توزیع یکنواخت
در ریاضیات ، دنباله { ها 1 ، ها 2 ، ها 3 ، ...} از اعداد حقیقی گفته می شود equidistributed یا توزیع یکنواخت ، اگر نسبت به شرایط حال سقوط در یک فاصله فرعی متناسب با طول که فاصله است. چنین توالی هایی در نظریه تقریب Diophantine مورد مطالعه قرار گرفته و کاربردهایی در ادغام مونت کارلو دارند .
فهرست
- 1تعریف
- 2توزیع ماژول توزیع 1
- 3دنباله خوب توزیع شده
- 4توالی ها با توجه به یک اقدام دلخواه تقسیم می شوند
- 5همچنین ببینید
- 6یادداشت
- 7منابع
- 8خواندن بیشتر
- 9لینک های خارجی
تعریف [ ویرایش ]
دنباله { ها 1 ، ها 2 ، ثانیه 3 ، ...} از اعداد حقیقی گفته می شود equidistributed در غیر منحط فاصله [ ، ب ] اگر برای هر فاصله فرعی [ ج ، د ] از [ ، ب ] ما داریم
![\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\، s_ {1}، \ dots، s_ {n} \، \} \ cap [c، d] \ Right | \ over n} = {dc \ over ba}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6f70afa0d46e1ae8b430cc7f27ec976cbff0ea)
(در اینجا ، نماد | { s 1 ، ... ، s n } ∩ [ c ، d ] | تعداد عناصر ، از اولین عناصر n دنباله ، که بین c و d است را نشان می دهد .)
به عنوان مثال ، اگر یک دنباله در [0 ، 2] تقسیم شود ، از آنجا که فاصله [0.5 ، 0.9] 1/5 طول بازه [0 ، 2] را اشغال می کند ، به عنوان n بزرگ می شود ، نسبت n اول اعضای دنباله ای که بین 0.5 و 0.9 قرار دارند باید به 1/5 نزدیک شوند. با بیان آزادانه می توان گفت که هر یک از اعضای دنباله به همان اندازه احتمال دارد که در هرجای دامنه خود قرار بگیرد. با این حال ، این به این معنی نیست که} s n a دنباله ای از متغیرهای تصادفی است. بلکه یک توالی مشخص از اعداد واقعی است.
اختلاف [ ویرایش ]
تعریف ما اختلاف D N برای دنباله { ها 1 ، ها 2 ، ها 3 ، ...} با توجه به بازه [ ، ب ] عنوان
![\ displaystyle D_ {N} = \ sup _ {a \ leq c \ leq d \ leq b} \ left \ vert {\ frac {\ left | \ {\، s_ {1}، \ dots، s_ {N \، \} \ cap [c، d] \ Right |} {N}} - {\ frac {dc} {ba}} \ Right \ vert.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c215ca2d48db390ca7dd4aab65018ffd798608)
در نتیجه اگر اختلاف D N به صفر متمایل شود ، N در حالی که N تمایل به بی نهایت دارد ، توالی توزیع می شود.
توزیع سهام یک معیار نسبتاً ضعیف برای بیان این حقیقت است که یک توالی بخش را پر می کند و هیچ شکافی را ندارد. به عنوان مثال ، نقاشی های یکنواخت متغیر تصادفی بر روی یک بخش در بخش تقسیم می شود ، اما شکاف های بزرگی در مقایسه با یک دنباله وجود خواهد داشت که در ابتدا تعداد زیادی از ε در قطعه ، برای برخی کوچک ε ، با روشی مناسب انتخاب شده وجود خواهد داشت. ، و سپس این کار را برای مقادیر کوچکتر و کوچکتر ε ادامه می دهد. برای معیارهای قوی تر و برای ساخت توالی هایی که به طور یکنواخت تر توزیع می شوند ، دنباله عدم اختلاف را مشاهده کنید .
معیار انتگرال ریمان برای توزیع مجدد [ ویرایش ]
به یاد بیاورید که اگر f تابعی با انتگرال ریمان در فاصله [ a ، b ] باشد ، آنگاه انتگرال آن حد مبالغ ریمان است که با نمونه برداری از عملکرد f در مجموعه ای از نقاط منتخب از یک قسمت خوب از فاصله انتخاب شده است. بنابراین ، اگر یک دنباله در [ a ، b ] تقسیم شود ، انتظار می رود که این دنباله برای محاسبه انتگرال یک تابع یکپارچه ریمان استفاده شود. این منجر به معیار [1] برای دنباله توزیع شده می شود:
فرض کنید { s 1 ، s 2 ، s 3 ، ...} دنباله ای است که در بازه [ a ، b ] موجود است. در نتیجه وضعیت های زیر یکسان اند:
- دنباله در [ a ، b ] تقسیم می شود.
- برای هر تابع یکپارچه سازگار با ریمان ( دارای ارزش پیچیده ) f : [ a ، b ] ℂ ، حد زیر حاوی:
| نشان دادناثبات |
|---|
این معیار منجر به ایده ادغام مونت-کارلو می شود ، جایی که انتگرال ها با نمونه گیری از عملکرد بر روی دنباله ای از متغیرهای تصادفی که در فاصله زمانی توزیع شده اند محاسبه می شوند.
نمی توان ملاک انتگرال را به طبقه ای از کارکردهای بزرگتر از مواردی که یکپارچه سازگار با ریمان هستند ، تعمیم داد. به عنوان مثال ، اگر انتگرال Lebesgue در نظر گرفته شود و f در L 1 در نظر گرفته شود ، این معیار با شکست مواجه می شود. به عنوان نمونه متقابل ، f را به عنوان تابع نشانگر دنباله توزیع شده توزیع کنید. سپس در معیار ، سمت چپ همیشه 1 است ، در حالی که سمت راست صفر است ، زیرا دنباله قابل شمارش است ، بنابراین f تقریباً در همه جا صفر است .
در حقیقت ، قضیه De Bruijn-Post معکوس معیار فوق را بیان می کند: اگر f تابعی باشد به گونه ای که معیار فوق برای هر توالی توزیع شده در [ a ، b ] نگه داشته باشد ، آنگاه f در ریمان یکپارچه است [ a ، b ] [2]
توزیع ماژول توزیع 1 [ ویرایش ]
دنباله { 1 ، 2 ، 3 ، ...} از اعداد حقیقی گفته می شود equidistributed پیمانه 1 یا توزیع یکنواخت پیمانه 1 اگر دنباله ای از قطعات کسری از N ، مشخص شده توسط { N } یا با a n - ⌊ a n ⌋ ، در فاصله [0 ، 1] تقسیم می شود.
مثالها [ ویرایش ]
تصویر از پر کردن فاصله واحد ( X محور) با استفاده از اولین نفر از ون der Corput توالی قوانین و مقررات، N 0-999 ( Y محور). درجه بندی رنگ به دلیل بی حس کردن است.
- قضیه equidistribution : دنباله از همه تقسیم عددی بر مضرب از غیر منطقی α ،
0 ، α ، 2 α ، 3 α ، 4 α ، ...
مدول 1 توزیع شده است. [3]
- به طور کلی ، اگر p چند جملهای با حداقل یک ضریب غیر از اصطلاح ثابت ثابت غیرمنطقی باشد ، توالی p ( n ) به صورت یکنواخت توزیع می شود.
این توسط ویل اثبات شد و کاربردی از قضیه تفاوت ون درپروت است. [4]
- ورود به سیستم دنباله ( N ) است نه توزیع یکنواخت پیمانه 1. [3] این واقعیت است که مربوط به قانون بنفورد .
- توالی همه ضربات α غیر منطقی توسط اعداد پی در پی ،
2 α ، 3 α ، 5 α ، 7 α ، 11 α ، ...
این یک قضیه معروف از نظریه اعداد تحلیلی است که توسط IM Vinogradov در سال 1948 منتشر شده است . [5]
- های van der توالی Corput equidistributed است. [6]
ملاک ویل [ ویرایش ]
معیار ویل بیان می کند که توالی a n به صورت پراکنده توزیع می شود اگر فقط و فقط برای همه عدد صحیح غیر صفر ℓ ،
این ملاک نامگذاری شده است و برای اولین بار توسط هرمان ویل تدوین شده است . [7] این اجازه می دهد تا سوالات توزیع توزیع به مرزهای مبالغ نمایی کاهش یابد ، یک روش اساسی و کلی.
| نشان دادنطرح اثبات |
|---|
کلیات [ ویرایش ]
- یک شکل کمی از ملاک ویل توسط نابرابری اردو-توران ارائه شده است .
- ملاک ویل به طور طبیعی به ابعاد بالاتر گسترش می یابد ، با فرض کلیات طبیعی تعریف مدول توزیع 1 توزیع:
دنباله V N بردارها در R K است پیمانه 1 equidistributed اگر و تنها اگر برای هر بردار ℓ ∈ غیر صفر Z K ،
مثال استفاده [ ویرایش ]
معیار ویل را می توان برای اثبات قضیه تقسیم توزیع به کار برد ، با بیان اینکه توالی ضرب های 0 ، α ، 2 α ، 3 α ، ... برخی از عدد واقعی α به صورت مجزا تقسیم می شود اگر و فقط اگر α غیر منطقی است. [3]
فرض α غیر منطقی است و معنی توالی ما توسط J = jα (که در آن J شروع می شود از 0، به ساده فرمول بعد). بگذارید ℓ ≠ 0 عدد صحیح باشد. از آنجا که α غیر منطقی است ، ℓα هرگز نمی تواند یک عدد صحیح باشد ، بنابراین
محدود محدود که به n بستگی ندارد . بنابراین ، پس از تقسیم n و اجازه دادن به n تمایل به بی نهایت ، سمت چپ به سمت صفر گرایش پیدا می کند و ملاک ویل راضی است.
در مقابل، توجه کنید که اگر α منطقی است و سپس این دنباله equidistributed نمی پیمانه 1، چرا که تنها تعداد محدودی از گزینه های برای بخش کسری وجود دارد J = jα .
قضیه تفاوت ون در کرپت [ ویرایش ]
قضیه Johannes van der Corput [8] بیان می کند که اگر به ازای هر ساعت دنباله s n + h - s n به صورت یکنواخت مدولو 1 توزیع شود ، بنابراین s n نیز وجود دارد . [9] [10] [11]
های van der مجموعه Corput مجموعه ای است H از اعداد صحیح به طوری که اگر برای هر ساعت در H دنباله بازدید کنندگان N + ساعت - بازدید کنندگان N یکنواخت توزیع پیمانه 1، پس است N . [10] [11]
قضایای متریک [ ویرایش ]
قضایای متریک رفتار یک دنباله پارامتری را برای تقریباً تمام مقادیر پارامتر α توصیف می کند : یعنی برای مقادیر α که در بعضی از مجموعه های استثنایی Lebesgue قرار ندارد ، صفر را نشان داد.
- برای هر دنباله اعداد صحیح متمایز b n ، دنباله { b n α mod تقسیم شده است مود 1 برای تقریباً تمام مقادیر α . [12]
- دنباله { α n mod تقریباً برای همه مقادیر α > 1 تقسیم می شود. [13]
معلوم نیست که آیا توالی { E N } یا { π N } هستند وزارت دفاع 1. equidistributed با این حال مشخص است که دنباله { α N } است نه وزارت دفاع 1 equidistributed اگر α است تعداد PV .
دنباله خوب توزیع شده [ ویرایش ]
گفته می شود که دنباله های 1 ، s 2 ، s 3 ، ...} از اعداد واقعی به خوبی توزیع می شود در [ a ، b ] اگر برای هر زیر مجموعه [ c ، d ] از [ a ، b ] ما داشته باشیم.
![\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ left | \ {\، s_ {k + 1}، \ dots، s_ {k + n} \، \} \ cap [c، d] \ Right | \ over n} = {dc \ over ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648c466ef4bfccc65b13ca1dd078e115fd1ca8d3)
به طور یکنواخت در k . واضح است که هر توالی خوب توزیع شده به طور یکنواخت توزیع می شود ، اما معکوس نگه ندارد. تعریف modulo 1 به خوبی توزیع شده مشابه است.
توالی ها با توجه به یک اقدام دلخواه تقسیم می شوند [ ویرایش ]
برای یک فضای اندازه گیری احتمال دلخواه
در هر اندازه گیری احتمال بورل در یک فضای قابل تفکیک و اندازه گیری ، یک توالی پراکنده توزیع شده با توجه به اندازه گیری وجود دارد. در واقع ، این بلافاصله از این واقعیت ناشی می شود که چنین فضایی استاندارد است .
پدیده عمومی توزیع مجدد برای سیستم های دینامیکی مرتبط با گروه های دروغ بسیار پیش می آید ، به عنوان مثال در راه حل مارگولیس برای حدس Oppenheim .
همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]
منابع
https://en.wikipedia.org/wiki/Equidistributed_sequence#Weyl's_criterion
فضاها
.jpg)
، با 
مجموعه متناهی از اعداد صحیح غیر منفی است که بر روی آنها هیچ سه عنصر پیشرفت حسابی را تشکیل نمی دهد (یعنی یک مجموعه 
به طوری که ![[0،1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
بازنمودهای سه گانه که فقط از ارقام 0 و 2 استفاده می کنند. به طور کلی ، آنها یک 
یا 
، متناسب با رشد می کند 
. برای سایر مجموعه های شروع
توالی های استنلی که به نظر آنها ناآرام تر اما حتی کم نظیر تر می شوند رشد می کنند. 
، که دنباله را تولید می کند
. این است که ، یک نرخ دوگانگی در نرخ رشد توالی های استنلی بین آنهایی که رشد مشابهی با توالی باینری-سه تایی دارند و سایرین با سرعت رشد بسیار کمتری وجود دارد. طبق این حدس ، نباید توالی استنلی با رشد متوسط وجود داشته باشد. 
عناصر تا 
، و همه به اندازه کافی بزرگ است 
. 
عامل ثابت در نرخ رشد آنها می تواند هر عقلانی باشد که مخرج آن سه برابر باشد. 
جایی که 
و 
هر دو متعلق به دنباله Moser – de Bruijn هستند و 
، در مقیاس افقی لگاریتمی
شماره. 
، ساخت و ساز Ruzsa دنباله Moser – de Bruijn را دو برابر می کند ، مجموعه ای که مجدداً بدون اختلاف مربع است. با این حال ، این مجموعه برای فراهم کردن مرزهای پایین تر برای قضیه Furstenberg-Sárközy بسیار پراکنده است.
، 
. 
، و سپس به درخواست
. 
و
، به ترتیب. 
جایی که
می توان هر دو را به سادگی و صریح نوشت. اجازه دهید
توالی Moser-de Bruijn را خود نشان دهید. سپس برای
:
و دیگری این است
. این واقعیت که آنها متقابل هستند نمونه ای از اولین دو معادله کاربردی است. 
(شروع از}
) از مقدار موجود در موقعیت تعیین می شود 
:
به عنوان یک تابع خطی از دنباله اصلی بیان شود ، به این معنی که توالی Moser-de Bruijn یک دنباله 
مانند 
برای هر f به طوری که
.
(
) از وسط هر بخش در تکرار n حذف می شود ، سپس کل طول برداشته شده است
، و مجموعه محدوده 
. بنابراین ، به یک معنا ، مجموعه سومین کانتور یک مورد محدود کننده است
. اگر
سپس باقیمانده اندازه مثبت خواهد داشت 
. مورد
به عنوان مجموعه 
.
تعداد فواصل اندازه بین است 
. در مورد تانتادیک کانتور مجموعه فراکسال است
که کمتر از همتای قطعی آن است 
. در مورد کانتور دودایک تصادفی تصادفی ، مجموعه ی فراکتال وجود دارد
که دوباره کمتر از همتای قطعی خود است 
. در مورد دوداتیک تصادفی کانتور مجموعه راه حل را برای
نمایشگاه 
جایی که ابعاد فراکتال کانتور مشکوک دایمی تصادفی تنظیم شده است 
. در هر صورت ، مانند مجموعه سه گانه کانتور ،
لحظه هفتم 
) از مجموعه ای مثلثی تصادفی و مجموعه ای از کانتور دوتایی نیز مقادیر حفظ شده ای هستند.
![\ displaystyle \ {x \ in [0،1] \ mid \ is i \ in \ mathbb {N} _ {0}: x \، 3 ^ {i} \ in \ mathbb {Z \} \ qquad \ Bigl (} \ زیرمجموعه \ mathbb {N} _ {0} \، 3 ^ {- \ mathbb {N} _ {0}} {\ Bigr)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73597565589cea731734cccf7a97a1db66ff3a09)
به فاصله بسته [0،1] که از نظر 
، بیش از یک نمایندگی را در این نماد بپذیرید ، مانند مثال 1 ⁄ 3 ، که می تواند به صورت 0.1 3 = 0.1 0 3 نوشته شود ، بلکه همچنین به عنوان 0.0222 ... 3 = 0.0 23 و 2 ⁄ 3 نیز وجود دارد. به صورت 0.2 3 = 0.2 0 3 بلکه به عنوان 0.1222 ... 3 = 0.1 2 3 نوشته شده است . 
) فرم p ⁄ q ، در جایی که مخرج q قدرت 3 است وقتی کسری به شکل 
جایی که 
) با این حال ، مجموعه نقاط پایانی فواصل حذف شده قابل شمارش است ، بنابراین باید تعداد بی شماری تعداد در مجموعه کانتور وجود داشته باشد که نقاط پایانی بازه نیستند. همانطور که در بالا ذکر شد ، یک نمونه از این عدد 1 ⁄ 4 است ، که می تواند به صورت 0.020202 ... 3 = 0. 02 در نماد سه گانه نوشته شود. در واقع ، با توجه به هر![{\ نمایشگر a \ در [-1،1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406c3ed1182452f0c59a64a9c83ccbf9d3659754)
، وجود دارد 
به طوری که 
. این نخستین بار توسط 
برای هر ![[-1،1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
به
، ما داریم ![\ displaystyle | {\ mathcal {C}} \ بار {\ mathcal {C}} | \ geq | [-1،1] | = {\ mathfrak {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bce36531bf3d27b07498e6f71de430a377d5b3)
به عنوان یک نتیجه فوری فرض کنید که
برای هر مجموعه بی نهایت 
(بیانیه ای که نشان داده شده برابر با 
.
و 
، که کانتور را به سمت 
می توان به عنوان یک 
همراه با 
با 
. ساختاری صریح
اگر بخواهیم کانتور را 
. سپس نقشه
تعریف شده توسط 
در حال تبادل هومومورفيسم سرزده است 
ابعاد فراکتال) تمام فواصل بازمانده در هر مرحله از روند ساخت و ساز برابر است با مساوی که در مورد مجموعه کانتور برابر با یک است 
فواصل اندازه 
حضور در سیستم در 
سپس 
از آنجا که
.
،
: با توجه به دو سکانس 
، فاصله بین آنها است
، جایی که 
کوچکترین شاخص است به گونه ای که 
؛ اگر چنین شاخصی وجود نداشته باشد ، دو سکانس یکسان هستند و یکی فاصله را صفر تعریف می کند. این دو معیار ، ![\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cap [0،1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822d49c61001a9fd0fee4578855b367df40dc4ca)
، مجموعه کانتور
، قلبی از
و به معنای کاردینالیتی "بزرگ" است. در حقیقت ، همچنین می توان زیر مجموعه ای از [0،1] را ساخت که ضعیف است اما از نظر اندازه گیری مثبت و زیرمجموعه ای که اندک اما با اندازه صفر باشد امکان پذیر است: 
اندازه گیری 
(برای ساخت و ساز در زیر مجموعه های Smith-Volterra-Cantor را مشاهده کنید) ، مجموعه ای را بدست می آوریم 
که اندازه گیری مثبتی دارد (برابر با 1) اما در [0/0] کم است ، زیرا هر کدام ![\ displaystyle {\ mathcal {A}} ^ {\ mathrm {c}} = [0،1] \ setminus \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ mathcal C}} ^ {(n )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883b089b70f47f45df72610d36845bbd2875711b)
![\ displaystyle {\ mathcal {A} cup \ cup {\ mathcal {A}} ^ {\ mathrm {c}} = [0،1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc858fb01c3c28620de0a42f14537ac154db7bdb)
، 
نمی تواند اندک باشد ، اما از آن زمان
، 
![\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {C_ {n-1}} {3}} \ cup \ left ({\ frac {2} {3}} + {\ frac {C_ {n-1}} {3}} \ درست) {\ متن {برای} \ n \ geq 1 ، {\ متن {و}} C_ {0} = [0،1].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ce55f16d75e2f4e4541e0f591116f23de19dc3)
, 
فرمولهای بسته صریح برای مجموعه کانتور ![\ displaystyle {\ mathcal {C}} = [0،1] \ smallsetminus \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} \ bigcup _ {k = 0} ^ {3 ^ {n} -1} \ سمت چپ ({\ frac {3k + 1} {3 ^ {n + 1}}}، {\ frac {3k + 2} {3 ^ {n + 1}}} \ Right)،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dae2ba57c01f896d3dbfac4fff0d05f0611b5fd)
از فاصله بسته ![\ displaystyle \ textstyle \ left [{\ frac {3k + 0} {3 ^ {n + 1}}}، {\ frac {3k + 3} {3 ^ {n + 1}}} \ Right] = \ سمت چپ [{\ frac {k + 0} {3 ^ {n}}} ، {\ frac {k + 1} {3 ^ {n}}} \ Right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3412bf734d4a3925d0502ad7ee10b982cf482ec)
اطراف آن ، یا![\ displaystyle {\ mathcal {C}} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {k = 0} ^ {3 ^ {n-1} -1} \ left (\ left [ \ frac {3k + 0} {3 ^ {n}}}، {\ frac {3k + 1} {3 ^ {n}} right \ Right] \ cup \ left [\ frac {3k + 2} 3 ^ {n}}} ، {\ frac {3k + 3} {3 ^ {n}}} \ Right] \ Right)،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20dd91f6b0a01c1355f304d07bbc8b4bf0de662f)
از فاصله بسته قبلی فوق ![\ displaystyle \ textstyle \ left [{\ frac {k + 0} {3 ^ {n-1}}}، {\ frac {k + 1 {3 ^ {n-1}} right \ Right] = \ سمت چپ [{\ frac {3k + 0} {3 ^ {n}}}، {\ frac {3k + 3} {3 ^ {n}}} \ Right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c345179233dacf8f90858a5e7df8f101fed3b3d6)
با تقاطع با حذف می شود![\ displaystyle \ textstyle \ left [{\ frac {3k + 0} {3 ^ {n}}}، {\ frac {3k + 1} {3 ^ {n}} right \ Right] \ cup \ left [ \ frac {3k + 2} {3 ^ {n}}}، {\ frac {3k + 3} {3 ^ {n}}} \ درست].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0cebc76560db3f0006ec29b712a5adf857d480)
، یعنی 
![R = K [X] / \ langle f \ rangle ،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c8ee7e02ce03324b65ba77fc3e1ec7baad92c4)
که در آن K یک 
فاکتورسازی فاکتور F و سپس حلقه محلی R در ایده آل اولیه است
است![K [X] / \ langle (X- \ alpha) ^ {m_i} \ rangle.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41c21a65a819d56902f9f0f335ea4ec4a07dac3)
این یک فضای بردار بر روی K است که تعدد آن را دارد
از ریشه به عنوان یک بعد
و
در حوزه تعریف هر دو صفر نیستند. رفع یک نقطه ( X 0 ، Y 0 ، Z 0 ) و توابع راه حل در نظر تو که
، مخروط Monge (یا محور در مورد شبه خطی) پاکت راه حل های PDE با 
.
.png)
با تعریف ایده آل![\ displaystyle I \ زیرمجموعه k [x_ {1 ، \ ldots ، x_ {n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adadfaa2ece8cb5229e383d8170d88a24039cbb7)
. برای هر چند جمله ای اف ، اجازه دهید
شود جزء همگن از F از پایین ترین درجه، مدت اولیه از F ، و اجازه دهید![{\ displaystyle \ operatorname {in} (I) \ زیرمجموعه k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbce2bfdb9143077821d3c4bd362b554e2902e97)
از ایده آل های اولیه از من . مخروط مماس به X در مبدا است ملاقات Zariski از زیر مجموعه بسته
. با تغییر سیستم مختصات ، این تعریف تا حد دلخواهی گسترش می یابد
![\ displaystyle ({\ mathcal {O}} _ {X ، x} ، {\ mathfrak {m}) = \ سمت چپ (\ سمت چپ ((\ frac {k [x ، y]} {(y ^ ^ 2 -x ^ {3} -x ^ {2})}} \ Right) _ {(x، y)}، (x، y) \ درست)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a855225acb44537d910257c663111d57cbbc8c4)
که در
، مجموعه ای از 
مجموعه ایده آل های اصلی حاوی I است . ما می توانیم یک توپولوژی را در آن قرار دهیم
مبنایی برای توپولوژی زریسکی است.
با توپولوژی ملاقات Zariski از ساختار بافه O X بر زیر مجموعه باز برجسته تعریف D F با تنظیم Γ ( D F ، O X ) = R F از 
) = M f ، با استفاده از 
یک 
نقشه 
(از پیش نمایش هر ایده آل اولیه در 
) به این ترتیب ،
همجنسگرایی
به سمت همسفره فرو می رود
همراه با توپولوژی زریسکی ، از نظر هومومورف A نیز با توپولوژی Zariski است.
از آن زمان هدف اصلی در گروه طرح های وابسته است 
شیء اولیه در گروه حلقه های رفت و آمد است.![\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C} ^ {n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521263ea66f56d662c3a2d39d082445fcbd1e8d9)
طرح آنالوگ نظری است 
. از دیدگاه تفریحی نقاط ، یک نکته
با مورفيسم ارزيابي قابل شناسايي است ![\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}، \ ldots، x_ {n}] {\ xrightarrow {ev _ {(\ alpha _ {1، \ ldots، \ alpha _ {n})}} \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3115e41fce718783cb81d5fb5f170ad75af40f)
. این مشاهد allows اساسی به ما این امکان را می دهد که به سایر طرح های وابسته معنی دهیم.![{\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x، y] / (xy))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3ef37644ba83571fcb984a35f09a5feb6a87aa)
از نظر توپولوژیکی مانند تقاطع عرضی دو هواپیمای پیچیده در یک نقطه به نظر می رسد ، گرچه به طور معمول این به عنوان a نشان داده می شود 
از آنجا كه تنها مورفيسم هاي خوب مشخص شده 
مفاهیم ارزیابی مربوط به امتیازات هستند 
.![\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} = \ operatorname {Proj} k [x_ {0}، \ ldots، x_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339099df5ae4b77f927da8132a803b84ed155cdd)
بیش از یک زمینه 
به عنوان بخش جهانی وابسته نیست 
است ![\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2} = \ operatorname {Spec} \، k [x، y]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad31dd76f94328d13f550a06721b5f4e0efad678)
زیرمجازات وابسته به باز برجسته هستند 
. اتحادیه آنه
هواپیمای سقفی با منشاء خارج شده است. بخش های جهانی
جفت چند جمله ای در هستند 
، که می تواند نشان داده شود![\ displaystyle k [x، y]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8462ca2b7942a5b5d38beed97662788b27b568a)
بخش جهانی 
که در 
یا 
. اگر
یا 
. برای یک طرح
-برگها
، یک طرح وجود دارد 
و یک مورفیسم 
به گونه ای که برای هر رابطه آزاد
، ایزومورفیسم وجود دارد 
، و به گونه ای که برای پیوندهای آزاد 
، گنجایش 
توسط نقشه محدودیت القا می شود
. این است که، به عنوان homomorphisms حلقه القاء نقشه مقابل طیف، محدودیت نقشه های یک دسته از جبری وادار به گنجاندن نقشه از طیف که تا تنظیمات از بافه.
یک مورفیسم از طرح ها است.
بر فراز 
پوسته جبر را در نظر بگیرید![\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x، y]،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9212c4736a6da50754e9fcd8892091c0f22f840)
و اجازه دهید 
یک برگه ایده آل ها باشید 
سپس مشخصات نسبی 
خانواده مورد نظر را پارامتر می کند. در حقیقت فیبر تمام شده است![\ displaystyle [\ alpha: \ beta]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd37b8e47cf3a1da623799a4852b1310de1ce5c)
خط از طریق منشاء است 
حاوی نکته 
با فرض اینکه 
فیبر را می توان با نگاه کردن به ترکیب نمودارهای برگشتی محاسبه کرد![\ displaystyle {\ start matrix \ operatorname {Spec {\ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x، y]} left \ چپ (y - {\ frac {\ beta} {\ alpha} x \ right)}} \ right) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a} right \ Right] [x، y ]} {\ left (y - {\ frac {b {{a}} x \ Right)}} \ Right) & \ to & {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ( \ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [x، y]} {\ left (ay-bx \ Right)}} \ Right) \\\ downarrow && down down && downarow \\\ operatorname مشخصات} (\ mathbb {C}) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a} right \ Right] \ Right) = U_ {a & \ to & \ mathbb {P} _ {a، b} ^ {1} \ end {ماتریس}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17e7179354e0368a3badb92f28da6025bf880f6)
![\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow [\ alpha: \ beta]} \ mathbb {P} _ {a، b} ^ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45aecb664a5205b200a26620e8038d3a899a7a23)
و منشاء این مثال را می توان برای پارامتر کردن خانواده خطوط از طریق منشاء تعمیم داد
بر فراز
با اجازه دادن![\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0} ، ...، x_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668023c32052cf2313b22e41999d11551437c06e)
![R = K [x_ {1} ، \ نقطه ، x_ {n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7b1e5e0dfdba12801510fccf2552d400795c1d)
یا بدون پایه ، ![R = K [V].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f169f8ccc5cc8aa42a7efda92b52681fe5b3b245)
همانطور که فرمول دوم روشن است ، یک حلقه چند جمله ای ، جبر گروهی است که بر روی یک 
مربوط به انتخاب مبنایی برای فضای بردار است. سپس یک ایده آل من، یا به طور معادل یک ماژول
بازنمایی چرخه ای از R (معنی حلقوی است که توسط 1 عنصر به عنوان R -Module تولید می شود ؛ این نمایندگی های 1 بعدی را تعمیم می دهد).
با نکته مطابقت دارد 
) این بازنمایی ها از![K [V]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5fddcd6d55d1d9c792a53117274e8637be0e33)
سپس توسط فضای دوگانه پارامتر می شوند
با ارسال هرکدام به پولیس داده می شود 
. بنابراین نمایندگی از
( نقشه K- خطی
) توسط مجموعه ای از عدد n یا معادل آن به صورت مخفی داده می شود
![R = K [x_ {1} ، \ نقطه ، x_ {n}] ،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d630104cd2585c892fe7736d9da610505b71e1bc)
دقیقاً مطابق با بازنمودهای 1 بعدی R است ، در حالی که مجموعه های محدود از نقاط مطابق با نمایش های محدود بعدی هستند (که قابل کاهش هستند ، از نظر هندسی مربوط به اتحادیه بودن ، و از نظر جبری به عنوان یک ایده آل اصلی نیستند). آرمانهای غیر حداکثر سپس با بازنمودهای بصری نامحدود مطابقت دارند .![K [T] / (T-1) \ oplus K [T] / (T-1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484a2680f1ed41b64bb3627113da5e9190d84891)
![K [T] / (T-0) \ oplus K [T] / (T-0) ،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7794f232b91cfcead80e0b02d4d049fb388c09)
![K [T] / T ^ {2} ،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c16d35b08f09c504bb0a6b0b77655e6257e37b)
از جبر مقیاس ها ، واقعاً از نظر جنبه تفریحی. این محتوای ![\ displaystyle K [X] / \ left \ langle P ^ {k} \ Right \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6693e2e2afd887e4df88c3d377ef760d3af3033)
، که در آن P یک IS 
![{\ displaystyle K [X_ {1} ، \ نقطه ، X_ {n}] ،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a7e9bbac4ce6c4970f823182e7580f0299e952)
بنابراین یک ![{\ displaystyle K [X_ {1} ، \ نقطه ، X_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cf0764b4682f6c7a4827df7693feccd72ff86d)
به طور طبیعی مجهز (پایین را ببینید) با یک ضرب است که باعث می شود یک 
جائیکه 
است
اگر 
و
اگر
علاوه بر این ، اگر یکی داشته باشد 
برای برخی
مدت صفر مربوطه از نتیجه حذف می شود.
مجموعه مبالغ یک بردار نمایشی در ![{\ displaystyle K [X_ {1} ، \ نقطه ، X_ {n}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5971b61b083b8320deec96bd98af348bb33c48)
تعریف چند جمله ای به عنوان ترکیبی خطی از مونومها یک عبارت چند جمله ای خاص است که اغلب به آن شکل کانونی ، فرم عادی یا شکل گسترده ای از چند جمله ای گفته می شود. با توجه به یک بیان چند جمله ای ، می توان با گسترش با 
به مربوطه 
این homomorphism همان homomorphism ارزیابی است که شامل جایگزینی است![{\ displaystyle (K [X_ {1} ، \ نقطه ، X_ {n}] ، (X_ {1} ، \ نقطه ، X_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51217f7ba96a4558a1a64eaf3186ba6a9558f911)
تا منحصر به فرد 
که جبر را به مجموعه های زیرین خود نقشه می کند. از طرف دیگر نقشه![\ displaystyle X \ mapsto K [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56dfb938869f70cb50f04d3ec6e66fceebe3b9d0)
یک تفریحی را تعریف می کند
در جهت دیگر (اگر ![\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathrm {SET}} (X، \ operatorname {F} (A)) \ civ \ operatorname {Hom _ {\ mathrm {ALG}} (K [X]، A .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3587f518c9c731771ac7fbea5b3aefcfa747ad1c)
![[آیکون]](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small}
![{\ displaystyle K [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1ac7a7496de3efbb2cd22c42398736c86a2b48)
می تواند به عنوان چند جمله ای یک متغیر در نامعین در نظر گرفته شود
بالای حلقه![{\ displaystyle K [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n-1}] ،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726494480638e29f49e3999e1f5c2d4d99d51933)
با استفاده مجدد از اصطلاحاتی که حاوی همان قدرت هستند 
یعنی با استفاده از هویت
![{\ displaystyle K [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n}] \ civ (K [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n-1]) [X_ {n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c3ee9af59d2086949741d7059b6a2f3ddcb4ca)
![\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d22cfd2dfdbfee457e462397218f0845d1d5c6)
دامنه های انتگرال هستند![{\ displaystyle L [X] ،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b467e0e9a96b2086bcee9943ab935fd960491a1)
جایی که ![\ displaystyle \ dark R [X] = 1 + \ dark R،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262e007a0121c85eb2ae8f6e3a2165b55691b02)
جایی که "
"بیانگر ![\ displaystyle \ dark K [X_ {1} ، \ ldots ، X_ {n}] = n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a255aafe61b6fcedfdc73a8e0e7368c5ad0129c)
و ![\ displaystyle \ dim \ mathbb {Z} [X_ {1}، \ ldots، X_ {n}] = n + 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646107e48d7f66b4426d2792c33a718cefcbae19)
![\ displaystyle \ operatorname {gl} \، \ dark R [X] = \ dark R [X] = 1 + \ operatorname {gl} \، \ dark R = 1 + \ dim R،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc31f932f909288aa48bcc56407e1b1f3e335b2)
"بیانگر ![\ displaystyle \ operatorname {gl} \، \ dim \ mathbb {Z} [X_ {1}، \ ldots، X_ {n}] = n + 1،](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832c2bba7901e808089559e18a8646a239219853)
و![{\ displaystyle \ operatorname {gl} \، \ dark K [X_ {1}، \ ldots، X_ {n}] = n.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3c6e7e07280534e37854b6d8902a999f5f75fe)
برابری اخیر ، 
بیانیه این است: اگر 
است ، تا مقیاس پذیر ، 
عناصر 
در اینجا ، "تا حد مقیاس" به این معنی است 
به عنوان یک صفر برای هر نوع غیر در نظر گرفته می شود 
به عبارت دیگر ، صفر مجموعه ای از 
در 
. با در نظر گرفتن a = Y در رابطه فوق ، رابطه رفت و 
بیشتر این شباهت ها ناشی از شباهت بین 
فقط می تواند رخ دهد که 
غیرقابل کاهش است از اعداد منطقی ، به عنوان فاکتور گرفته شده است ![{\ displaystyle (X - {\ sqrt [{4}] {2}}) (X + {\ sqrt [{4}] {2}}) (X ^ {2} + {\ sqrt {2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7388b78e8360ee5ea6bb642569e3ff42dcf7f38)
بیش از اعداد واقعی و ، و به عنوان![display \ displaystyle (X - {\ sqrt [{4}] {2}}) (X + {\ sqrt [{4}] {2}}) (Xi {\ sqrt [{4}] {2}}) ( X + i {\ sqrt [{4}] {2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90eb19786144d561600d00a4ffa682c257467e94)
بیش از اعداد پیچیده
است 
![\ displaystyle K [X] / pK [X] ،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e52be91379b318a4f22919604ec7f8d9f2d1e4a)
![\ displaystyle K [X] / \ langle p \ rangle،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337bc88869134a1aeba2c8700c0b6a60aafdd362)
![\ نمایشگر K [X] / (پ) ،}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a047c03e08df13a7edb8c084cac66aca071e8e)
یا به سادگی ![\ displaystyle K [X] / صفحه](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a2a61ff184564b687382271d277951d09cf149)
![\ نمایشگر K [X] / (پ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf01b3af7443f2d6228b55d165abf44f9febf70)
یک میدان است اگر و تنها اگر ![\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [X] / (X ^ {2} +1).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c9e774f50e592ed068d9a8c587b4220ddb1523)
تقسیمات اقلیدسی ناشی از ضرب در جایگزین کردن همه جا ![{\ displaystyle K [X] / (p).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c8230122367e1a79b8989274fa065b453332d1)
این شناسایی به طور گسترده ای در 
برای هر 
در مورد چند جمله ای صفر صفر است
بزرگترین 
اگر 
یک ![\ displaystyle \ mathbb {Z} [e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd82f3d0fe5d94a77f8fa6e3d04e0d10ddff7245)
UFD برای همه عدد صحیح 1 ≤ n ≤ 22 است ، اما برای n = 23 نیست.![R [X، Y، Z، W] / (XY-ZW)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec9e58e9e0a66994c2612ce8f0d2deb613d923d)
UFD نیست ، زیرا این عنصر است 
برابر با عنصر است 
به طوری که ![\ mathbb Z [\ sqrt {-5}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37499ef27234d8a67a65932184280bb17301312)
از همه شماره های پیچیده فرم 
، که در آن a و b عدد صحیح هستند ، UFD نیست زیرا 6 فاکتور هم 3 2 2 و هم به همان اندازه است
. این واقعاً فاکتورهای مختلفی هستند ، زیرا تنها واحد موجود در این حلقه 1 و 1 پوند است. بنابراین ، هیچ یک از 2 ، 3 ،
و 
هستند ![\ displaystyle \ mathbb {Q} [{\ sqrt {-d}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b4edc0366ebe576d203c38dfa4f4d9638b14b2)
UFD نمی شود مگر اینکه d یک 
![z \ in K [x، y، z] / (z ^ 2-xy)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf19b2f3c4593265d3650bb7196f559fb793dcd)
غیرقابل بازگشت ، اما مهم نیست.) توجه داشته باشید که این یک مکالمه جزئی دارد: دامنه ای که 
UFD است. مکالمه جزئی با این موضوع نیز وجود دارد. زیر را ببینید
، جایی که 
LCM است 
و![\ displaystyle R [X؛ S]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74516ec75e51074f16c62f48499adae2129d6db)
دامنه GCD اگر iff است
. به طور خاص ، اگر
یک IS ![\ displaystyle R [X؛ G]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dadcd6f59adfdfd6f36e3295434ac33725dd98c8)
دامنه GCD اگر iff است 
![\ displaystyle {\ bar {a}}: = \ left \ {z \ in \ mathbf {Z} [i] \ mid z \ equiv a {\ pmod {z_ {0}}} \ Right \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff8f7224fcd09a0b310e70c5211a2283725c677)
نخست وزیر گاوسی است.
![\ mathbf {Z} [i] = \ {a + bi \ mid a، b \ in \ mathbf {Z} \}، \ qquad {\ text {جایی که}} i ^ {2} = - 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e23ae09a25e0fde987eb1f99eb41e838ce6537)
، سپس هر ایده آل R از فرم است
، هر کجا 
ایده آل مناسبی برای R i است . اگر تمام R من اصلی حلقه ایده آل حق، پس از آن من = X من R من ، و سپس آن دیده می شود که
. بدون تلاش بیشتر ، می توان نشان داد که رینگ های راست Bzzout نیز تحت محصولات مستقیم محدود بسته می شوند.
.
حلقه باشد و 
و توسط 
، بنابراین دیدن این که کافی است کافی است 
یک حلقه اصلی است ولی
از 
و ، به عنوان یک حلقه اصلی ، خود یک حلقه اصلی است.![A = k [x ، y]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236609dc5f7e4a4c1ff840a2a6269084cc9351a)
،
و 
. سپس R یک حلقه محلی محدود است که اصلی نیست .
حلقه ایده آل اصلی ایده آل با وحدت ، که در آن
نشان دهنده 
نشان دهنده 
. اگر در عوض X نامتناهی باشد ، حلقه اصلی نیست : مثلاً ایده آل را ایجاد کنید که زیر مجموعه های متناهی X باشد.
، که در آن هر R i یا یک دامنه ایده آل اصلی یا یک حلقه اصلی خاص است.
یک اندومورفیسم حلقه ای است که یک ![د [x ، \ سیگما]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0e7c90ba5338ea1a3aef6424e3b36a4649f9b6)
شناخته شده است که یک دامنه اصلی ایده آل چپ است که درست نوترین نیست ، و از این رو نمی تواند یک حلقه ایده آل اصلی باشد. این نشان می دهد که حتی در حوزه ها نیز حلقه های ایده آل چپ و چپ اصلی متفاوت هستند. ( 
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.