عدد صحیح گاوسی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و ششم خرداد ۱۳۹۹ | 13:18

در نظریه اعداد ، یک عدد صحیح گاوسی است عدد مختلط که واقعی و قطعات خیالی هر دو عدد صحیح . اعداد صحیح گاوسی، با معمولی علاوه بر و ضرب از اعداد مختلط ، یک فرم دامنه انتگرال ، معمولا به عنوان نوشته شده [Z [ i ] . [1 این دامنه انتگرال یک مورد خاص از یک است حلقه مبادله ای از اعداد صحیح درجه دوم . یک سفارش کلی ندارد که به حساب حسابی احترام می گذارد.

عدد صحیح گاوسی به عنوان نقاط مشبک در صفحه پیچیده

فهرست

تعاریف اساسی [ ویرایش ]

اعداد صحیح گاوس مجموعه هستند [1]

$\ mathbf {Z} [i] = \ {a + bi \ mid a، b \ in \ mathbf {Z} \}، \ qquad {\ text {جایی که}} i ^ {2} = - 1.$

به عبارت دیگر ، یک عدد صحیح گاوسی عدد پیچیده ای است به گونه ای که قطعات واقعی و خیالی آن هر دو عدد صحیح هستند . از آنجایی که عدد صحیح گاوسی تحت اضافه و ضرب بسته می شوند ، یک حلقه تبادل کننده را تشکیل می دهند ، که تسریع در زمینه اعداد پیچیده است. بنابراین یک دامنه انتگرال است .

هنگامی که در هواپیمای پیچیده در نظر گرفته می شود ، عدد صحیح گاوسی شبکه عددی شبکه 2 بعدی را تشکیل می دهند .

مزدوجa +bi از یک Gaussian عدد صحیح a – biگاوسی عدد صحیح است .

هنجار یک عدد صحیح گاوسی ضربهای خود با مزدوج آن است.

$\ displaystyle N (a + bi) = (a + bi) (a-bi) = a ^ {2} + b ^ {2}.}$

بنابراین هنجار یک عدد صحیح گاوسی مربعی از مقدار مطلق آن به عنوان یک عدد پیچیده است. هنجار یک عدد صحیح گاوسی یک عدد صحیح غیر منفی است که جمعاً از دو مربع است . بنابراین یک هنجار نمی تواند از فرم 4k + 3 باشد و دارای عدد صحیح k باشد .

هنجار ضرب است ، یعنی یکی دارد [2]

$\ displaystyle N (zw) = N (z) N (w) ،$

برای هر جفت عدد صحیح گاوسی z ، w . این می تواند به طور مستقیم یا با استفاده از خاصیت ضرب مدول اعداد پیچیده نشان داده شود.

واحد از حلقه اعداد صحیح گاوسی (که اعداد صحیح گاوسی که است وارون ضربی همچنین یک عدد صحیح گاوسی) دقیقا اعداد صحیح گاوسی با هنجار 1، این است که، 1، 1-، i و i-

بخش اقلیدسی [ ویرایش ]

تجسم فاصله حداکثر تا عدد صحیح گاوسی

اعداد صحیح گاوس دارای تقسیم اقلیدسی (تقسیم با باقی مانده) شبیه به اعداد صحیح و چند جمله ای است . این باعث می شود اعداد صحیح گاوسی دامنه اقلیدسی ، و نشان می دهد که اعداد صحیح گاوسی با اعداد صحیح و چند جمله ای بسیاری از خواص مهم مانند وجود یک اشتراک گذاشتن الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک ، قضیه بزو از اموال اصلی ایده آل ، لم اقلیدس از فاکتور های منحصر به فرد قضیه و قضیه باقیمانده چینی ، همه اینها با استفاده از تنها تقسیم اقلیدسی قابل اثبات است.

یک الگوریتم تقسیم اقلیدسی طول می کشد، در حلقه اعداد صحیح گاوسی، a مقسومو مقسوم علیه b ≠ 0 و خارج قسمت تولیدq و باقی مانده r به طوری که

$\ displaystyle a = bq + r \ quad {\ text {و}} \ quad N (r) <N (b).$

در حقیقت ، ممکن است باقیمانده کوچکتر شود:

$\ displaystyle a = bq + r \ quad {\ text {و}} \ quad N (r) \ leq {\ frac {N (b) {2}}.$

حتی با وجود این نابرابری بهتر ، ضروری و باقیمانده لزوماً منحصر به فرد نیستند ، اما ممکن است فرد برای اطمینان از منحصر به فرد بودن ، انتخاب را اصلاح کند.

برای اثبات این امر ، ممکن است تعداد پیچیده ای را به عنوان مقدار x + iy = a/b در نظر بگیریمآ. اعداد صحیح و منحصر به فرد m و n وجود دارد که –1/2 < x – m ≤ 1/2 و –1/2 < y – n ≤ 1/2، و بدین ترتیبN(x – m + i(y – n)) ≤ 1/2. با استفاده از q = m + in، یکی دارد

$\ displaystyle a = bq + r،$

با

$\ displaystyle r = b {\ bigl (} x-m + i (yn) \ bigr)}،$

$\ displaystyle N (r) \ leq {\ frac {N (b)} {2}}.$

انتخاب x - m و y - n در یک بازه نیمه باز برای منحصر به فرد بودن مورد نیاز است. این تعریف از تقسیم اقلیدسی ممکن است از نظر هندسی در صفحه پیچیده تفسیر شود (شکل را ببینید) ، با ذکر این نکته که فاصله از یک عدد پیچیده ξ تا نزدیکترین عدد صحیح گاوس حداکثر است2/2√.. [4]

آرمانهای اصلی [ ویرایش ]

از آنجا که حلقه G از اعداد صحیح گاوسی یک دامنه اقلیدسی است، G دامنه اصلی ایده آل است، به این معنی که هر ایده آل از G اصلی است. به صراحت ، ایده آل I زیر مجموعه ای از حلقه R است به گونه ای که هر مجموع از عناصرIو هرضرب از عنصر I توسط یک عنصر R متعلق به I است . ایده آل اصلی است ، اگر از همه ضرب های یک عنصر g تشکیل شده باشد ، یعنی فرم را دارد

${\ displaystyle \ {gx \ mid x \ in G \}.$

در این مورد، یکی می گوید که ایده آل است تولید شده توسط g یا که g است ژنراتور ایده آل است.

هر ایده آل I در حلقه اعداد صحیح گاوسی اصلی است ، زیرا اگر کسی در I یک عنصر غیر از g حداقل نرم را انتخاب کند ، برای هر عنصر x از I ، باقیمانده تقسیم اقلیدسی از x توسط g نیز به I تعلق دارد . یک نرم کوچکتر از حد g ؛ به دلیل انتخاب g ، این هنجار صفر است و بنابراین باقیمانده نیز صفر است. یعنی یکی x = qg دارد ، جایی که q عامل آن است.

برای هر g ، ایده آل تولید شده توسط g نیز توسط تولید از g، این است که، g, gi, –g, –gi; ؛ هیچ عنصر دیگری ایده آل را تولید نمی کند. از آنجا که همه تولید کنندگان یک ایده آل دارای یک نرم مشابه هستند ،نرم ایده آل نرم هرکدام از تولید کنندگان آن است.

در برخی شرایط ، انتخاب یکبار برای همه ژنراتور برای هر ایده آل مفید است. برای این کار دو روش کلاسیک وجود دارد که هر دو ابتدا ایده آل های نرم فرد را در نظر می گیرند. اگر g = a + bi دارای یک نرم فرد و مثبتa^2 + b^2باشد ، یکی از a و b فرد است و دیگری یکنواخت. بنابراین g دقیقاً یک همراه با یک قسمت واقعی a دارد که فرد و مثبت است. در مقاله اصلی خود ، گاوس با انتخاب یار منحصر به فرد به گونه‌ای انتخاب کرد که باقیمانده تقسیم آن توسط 2 + 2i یکی باشد. در حقیقت ، همانطور که N(2 + 2i) = 8، نرم باقیمانده از 4 بیشتر نیست. از آنجا که این نرم فرد است و 3 عدد یک عدد صحیح گاوسی نیست ، نرم باقیمانده یکی است ، یعنی باقیمانده یک واحد است ضرب g با معکوس این واحد ، یکی را پیدا می کند که یکی را باقیمانده داشته باشد ، وقتی که با 2 + 2 i تقسیم شود .

اگر نرم g یکنواخت باشد ، آنگاه یا g = 2 k h یا ( g = 2 k h (1 + i ، در جایی که k عدد صحیح مثبت است و (N ( h فرد است. بنابراین ، یک انتخاب g را برای بدست آوردن متناسبh انتخاب می کند برای عناصر هنجار فرد و مثبت است.

اول های گاوسی [ ویرایش ]

همانطور که اعداد صحیح گاوس یک دامنه ایده آل اصلی را تشکیل می دهند ، آنها نیز یک دامنه فاکتور سازی منحصر به فرد را تشکیل می دهند . این بدان معناست که یک عدد صحیح گاوسی غیرقابل تجزیه است (یعنی ضرب دو غیر واحد نیست ) اگر و فقط اگر اول باشد (یعنی ایده آل اولیه را تولید می کند ).

عناصر نخست از[ Z [ i نیز به عنوان شناخته شده اعداد اول گاوسی . همکار اول گاوسی نیزاول گاوسی است. مزدوج اول گاوسی نیز اول گاوسی است (این بدان معنی است که مقدمات گاوسی در مورد محورهای واقعی و تخیلی متقارن هستند).

یک عدد صحیح مثبت یک اول گاوسی است اگر و فقط اگر یک عدد اول باشد که متناسب با 3 مدول 4 باشد (یعنی ممکن است 4 n + 3 نوشته شود ، با n یک عدد صحیح غیر منفی) (دنباله A002145 در OEIS ). شماره های اول ابتدایی گاوها نیستند ، اما هر یک ضرب دو اعدام اولیه گاوسی مزدوج است.

یک عدد صحیح گاوسی a + bi نخستین گاوسی است که اگر و فقط در صورت وجود:

یکی از a ، b صفر است و مقدار مطلق دیگر عدد اصلی فرم 4k + 3(با n یک عدد صحیح غیر منفی) ، یا
هر دو غیر صفر هستند و 2 + ب 2 یک عدد اول (که است نه به این صورت باشد 4 نفر + 3 ).

به عبارت دیگر ، یک عدد صحیح گاوس یک نخستین گاوسی است اگر و فقط اگر هنجار آن عدد اصلی باشد ، یا محصول یک واحد ( ± 1 ، ± i ) و یک عدد اصلی از فرم 4 n + 3 باشد.

بدین ترتیب سه مورد برای فاکتورسازی عدد نخست p در اعداد صحیح گاوس وجود دارد:

اگر p با 3 modulo 4 مطابقت داشته باشد ، آنگاه نخست وزیر گاوسی است. به زبان نظریه اعداد جبری ، گفته می شود که p در اعداد صحیح گاوس بی ثبات است.
اگر p مطابق با 1 modulo 4 باشد ، آنگاه محصول نخستین گاوسی توسط ترکیب آن است ، که هر دو مورد ابتکارات گاوسی غیر مرتبط هستند (که هیچ محصول دیگری توسط یک واحد نیست). گفته می شود که p صحیح است و در اعداد صحیح گائوس تجزیه شده است . به عنوان مثال ، 5 = (2 + i ) (2 - i ) و 13 = (3 + 2 i ) (3 - 2 i ) .
اگر p = 2 باشد ، 2 = (1 + i ) (1 - i ) = i (1 - i ) 2 داریم . یعنی 2 محصول مربع یک نخست وزیر گاوسی توسط یک واحد است. آن منحصر به فرد است نخست منشعب در اعداد صحیح گاوسی.

عامل بندی بی نظیر [ ویرایش ]

همانطور که برای هر دامنه منحصر به فرد فاکتور سازی ، ممکن است هر عدد صحیح گاوسی به عنوان محصول یک واحد و مقدمات گاوسی قرار بگیرد و این فاکتورزاسیون به ترتیب فاکتورها منحصر به فرد است و جایگزینی هر نخست توسط هر یک از همکارانش (همراه با تغییر مربوط به عامل واحد).

اگر شخص ، یک بار برای همیشه ، یک نخستین ثابت گاوسی را برای هر کلاس هم ارزی ترجیحات مربوط به خود انتخاب کند ، و اگر کسی فقط در ابتلا به فاکتورهای ابتدایی انتخاب شده باشد ، آنگاه یک عامل اصلی را بدست می آورد که به ترتیب عوامل منحصر به فرد است. با انتخاب های ذکر شده در بالا ، عامل بندی منحصر به فرد حاصل فرم را دارد

$\ displaystyle u (1 + i) ^ {e_ {0}} {p_ {1}} ^ {e_ {1}} \ cdots {p_ {k}} ^ {e_ {k}}،$

که در آن تو یک واحد است (این است که، تو ∈ {1، -1، من ، - من } )، E 0 و K اعداد صحیح نامنفی هستند الکترونیک 1 ، ...، E K اعداد صحیح مثبت هستند، و ص 1 ، ...، ص k ابتکارات گاوسی مجزا هستند به گونه ای که ، بسته به انتخاب همکاران برگزیده ،

هم ص K = K + IB K با عجیب و غریب و مثبت، و ب حتی،
یا باقی مانده تقسیم اقلیدسی از p k توسط 2 + 2 i برابر است با 1 (این انتخاب اصلی گاوس است [5] ).

مزیت انتخاب دوم این است که همکاران انتخاب شده به خوبی تحت محصولات برای عدد صحیح گاوس از هنجارهای عجیب و غریب رفتار می کنند. از طرف دیگر ، همکار منتخب برای اعدام اولیه گاوسی اعداد صحیح منفی هستند. به عنوان مثال ، فاکتور سازی 231 در اعداد صحیح و با انتخاب اول همکاران 11 × 7 3 3 است ، در حالی که (-1) × (–3) × (–7) × (–11) با دوم است. انتخاب

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integer

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی