای باز پایه ای برای توپولوژی روی M را تشکیل می دهند و آن را به یک فضای توپولوژیک تبدیل می کنند .

صریحاً ، یک زیرمجموعه $تو$ از $م$ اگر برای همه باز باشد فراخوانی می شود $ایکس$ که در $تو$ وجود دارد یک $r> 0$ به طوری که $B (x؛ r)$ موجود است در $تو$ . مکمل از یک مجموعه باز است که به نام بسته . محله از نقطه $ایکس$ هر زیر مجموعه ای از $م$ که شامل یک توپ باز است $ایکس$ به عنوان زیر مجموعه

یک فضای توپولوژیکی که می تواند از این طریق از یک فضای متریک بوجود آید ، یک فضای متراکم پذیر نامیده می شود .

یک دنباله ( $x_ {n}$ ) در یک فضای متریک $م$ گفته می شود که به حد همگرا می رسد $x \ در م$ اگر و فقط اگر برای هر $\ varepsilon> 0$ ، یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که ${\ displaystyle d (x_ {n} ، x) <\ varepsilon}$ برای همه $n> N$ . به طور معادل ، می توان از تعریف کلی همگرایی موجود در همه فضاهای توپولوژیک استفاده کرد.

یک زیر مجموعه $آ$ فضای متریک $م$ بسته شده است اگر و فقط اگر هر دنباله در $آ$ که در یک محدوده همگرا می شود $م$ حد خود را در دارد $آ$ .

انواع فضاهای متریک [ ویرایش ]

فضاهای کامل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای متریک کامل

یک فضای متریک $م$ گفته می شود اگر هر توالی کوشی در هم جمع شود کامل است $م$ . این است که می گویند: اگرتا 0} $d (x_n ، x_m) \ تا 0$ به عنوان هر دو $n$ و

$متر$ به طور مستقل به بی نهایت بروید ، سپس برخی وجود دارد $y \ در م$ با $d (x_n ، y) \ تا 0$ .

هر فضای اقلیدسی کامل است ، مانند هر زیر مجموعه بسته از یک فضای کامل. اعداد منطقی ، با استفاده از معیار اندازه گیری مطلق $d (x ، y) = \ vert x - y \ vert$ ، کامل نیستند

هر فضای متریک است منحصر به فرد (تا همسان ) تکمیل است، که یک فضای کامل است که شامل فضای داده شده به عنوان یک متراکم زیر مجموعه. به عنوان مثال ، اعداد واقعی تکمیل منطقی ها هستند.

اگر $ایکس$ زیر مجموعه کاملی از فضای متریک است $م$ ، سپس $ایکس$ در بسته است $م$ . در واقع ، یک فضا کامل است اگر و فقط اگر در هر فضای متریک حاوی بسته باشد.

هر فضای متریک کامل ، یک فضای بایر است .

فضاهای محدود و کاملاً محدود شده [ ویرایش ]

قطر یک مجموعه.

همچنین نگاه کنید به: مجموعه محدود

یک فضای متریک $م$ اگر مقداری عدد وجود داشته باشد ، مقید نامیده می شود $ر$ ، به طوری که ${\ displaystyle d (x، y) \ leq r}$ برای همه $x ، y \ در م$ . کوچکترین ممکن از این قبیل $ر$ نامیده می شود قطر از $م$ . فضا $م$ اگر برای هر یک باشد ، پیش سازگار یا کاملاً محدود نامیده می شود $r> 0$ توپهای شعاعی کاملا مشخصی وجود دارد $ر$ اتحادیه که پوشش می دهد $م$ . از آنجا که مجموعه مراکز این توپها محدود است ، قطر متناهی دارد و از آن (با استفاده از نابرابری مثلث) نتیجه می گیرد که هر فضای کاملاً محدود شده محدود می شود. معکوس برقرار نیست ، زیرا می توان معیار گسسته ای به هر مجموعه بی نهایت داد (یکی از مثالهای بالا) که تحت آن محدود شده و کاملاً محدود نشده است.

توجه داشته باشید که در متن فاصله ها در فضای اعداد واقعی و گهگاه مناطق در یک فضای اقلیدسی ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ یک مجموعه محدود به عنوان "یک فاصله محدود" یا "منطقه محدود" شناخته می شود. با این وجود محدودیت را نباید به طور کلی با "متناهی" اشتباه گرفت ، که به تعداد عناصر اشاره دارد و نه اینکه تا چه حد مجموعه گسترش یافته است. ظرافت به معنای محدود بودن است ، اما برعکس. همچنین توجه داشته باشید که یک زیرمجموعه نامحدود از ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ممکن است حجم محدودی داشته باشد .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی